C R E A D O R E S :

E D G A R E . N A L A B A N B A C H I A N Q .

M A R I A N A S A N C H E Z P A R R A

E S T E F A N I A G I L L O P E Z

UNIVERSIDAD FERMÍN

TORO

VICE-RECTORADO

ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

DISEÑO DE SISTEMAS DE

CONTROL EN TIEMPO

DISCRETO

MATERIA:

TEORIA DE

CONTROL II

SECCION:

SAIA A

GRUPO

NUMERO 6

PROF:

BARBARA

VASQUEZ

OBJETIVOS DEL SISTEMA --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2

TRANSFORMACION --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

TRAMOS --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 Y 5

ANALISIS Y CONCLUSION --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6 Y 7

CRITERIO JURY --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8, 9 Y 10

CRITERIO ROUTH --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11 Y 12

RESPUESTA TRANSITORIA --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

ESPECIFICACIONES -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14

ERROR DEL ESTADO PERMANENTE --- - 15 Y 16

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES-- 17 Y 18

DIAGRAMA DE BODE -- - - - - - - - - - - - - - - - - - 19,20 Y 21

PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DEL PLANO

W --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -22 Y 23

CHISTES --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 24

HOROSCOPO --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 25 Y 26

ÍNDICE

OBJETIVO TERMINAL

EMPLEAR ALGUNOS MÉTODOS PARA EL DISEÑO

DE SISTEMAS DE CONTROL DISCRETO EN TIEMPO

EN UNA ENTRADA - UNA SALIDA. DETERMINAR LA

ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS EN TIEMPO

DISCRETO.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

REPRESENTAR LAS RELACIONES EXISTENTES

ENTRE EL PLANO S Y EL PLANO Z

ANALIZAR LA ESTABILIDAD DE SISTEMAS

DISCRETOS EN TIEMPO Y EN DOMINIO

ANALIZAR LA RESPUESTA EN TIEMPO DE UN

SISTEMA DE CONTROL DISCRETO EN TIEMPO

DISEÑAR USANDO EL MÉTODO DEL LUGAR DE LAS

RAÍCES

DISEÑAR USANDO EL MÉTODO DE RESPUESTAS EN

FRECUENCIA.

LOS OBJETIVOS

DE DICHO SISTEMA

2

EN EL DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL EN T IEMPO

CONTINUO, LA LOCALIZACIÓN DE LOS POLOS Y LOS CEROS EN EL

PLANO S ES DE SUMA IMPORTANCIA PARA PREDECIR EL

COMPORTAMIENTO DINÁMICO DEL S ISTEMA . DE IGUAL FORMA ,

EN EL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN T IEMPO DISCRETO,

ES MUY IMPORTANTE LA LOCALIZACIÓN DE LOS POLOS Y LOS

CEROS EN EL PLANO Z.

CUANDO EN EL PROCESO SE INCORPORA UN MUESTREO

POR IMPULSOS, LAS VARIABLES COMPLEJAS Z Y S QUEDAN

RELACIONADAS MEDIANTE LA ECUACIÓN: Z = E TS

LO CUAL SIGNIFICA QUE UN POLO EN EL PLANO S PUEDE

QUEDAR LOCALIZADO EN EL PLANO Z MEDIANTE LA

TRANSFORMACIÓN :

Z = E TS

COMO: S = S + JW

TENEMOS QUE: Z = E T( S + JW)

= E TS E JW

= E TS [COSW T + JSENW T]

DE ÉSTA ÚLT IMA ECUACIÓN VEMOS QUE LOS POLOS Y LOS CEROS

EN EL PLANO S , DONDE LA FRECUENCIA DIFIERE EN MÚLTIPLOS

ENTERO S DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO W S=2 P /T,

CORRESPONDEN A LAS MISMAS LOCALIZACIONES EN EL PLANO

Z. LO CUAL SIGNIFICA QUE POR CADA VALOR DE Z EXISTIRÁ UN

NÚMERO INFINITO DE VALORES DE S .

