texto escolar i medio matematicas

MatemáticaXXXXXXXXXXXXXXX

GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR

J A I M E O RT E G A

Primeromedio

MATEMÁTICA III MEDIOUn proyecto deEmpresa Editora Zig-Zag S.A.

Gerencia GeneralRamón Olaciregui

AutorRoberto Ortega

Dirección EditorialMirta Jara

EdiciónMiguel Ángel Viejo

Corrección de estiloJosé Luis Brito

Director de ArteJuan Manuel Neira

Jefe de ProducciónFranco Giordano

Equipo de diseñoPamela BubenDaniel BrownJosé Luis GrezClaudio SilvaEduardo Álvarez

IlustracionesArchivo editorial

FotografíasArchivo editorial

I.S.B.N.: ______________

© _____________.

El presente libro no puede ser reproducido ni en todo ni en parte, ni archivado ni

transmitido por ningún medio mecánico, ni electrónico,

de grabación, CD-Rom, fotocopia, microfilmación u

otra forma de reproducción, sin la autorización escrita de

su editor.

Impreso por ____________

Índice

A los maestros 6 Organización del texto de matemática 8Enfoque de nuestro proyecto en el área de matemática 11Planificación general 12

UNIDAD 1 NÚMEROS 20

Capítulo 1: Números racionales 21Capítulo 2: Potencias de base racional y exponente cero 36

UNIDAD 2 GEOMETRÍA 0

Capítulo 1: Vectores en el plano cartesiano 0Capítulo 2: Transformaciones isométricas y congruencia de figuras geométricas 0

UNIDAD 2 ÁLGEBRA 0

Capítulo 1: Expresiones algebraicas y la ecuación de primer grado 0Capítulo 2: Función lineal y función afín 0

UNIDAD 2 DATOS Y AZAR 0

Capítulo 1: Interpretar y producir información 0Capítulo 2: Probabilidades 0

Guía didáctica para el profesor racionales

Guía didáctica para el profesor / Matemática 1o Medio�

A LOS MAESTROS

Estimadas y estimados colegas: Sabiendo que quienes cursan primer año de enseñanza media pueden venir sufriendo desde los ocho o nueve años de edad la de-nominada desesperanza aprendida, es decir, sentirse incapaces de aprender, hemos construido este Texto, teniendo en cuenta el aprendizaje comprensivo de las materias que trataremos, de manera de no sólo rescatar la mayor cantidad de escolares que sufren dicha actitud, sino también de ayudar a desarrollar las capacidades cognitivas de todos y todas quienes participan del proceso de enseñanza-aprendizaje en este nivel.

El Texto de primer año de Enseñanza Media está orga-nizado de acuerdo a los ejes definidos por el Ministe-rio de Educación: Números: este eje constituye el centro del currículo matemático para la enseñanza básica y media. Inclu-ye los aprendizajes referidos a la cantidad y el núme-ro, las operaciones aritméticas, los diferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas prove-nientes de la vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemática misma. Se organiza en torno a los diferen-tes ámbitos y sistemas numéricos. Avanza en comple-titud, abstracción y complejidad desde los números naturales hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales. Se busca que los alumnos comprendan que cada uno de estos sistemas permite abordar problemas que los precedentes dejaron sin resolver. Simultáneamente, el desarrollo de los núme-ros acompaña, y encuentra sus motivaciones, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes. Así, la operación inversa a la suma motiva el cero y los ne-gativos; el cuociente y la medición, los racionales; la extracción de raíz, motiva los irracionales y los reales y los números complejos. De este modo, se relacionan números, operaciones y campos de aplicación de la matemática, permitiendo avanzar en el sentido de la

cantidad, en el razonamiento matemático y precisar la forma en que la matemática contribuye a la des-cripción y comprensión de la realidad.

Álgebra: este eje introduce al estudiante en el uso de símbolos para representar y operar con cantidades. Se inicia en quinto grado, mediante la expresión de relaciones generales y abstractas de la aritmética y la medición, que son parte de los aprendizajes de este nivel y anteriores. El orden de los factores no altera el producto, “qué número sumado con 3 tiene como resultado 9”, son situaciones que permiten poner en contacto con el lenguaje algebraico a los estudian-tes desde los primeros niveles del currículo escolar. El álgebra provee de un lenguaje a la matemática, por ende, contribuye a, y se nutre del desarrollo de los ejes de números, geometría y datos y azar. Este eje introduce, también, la noción de función y el estudio de algunas de ellas en particular.

Geometría: este eje se orienta, inicialmente, al desa-rrollo de la imaginación espacial, al conocimiento de objetos geométricos básicos y algunas de sus pro-piedades. En particular propone relacionar formas geométricas en dos y tres dimensiones, la construc-ción de figuras y de transformaciones de figuras. Se hace comprender la noción de medición en figuras planas. Progresivamente se hace comprender el con-cepto de demostración y se amplía la base epistemo-lógica de la geometría, mediante las trasformaciones rígidas en el plano, los vectores y la geometría carte-siana. De este modo se dan diferentes enfoques para el tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamaño y la posición. El eje se relaciona con el de números, a partir de la medición y la representa-ción, en el plano cartesiano, de puntos y figuras; con el de álgebra y datos y azar, la relación se establece mediante el uso de fórmulas y luego la representa-ción gráfica de funciones y de distribución de datos.

1º Medio

GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR / Matemática 1o Medio�

Datos y azar: Este eje introduce el tratamiento de da-tos y modelos para el razonamiento en situaciones de incerteza. El tratamiento de datos estadísticos se inicia en primero básico y el azar a partir de quinto. Incluye los conocimientos y las capacidades para re-colectar, organizar, representar y analizar datos. Pro-vee de modelos para realizar inferencias a partir de información muestral en variados contextos, además del estudio e interpretación de situaciones en las que interviene el azar. Desde la Educación Básica se pro-pone desarrollar habilidades de lectura, análisis crítico e interpretación de información presentada en tablas y gráficos. Por otra parte, se intenciona la habilidad para recolectar, organizar, extraer conclusiones y pre-sentar información. Son también temas de estudio algunos conceptos básicos que permiten analizar y describir procesos aleatorios, así como cuantificar la probabilidad de ocurrencia de eventos equiproba-bles. En Educación Media, el estudio de Datos y Azar se propone desarrollar conceptos y técnicas propias de la estadística y la teoría de probabilidades que per-mitan efectuar inferencias a partir de información de naturaleza estadística, y distinguir entre los fenóme-nos aleatorios y los deterministas.

