teoria de control electronico

7/16/2019 Teoria de Control Electronico

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Presentacin 7

Presentacin

El presente libro pretende formar al ingeniero en el campo de la ingeniera de control; con estafinalidad, se presentan los conceptos bsicos de la teora de control aplicables a sistemas analgicos ydiscretos, unificando ambos dominios desde un mismo punto de vista. El libro aade una serie deejemplos y problemas resueltos en cada captulo que capacitan al lector para realizar el anlisis ydiseo de diversos sistemas de control. Por este motivo, la presente obra sirve tanto para la formacindel estudiante de ingeniera como de soporte y apoyo al profesional de la industria.

Para el desarrollo de la obra, se aprovecha la experiencia docente adquirida por los autores durante losltimos cinco aos en las asignaturas anuales de Servotecnia y Servosistemas, en la especialidades deIngeniera Tcnica de Telecomunicaciones e Industrial, respectivamente, de la Escuela UniversitariaPolitcnica de Vilanova i la Geltr. Se ha tenido en cuenta, adems, que la obra tiene plena aplicacinen las nuevas titulaciones que se estn implantando al respecto con los nuevos planes de estudio.

El objetivo fundamental de la obra ha sido dar un enfoque a la teora de control para que sutratamiento no sea una ciencia aislada, sino que incorpore un enlace con las tcnicas ms actuales,tales como la instrumentacin y el control industrial, introduciendo para ello tanto las nuevasherramientas de programacin grfica, que constituyen lo que se ha venido a denominarinstrumentacin virtual, como los sistemas de control ms habituales en el entorno industrial, comoson los microcontroladores, microprocesadores y autmatas programables (PLCs).

Con el fin de alcanzar correctamente el anterior objetivo, esta obra se compone de seis captulos quese describen a continuacin :

En el primer captulo se realiza un enfoque general de los sistemas de control de tiempo continuo ydiscreto, introduciendo el modelado de los mismos para facilitar su comprensin y anlisis.

El segundo captulo ampla la base de conocimientos sobre los sistemas de control de tiempocontinuo y discreto, centrndose en las tcnicas de anlisis en el dominio del tiempo, por lo queeste captulo constituye un factor clave en la realizacin del diseo.

En el tercer captulo se llevan a la prctica el conjunto de conocimientos adquiridos en los

captulos anteriores, exponiendo con claridad el diseo de los sistemas de control mscaractersticos en el dominio temporal.

En el cuarto captulo se introduce la metodologa clsica de anlisis de sistemas de control en eldominio frecuencial, exponiendo en el quinto captulo la metodologa de diseo pertinente paraestos sistemas, as como realizando los ejemplos y problemas ilustrativos.

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas enleyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin deejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distribucin y venta fuera del mbito de la UninEuropea.


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Teora de control. Diseo electrnico8

El captulo sexto es el tema con mayor enfoque prctico, donde se aplica de forma emprica lamayor parte de los conceptos explicados en los captulos anteriores, incluyendo la implementacinprctica de los diseos realizados, empleando para ello los circuitos electrnicos necesarios, yconsiderando las tcnicas ms recientes de instrumentacin virtual.

Conceptualmente, esta obra cumple los objetivos planteados en su inicio, por lo que representa unnuevo modo de enfrentarse con las tcnicas clsicas de diseo de sistemas de control, contribuyendo auna exposicin clara y concisa de los conceptos tericos y teniendo la capacidad de ofrecer distintasvisiones de las metodologas clsicas de diseo ms conocidas.

La razn y motivo principal que han condicionado el desarrollo y consecucin de este libro ha sido lavoluntad de ofrecer una visin amplia y global de las tcnicas de control y facilitar al lector de estaobra la comprensin de las ideas y conceptos ms importantes. Nuestro ms profundo deseo es queesta obra le sea til como instrumento de soporte y consulta.

Los autores

Vilanova i la Geltr, Marzo de 1997

Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.


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ndice 9

ndice

1.Introduccin a los sistemas de control

1.1 Tipos de seales y sistemas ................................................... ..................................................... 16

1.2 Sistemas combinacionales y secuenciales...................................................................................17

1.3 Sistemas de control dinmico. Sistemas en lazo abierto y sistemas en lazo cerrado ..................171.3.1 Sistemas en lazo abierto ..................................................... ................................................. 171.3.2 Sistemas en lazo cerrado .......................................................... ........................................... 18

1.4 Caracterizacin de un sistema lineal invariante en el tiempo .....................................................191.4.1 Modelo de un sistema..........................................................................................................191.4.2 Clasificacin de sistemas.....................................................................................................191.4.3 Funcin de transferencia......................................................................................................20

1.5 Caractersticas de un sistema de control de tiempo continuo ..................................................... 221.5.1 Topologa en lazo abierto....................................................................................................22

1.5.2 Topologa en lazo cerrado...................................................................................................23

1.6 Diagrama de bloques..................................................................................................................25

1.7 Sistemas de control en tiempo discreto.......................................................................................30

1.8 Muestreo y reconstruccin..........................................................................................................31

1.9 Teorema del muestreo ....................................................... ......................................................... 35

1.10La transformada Z ....................................................... ......................................................... ....37

1.11Respuesta temporal de un sistema lineal invariante analgico frente a una entrada muestreada...................................................................................................................................................39

1.12Funciones de transferencia de pulsos........................................................................................42

1.13Problemas.................................................................................................................................46



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1.14Tabla de transformadas.............................................................................................................49

2.Anlisis temporal de sistemas continuos y discretos

2.1 Respuesta temporal.....................................................................................................................512.1.1 Sistemas de primer orden ....................................................... ............................................. 522.1.2 Sistemas de segundo orden..................................................................................................53

2.2 Especificaciones de respuesta transitoria....................................................................................552.2.1 Particularizacin para sistemas de segundo orden subamortiguados...................................562.2.2 Sistemas de orden superior..................................................................................................61

2.3 Respuesta transitoria de sistemas discretos.................................................................................622.3.1 Sistema de control discreto en lazo cerrado. .................................................... ...................622.3.2 Correlacin entre el plano S y el plano Z. ...................................................... .....................65

2.4 Estabilidad absoluta de sistemas lineales....................................................................................672.4.1 Estabilidad en sistemas de tiempo continuo ........................................................... .............672.4.2 Estabilidad en sistemas de tiempo discreto..........................................................................73

2.5 Anlisis en rgimen estacionario. ...................................................... .........................................76

2.6 El lugar geomtrico de las races (L.G.R.). ..................................................... ........................... 822.6.1 Reglas de construccin del L.G.R. ........................................................ .............................. 832.6.2 Evaluacin de Ceros en lazo cerrado...................................................................................982.6.3 Aspectos importantes de construccin del L.G.R................................................................992.6.4 L.G.R. en sistemas discretos..............................................................................................105

2.7 Problemas.................................................................................................................................108

3.Diseo de sistemas de control de tiempo continuo y discreto

3.1 Tipos de controladores ................................................... ...................................................... ....129

3.2 Control proporcional ......................................................... .................................................. .....130

3.3 Control proporcional integral ..................................................... ............................................. .1353.3.1 Accin de control integral ........................................................... ...................................... 135

3.3.2 Accin de control proporcional integral............................................................................136

3.4 Control proporcional derivativo .................................................... ........................................... 1393.4.1 Accin de control derivativa ........................................................ ..................................... 1393.4.2 Accin de control proporcional derivativa ................................................... .....................140



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ndice 11

3.5 Control proporcional integral derivativo .......................................................... ........................152

3.6 Estructuras controladoras cero-polo y polo-cero......................................................................161

3.7 Discretizacin de sistemas de tiempo continuo ............................................................ ............162

3.8 Realizacin discreta de controladores temporales....................................................................1713.8.1 Accin proporcional..........................................................................................................1713.8.2 Accin derivativa ................................................... ........................................................... 1713.8.3 Accin integral ...................................................... ............................................................ 1723.8.4 Diagrama de bloques del control discreto ......................................................... ................173

3.9 Control PI discreto ................................................... ............................................................. ...173

3.10Control PD discreto................................................................................................................176

3.11Control PID discreto...............................................................................................................176

3.12Problemas...............................................................................................................................183

4.Anlisis frecuencial de sistemas de control

4.1 Respuesta frecuencial de sistemas de tiempo continuo.............................................................2334.1.1 Formas de representacin de la respuesta frecuencial ....................................................... 235

4.2 Criterio de estabilidad de Nyquist ...................................................... ...................................... 2374.2.1 Teoremas de la transformacin conforme y de la representacin......................................237

4.2.2 Recorrido de Nyquist.........................................................................................................2384.2.3 Criterio de estabilidad de Nyquist ........................................................ ............................. 2404.2.4 Casos tpicos en el criterio de estabilidad de Nyquist .......................................................2404.2.5 Existencia de singularidades en lazo abierto sobre el eje imaginario ................................241

4.3 Cuantificacin de la estabilidad relativa. Margen de fase (MF) y margen de ganancia (MG)..245

4.4 Respuesta frecuencial de sistemas de tiempo discreto..............................................................2544.4.1 Caractersticas de la respuesta frecuencial.........................................................................256

