texto escolar i medio matematicas

MatemáticaXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

T E X TO PA R A E L E S T U D I A N T E

J A I M E O RT E G A

Primeromedio

MATEMÁTICA I MEDIOUn proyecto deEmpresa Editora Zig-Zag S.A.

Gerencia GeneralRamón Olaciregui

AutorJaime Ortega

EditorPatricia Maure

Dirección EditorialMirta Jara

EdiciónMiguel Ángel Viejo

Corrección de estiloJosé Luis Brito

Director de ArteJuan Manuel Neira

Jefe de ProducciónFranco Giordano

Equipo de diseñoPamela BubenDaniel BrownJosé Luis GrezClaudio SilvaEduardo Álvarez

IlustracionesArchivo editorial

FotografíasArchivo editorial

I.S.B.N.: ______________

© _____________.

El presente libro no puede ser reproducido ni en todo ni en parte, ni archivado ni

transmitido por ningún medio mecánico, ni electrónico,

de grabación, CD-Rom, fotocopia, microfilmación u otra forma de reproducción, sin la autorización escrita de

su editor.

Impreso por ____________

MatemáticaXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

T E X TO PA R A E L E S T U D I A N T E

J A I M E O RT E G A

Primeromedio

�INICIO DE UNIDAD / Matemática 1o Medio

Índice de contenidos

Unidad 1 / Números

Capítulo 1 / Números racionales1. Los números enteros 142. Los números racionales 173. Adición y sustracción de números racionales 204. Algunas propiedades de números racionales 305. Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales 326. Redondeo y truncamiento en los números racionales 38. Usando la calculadora 43. ¿Sabías que? 44. Estrategías de resolución de problemas 45. Las funciones de truncar y redondear en Excel 47. Hagamos un poco de historia 51. Consolidando 52. Mapa conceptual 51. Autoevaluación 52

Capítulo 2 / Potencias de base racional y exponente cero1. Potencias de base racional y exponente entero 582. Potencias de base racional y exponente entero 64. Estrategías de resolución de problemas 72. Hagamos un poco de historia 74. Consolidando 75

Unidad 2 / Geometría

Capítulo 1 / Djjdfgiofo1. Ls hjhjd kjkkk 002. Sg tytk lklklfgf 00. Estrategías de resolución de problemas 00. Hagamos un poco de historia 00. Consolidando 00. Mapa conceptual 00. Autoevaluación 00

�ÍNDICE DE CONTENIDOS / Matemática 1o Medio

Unidad 3 / Algebra


Unidad 4 / Datos y azar


Estructura gráfica del texto

�INICIO DE UNIDAD / Matemática 1o Medio

Adición y sustracción de números racionales

Establecer algunas propiedades de los números racionales y de operaciones del tipo: entre dos números racionales siempre exis-te un racional; la suma, la resta, el producto y el cuociente de dos números racionales es siempre un número racional

Sistematizar procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas, operaciones con números racionales y su aplicación a la resolución de problemas

Multiplicación y división de números racionales


Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales

Transformar números decimales infinitos periódicos y semiperió-dicos a fracción.

Redondeo y truncamiento en los números racionales

Aproximar racionales a través del redondeo y truncamiento, y re-conocer las limitaciones de la calculadora para aproximar deci-males.

Estrategias de resolución de problemas

Resolución de problemas de contextos diversos que involucran números racionales

Los números racionales

Caracterizar los números racionales y los tipos de problemas que permiten resolver.

Representar de los números racionales en la recta numérica.

13

UnidadUnidad 1: Números racionales

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio13

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio12

6 8

3 953

58 829 66847

5

473 3

1

58 823668

475

475

3

1 5 94753

Situación problemática

Jorge recibió un premio de $5.000.000 y, luego de pensarlo un poco, decidió emplearlo de la siguiente forma; 1/8 en arreglos de su casa y 2/6 en regalos para su familia.

¿Cuánto dinero gastó en total?

¿Podrías decir con cuánto dinero quedó finalmente Jorge?

A continuación revisaremos la forma de responder esta pregunta.

Los temas de este capítulo son: Al final de este capítulo serás capaz de: Los temas de este capítulo son: Al final de este capítulo serás capaz de:

CApiTuLo 1 núMERos RACionALEs

Unidad 1: Números racionales


PARA EJERCITAR

También puedes practicar la suma y resta de fracciones en las siguiente páginas web

http://descartes.cnice.mec.es/experiencias/Mates_RyC/fracciones_2/13-suma.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/fracciones/suma4.htm


En Internet

I Encuentre el valor de las siguientes expresiones.

a) 25

+67

= b) 68

–1311

=

c) 155

–-1613

= d)-47

–-712

=

II Encuentra el valor de las siguientes expresiones

a) 72

+35

–4

10+

110

=

b) – ( 13

–25 ) + ( 3

4–

28 ) =

c) 23

– [ (1215

+69 ) – (13

2–

14 ) ] =

III La distancia entre Curicó y Molina es de 16 Kms.

¿Cuántas horas debe caminar un hombre que recorre los 3/14 de dicha distancia en una hora, para ir de Curicó a Molina?

IV Margarita camina a una velocidad de 4 km/h y corre a 6,5 km/h.Si corre se puede ahorrar 13/4 minutos desde la casa hasta elparadero de buses.

¿Cuál es la distancia en que debe recorrer entre su casa y el pa-radero?

V Antes de morir, Julio dejó a sushijos17 caballos para que se re-partieran en la siguienteforma: la mitad para el mayor, un ter-cio para el segundo y un noveno para el menor. Debidoa quenohabía forma de realizar el reparto los hermanosrecurrierona un juez, quien incorporó un caballo a los 17 e hizo el repartoconforme a la voluntad del padre: 9 caballos para el mayor, 6para el segundo y dos para el menor. El caballo sobrante tuvoque devolverlo pues era prestado.

Comenta la solución.

Toma Nota

Sean a, b, c y d números enteros, tales que c ≠ 0, y d ≠ 0, entonces

ac

– bd

= a.d+b.cc . d

Inicio de Unidad

Presenta los grandes temas de la unidad y los aprendi-zajes que esperamos desa-rrolles con tales contenidos.

Inicio de capítulo

A través de un organizador gráfico puedes visualizar la relación de las habilidades que pretendemos que de-sarrolles con cada uno de los contenidos que la uni-dad te propone.

1Al final de esta Unidad serás capaz de:

1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución con los números naturales y ente-ros.

2. Caracterizar los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números en-teros con divisor distinto de cero.

3. Representar números racionales en la recta numérica.

4. Aproximar números racionales, aplicar adiciones, sus-tracciones, multiplicaciones y divisiones con números ra-cionales en situaciones diversas y reconocer algunas pro-piedades de ellos.

5. Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y reconocer algunas de sus propiedades.

Capítulo I

Números racionalesEn este capítulo estudiaremos el conjunto de los números racionales. Veremos de qué manera este conjunto aparece como una extensión del conjunto de los números enteros, y mostraremos su utilidad en la resolución de una serie de problemas, lo cuales no se pueden resolver con los núme-ros enteros. A continuación veremos su representación en la recta numérica y de qué manera podemos aproximar los números racionales, luego revisaremos algunas propieda-des de las operaciones de la adición, sustracción, multipli-cación y división en los números racionales.

Capítulo II

Potencias de base racional y exponente enteroEn este capítulo, continuaremos el estudio de las poten-cias, considerando potencias de base racional y exponente entero. Analizaremos algunas de sus propiedades y su apli-cación a problemas de la vida cotidiana.

Unidad Números

UnidadUnidad 1: Números racionales

NÚMEROS / Matemática 1o Medio11

Unidad 1 / Matemática 1o Medio10

Toma NotaLos contenidos matemáticos se van explicando con un lenguaje cer-

cano y a través de ejemplos prácticos que te permiten aprender, com-

Para EjercitarPara favorecer la integración de los aprendizajes, te proponemos una

selección de actividades y la resolución de situaciones problemáticas

vinculadas a contextos reales. Al finalizar cada tema se presentan activi-

dades graduadas en orden de complejidad para favorecer la consolida-

TipsDestinados a entregar recursos externos a la información desplegada

en los contenidos, como información de Internet, datos u aclaración

�CONTENIDO DE CAPÍTULO / Matemática 1o Medio



Unidad


PARA EJERCITAR

2.2 La recta numérica en los números racionales

Veamos ahora como podemos representar los números racionales en la recta numérica.

Consideremos el número racional 35

. Podemos observar que

35

= 1610

= 0,6

el cual es un número que está entre 0 y 1, es decir,

0 < 35

< 1,

Luego, para representarlo en la recta numérica, se tiene que si consideramos en la recta numérica el segmento entre 0 y 1, y lo dividimos en 5 segmentos iguales, entonces 3/5 corresponde al número que se obtiene al considerar 3 de estos segmentos

0 213/5

0/5 1/5 2/5 4/5 5/5

Veamos ahora como representamos el número -34

. Notemos que -34

= -0,75


. Notemos que -34

= -0,75

el cual es un número entre –1 y 0, es decir, –1 < -34

< 0,

para representarlo en la recta numérica podemos dividir el segmento entre –1 y 0 en 4 partes iguales, luego tenemos lo siguiente:

-1 10-3/4

-4/4 -2/4 0/4-1/4

Toma Nota

De la regla de los signos para la división de números enteros se puede concluir que dados a y b dos números enteros, con b ≠ 0, entonces se tiene que:

-ab

= a-b

= – ab

En Internet

En la siguiente dirección po-drás encontrar más sobre la recta numérica y la represen-tación de los números racio-nales.http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Nu-meros_Reales_Aproximacio-nes/numeros1.htm

Veamos ahora una forma de representar los números racionales en la recta numérica.

1. Consideremos un segmento de longitud la unidad y lo dibujamos en la recta numérica.

2. Dibujemos un segundo segmento desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos, teniendo cuidado de que la división sea en partes iguales. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.

3. Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro seg-mento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obteni-dos en la partición del segmento auxiliar.

Repite este proceso para representar en la recta numérica los números siguientes:

a) 47

b)-13 c)

85

14

0 12

34

1

En Internet

Visita esta página web para ver la representación de los números racionales en la recta numérica:http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Re-presentacion_en_la_recta/Numeros2.htm

I Demuestra que los siguientes números son racionales escri-biéndolos como un cuociente de números enteros.

a) 7 b) -14

c) -7,5 d) 2,05

e) -3 15

f) 2 37

II Ubica en la recta numérica los números presentados anterior-mente.

III ¿Conoces algún número que no sea racional?

En la siguiente página web po-drás ejercitar gráficamente.


En Internet

Unidad


Estrategías de resolución de problemasEjemplo

Jorge recibió un premio de $5.000.000, luego de pensarlo decidió utilizarlo en diferentes cosas, utilizó 1/8 en arreglos de su casa, 2/5 en regalos para su familia ¿Cuánto dinero gastó en total? ¿Podrías decir con cuanto dinero se quedó finalmente Jorge?

Etapa 1

Debemos leer cuidadosamente el problema para responder a las preguntas planteadas.Es importante identificar la o las variables involucradas en el problema. En particular en nuestro caso la variable es la cantidad de dinero que Jorge tiene.

Etapa 2

Revisemos la información entregada en el problema para las variables involucradas y veamos una estrategia para responder a las preguntas planteadas.Dado que la variable de interés es la cantidad de dinero que tiene Jorge, entonces sabemos que recibió un premio de $5.000.000. De esta cantidad de dinero utilizó 1/8 en arreglos y 2/5 en regalos. Estas dos últimas cantidades son gastos y se representarán por valores negativos.

Luego:

Gastos en arreglos: 5.000.000 . ( –18 ) = -625.000

Regalos para la familia: 5.000.000 . ( –25 ) = -2.000.000

Etapa 3

Respondamos a la primera pregunta.Nos preguntan primeramente por la cantidad de dinero que gastó en total, en este caso tenemos lo siguiente:Gasto Total = Gasto en arreglos de casa + Gasto en regalos para la familia

= 5.000.000 . ( –18 ) = -625.000

= -625000 + (-2000000)

= -26250002Es decir, Jorge gastó en total $ 2.625.000.

Etapa 4

Respondamos a la cuarta pregunta.Veamos ahora la segunda pregunta. Sabemos que inicialmente Jorge tenía $5.000.000 y hemos visto que en total gastó $2.625.000, luego:Dinero restante = 5000000 - dinero gastado

= 5000000 - 2650000= 2350000.

Por lo tanto el dinero restante de Jorge es de $2.350.000.

Desarrollo de contenidos

Los contenidos matemáti-cos se van explicando con un lenguaje cercano y a tra-vés de ejemplos prácticos que te permiten aprender, comprender e inferir los conceptos matemáticos.

RecordemosEsta sección contiene ejercicios sencillos que permiten estable-cer conexiones con los conocimientos previos y promover acti-tudes positivas hacia el aprendizaje de la matemática.

Recordemos

Unidad 1: Números


PARA EJERCITAR

Unidad 1: Números


Hasta ahora hemos definido algunos conjuntos importantes como por ejemplo, el conjunto de los números naturales, el cual denotamos por la letra IN, y corresponde al conjunto:

IN = { 0, 1, 2, 3, .......}de igual forma se definió el conjunto de los números negativos por medio de los inversos aditivos, es decir, -1, -2, -3, ….. a la unión de ambos conjuntos se les denominó conjunto de los números enteros, el cual se denota por la letra Z, es decir,

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., }Recordemos que los números enteros los podemos representar en la recta numérica de la siguiente forma:Recordemos también que en la recta numérica, dado un número entero se tiene que su inverso aditivo está a la misma distancia del origen, pero en el lado opuesto, es decir,

-a a0

Si a > 0, entonces su inverso aditivo verifica (-a) < 0 y en la recta numérica tenemos lo siguiente:

-1 10 2 3 4-2-3-4

Enteros POSITIVOSEnteros POSITIVOS

Los números enteros positivos se ubican a la derecha de 0 en la recta númerica.

Los números enteros negativos se ubican a la izquierda de 0 en la recta númerica.

I Realiza las siguientes operaciones de suma y resta de números enteros:

a) 2 + (-3) = b) (-3) + (-5) = c) 3 – (-2) =

d) (-3) – (-5 + 4) = e) – (5 + 3) – (-2) = f) (3 – (-1)) – (-3 + 4) =

II ¿Podrías explicar en la recta numérica las siguientes operaciones?

a) 3 – (-5) = 8 b) -2 – (-1) = –1 c) (-3 – 1) + 4 = 0

III Andrea anduvo de compras y de pronto, en una tienda se fijó que el termómetro marcaba 3º centígrados. Lo comentó con Juan y éste le dijo que en su ciudad la temperatura era 15º más alta, Finalmente, cuando le comentó lo mismo a Paula, esta le dijo que la temperatura en su ciudad era 6º menor

¿Podrías decir cuál era la temperatura en la ciudad de Juan y en la de Paula?

No debes olvidar que -a representa al inverso aditivo de a, es decir, -a + a = a + (-a) = 0 de esta forma se tiene que el inverso aditivo de –1 es 1, es decir, - (-1) = 1.

Toma Nota

1 LOS númErOS EnTErOS

¿Sabías que?En esta sección revisamos algún aspecto de los temas tratados en la unidad, acercandonos a la historia y la evolución de los procesos matematicos.



Historia de la Calculadora

¿ Sabías que ?

El origen de las calculadoras se remonta a los chinos quienes utilizaban el ábaco como una herramienta que les ayudaba a sumar y restar, más tarde William Oughtred inventó la regla de cálculo en 1622, la cual fue una herramienta de gran utilidad. Pero la primera máquina sumadora fue inventada por el matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) en 1642 y se con-coció como la Pascalina. Esta máquina podía sumar y restar. Esta máquina fue usada hasta 1799 para el cálculo de los impuestos en Francia. Más tarde, en 1963, el matemático alemán Gotfried Whilelm Leibniz (1646-1716) ideó una máquina calculadora que me-joraba la máquina de ya que ésta podía multiplicar y dividir, sumando o restando repetidamente una mis-ma cantidad. La primera calculadora electromecánica

la inventó el estadounidense Herman Hollerith (1860-1929), la que se conoció también como máquina tabuladora, la cual la misma funcionaba con tarjetas perforadas. Con el tiempo Hollerith fundo una com-pañía dedicada a construir este tipo de maquinas, esa empresa daría origen más tarde a International Busi-ness Machines Corporation conocida como I.B.M.

