Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 1 ndice Pg. Unidad I Sistemas de Control ....................................................................................................... 3 1.1 Introduccin a los Sistemas de Control .................................................................................. 3 1.2 Sistemas de control de Lazo Abierto y de Lazo Cerrado ....................................................... 7 1.2 Sistema de Control de Lazo Abierto .................................................................................. 7 1.2.2 Sistemas de Control de Lazo Cerrado ............................................................................. 8 1.2.3 Tipos de Sistemas de Control ........................................................................................ 10 1.3 Diseo de los Sistemas de Control ....................................................................................... 12 Unidad II Modelos Matemticos de Sistemas Fsicos ............................................................... 14 2.1 Funcin de Transferencia ..................................................................................................... 14 2.2 Funcin de Transferencia de Diversos Sistemas .................................................................. 15 2.3 Diagrama de Bloques ........................................................................................................... 16 2.3.1 Procedimiento para dibujar un diagrama a bloques ...................................................... 17 2.4 Obtencin de Funciones de Transferencia de Sistemas Grficos ........................................ 21 2.5 Grafica de Flujo de Seales .................................................................................................. 24 2.5.1 lgebra de las graficas del flujo de seales .................................................................. 25 2.5.2 Construccin de graficas del flujo de seales ............................................................... 26 Unidad III Acciones Bsicas de Control y Sistemas Automticos de Control ........................ 29 3.1 Controles Proporcionales ..................................................................................................... 32 3.2 Accin de control integral .................................................................................................... 33 3.2.1 Control Proporcional e Integral ..................................................................................... 34 3.2.2 Control Derivativo ......................................................................................................... 34 3.3 Efectos de la Accin de Control Derivativa e Integral en el Comportamiento del Sistema 34 3.3.1 Accin de Control Integral ............................................................................................ 34 3.3.2 Accin de control derivativa ......................................................................................... 35 3.3.3 Criterio de Routh ........................................................................................................... 35 3.3.4 Concepto de estabilidad de un sistema .......................................................................... 37 3.4 Muestreadores y Dispositivos de Retencin ........................................................................ 37 3.4.1 Muestreador ................................................................................................................... 37 Unidad IV Seales y Sistemas de Tiempo Discreto ................................................................... 39 4.1. Clasificacin de las Seales ................................................................................................ 39 4.1.1 Tiempo Continuo vs Tiempo Discreto .......................................................................... 39 4.1.2 Anlogo vs Digital ........................................................................................................ 39 4.1.3 Peridico vs Aperidico ................................................................................................ 39 4.1.4 Causal vs Anticausal vs Nocausal ................................................................................. 40 4.1.5 Par vs Impar .................................................................................................................. 40 4.1.6 Determinstico vs. Aleatorio ......................................................................................... 41 4.1.7 Hemisferio Derecho vs. Hemisferio Izquierdo ............................................................. 41 4.2 El Concepto de Frecuencia en Tiempo Continuo y Tiempo Discreto .................................. 42 4.3 Conversin Analgico-Digital y Digital-Analgico ............................................................ 43 4.3.1 Conversin analgica-digital ......................................................................................... 43 Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 2 4.3.2 Conversin digital-analgica ......................................................................................... 45 Unidad V La Transformada Z .................................................................................................... 46 5.1 Solucin de Ecuaciones Diferenciales por el Mtodo de la Transformada Z. ..................... 46 5.1.1 Transformada Z bilateral ............................................................................................... 46 5.1.2 Transformada Z unilateral ............................................................................................. 46 5.2 Transformada Z Inversa ....................................................................................................... 47 5.2.1 Regin de convergencia (ROC) .................................................................................... 47 5.2.2 Propiedades ................................................................................................................... 49 5.3 Funciones de Transferencia de Pulsos ................................................................................. 51 5.4 Transformacin de Semiplano Izquierdo S en el Plano Z .................................................... 51 5.5 Anlisis de Estabilidad ......................................................................................................... 56 5.5.1 Criterio de estabilidad de Nyquist ................................................................................. 58 5.5.2 Anlisis de Estabilidad .................................................................................................. 64 5.5.3 Sistema condicionalmente estable ................................................................................. 67 5.6 Anlisis de los Antecedentes Tericos del Diseo ............................................................... 