4.5 Problemas.................................................................................................................................260



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5.Diseo de sistemas de control en el dominio frecuencial

5.1 Introduccin ......................................................... .......................................................... ..........289

5.2 Compensacin serie y compensacin paralelo..........................................................................290

5.3 Relacin respuesta frecuencial-caractersticas temporales ....................................................... 2915.3.1 Ganancia normalizada en Bode y error en rgimen estacionario.......................................2915.3.2 Margen de fase y mximo sobreimpulso ........................................................ ...................2935.3.3 Margen de ganancia y mximo incremento de ganancia permisible.................................. 2955.3.4 Frecuencia de transicin y rapidez en la respuesta temporal. ............................................ 295

5.4 Compensador proporcional (P).................................................................................................296

5.5 Compensador proporcional-integral (PI)..................................................................................298

5.6 Compensador proporcional-derivativo (PD) .................................................... ........................305

5.7 Compensador proporcional-integral-derivativo (PID)..............................................................308

5.8 Compensacin en adelanto de fase...........................................................................................312

5.9 Compensacin en retraso de fase..............................................................................................318

5.10Aplicacin discreta de compensadores frecuenciales ............................................................ .323

5.11Problemas...............................................................................................................................327

6.Realizacin electrnica de sistemas de control

6.1 Circuitos analgicos ....................................................... .......................................................... 3536.1.1 Introduccin ............................................................ ........................................................ ..3536.1.2 El amplificador operacional ........................................................... ................................... 3536.1.3 Circuitos bsicos con amplificadores operacionales..........................................................3556.1.4 Sistemas de control con amplificadores operacionales......................................................3606.1.5 Aplicaciones no lineales de los amplificadores operacionales .......................................... 365

6.2 Realizacin del control discreto mediante microprocesador o microcontrolador.....................366

6.3 Autmatas programables. ..................................................... .................................................... 3726.3.1 Evolucin de los autmatas programables.........................................................................3736.3.2 Funcionamiento del autmata............................................................................................3746.3.3 Lenguajes de programacin...............................................................................................3776.3.4 Tipos de instrucciones.......................................................................................................378



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ndice 13

6.4 Sistemas de instrumentacin y control basados en ordenador.................................................. 3796.4.1 Sistemas de control............................................................................................................3806.4.2 Software de instrumentacin .......................................................... ................................... 3816.4.3 Ejemplo de aplicacin .......................................................... ............................................. 383

7.Bibliografa ................................................................................................................................387



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Bibliografa. 387

Bibliografa.

A- Bibliografa general o de consulta.

Kuo, B. C., Sistemas de Control Automtico. Prentice Hall. Septima Edicin, 1996.

Ogata, K., Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Prentice Hall. Segunda Edicin, 1996.

Ogata, K.,Modern Control Engineering. Prentice Hall. Prentice Hall. Tercera Edicin, 1996.

Dorf, C., Bishop, H.,Modern Control Systems. Addison-Wesley. Sptima Edicin, 1995.

Van de Vegte, John., Feedback Control Systems. Prentice Hall. Tercera Edicin, 1994.

Franklin, G. F., Control de sistemas dinmicos con retroalimentacin. Addison Wesley. 1991.

Kuo, B. C.,Digital Control Systems. Saunders College Publishing. Segunda Edicin, 1992.

Phillips, C. L., Nagle, H.T., Digital Control Systems. Analisis and Design. Prentice Hall. TerceraEdicin, 1995.

Nise, N. S., Control Systems Engineering. The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc.Segunda Edicin, 1995.

Phillips, C. L., Harbor, R.D., Feedback Control Systems. Prentice Hall. Tercera Edicin, 1996.

DAzzo, J., Houpis, H., Sistemas Lineales de Control. Anlisis y Diseo. Paraninfo. 1992.

Min, J. L.,Designing analog and digital control systems. Ellis Horwood.1988.

Martins de Carvalho, J. L.,Dinamical systems and automatic control. Prentice Hall. 1993.

Hostetter, G. H., Savant, C. J., Stefani, R. T., Sistemas de control. Mc. Graw Hill. 1992.



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Milsant, F., Servosistemas Lineales. Editores Tcnicos Asociados. 1972.

Biernson, G., Principles of Feedback Control. Wiley Interscience. 1988.

Bateson, R. N., Introduction to Control System Technology. Prentice Hall. Quinta Edicin, 1996.

Lewis, P. H., Yang, Ch., Basic Control Systems Engineering. Prentice Hall. 1997.

Paraskevopoulos, P. N., Digital Control Systems. Prentice Hall. 1996.

Rugh, W. J., Linear Systems Theory. Prentice Hall. Segunda Edicin, 1996.

Gajic, Z., Lelic, M., Modern Control Systems Engineering. Prentice Hall. 1996.

Brogan, W. L.Modern Control Theory. Prentice Hall. 1991.

B- Bibliografa sobre sistemas automticos en tiempo real.

Bennet, S.,Real-Time Computer Control. An Introduction. Prentice Hall. Segunda Edicin, 1994.

Olsson, G., Piani, G., Computer Systems for Automation and Control. Prentice Hall. 1992.

Astron, K. J., Wittenmark, B., Computer-Controlled Systems. Theory and Design. Prentice Hall.

Tercera Edicin, 1997.

Tien Lang, T., Computerized Instrumentation. Wiley and Sons. 1991.

Creus, A., Simulacin y control de procesos por ordenador. Marcombo. 1987.

Williamson, D.,Digital Control and Implementation. Prentice Hall. 1991.

Balcells, J., Romeral, J. L. Autmatas Programables. Marcombo. 1992.

Bryan, L. A., Bryan, E. A. Programable Controllers. Theory and implementation. Industrial Text.Segunda Edicin. 1997.

Clements-Jewery, K., Jeffcoat, W., The PLC Workbook. Prentice Hall. 1996.

Nekoogar, F., Digital Control using DSP. Prentice Hall. 1997.



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Bibliografa. 389

Warnock, I. G., Programable Controllers. Operation and Application. Prentice Hall. 1989.

Berger. Automatizacin con S5-115U.

Manual de sistemas. Autmata programable S5-90U/S5-95U. N de referencia 6ES5-998-8MA41.Edicin 03.

Mayol y Badia, Albert.Autmatas programables. Marcombo.

Mandado, E, Marcos, J., Perez, S.A.. Controladores lgicos y autmatas programables.Marcombo. 1992.

Martinez, Victoriano A..Automatizar con autmatas programables. RA-NA.

Porras, A., Montanero, A.P.. Autmatas programables. Mac Graw Hill.

Warnack, Ian G.. Programmable Controllers. Prentice Hall.

Downton. Computadores y microprocesadores.Addison-Wesley. 1993.

Peterson, Hill. Sistemas digitales, organizacin y diseo de hardware. Limusa. 1993.

Shultz, Thomas W.. C and the 8051. Programing and Multitasking. Prentice Hall. 1993.

Pollard, L. Howard. Computer Design and Architecture. Prentice Hall. 1990.

C- Bibliografa sobre instrumentacin y control.

Mnuel, A., Snchez, F. J., Prat, J., Biel, D., Oliv, J. Instrumentaci Virtual. Adquisici,processament i anlisi de senyals. Edicions UPC. 1997.

Johnson, C. D., Process Control Instrumentation Technology. Prentice Hall. Quinta Edicin, 1996.

Considine, D. M., Process/Industrial Instruments and Control Handbook. Mc. Graw Hill. CuartaEdicin, 1993.

Natchtigal, Ch. L.,Instrumentation and Control. Fundamentals and applications. John Wiley andSons. 1990.

Webster, Tompkins.Interface sensors to the IMB-PC. Prentice-Hall. 1988



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D- Bibliografa sobre simulacin de sistemas de control.

Ogata, K., Solving Control Engineering Problems with MATLAB. Prentice Hall. 1994.

Ogata, K., Designing Linear Control Systems with MATLAB. Prentice Hall. Segunda Edicin,1995.

Carvallo, A., Setola, R., Vasca, F., Practical Guide to MATLAB, Simulink and Control Toolbox.Prentice Hall. 1996.

Moscinski, J., Ogonowski, J. Advanced Control with MATLAB and SIMULINK. Prentice Hall.1995.

Matlab, Control SystemToolbox. 1990.



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1. Introduccin a los sistemas de control 15

1. Introduccin a los sistemas de control

Desde el punto de vista de la teora de control, un sistema o proceso est formado por un conjunto deelementos relacionados entre s que ofrecen seales de salida en funcin de seales o datos de entrada.

Es importante resaltar el hecho de que no es necesario conocer el funcionamiento interno, o cmoactan entre s los diversos elementos, para caracterizar el sistema. Para ello, slo se precisa conocer

la relacin que existe entre la entrada y la salida del proceso que realiza el mismo (principio de cajanegra). El aspecto ms importante de un sistema es el conocimiento de su dinmica, es decir, cmo secomporta la seal de salida frente a una variacin de la seal de entrada. Un conocimiento preciso dela relacin entrada/salida permite predecir la respuesta del sistema y seleccionar la accin de controladecuada para mejorarla. De esta manera, el diseador, conociendo cul es la dinmica deseada,ajustar la accin de control para conseguir el objetivo final.