El mayor invento fue el de la calculadora de bolsillo.

Las primeras de este tipo aparecieron alrededor del año 1970 y fue gracias al desarrollo de los chips de bajo consumo.

EstrategíasEn cada capítulo te pro-ponemos una sección dedicada a la resolución de problemas. a través de ejemplos contextualizados vamos trabajando paso a paso hasta llegar a la reso-lución.

CIERRE DE CAPÍTULO / Matemática 1o Medio�

ConsolidandoEjercicios que contem-plan la verificación de diferentes habilidades con ejemplos de cálcu-lo mental, resolución de problemas vincula-dos a contextos reales.



ConsolidandoI Encuentre el valor de las siguientes expresiones

a)23 – ( -2

8 ) + ( -58 ) = b) ( 7

-3 ) + ( -53 ) – (11

3 ) =

c)135 – ( 1

4 +-56 ) = d)

-57 + ( 4

6 + -915) – ( -4

9 ) =

II Calcule el valor de las siguientes expresiones

a)45

. ( -46 ) = b) (-3) . ( 3

5 –16 ) =

c)67 ÷

43 = d) ( -1

6 ) ÷ ( -14

. 37 ) =

III Considera las siguientes expresiones y obtén su valor.

a) ( 15 –

219) . ( 3

5 ÷ [ ( -19 ) + ( -2

8 ) ] ) = b) ( -217 ÷

83 ) ÷ ( 1

4 –12 ) =

c) (-4) . ( 17 + ( -5

3 ) ) = d) 1 –1 – 1

2

(1 –[1 – 1

4 ][1 + 1

6 ] ). [ 1

3 ÷32 ] =

VII Dados los siguientes números decimales, escribalos como el cuociente de dos números enteros.

a) 2,019 = b) -23,2305 = c) -102,112 =

d) -3,09101 = e) 10,01102 = f) 1205,177801 =

VII Dados los siguientes números fraccionarios, escribalos como un número decimal e forma exacta.Determine que tipo de número decimal es.

a)5

12 = b) –1124 = c)

1733 =

d)58 = e) –

615 = f)

102-36 =

Hagamos un poco de historiaEjercicios que contemplan la verificación de diferentes habilidades con ejemplos de cálculo mental, resolución de problemas vinculados a contextos reales.

AutoevaluaciónSituación problemática que apuntan a revisar tu forma de extraer y organizar la informa-ción. Para finalizar te proponemos un cua-dro donde puedes re-visar tu puntuación y verificar tus niveles de logro.

1capítulo

Autoevaluación


NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio 55

Jorge y Ana son ambos amantes de la literatura. Jorge tiene 64 libros y Ana 96 libros. Si sabemos que 38 de los

libros de Jorge son novelas, 14 son de poesía y el resto de otros tópicos. Por su parte Ana tiene 12 libros de

poesía, la mitad restante son novelas y el resto de otros temas.

Según lo anterior responde a cada una de las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos libros de poesía tiene Jorge y Juan?

2. ¿Quién tiene más libros de novelas, Jorge o Ana?

3. Si 14 de los libros de poesía de Jorge son de autores extranjeros. ¿Cuántos libros de poesía de autores chi-

lenos tiene Jorge?

CRITERIO INDICADOR

PUNTAJE

Si

(1pto)

Puedo mejorar (0.5 pto)

No

(0 pto)

Criterios deProcedimiento

• Leí el problema• Entendí claramente las preguntas

Criterios deHabilidades

• Organice correctamente la información del problema• Distinguí la información relevante para el problema• Analicé e interpreté correctamente la in-formación para responder a las preguntas• Respondí correctamente la pregunta 1.• Respondí correctamente la pregunta 2.• Respondí correctamente la pregunta 3.• Soy capaz de explicar el problema y sus respuestas.

Criterios deActitud

• Me planteé otras preguntas mientras realizaba el problema• Encontré más de una forma de resolver el problema• Discutí con el curso sobre este problema • Investigué sobre otros aspectos de la cul-tura griega• Soy capaz de plantear otros problemas similares


NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio 51

1capítulo

Como ya sabes, el primer tipo de números construidos por el ser humano fueron los naturales. Sin embargo, los números racionales aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas. Y como suele ocurrir con la mayoría de los conceptos matemáticos, surgieron ante la necesidad de resolver un problema práctico. Si bien los números naturales servían a los antiguos para cuantificar su ganado y sus bienes en términos generales, pronto advirtieron que esto no era suficiente. Al enfrentarse a otro tipo de mediciones, como superficies, pesos y longitudes, con la ayuda de los números naturales no podían hacerlo en forma exacta, pues estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad.

Los mesopotámicos y los egipcios ya trabajaban con algunas fracciones como 1/2, 1/3, o 1/5, generalmente con nu-merador igual a 1. Uno de los primeros registros que se conocen es el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que constituye la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.

En la escritura, los egipcios expresaban la fracción con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo o al lado, es-cribían el denominador. El numerador, como siempre era 1, simplemente se omitía. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época me-dieval. En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulma-nes introdujeron su sistema de numera-ción, conocido como indoarábigo, hito clave para que se iniciara y el estudio de los números racionales.

Recién en el siglo XIII Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo en Europa el concepto de nú-

meros quebrados o números “ruptus” utilizando la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. Más tarde, a principios del siglo XV, el árabe Al Kashi generalizó el uso de los números decimales y a fines del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló las fracciones que se expresaban por medio de números decima-les: décimas, centésimas, milésimas. Sólo a principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. En 1792, los números decimales se impusieron en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal.

Hagamos un poco de historia

Papiro de Rhind

Mapa conceptualAl finalizar los contenidos de la Unidad te presentamos un mapa conceptual a modo de resumen organizado gráficamente con las ideas centrales de cada tema.



Mapa conceptual

(a/b) dividido (c/d) = (a/b) .(d/c) = (ad)/(bc)

SONAQUELLOS QUE

NÚMEROS

RACIONALES

Se escriben como cuociente de números enteros

SE DIVIDEN

Números decimales infinitos semiperiódi-cos 12,3864333333...

Números decimales infinitos periódicos 12,333333...

Números decimales finitos 12,3056

Números enteros..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

OPERACIONES

SE TIENE

SE TIENE

SE TIENE

División de números racionales

a/b .c/d = (ac)/(bd)

a/b + c/d = (ad + bc)/bd

Producto de números racionales

Suma de números racionales

Estructura gráfica del texto

Para resolver cualquier situación es necesario pensar y buscar la manera de hallar la solución.La matemática te ayuda a desarrollar distintas habilidades y destrezas que te permi-ten, no sólo resolver problemas matemáticos, sino que te entregan herramientas (una tabla, un gráfico, un esquema) las cuales te facilitan la vida cotidiana.

HABILIDADES / Matemática 1o Medio�

• Leer entendiendo lo que se plantea en el problema. • Preguntarte respecto a la situación que plantea el problema.• Fijarte bien en la información verdaderamente útil que entrega el enunciado.• Organizar la información a través de tablas, bosquejos, gráficos...

Comprender

• Seleccionar una o más estrategias (caminos) para llegar a la solución.• Conocer el tipo de respuesta que se necesita para resolver el problema.

Planificar

Resolver

• Utilizar las operaciones (adición, sustracción, multiplicación…) requeridas para la solución del problema.• Escribir explicando con el resultado de estas operaciones, una respuesta.• Contextualizar la respuesta.

Revisar y comprobar

• Verificar si la respuesta entregada da solución al problema.• Buscar otras estrategias que te permitan llegar a la solución del problema.• Comparar tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras.

¿Que habilidades desarrollas con la matemática?

Al final de esta Unidad serás capaz de:

1. Comprender que los números racionales cons-tituyen un conjunto numérico en el que es posi-ble resolver problemas que no tienen solución con los números naturales y enteros.

2. Caracterizar los números racionales como aque-llos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.

3. Representar números racionales en la recta nu-mérica.

4. Aproximar números racionales, aplicar adicio-nes, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y reconocer algunas propiedades de ellos.

5. Comprender el significado de potencias que tie-nen como base un número racional y exponente entero y reconocer algunas de sus propiedades.

Números


Unidad 1 / Matemática 1o Medio10

Capítulo INúmeros racionales

En este capítulo estudiaremos el conjunto de los números racionales. Veremos de qué manera este conjunto aparece como una extensión del conjunto de los números enteros, y mostraremos su utilidad en la resolución de una serie de problemas, lo cuales no se pueden resolver con los núme-ros enteros. A continuación veremos su representación en la recta numérica y de qué manera podemos aproximar los números racionales, luego revisaremos algunas propieda-des de las operaciones de la adición, sustracción, multipli-cación y división en los números racionales.

Capítulo IIPotencias de base racional y exponente entero

En este capítulo, continuaremos el estudio de las poten-cias, considerando potencias de base racional y exponente entero. Analizaremos algunas de sus propiedades y su apli-cación a problemas de la vida cotidiana.

Unidad

NÚMEROS / Matemática 1o Medio11

Adición y sustracción de números racionales

Establecer algunas propiedades de los números racionales y de operaciones del tipo: entre dos números racionales siempre exis-te un racional; la suma, la resta, el producto y el cuociente de dos números racionales es siempre un número racional


Multiplicación y división de números racionales


Los números racionales

Caracterizar los números racionales y los tipos de problemas que permiten resolver.

Representar de los números racionales en la recta numérica.



6 8

3 953

58 829 66847

5

473 3

1

58 823668

475

475

3

1 5 94753

Los temas de este capítulo son: Al final de este capítulo serás capaz de:

CAPITULO 1 NúMEROS RACIONALES

Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales

Transformar números decimales infinitos periódicos y semiperió-dicos a fracción.

Redondeo y truncamiento en los números racionales

Aproximar racionales a través del redondeo y truncamiento, y re-conocer las limitaciones de la calculadora para aproximar deci-males.

Estrategias de resolución de problemas

Resolución de problemas de contextos diversos que involucran números racionales

13

Unidad




Jorge recibió un premio de $5.000.000 y, luego de pensarlo un poco, decidió emplearlo de la siguiente forma; 1/8 en arreglos de su casa y 2/6 en regalos para su familia.

¿Cuánto dinero gastó en total?

¿Podrías decir con cuánto dinero quedó finalmente Jorge?

A continuación revisaremos la forma de responder esta pregunta.

Recordemos

Unidad 1: Números

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio1�

PARA EJERCITAR

Unidad 1: Números


Hasta ahora hemos definido algunos conjuntos importantes como por ejemplo, el conjunto de los números naturales, el cual denotamos por la letra IN, y corresponde al conjunto:

IN = { 0, 1, 2, 3, .......}de igual forma se definió el conjunto de los números negativos por medio de los inversos aditivos, es decir, -1, -2, -3, ….. a la unión de ambos conjuntos se les denominó conjunto de los números enteros, el cual se denota por la letra Z, es decir,

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., }Recordemos que los números enteros los podemos representar en la recta numérica de la siguiente forma:Recordemos también que en la recta numérica, dado un número entero se tiene que su inverso aditivo está a la misma distancia del origen, pero en el lado opuesto, es decir,

-a a0

Si a > 0, entonces su inverso aditivo verifica (-a) < 0 y en la recta numérica tenemos lo siguiente:

-1 10 2 3 4-2-3-4

Enteros POSITIVOSEnteros POSITIVOS

Los números enteros positivos se ubican a la derecha de 0 en la recta númerica.

Los números enteros negativos se ubican a la izquierda de 0 en la recta númerica.

I Realiza las siguientes operaciones de suma y resta de números enteros:

a) 2 + (-3) = b) (-3) + (-5) = c) 3 – (-2) =

d) (-3) – (-5 + 4) = e) – (5 + 3) – (-2) = f) (3 – (-1)) – (-3 + 4) =

II ¿Podrías explicar en la recta numérica las siguientes operaciones?

a) 3 – (-5) = 8 b) -2 – (-1) = –1 c) (-3 – 1) + 4 = 0

III Andrea anduvo de compras y de pronto, en una tienda se fijó que el termómetro marcaba 3º centígrados. Lo comentó con Juan y éste le dijo que en su ciudad la temperatura era 15º más alta, Finalmente, cuando le comentó lo mismo a Paula, esta le dijo que la temperatura en su ciudad era 6º menor

¿Podrías decir cuál era la temperatura en la ciudad de Juan y en la de Paula?

No debes olvidar que -a representa al inverso aditivo de a, es decir, -a + a = a + (-a) = 0 de esta forma se tiene que el inverso aditivo de –1 es 1, es decir, - (-1) = 1.

Toma Nota

1 LOS NúMEROS ENTEROS

1capítuloUnidad 1: Números

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio 1�

Recordemos

PARA EJERCITAR

Recordemos ahora el producto y la división de números enteros. Notemos que en este caso tenemos la siguien-te regla: Producto de números enteros de igual signo, es positivo, es decir,

7 . 4 = 28 (-7) . (-4) = 28

Producto de números enteros de diferente signo, es negativo, es decir,

(-7) . 4 = -28 7 . (-4) = -28

Toma Nota

Recuerda que a diferencia de la multiplicación, el cuociente de dos números enteros no necesaria-mente es un número entero. Por ejemplo, 2 ÷ 3 = 1,5

2 PRODUCTO Y DIVISIÓN DE NúMEROS ENTEROS

I Realiza las siguientes operaciones

a) 3 . (-5) = b) (-12) . (-4) = c) (-1) . (7 – 4) =

d) (-2) . (3 . (-5) + 7 ) = e) (-3 – (-1)) . (2+(-1)) = f) (2 + (-5)) . (2 – (-5)) =

II ¿Podrías explicar el por qué se tiene (-1) . (-1) = 1 ?

Recuerda que a diferencia de la multiplicación, el cuociente de dos números enteros no necesaria-mente es un número entero.

III La temperatura media en invierno en la ciudad de Carlos es de cinco grados bajo cero. En el día más frío del invierno se tiene que la temperatura llegó a ser tres veces más baja.

¿Cuál fue la temperatura más baja?

Toma Nota

Recuerda que

si a ≠ 0 es un número entero, podemos definir su inverso aditivo como 1a

, el cual no es necesariamente un número entero.

Recordemos

Unidad 1: Números


PARA EJERCITAR

De acuerdo a lo anterior podemos definir la división de dos números enteros a y b como la multiplicación entre los números a y el inverso multiplicativo de b, es decir:

a ÷ b = a . 1b

= ab

Además, recuerda que al igual que en los números enteros, tenemos la siguiente regla para la división de nú-meros enteros.

Cuociente de números enteros de igual signo, es positivo, es decir,

8 ÷ 4 = 84

= 2 (-8) ÷ (-4) = (-8)

(-4) = 8

4 = 2

Cuociente de números enteros de diferente signo, es negativo, es decir,

(-8) ÷ 4 = (-8)4

= - 84

= -2 8 ÷ (-4) = 8(-4)

= - 84

= -2


a) 25 ÷ (-5) = b) (-6) ÷ (-3) = c) (-35) ÷ 7 =

d) (-9) . (-7)3

= e) 4 . (-9)(-6)

= f) (-80) . (-10)25 . (-4)

=

II Realiza las siguientes operaciones

a) (-2) . 3 – (-4) . 64 + (-2)

= b) 8 . (-4) – 16 . (-7)5

=

III Un comerciante compró 15 libros a $1.200 cada uno. En el trayecto hubo algunos problemas y nueve de ellos llegaron deteriorados, por lo que tuvo que venderlos a $800 cada uno.

¿A qué valor debería vender los restantes libros para que no perdiera dinero?

IV Durante cinco días de invierno se registraron las siguientes temperaturas a mediodía:

–15 ºC, 6 ºC, –5 ºC, –8 ºC y –3 ºC.

¿Cuál fue la temperatura promedio de esos cinco días?

Unidad 1: Números


Recordemos

Unidad

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio1�

2 LOS NúMEROS RACIONALES

2.1 ¿Qué son los números racionales?

Tal como hemos visto en muchos casos, los números enteros no bastan para resolver una serie de problemas.

Como ejemplo, revisemos la siguiente situación.Andrea fue al médico y este le dio una dieta para aumentar de peso. El primer mes subió 0,75 kilogramos. El segundo mes bajó 0,4 kilogramos.

El tercer mes aumentó 1 12

kilógramos y el cuarto mes bajó 14

de kilo.

¿Podrías decir cuantos kilos subió?