Así, de acuerdo a los ajustes anteriores, hemos dividi-do el libro en cuatro unidades, cada una respondien-do a los diferentes ejes temáticos del currículum de matemática para Enseñanza Media. A continuación presentamos los temas tratados en el texto.

En la Unidad 1, Números, estudiamos el conjunto de los números racionales y su caracterización. Hacemos énfasis en situaciones que no es posible resolver con los números enteros. Vemos algunas propiedades de los números racionales como una extensión de las propiedades de los números enteros y su relación con los números decimales. La Unidad continúa con el estudio de las potencias de base racional y expo-

nente entero, como una extensión de los contenidos vistos en los cursos anteriores y sus aplicaciones a la vida cotidiana.

La Unidad 2, Geometría, estudia el plano cartesia-no y su uso en la representación de puntos y figuras geométricas. Se continúa con la introducción a los vectores, su representación en el plano cartesiano y aplicaciones. Seguidamente examinamos operacio-nes con vectores en el plano cartesiano como son la suma de vectores y sus relaciones con las transforma-ciones isométricas. Finalmente, con el uso de estas transformaciones isométricas examinamos la cons-trucción de figuras geométricas y el concepto de con-gruencia, aplicados principalmente a los triángulos.

La Unidad 3, Álgebra, estudia las expresiones alge-braicas no fraccionarias mediante el uso de conteni-dos vistos en los cursos anteriores, como son la eli-minación de paréntesis y la reducción de términos semejantes y otros. Seguimos con el estudio de la ecuación de primer grado con coeficientes literales y su relación con la proporcionalidad directa. Finaliza-mos la Unidad con el estudio de la función lineal, la función afín y sus aplicaciones a problemas de la vida cotidiana. La Unidad 4, Datos y Azar, tal como en los cursos anteriores, seguimos con el estudio de los diferentes tipos de gráfico, tablas y la obtención de información a partir de ellos, centrándonos en los histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acu-mulada. Proseguimos con el estudio de las medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y me-didas de posición (percentiles y cuartiles) y sus aplica-ciones a diferentes situaciones. La Unidad finaliza con el estudio de la Ley de los Grandes Números y su apli-cación a diferentes situaciones de la vida cotidiana.


Guía didáctica para el profesor / Matemática 1o Medio�

Inicio de Capítulo

Organización del texto de matemática de primer año de Enseñanza Media

La propuesta editorial en el área de Matemática de 1er Año Medio es la siguiente:

La página de inicio de cada Unidad pretende que los alumnos y alumnas conozcan las competencias que adqui-rirán y cómo se desglosan los contenidos a través de los ca-pítulos que la componen.

Se recomienda analizar con el grupo curso las com-petencias de entrada necesarias para llevar a cabo el desarrollo de los aprendizajes respectivos, distin-guiendo entre: saber y saber hacer, ya que general-mente comprenden la materia, pero desconocen aún el saber hacer a nivel de operatoria aritmética, siendo adecuado implementar reforzamientos.

Inicio de Unidad

La página de inicio de cada Capítulo indica de forma relacionada los objetivos de aprendizaje que alcan-zarán con los temas que se verán e introduce el co-nocimiento que se enseñará, mediante una situación práctica, contextualizada en forma escrita y gráfica, de manera que los (las) escolares puedan vivenciar el conocimiento que se impartirá.

1º Medio

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Desarrollo de contenido Los Contenidos de los Capítulos se articulan median-te la implementación seriada de las siguientes activi-dades:

• Recordemos• Desarrollo de contenidos• Para ejercitar•¿Sabías que?• Estrategias de resolución de problemas• Hagamos un poco de historia• Consolidando• Mapa conceptual• Autoevaluación

Recordemos: inicia cada Capítulo con elementos re-cordatorios de materias vistas en años anteriores y que son necesarios para aprender la materia que se comenzará a tratar.

Desarrollo de contenidos: contempla la explicación de la materia, haciendo uso de un lenguaje cercano que contextualice las situaciones que se plantean, con dibujos que permitan al (la) escolar cotejar lo que lee, y con planteamientos numéricos de complejidad gradual, que le permitan crear la autoconfianza sufi-ciente para desear profundizar la materia, estudiarla y lograr las competencias del Capítulo, complemen-tado esto con información obtenida desde páginas web y otros recursos.

Para ejercitar: son evaluaciones de tipo formativo que se recomienda implementar en clases, de mane-ra que el (la) docente pueda mediar los aprendizajes individuales al ir revisando los resultados que obten-gan. Es una actividad que además busca reforzar, ob-jetivos transversales como “desarrollar el trabajo en el trabajo” preparándolos (las) para enfrentar jornadas escolares completas.

¿Sabías que?: son informaciones, anécdotas o hitos de las matemáticas y otras disciplinas que comple-mentan los contenidos del capítulo.

Estrategias de resolución de problemas: es una sec-ción dedicada a la discusión de problemas con sus características, planteamientos y procedimientos de resolución paso a paso, teniendo como fundamento el acompañamiento pedagógico.

Haciendo Historia: aporta datos e información res-pecto del lugar de origen, autores o primeras apli-caciones que permiten encontrar mayor sentido al tema que se está tratando.

Recordemos

Desarrollo de contenidos

¿Sabías que?Para Ejercitar

Estrategias Historia


Guía didáctica para el profesor / Matemática 1o Medio10

Cierre de Unidad

Una vez finalizados los aprendizajes, es importante que los (las) escolares sean capaces de sintetizar los contenidos vistos y de evaluar los aprendizajes ad-quiridos, presentando como Cierre de Capítulo tres actividades:

Mapa conceptual: es un mapa de tipo conceptual que permite guiar contenidos como organizador gráfico, ayudando a ubicar las distintas etapas de co-nocimiento por las que va atravesando o desarrolló durante el Capítulo.