TRANSFORMACION

3

TRAMO 1,2 S =0 (VARÍA LA FRECUENCIA)

TRAMO 2,3 W=0 (VARÍA S )

TRAMO 3,4 S =0 (VARÍA LA FRECUENCIA)

TRAMO 4,5 W=0 (VARÍA S )

TRAMO 5,1 S =0 (VARÍA LA FRECUENCIA)

TRAMO 1,2 : S =0 0 £ W £ W S/2

Z= COSWT + JSENWT

Z = COSW(2P / WS) + JSENW(2P / WS)

CUANDO: W - - À 0 È Z = 1

W - - À WS/2 È Z=-1

TRAMO 2,3; W = WS/2 - ¥ < S < 0

Z = E T S [ -1] = - E T S

TRAMO 3,4: S À - ¥ ( - WS/2) < W (WS/2)

Z = 0

TRAMO 4,5: W=0 Y - ¥ < S < 0

Z = E T S

TRAMO 5,1: S = 0 ( - WS/2) < W (WS/2)

Z = COSW(2 P / WS) + JSENW(2 P / WS)

EN LA FRANJA PRIMARIA DEL PLANO S, SI TRAZAMOS LA SECUENCIA DE LOS PUNTOS: 1 -2-3-4-5-1 (COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA ANTERIOR), ENTONCES ESTA TRAYECTORIA CORRESPONDE AL CIRCUITO UNITARIO CON CENTRO EN EL ORIGEN DEL PLANO Z, SEGÚN LA CORRESPONDENCIA DE LOS NÚMEROS: 1 ,2,3,4 Y 5.

TRAMOS

4

El área encerrada por cualquiera de las franjas complementarias se transforman en el mismo círculo unitario en el plano z. Lo cual significa que la correspondencia entre el plano z y el plano s no es única.

Un punto en el plano z corresponde a un número infinito de puntos en el plano s, aunque un punto en el plano s corresponde a un solo punto del plano z.

La totalidad del semiplano izquierdo del plano s corresponde al interior del círculo unitario en el plano z, la totalidad el semiplano derecho del plano s corresponde la exterior del círculo unitario en el plano z.

El eje jw del plano s se transforma en el círculo unitario del plano z. Si la frecuencia de muestreo es por lo menos dos veces mayor que la componente de frecuencia más alta involucrada en el sistema, entonces cada uno de los puntos del círculo del plano z representa frecuencias entre - ws/2 y ws/2.

TRAMOS

5

ANALIZAREMOS LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE

CONTROL EN TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES

EN EL TIEMPO. LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE

CONTROL EN TIEMPO DISCRETO, PUEDE DETERMINARSE

POR LAS LOCALIZACIONES DE LOS POLOS EN LAZO

CERRADO EN EL PLANO Z, O POR LAS RAÍCES DE LA

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA:

C(Z) = G(Z)

R(Z) 1+GH(Z)

SEGÚN:

1 . PARA QUE EL SISTEMA SEA ESTABLE, LOS POLOS EN

LAZO CERRADO O LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN

CARACTERÍSTICA DEBEN PRESENTARSE EN EL PLANOZ

DENTRO DEL CÍRCULO UNITARIO. CUALQUIER POLO EN

LAZO CERRADO EXTERIOR AL CÍRCULO UNITARIO HACE

INESTABLE AL SISTEMA.

2. SI UN POLO SIMPLE SE PRESENTA ENZ = 1 , EL SISTEMA

SE PRESENTA CRÍTICAMENTE ESTABLE. TAMBIÉN SI UN

SOLO PAR DE POLOS COMPLEJOS SE PRESENTAN SOBRE

EL CÍRCULO UNITARIO SERÁ CRÍTICAMENTE ESTABLE.

3. LOS CEROS EN LAZO CERRADO NO AFECTAN LA

ESTABILIDAD ABSOLUTA Y POR LO TANTO PUEDEN

QUEDAR LOCALIZADOS EN CUALQUIER PARTE DEL PLANO

Z.

ANALISIS

6

PODEMOS DECIR QUE ESTE ES UN SISTEMA

DE CONTROL EN LAZO CERRADO EN TIEMPO

DISCRETO LINEAL E INVARIANTE EN EL

TIEMPO SE VUELVE INESTABLE SI PRESENTA

UN POLO FUERA DEL CÍRCULO UNITARIO O

POLO MÚLTIPLE SOBRE EL CÍRCULO UNITARIO

DEL PLANO Z.