Si denotamos las alzas de peso con números positivos y con números negativos las bajadas de peso tenemos que la varia-ción de peso en los cuatro meses está dada por la siguiente expresión:

Variación de peso = 0,75 + (- 0,4) + 1 12

+ ( – 14

) Notemos que esta expresión la podemos escribir en términos de decimales, es decir:

Variación de peso = 0,75 + (- 0,4) + 1,5 + (- 0,25) = 1,6

Por lo tanto Andrea aumentó 1,6 kilogramos en los cuatro meses.Podemos notar que los decimales anteriores los podemos escribir también en términos de fracciones en la siguiente forma:

Variación de peso = 34

+ ( – 410

) + 32

+ ( – 14

) = 1610

Toma Nota

Diremos que un número es racional si se puede escribir como el cuociente entre dos números enteros, con denominador diferente de cero.El conjunto de los números racionales se denota por Q, que proviene de la palabra inglesa “quotient”.

A continuación revisemos algunas propiedades de los números racionales y su utilidad en la resolución de problemas.



En lo que sigue veremos algunas propiedades de los números racionales y su utilidad en la resolución de problemas.

2.2 La recta numérica en los números racionales

Veamos ahora como podemos representar los números racionales en la recta numérica. Consideremos el número racional 3

5 . Podemos observar que

35

= 1610

= 0,6

el cual es un número que está entre 0 y 1, es decir,

0 < 35

< 1,

Luego, para representarlo en la recta numérica, se tiene que si consideramos en la recta numérica el segmento entre 0 y 1, y lo dividimos en 5 segmentos iguales, entonces 3/5 corresponde al número que se obtiene al considerar 3 de estos segmentos.


. Notemos que -34

= -0,75


. Notemos que -34

= -0,75

el cual es un número entre –1 y 0, es decir, –1 < -34

< 0,

para representarlo en la recta numérica podemos dividir el segmento entre –1 y 0 en 4 partes iguales, luego tenemos lo siguiente:

Toma Nota

De la regla de los signos para la división de números enteros se puede concluir que dados a y b dos números enteros, con b ≠ 0, entonces se tiene que:

-ab

= a-b

= – ab

En Internet

En la siguiente dirección po-drás encontrar más sobre la recta numérica y la represen-tación de los números racio-nales.http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Nu-meros_Reales_Aproximacio-nes/numeros1.htm

0 213/5

0/5 1/5 2/5 4/5 5/5

-1 10-3/4

-4/4 -2/4 0/4-1/4

Unidad


PARA EJERCITAR

Veamos ahora una forma de representar los números racionales en la recta numérica.

1. Consideremos un segmento de longitud la unidad y lo dibujamos en la recta numérica.

2. Dibujemos un segundo segmento desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos, teniendo cuidado de que la división sea en partes iguales. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.

3. Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro seg-mento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obteni-dos en la partición del segmento auxiliar.

Repite este proceso para representar en la recta numérica los números siguientes:

a) 47

b) -13 c)

85

14

0 12

34

1

En Internet

Visita esta página web para ver la representación de los números racionales en la recta numérica:http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Re-presentacion_en_la_recta/Numeros2.htm

I Demuestra que los siguientes números son racionales escri-biéndolos como un cuociente de números enteros.

a) 7 b) -14

c) -7,5 d) 2,05

e) -3 15

f) 2 37

II Ubica en la recta numérica los números presentados anterior-mente.

III ¿Conoces algún número que no sea racional?

En la siguiente página web po-drás ejercitar gráficamente.


En Internet



3 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NúMEROS RACIONALES

Antes de ver las propiedades de la adición y sustracción de números racionales recordemos algunas propiedades sobre la suma y la resta de fracciones. Para ellos consideremos dos casos:

3.1 Adición y sustracción de fracciones con igual denominador

Notemos que en este caso se preserva el denominador y se suma o restan los numeradores, es decir,

29

+ 59

= 2 + 59

= 79

Gráficamente podemos considerar un cuadrado, el que representa la unidad y lo dividimos en 9 cuadrados, luego cada una de las fracciones la podemos representar por las regiones pintadas de los cuadrados (fig. 1 y fig. 2).

Luego si sumamos las áreas pintadas se obtienen 7 de los 9 cuadrados achura-dos, es decir 7/9 (fig. 3).

En forma análoga podemos ver la diferencia de fracciones de igual numerador. En este caso mantenemos el denominador y restamos los numeradores.

59

– 29

= 5 - 29

= 39

Nuevamente podemos representar las fracciones por las áreas achuradas de un cuadrado (fig. 4 y fig. 5),

Así si tenemos 5 cuadrados achurados y le quitamos dos cuadrados achurados, obtenemos 3 cuadrados achurados de los 9 totales, lo que representa el resul-tado de la diferencia 3/9, es decir (fig. 6),

De esta manera podemos extender lo anterior al caso de numeradores enteros y se tiene lo siguiente:

Toma Nota

Sean a, b, c números enteros tales que c ≠ 0, entonces:

ac

+ bc

= a + b

c y

ac

– bc

= a – bc

Por ejemplo:

23

+ ( -53 ) = 2 + (-5)3

= -33 = -1 5

7 – (-15

7 ) = 5 – (-15)7

= 207 = 2 6

7

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4 Fig. 5

Fig. 6

Unidad


3.2 Adición y sustracción de fracciones con diferente denominador

Veamos ahora el caso de la suma y resta de fracciones con diferente denominador. Consideremos el ejemplo de la siguiente suma, 1

2 + 1

3 = ?

Para entender esta suma representemos las fracciones gráficamente (fig. 7 y fig. 8);

Para poder sumar estas fracciones debemos buscar un denominador común a ambas fracciones por medio de la amplificación, de donde podemos ver que las regiones graficadas en forma equivalente (fig. 9 y fig. 10),

Luego la suma anterior la podemos plantear como;

12

+ 13

= 36

+ 26

= 56

es decir (fig. 11),

¿Por qué consideramos como denominador 6?

Notemos que 12

+ 13

= 12

. 33

+ 13

. 22

= 1 . 3 + 1 . 22 . 3

= 56

Fig. 7 Fig. 8

Fig. 9 Fig. 10

Fig. 11

Veamos ahora sustracción de fracciones, para esto, consideremos el siguiente

Por ejemplo: 1

4 – 1

5 = ?

Representemos esta diferencia por medio de las regiones achuradas siguien-tes (fig. 12 y fig. 13):

Dado que los denominadores son 4 y 5, podemos dividir los rectángulos en 20 partes (nota que 4 . 5 = 20), es decir (fig. 14 y fig. 15),

Luego la diferencia a podemos escribir de la siguiente forma,

14

– 15

= 1 . 5 – 1 . 44 . 5

= 120

Toma Nota


ac

+ bd

= a.d+b.cc . d

PARA EJERCITAR

I Representa en términos de regiones achuradas las siguientes operaciones

a) 25

+ 38

= b) 85

+ 23

= c) 75

– 56

=

Fig. 12

Fig. 13

Fig. 14

Fig. 15



PARA EJERCITARTambién puedes practicar la suma y resta de fracciones en las siguiente páginas web

http://descartes.cnice.mec.es/experiencias/Mates_RyC/fracciones_2/13-suma.htm



En Internet

I Encuentre el valor de las siguientes expresiones.

a) 25

+ 67

= b) 68

– 1311

=

c) 155

– -1613

= d) -47

– -712

=

II Encuentra el valor de las siguientes expresiones

a) 72

+ 35

– 410

+ 110

=

b) – ( 13

– 25 ) + ( 3

4 – 2

8 ) =

c) 23

– [ (1215

+ 69 ) – (13

2 – 1

4 ) ] =

III La distancia entre Curicó y Molina es de 16 Kms.

¿Cuántas horas debe caminar un hombre que recorre los 3/14 de dicha distancia en una hora, para ir de Curicó a Molina?

IV Margarita camina a una velocidad de 4 km/h y corre a 6,5 km/h. Si corre se puede ahorrar 13/4 minutos desde la casa hasta el paradero de buses.


V Antes de morir, Julio dejó a sus hijos 17 caballos para que se re-partieran en la siguiente forma: la mitad para el mayor, un ter-cio para el segundo y un noveno para el menor. Debido a que no había forma de realizar el reparto los hermanos recurrieron a un juez, quien incorporó un caballo a los 17 e hizo el reparto conforme a la voluntad del padre: 9 caballos para el mayor, 6 para el segundo y dos para el menor. El caballo sobrante tuvo que devolverlo pues era prestado.

Comenta la solución.

Toma Nota


ac

– bd

= a.d+b.cc . d

Unidad


3.3 Mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD)

Dos elementos que son de gran utilidad en el manejo de las fracciones son el Mínimo Común Múltiplo, que se escribe abreviadamente como MCM y el Máximo Común Divisor, que se escribe abreviadamente como MCD.Veamos cómo obtener cada uno de ellos, para ello recordemos una definición importante.

Toma Nota

Se dice que un número natural es un número primo si sus únicos divisores son el 1 y el mismo número.

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Dados dos o más números naturales, entonces se define el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de estos números como el menor número natural que es múltiplo de todos ellos.

Por ejemplo:a) El MCM de 3 y 4 es 12.b) El MCM de 6 y 9 es 18.

Para obtener el MCM de dos o más números basta obtener la descomposición prima de cada uno de ellos y así buscar el menor número natural que los contenga.

Por ejemplo:Busquemos el MCM entre 15 y 24.

Veamos su descomposición prima, es decir, 15 = 3 . 5 y 24 = 3 . 8 = 3 . 23 por lo que debemos buscar un número que contenga los factores 3, 5 y 23 así.

MCM(15, 24) = 3 . 5 . 23 = 120

PARA EJERCITAR

I Encuentra el MCM de los siguientes números:

a) 20 y 15 b) 17 y 21 c) 8 y 39

d) 4, 9 y 18 e) 25, 60 y 98.

Los primeros primos son 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...Notemos que cualquier número natural lo podemos descomponer como un producto de números primos.

Por ejemplo:a) 12 = 3 . 4 = 3 . 22 b) 92 = 4 . 23 = 22 . 23 A esta descomposición le llamaremos descomposición en factores primos.

Aquí hay algunos de los últi-mos récords de números pri-mos que conocemos.

El número primo más grande conocido (encontrado por GIMPS [Gran Buscador de In-ternet de Primos Mersenne] en febrero de 2005) es el 42º pri-mo de Mersenne: M25964951 que tiene 7816230 dígitos decimales.

El número primo factorial más grande conocido (primo de la forma n! ± 1) es 3610! - 1. Es un número de 11277 dígitos y fue anunciado por Caldwell en 1993.

¿Sabías qué?



Máximo Común Divisor (MCD)Dados dos o más números naturales, se define el Máximo Común Divisor (MCD) como el mayor número natural que es divisor de todos ellos.

Por ejemplo:a) El MCD de 2 y 3 es 1.b) El MCD de 9 y 12 es 3.

Para obtener el MCD podemos buscar los divisores de cada uno de ellos y considerar el mayor de ellos.

Por ejemplo:Consideremos los números 8 y 16, entonces

divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8divisores de 16 son 1, 2, 4, 8 y 16.

Podemos observar que el mayor divisor común es 8, luego MCD (8,16) = 8

Toma Nota

Notemos que dados dos números naturales a y b, entonces diremos que ellos son primos relativos si MCD ( a, b ) = 1. Es decir el único divisor común es el número 1.

Si quieres practicar y saber más acerca de MCD y MCM visita

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divi-sibilidad/mcd_mcm.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Calculo_m.c.m.

En Internet

Toma Nota

Observa que si consideramos dos números naturales no nulos cualesquiera, entonces

a . b = MCM ( a, b ) . MCD ( a, b )

PARA EJERCITAR

I Comprueba lo anterior con los resultados obtenidos anterior-mente.

II Dados los siguientes números, encuentre MCD y MCM.

a) 4 y 8 b) 23 y 14 c) 12 y 39

Por ejemplo:4 y 15 son primos relativos, ya que MCD ( 4, 15 ) = 1.

Por ejemplo:Considera los números 4 y 6, entonces tenemos que

MCM (4, 6) = 12 y el MCD (4, 6) = 2, entonces se tiene que

MCM (4, 6) . MCD (4, 6) = 12 . 2 = 24 = 6 . 4

Unidad


Toma Nota

Notemos que si consideramos dos números naturales no nulos n y m, entonces la

fracción nm

es irreducible si y sólo si MCD ( n, m) =1.

Por ejemplo, consideremos los números 8 y 30, entonces se tiene que MCD (8,30) = 2. Por lo que no son primos relativos, pero ambos números son divisi-bles por 2, luego

830

= 4 . 215 . 2

= 415

y podemos ver que MCD ( 4, 15 ) = 1, lo que nos dice que la fracción equiva-lente 4

15 es irreducible.

Así, dado un número fraccionario, el MCD nos ayuda a buscar la fracción equi-valente irreducible.

Toma Nota

Ahora, si consideramos dos números naturales no nulos n y m, entonces el MCM nos ayuda a la suma y la diferencia de las fracciones.

Por ejemplo:consideremos la suma

78

+ 430

= ?

Sabemos que MCM ( 8, 30 ) = 120, luego

120 = 8 . 15 y 120 = 30 . 4

78

= 7 . 158 . 15

= 105120

y 430

= 4 . 430 . 4

= 16120

por tanto

78

– 430

= 105120

– 16120

= 105 – 16120

= 89120

Podemos concluir que el MCM nos ayuda a las operaciones de suma y resta de fracciones, llevándolas a fracciones de igual denominador.

En Internet



3.4 Multiplicación y división de números racionales

Comencemos con un caso simple, el cual es multiplicar una fracción por un número entero, en este caso tenemos lo siguiente:

3 . 14

= 14

+ 14

+ 14

= 34

lo cual lo podemos representar gráficamente como;

Así podemos generalizar lo anterior y obtenemos lo siguiente:

+ + =

Toma Nota

Sean a, b, y c números enteros, tales que c ≠ 0, entonces

a . bc

= a.bc

Por ejemplo: (-2) . (-4)5

= (-2) . (-4)5

= 85

o bien (-3)7

. 4 = (-3) . 47

= -127

Ahora para ver la división de una fracción por un entero, podemos verla como el proceso inverso a la multiplicación, por ejemplo, si consideramos la siguien-te división, entonces:

13

÷ 2 = r ⇔ 2 . r = 13

como 13

= 26

entonces, 2 . r = 2

6 = 2 . 1

6 ⇒ r = 1

6

es decir, 1

3 ÷ 2 = 1

3 . 2 = 1

6

de esta forma podemos generalizar la división de una fracción por un entero de la siguiente forma:

Se considera que fueron los egipcios quienes usaron por primera vez las fracciones, pero sólo aquellas de la forma 1/n o las que pueden obte-nerse como combinación de ellas.

¿Sabías qué?

Unidad


PARA EJERCITAR


a) 2 . 58

= b) -34

÷ 5 = c) 5-3

÷ 4 =

d) 2 . ( -35 + 4 . -1

5 ) =

e) ( 1215

– -15

. 7 ) ÷ (-5) =

II En el reparto de una herencia, una tercera parte le correspondió a la viuda y el terreno restante se dividió entre los cuatro her-manos.

¿Qué fracción del total le correspondió a cada uno de los hijos?

III Si de una soga de 40 metros de longitud se cortan tres partes iguales de 5 2

3 metros de longitud,

¿cuánto falta a lo que queda para tener 31 58 metros?

IV Las 35 partes de una cantidad se reparten entre tres personas

¿Cuál es la cantidad si cada una de las personas recibió $18.200?

Por ejemplo:35 ÷ 4 =

35 . 1

4 = 3 . 15 . 4 =

320

Toma Nota

Sean a, b, y c números enteros, tales que b ≠ 0, y c ≠ 0, entonces

ab

÷ c = ab . c

Podemos observar que si c es un número entero diferente de cero entonces dividir una

fracción por c, es equivalente a multiplicar la fracción 1c

,

La notación que usaban los egipcios para escribir las frac-ciones era la siguiente:

= 12

= 13

= 14

= 16

= 23

Si quieres saber sobre las ma-temáticas en el antiguoEgipto visitahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto

¿Sabías qué?



3.5 Multiplicación y división de números racionales

Recordemos que si consideramos dos fracciones positivas, podemos calcular su producto y su cuociente de la siguiente forma:

23 .

45 =

2 . 43 . 5 =

815

este resultado es posible extenderlo al caso de los números racionales y se tiene lo siguiente.

