resistencia materiales roger

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 SOFIA CARRILLO FUENTES Ley de Hooke generalizada Esta sección trata respecto de las relaciones que se pueden establecer entre los esfuerzos defor!aciones unitarias en un !aterial continuo" #o!o$eneo" isotrópico lineal!ente el%stico& '%sica!ente la le de (oo)e establece que e*iste una relación lineal entre el esfuerzo aplicado la defor!ación resultante& +urante este proceso tiene lu$ar una concentración o e*pansión lateral de un cuerpo" dependiendo de si el cuerpo es estirado o co!pri!ido& La !a$nitud de la defor!ación lateral es for!ulada anl,tica!ente usando la razón de -oisson& Esta situación se ilustra en la si$uiente .$ura/ -ara el caso de la .$ura la defor!ación en * z es i$ual a la defor!ación en es & Si el esfuerzo fuera so!etido en la dirección *" la defor!ación en z e es la defor!ación en e* es & -or 0lti!o si el esfuerzo es aplicado en la dirección de z la defor!ació n es * e es la defor!ación en z es & Al superponer estas defor!aciones unitarias se obtienen las e*presiones co!pletas para las defor!aciones unitarias cuando se so!eten a esfuerzos tria*iales" 1ale decir/ An%lo$a!ente/ Situación Paralelepípedo deformado debido a esfuerzos aplicados z * a b c * z b c a For!a .nal σ σ

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resistencia materiales

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SOFIA CARRILLO FUENTES

Ley de Hooke generalizada

Esta seccin trata respecto de las relaciones que se pueden establecer entre los esfuerzos y deformaciones unitarias en un material continuo, homogeneo, isotrpico y linealmente elstico.Bsicamente la ley de Hooke establece que existe una relacin lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformacin resultante. Durante este proceso tiene lugar una concentracin o expansin lateral de un cuerpo, dependiendo de si el cuerpo es estirado o comprimido. La magnitud de la deformacin lateral es formulada anlticamente usando la razn de Poisson. Esta situacin se ilustra en la siguiente figura:

Para el caso de la figura la deformacin en x y z es igual a y la deformacin en y es . Si el esfuerzo fuera sometido en la direccin x, la deformacin en z e y es y la deformacin en ex es . Por ltimo si el esfuerzo es aplicado en la direccin de z la deformacin es x e y es y la deformacin en z es . Al superponer estas deformaciones unitarias se obtienen las expresiones completas para las deformaciones unitarias cuando se someten a esfuerzos triaxiales, vale decir:

Anlogamente:

Por otro lado, las desangulaciones debido a esfuerzos cortantes estn dadas por:

De la primera ecuacin:

(1)

(2)

(3)

Sumando (2) y (3) se obtiene:

Despejando queda:

(4)

Ahora reemplazando (4) en (1) se obtiene:

Dividiendo por E y pasando el trmino a la derecha queda:

Despejando (x:

Desarrollando esta ltima expresin:

Haciendo un poco ms de trabajo algebraico:

Sea , donde este ltimo parmetro se llama coeficiente de Lam, se tiene:

Por analoga:

Los esfuerzos cortantes estn definidos por:

Ejemplo 1Un cubo de acero de 50 mm de lado est sometido a una presin uniforme de 200 MPa actuando sobre todas las caras. Determine el alargamiento de todas las direcciones del cubo. Sea E=200 GPa y (=0,25.

Solucin

Se tiene que:

Reemplazando los datos:

Luego:

Como , implica que Relaciones entre E, G y (Un estado de esfuerzos de cortante puro, como el de la figura mostrada a continuacin, puede transformarse en un sistema equivalente de esfuerzos normales.

