I UNIDAD: ALGEBRA EN LOS REALES.

1.- RAZONES Y PROPORCIONES

Horas : 6

OBJETIVOS: Utilizar propiedades de las razones y proporciones en la resolución de

problemas.

Aplicar el concepto de variación proporcional directa , inversa y conjunta en la resolución de problemas con enunciado.

Aplicar propiedades y conceptos de porcentajes en la resolución de problemas con enunciado.

RESUMEN DE CONTENIDOS:

RAZONES: es la comparación de dos números mediante el cuociente o división. Está compuesta de dos elementos que son el antecedente y el consecuente.

Antecedente aConsecuente b

- se lee “a es a b”.- en la razón geométrica existen infinitos pares de números que cumplen con la razón dada.

PROPORCIONES: es la igualdad de dos razones equivalentes. Está compuesta de dos términos medios y dos términos extremos.

- Toda proporción puede escribirse de dos maneras:

o bien

- En toda proporción se cumple que el producto de medios es igual al producto de extremos.

Propiedades de las proporciones:

1. Alternar extremos:

2. Alternar medios

3. Permutar

4. Invertir

5. Componer

1

6. Descomponer

EJEMPLOS

1) En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 5:4. Si el número de damas es 8. ¿Cuál es el número de alumnos?Solución:

Sea a = número de varones b = número de damas=8 a + b = Nº de alumnos

la razón es

reemplazando los datos se tiene:

el número total de alumnos resulta de a+b =10+8 = 18 alumnos.

2) En 1999 la utilidad neta de una empresa fue de $53.126 siendo su activo total de $134.930. ¿Cuál fue la razón de la utilidad neta al activo total?

Solución: la utilidad neta fue de

3) Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar:

a) la razón del total de ventas al inventario promedio.b) la razón de la utilidad a la venta total.Solución:

a) la razón es de 3 a 1

b) la razón es de 1 a

4) El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 mm. Por minuto, en tanto que el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte de 13,5 mm/min .

Hállese la razón de las velocidades de corte.Solución:

Sea a= aceroh= hierro

se forma la razón luego la razón es 4

a 9.

5) La masa de oxígeno ocupa 500 lt a presión de 740 mm de Hg. Determinar el volumen de esa masa a presión normal, permaneciendo constante la temperatura.

2

NOTA: - Ley de Boyle: “A temperatura constante, el volumen de una masa de un gas ideal varía inversamente con la presión a que se somete un gas”.

- Presión normal = 1 atmósfera = 760 mm de Hg

Solución:

6) Un vaso de papel en forma de cono, se llena con agua a razón de 3 cc. por seg. La altura del vaso es de 10 cm y el radio de la base es de 5 cm. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando es 4 cm?.

Nota: - volumen del cono

Solución: formando la proporción

variación del volumen de agua c/r al tiempo es cuando h=4cm

por tanto

como el volumen de agua varía c/r al tiempo se aplica la regla de la cadena formándose

= =

al sustituir y h=4 cm se obtiene

3

EJERCICIOS PROPUESTOS DE RAZONES

1) En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 3:2. Si el número de damas es 10.¿Cuál es el número de alumnos en total?

2) La razón entre las velocidades de un avión y un tren es de 15:2. Si la velocidad del tren de 60 km./h. ¿Cuál es la velocidad del avión?

3) La razón entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, ¿Cuál es el consecuente?

4) Calcular el antecedente en una razón cuyo valor es 1,5 y el consecuente es 6.

5) Calcular el consecuente de una razón cuyo valor es 1,5 y el antecedente es 6.

6) Calcular el valor de las siguientes razones, desarrollando mecánicamente las divisiones y comprobándolas con calculadora:

a) 0,064 : 1,6 b) 1: 0,002 c) 0,3: 0,03 d) 0,5:2e) 0,04: 10 f) 4: 10 g) 0,003:0,1 h) 0,2: 100i) 5: 0,0005 j) 2,5: 0,05 k) 24: 0,12 l) 0,36: 1,8

7) Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. ¿En que razón están sus volúmenes?

8) Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10m y 20 m. ¿En que razón están sus áreas?

9) La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana?

10) La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto que la mayor hace 80.¿Cuál es la razón de sus velocidades?

11) Dos ruedas que engranan tienen velocidades que guardan una razón de 2:3. Suponiendo que la menor haga 75 revoluciones por minuto ¿cuántas revoluciones por minuto hará la mayor? (La razón de sus velocidades es la inversa de la razón de sus diámetros).

12) Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que un aeroplano vuela a 300 km./h. Hállese la razón de sus velocidades.

13) Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de diámetro tiene una resistencia de 8,6 ohmios, en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo diámetro tiene una resistencia de 15 ohmios. ¿Cuál es la razón de las dos resistencias?

14) El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg.?.

15) El metal Britannia consiste en dos partes de antimonio, una parte de bismuto y una parte de estaño. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en una pieza fundida que pesa 24 kg.?.

16) La longitud de una circunferencia de 2,75 cm de diámetro es 8,6394 cm. Hallar la razón de la circunferencia al diámetro. Indicar la respuesta con cuatro decimales.

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17) La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para llenarlo se necesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque?

18) Se efectúa una partición de los bienes de una cierta sociedad. Se deja explícita referencia que la diferencia entre los socios es de $750.000. Si se sabe que la razón en que dichos bienes son asignados es de 3:5. Determine la cantidad de dinero que corresponde a cada uno de ellos.Rp.: A:$1.125.000 ; B: $1.875.000

19) Se está proyectando la construcción de un cinematógrafo, las dimensiones entre el largo y el ancho de la sala es de 10:18. Se considera que cada espectador debe ocupar 0,55 para estar cómodo. Si la sala tiene un ancho de 20 m. ¿Cuál será la capacidad de espectadores en un cine?

Rp.: 404 espectadores

20) Se desea adquirir un terreno. Hay un sitio cuyo fondo es de 7 m. Se desconoce la dimensión del frente, pero la razón entre sus dimensiones es de 4:6 respectivamente. Si el metro cuadrado vale 300 UF. Determinar cuanto se pagará por el terreno.

Rp.:220.500UF.

21) Una empresa comercializadora de ropa usada importada, recibe dos fardos de ropa usada, los que son calificados, de primera categoría y de segunda categoría. Se disponen ofertas por: dos artículos de primera y tres de segunda por $28.800. Si los precios de los artículos están en razón de 3:4 y el valor de los artículos de cada categoría es igual. ¿Cuál es el valor de los artículos de cada clase en esta oferta?

Rp.: A:$4.800 ; B:$6.400

22) En un examen de selección de personal para operadores de un específico sistema de información, se aplicó el test de Dr.Jhonson. Un postulante usando el artefacto para operaciones pudo ejecutar 8 operaciones en 20 seg. ¿Cuál es la razón correspondiente de dichas operaciones por minuto? Rp.: 24 operaciones por minuto

23) La razón entre dos números es 8:3 y su diferencia es 55.calcular los números.

24) Dos números están en la razón 5:2. Si sumados dan 42. Calcular los números.

25) Se desea cortar un tubo de acero de 12 m de la longitud en razón de 2:3. Calcule la longitud de cada parte.

26) Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos están en la razón de 2:5, entre 120 obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada sección.

27) Dos personas se reparten $18.000 tal que sus partes están en la razón de 8:4.¿Cuánto recibe cada uno?

Soluciones:

1) 25 alumnos 2) 450 km./h 3) 5 4) 9 5) 4

6) a) 0,04 b) 500 c) 10 d) 0,25 e) 0,004 f) 0,4g) 0,03 h) 0,002 i) 10.000 j) 50 k) 200 l) 0,2 l) 0,2

7)1:8 8) 1 : 4 9) 4 cm 10) 3:111) 112,5 12)4:15 13) 113 a 150 14) 8,515)12 kg. Sb,6 kg. Bi,6 kg. 16) 3,1416 17) 30 litros

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_______________________________________________________________________________

CLASIFICACIÓN DE PROPORCIONES: continua tiene repetido los medios o los extremos discontinua tiene todos sus términos diferentes.

Media proporcional geométrica: se repite el término desconocido en los medios o extremos

o

Tercera proporcional geométrica: se repite un término conocido según se establezca la proporción y pueden darse 2 valores de ella.

o

Cuarta proporcional geométrica: no se repite ningún término y depende de la proporción que se establezca entre las cantidades, pudiendo tener hasta tres valores.

EJERCICIOS

1. Hallar la media proporcional geométrica entre;

a. y b. 49 y 0,25 c.2 y 8

d. 2 y 3 e. 0,4 y 0,08 f. 12,6 y

g. 2 y 3 h.0 0,0064 y 225 i. 16 y 25

j. 2 y 4,5 k. 9 y 36 l. 0,5 y 100

2. Hallar la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomándolas en el mismo orden:

a. , , b. 2, 3 y 6 c. a , ab, 2

d. 12,5; 10; 2,5 e. 12; 6,4; 3,75 f. 6; 12,5; 2,88

g. 0,5; 0,1; 0,15 h. , , i. , ,

3. Hallar la tercera proporcional de los pares siguientes:

a. 2 y 3 b. -2 y 8 c. 8 y 0,4 d. y

e. 4 y 8 f. 2,5 y 5 g. y 0,6 h. 0,4 y 0,2

i. 1,8 y j. 0,2 y k. 5 y l. 3,2 y 1,4

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TIPOS DE PROPORCIONES:

Proporción directa: Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye el mismo número de veces.

1. Se le simboliza como (k =cte. proporcionalidad)2. Los cuocientes que forman una proporción directa tienen siempre un valor constante.3. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

Proporción inversa: dos cantidades a y b son inversamente proporcionales cuando haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el mismo número de veces.

1. Se le simboliza como (k = cte. proporcionalidad)

2. El producto de dos cantidades inversamente proporcionales es siempre constante.3. Su gráfica es una asíntota al eje X.

Proporción compuesta: ser presenta como una combinación de proporciones directas e inversas. Pueden darse tres casos:- combinación de dos proporciones directas; se realiza un producto cruzado de los

términos.

Ej.: Cuatro operarios producen en 10 días 320 piezas de un cierto producto. ¿Cuántas piezas de este mismo producto serán producidas por 10 operarios en 16 días?Solución: n° de operarios n° de piezas n° de días

4 320 10 10 x 16

piezas producidas.

- combinación de dos proporciones inversas; producto hacia los lados de sus términos

Ej.: 9 obreros trabajando 8 horas diarias, pintan un edificio en 12 días. ¿Cuántos días demoran 18 obreros en pintar el mismo edificio, trabajando 6 horas diarias?.

Solución:n° de obreros n° de días n° de horas diarias

9 12 818 x 6

días

7

- combinación de proporción directa e inversa:

Ej.: 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas en 18 días. ¿Cuántas máquinas aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días?Solución:

n° de días n° de máquinasn° de hect. 18 20 60 12 x 36

máquinas

EJERCICIOS

1. Cuánto cuestan 27 reglas a $2.400 la docena?2. Un vehículo recorre m metros a una velocidad v, ¿cuántos metros recorrerá otro vehículo a

una velocidad W?3. 3,1 h equivalen a ¿cuántas horas y minutos?4. Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. ¿Qué capacidad daremos a un

estanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr)5. La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 9:5.¿cuál es el menor número?6. Un grifo que entrega 0,6lt de agua por seg., llena un estanque en 21 h. ¿Cuánto tiempo

tardará en llenarlo otro grifo que da 0,9lt por seg.?7. Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a 1,50m de

distancia. ¿Cuántos postes se ocupan si se ponen a 2m uno del otro?8. ¿Cuánto recorre un automóvil en 20 minutos a 64 km./h?

9. Un operario puede tornear 12 pasadores en 15 min. ¿Cuánto tardará en tornear 250 pasadores?

10. Una rueda dentada de 18" engrana con otra de 6". Suponiendo que la rueda mayor tenga 72 dientes, ¿cuántos tendrá la más pequeña?

11. Si una pieza fundida que pesa 14 kg. cuesta $2.100, ¿cuánto costará una pieza que pesa 30 kg.?

12. Los largos de los rectángulos de la figura son proporcionales a sus anchos. ¿Cuál es el largo del menor de los rectángulos?

13. Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. ¿Cuál será la resistencia de un alambre de 750 m?

14. Una polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 36 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña?

15. Una polea de 35 cm da 240 revoluciones por minuto y mueve una polea mayor que da 210. ¿Cuál es el diámetro de esta última polea?

8

12 cm

7,25 cm4,5 cm

16. Las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros. Hallar el área de un círculo de 9 cm de diámetro, si el área de un círculo de 5 cm es igual a 19,635 cm .

17. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántas líneas escribirá en la misma página a triple espacio?

18. 9 trabajadores podían terminar una obra en 10 días; el trabajo ha durado 18 días. ¿Cuántos trabajadores faltaban?

19. Un trazo de k cm se divide en dos segmentos que están en la razón 5:7. ¿Cuál es la longitud del segmento más largo?

20. Siete obreros cavan en dos horas una zanja de 10 m. ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 42 obreros?

21. Expresar mediante una ecuación en la que intervenga una constante de proporcionalidad K los enunciados siguientes:

a. La longitud de una circunferencia es directamente proporcional a su diámetro.b. El período T de la oscilación de un péndulo simple en un lugar determinado es

directamente proporcional a la raiz cuadrada de su longitud.c. La fuerza de atracción F entre dos masa m y m es directamente proporcional al

producto de ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre ellas.

d. A temperatura constante el volumen V de una masa dada de un gas perfecto es inversamente proporcional a la presión p a la cuál está sometida.

22. La fuerza de un motor de gas aumenta con el área del émbolo. Suponiendo que un motor con una superficie de émbolo de 54 cm desarrolla 25,5 Hp. ¿Cuántos Hp desarrollará un

motor con un émbolo cuya superficie sea de 45,15 cm ?

23. El hierro fundido pesa 7,2 kg. por dm y el pino blanco pesa 0,4 . Suponiendo que un modelo hecho en madera de pino pese 2,25 kg. ¿Cuánto pesará una pieza que se funda con hierro fundido?