En vista de todo lo expuesto, se puede definir un sistema de control como el conjunto de elementosque interactan para conseguir que la salida de un proceso se comporte tal y como se desea, medianteuna accin de control.

SISTEMA DE

CONTROL

Objetivos Resultados

Entradas o referencias Salidas o variables controladas

Planta (sistema o proceso que controlar)

Controlador

Actuadores

TransductoresDetector de Error

Fig. 1.1 Diagrama de un sistema de control

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en lasleyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplaresde ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distribucin y venta f uera del mbito de la Unin Europea.


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1.1Tipos de seales y sistemas

Consideraremos como seales las variaciones a lo largo del tiempo de las entradas o salidas de unsistema. Obviamente, estas seales pueden ser de distinta naturaleza, y por tanto sus unidades fsicas

pueden ser diversas. Segn cmo sea la variacin de estas seales, podemos clasificarlas dentro de dosgrandes grupos: seales analgicas y seales discretas.

- Seales analgicas: Son aquellas cuya variacin, tanto en amplitud como a lo largo del tiempo, escontinua. Es decir, pueden tomar cualquier valor real, en cualquier instante de tiempo.

A m plitud

Fig. 1.2 Seal analgica

- Seales discretas: Este tipo de seales no tiene una variacin continua como las anteriores, sino quesu evolucin se rige por un determinado conjunto finito de valores posibles. Segn dnde tome esteconjunto de valores, podremos distinguir entre seales discretas en amplitud o discretas en tiempo.

- Seales discretas en tiempo: Slo tienen valor en instantes de tiempo predeterminados. Yaunque su amplitud puede ser cualquier valor dentro del rango de los reales, el valor de la sealentre dos instantes de tiempo consecutivos no est definido.

Fig. 1.3 Seal discreta en tiempo

- Seales discretas en amplitud: En este caso, la seal toma valor en cualquier instante de tiempo,pero estos valores de amplitud pueden encontrarse entre los definidos en el conjuntopredeterminado.

Fig. 1.4 Seal discreta en amplitud



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- Seales discretas en amplitud y tiempo: Son una mezcla de los dos tipos anteriores, es decir, laseal slo podr tomar valores predeterminados en instantes de tiempo predeterminados.

Fig. 1.5 Seal discreta en amplitud y tiempo

1.2Sistemas combinacionales y secuenciales

Los sistemas combinacionales y secuenciales pueden clasificarse como sistemas de control basados en

instrucciones lgicas. Los datos de entrada y salida al sistema son binarios e indican que los sensorestienen dos estados o valores (por ejemplo: vlvula abierta o cerrada, un indicador activado o no, o uninterruptor pulsado o no). Las decisiones tomadas por el sistema de control son del tipo on/offy sebasan en las condiciones de los datos de entrada.

1.3Sistemas de control dinmico. Sistemas en lazo abierto y sistemas en lazo cerrado

Dependiendo del tratamiento que el sistema de control realiza con la seal de salida, puedendistinguirse dos topologas de control generales: sistemas en lazo abierto y sistemas en lazo cerrado.

1.3.1 Sistemas en lazo abierto

En este tipo de sistemas, la salida no tiene efecto alguno sobre la accin de control.

CONTROL

PLANTA

o

PROCESO

Entrada de

referencia

Seal de

Control

Variable

controlada

Fig. 1.6 Diagrama de bloques de un sistema en lazo abierto

En un sistema en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia, por ello cadaentrada corresponder a una operacin prefijada sobre la seal de salida. Se puede asegurar entoncesque la exactitud del sistema depende en gran manera de la calibracin del mismo y, por tanto, lapresencia de perturbaciones en la cadena (seales indeseadas) provocar que ste no cumpla la funcinasignada.



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Para poder considerar una topologa en lazo abierto, es necesario conocer la relacin entrada/salida ygarantizar la inexistencia de perturbaciones externas o de variaciones de los parmetros internos delsistema. Esto es, en general, difcil de cumplir en la prctica, y su realizacin implica sistemasexcesivamente caros.

Un ejemplo de este tipo de topologa se puede encontrar en el control de un cabezal de mquina deescribir electrnica. En este sistema, la entrada viene dada por el teclado; la seal generada por ste seprocesa y se genera la accin de control, que provocar, como salida, la rotacin del cabezal a laposicin adecuada y la impresin de la letra deseada.

Teclado MicroprocesadorAmplificadorde potencia Motor DC

Cabezal

Fig. 1.7 Diagrama de bloques del control de un cabezal de impresin

Como se puede suponer, una perturbacin de origen externo puede falsear la seal en cualquier puntode la cadena y como resultado obtendremos una salida diferente de la deseada.

1.3.2 Sistemas en lazo cerrado

En los sistemas de control en lazo cerrado, la seal de salida tiene efecto sobre la accin de control. Aeste efecto se le denomina realimentacin.

DETECTOR

DE ERROR CONTROLPLANTA o

PROCESO

ELEMENTO

DE MEDIDA

Entrada de

referencia

Seal de

Error

Seal de

Control

Variable

Controlada

Fig. 1.8 Diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado

La seal controlada debe realimentarse y compararse con la entrada de referencia, tras lo cual se envaa travs del sistema una seal de control, que ser proporcional a la diferencia encontrada entre laseal de entrada y la seal medida a la salida, con el objetivo de corregir el error o desviacin que

pudiera existir.

La principal ventaja de los sistemas de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentacin haceal conjunto menos sensible a las perturbaciones externas y a las variaciones de los parmetros internosque los sistemas en lazo abierto.



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1.4Caracterizacin de un sistema lineal invariante en el tiempo

1.4.1 Modelo de un sistema

Un sistema fsico puede caracterizarse dinmicamente a travs de las ecuaciones diferenciales quedescriben las leyes fsicas que rigen el comportamiento de dicho sistema.

Se debe de tener en cuenta que una descripcin completa y precisa del sistema fsico puede resultardemasiado compleja y laboriosa; por ello debemos modelar el sistema llegando a un compromiso entrela exactitud y la sencillez requeridas al sistema. En cualquier caso se debe garantizar que el modeloobtenido responda a las exigencias iniciales del estudio, pues ello determina el rango de validez de unmodelo (por ejemplo: alta frecuencia en un estudio circuital). De hecho, un modelo ser vlidomientras se cumplan las hiptesis que han permitido simplificarlo.

Por ltimo, ha de indicarse que el campo de estudio del modelado de sistemas se encuentraactualmente en fase de determinacin de las reglas de identificacin de sistemas, utilizndose para ellosoftware de alto nivel.

1.4.2 Clasificacin de sistemas

Los sistemas pueden clasificarse en sistemas lineales y no lineales; otra posible clasificacin los divideen sistemas variantes o invariantes en el tiempo.

* Sistemas lineales: son aquellos que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales lineales.La propiedad ms importante es que permiten el principio de superposicin. Esta propiedad puedeutilizarse para determinar de un modo experimental si un sistema es o no lineal.

* Sistemas no lineales: son aquellos que no son lineales; es decir, se caracterizan por ecuacionesdiferenciales no lineales. En realidad todo sistema es no lineal, aunque la mayora es linealizable atramos (circunstancia que se utiliza para poder caracterizar un sistema no lineal como uno lineal enun entorno determinado). En este tipo de sistemas, el principio de superposicin no es aplicable.

Fig. 1.9 Ejemplos de sistemas no lineales

Saturacin de un operacional Caracterstica cuadrticade un diodo

Zona muerta



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Linealizacin:

Dada una funcin no lineal y = f(x), su linealizacin en el entorno de un determinado punto de trabajo(x0,y0) se obtiene de la forma siguiente:

y

xx0

y0f(x)

Que coincide con la ecuacin de la recta de pendiente igual a la derivada de la funcin no lineal en elpunto (x0,y0), y que pasa por dicho punto. Debe observarse que la diferencia entre la recta y la funcinno lineal indica el rango de validez del modelo, es decir, la tolerancia permitida debe ser mayor quedicha diferencia.

1.4.3 Funcin de transferencia

En general, cualquier sistema lineal invariante en el tiempo (SLIT) puede modelarse mediante unaecuacin diferencial de la forma:

a a a a b b b b

d ydt

n mn

n

0 1 2 0 1 2y y y y = x x x x

donde: y n m

(n) (n-1) (n-2) (m) (m-1) (m-2)

(n)

+ + + + + + + +

=

. . . . . . .. ..

;(1.1)

Esta ecuacin diferencial relaciona la seal de salida y(t) de un sistema con la seal de entrada x(t) almismo, y permite conocer la respuesta de dicho sistema a una seal de entrada determinada, mediantesu resolucin. A esta ecuacin diferencial se le denomina ecuacin caracterstica del sistema.

Sin embargo, el tratamiento analtico del sistema a travs de la ecuacin caracterstica diferencial es,en general, complejo. Es por ello que se introduce el concepto de funcin de transferencia.