Para hacer la transformacin dividimos el cuadrado ABCD por la diagonal DB y aislamos un elemento triangular, como se muestra en la figura que sigue:

De la figura se puede observar que las componentes de las fuerzas paralelas a la diagonal DB estn en equilibrio. Por otra parte, las componentes paralelas a la diagonal AC forman una resultante dada por , actuando normalmente hacia DB. Esta fuerza es equilibrada por el esfuerzo normal (1 que acta sobre el rea . Como estas dos fuerzas deben ser iguales, entonces (1=. Estos esfuerzos se muestran en la siguiente figura, y no pueden ser tratados como fuerzas.

Ahora aislando un elemento con lado AC, y realizando el mismo procedimiento se obtienen los esfuerzos mostrados en la figura que continua:

Adems (3=. Los resultados de los dos anlisis se muestran en la figura que se muestra a continuacin:

La representacin de los esfuerzos mostrados en la figura de arriba es completamente equivalente a la situacin original, vale decir a la de cortante puro. Por lo tanto, un esfuerzo cortante puro en un punto puede ser representado alternativamente por los esfuerzos normales a 45 con las direcciones de los esfuerzos cortantes, numricamente estos esfuerzos son:

Considere el elemento deformado de la figura de ms abajo. Determinaremos la deformacin unitaria en la diagonal AC de dos maneras distintas: a travs de los esfuerzos cortantes en primer lugar y luego a partir de los esfuerzos normales equivalentes.

Considerando slo deformaciones infinitesimales, se puede trabajar con las siguientes aproximaciones:

Se infiere que el desplazamiento CC debido a esfuerzos cortantes est dado por . La proyeccin de este desplazamiento, que con el orden de aproximacin adoptado, es igual al alargamiento AC, es: . Ahora, como la longitud de la diagonal AC es implica que la deformacin unitaria normal es:

De la ley de Hooke tenemos:

Ahora, usando los esfuerzos normales equivalentes que calculamos anteriormente y teniendo presente que en el caso de esfuerzos principales:

En el caso particular analizado:

Igualando las dos expresiones que definen la deformacin unitaria a lo largo de la diagonal se obtiene:

Esta relacin muestra que E, G y ( no son independientes. Por tanto si dos cualquiera de ellas se determinan experimentalmente, la tercera puede calcularse. Tambin se puede rescatar que G siempre es menor que E, puesto que la razn de Poisson siempre tiene valores positivos del orden de 0,25.

DilatacinEl objetivo de esta seccin es determinar una ecuacin para los cambios volumtricos en materiales elsticos sometidos a esfuerzos.

Los lados de un elemento infinitesimal dx, dy, dz despus de deformarse se convierten en , respectivamente. Luego el volumen del elemento esta dado por:

Luego, la diferencia de volumen es:

Bajo la hiptesis de deformaciones infinitesimales se desprecian los trminos de segundo y tercer orden en el parntesis, con lo que la expresin queda:

Luego el cambio de volumen por unidad de volumen es:

e se llama dilatacin

Sumando queda:

Lo que significa que la dilatacin es proporcional a la suma algebraica de los esfuerzos normales.TEMA 5: TRANSFORMACIN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES UNITARIAS

En este captulo se analiza un procedimiento formal para cambiar las componentes del estado de esfuerzos o deformacin unitaria en un conjunto de ejes coordenados, a otro conjunto de ejes girados. En ambos casos, el anlisis se confina a problemas en dos dimensiones. La posibilidad de transformar un estado dado de esfuerzos que implique esfuerzos normales y cortantes a cualquier otro conjunto de ejes girados, permite examinar el efecto de tales esfuerzos sobre un material. De esta manera pueden hacerse hiptesis relativas a los criterios de falla. Este importante tema ser tratado en particular para rocas en los cursos de geologa y geomecnica.Supongamos un elemento, por ejemplo una viga, que est sometida a esfuerzos normales a ella debido a una tensin axial y a esfuerzos cortantes directos. Si analizamos un punto de la viga, podemos observar que por l pasan infinitos planos, luego el estado de esfuerzos se puede describir de distintas maneras que son todas equivalentes.Transformaciones de esfuerzos en problemas bidimensionalesEn esta seccin obtendremos ecuaciones en forma algebraica para los esfuerzos normales y cortantes que actan en un plano inclinado. Tales expresiones se llaman ecuaciones de transformacin de esfuerzos. Estas ecuaciones se basan en los esfuerzos inicialmente dados que actan sobre un elemento de orientacin conocida y en el plano que se est investigando, definido por una normal a l. Las ecuaciones se desarrollaron considerando un elemento de espesor unitario en un estado de esfuerzos bidimensional xy, que ser transformado a los ejes xy.