24. Si = y a – b = 30. Hallar a y b.

25. Si = y x – m = 20, y – n =15, n = 6. Hallar el valor de m.

26. Sea x + y + z = 50 y x : y : z = 3 : 5 : 2. Calcular x, y, z.27. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcular los números.28. Sea a : b : c = 7:5:2 y a – b + c = 20.Calcular a, b, c.29. Si x : y : z = 8:5:2 tal que 2x + y + 5z = 93.Calcular x, y, z.30. Un segmento de 120 cm se divide en tres partes cuyas longitudes son directamente

proporcionales a los números 3, 4, 5. Hallar las longitudes de cada una de ellas.31. Calcular los ángulos interiores de un triángulo, si se cumple la condición: : : =

5:3:10 32. Calcular los ángulos interiores de un cuadrilátero si verifican;

: : : = 5: 6: 7: 9

33. Sea = = ; y a – b + c = 20. Calcular a, b, c.

34. Si = = ; y t – u – v = 16. Calcular t, u, v.

35. Si a: b: c: d = 5: 4: 6: 2 tal que 6a+ 5b 4c 5d = 144.Hallar a, b, c, d

36. Para una adecuada comercialización, un producto debe presentar una óptima proporción entre sus sabores. Si estos componentes son A,B,C y se sabe que la razón entre A y B es de , la razón entre B y C es ¿Cuántos kilos de cada una de estas componentes, hay en 150 kilos del producto?

9

37. En una industria textil se requiere trabajar con gran cantidad de agua destilada, para tal efecto se dispone de un depósito de 12m de profundidad el que es llenado en 8 días a razón de 50 lt por segundo. Si el agua que debiera ocuparse cayera a razón de 65 lt por segundo y el depósito fuera de sólo 8m de profundidad. ¿Cuántos días tardaría en llenarse?

38. Son observadas dos variables, x e y.

X 400 800 1.600Y 2.000 1.000 500

a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables?b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?c. ¿Cuál es el valor que corresponde a y para un x=6.400?

39. Un control de calidad estipula que un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente al volumen V que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A que presión se deben someter 100 de gas de helio a 1 atmósfera de

presión y 253° absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 a una temperatura de 313° absolutos?

SOLUCIONES.

1. a. no b. si c. no d. si e. si f. si g. si h. Si

2. a. 4:2=10:5 b. 7:2=14:4 c. 3:5=6:10 d. 10:4=5:2

3. 88 y 33 4. 30 y 12 5. 7,2m y 4,8m 6. 34 y 85 obreros7. $12.000 y $6.000 8. $5.400 9. mW/v 10. 3 h 6 min. 11. 810 litros 12. 60 13. 14 horas 14. 291 postes15. 21,3 km.

16. a. 7 b. 2,4 c. 8 d. 30 e. 0,6 f. 4g. 3 h. 5 i. 35/8 j) 2 k. 0,4 l. 15/16m. 1/125 n. 0,4 ñ. 1,92

17. a. 1/6 b. 3,5 c. 4 d. 2 5/8 e. 0,18 f) 5,61g. h. 1,2 i. 20 j. 3 k. 18 l.

18. a. 1/5 b. 9 c. 2b/a d. 2 e. 2 f. 6g. 0,03 h. 1/70 i. 5/4

19. a. 4,5 b. 32 c. 0,02 d. 8/15 e. 16 f. 10g. 0,81 h. 0,1 i. 245/729 j. 1/20 k. 1/125 l. 49/80

20. 125 21. 160 22. 5 h 12 min. 30s. 23. 24 dientes24. $4.500 25. 7,4 cm 26. 6.775 ohm 27. 300 rev.28. 40 cm 29. 63,617 cm2 30. 36 líneas31. 4 trabajadores 32. 7k/12 33. 60 m

34. a. C = kD b. T= k c. d. V= k/p

10

35. 21 77/240 HP 36. 40,5 kg. 37. a=105 b= 75 38. m = 8 39. x=15, y=25, z=10 40. 8, 12, 16 41. a=35, b=25 , c=10 42. x=24, y=15, z=6 43. 30cm,40cm,50cm 44. 50º, 30º, 100º 45. 66,6º, 80º, 93,3º, 120º46. a=40, b=80, c=60 47. t=52, u=24, v=16 48. a=45, b=36, c=54, d= 850. 4,08 días 51. a. inv proporcionales b. 800.000 c. 12552. 2,4743083

TANTO POR CIENTO Es una razón de consecuente 100.

Para calcular problemas relacionados con %, se procede a plantear el problema como una proporción.

Precio de compra es el valor que paga el comerciante al comprar mercadería.

Precio de venta es el valor que el comerciante fija a la mercadería para el público.

Ganancia es la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta.

Pérdida es la diferencia entre el precio de venta y el precio de compra.

EJEMPLOS

I.- Hallar el tanto por ciento de un número:

Ejemplo: Hallar el 18% de 96.

Solución: Sabemos que el 100% de 96 es 96 y al 18% de 96 le designaremos por "x" formando la siguiente proporción:

= x= = 17,28

luego, el 18% de 96 es 17,28.

EJERCICIOS:

1) Calcular los siguientes porcentajes:a) 8% de 250 b) 15% de 462 c) 25% de 9,6

d) 2,3% de 48,72 e) 33 % de 1236 f) 0,75% de 24

g) 3 % de 112,3 h) 2% de 7 i) 18% de 76

j) % de 18 k) 35% de 180 l) 42% de 1250

2) El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.?

11

3) El metal Muntz se compone de 59,5% de cobre, 39,9% de zinc y 0,6% de plomo. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 432 kg. de la aleación?

4) El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada una de estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500.

5) Cierto mineral rinde el 4,25% de hierro. ¿Cuántos kilos de hierro hay en una tonelada de ese mineral?

6) Si sobre una factura de $242.850 se hace un descuento del 2%, ¿Cuánto hay que pagar?

7) A un mecánico que gana $28.500 por semana le redujeron el salario en un 15%.¿Cuánto gana después de la reducción?

II.- Hallar un número conociendo un tanto por ciento de él:

Ejemplo: ¿De qué número es 36 el 18%?

Solución: Si 36 es el 18% del número buscado, el 100% será un número desconocido "x", con lo que formamos la siguiente proporción;

= x= = 200

luego, el número buscado es 200.

EJERCICIOS:

1) De qué número es :

a) 3 el 75%? b) 22,4 el 75%? c) el 25%?

d) 35 el 5%? e) 60 el 90%? f) 76 el 10%g) 20 el 80%? h) 12 el 2%? i) 15 el 60%?

2) El rendimiento de un motor es del 90%, esto es, la cantidad de energía entregada es el 90% de la que recibe. Suponiendo que el motor produzca 8 Hp. ¿Cuál es la cantidad de energía que recibe?

3) Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo?

4) Cierto mineral rinde el 5% de hierro. Cuántas toneladas de mineral se necesitan para producir 2,5 toneladas de hierro?.

5) Los inspectores de control de calidad de una fábrica rechazan 33 piezas por imperfectas. Esto

representa el 1 % de la producción diaria. ¿Cuántas piezas se produjeron?