Consolidando: es una sección de actividades gra-duadas en orden de complejidad, que favorecen la integración de los aprendizajes, contempla el cálculo mental, la comprensión y aplicación de automatismos de cálculo y la resolución de situaciones problemá-ticas. En estos problemas se incluyen ejercicios tipo SIMCE y TIMSS, los que desafiarán su comprensión y consolidación de aprendizajes de nivel.

Autoevaluación: presenta un planteamiento con preguntas orientadas a evaluar la forma de extraer y organizar información, pudiendo revisar losniveles de logro alcanzados.

Autoevaluación Consolidando

Mapa conceptual

1º Medio

GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR / Matemática 1o Medio11

Enfoque de nuestro proyecto en el área de matemática

Aspectos importantes que debemos considerar para el aprendi-zaje de todos y todas, son el hecho que si bien hacemos clases a un grupo curso, los (las) estudiantes son individualidades con características e intereses distintos, lo que nos obliga a desarro-llar estrategias didácticas que hagan comprensivo, entretenido y práctico el aprendizaje, reconociendo además, que el llama-do “cambio de registro” dificulta la interpretación que haga el (la) estudiante de lo escrito en metalenguaje, lo que nos lleva a recomendar seguir la estructura de clases antes detallada, y las sugerencias que incorpora esta guía didáctica, de manera de pes-quisar a tiempo los contenidos y formas de calcular que no se manejan adecuadamente y explicitar, las veces que sea necesario, el contexto en que participa un mismo signo que hace que se lea de manera diferente.

Enseñar a desarrollar el trabajo en el trabajo, ser autónomo y la mediación docente, son aspectos que esperamos puedan ser implementados en aula, de manera que la actividad escolar no se transforme en un aprendizaje por absorción, con estudiantes pasivos, que no cuestionan, que se limitan a copiar materias, que no relacionan lo enseñado con la realidad y tampoco encuentran sentido a lo que hacen, por el contrario, creemos que es factible desarrollar una metodología cognitiva, que reconoce la individua-lidad y el logro personal y refuerza los resultados alcanzados, esto último, sabiendo que muchos, (as) estudiantes sufren la denomi-nada desesperanza aprendida y no han sido diagnosticados(as), resultando este año fundamental para encantarlos con lo que aprenderán en el sector de matemática.

No es postura nuestra incorporar cantidad de contenidos que afecten una planificación equilibrada que permita desarrollar en aula capacidades y actitudes hacia el estudio del sector≠, por el contrario, creemos que la construcción del Texto, es la adecuada para proporcionar los tiempos necesarios con el fin de que cada escolar alcance los contenidos que exige la autoridad ministerial como el desarrollo cognitivo y de madurez del (la) adolescente.



Unidad Objetivos generales de la Unidad Capítulo Tema

UN

IDA

D 1

Núm

eros

- Comprender que los números ra-cionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible re-solver problemas que no tienen so-lución con los números naturales y enteros.

- Caracterizar los números raciona-les como aquellos que pueden ex-presarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.

- Representar los números racionales en la recta numérica.

- Aproximar los números raciona-les, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y reconocer algunas propie-dades.

- Comprender el significado de po-tencias que tienen como base un número racional y exponente ente-ro.

- Reconocer las propiedades de las potencias de base racional y expo-nente entero.

- Aplicar los números racionales y las potencias de base racional y expo-nente entero a situaciones de la vida cotidiana.

1.- Números Racionales

1.- Caracterización de los números racionales y su representación grá-fica.

2- Adición y sustracción de números racionales.

3.- Multiplicación y división de nú-meros racionales.

4.- Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor (MCD).

5.- Propiedades de los números ra-cionales.

6.- Transformación de números deci-males periódicos y semiperiódicos a números racionales.

7.- Redondeo, Truncamiento y Error: Valor Absoluto y parte entera.8.- Estrategias de resolución de pro-blemas.

2.- Potencias de base racional y exponen-te entero

1.- Caracterización de las potencias de base racional y exponente ente-ro.

2.- Operaciones con potencias de base racional y exponente entero.

3.- Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

4.- Estrategias de resolución de pro-blemas.

Planificación General

1º Medio


Aprendizaje esperado Tiempo horas Recursos didácticos Tipos de Evaluación

- Caracterizar los números racionales como aquellos que son posibles de escribir como cuociente de números enteros con denominador diferente de cero.- Representar los números racionales en la recta numérica.- Establecer propiedades de los nú-meros racionales como: entre dos números racionales diferentes, siem-pre existe un racional o que la suma, resta, producto o división de núme-ros racionales es un número racional.- Sistematizar procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herra-mientas tecnológicas operaciones con números racionales.- Transformar números enteros, de-cimales periódicos y semiperiódicos en fracciones.- Aproximar números racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocer las limitaciones de la cal-culadora para aproximar decimales.- Resolver problemas de contextos diversos que involucran números racionales.

- Exploración de conocimien-tos previos.

- Exploración personal.

- Conexión con Internet para la ejercitación de los conteni-dos.

- Actividades No Experimen-tales.

- Lectura Científica.

- Ejercicios Resueltos.

- Síntesis.

- Autoevaluación.

1. InicialObservación directa del grado de comprensión de la información y ex-presión oral requeridos por el Capítulo.

2. ProcesoRevisión de las solucio-nes planteadas a situa-ciones problema.

3. FinalPor medio de los pro-blemas “Para Ejercitar” y desafíos planteados.

4. Autoevaluación

- Caracterizar e interpretar las poten-cias de base racional y exponente entero.- Sistematizar procedimientos de cálculo escrito para las operaciones con potencias de base racional y ex-ponente entero, como el producto y división.- Establecer algunas propiedades de las potencias de base racional y ex-ponente entero.- Aplicar las potencias de base racio-nal y exponente entero a la resolu-ción de problemas.

- Exploración de conocimien-tos previos.- Exploración personal.- Conexión con Internet para la ejercitación de los conteni-dos.- Actividades No Experimen-tales.- Lectura Científica.- Ejercicios Resueltos.- Síntesis.- Autoevalución.