Toma Nota

Sean a, b, c y d números enteros, tales que b ≠ 0, y d ≠ 0, entonces

ac

. bd

= a . cb . d

Por ejemplo:-25 .

34 =

(-2) . 35 . 4 =

-620 =

-310

Por otra parte, recordemos que en el caso de las fracciones positivas, pode-mos calcular su cuociente por medio del producto como se ve en el siguiente ejemplo:

35 ÷

27 =

35 .

72 =

3 . 75 . 2 =

2110

lo cual podemos extender de forma análoga a los números racionales obte-niendo lo siguiente:

Toma Nota

Sean a, b, c y d números enteros, tales que b ≠ 0, c ≠ 0, y d ≠ 0, entonces

ab

÷ cd

= ab

. dc

= a . db . c

Por ejemplo:-25 ÷

34 =

(-2)5 .

43 =

(-2) . 45 . 3 =

-815

De esta forma podemos realizar operaciones combinadas, por ejemplo calcu-lemos el valor de la siguiente expresión:

23 .

15 – 5 . ( 2

4 . 32 ) = ?

En la siguiente página web po-drás ejercitar gráficamente el producto de fracciones

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/fracciones/multipl1.htm yhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/fracciones/multipl2.htm

En Internet

En la página

http://www.xtec.cat/iesterres-deponent/geni/castella/exerci-cis.html

podrás encontrar algunos ejer-cicios de números racionales.

En Internet

Unidad


Recordemos que para realizar este tipo de expresiones debemos cuidar el or-den de las operaciones a realizar.

i. En primer lugar debemos resolver los paréntesis.

ii. Luego debemos resolver las multiplicaciones y divisiones.

iii. Finalmente calculamos las adiciones y sustracciones.

23 .

15 – 5 . ( 2

4 ÷ 32 ) =

2 . 13 . 5 – 5 . ( 2

4 . 23 )

= 2

15 – 5 . ( 2 . 24 . 3 ) =

215 – 5 .

412

= 2

15 – 2012 = 2 . 12 – 20 . 15

15 . 12

= 2 . 12 – 20 . 1515 . 12

= 276180 = –

2315

PARA EJERCITAR

I Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a)

25

⋅ 14

− 16

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

137

÷ 26

+ 3 ⋅ 65

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

125

− 83

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

12

÷ 65

÷ 32

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

24

− 37

3 − 3 ⋅ 162

− 15

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

1 + 1

1 +

12

+ 1

14

+ 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

b)

25

⋅ 14

− 16

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

137

÷ 26

+ 3 ⋅ 65

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

125

− 83

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

12

÷ 65

÷ 32

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

24

− 37

3 − 3 ⋅ 162

− 15

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

1 + 1

1 +

12

+ 1

14

+ 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

c)

25

⋅ 14

− 16

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

137

÷ 26

+ 3 ⋅ 65

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

125

− 83

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

12

÷ 65

÷ 32

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

24

− 37

3 − 3 ⋅ 162

− 15

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

1 + 1

1 +

12

+ 1

14

+ 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

II Simplifica al máximo la siguiente expresión efectuando las ope-raciones dadas:

a)

25

⋅ 14

− 16

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

137

÷ 26

+ 3 ⋅ 65

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

125

− 83

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

12

÷ 65

÷ 32

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

24

− 37

3 − 3 ⋅ 162

− 15

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

1 + 1

1 +

12

+ 1

14

+ 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

b)

25

⋅ 14

− 16

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

137

÷ 26

+ 3 ⋅ 65

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

125

− 83

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

12

÷ 65

÷ 32

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

24

− 37

3 − 3 ⋅ 162

− 15

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

1 + 1

1 +

12

+ 1

14

+ 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

II Un estanque de agua fue llenado hasta completar 3/5 partes de su capacidad. Luego se ocuparon 2/3 partes del agua conteni-da.

¿Qué fracción del total del estanque quedó con agua?

III Margarita camina a una velocidad de 4 km/h y corre a 6,5 km/h .Si corre se puede ahorrar 13/4 minutos desde la casa hasta el paradero de buses.


En Internet

También puedes practicar la división de fracciones en las siguiente páginas web

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/fracciones/divisio1.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/fracciones/divisio2.htm.

En Internet



4 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NúMEROS RACIONALES

4.2 Cerradura de la multiplicación y la división en los números racionales

Al igual que en las operaciones anteriores, dados dos números racionales cua-

lesquiera, digamos

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

, entonces tenemos que tanto su producto como

su cuociente nos dan otro número racional, es decir:

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

y

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

.

4.3 Densidad de los números racionales

Una observación importante es la siguiente: dados dos números racionales

diferentes, entonces siempre existe otro número racional diferente entre ellos,

es decir:

Sean

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

dos números racionales diferentes, tales que

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

, entonces

existe un número racional tal que:

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

Veamos la demostración de este hecho. Gráficamente tenemos lo siguiente.

A continuación revisaremos algunas propiedades de los números racionales.

4.1 Cerradura de la adición y la sustracción en los números racionales

Una de las primeras propiedaes de los núemros racionales es que dados dos

números racionales cualesquiera, digamos

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

, entonces tenemos que

tanto su suma como su diferencia nos da otro número racional es decir:

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

y

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

.

r

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

ab

+ cd

=

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c

b ⋅ dab

- cd

= a ⋅ d - b ⋅ c

b ⋅ dab

y cd

ab

⋅cd

=a ⋅cb⋅d

ab

÷cd

=ab

⋅dc

=a ⋅db⋅c

ab

y cd

ab

< cd

ab

< r < cd

Unidad


Toma Nota

Nota que el punto r definido anteriormente equidista de los puntos ab

y cd

.

Debido a esta propiedad el punto r se denomina punto medio de: ab

y cd

.

PARA EJERCITAR

I Muestra que con la definición anterior de r se tiene que:

r = 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a ⋅ d + b ⋅ c2 ( b ⋅ d )

ab

- cd

< 0

ab

- r = ab

- 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ab

- a

2b -

c2d

= a

2b -

c2d

= 12

⋅ ab

- cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < 0

ab

- r < 0 ⇒ ab

< r

r - cd

< 0 ⇒ r < cd

r - cd

< 0

r < cd

r - ab

= cd

- r

, es decir,

r = 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a ⋅ d + b ⋅ c2 ( b ⋅ d )

ab

- cd

< 0

ab

- r = ab

- 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ab

- a

2b -

c2d

= a

2b -

c2d

= 12

⋅ ab

- cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < 0

ab

- r < 0 ⇒ ab

< r

r - cd

< 0 ⇒ r < cd

r - cd

< 0

r < cd

r - ab

= cd

- r

II Prueba que

r = 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a ⋅ d + b ⋅ c2 ( b ⋅ d )

ab

- cd

< 0

ab

- r = ab

- 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ab

- a

2b -

c2d

= a

2b -

c2d

= 12

⋅ ab

- cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < 0

ab

- r < 0 ⇒ ab

< r

r - cd

< 0 ⇒ r < cd

r - cd

< 0

r < cd

r - ab

= cd

- r .

III Determinaelpuntomediodelossiguientesnúmerosyrepresentaloenlarectanumérica:

a) – 12

y 34

b) 25

y 67

Al igual que los egipcios, los babilonios también trabajan con decimales, pero en base 60, es decir representaban fracciones de denominador 60 y sus equivalentes.

Por ejemplo:321 3/4 = 5 x 60 + 21 + 45/60 se escribiría:

TTT < << TTT T TT < << TT

Tablilla con 17 problemas ma-temáticos.

La información esta sacada de

http://platea.pntic.mec.es/aperez4/html/babiegipt/babie-gipto.html

¿Sabías qué?

Por ejemplo:Encuentra el punto medio de los números siguientes: 1

3 y 1

4.

r = 12

( 13

+ 14 ) = 1

2 ( 7

12 ) = 7

24

Consideremos el número definido de la siguiente forma:

r = 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a ⋅ d + b ⋅ c2 ( b ⋅ d )

ab

- cd

< 0

ab

- r = ab

- 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ab

- a

2b -

c2d

= a

2b -

c2d

= 12

⋅ ab

- cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < 0

ab

- r < 0 ⇒ ab

< r

r - cd

< 0 ⇒ r < cd

r - cd

< 0

r < cd

r - ab

= cd

- r

Lo primero que podemos observar es que es un número racional, ya que tan-to su numerador como su denominador son números enteros. Veamos ahora que está entre los dos números racionales dados.

Notemos en primer lugar que:

r = 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a ⋅ d + b ⋅ c2 ( b ⋅ d )

ab

- cd

< 0

ab

- r = ab

- 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ab

- a

2b -

c2d

= a

2b -

c2d

= 12

⋅ ab

- cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < 0

ab

- r < 0 ⇒ ab

< r

r - cd

< 0 ⇒ r < cd

r - cd

< 0

r < cd

r - ab

= cd

- r

Luego, se tiene que

r = 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a ⋅ d + b ⋅ c2 ( b ⋅ d )

ab

- cd

< 0

ab

- r = ab

- 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ab

- a

2b -

c2d

= a

2b -

c2d

= 12

⋅ ab

- cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < 0

ab

- r < 0 ⇒ ab

< r

r - cd

< 0 ⇒ r < cd

r - cd

< 0

r < cd

r - ab

= cd

- r

es decir,

r = 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a ⋅ d + b ⋅ c2 ( b ⋅ d )

ab

- cd

< 0

ab

- r = ab

- 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ab

- a

2b -

c2d

= a

2b -

c2d

= 12

⋅ ab

- cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < 0

ab

- r < 0 ⇒ ab

< r

r - cd

< 0 ⇒ r < cd

r - cd

< 0

r < cd

r - ab

= cd

- r

Análogamente, se puede mostrar que:

r = 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

a ⋅ d + b ⋅ c2 ( b ⋅ d )

ab

- cd

< 0

ab

- r = ab

- 12

⋅ ab

+ cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ab

- a

2b -

c2d

= a

2b -

c2d

= 12

⋅ ab

- cd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < 0

ab

- r < 0 ⇒ ab

< r

r - cd

< 0 ⇒ r < cd

r - cd

< 0

r < cd

r - ab

= cd

- r



5 TRANSFORMACIÓN DE DECIMALES PERIÓDICOS Y SEMIPERIÓDICOS A NúMEROS RACIONALES

5.1 No todos los números son racionales

Un hecho importante que se debe destacar es que no sólo existen los núme-ros racionales, ya que hay números que no lo son ¿Conoces alguno que sirva de ejemplo?Algunos de estos números nos acompañan diariamente en nuestra vida y se-rán estudiados en el próximo curso, pero a modo de ejemplo, te podemos contar que algunos de estos números aparecieron hace muchos años, un ejemplo de ellos es el número llamado raíz cuadrada de 2, que se escribe 2 . Este número aparece en forma natural en el siguiente ejemplo.

Consideremos un cuadrado de lado 1.

Entonces del Teorema de Pitágoras se tiene que la medida de su diagonal d es tal que d

2 =1+1=2 . A este valor le llamaremos 2 .

Investiga que otros números que conoces no son racionales.

1

d

Visita http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Re-presentacion_en_la_recta/Numeros3.htm

para ver la representación grá-fica de 2 .

En Internet

5.2 Clasificación de los números decimales

Como te habrás dado cuenta, hasta ahora hemos trabajado con los números racionales representados como fracciones, pero dado un número cualquiera, ¿cómo podrías saber si es o no un número racional?

Para esto, revisaremos algunos casos en los cuales podemos conocer si el nú-mero es racional y en tal caso, lo escribiremos como una fracción. Veamos en primer lugar una clasificación de los números decimales. a. Números enteros: Son aquellos números, cuya parte decimal no contiene dígitos no nulos.

b. Números decimales finitos: Son aquellos números decimales tales que su parte decimal contienen un nú-mero finito de dígitos no nulos, por ejemplo:

3,450775 1.0129800 17,0000009

Unidad


c. Números decimales infinitos: Son aquellos números decimales tales que su parte decimal contiene infinitos dígitos no nulos, algunos ejemplos de ellos son:

π = 3,14159265 ... y

13

= 0,33333333 ...

Dentro de los decimales infinitos nos interesan tres tipos especiales de núme-ros decimales.

Números decimales infinitos periódicos: Son aquellos números decimales que tienen una o más cifras decimales que se repiten sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escriben en forma abreviada, coronando al período con un pequeño trazo.

Por ejemplo:

13

= 0,3333333333 ... = 0,3

3599

= 0,3535353535353535... = 0,35

215

= 0,133333333... = 0,13

2560

= 0,4166666666... = 0,416

y

13

= 0,3333333333 ... = 0,3

3599

= 0,3535353535353535... = 0,35

215

= 0,133333333... = 0,13

2560

= 0,4166666666... = 0,416

Números decimales infinitos semiperiódicos: Son aquellos números deci-males en los cuales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama anteperíodo y contiene sólo un número finito de dígitos.

Por ejemplo:

13

= 0,3333333333 ... = 0,3

3599

= 0,3535353535353535... = 0,35

215

= 0,133333333... = 0,13

2560

= 0,4166666666... = 0,416

y

13

= 0,3333333333 ... = 0,3

3599

= 0,3535353535353535... = 0,35

215

= 0,133333333... = 0,13

2560

= 0,4166666666... = 0,416

Números decimales infinitos puros: Son aquellos números decimales infini-tos que no son periódicos ni semiperiodicos.

Por ejemplo: π = 3,14159265 ...

PARA EJERCITAR

I Clasifica los siguientes números decimales de acuerdo con lo visto anteriormente:

a) 35 b) 3,46810 c)

16

d) 6,24367 e) e= 2,718281828... f) 2/7

g) 0,218181818181818...

Si quieres saber sobre el nú-mero π puedes visitar

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80.http://www.ciencianet.com/pi.html.

En Internet



5.3 Escribiendo números decimales en fracciones

Veamos ahora cómo podemos reconocer los números decimales que son ra-cionales.

a) En primer lugar, se tiene que todo número entero es un número racional.

En efecto, notemos que

4 = 41

-9 = -91

y

4 = 41

-9 = -91

.

b) Por otra parte, se puede ver que todo número decimal finito es un número racional.

Tomemos por ejemplo el número 45,012 el cual es un decimal finito. Pode-

mos observar que

45,012 ⋅ 1000 = 45102

451021000

= 45102103

= 45,012

es decir,

45,012 ⋅ 1000 = 45102

451021000

= 45102103

= 45,012

lo que prueba que 45,012 es un número racional.

Para ejercitar a transforma-ción de decimales a fracciones puedes visitar

http://www.mamutmatemati-cas.com/ejercicios/fraccion-decimal.php

o bien

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Fracciones_decimales_por-centajes/Fracciones_4.htm

En Internet

Toma Nota

De lo anterior podemos que para transformar un número decimal finito a fracción de-bemos utilizar potencias de diez. Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

13,549601 = 13549601

106

El decimal tiene cifras decimales hasta la millonésima

PARA EJERCITAR

I Escribe los siguientes números decimales como una fracción de números enteros.

a) 0,496051 = ... b) 0,51 = c) 13,267857

d) -12 f) -23,40801 g) 0,1001001 =

h) -101,101 =

II Dadas las siguientes fracciones, escríbelas en forma decimal y en palabras. Determina que tipo de decimal es cada una de ellas.

a) 395

b) 29

c) 37990

Unidad


Toma Nota

Todo decimal periódico es un número racional. Para escribirlo en forma fraccionaria debemos hacer la diferencia

103 . r – r = m

donde n corresponde al número de dígitos que tiene la parte periódica del número y m es el número entero que resulta de la diferencia, así

r = m

103 – 1

c) Todo número decimal periódico es racional

Veamos ahora de qué manera podemos escribir el número decimal periódico como una fracción.