CONCLUIMOS LO ANTERIOR

7

El criterio de Jury permite determinar cuántas

raíces tiene un polinomio en el interior del

círculo unitario. Cumple, para el caso discreto,

un papel análogo al que cumple el criterio de

Routh-Hurwitz en el caso continuo.

Construcción del arreglo de Jury Dado un polinomio

P(z)

en donde αI los coeficientes son reales y αn es

positivo, es posible construir el Arreglo de Jury

de p(z) a partir de los coeficientes que

aparecen

CRITERIO DE JURY

8

Para continuar con lo anterior, inicialmente

se construye el arreglo que se muestra

la primera línea contiene los coeficientes de

p(z) en orden, desde αD hasta αn , y en la

segunda línea en orden inverso. En general,

cada línea par contiene los mismos

coeficientes que la línea inmediatamente

anterior pero en el orden inverso.

CONSTRUCCION DEL ARREGLO

DE JURY

9

ES DECIR, EL PRIMER ELEMENTO DE UNA FILA

IMPAR SE CALCULA COMO EL DETERMINATE DE LA

MATRIZ CONSTRUIDA TOMANDO DE LAS DOS LÍNEAS

INMEDIATAMENTE ANTERIORES LA PRIMERA Y LA

ÚLTIMA COLUMNA; EL SEGUNDO ELEMENTO DE

FORMA SIMILAR PERO CON LA PRIMERA Y LA

PENÚLTIMA COLUMNAS; EL TERCERO CON LA

PRIMERA Y LA ANTEPENÚLTIMA, Y ASI

SUCESIVAMENTE. DADO QUE EL ÚLTIMO ELEMENTO

SERÍA EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ FORMADA

CON DOS COLUMNAS IGUALES (LA PRIMERA DOS

VECES), ESTE VALOR SERÁ SIEMPRE CERO, Y POR

TANTO NO SE ESCRIBE EN EL ARREGLO (SE HA

ELIMINADO).

LOS ELEMENTOS DE LAS

LÍNEAS IMPARES SE

CONSTRUYEN ASI:

10

OTRO METODO MUY UTILIZADO EN EL ANÁLISIS

DE LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO ES EL USO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL JUNTO CON EL CRITERIO DE ROUTH HURWITZ.

PARA DETERMINAR LA ESTABILIDAD:

ESTE MÉTODO REQUIERE LA TRANSFORMACIÓN DEL PLANO COMPLEJO Z AL PLANO COMPLEJO W.

LA CANTIDAD DE CÁLCULOS REQUERIDA ES MAYOR QUE EN EL CRITERIO DE JURY.

LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA LINEAL DISCRETO EN EL TIEMPO, EXPRESADA EN EL DOMINIO DE Z TAMBIÉN PUEDE DETERMINARSE UTILIZANDO LOS MÉTODOS DEL PLANO S COMO EL CRITERIO DE ROUTH HURWITZ, PARA ESTO SEGUIREMOS UN PROCEDIMIENTO ADECUADO QUE PERMITA TRANSFORMAR PASO A PASO DEL PLANO Z AL PLANO W Y LUEGO PODER APLICAR EL CRITERIO DE ROUTH.

CRITERIO

DE ROUTH

11

G(S) =

Esto nos da como resultado en la primera

columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, con lo que por

haber dos cambios de signo, el sistema es

inestable por poseer dos elementos ( -2,57 y

3) con cambio de signo.

EJEMPLO

12

LA ESTABILIDAD ABSOLUTA ES UN REQUISITO

BÁSICO DE TODOS LOS SISTEMAS DE CONTROL. EN

CUALQUIER SISTEMA DE CONTROL SE REQUIERE

TAMBIÉN DE UNA BUENA ESTABILIDAD RELATIVA Y

PRECISIÓN EN ESTADO PERMANENTE, YA SEA EN

TIEMPO CONTINUO O EN TIEMPO DISCRETO.