1. InicialObservación directa del grado de comprensión de la información y ex-presión oral requeridos por el Capítulo.2. ProcesoRevisión de las solucio-nes planteadas a situa-ciones problema.3. FinalPor medio de los pro-blemas “Para Ejercitar” y desafíos planteados.4. Autoevaluación




UN

IDA

D 2

Geo

met

ría

- Caracterizar el plano Cartesiano e identificar regularidades en la reali-zación de transformaciones isomé-tricas en él.

- Conocer y utilizar conceptos pro-piedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar pro-piedades.

1.- Vectores en el plano cartesiano

1.- Plano Cartesiano.

2.- Vectores en el plano cartesiano.

3.- Operaciones con vectores.


2.- Transformacio-nes isométricas y congruencia de fi-guras geométricas

1.- Construcción de figuras geomé-tricas (transformaciones isométri-cas).

2.- Congruencia.

3.- Polígonos y sus propiedades.



1º Medio



- Identificar el plano cartesiano y sus elementos.

- Representar puntos y figuras geométricas en el plano cartesiano.

- Representar gráficamente y com-prender la notación de los vectores en el plano cartesiano.

- Aplicar vectores para describir tras-laciones de figuras geométricas en el plano cartesiano.

- Sumar vectores en el plano carte-siano y aplicar la suma de vectores para describir composiciones de traslaciones en el plano cartesiano.







- Síntesis.

- Autoevaluación.




4. Autoevaluación

- Conocer y operar las transforma-ciones isométricas en el plano car-tesiano.

- Construir figuras geométricas en el plano cartesiano, utilizando las trans-formaciones de traslación, reflexión y rotación en ángulos de 90º y 180º.

- Comprender el concepto de con-gruencia de figuras geométricas.

- Relacionar el concepto de con-gruencia con las transformaciones isométricas.

- Utilizar los criterios de congruencia de triángulos para realizar construc-ciones geométricas, resolver proble-mas y demostrar propiedades.







- Síntesis.

- Autoevaluación.




4. Autoevaluación


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UN

IDA

D 3

Álg

ebra

- Usar e interpretar convenciones algebraicas básicas que permitan generalizar conceptos, relaciones u operaciones, así como también re-presenta situaciones que involucren cantidades variables.

- Modelar situaciones o fenómenos mediante funciones lineales y afi-nes.

1.- Expresiones alge-braicas y la ecuación de primer grado.

1.- Caracterización de monomios y polinomios.

2.- Caracterización de expresiones algebraicas no fraccionarias.

3.- Operatoria de operaciones alge-braicas.

4.- Productos notables.


2.- Función lineal y función afín.

1.- ¿Qué es una función lineal?

2.- ¿Qué es una función afín?



1º Medio

GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR / Matemática 1o Medio1�


- Caracterizar los diferentes tipos de monomios y operar con ellos.- Conocer y operar con los produc-tos notables.- Establecer relaciones entre expre-siones algebraicas no fraccionarias, mediante eliminación de paréntesis, reducción de términos semejantes, productos, productos notables y factorización.- Plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes literales.- Aplicar las ecuaciones de primer grado en la interpretación y transfor-mación de fórmulas.- Resolver problemas de la vida coti-diana que involucren ecuaciones de primer grado y productos notables.







- Síntesis.

- Autoevaluación.




4. Autoevaluación

- Comprender el concepto de fun-ción lineal .- Analizar las distintas representacio-nes de la función lineal (tablas, gráfi-cas, algebraicamente).- Aplicar la función lineal y sus re-presentaciones a la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad di-recta.- Comprender el concepto de fun-ción afín.- Representar gráficamente la fun-ción afín e interpretarla.- Analizar situaciones para las que la función afín es útil en la modelación de situaciones diversas y compren-der las variaciones gráficas que se producen por la modificación de sus parámetros.







- Síntesis.

- Autoevaluación.

1. InicialObservación directa del grado de compren-sión de la información y expresión oral reque-rido por el capítulo.



4. Autoevaluación




UN

IDA

D 4

Dat

os y

Aza

r

- Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante grá-ficos que se obtienen desde tabla de frecuencias, cuyos datos están agru-pados en intervalos.

- Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando crite-rios referidos al tipo de datos que se están utilizando.

- Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea en forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del experimento aleatorio.

- Aplicar modelos lineales que re-presentan la relación entre variables, diferenciar entre verificación y de-mostración de propiedades, analizar estrategias de resolución de proble-mas de acuerdo con criterios defini-dos.

1.- Interpretar y pro-ducir Información

1.- Obtención de la información.

2.- Organización y representación de la información.

3.- Medidas de tendencia central.

4.- Inferencia estadística.


2.- Probabilidades

1.- Ley de los grandes números.

2.- Resolución de problemas y apli-caciones.


1º Medio



- Obtener información, partir de da-tos presentados en histogramas, po-lígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumuladas.- Organizar y representar datos, extraídos desde diversas fuentes, usando histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumuladas, construidos manual-mente y con herramientas tecnoló-gicas.- Obtener e interpretar información por medio de la lectura de medidas de tendencia central y posición, a partir de conjuntos de datos obteni-dos desde diversas fuentes.- Caracterizar un conjunto de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentil) y cuartil, en diversas contextos y situa-ciones.- Resolver problemas de la vida coti-diana que involucren el uso de grá-ficos y tablas, así como herramientas de tendencia central.







- Síntesis.

- Autoevaluación.

1. InicialObservación directa del grado de comprensión de la información y ex-presión oral requeridos por el capítulo.



4. Autoevaluación

- Comprender la Ley de los Grandes Números a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de proba-bilidades.- Aplicar la Ley de los Grandes Nú-meros para obtener la probabilidad de un evento aleatorio.- Resolución de problemas en con-textos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace o las frecuencias relativas, dependiendo de las condi-ciones del problema.

- Exploración de conocimien-tos previos.- Exploración personal.- Conexión con Internet para la ejercitación de los conteni-dos.- Actividades No Experimen-tales.- Lectura Científica.- Ejercicios Resueltos.- Síntesis.- Autoevaluación.