68 Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 3 Unidad I Sistemas de Control 1.1 Introduccin a los Sistemas de Control Elcontrolautomticohadesempeadounafuncinvitalenelavancedelaingenierayla ciencia. Adems de su extrema importancia en los sistemas de vehculos espaciales, de guiado de misiles, robticosy similares, el control automtico se ha vuelto una parte importante e integral delosprocesosmodernosindustrialesydemanufactura.Porejemplo,elcontrolautomticoes esencial en el control numrico de las maquinas herramientas de las industrias de manufactura, en eldiseodesistemasdepilotosautomticosenlaindustriaaeroespacial,yeldiseode automvilesycamionesenlaindustriaautomotriz.Tambinesesencialenlasoperaciones industrialescomoelprocesodepresin,temperatura,humedad,viscosidadyflujodeindustrias de proceso. Podemos tomar ejemplo tambin el ser humano, como el ms sofisticado y complejo sistema de control en existencia. Un ser humano promedio una amplia variedad de actividades. Algunas de esasactividades,comoelderecogerobjetos,caminardeunpuntoaotro,sonnormalmente realizadosdeunamanerarutinaria.Bajociertascondiciones,algunasdeesasactividadesson realizadas de la mejor manera posible. Por ejemplo, un atleta que debe correr 100 metros tiene el objetivo de realizarlo en el menor tiempo posible. Un corredor de maratones por el otro lado, no solo debe de recorrer una distancia en el menor tiempoposible, pero al realizarlo, debe tener un control sobre su energa para que el resultado pueda ser alcanzado. Podemos ver que en la vida diaria, existen una gran cantidad de objetivos y metas por realizar, y para lograrlas, se necesita utilizar los sistemas de control Panorama Histrico El primer trabajo significativo en el control automtico fue el regulador centrifugo de James Watt paraelcontroldevelocidaddeunamaquinadevapor,enelsigloXVII.Minorsky,Hazeny Nyquist,aportarontrabajosimportantesenlasetapasinicialesdeldesarrollodelateorade control 1922 Minorsky trabajo en los controladores automticos para dirigir embarcaciones, y demostr que la estabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. 1932 Nyquistdiseaunprocesorelativamentesimpleparadeterminarlaestabilidaddesistemasde lazo cerrado, con base en la respuesta en lazo abierto en estado estable cuando la entrada aplicada es una onda senoidal. Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 4 1934 Hazenanalizoeldiseodelosservomecanismosconrelevadores,capacesdeseguircon precisin una entrada cambiante Dcada de los 40 Losmtodosderespuestaenfrecuenciahicieronposiblequelosingenierosdisearansistemas de control lineales en lazo cerrado que cumplieran con los requerimientos desempeo. Finales de los 40 y principios de los 50 Se desarrollo el mtodo del lugar geomtrico de las races propuesto por Evans. Finales de los 50 El nfasis en los problemas de diseo de control se ha movido del diseo de uno de los muchos sistemasquetrabajenapropiadamentealdiseodeunsistemaptimodealgnmodo significativo. Conformelasplantasmodernasconunagrancantidaddeentradasysalidassevuelvenmsy ms complejas, la descripcin de un sistema de control moderno requiere de una gran cantidad de ecuaciones, la teora de control clsica pierde su solidez. Dcada de los 60 Debidoaladisponibilidaddelascomputadorasdigitaleshizoposibleelanlisiseneldominio deltiempodesistemascomplejos,lateoradecontrolmoderna,basadaenelanlisisenel dominio del tiempo y la sntesis a partir de variables de estado, se ha desarrollado para enfrentar lacrecientecomplejidaddelasplantasmodernasylosrequerimientoslimitativosrespectoala precisin, el peso y el costo en aplicaciones militares, espaciales e industriales. Dcada de los 60,70 y 80 Se investigo a fondo el control optimo tanto en los sistemas deterministicos como estocsticos y el control adaptable, mediante le aprendizaje de sistemas complejos. Dcada de los 80 a la actualidad Losdescubrimientosenlateoradecontrolmodernasehancentradoenelcontrolrobusto,el control de H y temas asociados. Enaosrecientes,lossistemasdecontrolhanrecibidounagranimportanteposicinenel desarrollo y avance en la civilizacin as como en la tecnologa. Prcticamente todos los aspectos delasactividadesdiarias,estnsiendoafectadasporunsistemadecontrol.Porejemplo,lossistemas de ventilaciny humedad de las casasyoficinas son regulados para crear un ambiente Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 5 agradable.Paralograrlamximaeficienciaenelconsumodeenergamodernossistemasde ventilacinycalefaccinengrandesoficinasyfbricassoncontroladasatravsde microcontroladores o computadoras. Antes de analizar ejemplos de sistemas de control, debemos definir ciertos trminos VariableControlada:Eslacantidadocondicinquesemideycontrola.Porlogeneral,la variable controlada es la respuesta del sistema. Variable manipulada: Es la cantidad o condicin que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Controlar:Significamedirelvalordelavariablecontroladadelsistemayaplicaralavariable manipulada al sistema para limitar o corregir una desviacin del valor medido a partir de un valor deseado. Plantas: Una planta puede ser un aparte de un equipo, un conjunto de las partes de una maquina quefuncionanjuntas,elpropsitodelacualesejecutarunaoperacinparticular.Llamaremos planta a cualquier objeto fsico que se va a controlar. Procesos:Esunaoperacinoundesarrollonaturalprogresivamentecontinuo,marcadoporuna seriedecambiosgradualesquesesucedenunoaotroenunaformarelativamentefijayque conducenaunresultadoopropsitodeterminados;oenunaoperacinartificialovoluntaria progresivaqueconsisteenunaseriedeaccionesomovimientoscontrolados,sistemticamente dirigidoshaciaunresultadoopropsitosdeterminados.Ejemplos:Procesosqumicos, econmicos y biolgicos. Sistemas:Unsistemaesunacombinacindecomponentesqueactanjuntosyrealizanun objetivodeterminado.Unsistemanonecesariamenteesfsico.Elconceptodesistemaseaplica por fenmenosabstractosy dinmicos, talescomo losque se encuentran en la economa. Debe interpretarse sistema como una implicacin de sistemas fsicos, biolgicos, econmicos, etc. Perturbaciones:Unaperturbacinesunasealquetiendeaafectarnegativamenteelvalordela salida de un sistema. Si la perturbacin se genera dentro del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbacin externa se produce fuera del sistema y es una entrada. Controlrealimentado:Elcontrolrealimentadoserefiereaunaoperacinque,enpresenciade perturbaciones,tieneareducirladiferenciaentrelasalidadeunsistemayalgunaentradade referenciaylocontinahaciendoconbaseaestadiferencia.Aqusoloseespecificanconeste trmino las perturbaciones predecibles o conocidas siempre que el sistema pueda compensarlas. Ejemplosdesistemasdecontrol:Ladireccinvolantedeunautomvilpodemostomarlocomo ejemplo de una variable controlada, o salida, el volante, seria la variable manipulada o entrada. El sistemadecontrolenestecasoestacompuestoporelmecanismodedireccinyladinmica presentada por las llantas del automvil. Sin embargo, si el objeto de control es la velocidad del automvil, entonces la presin aplicada al acelerador seria la variable manipulada, y la velocidad Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 6 del vehculo seria la variable controlada. Viendo ambos casos como un todo, se observara que el sistemadecontroldelautomvilcomounasolaentrada,ocondosentradas(Volantey acelerador)ydossalidas(direccinyvelocidad).Enestecaso,losdoscontrolesson independientesunodeotro,peroengeneral,haysistemasenloscualesloscontrolesestn