6) Un mecánico obtiene un aumento en su salario de $3.900 por semana, que representa un aumento del 15%. ¿Cuál es su nuevo sueldo?

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7) Un motor cuyo rendimiento es del 86%, produce 10,75% Hp. ¿Cuántos Hp recibe?.

III.- Qué tanto por ciento es un número de otro dado.

Ejemplo: ¿Qué % es 9 de 36?

Solución: Tenemos que 36 es el 100%, luego 9 será el x% de 36, formándose la siguiente proporción;

= x= = 25%

luego, 9 es el 25% de 36.

EJERCICIOS:

1. ¿Qué tanto por ciento de:a) 8 es 7? b) 7,2 es 18,5? c) es 3,25 de 5,5?d) 860 es 129? e) 30 es 6? f) es 0,64 de 512?g) 1600 es 320 ? h) 86 es 172? i) es 75 de 1250?

2. Un motor que recibe 8 Hp entrega 6,8 Hp. ¿Qué tanto por ciento de la energía recibida es la energía entregada?

3. Una tonelada de mineral contiene 80 kg. de hierro. ¿Qué tanto por ciento del mineral es hierro?

4. Cuando se funden tuberías de hierro suele contarse con una contracción de 1 cm por metro, ¿Qué % representa esta merma?

5. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué % de cada metal se utilizó?

6. La potencia indicada de una máquina a vapor es de 9,4 Hp, en tanto que la potencia efectiva es de 8,1 Hp. ¿Qué % de la potencia indicada es la potencia efectiva?

7. De una producción total de 2,715 cojinetes de bolas fabricadas en una jornada, los inspectores rechazaron 107. ¿Qué % del total se rechazó?

8. Una persona paga $5.750 por un artículo y después lo vende por $6.500.¿Qué % de ganancia obtiene?

9. Un trabajo realizado en un taller mecánico exigió 42 h. de torno; 7,5 h en la fresadora y 11 h

en la cepilladora. ¿Qué % del tiempo deberá cargarse a cada máquina?

IV.- Encontrar un número sabiendo que porcentaje mayor o menor que él es otro numero dado:

Ejemplo: ¿De que número, 214 es un 7% mayor?Solución: 214 es mayor en un 7% que un número "x". Si x es el 100% se tendrá que

214 será el 100% + 7%, formando la proporción siguiente:

= x= = 200

13

luego, 214 es el 7% mayor que 200.

Ejemplo: ¿De que número, 276 es el 8% menos?

Solución: 276 es el 8% menos de un número x. Si x es el 100%, se tendrá que 276 es el 100% menos el 8%, es decir, es el 92% de x, con lo que se puede formar la siguiente proporción:

= x= = 300

luego, 276 es el 8% menor que 300.

EJERCICIOS:

1) ¿De que número es,

a) 30 un 16 % es mayor? b) 48 un 20% menor?

c) 208 un 4% mayor? d) 276 el 8% menor?

2) ¿Cuál tiene que ser la longitud de un modelo para fundir una pieza de 18,5 cm de largo si la merma por contracción del metal es de 1 cm por metro?

3) Un comerciante vende carbón a $280.000 la tonelada. Si su ganancia es del 12%, ¿cuánto le cuesta el carbón?

4) ¿Qué número aumentado en un 15% equivale a 437?

5) Si se aumenta en un 8% el precio de un artículo, el nuevo precio queda en $162. ¿Cuál era el precio primitivo?

Soluciones:

1. a) 20 b)69,3 c)2,4 d) 1,1 e)412 f) 0,2g) 3,65 h) 0,14 i) 13,68 j) 0,09 k) 63 l) 525

2. 17,205 kg. de cobre; 412,92 kg. de estaño; 34,875 kg. de antimonio.3. 257,04 kg.; 172,368 kg.; 2,592 kg.4. Materiales, $3.272,5; mano de obra $3.506,25; gastos $552,5; ganancia $1.168,755. 42,5 kg. 6. $237.993 7. $24.225

II.

1. a) 4 b) c) d) 700 e)

f) 760 g) 25 h) 600 i) 25

2. H.P. 3. $4.000 4. 50 toneladas

5. 2.200 piezas 6. $26.000 7. 12,5 H.P.

14

III.1. a) 87,5% b) 256,9% c) 59,1% d) 15% e) 20%

f) 1/8 % g) 20% h) 200% i) 6%2. 85% 3. 8% 4. 1% 5. 12,1% de plomo; 87,9% de estaño.6. 86,2% 7. 3,9% 8. 13%9. 69,1%; 12,3%; 18,5%

IV.

1. a) b) 60 c) 200 d) 300

2-. 18,7 cm 3. $250.000 4. 380 5. 150

EJERCICIOS RESUELTOS DE PORCENTAJES

1) Calcular el balance de en la siguiente composición explosiva: Nitrato de amonio = 94% Petróleo = 6%

Solución: -El B.O. del nitrato de amonio es El peso molecular (PM) del nitrato de amonio es 80, así 2 moléculas pesan 160 gr. y 2 de O pesan 32gr.

B.O. =

- La reacción para el petróleo es el PM del petróleo es 14, así 2 moléculas pesan 28gr y 6 átomos de O pesan 96 gr.

B.O.=

Luego el B.O. de la reacción Anfo de composición 94% de nitrato de amonio y 6% de petróleo es

Nitrato de amonioPetróleo

Por tanto resulta de esta diferencia -1,72 osea ligeramente negativo, lo que representa una leve disminución en la efectividad de la explosión y una pequeña generación de gases CO (monóxido de carbono).

2) Se disuelven 8 gr en 120 cc obteniéndose 124 cc de

solución. Calcular : a) % b) % .

NOTA: - % p/p = porcentaje peso-peso; gr de soluto en 100 gr de solución.-% p/v = porcentaje peso-volúmen; gr de soluto en 100cc de solución.

Solución:

15

Los resultados anteriores significan que en 100 gr de solución hay 6,25 gr y 6,45 cc de soluto.

3) En el período de un año, en una empresa se han producido 10 lesiones incapacitantes y se trabajaron 200.000 H.H. Determinar:

a. Tasa de frecuenciab. Tasa de gravedad (considere que los 10 accidentes significaron 45 días perdidos)c. Tasa de accidentabilidadd. Tasa de riesgo

Solución:

a) Tasa de frecuencia = n° de lesiones incapacitantes ocurridas por cada millón de H.H. de exposición.

b) Tasa de gravedad = es la cantidad de días perdidos por lesiones incapacitantes por cada millón de H.H.

Total días perdidos considera:DEP= días efectivamente perdidos por lesiones incapacitantes = 45 díasDC= días cargo (invalideces permanentes) = 150 días (pérdida falange dedo índice) =150

días

c) Tasa de accidentabilidad= n° de lesiones incapacitantes ocurridas por cada 100 trabajadores

16

d) Tasa de riesgo = es el n° de días efectivamente perdidos por accidentes incapacitantes y por enfermedades profesionales por cada 100 trabajadores

4) En una fábrica eléctrica se compra a un proveedor 20.000 unidades de diodos mensuales. ¿Cuántas piezas nos venderá el proveedor si bajo en un 30% la provisión de diodos?