1. InicialObservación directa del grado de comprensión de la información y ex-presión oral requeridos por el capítulo.2. ProcesoRevisión de las solucio-nes planteadas a situa-ciones problema.3. FinalPor medio de los pro-blemas “Para Ejercitar” y desafíos planteados.4. Autoevaluación



IntroducciónPodemos observar que en el ajuste curricular actual para Primer Año Medio se considera que en los cursos ante-riores las alumnas y alumnos han aprendido una serie de contenidos útiles para esta Unidad, como, por ejemplo los números enteros, trabajos con fracciones y decimales, tanto positivos como negativos.

Debido a esto, entendemos esta Unidad como la profundización de los temas a través de la formalización del conjunto de los números racionales y sus propiedades. Buscamos, también, por medio de la resolución de problemas, que los alumnos y alumnas desarrollen el pensamiento matemático por sobre la mecanización de procesos. Es importante que se fomente la capacidad para analizar e interpretar los resultados de los problemas, así como demostrar algunas propiedades asociadas a los números racionales y las potencias de base racional y exponente entero, entendido esto como una generalización de las propiedades vistas para los números enteros y las potencias de base entera y exponente entero.

Hemos considerado a lo largo de la Unidad la inclusión de contenidos complementarios que ayudan a conocer en mejor forma los contenidos, como por ejemplo, contenidos históricos sobre hechos o situaciones asociadas a los números racionales y las potencias, como el nacimiento de la calculadora. Hemos considerado, además, la inclusión de páginas web, que comprenden la ejercitación de los contenidos tratados y el uso de herramientas tecnológicas como es Excel.

La Unidad se ha dividido en dos capítulos, el primero, llamado “Números Racionales” se centra en la formaliza-ción del conjunto de los números racionales y sus propiedades, es importante destacar algunas propiedades como son que la suma y el producto son operaciones binarias internas en el conjunto de los números ra-cionales, más aún es importante notar que los números racionales con la suma y el producto usual tienen la estructura de cuerpo, y es el cuerpo más pequeño que contiene a los números naturales. Continuamos con una caracterización de los números racionales como aquellos números decimales que no son infinitos puros y la transformación de número decimal a fracción y acabamos el capítulo con los conceptos de redondeo, truncamiento y error, conceptos de gran importancia, ya que tal como se muestra, las calculadoras y compu-tadores sólo trabajan con valores aproximados, notemos que asociado a esto está el hecho de la densidad de los números reales, lo cual se discute por medio de resultados del tipo “entre dos números racionales siempre existe otro racional”. Es importante destacar que la transformación de un número decimal a fracción es de vital importancia para entender el conjunto de números irracionales, ya que esto permitirá a los alumnos y alumnas el darse cuenta de que es posible realizar esta transformación sólo en números decimales finitos e infinitos periódicos, situación que en los números irracionales no ocurre. En el segundo capítulo, llamado “Potencias de base racional y exponente entero”, nos centramos en el estudio de las potencias de base racional y exponente entero. Las propiedades aquí mostradas se obtienen como una extensión natural de las estudiadas en los cur-sos anteriores. Concluimos ambos capítulos con situaciones problemas y su resolución, los cuales inducen al razonamiento matemático.

Unidad 1 Números

1º Medio


Inicio de la Unidad y del CapítuloEn estas páginas se dan los conte-nidos a tratar tanto en la Unidad de Números como en el Capítulo 1 Números Racionales. Se sugiere crear una guía de refe-rencias que oriente a los alumnos y las alumnas en el desarrollo de los contenidos, comprendiendo la importancia que tiene el saber cuándo comienza y cuándo termi-na un tema o Unidad.También se sugiere crear una guía de competencias como estructura para ser reconocida por los escola-res como ayuda para autoevaluar-se.

Se debe poner énfasis en la importancia del planteamiento e interpretación para proponer y resolver proble-mas, por sobre la mecanización , ya que lo primero es lo que ayuda al razonamiento matemático.

Situación ProblemáticaAquí el objetivo es presentar una situación práctica como proble-ma indagatorio que introduzca los contenidos que se estudiarán.Es importante notar que los nú-meros enteros no son suficientes para resolver cualquier problema. Esto da pretesto al estudio de otros conjuntos numéricos como son los números racionales.Se sugiere buscar otras situacio-nes similares y permitir que los alumnos y alumnas planteen pro-blemas de la vida cotidiana en que los números enteros no son sufi-cientes para resolverlos. Para esto

guíe la conversación preguntando sobre diferentes temas como, por ejemplo, las compras: “Jorge compra 1/2 kilo de manzanas a $450 el kilo y 3/4 kilo de peras a $550 el kilo ¿Cuánto dinero gastó en total?”, o la repartición de alguna especia, etc.

Unidad 1 Sugerencias metodológicas



RecordemosEn esta sección se presentan algunos contenidos tra-tados en cursos anteriores que permiten recordar la idea de la representación en la recta numérica de los números enteros, así como las operaciones en los nú-meros enteros.Es importante desarrollar en los alumnos y alumnas la capacidad de autocrítica respecto de los conocimien-tos necesarios para aprender y la disposición personal a ello. En cuanto a las operaciones en los números enteros, es importante que los alumnos comprendan que

− − = −( ) ⋅ −( ) =( )1 1 1 1

y lo sepan interpretar correctamente como el inverso aditivo de –1 es 1.Ejercitar la operatoria en la recta numérica, de mane-ra que los alumnos sepan interpretar en dicha recta operaciones como -2 + 3 = 1 -2 + (-3) = -5así como operaciones de multiplicación y división de números enteros.Se debe hacer énfasis en la interpretación y el plan-teamiento por sobre la mecanización, para ello resol-ver problemas con enunciado como los planteados en “Para ejercitar”.