acoplados.Sistemasconmsdeunaentradayunasolasalidasonllamadossistemas multivariables. El sistema de control de temperatura de un horno elctrico .La temperatura del horno elctrico se midemedianteuntermmetro,queesundispositivoanalgico.Latemperaturaanalgicase convierteaunatemperaturadigitalmedianteunconvertidorA/D.Latemperaturadigitalse introduceauncontroladormedianteunainterfase.Estatemperaturadigitalsecomparaconuna temperatura que se ingresa mediante un programa, y si existe una diferencia (error) el controlador enva una seal al calefactor, a travs de una interfase, un amplificador y un relevador, para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado. La variable controlada es la temperatura del horno, y la variable manipulada seria el calefactor. Elsistemadetemperaturadelcompartimientodelpasajerodeunautomvil.Semuestraun diagrama funcional del control de temperatura del compartimiento del pasajero de un automvil. Latemperaturadeseada,convertidaaunvoltaje,eslaentradadelcontrolador.Latemperatura real del compartimiento del pasajero se convierte a un voltaje mediante un sensor y se alimenta a uncontroladorparaqueestelacompareconlaentrada.Latemperaturaambienteyla transferenciatrmicaporradiacindelsol,quenosonconstantesconformeseconduceel automvil,funcionancomoperturbaciones.Estesistemaempleatantouncontrolrealimentado como uno de prealimentacin (El control prealimentado establece una accin correctiva antes de que las perturbaciones afecten el resultado). Latemperaturadelcompartimientodelpasajerodeunautomvildifiereconsiderablemente dependiendo del lugar y del lugar donde se mida. En lugar de usar sensores mltiples para medir la temperaturay promediar los valores,es econmico instalar un pequeo ventilador de succin en el lugar donde los pasajeros normalmente detectan la temperatura. La temperatura del aire del aspiradoresunaindicacindelatemperaturadelcompartimientodelpasajeroyseconsidera salida del sistema. Elcontroladorrecibelasealdeentrada,lasealdesalidaylassealesdelossensoresdelas fuentes de perturbacin. El controlador enva una seal de control ptimo al aire acondicionado o alcalefactorparacontrolarlacantidaddeairefriocalienteafindequelatemperaturadel compartimiento del pasajero se mantenga al valor deseado. Retomando el ejemplo del automvil, enalgunos autos existe la velocidad crucero, o estable en vehculosautomticos.Elobjetivodeestecontrolesdemanteneralvehculoenunavelocidad estable para mantener un bajo consumo de gasolina, aun a pesar de la carga delmotor (marcha, aire acondicionado, transmisin, etc.). Sin la velocidad de crucero, cualquier variacin en la carga del motor causara una cada en la velocidaddel vehculo y que el motor se asiente. Sin embargo, losobjetivosdelcontroldevelocidaddecruceroson:(1)Eliminarominimizarlacadade velocidadcuandoalmotorseleaplicaunacargaextra(2)Manteneralmotorenunavelocidad crucero a un valor deseado. Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 7 Este ejemplo muestrala poca versatilidad y poca efectividad del sistema. A este tipo de sistemas de control se les llama como sistemas de lazo abierto. No es difcil suponer que el sistema como semuestranosatisfagadeltodolosrequerimientosdeldesarrollodeseado.Debidoala simplicidad y la economa de un sistema de control de lazo abierto, podremos encontrar ejemplos de este sistema en numerosas situaciones. Unalavadoraautomticaderopaodetrastessonotrosejemplosdesistemasdelazoabierto, porque,tpicamente,eltiempodelavadoesenteramenteprogramadoporeloperador,opor ciertosparmetrosofrecidosporelfabricante.Unaverdaderamaquinadelavadoautomtica debera revisar y verificar la limpieza de la ropa o de los trastos, para continuar as con el ciclo de lavado o detenerse antes si es necesario. 1.2 Sistemas de control de Lazo Abierto y de Lazo Cerrado 1.2 Sistema de Control de Lazo Abierto Lossistemasenloscualeslasalidanoafectalaaccindecontrolsedenominasistemasde control de lazo abierto. En otras palabras, en un de control de lazo abierto no se mide la salida si se realimenta para compararla con la entrada Los elementos de un sistema de control de lazo abiertopueden ser usualmente divididos en dos partes.Elcontroladoryelprocesocontrolado.Enmuchoscasos,elcontroladorpuedeseun amplificador,engranesmecnicos,uotrosmediosdecontrol,dependiendodelanaturalezadel sistema. Enestossistemas,lasalidanoafectalaaccindecontrol,esdecir,nosemidelasalidanise realimenta para compararlo con la entrada. Encualquiersistemadecontroldelazoabierto,lasalidanosecomparaconlaentradade referencia.Portanto,acadaentradadereferencialecorrespondeunacondicinoperativafija: comoresultado,laprecisindelsistemadependedelacalibracin.Antelapresenciade perturbaciones, un sistema de control de lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la practica, el controldelazoabiertosoloseusasiseconocelarelacinentralasentradasylasalida,yno existenperturbacionesexternasniinternas.Esevidentequeestossistemasnosondecontrol realimentado.Observequecualquiersistemadecontrolqueopereenunabasedetiempoesde lazoabierto.Comoejemplo,elcontroldetrnsitomediantesealesoperadasconunabasede tiempo. Lo que hace falta en los sistemas de lazo abierto para un desarrollo mas logrado y mas adaptable esunlazoderetroalimentacindelasealdesalidahacialasealdeentrada.Paraobtenerun controlmejorlogrado,lavariablecontroladadeberserretroalimentadaycomparadaconuna Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 8 referenciadeentrada,ylavariablemanipuladadeberactuarproporcionalmentealadiferencia de la seal de entrada que de salida y esta accin deber ser introducidaal sistema para corregir el error. Un sistema con una o varias retroalimentaciones se les llama sistemas de control de lazo cerrado. 1.2.2 Sistemas de Control de Lazo Cerrado Lossistemasdecontrolderealimentadossedenominantambinsistemasdecontroldelazo cerrado.Enpractica,lostrminoscontrolretroalimentadoycontroldelazocerradoseusan indistintamente. En un sistema de control de lazo cerrado, se alimenta al controlador la seal de error de actuacin, que es la diferencia entre la seal de entrada y la seal de realimentacin (que puedeserlasealdesalidamismaounafuncindelasealdesalidaysusderivadasy/o integrales),afindereducirelerroryllevarlasalidadelsistemaaunvalorconveniente.El termino control en lazo cerrado siempre implica el uso de la accin de control realimentado para reducir el error del sistema. Sistemas de control realimentados Unsistemaquemantieneunarelacinprescritaentrelasalidaylaentradadereferencia, comparndolasyusandoladiferenciacomomediodecontrol,sedenominasistemadecontrol realimentado. Un ejemplo seria el sistema de control de temperatura de una habitacin. Midiendo la temperatura real y comparndola con la temperatura de referencia (la temperatura deseada), el termostatoactivaodesactivaelequipodecalefaccinodeenfriamientoparaasegurarquela temperaturadelahabitacinseconserveenunnivelcmodosinconsiderarlascondiciones externas. Un ejemplo ilustrativo de un sistema de lazo control de lazo cerrado ejemplificado una maquina de escribir electrnica. La margarita, la cual tiene en promedio de 96-100 caracteres, se rota para colocarlaenposicinparaelcarcterdeseadoparaserimpreso.Laseleccindelcarcteres