Solución:

Datos: A= 20.000

B= 100%

C= 70%(100%-30%)

X= unidades que nos proveerá

x= 140.000 unidades proveerá

5) Calcular el descuento que se hace a un pagaré de n $500,00 seis meses antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple del 40%.

Solución:

Datos: 6 meses = 0,5 años

Descuento (D) =

6) La empresa Leche Sur tiene el 34% del mercado de la región metropolitana. Si la totalidad del mercado es de 400.000 personas. ¿Cuántas personas faltarían para cubrir la totalidad del mercado?

Solución:

Datos: A= 400.000

17

B= 100%C= 34%X= cantidad de habitantes

APLICACIÓN DE PROPORCIONES Y PORCENTAJES A PROBLEMAS CON ENUNCIADO

1. Los gastos que demandan en una empresa los departamentos de personal, marketing y finanzas son de $36.000.000 mensuales y están en la razón 6:10:14. A)¿Cuál es el gasto del departamento de marketing, en un período de un año? B) Qué porcentaje representa el gasto anual del departamento de personal? (Rp.: a) $144.000.000 b) 20% )

2. Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obtener una ganancia de un 15% sobre el precio neto. Determinar:a) precio de venta al públicob) monto del IVA declarado por el comerciantec) monto de la ganancia real del comercianted) porcentaje real de ganancia

(Rp.: a) $339.250 b) $6.750 c) $37.500 d) 15% )

3. La empresa CTI vendió a un distribuidor de provincia; 10 equipos de música a $77.000 cada uno con un descuento del 20%, 12 televisores a $110.000 cada uno, con un descuento del 16%. Determinar el monto a cancelar por el distribuidor, si debe agregar el IVA.

4. En los estudios de eficiencia del sistema de transporte público se estableció que la razón entre la cantidad de vehículos participantes, buses de locomoción colectiva y camiones es 9:6:5. Si el parque automotriz de este tipo de vehículos asciende a 800.000 unidades. ¿Cuántos vehículos de cada tipo hay?

Rp.: veh. participantes:360.000 ; buses: 240.000 ; camiones: 200.000

5. Repartir US$ 500.000 entre 3 socios A,B,C de modo que las partes de A y B estén en la razón 4:7 y las de B y C en la razón 5:8. ¿Cuánto corresponde a cada uno de ellos?.

Rp.: A:US$90.090,09 ; B:US$ 157.657,66 ; C:US$ 252.252,25

6. La suma de 3 capitales es de $400.000.000. Cada socio A,B,C aportan a este capital montos de dinero en la razón 36:15:6. ¿Cuál es el porcentaje en que cada socio contribuyente a la sociedad?

Rp.: A: 63,16% ; B: 26,32% ; c: 10,53%

7. Una sociedad de amigos que participan en juegos de azar, resultaron ganadores de un premio de $80.000.000. A,B,C los amigos deben repartir dicho premio de acuerdo a su participación en la sociedad. El socio A recibe el 45% del premio, B recibe el 78% de lo de A, más $2.300.000 y el socio B recibe el dinero restante. ¿Cuánto recibe este último?.

Rp.: c:$13.620.000

8. Se coloca un capital de US$ 5.000 al 3% durante 2 años. Se retira y se vuelve a colocar el capital al 5% durante 6 años. ¿A qué % único hubiera debido presentarse el capital, para que, en el mismo tiempo, produjera el mismo interés? ¿Cuáles son los montos invertidos?

Rp: US$25.000 ; US$32.000

18

9. Un inversionista deposita una cierta cantidad de dinero en el banco al 15% de interés anual. Si al año retira, por dicho concepto US$13.294 . Determina el monto depositado inicialmente.

Rp: US$88.626,67

10. Los 2/3 de un capital de $575.000 se depositaron durante 2 años al 10%. El resto se depositó durante un año a otra tasa de interés. Si el interés producido por ambas partes es de $120.000. ¿Cuál es la tasa de interés que afectó al capital?.

Rp.: 22.61%

11. Se efectúa una partición de los bienes de una cierta sociedad. Se deja explícita referencia que la diferencia entre los socios es de $750.000. Si se sabe que la razón en que dichos bienes son asignados es de 3:5. Determine la cantidad de dinero que corresponde a cada uno de ellos.

Rp.: A:$1.125.000 ; B: $1.875.000

12. En un control, motivo de un ahorro de recursos, se determinó que un equipo quedó encendido, desde las 20:00 hrs. del día miércoles hasta las 8:00 hrs del día jueves siguiente. ¿Cuál será el costo y energía utilizada, si dicho equipo tiene consumo de 85 Kilowatt/hr tiene un valor de $60?.

Rp.: $61.200

13. Se está proyectando la construcción de un cinematógrafo, las dimensiones entre el largo y el ancho de la sala es de 10:18. Se considera que cada espectador debe ocupar 0,55 para estar cómodo. Si la sala tiene un ancho de 20 m. ¿Cuál será la capacidad de espectadores en un cine?

Rp.: 404 espectadores

14. Se desea adquirir un terreno. Hay un sitio cuyo fondo es de 7 m. Se desconoce la dimensión del frente, pero la razón entre sus dimensiones es de 4:6 respectivamente. Si el metro cuadrado vale 300 UF. Determinar cuanto se pagará por el terreno.

Rp.:220.500UF.

15. Una empresa comercializadora de ropa usada importada, recibe dos fardos de ropa usada, los que son calificados, de primera categoría y de segunda categoría. Se disponen ofertas por: dos artículos de primera y tres de segunda por $28.800. Si los precios de los artículos están en razón de 3:4 y el valor de los artículos de cada categoría es igual. ¿Cuál es el valor de los artículos de cada clase en esta oferta? Rp.: A:$4.800 ; B:$6.400

16. En un examen de selección de personal para operadores de un específico sistema de información, se aplicó el test de Dr.Jhonson. Un postulante usando el artefacto para operaciones pudo ejecutar 8 operaciones en 20 seg. ¿Cuál es la razón correspondiente de dichas operaciones por minuto?.Rp.: 24 operaciones por minuto

19

TEMA 2: CONJUNTOS NUMERICOS

OBJETIVOS: Relacionar los conjuntos numéricos de dimensión uno Operar con potencias , raíces y logaritmos

Horas: 6

DESARROLLO DE CONTENIDOS:

CLASIFICACION DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS

1) Números Dígitos : son los números básicos a partir de los cuales se forma el resto de los números.

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

20

2) Números Naturales : son los números positivos que empiezan con la unidad y que se forman a partir de los números dígitos.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

3) Números Cardinales : corresponden a los números naturales con el cero.N* = No = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

4) Números Enteros : formado por los naturales y sus opuestos incluyendo el cero.

Z = {... , –4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

5) Números Primos : corresponde a los números que son divisibles sólo por 1 y por si mismos.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

6) Números Racionales : está formado por todos los números que pueden expresarse como el cuociente entre dos números enteros.