1º Medio


¿Qué son los números racionales?El tema central de esta Unidad son los “números racio-nales”, tanto en su operatoria como en las potencias, por ello, aun cuando los alumnos y alumnas han estu-diado las fracciones y los números decimales, debemos formalizar sus propiedades en el marco de un conjunto numérico, en el que las propiedades se obtienen como una continuación natural de las propiedades vistas pri-meramente en los números naturales y luego en los números enteros.Se debe realzar también la necesidad de estos núme-ros por medio de un problema indagatorio como el planteado y discutir con los alumnos y alumnas sobre qué otras situaciones similares ellos ven en la vida coti-diana. Se sugiere incentivar la discusión sobre los con-juntos numéricos y los contextos en que aparecen.

La recta numérica en los números racionalesNotemos que la recta numérica es una importante herramienta en la comprensión de los conjuntos numéricos. En este caso, los alumnos y alumnas deben ser capaces de interpretar información a partir de la recta numérica y realizar comparaciones.En esta sección se propone una forma simple para graficar los números racionales en la recta numérica, para ello se propone el siguiente ejercicio:

Comparemos en la recta numérica los números 1/3, 1/2, -1/3 y -1/2. Para ello represéntelos tal como se plantea en la página 19, dibujando un trazo el que dividiremos en dos y tres partes respectivamente, y así representaremos las fracciones an-teriores. Inducir a los alumnos a que bus-quen regularidades para las rela-ciones de orden, -1/2 < -1/3 < 0 < 1/3 < 1/2.Se dan algunas páginas Web para que los alumnos ejerciten los te-mas tratados y complementen los contenidos.



Adición y sustracción de fraccionesEn estas páginas se consideran las operaciones de suma y resta de números racionales. Para mejorar la comprensión se comienza con fracciones de igual de-nominador y luego de diferente denominador. Se sugiere reforzar la idea gráfica de la representación de las operaciones, considerando un cuadrado como la unidad y la fracción representada por una parte de las divisiones del cuadrado, tal como se plantea en el texto del estudiante.Por otra parte, se recomienda inducir las propiedades de la suma de números racionales como son las si-guientes:

Existencia de un neutro aditivo: 0 =01

=0n

,

con n ≠ 0 un entero cualquiera. Recordar, además, que el neutro aditivo es único. De acuerdo al nivel de los alumnos y alumnas, se recomienda hacer pe-queñas demostraciones, por ejemplo, la unicidad del neutro aditivo.Para ello suponemos que existen dos neutros aditivos 0 y 0’, luego 0 = 0 + 0’ = 0‘, la primera igualdad es del hecho de que 0’ es neutro aditivo y la segunda igual-dad se debe a que 0 es neutro aditivo, luego 0=0’, lo que prueba la unicidad del neutro.

Conmutatividad de la suma: Dados dos números ra-cionales cualesquiera se tiene:

ab

+ cd

= cd

+ ab

Asociatividad de la suma: Dados tres números racio-nales cualesquiera se tiene:

ab

+ cd

+ ef

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

ab

+ cd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

ef

Se sugiere realizar pequeñas demostraciones asocia-das a estas propiedades. También aconsejamos plan-tear problemas asociados a las operaciones de suma y resta de números racionales y fomentar la discusión de situaciones contextualizadas en que aparecen es-tas operaciones. Resaltar además las limitaciones de la sustracción, como la no conmutatividad.

1º Medio


Máximo común múltiplo yMínimo común divisorLos conceptos de Máximo común múltiplo y Mínimo común divisor son de gran importancia. Mostrar su utilidad en la suma y resta de fracciones.

Para una mejor comprensión se sugiere la idea de descomposición prima de un número entero. Para ello explicar la importancia de los números primos y su utilidad, ver por ejemplo http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo y sus aplicaciones a la criptografía, entre otras cosas.

Se sugiere explicar gráficamente los conceptos de MCM y MCD, por ejemplo, considerar las fracciones 1/2 y 1/3 y dividir un cuadrado en dos y tres partes respectivamente. Podemos preguntar cómo pode-mos representar ambas fracciones con igual denomi-nador, de manera que tengan el menor número de divisiones.



Multiplicación y división de fraccionesTal como hicimos para las operaciones de suma y res-ta, se analizan las operaciones de multiplicación y divi-sión de números racionales. De manera de graduar la dificultad de los contenidos, se analiza primeramente el caso de la multiplicación y división de fracciones por un número entero. Es importante notar el hecho de que cualquier número entero se puede escribir como una fracción de denominador uno. Se recomienda representar gráficamente estas opera-ciones de manera de inducir las propiedades de estas operaciones.Nuevamente, y de acuerdo al nivel del curso, se pueden estudiar algunas propiedades de la multiplicación de fracciones. Por otra parte, se sugiere inducir las propie-dades de la suma de números racionales, tales como:Existencia de un neutro multiplicativo: 1 = n / n, con n ≠ 0 un entero cualquiera. Notar que el neutro aditivo es único. Nuevamente se recomienda hacer pequeñas demostraciones, por ejemplo, la unicidad del neutro aditivo.En efecto, supongamos que existen dos neutros mul-tiplicativos 1 y 1’, así tenemos que 1 = 1 • 1’ = 1’, donde la primera igualdad es consecuencia de que 1’ es neu-

tro multiplicativo y la segunda igualdad se obtiene del hecho que 1 es neutro multiplicativo, así concluimos que 1=1’, lo que prueba la unicidad del neutro.

Conmutatividad del producto: Dados dos números racionales cualesquiera, se tiene:

ab

⋅ cd

= cd

⋅ ab

Asociatividad del producto: Dados tres números racionales cualesquiera, se tiene:

ab

⋅ cd⋅

ef

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

ab⋅

cd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

ef

Distributividad del producto con respecto a la suma: Dados tres números racionales cualesquiera, se tiene:

ab

⋅ cd

+ef

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

ab

⋅ cd

+ ab

⋅ ef

y ab

+cd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

ef

= ab

⋅ ef

+ cd

⋅ ef

En cuanto a la división, se debe reforzar la idea de que dado un número racional no nulo, entonces el dividir 1 por ese número se obtiene el inverso multiplicativo, además; el dividir por un número racional se puede inter-pretar como multiplicar por el inverso multiplicativo de dicho número.De manera de inducir el razonamiento matemático, al igual que los conceptos de hipótesis y tesis, se reco-mienda examinar pequeñas demostraciones asociadas a estas propiedades. Se recomienda también plantear problemas en que señalar estas operaciones y fomentar la discusión de situaciones contextualizadas en que ellas se presenten. Señalar además las limitaciones de la división, como la no conmutatividad.