Consideremos el número decimal periódico r = 0,333333...= 0,3

10 ⋅ r = 3,3333333... = 3,3

10 ⋅ r - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 = 3

9 ⋅ r = 3 ⇒ r = 3

9 ⇒ r =

1

3

r = 14,075075075075... = 14,075

r

1000 = 103

1000 ⋅ r = 14075,075075075... = 14075,075

1000 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14

999 ⋅ r = 14075 - 14 = 14061

r = 14061

99910n ⋅ r - r = m

n

m

r = m

10n - 1

y veamos cómo lo podemos escribir como fracción. Entonces, podemos observar que:

r = 0,333333...= 0,3

10 ⋅ r = 3,3333333... = 3,3

10 ⋅ r - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 = 3

9 ⋅ r = 3 ⇒ r = 3

9 ⇒ r =

1

3

r = 14,075075075075... = 14,075

r

1000 = 103

1000 ⋅ r = 14075,075075075... = 14075,075

1000 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14

999 ⋅ r = 14075 - 14 = 14061

r = 14061

99910n ⋅ r - r = m

n

m

r = m

10n - 1

observa, que la parte decimal de este número es exactamente nuestro núme-ro

r = 0,333333...= 0,3

10 ⋅ r = 3,3333333... = 3,3

10 ⋅ r - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 = 3

9 ⋅ r = 3 ⇒ r = 3

9 ⇒ r =

1

3

r = 14,075075075075... = 14,075

r

1000 = 103

1000 ⋅ r = 14075,075075075... = 14075,075

1000 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14

999 ⋅ r = 14075 - 14 = 14061

r = 14061

99910n ⋅ r - r = m

n

m

r = m

10n - 1

, luego se tiene que:r = 0,333333...= 0,3

10 ⋅ r = 3,3333333... = 3,3

10 ⋅ r - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 = 3

9 ⋅ r = 3 ⇒ r = 3

9 ⇒ r =

1

3

r = 14,075075075075... = 14,075

r

1000 = 103

1000 ⋅ r = 14075,075075075... = 14075,075

1000 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14

999 ⋅ r = 14075 - 14 = 14061

r = 14061

99910n ⋅ r - r = m

n

m

r = m

10n - 1

es decir, agrupando términos semejantes,

r = 0,333333...= 0,3

10 ⋅ r = 3,3333333... = 3,3

10 ⋅ r - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 = 3

9 ⋅ r = 3 ⇒ r = 3

9 ⇒ r =

1

3

r = 14,075075075075... = 14,075

r

1000 = 103

1000 ⋅ r = 14075,075075075... = 14075,075

1000 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14

999 ⋅ r = 14075 - 14 = 14061

r = 14061

99910n ⋅ r - r = m

n

m

r = m

10n - 1

Veamos ahora un segundo ejemplo. Consideremos el número decimal perió-dico

r = 14,075075075075... = 14,075

y veamos de qué manera lo podemos escribir como una fracción.Notemos que en este caso las cifras que se repiten son tres, luego multiplica-remos el número r por 1000 = 103, así tenemos que

1000 . r = 14075.075075075... = 14,075.07

y este número tiene la misma parte decimal que , así podemos hacer la dife-rencia siguiente

1000 . r - r = 14075,075 - 14,075 = 14,075 - 1

es decir, 999 . r = 14075 - 14 = 14061

y se concluye que

r = 0,333333...= 0,3

10 ⋅ r = 3,3333333... = 3,3

10 ⋅ r - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 = 3

9 ⋅ r = 3 ⇒ r = 3

9 ⇒ r =

1

3

r = 14,075075075075... = 14,075

r

1000 = 103

1000 ⋅ r = 14075,075075075... = 14075,075

1000 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14

999 ⋅ r = 14075 - 14 = 14061

r = 14061

99910n ⋅ r - r = m

n

m

r = m

10n - 1



d) Todo número decimal semiperiódico es racional.

Veamos, al igual que en los casos anteriores, de qué manera podemos escribir el número decimal semiperiódico como una fracción.Consideremos el siguiente ejemplo en el cual tomamos un número decimal semiperiódico

r = 0,20145145145145... = 0,20145

En primer lugar, notemos que el anteperiodo de este número es 20, el cual contiene dos dígitos. Por lo tanto, si multiplicamos el número r por 102 = 100 entonces:

s = 102 . r = 20,145

es un número periódico. Por tal razón, podemos transformar el número perio-dico s en una fracción, como lo vimos anteriormente. Dado que el número s tiene un periodo que consta de tres dígitos, multiplicamos s por 103 = 1000 y se tiene que

103 . s = 20145,145

observa que los números decimales periódicos s y 103 . s tienen la misma parte decimal, por eso al restarlos, su resultado será un número entero, es decir,

103 . s - s = 20145,145 - 20145,145 = 20125

r = 0,20145145145145... = 0,20145r

102 = 100

s = 102 ⋅ r = 20,145s

103 = 1000

103 ⋅ s = 20145,145

s y 103 ⋅ s

103 ⋅ s - s = 20145,145 - 20,145 = 20125

999 ⋅ s = 20125 ⇒ s = 20125

999s = 102 ⋅ r

102 ⋅ r = 100 ⋅ r = 20125

999 ⇔ r =

20125999

÷ 100

⇔ r = 20125

999 ⋅

1100

⇔ r = 2012599900

r

r = 32,1303434343434... = 32,13034r

103 = 1000

s = 1000 ⋅ r = 32130,34s

102 = 100

100 ⋅ s = 3213034,34100 ⋅ ss

100 ⋅ s - s = 3213034,34 - 32130,34 = 318090499 ⋅ s = 99 ⋅ 1000 ⋅ r = 3180904

99000 ⋅ r = 3180904 ⇔ r = 3180904

99000

y como s = 102 . r, tenemos que:

r = 0,20145145145145... = 0,20145r

102 = 100

s = 102 ⋅ r = 20,145s

103 = 1000

103 ⋅ s = 20145,145

s y 103 ⋅ s

103 ⋅ s - s = 20145,145 - 20,145 = 20125

999 ⋅ s = 20125 ⇒ s = 20125

999s = 102 ⋅ r

102 ⋅ r = 100 ⋅ r = 20125

999 ⇔ r =

20125999

÷ 100

⇔ r = 20125

999 ⋅

1100

⇔ r = 2012599900

r

r = 32,1303434343434... = 32,13034r

103 = 1000

s = 1000 ⋅ r = 32130,34s

102 = 100

100 ⋅ s = 3213034,34100 ⋅ ss

100 ⋅ s - s = 3213034,34 - 32130,34 = 318090499 ⋅ s = 99 ⋅ 1000 ⋅ r = 3180904

99000 ⋅ r = 3180904 ⇔ r = 3180904

99000

lo que demuestra que r es un número racional. Veamos un segundo ejemplo, y consideremos el número decimal semiperiódico.

r = 32,1303434343434... = 32,13034

Para ejercitar a transforma-ción de decimales a fracciones puedes visitar

http://www.mamutmatemati-cas.com/ejercicios/fraccion-decimal.php

o bien

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Fracciones_decimales_por-centajes/Fracciones_4.htm

En Internet

Unidad


PARA EJERCITAR

I Transforma los siguientes números decimales a fracción. Justifi-ca el resultado desarrollando el proceso.

a) 0,01 b) - 1,29947 c) 103,80708

d) 0,9 e) -1,0275 f) 202,01011

g) -79,10830 = h) -23,4596701

II Dadas las siguientes fracciones, escribe el número decimal que corresponde y determina que tipo de número racional es. Justi-fica tus respuestas.

a) 425

= ... b) 27

= ...

c) 136

= ... d) 1013990

= ...

e) 415

= ... f) 9730

= ...

III Tal como has visto, si tenemos un número decimal que no sea infinito puro, entonces el lo podemos escribir como una frac-ción y por tanto es un número racional.

¿Qué podrías decir del recíproco, es decir, existen números racio-nales que son infinitos puros? Investiga acerca de esta afirmación y discútela en tu clase.

También puedes hallar infor-mación sobre los números racionales y la transformación de un número decimal a un número fraccionario en

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

En Internet

Lo primero que podemos observar es el hecho de que si multiplicamos r por 103 = 1000, entonces tenemos que el número

s = 1000 . r = 32130,34

es un decimal periódico, por lo que podemos aplicar lo visto anteriormente, es decir, dado que la parte periódica del decimal s contiene dos dígitos, multipli-camos s por 102 = 100 y tenemos que

100 . s = 3213034,34

luego, 100 . s y tiene la misma parte decimal así, restándolas tenemos que

100 . s - s = 3213034,34 - 32130,34 = 3180904

es decir, 99 . s = 99 . 1000 . r = 3180904



6.1 Trabajando con aproximaciones

Tal como te habrás dado cuenta, en muchas ocasiones debes trabajar con decimales, por ejemplo, cuando realizamos una medición debemos darnos cuenta de que es imposible realizarla con una exactitud infinita, ya que siem-pre hay un margen de error, lo cual se debe a que el aparato que utilizamos para medir no es exacto.

Por ejemplo, si consideras la medición realizada con una regla, es difícil que ob-tengas una medición con exactitud menor a 1 milímetro, ya que la regla está graduada en milímetros. Si quisiéramos mayor exactitud deberíamos tener un instrumento que esté graduado en longitudes inferiores a milímetros. Lo que debemos preguntarnos en estos casos es si resulta realmente importante sa-ber el valor exacto de una medición, o si nos basta con una aproximación.

Veamos un ejemplo, supongamos que construyes un cuadrado tal que cada uno de sus lados mide un metro de longitud y nos interesa conocer la longitud de la diagonal del cuadrado. Es conocido que la longitud de la diagonal de este cuadrado mide 1,4142135623…… metros. Nota que esta longitud tiene infinitos decimales, por lo que el valor exacto es imposible de obtener con una regla, así que debemos conformarnos con un valor aproximado, en el cual consideramos sólo un número finito de decimales, por ejemplo 1,414.

En lo que sigue veremos como elegir una buena aproximación de un número, para ellos estudiaremos el redondeo y el truncamiento.

6 REDONDEO Y TRUNCAMIENTO EN LOS NúMEROS RACIONALES

Unidad


Toma Nota

Dado un número decimal cualquiera x, para redondearlo a un número entero, entonces basta calcular la parte entera de [ x + 0,5 ].

PARA EJERCITAR

I Calcula la parte entera de los siguientes números.

a) [0,65] = b) [-1,2] = c) [12,18] =

II Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o fal-sas y justifica tu respuesta.

a) [0,35] = [-0,35] b) [-1,2] = - [1,2] c) [2,3] + [1,7] = 3

6. 2 La parte entera de un número decimal

Recuerda que dado un número decimal positivo, podemos distinguir dos ele-mentos, una es la parte entera y la otra, la parte decimal, por ejemplo,

Parte entera 1 2 , 3 4 5 Parte decimal Veamos cómo extendemos este concepto a los números negativos. Conside-remos un número cualquiera, entonces tenemos dos casos:

Caso 1Si el número x es un número entero, su parte entera es el mismo número. Por ejemplo:

La parte entera de 4 es 4La parte entera de –3 es –3

Caso 2Si el número x no es un número entero, se tiene que existe un número entero n tal que n < x < n + 1. Luego, se dice que la parte entera de x es n y se escribe [ x ] = n.

Por ejemplo:La parte entera de 1,234 es 1, ya que 1 < 1,234 < 2 y se escribe [ 1,234 ] = 1.

La parte entera de –2,3534 es –3, ya que -3 < -2,3534 < -2 y se escribe [ –2,3534 ] = -3.

Recordemos como redondeamos un número decimal a un entero. En este caso se tiene la siguiente observación.

La función Parte Entera

¿Sabías qué?

0 1 2 3-3 -2 -1

0

2

3

1

-2

-3

-1

y = [ x ]

Por ejemplo:• Si queremos redondear el número 0,8 debemos calcular: [ 0,8 + 0,5 ] = [ 1,3 ] = 1.

• Si queremos redondear el número –1,3 debemos calcular: [ -1,3 + 0,5 ] = [ -0,8 ] = -1.


Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio�0

6.3 Valor Absoluto

Dado que con el redondeo y el truncamiento queremos aproximar el valor de algunos números decimales, es importante el cuantificar que tan grande es el error cometido al realizar la aproximación. Para ello definiremos el concepto de valor absoluto.

Toma Nota

Se define el valor absoluto de un número a, denotado por a, como el valor numérico del número sin su respectivo signo, es decir,Si a ≥ 0, entonces ⎢ a ⎢ = a.

Por ejemplo: | 3,2786 | = 3,2786 y | 3

5 | = 3

5

Si a ≥ 0, entonces ⎢ a ⎢ = a.

Por ejemplo, | -3,2786 | = -(-3,2786) = 3,2786 y | - 7

4 | = - (- 7

4 ) = 74

Notemos que el valor absoluto verifica las siguientes propiedades:

i) ⎢ a ⎢ ≥ 0

ii) ⎢ a ⎢ ≥ 0 ⇔ a = 0

iii) ⎢ a + b ⎢ ≤ ⎢ a ⎢ + ⎢ b ⎢ (desigualdad triangular)

Por ejemplo: 1 = | -1 | = | 1 - 2 | ≤ | 1 | + | -2 | = 1 + 2 = 3 y

3 = | 1 + 2 | ≤ | 1 | + | 2 | = 1 + 2 = 3

iv) ⎢ a . b ⎢ = ⎢ a ⎢ . ⎢ b ⎢

Por ejemplo: 6 = | -6 | = | 3 . (-2) | = | 3 | . | -2 | = 3 . 2 = 6 y

3 = | 1 . 3 | ≤ | 1 | . | 3 | = 1 . 3 = 3

PARA EJERCITAR

I Encuentre el valor de las siguientes expresiones:

a) | 3 - 4 | = b) | 2 + 5 | = c) | -4 + 7 | =

e) | -2,5 | + 2,5 = g) - 7 . | -0,5 | - 41 + | -1 |

=

La función Valor absoluto

¿Sabías qué?

0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

12345

x

y

Unidad

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio�1

6.4 Redondeo, truncamiento y error

El primer tipo de aproximación para números decimales que veremos corres-ponde al llamado truncamiento. Por ejemplo, consideremos el número decimal x = 12,3927017374653201, luego:

Toma Nota

Dado un número decimal cualquiera, diremos que haremos un truncamiento de orden n, si consideramos cifras decimales hasta el orden n y eliminamos las restantes.

Toma Nota

Dado un número decimal cualquiera, para realizar un redondeo de orden n debemos fijarnos en el valor de la cifra siguiente a la que aproximamos.

Veamos algunos ejemplos:

Consideremos el número decimal x = 12,3927017374653201, luego

• Redondeo de x a las décimas (orden 2) es 12,4, puesto que el número que sigue a 3 es un 9, el cual es mayor que 5.

• Truncamiento de x a las cien milésimas (orden 5) es 12,39270, ya que a que el número que sigue al 0 es un 1, el cual es menor que 5.

Ahora, si consideramos el número y = -3,93710982019745, entonces1. Redondeo de y a las centésimas (orden 2) es –3, 94, ya que el número que sigue al 3 es un 4.2. Truncamiento de y a las millonésimas (orden 6) es –3, 937110, ya que el nú-mero que sigue al 9 es un 8.

• Truncamiento de x a las décimas (orden 1) es 12,3 • Truncamiento de x a las milésimas (orden 3) es 12,392

Ahora, si consideramos el número y = -3,93710982019745, entonces: • Truncamiento de y a las centésimas (orden 2) es –3,93 • Truncamiento de y a las millonésimas (orden 6) es –3,932710

Revisemos ahora el redondeo de un número decimal.

Así tenemos:• Si la cifra siguiente al orden de aproximación es menor que 5, la aproximación por redondeo es la misma que la de truncamiento.• Si la cifra siguiente al orden de aproximación es mayor o igual que 5, la aproximación por redondeo se obtiene, su-mando una unidad a la cifra que estamos aproximando. En este caso, la aproximación es diferente a la obtenida por truncamiento.

Recuerda

PARA EJERCITAR

I Complete la siguiente tabla: Número Orden de Redondeo Truncamiento Decimal Truncamiento 0,79467801628 2 3/7 5 -0,46980012001 4 -12,89878651 -12,8988 234,598801234 234,598 -31/12 -2,5833



Cada vez que aproximamos un número por redondeo o truncamiento come-temos un error, que es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado. Para ver este error definiremos los siguientes conceptos:

Por ejemplo: Consideremos el número 3

5 = 0,3 = 0,3333 ... y su valor aproximado 0,33, en-

tonces error absoluto = | 0,3 - 0,33 | = | 0,00333... | = 0,003

Toma Nota

El error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado, en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo, es decir:

error absoluto = valor real - valor aproximado

Toma Nota

El error relativo es el cuociente entre el error absoluto y el valor exacto, es decir

error relativo = error absoluto

valor real

Si quieres saber más visita la página

http://maralboran.org/wikipe-dia/index.php/Aproximacio-nes.