En este curso se utilizar la siguiente convencin de signos:

La siguiente figura representa el estado de esfuerzos inicial de esfuerzos y las convenciones de signos adoptadas en este apunte. El plano donde se quiere obtener los esfuerzos normal y cortante es CB, para analizar los esfuerzos en el plano inclinado se asla la cua infinitesimal ABC.

En la siguiente figura se muestran los esfuerzos asociados a la separacin de la cua ABC respecto de la figura inicial (recuerde el mtodo de las secciones)

Ahora vamos a obtener las fuerzas en las caras de la cua asociados a los esfuerzos a la que est sometida.

El siguiente paso consiste en aplicar las leyes de la esttica en el eje y y x con el fin de conocer los esfuerzos que actan en la cara BC de la cua:

Desarrollando un poco la expresin y despejando (x queda:

Ahora , luego:

Se tiene adems que:

Reemplazando estas expresiones en la ecuacin anterior queda:

Reordenando esta expresin queda:

Haciendo equilibrio de fuerzas en el eje y, se tiene:

Reduciendo trminos, simplificando y despejando xy queda:

Las expresiones deducidas son las ecuaciones generales para los esfuerzos normales y cortantes, respectivamente, que actan sobre cualquier plano localizado por el ngulo ( y causado por un sistema conocido de esfuerzos. Esas relaciones son las ecuaciones para la transformacin del esfuerzo de un sistema de ejes coordenados inicial a uno rotado respecto a este ltimo.Reemplazando ( por (+ 90 en las dos ecuaciones se obtiene el esfuerzo normal en y (y y el esfuerzo tangencial yx. Algebraicamente estos esfuerzos son:

Haciendo queda:

Esto significa que la suma de los esfuerzos normales sobre dos planos perpendiculares cualquiera permanece constante independiente del ngulo (. A esta suma se le llama invariante de esfuerzo.

Esfuerzos principalesA menudo el inters, en el anlisis de esfuerzos, se centra en los esfuerzos mximos a los que est sometido un elemento. Para encontrar tales esfuerzos la ecuacin general para los esfuerzos normales y cortantes se deriva respecto a ( y luego se iguala a 0. En esta seccin haremos una deduccin de las expresiones que nos entregan los esfuerzos normales mximos o esfuerzos principales.

Procediendo como habamos enunciado en el prrafo anterior se obtiene:

Dividiendo la expresin por cos 2( queda:

Despejando tg 2( se tiene:

El subndice del ngulo ( se utiliza para designar el ngulo que define el plano del esfuerzo normal mximo o mnimo. La ecuacin anterior tiene dos races pues la funcin tangente es peridica de perodo (, ahora como la tangente de la ecuacin anterior corresponde a un ngulo doble implica que las dos races de (1 estn a 90 entre s. Una de las races localiza el plano donde se encuentra el esfuerzo normal mximo; mientras que la otra localiza al plano donde acta el esfuerzo normal mnimo.Para encontrar el esfuerzo normal mximo mnimo encontraremos las siguientes funciones trigonomtricas previamente:

Reemplazando estas expresiones en:

Queda:

Reduciendo trminos:

Mediante el mismo procedimiento se obtiene:

Ahora, si queremos obtener los planos donde el esfuerzo cortante es nulo hacemos:

Con lo que obtenemos:

Vale decir, la misma expresin que obtuvimos al tratar de encontrar los esfuerzos normales mximos, esto implica que en los planos donde actan esfuerzos principales los esfuerzos cortantes son nulos.Esfuerzos cortantes mximos