La funcin de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo se obtiene realizando latransformada de Laplace de la ecuacin caracterstica del sistema, con condiciones iniciales nulas.

Ecuacin caracterstica:

a a a a b b b bn m0 1 2 0 1 2y y y y = x x x x(n) (n-1) (n-2) (m) (m-1) (m-2)+ + + + + + + +..... ..... (1.2)

donde ( )y =

=

y x0x

0

0

df x

dxx

x

( )



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TL :CI = 0

Y(s)

X(s)= G(s) =

b s b s b

a s s(n m)0

m1

m-1m

0 n 1 n-1 n

+ + +

+ + +

.....

.....a a(1.3)

donden orden del sistema

Modelo del sistema:

SLITX(s) Y(s)

Funcin de transferencia: G(s) =Y(s)

X(s)con CI = 0

La funcin de transferencia 'contiene' toda la informacin de la dinmica del sistema.

En concreto, la caracterstica dinmica del sistema depende fundamentalmente de las races deldenominador de la funcin de transferencia; estas races se denominan polos de la funcin detransferencia. Al polinomio obtenido en el denominador de una funcin de transferencia se ledenominapolinomio caracterstico.

Para que un sistema sea fsicamente realizable, el orden del denominador debe ser mayor o igual (dehecho en la prctica siempre es mayor) que el orden del numerador, de este modo se garantiza que elsistema es causal.

Ejemplo 1.1

ei

i

L

C

R

eo

Fig. 1.10 Circuito RLC

Para obtener la funcin de transferencia del circuito de la figura debern seguirse los siguientes pasos:

1.- Plantear las ecuaciones diferenciales que definen cada elemento, esto es, aquellas que seobtienen a partir de las leyes fsicas que rigen el comportamiento del sistema.



19/377


ee L

di

dtR i e

i Cde

dt

LCd e

dtRC

de

dte

i o

oi

o oo

= + +

=

= + +2

2

2.- Aplicar la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas.

[ ]TL E s LC s RC s E sE s

E s LC s RC sCI Oi o

o

i= = + + =

+ +( ) ( )

( )

( )2

21

1

1

Debe observarse que la descripcin de un sistema mediante su funcin de transferencia permite asignarcaractersticas temporales a la posicin de los polos en el plano S, lo cual proporciona mayorversatilidad que la descripcin mediante la ecuacin diferencial caracterstica. As, por ejemplo, puedeafirmarse que el sistema tiene un comportamiento como oscilador cuando R=0, dado que, en este caso,sus races son imaginarias puras.

( ) ( )R

Eo s

Ei s LC s s j LC s j LC= =

+=

+ 0

1

1

12

( )

( )

Por ltimo, resaltar que la funcin de transferencia no ofrece informacin sobre la estructura fsica delsistema, con lo cual diversos sistemas fsicos pueden tener la misma funcin de transferencia,aplicndose, de este modo, el concepto de sistema anlogo. Los sistemas anlogos son tiles cuandoalguno de los sistemas es complejo, caro, frgil o de respuesta muy lenta (por ejemplo, en aplicacionescon prototipos electrnicos).

1.5Caractersticas de un sistema de control de tiempo continuo

1.5.1 Topologa en lazo abierto

GLA(s)R(s) C(s)

Sist. Control

Entrada Salida

G (s) = C(s)R(s) (relacin entrada / salida)LA

Recordemos que un sistema de control, generalmente estar formado por diversos sistemas (planta,control, etc.). La topologa tpica en sistemas en lazo abierto es:



20/377


G(s)R(s) M(s) C(s)

CONTROL PLANTA

Entrada de

referencia

Seal de

Control

Variable

controlada

Gc(s)

Fig. 1.11 Diagrama de bloques de un sistema en lazo abierto

Obtenindose:C s

R s

M s

R s

C s

M sGc s G s

( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )= = como funcin de transferencia del sistema. (1.4)

1.5.2 Topologa en lazo cerrado

Gc(s)G(s)

H(s)

R(s)

B(s)

M(s) C(s)

+ -

CONTROL PLANTA

ELEMENTO DE MEDIDA

Pto. bifurcacinDetector Error

E(s)

Fig. 1.12 Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

El detector de error produce una seal resultante de la diferencia existente entre la referencia deentrada y la seal de realimentacin del sistema (realimentacin negativa). La seal originada en eldetector de error se denomina seal de error.

El punto de bifurcacin permite trasladar la seal de salida al punto de entrada, efectuando as larealimentacin deseada.

El elemento de medida es un transductor o sensor que mide el valor de la seal de salida y adapta lanaturaleza sus caractersticas a las necesarias para poder realizar la comparacin con la seal dereferencia (Ejemplo.: No podemos comparar la velocidad de un motor si la seal de referencia eselctrica, debemos realizar una conversin velocidad-tensin). Generalmente, sus caractersticasdinmicas son ms rpidas que las propias del sistema que se debe controlar (adquisicin de sealmucho ms rpida que la dinmica propia del sistema); en este caso se puede considerar H(s) = k; enel caso k =1 se dice que existe realimentacin unitaria; si no fuese as, deberamos considerar lascaractersticas dinmicas del elemento de medida a travs de su funcin de transferencia H(s).

Definiciones:

1. Funcin de transferencia en lazo abierto (ganancia de lazo):

GE s

LA(s) =B(s)

= Gc(s) G(s) H(s)( )

(1.5)



21/377


2. Funcin de transferencia directa:

G (s) =C(s)

E(s)= Gc(s) G(s)D (1.6)

3. Funcin de transferencia en lazo cerrado:

G (s) =C(s)

R(s)=

Gc(s) G(s)

1+Gc(s) G(s) H(s)LC

=+G s

G sD

LA

( )

( )1(1.7)

Cabe destacar, por ltimo, que en el caso para el cual se cumpla que la ganancia de la funcin detransferencia directa es alta (Gc(s)G(s) >> 1) y se posea realimentacin unitaria (H(s) = 1), la seal desalida y la seal de entrada son iguales, lo cual proporciona una robustez muy importante frente aperturbaciones externas y variaciones de parmetros internos:

* Sistema en lazo cerrado sometido a una perturbacin:

G1(s) G2(s)

H(s)

R(s)

B(s)

N(s)

C(s)

+-

E(s) +E1(s) E2(s)+

Fig. 1.13 Perturbacin externa representada por N(s)

Aplicando superposicin, se obtiene la seal de salida:

C sG s

G s G s H sN s

G s G s

G s G s H sR s( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )=

+ +

+

2

1 2

1 2

1 21 1(1.8)

Comparando con la salida que se obtendra en lazo abierto:

C s G s N s G s G s R s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + 2 1 2 (1.9)

Se observa como se ha reducido la sensibilidad del sistema frente a perturbaciones externas; enconcreto, si la ganancia de lazo es elevada, la seal de salida depende exclusivamente de la funcinde transferencia de la realimentacin, aunque ello puede acarrear problemas de estabilidadadicionales.



22/377


* Reduccin de la sensibilidad frente a variaciones internas.

G(s)+G(s)R(s) Cv(s)

+-

E(s)

Fig. 1.14 Variaciones internas de la funcin de transferencia representadas porG(s)

La funcin de transferencia en lazo cerrado es:

C s C s C sG s G s

G s G sR s

G s

G sR s

G s

G sR s ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )= + =

++ +

+

++

1 1 1(1.10)

as: C s G sG s R s( ) ( )( ) ( )= + 1 , que es menor que el efecto que obtendramos en el caso del sistema en

lazo abierto ( C s C s C s R s G s G s R sLA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = + ), reducindose de este modo la

sensibilidad del sistema frente a variaciones de parmetros internos. De hecho, un sistema en lazoabierto exige componentes ms precisos, mejor calibracin y es, por lo tanto, ms caro.

1.6Diagrama de bloques

Caractersticas de un diagrama de bloques:

1- Es una representacin grfica del flujo de seales y de la funcin realizada por cada componente

de un sistema.

2- Refleja una caracterstica unilateral (salida/entrada).

3- Dado un diagrama de bloques, el sistema al cual representa no es nico, ya que contieneinformacin respecto a su comportamiento dinmico y no sobre su constitucin interna.

4- El diagrama de bloques de un sistema dado no es nico (depende de la definicin de variablesinternas); sin embargo, la funcin de transferencia resultante s es nica.

Tcnicas de trazado del diagrama de bloques:

1- Describir las ecuaciones diferenciales de cada componente del sistema.2- Aplicar la transformada de Laplace con condiciones nulas.

3- Representar individualmente el diagrama de bloques de cada ecuacin diferencial.

4- Unir los bloques a travs de sus variables de entrada y salida.



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Ejemplo 1.2

ei

i

C

R

eo

Fig. 1.15 Circuito RC

1.- Plantear las ecuaciones diferenciales.

i

ie e

R

eC

dt

i o

o

=

=

1

2.- Aplicar la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas.

I s

E s E s

R

E sCs

I s

i o

o

( )( ) ( )

( ) ( )

=

=

1

3.- Representacin individual.