En Internet

Por ejemplo: nuevamente si consideremos el número 1

3 = 0,3 = 0,3333 ... y su valor aproxi-

mado 0,33 entonces:

error relativo 0,0030,3

= 0,01

Por ejemplo: veamos los conceptos anteriores. Consideremos los números

a = 20003

= 666,6 y b = 23

= 0,6.

Para ambos consideremos una aproximación obtenida con un redondeo de orden 4, luego se tiene los siguiente: Valor Exacto Valor Aproximado Error Absoluto Error Relativo 666,6 666,6667 0,00003 0,00000005 =5.10-8 0,6 0,6667 0,00003 0,00005 =5.10-5

PARA EJERCITAR

I Observa en el ejemplo anterior que aun cuando el error absoluto es el mismo, el error relativo es muy diferente

¿Qué conclusiones puedes obtener? ¿Qué tipo de error me da una mejor información? Discútelo en clases.

II Obtén los errores absolutos y relativos de las aproximaciones por redondeo y truncamiento de la página anterior.

El error absoluto nos da una estimación de la distancia entre el número real y su aproximación.

El error relativo nos da una estimación del tamaño del error con respecto al valor real del número.

¿Sabías que?

1capítuloUnidad 1: Números

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio �3

Usando la calculadora

Una útil herramienta para trabajar con números decimales es la calcu-ladora, pero debemos tener cuidado al utilizarla, ya que ella no siempre realiza los cálculos con total exactitud. Esto se debe a que cada calcula-dora trabaja sólo con un número finito de decimales, y aquellos núme-ros decimales que poseen más decimales que con los cuales trabaja la calculadora se aproximarán por truncamiento.

Veamos un ejemplo. Consideremos la siguiente operación:

17 –

15 =

5 - 77 . 5 =

-235 = -0,05714285714285714285... = 0,00571428

Sin embargo al realizar la operación con la calculadora (la cual maneja sólo 8 dígitos) tenemos que:

17 –

15 = -0,14285714 - 0,2 = -0,05714286

observa ahora que si multiplicamos el número -0,05714286 por 35, el resultado debería ser –2, sin embargo:

-0,05714286 . 35 = -2,0000001 ≠ -2

Esta diferencia se debe a que la calculadora con la que se realizaron los cálculos puede trabajar sólo con un nú-mero limitado de decimales, en nuestro caso sólo 8. Notarás que existen calculadoras con una mayor precisión, pero no pueden ser exactas ya que la diferencia es que el nivel de la aproximación mejora, pero no es exacta.

Nota que la misma situación sucede si sumas un número muy grande con un número muy pequeño, por ejem-plo, al realizar la siguiente suma sabemos que:

10000000 + 0,0000001 = 10000000,0000001

sin embargo, al realizarla en la calculadora obtenemos que:

10000000 + 0,0000001 = 10000000,

esto se debe, nuevamente, al hecho de que la suma sobrepasa el número de dígitos con los que puede trabajar la calculadora.Averigua con cuántos dígitos puede trabajar tu calculadora. Para esto repite las operaciones anteriores y dis-cútelo con tus compañeros y compañeras.

Si quieres saber más visitahttp://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora#Origen:_el_.C3.A1baco

En Internet

Blaise Pascal (19 de junio de 1623 - 19 de agosto de 1662)

Unidad 1: Números

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio��

Historia de la Calculadora

¿ Sabías que ?

El origen de las calculadoras se remonta a los chinos quienes utilizaban el ábaco como una herramienta que les ayudaba a sumar y restar, más tarde William Oughtred inventó la regla de cálculo en 1622, la cual fue una herramienta de gran utilidad. Pero la primera máquina suma-dora fue inventada por el matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) en 1642 y se concoció como la Pascalina. Esta máquina podía sumar y restar. Esta máquina fue usada hasta 1799 para el cálculo de los impuestos en Francia. Más tar-de, en 1963, el matemático alemán Gotfried Whilelm Leibniz (1646-1716) ideó una máqui-na calculadora que mejoraba la máquina de ya que ésta podía multiplicar y dividir, sumando o restando repetidamente una misma canti-

dad. La primera calculadora electromecánica la inventó el estadounidense Herman Hollerith (1860-1929), la que se conoció también como máquina tabuladora, la cual la misma funciona-ba con tarjetas perforadas. Con el tiempo Ho-llerith fundo una compañía dedicada a cons-truir este tipo de maquinas, esa empresa daría origen más tarde a International Business Ma-chines Corporation conocida como I.B.M.

El mayor invento fue el de la calculadora de bolsillo.

Las primeras de este tipo aparecieron alrededor del año 1970 y fue gracias al desarrollo de los chips de bajo consumo.

Unidad

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio��

Ejemplo

Jorge recibió un premio de $5.000.000, luego de pensarlo decidió utilizarlo en diferentes cosas, utilizó 1/8 en arreglos de su casa, 2/5 en regalos para su familia ¿Cuánto dinero gastó en total? ¿Podrías decir con cuanto dinero se quedó finalmente Jorge?

Etapa 1

Debemos leer cuidadosamente el problema para responder a las preguntas planteadas. Es importante identificar la o las variables involucradas en el problema. En particular en nuestro caso la variable es la cantidad de dinero que Jorge tiene.

Etapa 2

Revisemos la información entregada en el problema para las variables involucradas y veamos una estrategia para responder a las preguntas planteadas.Dado que la variable de interés es la cantidad de dinero que tiene Jorge, entonces sabemos que recibió un premio de $5.000.000. De esta cantidad de dinero utilizó 1/8 en arreglos y 2/5 en regalos. Estas dos últimas cantidades son gastos y se representarán por valores negativos.

Luego:Gastos en arreglos: 5.000.000 . ( –

18 ) = -625.000

Regalos para la familia: 5.000.000 . ( – 25 ) = -2.000.000

Etapa 3

Respondamos a la primera pregunta.Nos preguntan primeramente por la cantidad de dinero que gastó en total, en este caso tenemos lo siguiente:

Gasto Total = Gasto en arreglos de casa + Gasto en regalos para la familia

= 5.000.000 . ( – 18 ) = -625.000

= -625000 + (-2000000)

= -26250002

Es decir, Jorge gastó en total $ 2.625.000.

Etapa 4

Respondamos a la cuarta pregunta.

Veamos ahora la segunda pregunta. Sabemos que inicialmente Jorge tenía $5.000.000 y hemos visto que en total gastó $2.625.000, luego:Dinero restante = 5000000 - dinero gastado = 5000000 - 2650000 = 2350000.

Por lo tanto el dinero restante de Jorge es de $2.350.000.

Estrategías de resolución de problemas



PARA EJERCITAR

I María tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó 2,5 tazas

para hacer un pastel y 3 14 tazas para hacer un flan.

¿Cuántas tazas de leche le quedaron?

II Claudio está a dieta para aumentar de peso. El primer mes su-

bió 0.75 kilogramos. El segundo mes bajó 12 . El tercer mes au-

mento 1 34 de kilo y el cuarto mes bajó 300 gramos.

¿Cuántos kilos subió?

III Bernardita está siguiendo una dieta para adelgazar. El primer

mes bajó 2 14 kilos, el segundo bajó

12 , el tercero subió un

cuarto de kilo y el cuarto perdió 11 kilos.

¿Cuántos kilos bajó en total?

IV Un reloj adelanta 37 de minuto cada hora.

¿Cuánto adelantará en 5 horas; en medio día; en una semana?

V Para hacer un metro de una pared de ladrillos un obrero em-plea 6 horas.

¿Cuánto tiempo empleará para hacer 14 23 metros?

¿Y para hacer 18 5

33 metros?

VI Si de una soga de 40 metros de longitud se cortan tres partes

iguales de 5 23 metros de longitud,

¿cuánto falta a lo que queda para tener 31 58 metros?

VII Diego es dueño de los 25 de una parcela y vende

12 de su

parte.

¿Qué parte de la parcela le queda?

VIII Un caracol trata de salir de un pequeño pozo de 34

de metro de profundidad. Durante el día sube 1

6 de metro, pero por la

noche retrocede 112

de metro

¿Cuantos días tardará en salir?

Unidad


Las funciones truncar y redondear en Excel

A continuación veremos como usar las funciones redondeo y truncamiento en Excel, las cuales son de gran utilidad. Para ello consideremos un número decimal.

Por ejemplo: el número

235 = 0,0571428 = 0,0571428571428571428571428571428571428...

Veamos primero el truncamiento de este número.

Paso 1

Ingresemos el número que queremos estudiar

Paso 2Ahora tenemos su valor en forma decimal



Paso 3

Veamos la función truncar

Paso 4

Veamos el número que queremos truncar y con cuantos decimales

Unidad


Paso 5

El número exacto y el número truncado

Paso 6

Veamos la función redondeo para el número estudiado



Paso 7

Definamos el orden de la aproximación

Paso 8

Valor exacto y su aproximación

Unidad 1: Números


1capítulo

Como ya sabes, el primer tipo de números construidos por el ser humano fueron los naturales. Sin embargo, los números racionales aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas. Y como suele ocurrir con la mayoría de los conceptos matemáticos, surgieron ante la necesidad de resolver un problema práctico. Si bien los números naturales servían a los antiguos para cuantificar su ganado y sus bienes en términos generales, pronto advirtieron que esto no era suficiente. Al enfrentarse a otro tipo de mediciones, como superficies, pesos y longitudes, con la ayuda de los números naturales no podían hacerlo en forma exacta, pues estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad.

Los mesopotámicos y los egipcios ya trabajaban con algunas fracciones como 1/2, 1/3, o 1/5, generalmente con nu-merador igual a 1. Uno de los primeros registros que se conocen es el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que constituye la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.

En la escritura, los egipcios expresaban la fracción con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo o al lado, es-cribían el denominador. El numerador, como siempre era 1, simplemente se omitía. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época me-dieval. En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulma-nes introdujeron su sistema de numera-ción, conocido como indoarábigo, hito clave para que se iniciara y el estudio de los números racionales.

Recién en el siglo XIII Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonac-ci, introdujo en Europa el concepto de números quebrados o números “ruptus” utilizando la barra horizontal para sepa-rar numerador y denominador en las

fracciones. Más tarde, a principios del siglo XV, el árabe Al Kashi generalizó el uso de los números decimales y a fines del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló las fracciones que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas. Sólo a principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. En 1792, los números decimales se impusieron en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal.


Papiro de Rhind


Unidad 1: Números

ConsolidandoI Encuentre el valor de las siguientes expresiones

a) 23 – ( -2

8 ) + ( -58 ) = b) ( 7

-3 ) + ( -53 ) – (11

3 ) =

c) 135 – ( 1

4 + -56 ) = d)

-57 + ( 4

6 + -915) – ( -4

9 ) =

II Calcule el valor de las siguientes expresiones

a) 45 . ( -4

6 ) = b) (-3) . ( 35 –

16 ) =

c) 67 ÷

43 = d) ( -1

6 ) ÷ ( -14 .

37 ) =

III Considera las siguientes expresiones y obtén su valor.

a) ( 15 –

219) . ( 3

5 ÷ [ ( -19 ) + ( -2

8 ) ] ) = b) ( -217 ÷

83 ) ÷ ( 1

4 – 12 ) =

c) (-4) . ( 17 + ( -5

3 ) ) = d) 1 – 1 – 1

2

(1 – [1 – 1

4 ][1 + 1

6 ] ) . [ 1

3 ÷ 32 ] =

VII Dados los siguientes números decimales, escribalos como el cuociente de dos números enteros.

a) 2,019 = b) -23,2305 = c) -102,112 =

d) -3,09101 = e) 10,01102 = f) 1205,177801 =

VII Dados los siguientes números fraccionarios, escribalos como un número decimal e forma exacta. Determine que tipo de número decimal es.

a) 5

12 = b) – 1124 = c)

1733 =

d) 58 = e) –

615 = f)

102-36 =


Unidad 1: Números

1capítulo

ConsolidandoVI Encuentre el MCD y MCM de klos siguientes músculos.

a) 12 y 5 b) 11 y 13 c) 12, 15 y 24

d) 7, 28 y 49 e) 18, 21 y 25 f) 10 y 35

VII Aproxime los siguientes números por medio de un truncamiento y redondeo al orden dado.

Valor exacto Orden de aproximación Redondeo Truncamiento23/107 4

-12,3098172 -12,30981

-2,36800187 -2,368002

56/330 6

VIII Una antorcha consume 34 kgs. de aceite por día.

¿Cuánto consumirá en 56 de día?

IX Si un auto anda 110 Kms por hora,

¿cuánto andará en 35 , en

18 , en

211 y en

79 de hora?

X Un gásfiter arreglará un lavaplatos por $24.000 y hace los 7

20 del trabajo.

¿Cuánto recibirá?

XI Un obrero pondrá las cerámicas de una cocina por $80.000 y ya ha cobrado una cantidad equiva-

lente a los 1115 del trabajo.

¿Cuánto le falta por cobrar?

XII Don Alberto tiene un fundo de 20 hectáreas en la que tienen sus vacas. Este año vende los 25 y

arrienda para sembrar maíz los 34 del resto.

¿Cuánto le queda para pastoreo?

XIII En un grupo de niños, 16 están de cumpleaños durante la primera mitad del año y 14 están de cumpleaños durante la segunda mitad del año

¿Qué fracción del grupo está de cumpleaños durante la primera mitad del año? (fuente TIMSS - MINEDUC).

XIV A Juan y Catalina les dijeron que dividieran un número por 100. Por error, Juan multiplicó el nú-mero por 100 y obtuvo una respuesta de 450. Catalina dividió correctamente el número por 100.

¿Cuál fue su respuesta? (fuente TIMSS - MINEDUC).

XV En una cuchara le cabe 15 kg. de harina

¿Cuántas cucharadas de harina son necesarias para llenar una bolsa con 6 kg. de harina? (fuente TIMSS

- MINEDUC).



Mapa conceptual

(a/b) dividido (c/d) = (a/b) .(d/c) = (ad)/(bc)

SON AQUELLOS QUE

NúMEROS

RACIONALES

Se escriben como cuociente de números enteros

SE DIVIDEN

Números decimales infinitos semiperiódi-cos 12,3864333333...

Números decimales infinitos periódicos 12,333333...

Números decimales finitos 12,3056

Números enteros..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

OPERACIONES

SE TIENE

SE TIENE

SE TIENE

División de números racionales

a/b .c/d = (ac)/(bd)

a/b + c/d = (ad + bc)/bd

Producto de números racionales

Suma de números racionales

1capítulo

Autoevaluación

Unidad 1: Números

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio ��

Jorge y Ana son ambos amantes de la literatura. Jorge tiene 64 libros y Ana 96 libros. Si sabemos que 38 de los

libros de Jorge son novelas, 14 son de poesía y el resto de otros tópicos. Por su parte Ana tiene 12 libros de

poesía, la mitad restante son novelas y el resto de otros temas.

Según lo anterior responde a cada una de las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos libros de poesía tiene Jorge y Juan?

2. ¿Quién tiene más libros de novelas, Jorge o Ana?

3. Si 14 de los libros de poesía de Jorge son de autores extranjeros. ¿Cuántos libros de poesía de autores chi-

lenos tiene Jorge?

CRITERIO INDICADOR

PUNTAJE

Si

(1pto)


No

(0 pto)

Criterios de Procedimiento


Criterios de Habilidades

• Organice correctamente la información del problema• Distinguí la información relevante para el problema• Analicé e interpreté correctamente la in-formación para responder a las preguntas• Respondí correctamente la pregunta 1.• Respondí correctamente la pregunta 2.• Respondí correctamente la pregunta 3.• Soy capaz de explicar el problema y sus respuestas.

Criterios de Actitud


Potencias de base entera y exponente entero

Interpretar las potencias de base racional y exponente entero

6 8

3 953

58 829 66847

5

473 3

1

58 823668

475

475

3

1 5 94753


CAPituLo 2 PotenCiAs de bAse rACionAL y exPonente Cero

Unidad 1: Númerosracionales


Potencias de base racional y exponente entero

Multiplicación y división de potencias de base racional y exponente entero

Aplicaciones de las potencias a la resolución de problemas

Aplicar las potencias de base racional y exponente entero a la re-solución de problemas


En el laboratorio de ciencias están realizando un experimento con dife-rentes sustancias. Una de ellas se desintegra rápidamente, de manera tal que al cabo de una hora queda sólo la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento hay 640 gramos de sustancia, ¿cuánto quedará des-pués de 4 horas? ¿cuánto quedará después de n horas? ¿Cuánta sustancia había hace 4 horas?