Usando el mismo procedimiento que para el esfuerzo normal, se tiene:

Dividiendo por cos 2( se tiene:

Luego:

Reemplazando estas expresiones en la ecuacin general:

Queda:

Ahora bien, al igual que en la seccin anterior la tangente entrega dos races que estn a 90 grados una de otra, luego haciendo el procedimiento anlogo al que hicimos hasta ac obtenemos:

Esto significa que la magnitud de los esfuerzos de corte mximo y mnimo es igual. El signo no tiene ningn sentido fsico, surgen de la convencin para localizar los planos donde estos actan, por tanto el esfuerzo cortante encontrado bajo este procedimiento ser llamado esfuerzo cortante mximo independiente del signo.Otro aspecto a considerar es que:

Luego las races para los ngulos dobles de los esfuerzos normales con respecto de los esfuerzos cortantes estn a 90 unas de otras, lo que implica que los planos que localizan los esfuerzos cortantes mximos estn a 45 respecto de los planos principales.El sentido del esfuerzo cortante puede ser determinado por sustitucin directa de la raz particular de (2 en la ecuacin general que define el esfuerzo cortante en cualquier plano. Un esfuerzo cortante positivo indica que acta segn la orientacin definida en la siguiente figura:

La determinacin del esfuerzo cortante mximo es de la mayor importancia en materiales cuya resistencia al corte es dbil.

A diferencia de los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes mximos actan sobre planos que usualmente no estn libres de esfuerzos. Haciendo una sustitucin de (2 en la ecuacin general de esfuerzos normales se obtiene:

Por tanto, un esfuerzo normal acta simultpaneamente con el esfuerzo cortante mximo a menos que:

Circulo de MohrEn esta seccin analizaremos las expresiones obtenidas para el esfuerzo normal y cortante en cualquier plano, vale decir:

Esto permitir interpretarlas grficamente. Se persigue con esto dos objetivos: tener una mejor idea del problema general de la transformacin de esfuerzos y con la ayuda de la construccin grfica obtener una solucin ms rpida de los problemas de transformacin de esfuerzos.De la primera ecuacin obtenemos:

Elevando al cuadrado:

(1)De la segunda ecuacin:

Elevando al cuadrado: (2)Sumando (1) y (2) queda:

Reduciendo trminos:

En un problema dado (x, (y y xy son conocidos. Sea:

Reemplazando estas expresiones en (3) queda:

Est ltima expresin corresponde a la ecuacin de la circunferencia de centro en (a,0) y radio b. Por consiguiente, si se grafica un crculo que satisfaga esta ecuacin, los valores simultneos de un punto (x,y) sobre este crculo representan a (x y xy para una orientacin particular de un pano inclinado. La ordenada de un punto sobre el crculo es el esfuerzo cortante xy, mientras que la abscisa es el esfuerzo normal (x. El crculo as construido se llama circulo de Mohr para esfuerzos. En la figura siguiente se muestra el crculo de Mohr.Pueden hacerse las siguientes importantes observaciones relativas al estado de esfuerzos en un punto con base al crculo de Mohr:1. El esfuerzo normal mximo posible es (1; el mnimo es (3. Ningn esfuerzo cortante existe junto con cualquiera de esos esfuerzos principales.

2. El esfuerzo cortante mximo es numricamente igual al radio del crculo. Un esfuerzo normal igual a acta sobre cada uno de los planos de esfuerzo cortante mximo.3. Si (1=(3, el crculo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningn esfuerzo cortante se desarrolla en el plano XY.

4. Si , el centro del crculo de Mohr coincide con el origen de las coordenadas y entonces existe el estado de cortante puro.

5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente perpendiculares cualquiera es invariable.Construccin del Crculo de MohrLa representacin grfica de la transformacin de los estados bidimensionales de esfuerzo de un conjunto de coordenadas a otro rotado usando un crculo de Mohr ofrece una vista de conjunto de una solucin y es til en algunas aplicaciones.