7) Números Irracionales : todos aquellos números que no pueden expresarse como cuociente entre dos números enteros.

8) Números Reales : grupo que representa la unión del conjunto de los números racionales con el de los irracionales

PRE-REQUISITOS A LA UNIDAD :

Propiedades de las fracciones:

1. Simplificar una fracción equivale a . Sólo se pueden efectuar en

presencia de multiplicación

21

2. Amplificar una fracción equivale a

3. Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos.

Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.

4. Mínimo común múltiplo (mcm) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos.

Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192.

5. Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.:

6. Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.:

7. Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej.

8. Igualdad de fracciones:

9. Comparación entre dos fracciones

10. Intercalar un racional entre dos racionales dados: - ordenar de menor a mayor los racionales- sumar los numeradores y denominadores respectivamente- la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas

Ej.: ubicar una fracción entre

entonces se determina que

11. Multiplicación de fracciones:

Ej.:

12. División de fracciones:

Ej.:

13. Problemas con enunciado y de aplicación :

Es conveniente considerar las siguientes recomendaciones generales para formular un problema en términos de una expresión algebraica o ecuación:

22

- lea reflexivamente el problema, identificando los datos dados y la cantidad desconocida que se debe encontrar.

- exprese la cantidad desconocida por x u otra letra.- bosqueje la situación planteada a través de un dibujo considerando los

datos e incógnita.- reconozca las relaciones que existen entre los datos conocidos y la

cantidad incógnita.- formule una expresión algebraica o ecuación que refleje el enunciado del

problema.- resuelva la ecuación planteada.- analice la solución al problema respecto de sus condiciones iniciales y

concluya.

Propiedades de los decimales:

1. Decimales finitos; su denominador es una potencia de 10.

2. Decimales infinitos; pueden ser periódicos o semiperiódicos.

3. Lecto-escritura de un decimal:

Ej.: 2 4 , 0 5 6 1 3 7 = 24 enteros 56.137 millonésimas 7 millonésimas

3 cien milésimas 1 diez milésimas

6 milésimas 5

centésimas

0 décimas

4. Conversión de un decimal finitoa fracción: “como se lee, se escribe” en función de las potencias de 10.

Ej.:

5. Conversión de un decimal periódico (dp) a fracción:

Ej.: (el período es 54)

23

6. Conversión de un decimal semiperiódico (dsp) a fracción:

Ej.: (el período es 8 y el anteperíodo es 13)

7. Multplicación por una potencia de 10 : la coma se corre hacia la derecha, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10 o lo indique el exponente de ésta. Note que la cifra crece.

Ej.:

8. División por una potencia de 10: la coma se corre hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10 o lo indique el exponente de ésta. Note que la cifra disminuye.

EJ.-

DEFINICIÓN DE POTENCIA.R, N

donde se identifican los siguientes elementos:a es la basen es el exponente, e indica las veces que se repite la base como factor.

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.

1) Signos de una potencia : a) una potencia de base positiva, siempre es positiva.b) una potencia de base negativa es positiva si n es par, y es negativa si n es

impar.2) Potencia de base 1:3) Potencia de base 0:4) Potencia de exponente cero: , a0

5) Potencia de exponente negativo ,a0

6) Producto de potencias de igual base:7) División de potencias de igual base:8) Potencia de otra potencia:9) Elevación de un producto a potencia:

10) Elevación de un cuociente a potencia: ,

24

11) Potencia de exponente fraccionario: ,

12) Las potencias como operación tienen prioridad ante la suma, resta, multiplicación y división.

Ej: Determinar el valor de

13) Las potencias no cumplen con la propiedad distributiva respecto de la suma y resta.

Ej: En no se puede distribuir como

sino se debe desarrollar como prioridad la operación al interior del ()resultando

NOTACION CIENTIFICA

Es una manera de escribir cantidades muy grandes o muy chicas en forma abreviada utilizando las potencias de 10 tanto con exponentes negativos como positivos.

A continuación se presenta un resumen de las potencias de 10 y los prefijos y sufijos que se sustentan en ellas y que son de gran utilidad en las diferentes asignaturas de tu especialidad:

NOMBRE SIMBOLO VALOR

Yotta Y 1.000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = Zetta Z 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = exa E 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = peta P 1. 000. 000. 000. 000. 000 = tera T 1. 000. 000. 000. 000 = giga G 1. 000. 000. 000 = mega M 1. 000. 000 = kilo K 1. 000 = hecto H 100 = deca D 10unidad 1deci d 0.1 = centi c 0. 01 =

25

mili m 0. 001 = micro 0. 000. 001 = nano n 0. 000. 000. 001 = pico p 0. 000. 000. 000. 001 = femto f 0. 000. 000. 000. 000. 001 = atto a 0. 000. 000. 000. 000. 001 = zepto z 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = yocto y 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 =

Ej: 2 nanómetro=2 nm = = 0. 000. 000. 002 m = 0. 000. 001mm= 0. 001 m

EJERCICIOS DE LAS PROPIEDADES DE POTENCIAS.

1) Potencias de exponente entero negativo; es conveniente que siempre dejes expresado las potencias con exponente entero positivo.

Ejemplo:

a)2 = b) 3 = c) –4 =

d) = e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m)

n)

2) Propiedad Exponente fraccionario; de esta propiedad nacen las raíces.

26

Ejemplo:

a) b) = c)

d) e) f)

g) h) i)

3) Propiedad Exponente cero: sólo se afecta la letra o número que lleva de exponente el 0.

Ejemplo:

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

4) Potencia de otra potencia:

Ejemplo:

a) b)

c) d)

e) f)

5) Multiplicación de potencias de igual base:

27

Ejemplo:

a) b)

c) d)

e) f)

6) Multiplicación de potencias de igual exponente:

Ejemplo:

a) b)

c) d)

7) División de potencias de igual base:

Ejemplos:

a) b)

c) d)

e) f)

8) División de potencias de igual exponente:

Ejemplo:

28

a) b)

c) d)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS POTENCIAS DE 10.

1) Usando potencias de base 10, escribir en forma abreviada

a) 0,000.001.8= b) 400.000.000.000=c) 0,0342 = d) 5,36 =e) 62,8 = f) 108.000.000=g) 0,000.49= h) 200.000=i) –0,000.0002= j) –32.500=

2) Escribir en notación científica las magnitudes indicadas:

a) En el espacio, la luz recorre 25.920.000.000 km diario.

b) El espesor de una hoja de papel blanco corriente es 7 cienmilésimas de metro.

c) La longitud de un meridiano terrestre es de 40.000.000 m.

d) La velocidad del sonido es de 1.200.000 m/hr.

e) La distancia de la tierra al sol es de 150.000.000 km..

f) La velocidad de la luz es de 300.000.000 m/s.

g) La masa del electrón es 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.91kg

h) El diámetro de un glóbulo rojo de la sangre es de un cienmilésimo de metro.

i) La sal de mesa está formada por iones de sodio y cloro. La distancia entre un ión de sodio y uno de cloro es de 0,000000028 cm., aproximadamente. Expresar esta distancia en metros.