LA RESPUESTA TRANSITORIA CORRESPONDE A LA

PARTE DE LA RESPUESTA DEBIDA A LOS POLOS DEL

SISTEMA EN LAZO CERRADO Y LA RESPUESTA EN

ESTADO PERMANENTE CORRESPONDE A LA PARTE

DE LA RESPUESTA DEBIDA A LOS POLOS DE LA

FUNCIÓN DE ENTRADA O EXCITACIÓN.

LOS SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

SON ANALIZADOS MEDIANTE ENTRADAS

“ESTÁNDAR”, COMO SON ENTRADA ESCALÓN,

RAMPA O SENOIDALES, ESTO SE DEBE A QUE LA

RESPUESTA DEL SISTEMA A UNA ENTRADA

ARBITRARIA PUEDE SER ESTIMADA A PARTIR DE SU

RESPUESTA CORRESPONDIENTE A DICHAS

ENTRADAS ESTÁNDAR.

RESPUESTA TRANSITORIA

13

EN LA ESPEIFICACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

DE DIST INTAS CARACTERÍSTICAS ES COMÚN ESPECIFICAR LAS

SIGUIENTES CANTIDADES:

TIEMPO DE RETARDO (TD) : ES EL T IEMPO REQUERIDO PARA

QUE LA RESPUESTA LLEGUE A LA MITAD DEL VALOR FINAL LA

PRIMERA VEZ.

TIEMPO DE CRECIMIENTO (TR) : ES EL T IEMPO QUE REQUIERE

LA RESPUESTA PARA PASAR DE 10% HASTA 90%, DE 5% A

95% O DE 0% A 100% DE SU VALOR FINAL, SEGÚN LA

SITUACIÓN.

TIEMPO PICO (TP) : ES EL T IEMPO REQUERIDO PARA QUE LA

RESPUESTA LLEGUE AL PRIMER PICO DEL SOBRE IMPULSO.

SOBRE IMPULSO MÁXIMO (MP) : ES EL VALOR MÁXIMO DE LA

CURVA DE RESPUESTA MEDIDO A PARTIR DE LA UNIDAD. SI EL

VALOR FINAL EN ESTADO PERMANENTE DIFIERE DE LA

UNIDAD, ENTONCES ES COMÚN UTIL IZAR EL SOBREPASO

PORCENTUAL MÁXIMO. QUEDA DEFINIDO POR LA RELACIÓN:

SOBRE IMPULSO MÁXIMO EN PORCENTAJE = C( TP ) – C (∞ ) X

100%

C(∞ )

LA CANTIDAD DE SOBRE IMPULSO MÁXIMO (EN PORCENTAJE)

INDICA EN FORMA DIRECTA LA ESTABILIDAD RELATIVA DEL

S ISTEMA .

TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (TS) : ES EL T IEMPO REQUERIDO

PARA QUE UNA CURVA DE RESPUESTA LLEGUE Y SE QUEDE

DENTRO DE UN RANGO ALREDEDOR DEL VALOR FINAL DE UN

TAMAÑO ESPECIFICADO, EN FUNCIÓN DE UN PORCENTAJE

ABSOLUTO DEL VALOR FINAL, POR LO GENERAL ES DE 2%.

ESPECIFICACIONES

14

Una característ ica importante asociada con la respuesta transitoria es el error en estado permanente. El desempeño en estado permanente de un sistema de control estable se juzga en general por el error en estado permanente debido a las entradas escalón, rampa y de aceleración.

Existen t ipo de error en Estado permanente atribuidas a causas como imperfecciones en los componentes del sistema, fr icción estática, zonas muertas o el deterioro o edad de los componentes.

En forma inherente cualquier sistema físico de control sufre de error en estado permanante en respuesta a cier tos t ipos de entradas.

Consideremos la función de transferencia de lazo abier to:

G(s)H(S) = K(Tas + 1)(Tbs+1). . . . . . . . . . . . (T ms+1)

SN (T1s+1)(T2s+1). . . . . . . . . . . (T ps+1)

El término sN en el denominador representa un polo de multipl icidad N en el origen. Es costumbre clasificar el sistema de acuerdo al número de integradores en la Función Transferencia en lazo abier to.

Se dice que un sistema es de t ipo 0, t ipo 1 , t ipo 2, . . . . . , s i N=0,N=1,N=2, rerspect ivamente.