En lo que sigue veremos como responder a estas preguntas.


Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero

Establecer algunas propiedades de las potencias de base racional y exponente entero

6 8

3 953

58 829 66847

5

473 3

1

58 823668

475

475

3

1 5 94753

Unidad

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio57

Recordemos

Unidad 1: Números

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio58 Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio58

En primer lugar notemos que una potencia es una expresión de la forma.

24

Base

Exponente

y se distinguen dos elementos que son la base y el exponente.

Una potencia la podemos interpretar como una multiplicación de la base por si misma tantas veces como sea el valor del exponente, es decir,

24 = 2 . 2 . 2 . 2

4 veces

Recordemos las propiedades de las potencias cuando la base es un número entero y el exponente es un nú-mero entero positivo.

i) Cualquier número entero elevado a 1 es el mismo número. Es decir:

21 = 2

En general, tenemos que si n es un entero, entonces:

n1 = n

ii) Si se multiplican dos potencias de igual base, entonces se mantiene la base y se suman los exponentes. Por ejemplo,

23 . 24 = (2.2.2) . (2.2.2.2) = (2.2.2.2.2.2.2) = 27

4 veces3 veces 7 veces

1 PotenCiAs de bAse rACionAL y exPonente entero

1capítulo

Recordemos

Unidad 1: Números

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio 59

En general, podemos escribir lo siguiente:

Sean a es un número entero no nulo, y sean n y m dos números naturales, entonces

an . am = an+m

iii) Si multiplico dos potencias de distinta base e igual exponente, se multiplican las bases y se mantiene el exponente. Por ejemplo,

23 . 53 = (2.2.2) . (5.5.5) = (2.5).(2.5).(2.5) = (2.5)3 = 103

3 veces 3 veces3 veces

En general, si a, b son dos números enteros no nulos y n un número entero positivo, entonces tenemos que:

an . bn = (a .b)n

iv) Si una potencia la elevo a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

Por ejemplo:

(73)2 = 73 . 73 = (7.7.7).(7.7.7) = 76

Luego, si a, es un número entero no nulo, y sean n y m dos números enteros positivos, entonces

(an)m = an .m

Si quieres saber sobre el número π puedes visitar

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80.http://www.ciencianet.com/pi.html.

En Internet

Recordemos

Unidad 1: Números


PARA EJERCITAR

Unidad 1: Números


i Escribe en forma de potencia los siguientes números:

a) 4 • 4 • 4 • 4 = b) 33 • 3 • 35 = c) (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) =

ii Expresa el resultado en forma de potencia.

a) 38 ÷ 32 = b) (56)2 =

iii Calcula las siguientes potencias:

a) (-3)4 b) (-2)5 c) (-5)3 d) (-4)2

iV Escribe el resultado como un producto de potencias:

a) ( 2 • 5 • 4)4 = b) ( 5 • 4 • 2)6 = c) [ (-2)3 • 43 • 65 ]4 =

d) ( 23 )3

• ( 23 )2

• ( 23 )5 = e) ( (-2)2 • 52

33 • (-5)3 ) =

f) 52 • (( 4

5 )2)3 =

V Escribe como potencias de 10 los siguientes números:

a) –1.000 b) 0,00000000001 c) –0,00001 d) 1. 000. 000

Vi Escribe como una sola potencia (cuando se pueda) las siguientes expresiones:

a) 24 • 43 • 4 = b) (-2)4 • 25 = c) 4 • (62)3 =

Vii Tenemos un cubo de lado a.

a) ¿Cuánto vale su volumen?

b) Si duplicamos el lado (2 a), ¿se duplicará también el volumen? Razona la respuesta.

c) Comprueba los resultados anteriores con un ejemplo numérico.

Viii Con pequeños cubitos hemos construido un cubo grande que tiene 10 cubitos de lado.

a) ¿Cuántos cubitos contiene el cubo grande?

b) Si ponemos el triple de cubitos por lado, ¿necesitaremos el triple de cubitos para construir el cubo grande?

ix Una pelota es lanzada desde una altura de tres metros, después de cada rebote la pelota alcan-za una altura de 0,85 veces la altura antes del rebote.

¿Podrías decir que altura alcanza después del segundo rebote? ¿Qué altura alcanza después del sexto rebote?

Unidad


1.1 Potencias de base 10Un caso importante que debemos recordar también es el que corresponde a las potencias de base 10 y exponente entero.

Recordemos las potencias de base 10 y exponente entero positivo:

101 = 10 decena 102 = 100 centena 103 = 1.000 unidad de mil 104 = 10.000 decena de mil 105 = 100.000 centena de mil 106 = 1.000.000 unidad de millón 109 = 1.000.000.000 unidad de mil millones 1012 = 1.000.000.000.000 unidad de billón

Observa que: 100 = 1 unidad

Estas potencias son útiles en la descomposición canónica de los números en-teros. Por ejemplo,

3.125 = 3 • 1.000 + 1 • 100 + 2 • 10 + 5 • 1 = 3 • 103 + 1 • 102 + 2 • 101 + 5 • 100

En el caso de exponentes enteros negativos, tenemos que:

1 = 1 = 100 unidad

0,1 =1

10= 10-1 décima

0,01 =1

100= 10-2 centésima

0,001 =1

1000= 10-3 milésima

0,0001 = 1

10000= 10-4 diez milésima

0,00001 =1

100000= 10-5 cien milésima

0,000001 =1

1000000= 10-6 millonésima

En Internet

¿Sabías que un billón en Chile y un billón en EE.UU. no son lo mismo? En general, para los países de Europa y América Latina, un billón representa un mi-llón de millones, es decir 1 billón = 1.000.000.000.000 sin embargo, en E.E.U.U., el concepto de billion repre-senta mil millones, es decir, 1 billion = 1.000.000.000 esta diferencia a veces nos puedes llevar a confusión. Lo mismo sucede con los conceptos de Trillón, etc.

Si quieres saber más, visita la página.

http://es.wikipedia.org/wiki/Bill%C3%B3n



Las potencias de base 10 y exponente entero negativo nos ayudan en la des-composición aditiva de números decimales.

Por ejemplo:7, 4312 = 7 x 1 + 4 x 0,1 + 3 x 0,01 + 1 x 0,001 + 2 x 0,0001 = 7 x 100 + 4 x 10-1 + 3 x 10-2 + 1 x 10-3 + 2 x 10-4

Y se lee: 7 enteros, 4 décimas, 3 centésimas y milésima y 2 diez milésimas.

Recuerda que en el caso de cantidades muy pequeñas o muy grandes se utili-za la notación científica.

Toma Nota

Podemos definir la notación científica, también llamada notación índice estándar, es una forma simplificada de representar números, tanto enteros como decimales, me-diante una técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal, es decir, poten-cias de diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeño.

1.520.000.000 = 1,52 .109

Parte entera de un dígito

Magnitud del número

Esta notación se caracteriza por las siguientes reglas:

● cada número se escribe como el producto de un número decimal por una potencia de base 10 y exponente entero.

● el decimal que antecede a la potencia de 10, posee una parte entera de sólo un dígito.

● el resto de las cifras significativas van en la parte decimal.

● la potencia de 10 da el orden de magnitud del número.

Por ejemplo:1.- Un año luz es la distancia que recorre la luz durante una año a una veloci-dad cercana a 300.000 Km./s, luego en notación científica tenemos que:

1 año luz = 9,4608 . 1012

Unidad


PARA EJERCITAR

i Escriba el número que corresponde a la siguiente expresión

a) 5 • 104 + 2 • 102 + 2 • 10-1 = b) (3 • 104 + 2 • 102 + 2)2 =

c) 6 • 105 + 2 • 103 + 2 • 10-2 = d) (7 • 102 + 4 • 10-2) • 10-2 =

e) (3 • 103 + 8 • 10-1) • (4 • 102 + 8 • 10-2) =

ii ¿Podrías escribir los números anteriores en notación científica?

iii Mariana en su control anual el médico advirtió una leve anemia producida por una alimentación poco balanceada. A pesar de los resultados. Hizo una dieta para bajar de peso. Sin embargo, como comenzó a sentir cansancio, su medico le pidió nuevos exámenes arrojando el siguiente resultado:

Antes de la dieta Después de la dieta

Hemograma Hemograma

Eritrocitos 4.700.000/mm3 Eritrocitos 3.800.000/mm3

Leucocitos 8.700/mm3 Leucocitos 9.500/mm3

a) Expresa en notación científica la cantidad de eritrocitos de cada análisis.

b) ¿Cuánto disminuyó la cantidad de eritrocitos luego de la die-ta?

2.- Notemos que micrómetro se define como

1µm = 0,000001 metro = 1 . 10-6 metros

Luego, si una célula mide 12,75 µm se tiene

12,75 µm = 1,275 . 10-5 metrosEn esta página web encon-trarás una divertida forma de ver las potencias de 10.

http://www.slideshare.net/guervos/potencias-de-10-un-viaje-del-macrocosmos-al-mi-crocosmos/

En Internet



Toma Nota

Así, en general tenemos que, dados dos números enteros a y b, con b ≠ 0, y sea n un entero positivo, entonces

( ab )n =

an

cn

Veamos ahora el caso de las potencias cuando la base es un número racional y exponente entero. Para ellos trataremos de deducirlas a partir de lo que sabe-mos sobre las potencias de base entera y exponente natural.

2.1 Potencias de base racional y exponente entero positivo

Consideremos el número racional 827

,

Notemos que: 23 = 8 y 33 = 27

luego, 827

= 23

33 Pero por otra parte,

23

33 = 2 • 2 • 23 • 3 • 3 =

23 • 2

3 • 23 = ( 2

3 )3 3 veces

Es decir, tenemos que:

23

33 = ( 23 )3

2 PotenCiAs de bAse rACionAL y exPonente entero

Por ejemplo:

a) ( 34 )3

= 34 • 3

4 • 34 =

3 • 3 • 34 • 4 • 4 = 33

43 = 2764

b) ( -25 )5= ( -2

5 ) • ( -25 ) • ( -2

5 ) • ( -25 ) • ( -2

5 ) = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2)

5 • 5 • 5 • 5 • 5 = (-2)5

55 = -323125

Visita la página

http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/3_eso/Poten-cias/Potencias32.htm

para practicar potencias

En Internet

Unidad


Toma Nota

Recuerda que, si n es un entero positivo, tenemos lo siguiente: (-1)n = 1, si n es par

PARA EJERCITAR

i Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 23 . ( -16 )3

. (125 )4

=

b) (-3)3 . 42 . 63

82 =

c) (3,2 . 10-1)2 . (4,8 . 102)4

1,8 . 103 =

ii Claudio recibió parte de su sueldo y ha decidido invertir de su sueldo en un depósito a plazo fijo, el cual le da un interés anual de 9%. Si la mitad de su sueldo es $350.000.

¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 2 años? ¿Y al cabo de 5 años? ¿Podrías obtener una forma general de la s ganancias después de n años?

Por ejemplo:(-1)2 = (-1) (-1) = 1

además se tiene(-1)n = -1, si n es impar

Por ejemplo: (-1)3 = (-1) (-1) (-1) = 1 (-1) = -1

Toma Nota

Dado un número entero a con a ≠ 0,y sea n un número natural con n ≠ 0, entonces la potencia an.

verifica lo siguiente:i. Si n es un número par entonces an > 0.

Por ejemplo: 26 = 64 > 0 y (-2)6 = 64 > 0

ii. Si n es un número impar entonces tenemos que a > 0 ⇒ an > 0 y a < 0 ⇒ an < 0

Por ejemplo: 23 = 8 > 0 y (-2)3 = -8 < 0.



2.2 Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero positivoVeamos la forma en que extenderemos lo ya conocido para las potencias de base racional y exponente entero.

Notemos que en este caso se tienen las siguientes propiedades:

Sean a, b, números enteros con b ≠ 0 y n un número entero positivo:

a.- Producto de potencias de igual base: Se mantiene la base y se suman los exponentes, es decir,

( ab )n

.( ab )m

= ( ab )n+m

Veamos una idea de la demostración de esta propiedad. En efecto, tenemos los siguientwe:

( ab )n

.( ab )m

= an

bn . a

m

bm = an .am

bn .bm

= an + m

bn + m = ( a

b )n + m

lo que completa la demostración.

Por ejemplo:

( 35 )5 • ( 3

5 )5 = ( 35 )2+3 = ( 3

5 )5 b.- Potencia elevada a otra potencia:Se preserva la base y se multiplican los exponentes, es decir,

(( ab )n)m

= ( ab )n .m

Por ejemplo:

( ( 35 )2 ) 3 = ( 3

5 )2 . 3 = ( 3

5 )6 ¿Podrías justificar esta última propiedad?

c.- Producto de potencias de diferente base e igual exponente: Se multiplican las bases y se mantienen los exponentes, es decir,

( ab

. cd )n

=( ab )n

.( cd )n

Por ejemplo:

( 23 • 5

7 )2 = ( 23 )2 • ( 5

7 )2 = 49 •

2549 = 100

441

Unidad


2.3 Potencias de base racional y exponente entero

Ahora veamos cómo extender lo aprendido, al caso en que los exponentes sean números enteros.

Toma Nota

Recuerda que en el caso de las potencias de base 10, tenemos que:

100 = 1 y 10-1 = 110

= 0,1

Veamos ahora que:

( 23 )0

= 1 y ( 23 )-1

= 32

Ahora, en primer lugar veremos que:

20 = 1 y 2-1 = 12

Nota que si usamos las propiedades de las potencias, entonces:

2 = 21 = 21+ 0 = 21 • 20 = 2 • 20

Es decir, 2 • 20 = 2 ⇒ 20 = 1

Luego, de lo revisado en la sección anterior:

( 23 )0

= 20

30 = 11

= 1 ⇒ ( 23 )0

= 1

Toma Nota

Si a y b son números enteros con a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces:

( ab )0 = 1

Por ejemplo,

(-1)0 = 1 y ( -25 )0

= 1

Por otra parte, como 1 = 20 = 21+ (-1)

= 21 • 2-1

dividiendo por dos, tenemos:2-1 • 2 = 1 ⇒ 2-1 = 1÷2

es decir,

2-1 = 12



Toma Nota

En general, tenemos que si a es un número entero, con a ≠ 0, entonces

a-1 = 1a

Por ejemplo,

(2)-1 = 12 y (-3)-1 =

1-3 = –

13

Luego, si extendemos el caso al de números racionales, se tiene lo siguiente:

1 = ( 23 )0 = ( 2

3 )1 + (-1) =

23 • ( 2

3 )-1

Ahora, multiplicando ambos términos por 32

, tenemos que:

32

= 32

• 23

• ( 23 ) -1= ( 3 • 2

2 • 3 ) • ( 2

3 )-1 = 1 • ( 2

3 )-1 Es decir,

( 23 )-1

= 32

PARA EJERCITAR

i Calcular:

a) 1-1 + 2-1 + 3-1 = b) ( 12 )-1

+ ( 13 )-1

=

c) a-1 + b-1 =

En matemáticas, la división por cero en general no está permitida, sin embargo l prob-lema surgió sobre el año 650 cuando el uso del cero y los números negativos entraron en la matemática India. El matemático indio Bhaskara I realizó una primera aproxi-mación al nuevo problema que se planteaba escribiendo que n/0 = infinito

¿Sabías qué?