Se dan a continuacin dos procedimientos relativos para obtener tales soluciones. En el primer procedimiento se muestran claramente los planos fsicos sobre los que actan los esfuerzos transformados; en el segundo, la deduccin de la transformacin del esfuerzo es ms sencilla, aunque la determinacin de la direccin del esfuerzo transformado es algo menos conveniente. Escoger un mtodo u otro es asunto de preferencia.Mtodo 1: El problema consiste en construir el circulo de Mohr para los esfuerzos (x, (y y xy y luego determinar el estado de esfuerzos sobre un plano arbitrario.

El centro C de un crculo de Mohr se localiza sobre el eje ( a una distancia del origen. El punto A sobre el crculo tiene la coordenadas ((x,-xy) correspondientes a los esfuerzos que actan sobre la cara derecha del elemento en la direccin positiva de los ejes coordenadas. El punto A se le llamar origen de los planos. Esta informacin es suficiente para dibujar un crculo de Mohr.El siguiente paso consiste en dibujar sobre el crculo una lnea por A paralela al plano a-a en el plano fsico del elemento infinitesimal. La interseccin de esta lnea con el crculo entrega el esfuerzo que acta sobre el plano a-a (punto J).

Para comprobar esto revisaremos en detalle la construccin geomtrica del crculo de Mohr.

De acuerdo a la figura:

Y se tiene adems:

Estas expresiones son idnticas a las deducidas analticamente. Sin embargo, se debe considerar que consideramos que los esfuerzos cortantes positivos, en el crculo se dibujan como negativos.Mtodo 2: Igual que antes, el centro C del crculo de Mohr se localiza en . De nuevo, la cara derecha del elemento define a (x y xy, usados para localizar un punto sobre el crculo. Sin embargo, Si , ste se dibuja hacia abajo en el eje y

Si , ste se dibuja hacia arriba en el eje

Las coordenadas (x y xy localizan el punto gobernante A sobre el crculo. El punto B dado por (y y -xy, puede localizarse sobre el crculo mediante las mismas reglas que las enunciadas anteriormente para el esfuerzo de corte.A continuacin la recta AB es girada un ngulo 2( en el mismo sentido que el eje x con respecto al eje x. El nuevo punto J determina los esfuerzos que actan en el plano inclinado. Si xy est por sobre el eje el esfuerzo cortante es negativo y viceversaTransformacin de la deformacin unitaria: Enfoque geomtrico

Para tratar este tema es conveniente previamente establecer la convencin de signos para las deformaciones y desangulaciones unitarias:

Las deformaciones unitarias normales (x y (y correspondientes a elongaciones en x e y, respectivamente, se toman como positivas.

La deformacin unitaria cortante se considera positiva si el ngulo de 90 entre los ejes x e y se vuelve ms grande. Por conveniencia, al deducir las ecuaciones de transformacin de la deformacin unitaria, el elemento distorsionado por una deformacin unitaria cortante se tomar como el mostrado en el tercer caso de la siguiente figura:

Ahora, suponga que se conocen las deformaciones unitarias (x, (y, (xy asociadas con los ejes xy y que se requiere la deformacin unitaria extensional a lo largo de un nuevo eje x. El nuevo sistema de ejes xy est relacionado con los ejes xy como se muestra en la figura de la derecha:

En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx de largo, puede imaginarse como una diagonal de un elemento diferencial rectangular de dimensiones dx por dy en las coordenadas inciales.

Considerando el punto O fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A causados por las deformaciones unitarias impuestas sobre una base diferente en los dos sistemas coordenados:

Desplazamiento en la direccin x

Desplazamiento en la direccin y

Desplazamiento debido a la deformacin unitaria cortante: se supone que ella causa desplazamiento horizontal:

Proyectando estos desplazamientos sobre el eje x, se encuentra el desplazamiento del punto A a lo largo del eje x. Ahora, por definicin, en el sistema coordenado xyes tambin el alargamiento en OA, luego se tiene la siguiente igualdad:

Pero:

Luego:

Esta ecuacin es la expresin bsica para la transformacin de la deformacin unitaria en un plano en una direccin arbitraria definida por el eje x.Ahora, estudiemos la transformacin de la deformacin unitaria cortante. Para este fin considere la figura que se muestra a continuacin:

Por definicin la deformacin unitaria cortante para este elemento es el cambio en el ngulo AOB. De la figura el cambio en este ngulo es , el signo es negativo pues el ngulo recto se reduce.