29

j) El espesor de la película que forma una pompa de jabón mide aproximadamente un cienmilésimo de centímetro.

k) En un milímetro cúbico de sangre hay, aproximadamente, 5.500.000 glóbulos rojos.

l) La distancia media de Marte al sol es de 229.000.000 km.

m) Uno de los átomos más pesados es el de Plutonio cuyo peso y diámetro son respectivamente 0,000.000.000.000.000.000.000.000.39 kg y 0,000.000.06 cm.

3) Determinar la cifra que corresponde a:

a) b) c) d) e) f) g) h)

RAICES

Una potencia de exponente fraccionario representa a una raíz, es decir:

Ejemplos:

1) 2)

La raíz enésima de un n° se representa por :

Ej:

ya que

PROPIEDADES:

1)

30

2)

3)

. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

1.- Calcular las siguientes expresiones:

a) = e) 0,125 =

b) = f) 0,04 =

c) 45 g) 16

d) h)

2.- Calcule.

e) f) =g)h)

3.- Calcular el valor de cada expresión:

a)

b)

c) d)

e)

f)

31

4.- Descomponer las siguientes raíces:

a) b) c)

5.- Descomponer las siguientes raíces:

a) + b) c)

6.- Calcule:

a)

b)

c)

d)

7.- Calcule el valor de cada expresión:

a)

b)

c)

d)

8.- Racionalice:

a)

b)

c)

f)

32

SOLUCIONES:

1.- a) 343 b)4 c)25 d) 1/8 e)0,5 f) 0,2 g) 2 h)1/2

2.-a)3 b) 25 c)4 d)2 e)mb f)xy g)2 h)2

3.-a)5x b)4m c)6 d)7p e)5a f9672xy

4.-a)9 b)5 c)2

5.-a) 6 +2 b)3 c)

6.-a) a b)-1 c)8n d)1,6 e)4

7.-a b)3 c) d) 36

8.-a) b) c) d) e)y

LOGARITMOS:

El logaritmo de un número , es calcular el exponente el exponente x al que se debe elevar una base b para obtener cierto número a.

Es decir :

, con b ,

Ej. Calculemos algunos logaritmos, aplicando la definición:

1) , porque 32) , porque 2

3) , porqu

Ejercicios de autoevaluación 1:

Calcular el logaritmo, usando la definición:

a) b) c) d)

33

e) = f)

El calculo del logaritmo, depende de la base . por lo tanto, si queremos clcular el logaritmo de un número, deberemos explicar la base con la que trabajaremos, por ejemplo:

Podemos observar, que al calcular el logaritmo de 64 obtenemos distintos resultados dependiendo de la base del logaritmo aplicado.

Tomando en cuenta la base, tenemos lo que se conoce como sistemas de logaritmos, los más usados son:

Los logaritmos en base 10, conocidos como logaritmos vulgares o de Briggs.

Los logaritmos naturales o neperianos.

- Los logaritmos vulgares tienen como base el número 10 , el cual no se escribe.

Ej. 1) log 15=1,17609…., este resultado lo entrega la calculadora.

Ej. 2) log 1= 0 log0,1=-1log 10=1 log 0,01=-2log 100=2 log0,001=-3log 1000=3 ………….

De esto podemos deducir que “el logaritmo en base 10 de una potencia de 10 es igual al exponente de dicha potencia”.

Los logaritmos naturales tienen como base el número e , cuyo valor es e=2,71828……Se abrevian “ln”, y su resultado lo entrega la calculadora.

34

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.

1)

2)

3) 4)

5)

Observación: El logaritmo de una raíz , se considera como una aplicación del logaritmo de una potencia.

Cambio de base:

, donde k es la nueva base

Esta propiedad permite cambiar la base de cualquier logaritmo. Poder cambiar la base de un logaritmo permite que con una calculadora científica común y corriente, se puedan calcular logaritmos en cualquier base, esto es cambiar cualquiera de las bases del logaritmo, a base 10 o logaritmo naturales.

Ejemplos:

Calcular el (16)

Si cambiamos la base convenientemente podremos calcular el valor de este logaritmo.Cambiaremos el logaritmo a base 2, por lo tanto ahora tenemos:

(16) =

De esta manera podemos calcular fácilmente cada uno de los logaritmos del cuociente, esto es:

y log

35

Aplicando propiedades de las potencias y del logaritmo de la base, tenemos que:

Calcular

Cambiaremos la base del logaritmo a 5 ya que es una base común para 25 y 125.

Ejercicios de autoevaluación 2 :

1.- Descomponer al máximo los logaritmos aplicando propiedades

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2.- Expresar como un solo logaritmo las siguientes expresiones:

a)

b)

36

c)

d)

e)

f)

3.-) Si log2= 0,3010 log3= 0,4771 log= 0,6989, calcular lo siguientes logaritmos, aplicando propiedades y utilizando los valores dados como únicos valores conocidos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación del capítulo

1. a) 2logx+3logy b) 1/2log m-log3 c) 1/2

d) 2 e)

e) 4logx-2logy-4/5logx-4/5logy

2. a) log b) logx c) 3

logb

ad)

e)

3. a) 0,7781 b) 1,1760 c) 0,0792 d) 0,9770 e) 0,3869

f) 0,1497 g) 3,5626

37

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LOGARITMOS

I.- Desarrolle los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de los logaritmos.

1)

2)

3)

4) – 6

5) =

6) 2

7) 4

8) 14

9) -9

10) -1

11) 4

II.- Desarrolle cada uno de los siguientes ejercicios como suma y resta de logaritmos:

38

a)

b)

c)

d)

III.- Reducir a un solo logaritmo:

a)

b)

c)

d)

IV.- Calcular x en:

a) b)

c) d) log =-2

e) f)

g) =-2 h)

V.- Calcular el valor de la base :

a) 125= -3 e)

b) 49= -2 f)

39

c) g) 0,729= 3

h) log 0,25=.-2VI.- Calcular el valor de cada uno de las siguientes expresiones:

a)

b) (

c)

d)

e)

VII- Aplicando propiedades llegue a la solución más simple:

a) =

b) =

c) 8

d) 24

e)

40

f)

g)

h) log 2

VIII.- Calcular el valor de los siguientes logaritmos:

a) -4

b) 8

c)

IX.- Calcular el antilogaritmo (x = argumento):

a) b)

c) d)

APLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS

1. Si se depositan P dólares al 8 por 100 de interés, compuesto de forma continua, ¿cuánto tiempo tardará en doblarse el capital ?

41

Solución : Para representar el hecho de que se dobla el capital escribimos

Pe0.08t = 2Pe0.08t = 2 /ln0.08tln e = ln 20.08t = ln 2

t = 8.66

2. Calcular el nivel de potencia sonora de una cierra circular que genera 0,02w de potencia sonora.

Solución:El nivel de potencia sonora (NWS) es la cantidad producida de energía acústica de área se calcula mediante la fórmula

donde

reemplazando los datos

3. Calcular el nivel de presión sonora (NPS) de un equipo que tiene una presión sonora de 1,25 N/M2

.Solución:

Sea

Reemplazando

4. La presión atmosférica P ( en libras por pulgadas al cuadrado), a x millas sobre el nivel del mar, está dada aproximadamente por P = 14,7e–0,21x ¿A qué altura será igual la presión atmosférica a la mitad de la que existe al nivel del mar?