PARA EJERCITAR

i Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) ( 32 )-2

. ( 23 )2

=

b) 120 + ( 1

2 )0 –

30

4 =

c) ( 25 )0

÷ 50

20 =

d) (0,5)0 – 2 (0,5)0 =

e) ( 30

4 + 530 ) – ( 3

4 + 52 )2

=

Unidad


Notemos además que si extendemos las propiedades de las potencias de base racional y exponente natural al caso de exponentes enteros, se tiene que:

( 23 )-1 • ( 2

3 )-1 = ( 23 )(-1) + (-1) = ( 2

3 )-2

Toma Nota

Así, tenemos que si a y b son dos números enteros, tales que a ≠ 0, y b ≠ 0, enton-ces:

( ab ) -1 = 1

a / b =

ba

Por otra parte, tenemos lo siguiente:

( 23 )-2 = ( 2

3 )(-1) + (-1) = ( 23 )-1 • ( 2

3 )-1 = ( 3

2 ) • ( 32 ) = ( 3

2 )2

Toma Nota

Es decir, si a y b son dos números enteros, con a ≠ 0, y b ≠ 0, entonces:

(( ab )n)-1 = ( ab ) -n = bn

an

Toma Nota

Entonces, tenemos que si a y b son números enteros con a ≠ 0 y b ≠ 0, y sean n y m números enteros, entonces:

(( ab )n)m = ( ab ) n .m

Por ejemplo:

(( 23 )2)-2

= ( 2

3 )2 . (-2) = ( 23 )-4

y (( -3

4 )-2)-1 =

( -34 )(-2) . (-1) = ( -3

4 )2 =

916

PARA EJERCITAR

i Calcular:

a) (( 34 )-1)2

= b) [( -23 )-1]-2

=

c) [( 12 )-2]-1

+ [( 2 )-1]2 =

Si quieres saber de la división por cero visita

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_por_cero

En Internet



Por ejemplo:

( 35 )2

• ( 3

5 )-4 =

( 35 )2+(-4) = ( 3

5 )-2 y

( 27 )-7

• ( 2

7 )8 =

( 27 )(-7) + 8 = 2

7

Toma Nota

Si a y b son números enteros con a ≠ 0, y b ≠ 0, y sean n y m números enteros, entonces:

( ab ) n . ( ab ) m = ( ab ) n + m

Toma Nota

Siguiendo el caso en que a y b son números enteros con a ≠ 0 y b ≠ 0, y sean n y m números enteros, se tiene que:

( ab ) n ÷ ( ab ) m = ( ab

) n

( ab

) m = ( ab ) n - m

Por ejemplo:

12/5 = ( 2

5 )0÷

( 25 )1

= ( 2

5 )0• ( 2

5 )-1 =

( 25 )-1 =

52

Veamos un segundo ejemplo:

(-5/9)4

(-5/9)3 = ( -59 )4-3

= ( -5

9 )1 =

-59

PARA EJERCITAR

i Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica las si-guientes expresiones y obtén su valor:

a) ( -25 )4

• (103 )-2 = b) ( 2

3 )3• ( 2

3 )-4• ( 3

2 )-2 =

c) (2 34 )-1

÷ (-1 35 )2

= d) 24 + 24 + 24

22 = e) ( 3-2 – 3-4

3-3 )3 =

f) 22

3 – 4 – 33

4-1 = h) [ ( 35 )3

• ( 102 + 253-2 )-2

]-2

÷ (– 152 )2

=

i) [ (-15)3 • (-3)-2

10-2 • 92 ] ÷ 34

=

Unidad


PARA EJERCITAR

ii Dadas las siguientes expresiones, determine si ellas son verda-deras o falsas justificando tu respuesta.

a) 22 + 23 = 25 b) 102 + 52 = 53 c) (-2)5 = 25

d) [ (9)3 ]4 = 97 e) (2-1 – 2-2)-1 = 22

iii Consideremos una cuerda de una longitud de 6,4 metros, la cual iremos cortando a la mitad en forma sucesiva, ¿de qué lon-gitud se tiene el corte después de cuatro cortes?, ¿después de n cortes?.

¿Cuántos cortes necesitamos para que la longitud de la cuerda no sea mayor que 0,5 metros?

¿Qué sucede si los cortes son de de la longitud de la cuerda restante.

iV Marta ha desarrollado un plan de negocios en su empresa de manera de aumentar el número de clientes y como meta se ha propuesto que cada año el número de aumentos aumente en 1

10 . Si inicialmente la empresa tiene 40 clientes.

¿Cuántos clientes se esperan tener después de dos años?

¿En cuantos años se espera que la cantidad de clientes aumente en un 50%?

¿Después de cuantos años la cantidad de clientes será el doble?

V El crecimiento de una población de bacterias es tal que cada dos horas se duplica el número de individuos. Andrés y María estudian un cultivo en el laboratorio de biología y se dan cuen-ta que en ese instante hay cerca de 4 • 103 bacterias.

¿Cuántas bacterias habrán en 12 horas más tarde?

¿Cuántas habían hace 4 horas?

¿Podrías obtener una fórmula general para saber el número de bacterias en cualquier instante de tiempo?

Unidad 1: Números



René Descartes (1596 - 1650)

Nacido en La Haye, Touraine (Francia), fue filósofo, matemático y físico. Hijo de un miembro de la baja nobleza, a los ocho años lo enviaron a la escuela je-suita de La Flèche, en Anjou, donde recibió una gran influencia a lo largo de toda su vida. En 1632 resolvió el problema de la caída de los cuerpos sin saber que Galileo ya lo había hecho. Con sus descubrimientos en óptica contribuyó indirectamente al per-feccionamiento de los instrumentos de obser-vación.

Pero la contribución más notable que hizo Descartes a las matemáticas fue la sistematización de la geome-tría analítica, contribuyendo también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones.

Descartes fue el respon-sable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desco-nocidas y las primeras letras para las conocidas. A él se le debe también el método de los expo-nentes para indicar las potencias de los núme-ros.

Otros matemáticos importantes en el desarrollo del concepto de potencia, fueron:

• Oresme (siglo XIII) definió las potencias enteras su-cesivas de un número. • Nicolás Chuquet (siglo XV) extendió estas poten-cias a los números racionales.• Viète (siglo XVI) generalizó las potencias a los núme-ros negativos.

René Descartes

La notación potencial La notación actual de las potencias ya se utilizó en el siglo XVI, tal como lo demuestran escritos de Descartes, aunque es curioso que, aunque a partir del exponente natural 3 las potencias tomasen la forma ad éste siempre escribiera a en vez de a2.

Unidad 1: Números


1capítulo

¿ Sabías que ?

Uno de los conceptos más importantes en las matemáticas es el de “infinito”, pero esta idea no es siem-pre simple de comprender. Para tratar de entenderlo se han buscado números muy grandes que nos den una idea de su inmensidad. Uno de estos fue el concepto de “googol” el que se pronuncia como “gú-gol”. Este término fue acuñado en 1938 por Milton Sirotta, un niño de 10 años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner. Este matemático anunció el concepto en su libro “Las matemáticas y la imaginación”. Un googol corresponde a y es aproximadamente igual a 70 factorial.

Algunas curiosidades sobre este número son que sus únicos factores primos son el 2 y el 5, además en muchas de las calculadores este número no puede ser representado. Además este número es mayor que el número de átomos en el universo.

Sin embargo luego se han definido algunos números aún mayores como son el googolplex (gúgolplex) que corresponde a 10 elevado aun googol y el googoldúplex (gugoldúplex) que corresponde a 10 elva-do a un googolplex, es decir,

googol = 10100

googolplex = 10googol = 1010100

googoldúplex = 10googolplex = 1010googol = 101010100

Se sabe que el motor de búsqueda Google fue llamado así debido a este número. Aunque los fundadores de Google iban a llamarlo Googol, pero terminaron con el ya conocido nombre de Google debido a un error de ortografía de Larry Page.

El escritor Isaac Asimov dijo en una ocasión respecto a este número: “Tendremos que padecer eterna-mente un número inventado por un bebé”.

Si quieres saber más sobre este tema visita http://es.wikipedia.org/wiki/Googol y http://www.fayerwayer.com/2008/03/googol-y-un-googolplex/[.1].

En Internet



Estrategías de resolución de problemasAplicaciones de las potencias de base racional y exponente entero.Retomemos nuestro problema inicial y veamos su resolución. En el laboratorio de ciencias están realizando un experimento con diferentes sustancias. Una de ellas se desintegra rápidamente, de manera tal que al cabo de una hora queda sólo la mitad de la cantidad ini-cial. Si en cierto momento hay 640 gramos de sustancia, ¿cuánto quedará después de 4 horas? ¿Cuánto quedará después de n horas? ¿Cuánta sustancia había hace 4 horas?.Para responder a las preguntas planteadas debemos considerar algunas etapas.

ETAPA 1 Es importante leer cuidadosamente el problema para responder a cada una de las preguntas.Notemos que nos preguntan por la cantidad de sustancia que existe en cada momento. Nos dicen que ésta se desintegra a la mitad por cada hora que pasa, por lo que las variables importantes son los gra-mos de sustancia y la cantidad de horas transcurridas.

ETAPA 2 Revisemos qué información nos entrega el problema con respecto a las variables destacadas en la etapa anterior y busquemos una estrategia para responder las preguntas.Una forma de resolver el problema es utilizar una tabla que nos indique la evolución de la sustancia. Considerando que inicialmente se tienen 640 gramos de sustancia, tenemos lo siguiente:

Tiempo transcurrido Gramos de sustancia0 horas 640

1 hora 640 • 1/2 = 320

2 horas 320 • 1/2 = 160

3 horas 160 • 1/2 = 80

4 horas 80 • 1/2 = 40

ETAPA 3 Ahora intentaremos obtener una fórmula general que nos informe de la cantidad de sustancia que existe después de una determinada cantidad de tiempo.Para deducir la fórmula utilizaremos los datos entregados por la tabla anterior y desde allí buscaremos una generalización. Nota que las cantidades anteriores se pueden escribir de la siguiente forma.Sea Cn la cantidad de sustancia después de n horas,

C0 = 640 • 1 = 640 • ( 12 )0

C-1 = 320 = 640 • 12

= 640 • ( 12 )1

C-2 = 160 = 320 • 12

= 640 • 12

• 12 = 640 • ( 1

2 )2

C-3 = 80 = 160 • 12

= 640 • ( 12 )2

• 12 = 640 • ( 1

2 )3

C-4 = 40 = 80 • 12

= 640 • ( 12 )3

• 12 = 640 • ( 1

2 )4

Unidad


PARA EJERCITAR

i ¿Podrías describir la situación si la sustancia que decae es tal que ella disminuye a un cuarto de la cantidad después de 4 horas?.

Obtén, una fórmula general de su comportamiento.

ii Considera otra sustancia tal que decae a la mitad cada dos horas. Determina si su compor-tamiento es igual o no al de la sustancia de la pregunta anterior.

ETAPA 4Respondamos las preguntas.

En primer lugar, de los datos obtenidos anteriormente se tiene que después de 4 horas tendremos 40 gramos de la sustancia.

Por otra parte, hemos visto que de los desarrollos anteriores se desprende que la cantidad de sustancia después de n horas, denotada por Cn, está dada por la siguiente fórmula:

Cn = 640 .( 12 )n

Por otra parte, notemos que si inicialmente tenemos 640 gramos, entonces dado que la cantidad de sustancia disminuye a la mitad cada una hora entonces hace una hora había el doble de sustancia que la actual. Luego denotando por C-n la cantidad de sustancia hace n horas tenemos lo siguiente:

C0 = 640 • 1 = 640 • ( 12 )0

C-1 = 1280 = 640 • 2 = 640 • ( 12 )-1

C-2 = 2560 = 1280 • 2 = 640 • ( 12 )-1

• ( 12 )-1

= 640 • ( 12 )-2

C-3 = 5120 = 2560 • 2 = 640 • ( 12 )-2

• ( 12 )-1

= 640 • ( 12 )-3

C-4 = 10240 = 5120 • 2 = 640 • ( 12 )-3

• ( 12 )-1

= 640 • ( 12 )-4

Por tanto hace 4 horas había 10.240 gramos de la sustancia. Además podemos observar que si en un instante de tiempo, que llamaremos momento inicial y corresponde al tiempo t = 0, en donde hay 640 gramos de la sustancia y llamamos Cn a la cantidad de sustancia en el instante de tiempo t = n horas, con n positivo para el tiempo futuro y n negativo para el pasado, entonces

Cn = 640 .( 12 )n


Unidad 1: Números

Consolidandoi Calcule el valor de las siguientes potencias

a) (– 23 )3

= b) ( 1225 )-2

=

c) (-3,4)-3 = d) ( 45 )0

=

ii Utilizando las propiedades de las potencias reduzca las expresiones y encuentre el valor de ellas.

a) -23

(-23) = b) ( 25 )3

÷ ( 215)-4

=

c) ( 3 . 6-3 ÷ 42

12-2 . 93 ) = d) ( -17 )2

÷ [ (– 35 )-2

+ 56

]-3 =d) ( 3

2 – 3

4 ) . ( 14

– 15 )-1

=

iii A la empresa de Andrés ha llegado un nuevo gerente, el que quiere elaborar un plan de crecimien-to de la empresa y para ellos necesita aumentar el número de trabajadores en los próximos cuatro años.

Si actualmente la empresa tiene contratados a 1.280 personas. La forma de contratarlos será gra-dual de modo de aumentar la dotación de trabajadores en un 20% cada año.

¿Cuántos empleados habrá después de cuatro años? Si la política continúa más de cuatro años ¿Cuán-tos habrá después de 8 años? ¿Es posible mantener indefinidamente el plan de crecimiento o no? Justifica tu respuesta.

iV Nicolás tiene una cantidad de dinero que recibió de una herencia y la quiere poner en el banco, el cual le reajusta anualmente el monto en una tasa de interés del orden del 6% anual.

¿Cuánto tendrá después de 2 años si invierte $950.000? ¿Cuánto tendrá después de 5 años?

En otro banco le ofrecen una tasa de 1,5% trimestral.

¿Dónde le conviene invertir su dinero a Nicolás?.

Justifica tu respuesta.


Unidad 1: Números

1capítulo

ConsolidandoV Carlos tiene $15.000.000 pesos que invierte de la siguiente manera: $10.000.000 a un interés com-

puesto trimestral del 4% y $5.000. 000 a un interés compuesto semestral del 7%, ambos por un periodo de dos años.

a) ¿Cuál será su capital final?

b) ¿Le convendría más invertir los $15.000.000 a un interés compuesto del 2.5% cuatrimestral, inverti-do un periodo de seis años?

Vi Una forma de determinar la edad de un fósil es el uso de la prueba del Carbono 14. Se sabe que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente de 5.500 años.

a) Si llamamos a la cantidad de carbono que tiene una persona, podrías decir que porcentaje tendrá aproximadamente dentro de 11.000 años?

b) ¿Y en 22.000 años?

Vii Una especie crece de manera que su población se triplica cada dos hora. SI inicialmente hay 1.200 individuos.

a) ¿Cuántos habrá al cabo de dos días?

b) ¿Cuántos habías hace 12 horas?

Viii Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro, en el que vol-vemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente.

a) Calcula la suma de las áreas de los triángulos exteriores a los cuadrados obtenidos al realizar esta operación.

b) ¿Cuál sería la suma de las áreas de los triángulos al realizar esta operación 2 y 3 veces?



Mapa conceptual

a b

Base

Exponente

si n es par y a no es cero, entonces

an > 0

si n es impar, entoncesan

preserva el signo de a.

SEGÚN EL EXPONENTE

SE TIENE

(a/b)n x (a/b)n = (a/b)n+m

(a/b)n x (c/d)n = ((ac)/(bd))n

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Y EXPONENTE

ENTERO

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE BASE RACIONAL E IGUAL

EXPONENTE

POTENCIA ELEVADA A UN EXPONENTE ENTERO POSITIVO

m(a/b)n = (a/b)nm

23,057 = 2x101+3x100 +5x10-2+7x10-3

10.600.000 = 1,06x107

o bien0,0000035 = 3,5x10-6

DESCOMPOSICIÓN ADIVITA

NOTACIÓNCIENTÍFICA

EXPONENTEENTERO

POTENCIAS DE BASE 10

POTENCIAS

10 n

ProPiedAdes de

LAs PotenCiAs

1w0-n = ---------

1capítulo

Autoevaluación

Unidad 1: Números


Supongamos que en otro laboratorio, Andrés y Marta están estudiando una nueva especia bacteriana. Esta

especia se reproduce rápidamente y aumenta en un 30% su población cada 2 horas.

Si en un momento dado la población es de 200 especies, entonces:

1) Determina cuantas habrán después de un día.

2) ¿Cuántas habían hace 8 horas?

3) Obtén una fórmula general para el número de habitantes en un momento dado cualquiera.

4) Dado que la población crece un 30% cada 2 horas ¿Es razonable decir que ella crece un 15% cada hora?

Justifica tu respuesta.

Criterio indiCAdor

PuntAJe

si

(1pto)


no

(0 pto)

Criterios de Procedimiento


Criterios de Habilidades

• Organice correctamente la información del problema• Distinguí la información relevante para el problema• Analicé e interpreté correctamente la in-formación para responder a las preguntas• Respondí correctamente la pregunta 1.• Respondí correctamente la pregunta 2.• Respondí correctamente la pregunta 3.• Respondí correctamente la pregunta 4.• Soy capaz de explicar el problema y sus respuestas.

Criterios de Actitud


texto escolar i medio matematicas

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