Para deformaciones pequeas el ngulo ( puede determinarse proyectando los desplazamientos AA, AA, AA sobre una normal al eje x y luego dividiendo por dx:

Por un razonamiento anlogo,

Por lo tanto:

Esta es la segunda expresin fundamental para la transformacin de la deformacin unitaria.

Las ecuaciones bsicas para la transformacin de la deformacin unitaria en un plano son anlogas a las ecuaciones para la transformacin del esfuerzo en dos dimensiones. Esto se debe a que los esfuerzos y las deformaciones unitarias son tensores de segundo rango y matematicamente obedecen a las mismas leyes de transformacin.

Ejercicios

1) En el interior de un slido deformable el estado tensional es el indicado en la Figura. Si las tensiones admisibles del material son: ADM TRACC = 50 Mpa, ADM COMP = 60 MPa y(ADM = 20 Mpa, se le solicita:

a) Calcular la mxima tensin cortante que se puede producir en el punto del slido elstico indicado en la Figura cumpliendo con los esfuerzos admisibles del material.b) Determine el plano en donde se da este mximo esfuerzo cortante

Solucin:Se utilizan las siguientes ecuaciones:

Ahora xy=0, lo que implica que:

Ahora, las funciones trigonomtricas siguientes deben estar en los siguientes rangos:

Implica que:

Para el primer caso los ngulos que hacen mximo y mnimo al esfuerzo normal son 90 y 0, respectivamente, estos ngulos entregan la siguiente expresin:

Consecuentemente el esfuerzo normal se encuentra en el siguiente rango:

Por lo tanto nunca supera los esfuerzos admisibles del material.

Para el segundo caso los ngulos que hacen mximo y mnimo al esfuerzo cortante son 45 y 135, respectivamente, estos ngulos entregan la siguiente expresin:

Luego los esfuerzos cortantes se encuentran en el siguiente rango:

Esto supera los esfuerzos admisibles del material, por tanto el esfuerzo cortante mximo posible es 20 (MPa) y corresponde al esfuerzo cortante admisible del material.Ahora para calcular el plano donde se da esto utilizamos nuevamente la siguiente ecuacin:

Igualando esta ecuacin a 20 (MPa) y reemplazando los valores de (x y (y se obtiene:

2) Despus del montaje de una estructura pesada se estima que el estado de esfuerzo en la cimentacin de roca ser esencialmente bidimensional tal como muestra la figura. Si la roca esta estratificada de manera que los estratos forman un ngulo de 30 con la vertical, es permisible realizar este montaje?. Suponga que el coeficiente de friccin esttico de roca sobre roca es de 0,50 y que a lo largo de los planos de estratificacin la cohesin es de 85 kN/m2

Solucin:Primero homogeneizaremos las unidades:

Luego:

En segundo lugar para determinar el mximo esfuerzo cortante que puede soportar la roca utilizaremos la relacin de Mohr-Coulomb (que ser explicada en los ramos de geologa y geomecnica):

Siendo c, la cohesin de la roca; ( el esfuerzo normal en el plano que se est analizando y tg( el coeficiente de friccin en el plano, por lo tanto, reemplazando los valores:

Para obtener ( utilizamos la siguiente ecuacin:

Reemplazando los valores se obtiene:

Luego:

Con la siguiente ecuacin determinaremos el esfuerzo cortante en el plano de estratificacin:

Luego, el esfuerzo cortante a que es solicitada la estructura es mayor a la resistencia al corte de ella, esto implica que va a fallar y por tanto no es factible realizar el montaje.