Ei(s) I(s)

+-

Eo(s)

1/CsI(s) Eo(s)

1/R

Fig. 1.16 Representacin de las transformadas como funciones de transferencia

4.- Unir bloques individuales.

Ei(s) I(s)

+-

Eo(s)

1/CsEo(s)

1/R

Fig. 1.17 Diagrama de bloques global del sistema

Con lo cual la funcin de transferencia resulta:E s

E sRCs

RCsRCs

o

i

( )

( )=

+=

+

1

1 11

1



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Debe observarse que la metodologa presentada exige una ordenacin adecuada de las variablesintermedias, de manera que la posterior unin de los diagramas individuales pueda realizarse de unmodo simple; de hecho, es necesario que las variables intermedias aparezcan slo una vez comoresultado de un diagrama de bloques individual.

lgebra de bloques:

El conjunto de reglas que permiten simplificar la estructura de un diagrama de bloques se denominalgebra de bloques; debe indicarse que, al aplicar dichas reglas, el diagrama resultante es ms simple,pero los nuevos bloques individuales son ms complejos. Para aplicar adecuadamente lgebra debloques, es necesario verificar que el producto de funciones de transferencia en sentido directo o en unlazo se mantenga constante tras la operacin efectuada.

Diagramas de bloques originales Diagramas de bloques equivalentes

1

2

3

4

5

6

Fig. 1.18 Reglas del lgebra de diagramas de bloques



25/377


Diagramas de bloques originales Diagramas de bloques equivalentes

7

8

9

10

11

12

13

Fig. 1.19 Reglas del lgebra de diagramas de bloques (continuacin)

Metodologa usual de sntesis:

1.- Desplazar puntos de bifurcacin y puntos de suma.

2.- Intercambiar punto de suma.

3.- Reducir los lazos internos de realimentacin.



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Ejemplo 1.3

Fig. 1.20 Diagrama de bloques de mltiples lazos

Fig. 1.21 Reduccin sucesiva del diagrama de bloques de mltiples lazos

G1 G2 G3

H2

H1

R C

G1 G2 G3

H2G1

H1

R C

G1G21-G1G2H1

G3

H2G1

R C

G1G2G31-G1G2H1+G2G3H2

R C

G1G2G31-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3

R C

(Paso 1)

(Paso 2)

(Paso 3)

(Paso 4)



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1.7Sistemas de control en tiempo discreto

Un sistema de control en tiempo discreto se caracteriza principalmente por realizar un procesado,mediante alguno de sus elementos, de seales discretas en el tiempo. La topologa tpica de un sistema

discreto es la que se puede observar en la figura siguiente:

G(s)R(s) C(s)

+-

CONTROL

DIGITAL PLANTA

ELEMENTO DE MEDIDA (sensor)

E(s)A/D D/A

Seal de

referencia

Seal de error Seal de salida

Fig. 1.22 Diagrama de bloques de un sistema de control discreto

Respecto a los sistemas analgicos se observa la inclusin de algunos elementos nuevos:

* Control digital o discreto: Sistema procesador diseado para que el sistema de control logre lasespecificaciones requeridas. Este sistema trabaja u opera en instantes de tiempo predeterminados,mltiplos del periodo de muestreo y es, por tanto, un sistema sncrono. La operatividad del sistema osu funcionamiento de procesado queda caracterizada plenamente mediante su ecuacin endiferencias:

y n a p y n p b q x n qq

Q

p

P( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

==

01

(1.11)

donde: y(n) muestras de salida del sistema procesador.

x(n) muestras a la entrada del sistema procesador.

* Necesidad de interfaces A/D y D/A para convertir seales continuas en seales discretas y sealesdiscretas en seales continuas, respectivamente. Permiten la introduccin de un procesador discreto

en el sistema de control y reconstruyen temporalmente la seal discreta en una seal continua en eltiempo.

La topologa anterior es tpica en sistemas discretos; sin embargo, no es la nica topologa posible.Una alternativa a la anterior se caracterizara con el siguiente diagrama de bloques:

CONTROL

DIGITAL

x(n) y(n)

t = nT



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PLANTA o

PROCESO

Entrada de

referencia

Variable

controladaD/A

A/D SENSOR

PROCESADOR

DIGITAL

Fig. 1.23 Diagrama de bloques alternativo de un sistema discreto

En este caso el procesador digital incluye el detector de error y el control discreto del sistema. Debeobservarse tambin que, en este caso, la seal de referencia es una seal digital, a diferencia de latopologa anterior, que posea una seal de referencia analgica. Sin embargo, la caracterizacin delsistema se puede realizar del mismo modo que en el caso anterior.

Debe observarse que el periodo de muestreo T depende fundamentalmente del tiempo de ciclo delprograma que ejecuta el algoritmo de control; as, normalmente el tiempo de ciclo de programa sueleser mayor que el periodo de muestreo de los conversores A/D. En algunos casos, el periodo demuestreo se disea para que sea mayor que el tiempo de ciclo (cuando las constantes de tiempo delproceso o planta son muy grandes), utilizndose el resto de tiempo del procesador para realizarfunciones de transmisin y representacin de datos o, simplemente, funciones de gestin de posiblesalarmas.

Ventajas del muestreo en sistemas de control:

- Mayor facilidad de realizacin.

- No existen derivas (ruido, interferencias, etc.).

- Son ms compactos, menos pesados.

- Menor coste.

- Flexibilidad de programacin.

1.8Muestreo y reconstruccin

Se ha indicado previamente la necesidad de incluir dos sistemas importantes en un sistema de controlen tiempo discreto:

* A/D: elemento encargado de muestrear, mantener y codificar la seal continua para lograr una sealdigital que actuar como seal de entrada del controlador digital. Su estructura interna tpica es:

A/D

SAMPLE

HOLD

CODIFICADOR

N bits

Fig. 1.24 Estructura interna del bloque A/D



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* D/A: elemento encargado de decodificar y reconstruir la seal digital para lograr una seal continuaen el tiempo que actuar como seal de entrada de la planta analgica. En general, no es deseableaplicar una seal muestreada a una planta analgica debido a los componentes inherentes de altafrecuencia presentes en la seal discreta. Por esta razn, al elemento reconstructor tambin se le

denominafiltro de alisado.

Observando la topologa tpica de sistemas de control en tiempo discreto, surge la necesidad decaracterizar los procesos del muestreo y reconstruccin de las seales, con el propsito de facilitar suanlisis.

* Caracterizacin del muestreo ideal: se define el muestreador ideal como un sistema que efecta lasiguiente operacin con la seal continua:

e t e t t kT)k

* ( ) ( ) (= =

0

(1.12)

donde: e*(t) seal discreta resultado del muestreo.

e(t) seal de entrada al muestreador.

T periodo de muestreo.

(t) funcin delta de Dirac.

Debemos observar que el muestreo ideal origina una seal que solo est definida en los instantes demuestreo (mltiplos del periodo de muestreo) y cuya amplitud es el producto de la amplitud de la sealcontinua en el instante de muestreo por la funcin impulso (amplitud infinita y rea total unitaria); enconclusin, el muestreo ideal nopuede implementarse en la prctica, pero, como veremos ms

adelante, permite modelar perfectamente todo el proceso de muestreo y reconstruccin.Grficamente el resultado es:

0 T 2T 3T

e(t)

t

e*(t)

Fig. 1.25 Muestreo ideal

El muestreador ideal tambin es conocido como modulador de impulsos, ya que verifica la ecuacin:

e t e t tT*( ) ( ) ( )= (1.13)

donde: T t( ) tren de impulsos.



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0 T 2T 3T t

T(t)

Permitiendo el modelo:

MUESTREADOR

MODULADOR

DE IMPULSOS

e(t) e*(t) e(t) e*(t)

T(t)

Fig. 1.26 Muestreo ideal como una modulacin de impulsos

* Propiedades de la seal muestreada de forma ideal:

Aplicando la transformada de Laplace en la expresin de una seal muestreada:

f t f kT) t kT)k

* ( ) ( (= =

0

(1.14)

f t f t t kT) f t tk

T* ( ) ( ) ( ( ) ( )= =

=

0

(1.15)

[ ]F s f kT) L t kT) f kT) ek

kTs

k

*

( ) ( ( (= = =

=

0 0 (1.16)

En conclusin la transformada de Laplace de una seal muestreada no es una funcin polinmica,por lo que no ser til para trabajar con sistemas discretos y ser necesario buscar unatransformacin alternativa que permita operar con funciones polinmicas en dichos sistemas; a estanueva transformada se la denominar transformada Z.