controladaporelusuarioatravsdelteclado.Unavezqueelcarcterhasidoseleccionadoy presionado, un comando indicadopara la margarita para rotar de la posicin actual a la siguiente posicinesiniciada.Elmicroprocesadorregistraladireccinyladistanciaparalanueva posicinquevaarecorrerlamargarita,yenvaunasealcontroladoradigitalahaciael amplificador, el cual controla el motor de DC que coloca en posicin la margarita. La posicin de lamargaritaesdetectadaporunsensordeposicincuyasalidaencomparadaconlaposicin deseadaindicadaenelmicroprocesador.Elmotoresdeestemodocontrolalaposicindela margaritaal carcter deseado. En la prctica, la seal de control generada por el microprocesador controlador deber permitir manejar la margarita de una posicin a otra lo suficientemente rpida para permitir que la impresin pueda ser hecha de manera correcta y en un tiempo especifico. La retroalimentacin y sus efectos El motivo para usar la retroalimentacin es reducir el error entre la seal de entrada de referencia y la seal del sistema. Sin embargo, desde un punto de vista terico, el significado de los efectos delaretroalimentacinesmuchomasprofundodeloquesehademostradoatravsdelos Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 9 ejemplos.La reduccindel error del sistemaesmeramente uno de los muchos efectos positivosquelaretroalimentacinpuedatenersobreunsistema.Losefectosdelaretroalimentacin pueden tener efectos en el desarrollo del proceso a travs de las caractersticas del sistema como estabilidad, ancho de banda, ganancia, impedancia y sensibilidad. Para entender los efectos de la retroalimentacin en un sistema de control, es esencial examinar el fenmenoconunamenteabierta.Cuandolaretroalimentacinesdeliberadamenteintroducida paraelpropsitodecontrol,suexistenciaesfcilmenteidentificada.Sinembargo,haymuchas situacionesenlacualunsistemafsicoquenormalmentereconoceramoscomounsistemano retroalimentadopuedeconvertirseenunsistemaretroalimentadocuandoseobservademanera diferente.Engeneral,nosotrospodemosdecirqueencualquiersecuenciacerradaderelacin causayefectoexisteentreestoslasvariablesdeunsistema,ylaretroalimentacinnoexistira .Este punto definitivamente no admitira la retroalimentacin en un gran numero de sistemas que ordinariamenteserianidentificadascomosistemasdelazoabierto.Sinembargo,conla disponibilidad de la retroalimentacin y la teora del sistema de control, esta definicin general de retroalimentacinpermitenumerosossistemas,conosinunaretroalimentacinfsica,paraser estudiadaenunmodosistemticounavezexistiendolaretroalimentacinenelsentidoantes mencionado sea establecido. Efectos de la retroalimentacin Efecto de la retroalimentacin en la ganancia general: Laretroalimentacinsercontempladaconunsignonegativo,asqueengeneral,dela retroalimentacines tal que pueda incrementar o decrementar la ganancia. Efecto de la retroalimentacin en la estabilidad Laestabilidadesunparmetroquedescribesiunsistemapuedesercapazparadesarrollaruncomando de entrada. De una manera no rigurosa, un sistema ser designado como inestable si la salidaestafueradecontroloseincrementasinlmite.Lasalidadeunsistemapuedeservarias opciones de manera infinita para un grupo limitado de rdenes de entrada. Sin embargo, debemos indicarquelaretroalimentacinpuedecausarqueunsistemaqueestaestableoriginalmentea volverse inestable. Ciertamente, la retroalimentacin es una espada de dos filos, cuando es usada de manera incorrecta, puede daar el sistema. Efecto de la retroalimentacin en la sensibilidad Las consideraciones de la sensibilidad frecuentemente juegan un papel importante en el diseo de sistemas de control. Desde que todos los elementos fsicos tienen propiedades que son afectados con el medio ambiente y con el paso del tiempo, no podemos contar siempre con los parmetros deunsistemadecontrolseacompletamenteestacionariosdurantelavida operativa del sistema. Porejemplo,laresistenciadeldevanadodeunmotorcambiacuandolatemperaturase incrementaalduranteeltrabajodelmotor.Engeneralunbuensistemadecontroldeberser bastante insensible a las variaciones de esos parmetros mientras pueda continuar a los comandos Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 10 demaneracorrecta.Debemoscomodiseadoresdesistemasdecontrolqueefectosdela retroalimentacin tiene sobre la sensibilidad a la variacin de los parmetros. Efectos de la retroalimentacin durante perturbaciones externas o ruido Todoslossistemasdecontrolfsicoestnsujetosaalgunostiposdeperturbacionesexternaso ruidodurantesuoperacin.Ejemplossonelruidotrmicoenvoltajepresenteenlos amplificadores electrnicos o el ruido de conmutacin en los motores elctricos. Elefectodelaretroalimentacinduranteelruidodependegrandementeendondeelruidose introduce en el sistema, ninguna conclusin en general pueda se hecha, sin embargo, en muchas situaciones,laretroalimentacinpuedereducirelefectodeelruidoduranteeldesarrollodel proceso. 1.2.3 Tipos de Sistemas de Control Los sistemas de control pueden ser clasificados de diferentes maneras, dependiendo del propsito delaclasificacin.Porejemplo,deacuerdoalmtododeanlisisydiseo,lossistemasde controlrealimentadossonclasificadoscomolinealesynolineales,varianteeneltiempoyno varianteen el tiempo. De acuerdoa los tipos deseal encontrados en el sistema, las referencias son frecuentemente hechas como sistemas de datos continuos y como sistema de datos discretos, o sistemas modulados o no modulados. Tambin existe una referencia de clasificacin en base a loscomponentesdelsistema,comosistemasdecontrolelectromecnicos,sistemasdecontrol hidrulicos,sistemasneumticos,sistemasdecontrolbiolgicos.Lossistemasdecontrolson clasificados de acuerdo al objetivoprincipal del sistema. Un sistema de control posicionaly un sistema de control de velocidad son las variables de salida de acuerdo a lo que el nombre implica. Engeneral,haymuchasmanerasdeidentificaralossistemasdecontroldeacuerdoa caractersticas especiales del el sistema. Es importante que algunos de losmodosms comunes de manera de clasificar a los sistemas de control sean conocidos antes de analizar y disear algn sistema de control. Sistemas de control no lineales vs Sistemas de control lineales Esta clasificacin esta hecha de acorde a los mtodos de anlisisy diseo. Hablando demanera estricta,lossistemaslinealesnoexistenenlaprctica,asquetodoslossistemasfsicossonno lineales.Lossistemasdecontrollinealessonmodelosidealizadosquesonfabricadosporuna analistasolamenteparalasimplicidaddelanlisisyeldiseo.Cuandolasmagnitudesdelas seales en un sistema de control son limitadas a un rango el cual los elementos componentes de unsistemaexhibencaractersticaslineales,elsistemaesesencialmentelinear.Perocuandolas magnitudesdelassealesestnextendidasenunrangoarribadelaoperacinlineal, dependiendo de la severidad de la no linealidad, el sistema ser considera no lineal. Por ejemplo, losamplificadoresutilizanunsistemadecontrolquefrecuentementepresentaunefectode saturacincuandolasealdeentradacrecegrandemente;uncampomagnticodeunmotor Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 11 usualmentepresentacaractersticasdesaturacin.Sinembargo,caractersticasnolinealesson introducidas deliberadamenteen un sistema de control para mejorarlo. Para los