3) Tres hilos de acero, AD, BD y CD de seccin transversal de rea A = 0,0075 cm2, mdulo de elasticidad E = 2,1 * 106 N/cm2 y largo 60 cm estn colocados en un plano vertical formando un ngulo de 120 entre s de modo que inicialmente existe una tensin de 850 N en cada hilo. Si se aplica enseguida una fuerza de 800 N en la direccin del hilo DC, determinar:

a) La tensin resultante en cada hilo

b) Los alargamientos o acortamientos adicionales que experimentan los hilos por sobre los que tenan antes de aplicar la fuerza de 800 N.

4) Se tiene una barra estructural AB conformada por rotacin de la funcin en torno al eje Y, que esta empotrada en A y que lleva una carga vertical Q en su extremo libre B. Paralelamente se tiene otra barra estructural CD cuya forma es la de un cilindro circular recto de radio 2a y largo L/2 empotrada en C y sujeta a una carga vertical idntica Q en su extremo libre D. Las dos barras se suponen de acero con un peso especfico ( =78 dinas/cm3 y mdulo de elasticidad E = 2,1 * 106 N/cm2. Determinar:

a) El largo de la barra AB para que el esfuerzo axial A sea idntico al de la barra CD en C.

b) Si a =1 cm y L =90 cm determinar la diferencia en longitud que experimentan las barras por efecto de sus propios pesos y de la carga Q aplicada en el extremo siendo el valor de Q = 1000 N.

Solucin

Empezaremos por analizar la barra de la derecha por ser la ms simple

Haciendo equilibrio esttico:

Para obtener el esfuerzo dividimos la reaccin en C por el rea respectiva que es , se tiene entonces:

Ahora para la barra derecha:

El rea en A est dada por: luego el esfuerzo en A es:

Igualando los dos esfuerzos se obtiene:

Simplificando:

Desarrollando la igualdad:

Luego:

Reemplazando el valor del peso especfico:

y puede tomar dos valores, se toma el valor ms razonableReemplazando los valores:

Por otro lado:

Para la barra de la derecha:

Pero:

Reemplazando:

Y el rea es:

(y

Forma final

y

y

a

b

b

a

c

c

x

x

z

z

Situacin original

Paraleleppedo deformado debido a esfuerzos aplicados

(y

C

D

da

B

A

da

Nota: Para el clculo de las fuerzas se supuso que la profundidad del cuadrado era dz, lo que implica que el rea del cuadrado es dA

C

D

45

A

B

Diagrama de fuerzas

D

C

B

45

da

C

C

D

D

da

45

(

A

B

(

Estado de esfuerzos original. Se ilustra adems el sentido de esfuerzos positivos

(

(

D

(x

xy

(y

(x

E

yx

B

A

(y

xy

C

yx

y

y

x

x

(

(x

(y

x

y

A

B

C

(y

yx

xy

(x

(

Cua ABC aislada de la figura inicial. Se considera que el rea generada por el lasdo BC de esta cua es dA.

(

x

y

A

B

C

(

Fuerzas que actan n la cua ABC

(

(x

(y

A

B

C

(y

yx

xy

(x

(

O

(1

(3

((x,xy)

((y,-xy)

2(1

mx

min

(

2(2

Circulo de Mohr: Se puede observar que con los datos de entrada ((x,xy) y ((y,-xy) se pueden obtener los esfuerzos en cualquier plano inclinado del elemento de manera grfica mediante el crculo de Mohr

(

Estado de esfuerzos original. Se ilustra adems el sentido de esfuerzos positivos

(

(

D

(x

xy

(y

(x

E

yx

B

A

(y

xy

C

yx

y

y

x

x

a

a

O

(1

(3

((x,-xy)

((y,xy)

(

A

B

O

(1

(3

((x,-xy)

((y,xy)

(

A

B

J

(

(

2(1

(

(

O

(1

(3

(

A

B

J

2(1

2(

xy