1º Medio


Algunas propiedades de los números racionalesSe debe hacer hincapié en el hecho de que los núme-ros racionales es el primer conjunto numérico en el cual las operaciones de suma, resta, multiplicación y división son cerradas. Más aún, él verifica la estructura de cuerpo. Una propiedad importante en los números racionales es su densidad en el conjunto de los números reales. En general, este es un concepto complejo para los estudiantes. Señalar que en realidad, entre dos núme-ros racionales diferentes cualesquiera, existen infini-tos números racionales, por muy próximo que estén ambos números. Por otra parte, es interesante señalar el hecho de que aunque parezca que los números racionales son mu-chos más que los números enteros, en cierto sentido se puede decir que ambos conjuntos tienen el mis-mo número de elementos, por lo que esto ayudaría a comprender el concepto de numerabilidad. Así podemos construir una aplicación biyectiva entre los números racionales y los números enteros de la siguiente forma:

0 1 2 3 4 …..

1 1 1/2 1/3 1/4

2 2 2/2 2/3 2/4

3 3 3/2 3/3 3/4

4 4 4/2 4/3 4/4

……

T(0)=0 T(1)=1 T(2)=1/2 T(4)=1/3 T(3)=2 T(5)=3

Y barremos la tabla en forma diagonal, para los nega-tivos se hace en forma análoga. Esto se puede discutir con los alumnos y alumnas de acuerdo al nivel del curso.



Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionalesAun cuando los números racionales corresponden a un contenido de segundo año de Enseñanza Media, es importante mostrar que el conjunto de los números racionales no es el mayor conjunto numérico posible y que existen problemas que no es posible resolver con los números racionales, como la diagonal de un cuadrado, la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es 3 m2., el perímetro de una circunferencia de radio uno, etc.Además, se debe hacer hincapié en la clasificación de los números decimales, señalando que los conjuntos antes estudiados como son los números naturales y los números enteros constituyen un caso particular de los números racionales. Por otra parte, resaltar expresa-mente la diferencia entre los números decimales infi-nitos puros y los números racionales, esto permitirá en el futuro demostrar que los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos.Se sugiere realizar los desarrollos para la obtención de la fórmula para transformar un número decimal entero, finito, periódico o semiperiódico en un número frac-cionario. Se debe hacer énfasis en que el desarrollo de las fórmulas permite una mejor comprensión de los te-mas por sobre la mecanización de las actividades.Se incorporan algunas páginas Web para complemen-tar contenidos y ejercitar los temas tratados.

1º Medio


Redondeo, truncamiento yerror en los números racionalesEn esta sección se estudian una serie de conceptos, los que pueden haber sido estudiados con anteriori-dad, pero que permiten una mejor comprensión del concepto de aproximación. Es importante que los alumnas y alumnos compren-dan que en la realidad se trabaja casi siempre con aproximaciones, para ello se sugiere plantear situa-ciones donde esto suceda, como por ejemplo en el cálculo de una distancia o al pesar algún objeto, ya que los instrumentos tienen sólo ciertos rangos de tolerancia. En el caso de la parte entera, es importante que los alumnos comprendan su definición y a partir de ella deduzcan propiedades como, por ejemplo:

[ a ] + [ b ] ≤ [ a + b ]y plantear interrogantes como en qué caso se da la igualdad. Esto ayuda al pensamiento lógico y al razo-namiento matemático.Otro concepto de interés es el de valor absoluto de un número; se debe destacar que es de gran utilidad en el cálculo de los errores. Se sugiere inducir en la búsqueda y demostración de sus propiedades, de acuerdo al nivel de los alumnos y las alumnas.En cuanto al redondeo y truncamiento se sugiere orientar a los alumnos y las alumnas en el uso de es-trategias que ayuden a comprender ambos concep-tos, no sólo en estrategias de cálculo, sino también en el caso de gráficos y comparaciones. Es importante discutir en clases sus aplicaciones a contextos reales y de qué manera se utilizan ambos procedimientos en la realidad.Finalmente, se estudia el concepto de error, en par-ticular se estudian los conceptos de error absoluto y

error relativo. Es importante contextualizar ambas definiciones, mostrando situaciones en que ambos errores aparecen, por ejemplo, en situaciones experimentales o bien considerar el siguiente ejemplo:Consideremos dos envíos de frutas, que se realizaron al extranjero, el primero era de 100.000 kilos y el segundo de 1.000 kilos. Al llegar los envíos se observó que en ambos faltaban 100 kilos de frutas ¿Analizar el error abso-luto y relativo en ambos casos? ¿En qué caso el error es más significativo?



Usando la calculadoraEn muchos casos, los alumnos y las alumnas realizan operaciones matemáticas con ayuda de una calcu-ladora y en algunos otros, con un computador, sin cuestionarse si el resultado es correcto o no, por eso es de importancia generar las condiciones para que ellos y ellas se planteen si “creer el resultado o no” o “cuál es su nivel de certeza”.

Historia de la calculadoraEn los ¿Sabías que? Nos planteamos el incorporar contenidos anexos que son de interés para comple-mentar los contenidos. En este caso consideramos la historia de la calculadora. Se incentivar fomentar el trabajo de investigación en los alumnos, buscando material anexo sobre temas relacionados como, por ejemplo, las biografías de Pascal, Leibniz, etc. También se puede incentivar el estudio de la historia de los computadores.

1º Medio


Estrategias de resolución deproblemasEn esta sección se plantea la resolución de la situa-ción problemática inicial, se hace énfasis en las etapas de resolución del problema. Se sugiere generar una discusión con los alumnos y las alumnas sobre las formas de afrontar el problema y buscar diferentes estrategias para su resolución. Buscar, además, con el curso, situaciones similares que se pueden plantear como problemas y plantear sus soluciones.