Puede demostrarse una expresin alternativa de la transformada de Laplace de una seal muestreada

definida por: F sT

F(s j n sn

* ( ) )= =

10

, donde

sT

=2

. De este modo puede afirmarse que la

transformada de Laplace de una seal discreta es peridica de periodo jn

s, verificando que si s1

es

un polo de F(s) es polo de F s*( ) s1 + jns es tambin polo de F s* ( ). La representacin en

plano transformado de Laplace implica una repeticin en bandas centradas en jns de las races(polos y ceros) de la seal muestreada. La banda principal se denomina banda primaria y el resto de

bandas se denominan bandas complementarias. Si la localizacin de los polos y ceros de F s*( ) es



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conocida, entonces queda automticamente determinada la localizacin de las races en el resto delplano.

j s Banda complementaria

Banda complementaria

Banda primaria

j s32

j s2

j s

j s3

2

j s2

Fig. 1.27 Races en el plano S de la transformada de Laplace de una seal muestreada

* Caracterizacin de la reconstruccin de seal: El dispositivo ms simple de reconstruccin de datos,y tambin el ms comn, es el mantenedor de orden cero (ZOH). El mantenedor de orden ceroproporciona fundamentalmente, como valor de la seal de salida, el valor de la ltima muestrarecibida a su entrada:

e t e kT) T t k T( ) ( ( )= < +k 1

0 T 2T 3T

e(t)

t

e*(t)

e(t)

Fig. 1.28 Reconstruccin efectuada por el ZOH

El mantenedor de orden cero es un sistema que no necesita memoria, a diferencia de otros tipos demantenedores de datos, por esta razn es ms econmico y el ms utilizado de todos ellos.

La respuesta impulsional de un mantenedor de orden cero se puede expresar como:

g t u t u t T)oh ( ) ( ) (= (1.17)

t tT

1goh(t)(t)

ENTRADA SALIDA



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Aplicando la transformada de Laplace a esta respuesta impulsional, obtenemos la funcin detransferencia del mantenedor de orden cero:

g t u t u t T) G s

e

sohTL

oh

Ts

( ) ( ) ( ( )= =

1

(1.18)

Ntese que esta funcin de transferencia no corresponde a ningn dispositivo fsico, porque se hadeducido suponiendo funciones impulso en la entrada del mantenedor de orden cero; sin embargo, sise utiliza junto con el muestreo ideal, proporcionan una buena descripcin matemtica delprocedimiento de muestreo y reconstruccin real de las seales de un sistema de control en tiempodiscreto.

1.9Teorema del muestreo

Los sistemas de control en tiempo discreto conllevan de manera inherente operaciones de muestreo y

reconstruccin de seales. Estos procesos deben verificar en todo momento el teorema del muestreo,siendo este teorema fundamental en sistemas discretos, como se comprobar a continuacin.

Sea una seal f(t) con espectro de banda limitada:

1 -1

F( j)

Fig. 1.29 Espectro de la seal f(t)

donde 1 es la mxima frecuencia que presenta f(t).

Segn la expresin F sT

F(s j n sn

* ( ) )= =

10

, el muestreo ideal equivale a una repeticin de este

espectro centrado en ns, con n N.

De este modo el espectro de la seal muestreada con muestreo ideal puede sufrir dos situacionesdiferentes:



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a) s 21:

-s 1-s -1 1 s-1 s

F j*( )

s2

s2

Fig. 1.30 Repeticin del espectro de la seal debido al muestreo

Suponiendo que el mantenedor de orden cero es un filtro pasa bajos ideal, se obtendra la seal previaal muestreo como salida del mismo. Sin embargo, un filtro paso bajos ideal no es causal, y por ello el

mantenedor de orden cero distorsiona y no elimina totalmente las componentes en alta frecuencia de laseal muestreada, notndose ms este efecto cuanto menor es la relacin s/1. En conclusin, interesatrabajar siempre con la relacin s/1 lo ms grande posible, despreciando de este modo los efectosdel muestreo y reconstruccin.

b) s< 21:

-s -1 1 s

F j*( )

s2

s2

Fig. 1.31 Superposicin de espectros (aliasing)

En este caso aparece un efecto de superposicin de espectros que provocan que no sea posiblerecuperar la seal original previa al muestreo a partir de la seal muestreada, ni en el caso en el cual serealice un filtrado con filtro pasa bajos ideal. A este efecto se le denomina aliasing y siempre debeevitarse en un proceso de muestreo.

A la vista de las dos situaciones anteriores, se desprende la siguiente afirmacin:

Teorema de Shannon (o del muestreo): "La mnima frecuencia de muestreo para poder recuperar unaseal previa al muestreo, a partir de la seal muestreada a travs de un filtro pasa bajos ideal es s =21, donde 1 es la mxima frecuencia que presenta la seal a muestrear."



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Para poder recuperar la seal original previa al muestreo a partir de la seal muestreada, es necesarioefectuar un filtrado paso bajo. Debe observarse que este filtrado ideal no puede realizarse en laprctica debido a que un filtro con caracterstica espectral rectangular no es causal. Dicho filtrado serealiza normalmente mediante el mantenedor de datos de orden cero. En este caso la expresin del

espectro del filtro resultante es:

( )G s

e

sj

e

jT

sen T

Te

sen

eoh ohs

s

s

Ts j Tj T j T

( ) ( )=

=

= =

1 1 2

2

22 2G

G j eohs s

js( )

=

2sinc (1.19)

En la figura siguiente se observa como este filtro distorsiona la seal recuperada debido a un filtrado

bastante alejado del ideal; este filtrado mejora cuanto mayor es la frecuencia de muestreo,proporcionando un resultado que coincide con el previsible a partir de una observacin en dominiotemporal.

F j*( )

Filtro ZOH

Filtro idealT

1/T

s2

s2

-s 1-s -1 1 s-1 s

Fig. 1.32 Distorsin del espectro de la seal al recuperar con ZOH

1.10La transformada Z

La transformada Z es una herramienta clsica para el anlisis y sntesis de sistemas discretos. Seobtiene aplicando la transformada de Laplace en seales discretas, y su principal ventaja reside en lapropiedad de transformar expresiones de tipo exponencial en expresiones polinmicas.

Sea la seal muestreada:

x t x t t kT) x kT) t kT)k k

* ( ) ( ) ( ( (= = =

=

0 0

(1.20)



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Aplicando la transformada de Laplace, se obtiene:

[ ]L x t x t e x kT) ekTs

k

kTs

k

* ( ) ( ) (= =

=

=

0 0(1.21)

donde T es el periodo de muestreo.

Puede observarse que esta expresin es difcil de tratar debido a su naturaleza.

Si utilizamos el cambio de variable:

z eTs= (1.22)

Surge, de este modo, la definicin de transformada Z:

[ ]X z x kT) z kk

= =

(0 (1.23)

La transformada Z est relacionada inherentemente a un proceso de muestreo. De hecho, nicamentepuede aplicarse sobre seales muestreadas, y en el proceso de realizacin de la antitransformada Z seobtiene una seal muestreada. En conclusin, ello implica que diversas seales continuas puedan tenerla misma transformada Z debido a que posean la misma seal muestreada.

Por otra parte, debe indicarse que la transformada Z ofrece como solucin una serie que permitir unaexpresin en forma de cociente de polinomios cuando converja; ello limitar el estudio a travs dedicha expresin a zonas del plano Z donde se garantice la convergencia.

* Transformacin de zonas del plano S al plano Z:

Transformacin de un punto del plano S:

[ ]s j z e e T) j T)Ts T= + = = + cos( sin( (1.24)

De este modo:

[ ]Re cos(z e T)T= ; [ ]Im sin(z e T)T= (1.25)

De la misma forma es posible transformar todos los puntos del plano S comprendidos en el interior

de la banda primaria, como se puede observar en la figura 1.33:



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j s3

2

j s3

2

j s2

Im[z]

Re[z]1-1

j s2

Fig. 1.33 Transformacin de la banda primaria del plano S al plano Z

En conclusin, por periodicidad todas las bandas complementarias se transforman de forma anloga ala banda primaria. As, todo el semiplano izquierdo del plano S se transforma en el interior del circulo

de radio unidad en el plano Z, todo el semiplano derecho se transforma en el exterior del circulo deradio unidad y el eje imaginario se transforma en el propio circulo de radio unidad, determinando deeste modo, la frontera de estabilidad. Debe observarse que el nmero de singularidades en plano Z esfinito, a diferencia de lo que ocurra en el plano S, debido a la coincidencia en la transformacin de lasbandas complementarias respecto a la primaria.

1.11 Respuesta temporal de un sistema lineal invariante analgico frente a unaentrada muestreada

Un sistema lineal invariante analgico queda plenamente caracterizado por su respuesta impulsional opor su funcin de transferencia (transformada de Laplace de la respuesta impulsional).