ERROR DEL ESTADO

PERMANENTE

15

Los sistemas de control en tiempo discreto pueden clasificarse según el número de polos en lazo abierto en z=1.

El significado de las constantes de error estático para sistemas de control en tiempo discreto es el mismo que para los sistemas de control en tiempo continuo, excepto que el primero solo transmite información en los instantes de muestreo.

Las constanstes se estudias aplicando a la función que define el error el Teorema de muestreo, de esta forma determinamos:

1. La Constante de Error de Posición Estática ( Ka) que genera la respuesta a una entrada escalón.

2.La Constante de Error de Velocidad Estática (Kv) que genera la respuesta a una entrada rampa unitaria.

3. La Constante de Error de Acelaeración Estática (Ka) que genera la respuesta a una entrada de acelaración unitaria.

CLASIFICACION

16

El método de lugar geométrico de las raíces desarrollado para sistemas en t iempo continuo puede ser extendido sin modificaciones a t iempo discreto, excepto por que el l ímite de estabil idad queda modificado del eje jw a el plano s al círculo unitario en el plano z. Esto se debe a que la ecuación característica correspondiente al sistema en t iempo discreto t iene la forma que la del sistema de t iempo continuo.

La estabil idad relativa del sistema de control en t iempo discreto es investigada con el circulo unitario en el plano z. Por ejemplo, si los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y ocurren dentro del circulo unitario, la respuesta escalón unitario será osci latoria.

El método del lugar geométrico de las raíces es úti l para determinar los efectos de la ganancia del sistema o del periodo de muestreo del sistema sobre la estabil idad absoluta y relativa del sistema de lazo cerrado.

Para real izar el dibujo y la real ización del Lugar Geométrico de las Raíces existen unas condiciones que se deben cumplir unas las reglas generales que se deben seguir para l levar a cabo la real ización del estudio.

LUGAR GEOMETRICO

DE LAS RAICES

17

GRAFICA

18

ES UNA REPRESENTACIÓN GRÁFICA QUE SIRVE PARA

CARACTERIZAR LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA. NORMALMENTE CONSTA DE DOS GRÁFICAS SEPARADAS, UNA QUE CORRESPONDE CON LA MAGNITUD DE DICHA FUNCIÓN Y OTRA QUE CORRESPONDE CON LA FASE. RECIBE SU NOMBRE DEL CIENTÍFICO ESTADOUNIDENSE QUE LO DESARROLLÓ, HENDRIK WADE BODE.

ES UNA HERRAMIENTA MUY UTILIZADA EN EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ELECTRÓNICA, SIENDO FUNDAMENTAL PARA EL DISEÑO Y ANÁLISIS DE FILTROS Y AMPLIFICADORES.

EL DIAGRAMA DE MAGNITUD DE BODE DIBUJA EL MÓDULO DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (GANANCIA) EN DECIBELIOS EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA (O LA FRECUENCIA ANGULAR) EN ESCALA LOGARÍTMICA. SE SUELE EMPLEAR EN PROCESADO DE SEÑAL PARA MOSTRAR LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA LINEAL E INVARIANTE EN EL TIEMPO.

DIAGRAMA DE BODE

19

DIAGRAMA EN UN FILTRO

PASA BAJA

20

1. La asíntota de baja frecuencia de la curva

de magnitud indica una de las constantes de

error estáticas Kp, Kv y Ka.

2. Se pueden traducir las especificaciones de

la respuesta transitoria a las

correspondientes de la respuesta en

frecuencia en términos de margen de fase, el

margen de ganancia, el ancho de franja y así

sucesivamente.

3. El diseño de un compensador digital (o un

controlador digital) para satisfacer las

especificaciones dadas (en función del

margen de fase o del margen de ganancia)

puede llevarse a cabo en el Diagrama Bode

de una forma sencilla y simple.