sistemas lineales existe un gran nmero de tcnicasanalticas y graficas para el objetivo dediseoyanlisis.Sinembargo,lossistemasnolinealessonmuydifcilesdeanalizary manejar matemticamente, y no hay mtodos generales que puedan ser usadospara resolver una amplia gama de sistemas no lineales. Sistemas de control invariantes en el tiempo vs. Sistemas de control variantes en el tiempo Cuando los parmetros de un sistema de control son estacionarios con respecto al tiempo durante laoperacindeunsistema,elsistemaesllamadounsistemainvarianteconeltiempo.Enla prctica, la mayora de los sistemas contienen elementos que cambian o varan con el tiempo. Por ejemplo,laresistenciadeundevanadodeunmotorelctricocambiaracuandoelmotores primeramente excitado y su temperatura es incrementada. Sin embargo un sistema variante con el tiemposinpresentarunanolinealidadesunsistemalineal,elanlisisydiseodeestaclasede sistema son usualmente mucho ms complejos que los sistemas lineales invariantes en el tiempo. Sistemas de control de datos continuos Unsistemadedatoscontinuosesaquelencuallassealesproporcionadasporvariaspartesdel sistemasontodasfuncionesdeunavariablecontinuaeneltiempot.Enmediodetodoslossistema de control de datos continuos, las seales deber ser clasificadas mas all de ser solo CA o DC. Diferente a la definicin general de seales AC o DC utilizadas en la ingeniera, sistemas de controlCAoDCtieneunespecialsignificado.Cuandosehacereferenciaaunsistemadede controlCA,significaquelassealesenelsistemasonmoduladasatravsdeunesquemade modulacin. Por otro lado, cuando se refiere a un sistema de control como DC, no significa que todaslassealessondetipodecorrientedirecta,sifueraas,nohubierasistemadecontrola analizar. Un sistema de control DC simplemente implica que las seales estn sin modular, pero son seales CA de acuerdo a la definicin convencional. Enlapractica,notodoslossistemasdecontrolsonestrictamenteCAoDC.Unsistemapuede incorporarunamezcladecomponentesCAoDC,usandomoduladoresademoduladorespara acoplar las seales en varios puntos del sistema. Sistemas de Control Digitales y de Muestreo de Datos Lossistemasdecontrolesdigitalesysistemasdemuestreosdedatosdifierendeunsistemade controldedatoscontinuosenquelassealesenunoomspuntosdelsistemalosdatosse presentanenformadeuntrendepulsosouncdigodigital.Usualmentelossistemasdedatos muestreadosserefierenaunconceptomsgeneraldesistemasenloscualeslassealesse presentan en forma de pulso de datos. Por otro lado un sistema de control digital se refiere al uso de computadoras digitales o controladores digitales en un sistema. De manera general, un sistema de control de datos muestreados recibe los datos o la informacin solo de manera intermitente en momentos especficos de tiempo. Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 12 1.3 Diseo de los Sistemas de Control Lossistemasdecontrolactualesson,porlogeneral,nolineales.Sinembargo,siesposible aproximarlosmediantemodelosmatemticoslineales.Enunsentidopractico,las especificaciones de desempeodeterminadas para el sistema particular sugiere cual metodo usar. Si se presentan las especificaciones de desempeo en trminos de las caractersticas de respuesta transitoria y/o las medidas de desempeo en el dominio de la frecuencia, no tenemos otra opcinque usar un enfoque convencionalbasado en los mtodos del lugar geomtrico de las racesy/o la respuesta en frecuencia. En tanto que el diseo de un sistema de control mediante los enfoquesdel lugargeomtrico de las racesy de la respuesta en frecuenciaes una tarea de la ingeniera, el diseo del sistema en el contextodelateoradecontrolmodernaempleaformulacionesmatemticasdelproblemay aplicala teora matemtica para disear los problemas en lo que el sistema puede tener entradas ysalidasmltiplesyservariantesconeltiempo.Laventajadeldiseobasadoenlateorade controlmoderna es que permiteal diseador producir un sistema de control ptimo en relacin con el ndice de desempeo considerado. La estabilidad, exactitud y rapidez de respuesta son caractersticas que debe tener todo sistema de control. Necesariamenteun sistema debe ser estable, esto significa que la respuestaa una seal, debealcanzarymantenerunpuntotilduranteunperiodorazonable.Unsistemadecontrol inestable producir, por ejemplo, oscilaciones persistentes, puede hacer que la seal tome valoresque corresponden a lmites extremos. Un sistema de control debe ser exacto dentro de ciertos lmites especificados. Esto significa que elsistemadebesercapazdereducircualquiererroraunvaloraceptable.Esnecesariohacer notarque no hay sistema de control alguno que pueda mantener un error cero en todo el tiempo porque siempre es necesario que exista un error para que el sistema inicie la accin correctora. La exactitud de un sistema puede ser relativay sus lmites estn basados en la aplicacin particular quesehagadelsistemadecontrol.Loslimitesdebenhacersetanamplioscomoseaposible porque el costo de un sistema de control aumenta rpidamenteal hacerse necesario un aumento en la exactitud. En todocaso, todos los sistemas decontrol deben mantenerse dentro delgrado necesario de exactitud. Unsistemadecontroldebecompletarsurespuestaaciertasealdeentradaenuntiempoaceptable. Aunque un sistema sea estable y tenga exactitud requerida, no tiene ningn valor si el tiempopararespondertotalmenteaunarespuestaesmuchomayorqueeltiempoentrelas seales. Elingenierodedicadoalossistemasdecontroldebedisearsusistemadetalmaneraquese cumplan las tres condiciones de estabilidad,exactitudyrapidez derespuesta. Esto sin embargo, no es sencillo, ya que las condicionestienden a ser incompatibles, y por tanto, deben establecerse un compromiso entre ellas. Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 13 El sistema de control ideal es estable, de exactitud absoluta (mantiene un error nulo a pesar de las perturbaciones)yresponderinstantneamenteacualquiercambioenlavariabledereferencia. Naturalmente tal sistema no puede obtenerse. Lossistemasquepuedendisearsemedianteunenfoqueconvencionalestnporlogeneral limitadosaunaentradayunasalida,ysonlinealeseinvariantesconeltiempo.Eldiseador buscasatisfacertodaslasespecificacionesdedesempeomediantelarepeticinestudiadade pruebayerror.Despusdedisearunsistema,eldiseadorverificasisatisfacetodaslas especificacionesdedesempeo.Sinolascumple,repiteelprocesodediseoajustandolos parmetros o modificando la configuracin del sistema hasta que se cumplanlas especificaciones determinadas. Aunque el diseo se basa en un procedimiento de pruebay error, el ingenioy los conocimientos del diseador cumplen una funcin importante en un diseo exitoso. Un diseador experimentado ser capazde disear un sistema aceptable sin realizar muchas pruebas. Porlogeneral,esconvenientequeelsistemadiseadoexhibalamenorcantidadposiblede errores, en respuesta ala seal de entrada. A este respecto, debe ser razonable el amortiguamiento del sistema. La dinmica del sistema deber ser relativamente insensible a variaciones pequeas en susparmetros.Lasperturbacionesnodeseadasdebenestarbienatenuadas.Sieldiseodel sistemasereduceaunoscuantoscandidatos,puedehacerseunaeleccinptimaentreellos,a partirdeconsideracionescomoeldesempeodelproyectogeneralproyectado,elcosto,el espacio y el tiempo. Sin embargo el estudio de la teora de control automtico proporcionara las bases necesarias para establecer las relacionesms eficientesa fin de que el ingeniero puedadisear el mejor sistema posible. Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 14 Unidad II Modelos Matemticos de Sistemas Fsicos Introduccin Alestudiarlossistemasdecontrol,ellectordebesercapazdemodelarsistemasmatemticosyanalizarlascaractersticasdinmicas.Unmodelomatemticodeunsistemadinmicosedefine comounconjuntodeecuacionesquerepresentaladinmicadelsistemaconprecisin.Un sistema puede representarse de muchas formas diferentes por lo que puede tener muchos modelos matemticos, dependiendo de la perspectiva. Los modelos matemticos pueden adoptar muchas formas distintas. Dependiendo del sistema que se trate y de las circunstancias especficas, un modelo matemtico puede ser ms conveniente que otros. Esposiblemejorarlaprecisindeunmodelomatemticosiseaumentasucomplejidad.En algunoscasos,seutilizancientosdeecuacionesparadescribirunsistemacomplejo.Sin embargo,en la obtencin de un modelo matemticos, debemosestablecer un equilibrio enentre la simplicidad del mismo y la precisin de los resultados del anlisis. De hecho, por logeneral basta con obtener un modelo matemtico adecuado para el problema que se considera. Alobtenerunmodelomatemticorazonablementesimplificado.Resultaamenudonecesario ignorar ciertas propiedades fsicas inherentes al sistema. 2.1 Funcin de Transferencia Lafuncindetransferenciadeunsistemadescritomedianteunaecuacindiferenciallineale invarianteconeltiemposedefinecomoelcocienteentrelatransformadadeLaplacedesalida (funcinrespuesta)ylatransformadadeLaplacedelaentrada(funcinexcitacin)bajola suposicin de que todas las condiciones inciales son cero Funcin de transferencia= G(s) =) () (entradasalidaLLCon condiciones iniciales a cero Apartirdelconceptodefuncindetransferencia,esposiblerepresentarladinmicadeun sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia mas alta de s en el denominador de la funcin de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de n-esimo orden. Laaplicacindelconceptodefuncindetransferenciaestalimitadaalossistemasdescritos mediante ecuaciones lineales e invariantes con el tiempo. Sin embargo, el enfoque de la funcin de transferencia se usa extensamente en el anlisis y diseo de dichos sistemas La funcin de transferencia de un sistema es un modelo matemtico porque es un mtodo operacional para expresar la ecuacin diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 15 La funcin de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y la naturaleza de la entrada o funcin de excitacin. La funcin de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con lasalida,massinembargonoproporcionainformacinacercadelaestructurafsicadel sistema. Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, se estudia la salida o la respuesta para varias formas de entrada, con la intencin de comprender la naturaleza del sistema Sisedesconocelafuncindetransferenciadeunsistema,puedeestablecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando las salidas del sistema. Una vez establecida la funcin de transferencia, proporciona una descripcin completa de las caractersticas dinmicas del sistema, a diferencia de su descripcin fsica. 2.2 Funcin de Transferencia de Diversos Sistemas

De acuerdo a la siguiente figura

El cociente de la seal de realimentacinB(s) entre la seal de error E(s) se denomina funcin de transferencia en lazo abierto, es decir Funcin de transferencia en lazo abierto= ) () (s Es B= G(s) H(s) El cociente entre la salida C(s) y la seal de error E(s) se denomina funcin de transferencia de la trayectoria directa Funcin de transferencia de la trayectoria directa = ) () (s Es C= G(s) Si la funcin de transferencia de la trayectoria de realimentacin H(s) es la unidad, la funcin de transferencia en lazo abierto y la funcin de transferencia de la trayectoria directa son iguales. Funcin de transferencia en lazo cerrado Paraelsistemadelafiguraanterior,lasalidaC(s)ylaentradaR(s)serelacionandelmodo siguiente: Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 16 C(s) = G(s) E(s) E(s) = R(s) H(s) C(s) Substituyendo y eliminado a E(s) ) () (s Rs C= ) ( ) ( 1) (s H s Gs G+ La funcin de transferencia que relaciona C(s) con R(s) se denomina funcin de transferencia en lazo cerrado. Esta funcin de transferencia relaciona la dinmica del sistemaen lazo cerrado con la dinmica de los elementos de las trayectorias directa y de realimentacin. Despejando C(s) de la ecuacin anterior ) (s C=) () ( ) ( 1) (S Rs H s Gs G+ Lasalidadelsistemaenlazocerradodependetantodelafuncindetransferenciaenlazo cerrado como de la naturaleza de la entrada. 2.3 Diagrama de Bloques Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que se llevan a caboencadacomponenteenlaingenieradecontrol,porlogeneralseusaunarepresentacin denominada diagrama a bloques. Un diagrama en bloque es una representacin visual simplificada de la relacin de causa y efecto que existe entre la entrada y la salida de un sistema fsico. El diagrama suministra un mtodo til y conveniente para caracterizar las relaciones funcionales entre los diferentes componentes de un sistema de control.Loscomponentes del sistema se conocen alternativamente con el nombre de elementosdelsistema.Laformamassencilladeldiagramaenbloqueeselbloquesimpleque lleva una entrada y una salida Elinteriordelrectnguloquerepresentealbloquegeneralmentecontieneladescripcinoel nombre del elemento, o el smbolo de una operacin matemtica que se ejecuta sobre la entrada con el fin de obtener la salida. Las flechas representan la direccin de la informacin unilateral o el flujo de seales Hasta aqu 29 de abril Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 17 Las operaciones de adicin y sustraccin tienen una representacinespecial. el bloque se cambia por un pequeo crculo, llamado punto suma con el signo apropiado, mas o menos, acompaado delasflechasquelleganalcrculo.Lasalidaeslasumaalgebraicadelasentradas.Cualquier nmero de entradas se puede aplicar al punto de suma Con el fin de emplear la misma seal o variable como entrada a ms de un bloque o punto suma, seusaunpuntodereparto.Estopermitequelasealprosigasinalteracinalolargode diferentestrayectorias hacia varios destinos Diagrama de bloque de un sistema de control por retroalimentacin 2.3.1 Procedimiento para dibujar un diagrama a bloques Paradibujareldiagramaabloquesdeunsistema,primerosedebeescribirlasecuacionesque describenelcomportamientodinmicodecadacomponente.Acontinuacinsetomanlas transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo que las condiciones iniciales son cero, y represente individualmente en forma de bloques cada ecuacin transformada por el mtodo de Laplace: Por ultimo integre los elementos en un diagrama de bloques completo. Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 18 Lascantidadeseneldominiodeltiemposerepresentanconletrasminsculas.Lasletras maysculas se usan para las transformadas de Laplace. lgebra de los diagramas en bloque Bloquesencascada:Cualquiernmerofinitodebloquesenseriesepuedencombinar algebraicamentepormediodemultiplicacin.Esdecir,ncomponentesobloquesconlas funcionesdetransferencia,G1,G2Gn,conectadosencascadasonequivalentesaunsolo elemento G con una funcin de transferencia dada por: G = G1.G2.G3Gn = [=nii G1 La multiplicacin de funciones de transferencias es conmutativa, es decir GiGj = GjGi Formacannicadeunsistemadecontrolporretroalimentacin:Losdosbloquesenla trayectoriahaciadelantedelsistemaderetroalimentacindelaseccinanteriorsepueden combinar.SiendoG=G1G2,laconfiguracinresultantesedenominaformacannicadeun sistema de control por retroalimentacin. G y H no son necesariamente nicos para un sistema en particular. Las siguientes definiciones se refieren a este diagrama en bloque G = Funcin de transferencia directa = funcin de transferencia hacia delante H = Funcin de transferencia de retroalimentacin GH = Funcin de transferencia de lazo = funcin de transferencia de lazo abierto C/R = Funcin de transferencia de lazo cerrado = razn de control E/R = Razn de seal impulsora = razn de error Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 19 B/R = Razn de retroalimentacin primaria En las siguientes ecuaciones, el signo se refiere a un sistema de retroalimentacin positiva, y el signo + se refiere a un sistema de retroalimentacin negativa =RC= GHs G + 1) ( =RE= GHs G + 1) ( Losdiagramasenbloquedesistemasdecontrolcomplicadospuedensimplificarseusando transformacionesquesepuedenderivarfcilmente.Paradarunavisincompleta,esta transformacinseincluyeenelsiguientelistado.LaletraPseusapararepresentarcualquier funcin de transferencia, y W, X y Z denotan cualquier seal en el dominio de s Entradasmltiples:Avecesesnecesarioevaluareltrabajoejecutadoporunsistemacuandose aplican simultneamente varios estmulos en diferentes puntos del sistema. Cuandoestnpresentesentradasmltiplesenunsistemalineal,cadaunasetrata independientementeunadelasotras.Lasalidaocasionadaportodoslosestmulosactuando conjuntamente se encuentran de la siguiente manera: Paso 1: Igualar todas las entradas a cero excepto una. Paso 2: Transformar el diagrama en bloque a la forma cannica, usando las transformaciones ya establecidas. Paso 3: Calcular la respuesta debida a la entrada escogida actuando sola. Paso 4: Repetir los pasos 1 a 3 para cada una de las entradas restantes. Paso5:aadiralgebraicamentetodaslasrespuestas(salidas)determinadasenlospasos1al5. Esta suma es la salida total del sistema con todas las entradas actuando simultneamente. Reduccin de diagramas en bloque complicados: El diagrama en un bloque de un sistema simple de control por retroalimentacin es a menudo bastante complicado. Puede incluir varios lazos de retroalimentacinodealimentacindirectayentradasmltiples.Pormediodeunareduccin sistemtica del diagrama en bloque, cada sistema de retroalimentacin de lazo mltiple se puede reducir a una forma cannica.

Paso 1: Combinar todos los bloques en cascada Paso 2: Combinar todos los bloques en paralelo Paso 3: eliminar todos los lazos menores de retroalimentacinPaso4:Desplazarlospuntosdesumahacialaizquierdaylospuntosdetomahacialaderecha del lazo principal Paso 5: Repetir los pasos 1 al 5 para cada entrada segn sea necesario Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 20 Unrequisitoocasionalenlareduccindediagramasenbloqueeselaislamientodeunbloque particulardeunlazoderetroalimentacinodealimentacindirecta.Estoesconvenientepara examinar ms fcilmente el efecto de un bloque particular sobre el sistema completo. El aislamiento de un bloque se puede llevar a cabo generalmente aplicando los mismos pasos de reduccin al sistema, pero con frecuencia en un orden diferente. Se toma en consideracin que el bloque que se va a aislar no se puede combinar con otros. Ejemplo: Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 21 2.4 Obtencin de Funciones de Transferencia de Sistemas Grficos Sistemas Elctricos LaimpedanciacomplejaeselcocienteentreE(s)(Voltaje)(LatransformadadeLaplacedel voltaje a travs de sus terminales) e I(s) (Corriente) (La transformada de Laplace de la corriente a travs del elemento) Z = E(s)/I(s) RC EoLEiUniversidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 22 =EiEo ) ( ) () (2 12s Z s Zs Z+ Donde Z1 = Ls + R y Z2 = 1/Cs =EiEo 112+ + RCs Cls Sistemas Trmicos Son aquellos que involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra Latemperaturasemantieneestableyqueelflujodecalordeentradaalsistema,cambia repentinamente de un cambio pequeo en el flujo de calor de entrada. La salida variara. Lafuncindetransferenciaquerelacionalatemperaturaenestadoestabledellquidoyelflujo de calor de entrada =) () (s His u 1 + RCsR Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 23 Donde: u = Temperatura en estado estable del lquido que entra H = Entrada de calor R = Resistencia trmicaC = Capacitancia trmica En la practica, si se aplica, la temperatura del liquido que entra puede fluctuar y actuar como una perturbacin de carga, en base a ello. =) () (s isuu 11+ RCs Sistema Mecnico Donde m = Masa k = constante del resorte b = coeficiente de friccin viscosa Se aplica la segunda Ley de Newton ma = F La funcin de transferencia, la relacin entre el desplazamiento de masa y el desplazamiento del carro =) () (s us y k bs msk bs+ ++2 Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 24 2.5 Grafica de Flujo de Seales Una grafica de flujo de seales es una representacin pictrica de las ecuaciones simultneas que describen un sistema. En esta se muestra la transmisin de seales por el sistema como se hace en el diagrama de bloque. Sin embargo, la grafica de flujo de seales es mas fcil de dibujar y de manejar que el diagrama de bloque. Nodo: Es la variable que existe en una grafica de flujo de seales Ej. X1. Rama:funcindetransmisin.Lasramassonsiempreunidireccionales.Laflechaindicala direccin del flujo de seales Ej. A21. Trayectoria:Esunasucesinunidireccionalderamasalolargodelacualningnnodosepasa mas de una vez. Ej. X1 a X2 a X3 a X4. Nodo de entrada o fuente: Es unnodo con ramas salientes solamente Ej. X1. Nodo de salida o absorcin: Es un nodo con ramas entrantes solamente Ej. X4. Trayectoria directa: Es una trayectoria que va desde el nodo de entrada hasta el nodo de salida Ej. X1 a X2 a X3 a X4. Trayectoriaderetroalimentacinlazoderetroalimentacin:Esunatrayectoriaqueseoriginay termina sobre el mismo nodo. Ej. Una trayectoria de retroalimentacin es la formada por X2 a X3 y luego a tras a X2 Lazo simple: Es un lazo de retroalimentacin que consiste en una sola rama. Ej. A33 es un lazo simple Gananciadeunarama:Eslafuncindetransmisindeesarama,cuandolafuncinde transmisinesunoperadormultiplicativo.Ej.A33eslagananciadelazosimplesiA33esuna constante o funcin de transferencia. Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 25 Gananciadeunatrayectoria:Eselproductodelasgananciasdelasramasqueseencuentranal atravesar una trayectoria. Ej. La ganancia de trayectoria de la trayectoria directa X1 a X2 a X3 a X4, es A21A32A43 Ganancia de lazo: Es el producto de las ganancias de las ramas del lazo. Ej. La ganancia de lazo del alzo de retroalimentacin que va desde X2 a X3 y atrs a X2 es A32A23 2.5.1 lgebra de las graficas del flujo de seales 1.- Regla de adicin. Elvalordelavariablequesedesignaporunnodoesigualalasumadetodaslassealesque llegan al nodo ==njAijXj Xi1 2.