Frente a una entrada continua, el sistema proporciona una seal continua a la salida, resultado de laconvolucin analgica entre la seal de entrada y la respuesta impulsional del sistema. Latransformada de Laplace de esta seal es igual al producto de la transformada de Laplace de la sealde entrada por la funcin de transferencia del sistema.

x(t)h(t), H(s)

y(t)=x(t)* h(t)

X(s) Y(s)=H(s)X(s)

Fig. 1.34 Respuesta de un sistema continuo a una entrada continua

La respuesta de un sistema analgico frente a una seal muestreada tambin sigue siendo continua, yse puede caracterizar mediante la expresin:

c t r kT) g t kT)k

( ) ( (= =

0

(1.26)



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r*(t)g(t), G(s)

R*(s) C(s)=G(s)R*(s)

r(t)

R(s)

c(t)

T

Fig. 1.35 Respuesta de un sistema continuo a una entrada discreta

Es importante enfatizar la influencia del periodo de muestreo en la seal de salida; debe observarse enla expresin anterior que el simple hecho de cambiar el periodo de muestreo implica, de un mododirecto, cambiar la seal de salida. En concreto, el aumento del periodo de muestreo origina una sealde salida mucho ms diferenciada respecto a la seal de salida del sistema frente a la misma seal deentrada sin muestrear, tendiendo a tener mayor sobreimpulso y perdiendo, por tanto, estabilidadrelativa. Estos efectos pueden observarse en la grfica siguiente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

Sistema muestreado

Sistema sin muestrear

Mantenedor de orden 0

Tiempo (seg)

Amplitud

Fig. 1.36 Respuesta al escaln de un sistema discreto con periodo de muestreo T=0.2 seg.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

Sistema muestreado

Sistema sin muestrear

Mantenedor de orden 0

Tiempo (seg)

Amplitud

Fig. 1.37 Respuesta al escaln de un sistema discreto con periodo de muestreo T=0.08 seg.



38/377


El problema de caracterizacin de esta seal de salida es difcil de realizar por procedimientoshabituales, y se plantea la cuestin del conocimiento de la seal de salida muestreada para, con lasherramientas que disponemos en el dominio discreto, utilizar mtodos de anlisis semejantes a losusados en el domino continuo:

r*(t)g(t), G(s)


r(t)

R(s)

c(t) c*(t)

T T

c t c kT) t kT)k

*( ) ( (= =

0

(1.27)

donde: c kT) r nT) g kT nT)n

k( ( (=

=

0

es la expresin de la convolucin discreta. (1.28)

La seal g t g kT) t kT)k

* ( ) ( (= =

0

se denomina respuesta impulsional discreta (1.29)

y permite caracterizar el sistema como un sistema discreto que ofrece una seal de salida discreta altener una seal de entrada muestreada. Cumplindose as la propiedad: C z R z G z( ) ( ) ( )= , dondeG(z) es la funcin de transferencia en Z, que puede obtenerse aplicando la transformada Z sobre larespuesta impulsional discreta.

De este modo, la caracterizacin del sistema y el conocimiento de la seal de salida muestreada essencillo; sin embargo, por esta metodologa nicamente se puede conocer la seal de salida eninstantes de muestreo y no la seal continua de salida que fsicamente se genera en el sistema.

Obsrvese que este efecto no es muy importante cuando el periodo de muestreo es mucho mspequeo que las constantes de tiempo del sistema analgico.

* Aplicacin de la transformada Z a la resolucin de ecuaciones en diferencias:

Un algoritmo que procesa seales muestreadas puede representarse mediante la resolucin de unaecuacin en diferencias de la forma:

y n a p y n p b q x n qq

Q

p

P( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

==

01

(1.30)

Para resolver esta ecuacin en diferencias puede aplicarse la transformada Z utilizando los teoremasde desplazamiento:

[ ]Z f t nT) z F(zn( ) = (1.31)



39/377


[ ]Z f t nT) z F(z f kT) zn k

k

n( ) (+ =

=

0

1(1.32)

Ejemplo 1.4El sistema de la figura procesa las muestras de la seal de entrada mediante un algoritmorepresentado por la siguiente ecuacin en diferencias:

y[kT] = 0.5x[kT] - 0.495x[(k-1)T] + 0.995y[(k-1)T]

donde x[kT] es el valor de la muestra de la seal de entrada en el instante de muestreo kT, y

x[(k-1)T] se corresponde con el valor de la muestra de entrada en el instante de muestreoinmediatamente anterior.

1.- Aplicar la transformada Z a la ecuacin en diferencias.

TZ{y[kT]} = 0.5TZ{x[kT]} - 0.495TZ{x[(k-1)T]} + 0.995TZ{y[(k-1)T]}

2.- Realizar la transformacin haciendo uso de los teoremas de desplazamiento.

Y(z) = 0.5X(z) - 0.495X(z)z -1 + 0.995Y(z)z-1

3.- Obtener la funcin de transferencia en Z del sistema.

Y zX z

zz

( )( )

. ..

=

05 0 4951 0 995

11

1.12Funciones de transferencia de pulsos

Otra posibilidad de caracterizar la respuesta muestreada de un sistema continuo frente a una entradamuestreada consiste en aplicar las propiedades de la transformada de Laplace de una seal muestreada:

r*(t)g(t), G(s)


r(t)

R(s)

c(t) c*(t)

T T

C s R s G s sT

C s jnT

R s jn G s jnsn

s

n

s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *= = + = + +=

=

C* 1 1 (1.33)

x[kT] y[kT]PROCESADOR



40/377


dado que R s* ( ) es peridica: R s R s jn s* *( ) ( )= + :

C* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *s R s

T

G s jn R s G s

n

s= + = =

1 (1.34)

aplicando el cambio: z = eTs

C z R z G z( ) ( ) ( )= (1.35)

A esta propiedad se le denomina transformada estrella y permite obtener las funciones detransferencia de sistemas discretos.

* Sistemas en cascada:

Supngase el siguiente sistema:

C(s)=G2(s)D*(s)

c(t) c*(t)

T

r*(t)G1(s)

R*(s)

r(t)

R(s) Td*(t)

G2(s)D*(s)

d(t)

D(s) T

Evaluando las ecuaciones en cada uno de los bloques constituyentes por separado es posible obtenerfcilmente las expresiones siguientes:

D s R s G s D s R s G s D z R z G z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *= = = 1 1 1 (1.36)

C s D s G s C z D z G z C z G z G z R z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*= = = 2 2 1 2 (1.37)

C zR z

G z G z( )( )

( ) ( )= 1 2 (1.38)

Sin embargo, si se considera el sistema sin muestreador intermedio:

C(s)

c(t) c*(t)

Tr*(t)

G1(s)R*(s)

r(t)

R(s)T G2(s)

d(t)

D(s)

En este caso:

[ ]C s R s G s G s C s R s G s G s C z R z G G z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * **

= = = 1 2 1 2 1 2(1.39)

C z

R zG G z

( )

( )( )= 1 2 (1.40)



41/377


donde: [ ]G G z TZ G s G sT

G s jn G s jnsn

sz eTs

1 2 1 21

1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = + +=

= (1.41)

debe observarse que: G1G2(z) G1(z)G2(z) (1.42)En el caso particular de tener un mantenedor de datos previo, la funcin de transferencia resultante es:

[ ]C z

R zZ Goh s G s GohG z Z

e

sG s z Z

G s

s

Ts( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )= = =

=

1 1 1 (1.43)

aplicando para ello el teorema de desplazamiento.

* Sistemas en lazo cerrado:

a)

G(s)

H(s)

R(s) C(s)

+-

E(s)

T

E*(s)

Y(s)

Ecuaciones:

( )

( )( )

C s E s G s R s Y s G s

R s H s C s G sR s G s H s C s G s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* *

*

* *

= = =

= ==

(1.44)

C z R z G z HC z G z( ) ( ) ( ) ( ) ( )= (1.45)

donde se observa la imposibilidad de obtener la funcin de transferencia en lazo cerrado. Parasolucionar este problema debe evitarse aplicar la transformada estrella en expresiones donde la sealde salida queda unida a alguna funcin de transferencia (H(s)C(s)). En este caso debe operarse delsiguiente modo:

( )( )

C s E s G s C s E s G s

E s R s Y s

s E s G s H s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

* * * *

* * *

* *

= = =

= Y*

(1.46)



42/377


( )

C z E z G z

E z R z Y z

z E z GH z

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

=

= Y

(1.47)

C z

R z

G z

GH z

( )

( )

( )

( )=

+1(1.48)

b)

G(s)

H(s)

R(s) C*(s)

+-

E(s) E*(s)

Y(s)

T TC(s)

Ecuaciones:

( )

( )

( )


R s H s C s G s

R s G s H s C s G s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* *

* *

* * *

= = =

= =

=

(1.49)

C z R z G z H z G z C z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= (1.50)

C z

R z

G z

G z H z

( )

( )

( )

( ) ( )= + 1(1.51)

c)

G(s)

H(s)

R(s) C*(s)

+-

E(s)

Y(s)

TC(s)

Ecuaciones:

( )

( )

( )


R s H s C s G s

R s G s H s C s G s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

*

*

= = =

= =

=

(1.52)



43/377


C z RG z GH z C z( ) ( ) ( ) ( )= (1.53)

C zRG z

GH z( )

( )

( )=

+1(1.54)

Debe observarse que la entrada a la planta no se encuentra muestreada, lo que conlleva que no existauna expresin de funcin de transferencia en dominio Z, aunque pueda obtenerse la seal muestreadade salida a partir del conocimiento de la seal de entrada.

d) Controlador digital previo a ZOH y planta:

Gc(s) G(s)R(s) C(s)

+-

CONTROL

DISCRETO PLANTA

E(s)Goh(s)

ZOH

TE*(s) M(s)

TM*(s)

Ecuaciones:

( )( )C s M s Goh s G s R s C s Gc s Goh s G s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* **

= = (1.55)

C z R z GohG z Gc z GohG z C z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= (1.56)

C z

R z

Gc z GohG z

Gc z GohG z

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )=

+ 1

(1.57)

1.13Problemas

Problema 1

Dado el siguiente circuito, se desea obtener la funcin de transferenciaE s

E s2

1

( )

( ):

E1 C1

RR

C2

I1

I

I2E2

+

-

+

-

Zout



44/377


Realizar los siguientes apartados:

1.- Determinar el valor de Zout para no tener efectos de carga. Qu relacin existe entre I2 e I?