VENTAJAS

21

1. Obtenga G(z) , la transformada z de la planta precedida por un retenedor. Transforme G(z) en una función de transferencia G(w) mediante la transformación bi l ineal dada por la ecuación:

Z = 1 + (T/2)w

1 – (T/2)w

2. Sustituya w=jv en G(w) y trace el diagrama de Bode para G(jv) .

3. Lea el diagrama de Bode las constantes de error estático, el margen de fase y el margen de ganancia.

4. Suponiendo la ganancia en baja frecuencia de la función de transferencia del controlador en t iempo discreto Gd(w) es la unidad, determine la ganancia del sistema al satisfacer el requisito para una constante de error estático. Determine los polos y los ceros de la función de transferencia del controlador digital .

5. Transforme la función de transferencia del controlador Gd(w) en Gd(z) mediante la transformación bi l ineal dada por la ecuación:

W = 2( z – 1)

T (z + 1)

PROCEDIMIENTO PARA EL

DISEÑO DEL PLANO W

22

Gd(z) = Gd(w) / w = (2/T)(z-1)/(z+1)

Siguiendo el procedimiento podemos observar:

1 . La función transferencia G(w) es una función

de transferencia de fase no mínima.

2. El eje de frecuencia en el plano w está

distorsionado. La relación entre la frecuencia

ficticia v y la frecuencia real w es :

V= (2/T)tang((wT)/2)

Si se define un ancho de franja wb,

necesitamos diseñar el sistema para un ancho

de franja vb, donde:

Vb = ((2/T)tang((wbT)/2)

ENTONCES:

23

CHISTES CORTOS

- ¿Bailamos? - Claro. ¿Pero quién saca a mi amiga? - Ahhh, por eso no te preocupes. ¡SEGURIDAAAAD!

- Mamá, ¿qué haces en frente de la computadora con los ojos cerrados? - Nada, hijo, es que Windows me dijo que cerrara las pestañas...

CHISTES

24

A R I ES : E L D Í A D E H O Y T R A E R Á

N U E V A E N E R G Í A E N T U C A M I N O . U N

C O L E G A O A M I G O T E S U G ER I R Á U N

N U E V O P R O C E D I M I EN T O O

E S T R A T E G I A D I S T I N T A . ¡ S I

E S C U C H AS L O Q U E T I E N E Q U E

D E C I R , D E S C U B R I R Á S Q U E

P O S I B L EM EN T E T E E S T Á

P R E S E N T A N D O U N A S O L U C I Ó N

M Á G I C A !

T A U R O : H O Y L A A L I N EA C I Ó N

C E L E S T I A L T E B E N D I C E C O N B U EN A

F O R T U N A Y S E N T I MI EN T O S D E

A R M O N Í A . A L G U N O S

C O R R E S P O N D ER Á N A Q U E

R E C I B I R Á S N O T I C I AS F E L I C ES . O

P U E D E Q U E P A S E S U N B U E N

M O M EN T O C O N T U A M O R S E C R E T O

Q U E T E L L E N AR Á E L C O R A Z Ó N C O N

T E R N U R A .

G E M I S I S : H O Y D E S C U B R I R ÁS U N

S E C R E T O O C U L T O . N O E X I S T E N A D A

Q U E T E G U S T E M Á S Q U E E L

M I S T E R I O , Y H O Y T E N D R Á S L A

O P O R T U N I D AD D E D E S C U B R I R U N O .

P U E D E S E R A L G O P E Q U E Ñ O , C O M O

D E S C U B R I R C U Á L E S L A M E L O D Í A

F A V O R I T A D E T U P A R E J A .

C A N C ER : H O Y S E N T I R ÁS G A N A S D E

C O N E C T A R T E C O N T U S A M I S T A D ES .

A V E C E S T R A B A J A S T A N T O Y T E

E S T A N C AS T A N T O E N L O S

P R O B L EM A S Q U E T E N I EG A S U N

P O C O L A V I D A S O C I A L . Á B R E T E A

L A E N E R G Í A P O S I T I V A Q U E L O S

D E M Á S D E S E A N B R I N D AR T E .

L E O : E S M U Y C O M Ú N Q U E T E H A Y A S

A C O S T U M B R AD O A O T R A S

D I M EN S IO N ES . C O N L A E N E R G Í A

C E L E S T I A L A C T U A L , R E C I B IR Á S

A L G U N A S P R E M O N I C I O N ES O

V I S I O N ES Q U E P A R E C E N P R O V E N I R

D E A R R I B A . E L T R U C O E S

R E A L M EN T E H A C E R L E H O N O R A L A S

R E V E L A C I O N ES Q U E R E C I B ES ,

A U N Q U E R E S U L T EN E F Í M E R AS .