Las funciones truncar y redondear en ExcelEn esta sección se busca la utilización de unsoftware para el cálculo de aproximaciones. Notar que existen una serie de otros software similares a Excel, los que son de dominio público y descarga gratuita en inter-net y con prestaciones similares como NeoOffice y otros.



Hagamos un poco de historiaEn esta sección se busca complementar los temas tratados, presentando aspectos históricos asociados a las fracciones y los números racionales, y su impor-tancia en el desarrollo de la matemática.Se recomienda incentivar en los alumnos y alumnas la curiosidad y aptitudes para investigar en forma in-dividual o grupal, acerca de diferentes temas. En este caso se sugiere, además, que los alumnos y alumnas estudien los diferentes sistemas de numéri-cos usados en la antigüedad y su aporte a sus cultu-ras. Un tema de interés es investigar sobre la aparición del cero, número que apareció sólo en algunas cultu-ras antiguas.

Cierre del CapítuloComo cierre del Capítulo se plantean tres instancias: la primera es una colección de problemas que incluye los contenidos del Capítulo de manera de consolidar los temas aprendidos. Es importante que el docente haga la distinción entre aprendizaje de conocimiento y de aplicación, por ello se recomienda que el alumno o la alumna explique con palabras (o en forma escrita) el porqué de los valores numéricos de los cálculos que realiza. Se sugiere, además, que para los problemas de planteamiento, los alumnos y las alumnas muestren el modelo matemático de la situación, esto ayudará a pesquisar errores de forma que puedan llevar a no po-der resolver el problema.Por otra parte, se incluye un mapa conceptual del capítulo. Los mapas conceptuales fueron creados por Joseph Novak en los años 60 y tienen su origen en las teorías sobre la psicología del aprendizaje de David Ausubel. Su función es ayudar a la comprensión de los conocimientos que los alumnos y alumnas tienen que aprender y a relacionarlos entre sí o con otros cono-cimientos que ellos ya poseen. Finalmente, incluimos una autoevalución con rúbrica. Esto ayudará, por una parte, a facilitar que el alumno o la alumna pueda ha-cer una autocrítica respecto de sus niveles de logro alcanzados y plantear estrategias de mejoramiento, y por otra parte, permitirá al docente conversar con cada estudiante para evaluar y mejorar sus rendimientos.

1º Medio


Material auxiliar para ejercitarOperaciones con los números racionales

I Dados los siguientes números, represéntalos en la recta numérica y ordénalos de menor a mayor.

a) 35

26

73

58

, , .- - y b) − − −107

154

1913

1021

, , .y

II Realice las siguientes operaciones y represéntalas gráficamente.

a) 35

27

+ = ... b) −2

3+

12

9= ...

c) − − =7

1515

... d)

922

- - 65

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ...

III Realiza las siguientes operaciones

a)

27

⋅ 65

= ... b)

- 34

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ -

29

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ...

c)

76

÷ 127

= ... d)

95

÷ 245

= ...

e)

611

⋅ 2

13 -

47

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ... f)

613

÷ 35

+ 74

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ...

IV Considera los siguientes números decimales y clasifícalos según su tipo. Si es posible, escríbelos como una fracción.

a) –0,2364 b) 1,2980001

c) –4,087392 d) 125,8409370

V Considera las siguientes fracciones y escríbelas en términos de números decimales. Determina qué tipo de número decimal es.

a) 125

b) 187

c) -7

12 d) 12

5

e) -413



VI Complete la siguiente tabla:

Número Decimal Orden de Truncamiento Redondeo Truncamiento

-20,138002 3

-12/13 4

128,07947 4

10,453739810,454

-1,874509800475 -1874509

7/9 0,777777

VII Jorge, Andrea y Mario compraron una pizza y, para repartirla decidieron que Jorge comería 1/3, Andrea 1/5 y Rodrigo 1/4.

¿les alcanzó la pizza para los tres? ¿Sobró algo de la pizza?

VIII Si miras un reloj observará que al seguir el minutero, un cuarto de hora corresponde a 15 minutos y el ángulo correspondiente es de 90º.

¿Podrías decir a cuántos grados y a qué porcentaje de la circunferencia corresponden 25 minutos?

¿y 95 minutos?

IX Claudia ha decidido pintar la fachada de su casa, para ello obtuvo dos presupuestos, el primero le cobra $40.000 diarios y tardará en pintar su casa 5 días, el segundo cobra $35.000 diarios y tardará 7 días en pintarla.

¿Cuál de los pintores le conviene más?

¿Cuánto, pagaría en total si contrata a ambos pintores y cuánto tardarían en hacer el trabajo?

1º Medio


Evaluación 1

I Resuelve las siguiente operaciones

a)

215

- 94

= ... b)

75

⋅ 27

+ 89

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ... c)

27

- 3

10

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ÷

25

= ...

II Clasifica los siguientes números decimales y escríbelos como fracción.

a) -2,35648 b) 76,089120

III Tres amigos formaron una sociedad anónima a la que aportaron cada uno $500.000, $800.000 y $1.000.000 de pesos. Después de tres años decidieron acabar con la sociedad y repartirse los bienes y ganancias que en forma proporcional a lo que cada uno había obtenido. Si el total a re-partirse es de $2.400.000.

¿Qué cantidad le corresponde a cada uno de ellos?

Si el primero de ellos recibiera $350.000, cuánto recibirían cada uno de los otros socios y cuál sería el monto total de las ganancias?

Evaluación 2

I Resuelve las siguiente operaciones

a) -157

+ 79

= ... b)

75

35

- 211

= ...

c)

- 69

- 53

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

76

⋅ 8

15 = ...

II Clasifica los siguientes números decimales y escríbelos como fracción.

a) -2,08748792 b) -17,90128

III En una empresa lechera se sabe que aproximadamente 3/20 de la leche corresponde a crema de leche y ésta al usarse para hacer mantequilla se observa que 3/10 de la crema se convierte en mantequilla. Por otra parte, si cada litro de leche pesa aproximadamente un kilo.

¿Cuántos litros de leche son necesarios para producir un kilo de matequilla?

Si tenemos 2.500 lts. de leche ¿Cuántos kilos de mantequilla podemos producir?

texto escolar i medio matematicas

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