2.- Plantear las ecuaciones que describen el sistema.

Nota: Utilizar las variables I1, I2, I, E1 y E2.

3.- Trazar el diagrama de bloques del sistema.

4.- Obtener la funcin de transferencia.

Solucin:

( )

E s

E s

R C C s RC s

R C C s R C C s

2

1

21 2

22

21 2

21 2

2 1

2 1

( )

( )=

+ +

+ + +

Problema 2

Obtener las funciones de transferencia (si existen) en los siguientes diagramas:

1.-

Gd(z)R(s) C(s)+

-

E(s)Goh(s)

T

E*(s)G1(s) G2(s)

+

-

2.-

G1(s) G2(s)C(s)

H(s)

T

E*(s)

T

R(s) +

-

E(s) +

-



45/377


3.-

D(s)R(s) C(s)E(s)

T

E*(s)G2(s) G3(s)+

-G1(s)

T+

+

Solucin:

1.-C z

R z

Gd z GohG G z

Gd z GohG z Gd z GohG G z

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )=

+ +

1 2

1 1 21

2.-C z

R z

G z G z

G z G z G H z

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )=

+ +

1 2

1 2 21

3.- C z RG z D z G G z G R zD z G G z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

= + +

3 2 3 1

2 31



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1.14Tabla de transformadas

Transformada de LaplaceE(s) Funcin temporale(t) Transformada ZE(z) Transformada Z modificadaE(z, m)1

s( )u t

z

z 11

1z 12

st

( )

Tz

z 1 2 ( )

mT

z

T

z+

1 1 2

13

s

t2

2

( )

( )

T z z

z

2

3

1

2 1

+ ( ) ( )

T m

z

m

z z

2 2

2 32 1

2 1

1

2

1+

+

+

( )k

sk

1 !t

k1 ( )lima

z

z ea

kk

k a T

0

11

11

( )lim

a

e

z ea

kk

k

a mT

a T

0

11

11

( )

1

s a+e

a t z

z ea T

e

z e

a mT

a T

( )

12

s a+t e

a t

( )

Tze

z e

a T

a T

2( )[ ]

( )

Te e m e

z e

a mT a T a T

a T

+

22

( )

( )

k

s ak

+

1 !t e

k a t ( )

1k

k

k a Ta

z

z e

( )

1k

k

k

a mT

a Ta

e

z e

( )

a

s s a+1 e a t

( )

( )( )

z e

z z e

a T

a T

1

1

1

1z

e

z e

a mT

a T

( )

a

s s a2 + t

e

a

a t

1 ( ) ( )[ ]

( ) ( )

z aT e z e aTe

a z z e

a T a T a T

a T

+ +

1 1

12

( ) ( ) ( )T

z

amT

a z

e

a z e

a mT

a T+

+

1

1

12

( )

a

s s a

2

2+( )1 1 + at e a t

( )

z

z

z

z e

aTe z

z ea T

a T

a T

1 2

( )

1

1

12

z

amT

z e

aTe

z eea T

a T

a T

a mT

+

+

( )( )

b a

s a s b

+ +

e ea t b t

( )

( )( )

e e z

z e z e

a T b T

a T b T

e

z e

e

z e

a mT

a T

b mT

b T

a

s a2 2+

( )sen at( )

( )

z aT

z z aT

sen

cos2 2 1 +( ) ( )

( )

z amT m aT

z z aT

sen sen

cos

+ +

1

2 12

ss a

2 2+( )cos at ( )( )

( )

z z aT

z z aT

+

coscos2 2 1

( ) ( )( )

z amT m aT

z z aTcos cos

cos

+1

2 12

( )

12 2

s a b+ +( )

1

be bt

a t sen ( )

( )

1

22 2b

ze bT

z ze bT e

a T

a T a T

+

sen

cos( ) ( )[ ]

( )

1 1

22 2b

e z bmT e m bT

z ze bT e

a mT a T

a T a T

+ +

sen sen

cos

( )

s a

s a b

+

+ +2 2( )e bta t cos

( )

( )

z ze bT

z ze bT e

a T

a T a T

2

2 22

+

cos

cos

( ) ( )[ ]( )

e z bmT e m bT

z ze bT e

a mT a T

a T a T

+ +

cos sen

cos

1

22 2

( )[ ]a b

s s a b

2 2

2 2

+

+ +( ) ( )1 +

e bt

a

bbt

a t cos sen( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

z Az B

z z ze bT e

A e bTa

bbT

B e ea

bbT bT

a T a T

a T

a T a T

+ +

= +

= +

1 2

1

2 2

2

cos

cos sen

sen cos

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]{ }( )

1

11

2

1

2

2 2

2 2

ze z bmT e m bT

z ze bT ea

be z bmT e m bT

z ze bT e

a mT a T

a T a T

a mT a T

a T a T

+

+

+

+

cos sen

cos

sen sen

cos

( )( )

1

s s a s b+ + ( ) ( )1

ab

e

a a b

e

b b a

a t b t

+

+

( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

Az B z

z e z e z

Ab e a e

ab b a

Bae e be e

ab b a

a T b T

a T b T

a T b T b T a T

+

=

=

11 1

1 1



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2. Anlisis temporal de sistemas continuos y discretos 51

2. Anlisis temporal de sistemas continuos y discretos

2.1Respuesta temporal.

La respuesta temporal de un sistema lineal invariante en el tiempo puede descomponerse en dospartes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. De este modo, si denominamos c(t) a laexpresin de la respuesta temporal:

c t c t c tt ss( ) ( ) ( )= +

donde: ct(t) = Respuesta transitoria.

css(t) = Respuesta estacionaria.

La respuesta transitoria es originada por la propia caracterstica dinmica del sistema y determina elcomportamiento del sistema durante la transicin de algn estado inicial hasta el estado final.

La respuesta estacionaria depende fundamentalmente de la seal de excitacin al sistema y, si elsistema es estable, es la respuesta que perdura cuando el tiempo crece infinitamente.

De este modo hemos logrado determinar de un modo simple la estabilidad absoluta de un sistema; sedice que un sistema es estable si su respuesta transistoria decae a cero cuando el tiempo tiende ainfinito.

Se define el error en estado estacionario como la diferencia entre la seal de referencia y la sealrealimentada en estado estacionario en sistemas estables. Este error coincide con el valor estacionariode la seal originada por el detector de error.

Por otra parte, en sistemas de control, interesa minimizar la desviacin de la seal de salida respecto ala seal de entrada en estado transitorio. Por esta razn se caracteriza la respuesta transitoria respectoa entradas tpicas o estndares, conociendo que, como el sistema es lineal, la respuesta del sistema aseales ms complejas es perfectamente predecible a partir del conocimiento de la respuesta a estasentradas de prueba ms simples.

Generalmente, las entradas tpicas son: funcin impulsional, funcin escaln, funcin en rampa yfuncin parablica en el tiempo; aunque la ms importante de todas ellas es, sin duda, la funcinescaln.

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en lleyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin deejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distribucin y venta fuera del mbito de la UninEuropea.


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2.1.1 Sistemas de primer orden.

Sistema de primer orden es aquel que nicamente posee un polo en su funcin de transferencia.

Ts + 1

1R(s) C(s)

Fig. 2.1 Sistema de primer orden. T: constante de tiempo del sistema

* Respuesta al escaln:

r t u t R ss

TL( ) ( ) ( )= =

1

C(s

Ts s

c t e u tTL

tT) ( ) ( )=

+

=

1

1

11

1

Obsrvese que c(t) =1 cuando t tiende a infinito si T> 0; esto implica que el polo de la funcin detransferencia del sistema debe encontrarse en el semiplano izquierdo del plano transformado S. Si T0, el sistema no alcanza el estado estacionario, resultando, de este modo, el sistema inestable.

Grficamente:

0 1T 2T 3T 4T 5T 6T

100 %

63.2%

86.5%

98.2%

Pendiente=1/T

c(t)

c t et

T( ) = 1

Fig. 2.2 Respuesta al escaln

Observando la grfica se comprueba que para t = T la seal de salida ha alcanzado el 63.2 % del valorfinal, siendo esta una medida tpica en la caracterizacin de sistemas de primer orden.

T

t

e1)t(c

=



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2. Anlisis temporal de sistemas continuos y discretos 53

A efectos prcticos, se considera que cuando han transcurrido por lo menos cuatro constantes detiempo, la seal de salida ha alcanzado

teoria de control electronico

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