V I R G O : H O Y L A C O N F I G U R A C I Ó N

C E L E S T I A L T E P O N D R Á E N H U M O R

D E F I E S T A , P O R L O T A N T O S I N O

H A S H E C H O P L A N ES P A R A L A

N O C H E , C O M I EN Z A A P E N S AR E N

A L G O A T R E V I D O Y D I V E R T I D O .

S E N T I R ÁS C O M O S I S A L I ER A S D E L

C A P A R A Z Ó N Y G R I T A R Á S A T O D O

P U L M Ó N .

HOROSCOPO

25

L I B R A : H O Y T E N D R Á S U N H U M O R

M U Y R O M Á N T I C O . E S I M P O R T AN T E

Q U E E N C U EN T R E S U N A A M I S T A D

V E R D A D E R A E N T U P A R E J A . D E S E A S

Q U E R E S P E T E L A S M E T A S D E T U

V I D A Y E L R U M B O Q U E H A S

E L E G I D O P A R A T U C A R R E R A .

E S C O R P I O : L A E N E R G Í A A S T R A L

D E L D Í A T E H A R Á S E N T I R

N E R V I O S IS MO E I N Q U I ET U D .

D E M Á S , T E N D R Á S S E N S IB IL I D A D

H A C I A L A E N E R G Í A D E O T R A S

P E R S O N A S P O R Q U E E S T A R Á S C O N

U N H U M O R H I P ER S EN S IB L E .

S A G I T A R I O : E L D Í A D E H O Y T E

A U G U R AR Á C A M B I O S I N E S P E R AD O S

P E R O P O S I T I V O S E N T U V I D A

P E R S O N A L . L O S M I EM B R O S

F A M I L I AR ES D E S C U B R I R Á N N U E V O S

C A M I N O S Q U E D E S E A N S E G U I R . U N A

O P O R T U N I D AD R E P E N T I N A P A R A

A V A N Z A R N E C E S I T A R Á U N

M O V I M IEN T O , P E R O N O P E R M I T AS

Q U E L A R E S I S T EN C I A A L C A M B I O S E

I N T E R P O N G A E N T U C A M I N O .

C A P R I C O R N I O : U N A S E N S A C I Ó N

I N C R EM EN T A D A D E U N I D A D E N T R E

T U S A M I S T A D ES M Á S Í N T I MAS Y

E N T R E C U A L Q U I ER G R U P O A L Q U E

T E N G A S A F I L I AC I Ó N A U M E N T A R Á T U

S E N S A C I Ó N D E E M O C I Ó N Y

E N T U S IA S MO P A R A E L F U T U R O . L A S

R E L A C I O N ES C O N E L S E X O O P U E S T O

T E S E R Á N E S P E C I A L M EN T E

B E N EF I C I O S AS .

A C U A R I O : P R O P O N T E E L C O M E N Z AR

U N A R U T I N A D E M E D I T A C I Ó N O

A L G Ú N T I P O D E Y O G A . P U E D E S

C O N S I D E R AR C O M P R A R A L G Ú N

O B J E T O A D I V I N A D O R O U N M A Z O D E

C A R T A S D E T A R O T . T I E N ES U N A

C O N E X I Ó N M U Y F U E R T E C O N L O

O C U L T O .

P I S C I S : H O Y , L A S C O S A S N O

S A L D R Á N C O M O T E E S P E R AB A S ,

P E R O S I T E R E L A J A S T O D O S E

R E S O L V ER Á . L A E N E R G Í A S O C I AL

T R A E R Á A L G U N AS S O R P R E S A S Q U E

N O S E R Á N D E S A G R A D A B L ES . L O

Q U E S Í , T E N D R Á S U N A D I S C U S IÓ N

D E S A G R A D AB L E C O N U N F A M I L I A R

O A M I G O Q U E T E H A R Á A B R I R L O S

O J O S A A L G Ú N S E C R E T O Q U E S E T E

H A E S C O N D I D O .

HOROSCOPO

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