- Regla de transmisin. Elvalordelavariablequesedesignaporunnodo,setransmitesobrecadaramaquepartedel nodo Xi = AikXk i = 1,2,n,k fijo Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 26 3. Regla de multiplicacin Unaconexinencascada(enserie)den-1ramasconfuncionesdetransmisin A21,A32,A43,An(n-1)sepuedereemplazarporunasolarama,conunanuevafuncinde transmisin igualal producto de las anteriores 2.5.2 Construccin de graficas del flujo de seales Lagraficadelflujodesealesdeunsistemadecontrollinealporretroalimentacincuyos componentesseespecificanpormediodefuncionesdetransferenciaquenointerfierenentresi, se puede construir directamente refirindose al diagrama en bloque del sistema. Cada variable del diagrama en bloque viene a se un nodo y cada bloque viene a se una rama Formula general de la gananciaentre entrada y salida La razn de la variable de entrada a la variable de salida se puede designar por T. Para sistemas linealesdecontrolporretroalimentacinT=C/R.Paralagraficageneraldelflujodeseales presentadaT =Xn / X1, donde Xn es la salida y X1 es la entrada La formula general para cualquier grafica del flujo de seales es Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 27 AA= ii PiT Donde Pi = Es la ganancia de la i esima trayectoria directa Pjk = Cualquierj-esimo producto posible de las k ganancias de lazos que no se tocan =1(+k jPjk k 1) 1 ( =1(sumadetodaslagananciasporlazo)+(sumadetodoslos productos de ganancias de 2 lazos que no se tocan) (suma de todos los productos de ganancias de 3 lazos que no se tocan) + i = Valor de evaluado cuando se eliminan todos los lazos de Pi que se tocany tienen nodos comunes. = Es el determinante de la grafica del flujo de seales o funcin caracterstica Reduccin de diagramas en bloque usando graficas del flujo de seales y la formula general de la ganancia entre entrada y salida Amenudo,lamaneramsfcildedeterminarlarazndecontroldeundiagramaenbloque complicado,consisteenconvertireldiagramaenbloqueenunagraficadeflujodesealesy luego aplicar la ecuacin anterior. Los puntos de toma y los puntos de suma se deben separar por unaramadegananciadeunidadenlagraficadeflujodesealescuandoseusalaecuacin anterior Si se desean los elementos G y H de una representacin de retroalimentacin en forma cannica, laecuacinantesmencionadatambinpuedesuministrarestainformacin.Lafuncinde transferencia directa es i Pi GiA = La funcin de transferencia del lazo es GH = 1 Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 28 Ejemplo: Aplicando la ecuacin Trayectorias directas P1 = G1G2G3 Lazos de retroalimentacin P11 = G1G2H1 P21 = -G2G3H2 P31 = G1G2G3 = 1 (G1G2H1-G2G3H1+G1G2G3) 1 2 1 3 2 1 2 3 2 13 2 1) () (H G G G G G H G GG G Gs Rs CT += =Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 29 Unidad III Acciones Bsicas de Control y Sistemas Automticos de Control Introduccin Uncontroladorautomticocomparaelvalorrealdelasalidadeunaplantaconlaentradade referencia (valor deseado), determina la desviacin y produce una seal de control que reducir la desviacin a cero o a un valor pequeo. La manera en la cual el controlador automtico produce la seal de control se denomina accin de control. Muchoscontroladoresautomticosindustrialessonelectrnicos,hidrulicos,neumticoso alguna combinacin de estos. Clasificacin de los controladores industriales Los controladores industriales se clasifican de acuerdo a su accin de control: 1.De dos posiciones o de encendido y apagado (on/off) 2.Proporcionales 3.Integrales 4.Proporcionales integrales 5.Proporcionales derivativos6.Proporcionales integrales-derivativos Casitodosloscontroladoresindustrialesempleancomofuentedeenergaounfluido presurizado, tal como aceite o aire. Los controladores tambin pueden clasificarse de acuerdo con eltipodeenergaqueutilizanensuoperacin,comoneumticos,hidrulicosoelectrnicos.El tipodecontroladorqueseusedebedecidirseconbaseenlanaturalezadelaplantaylas condicionesoperacionales,incluyendoconsideracionestalescomoseguridad,costo, disponibilidad, confiabilidad, precisin, peso y tamao. Controlador automtico, actuador y sensor (elemento de medicin) Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 30 Lafiguraesundiagramadebloquesdeunsistemadecontrolindustrialqueconsisteenun controladorautomtico,unactuador,unaplantayunsensor(elementodemedicin).El controlador detecta la seal de error, que por lo general, esta en un nivel de potencia muy bajo, y laamplificaaunnivellosuficientementealto.Lasalidadeuncontroladorautomticose alimenta a aun actuador, tal como un motor o una vlvula neumticos, un motor hidrulico, o un motorelctrico(Elactuadoresundispositivode potenciaqueproducelaentradaparalaplanta deacuerdoconlasealdecontrol,afindequelasealdesalidaseaproximealasealde entrada de referencia). Elsensor,oelementodemedicin,esundispositivoqueconviertelavariabledesalidaenotra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presin o un voltaje, que puede usarse para compararlasalidaconlasealdeentradadereferencia.Esteelementoestaenlatrayectoriade realimentacin del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la seal de alimentacin del sensor o del elemento de medicin. Controladores auto operados En la mayor parte de los controladores automticos industriales, se usan unidades separadas para el elemento de medicin y el actuador. Sin embargo, como los controladores auto operados, estos se integran en una sola unidad. Los controladores auto operados utilizan la potencia desarrollada porelelementodemedicin,sonmuysencillosydebajovaloreconmico.Unejemplose muestra en la figura. El punto de ajuste lo determina la modificacin de la fuerza del resorte. El diafragmamidelapresincontrolada.Lasealdeerroreslafuerzanetaqueactasobreel diafragma. Su posicin determina la apertura de la vlvula. La operacin del controlador auto operado es la siguiente: Suponindose que la presinde salida es ms baja que la presin de referencia, determinada por el punto de ajuste. Por tanto, la fuerza detensinhaciaabajoesmayorquelafuerzadepresinhaciaarriba,locualproduceun movimiento hacia abajo del diafragma. Esto aumenta la velocidad de flujoy eleva la presin de salida.Cuandolafuerzadepresinhaciaarribaesigualalafuerzadetensinhaciaabajo,el vstagodelavlvulapermaneceestacionarioyeldeflujoesconstante.Porelcontrario,sila presindesalidaesmasaltaquelapresindereferencia,laaperturadelavlvulasehacemas pequeayreduceelflujoquepasaatravsdeella.Loscontroladoresautooperadosseutilizan mas en el control de presin del agua y del gas. Accin de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off) Enunsistemadecontroldedosposiciones,elelementodeactuacinsolotienedosposiciones fijas que son simplemente el estado de encendidoy de apagado. El control de dosposiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razn por la cual su uso esextendido en sistema de control tanto industriales como domsticos. Universidad Valle del Grijalva Teora de Control Pg. 31 Suponiendoquelasealdesalidadelcontroladoresu(t)yquelasealdeerrorese(t).Enel controldedosposiciones,lasealdesalidadelcontroladorpermaneceenunvaloryasea mximo o mnimo dependiendo de si la seal de error es positiva o negativa. De este modo, u (t) = U1, para e (t) >0 u (t) 0 U2, para e(t)