Sugerencia : La presión al nivel del mar es aquélla donde x = 0 Resp.

3,3 millas

42

3.-EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

OBJETIVO: Operar con expresiones algebraicas

N°de horas: 6 horas

DESARROLLO DE CONTENIDOS:

ALGEBRA FUNDAMENTAL

43

El álgebra es la rama de las matemáticas que permite expresar cualquier número en forma de símbolos

Término algebraico: El elemento básico para trabajar en álgebra es el término algebraico .Se compone de signo, coeficiente numérico y factor literal

Ej. 5x

Dependiendo de la cantidad de términos algebraicos estos se clasifican en :Monomios: tienen sólo un término algebraico.Binomios : tienen dos términos algebraicosTrinomio : tienen tres términos algebraicos

Con más de dos términos en la misma variable (letra) recibe el nombre de polinomioY si la variable es distinta recibe el nombre de multinomio.

Términos semejantes :Dos o más términos son semejantes si se componen del mismo literal e igual exponente. Ej: 8x , 27x, -10x

También son términos semejantes -4a y -5 a

Adición y sustracción de términos semejantes:

Un polinomio formado por varios términos semejantes se puede reducir a una expresión sumando o restando los coeficientes numéricos y manteniendo la o las variables con su respectivo exponente.

Ej 8x+ 2x -9x = x

Actividad 1:

Después de escuchar las explicaciones de su profesor resuelva

1) Ordenar los polinomios siguientes:

a) =b) =c) =d) =

2) Reducir los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:

a) –x + 19x –18x= b) 7a-9b +6a-4b=

c) 5x –11y –9 +20x –1 –y= d) 28a-(35a+23b)+45b=

e) + = f) + =

44

g) 0,25 a + a = h) 2 =

i) 2,5 x + x -x –7x = j) ax + 5xa –3ax- 0,4xa=

k) a + a -8a - 2a = l) -3 +0,2 -0,125 =

3) Sumar los siguientes polinomios:

a) 2a +3b; 6b-a= b) 2x-3y; -4x-3y=

c) a + a + 6; a -15= d) =

e) 0,25ax – 0,125 ay; = f) 0,4x y - xy; 0,75yx+

4) Restar el segundo polinomio del primer polinomio:a) 2x + 6y; 9x- y

b) 3a -5a ; 6a-9a

c) 0,2xy – 3x –6y; 2xy-x+

d) 1,4ab - ;

5) Simplificar, suprimiendo los paréntesis y reduciendo los términos semejantes:a) 2a + a - a + b=

b) b) 3x - x + y - 2x+y=

c) a+-2a+b--a+b-c+a=

d) 2x +-5x-(-2y+-x+y)=

e) –(a+b) + -3a+b--2a+b-(a-b)+2a=

f) 4x + -(x -xy)+(-3y +2xy)-(-3x +y )=

6) Multiplicación de polinomios:

Recuerde que : a(b+c+d)= ab+ac+ad

Aplicando la definición anterior , calcule:

45

a) 4x ( 5x- 3x + 6x ) = b) =

c) = d)

e) = f) =

g) –2x (x-7)(x+3)= h) (ax-2)(x+6)(ax-5)=

i) = j) =

k) =

l) =

7) División de polinomios:

(a+b+c): d=a:d+b:d+c:d

a) = b) =

c) = d) =

e) = e) =

f) = g) =

h) = i) =

j) = k) =

l) = m) =

RESPUESTAS:1)a) b) c) d)

46

2) a) 0 b) 13a-13b c) 25x-12y-10 d)-7a+22b e) f)

g) h) i) j) 2,6ax k)

l)

3) a) a+9b b) -2x-6y c) d)

e) f)

4) a) –7x+7y b) c) d) –2a

5) a) 2a-b b) 4x c)a-c d) –2x+y e) –a-b+2c f)

6) a) b) c) d) e) f) g)

h) i)

j) k) l)

7) a) a-b b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l) 5-x

PRODUCTOS NOTABLES:

I.- CUADRADO DE BINOMIO: =

1) Abrevie y aplique la fórmula para desarrollar los cuadrados de binomios siguientes:a) b) (ab+5)(ab+5)=

c) = d) =

e) = f) =

47

g) = h) =

2) Exprese como Cuadrado de binomio:

a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

3) Completar con el término que falta para que sea cuadrado de binomio:

a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

i) = j) =

k) = l) =

II.- CUBO DE BINOMIO:

1) Aplique directamente la fórmula antes dada:a) =

b) =

c) =

d) =

48

e) =

f) =

g) =

h) =

III.- SUMA POR DIFERENCIA:

1) Resuelva utilizando la fórmula correspondiente:a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

2) Expresar como suma por diferencia:a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

IV.- PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TERMINO IGUAL:

Procedimiento; 1° Producto de los dos primeros términos2° Suma algebraica de los dos segundos términos,

por el primer término.3° Producto de los segundos términos

1) Utilice el procedimiento más breve y directo para resolver los siguientes productos:

49

a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

V.- TRINOMIO CUADRATICO PERFECTO:

Procedimiento:

1° Se transforma en el producto de dos paréntesis cuyos primeros términos son iguales y resultan de descomponer el primer término del trinomio cuadrático una vez ordenado.

2° Se buscan dos números que multiplicados resulten el tercer término

del trinomio dado, y que a su vez resulten iguales al segundo

término del trinomio.

1) Aplicando el procedimiento transforme a dos binomios con un término igual. a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

i) = j) =

k) = l) =

m) = n) =

ñ) = o) =

VI.- TRINOMIO CUADRATICO IMPERFECTO:

Procedimiento: 1° Amplifique todo el trinomio por el coeficiente numérico del primer término de él.

50

2° Dé forma de trinomio cuadrático perfecto3° Factorice para simplificar el denominador y

obtener así sólo números enteros.

1) Aplique el procedimiento anterior y transforme como producto de dos binomios con un término igual:a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

i) = j) =

VII.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS:

1) Descomponga en factores:

a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

2) Exprese como suma o resta de cubos perfectos:

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f)

51

g)

VIII.-CUADRADO DE TRINOMIO:

Aplicar la fórmula anterior para el desarrollo de los siguientes ejercicios:

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

“LA VOLUNTAD DE VIVIR NOBLEMENTE ES LO QUE DA VALOR A LA VIDA DEL SER

HUMANO”

FACTORIZACIÓN

La factorización es una operación que permite escribir una expresión como producto, sin alterar el valor de ella. En Algebra los factores pueden ser de tres tipos;numérico, literal o completo, es decir contiene los dos primeros casos.

I.-FACTOR NUMERICO:-se busca el número más grande que divida a todos los coeficientes numéricos dados sin exepción; a este número se le identifica como Máximo Común Divisor (MCD).

Identificar el MCD y factorizar:

a) 15a+10b= b) 8m-12n=

c) 16a-20x= d) 24y-18z=

e) 32x+24m= f) 0,5x-0,1y=

g) 0,25s+0,06t= h)1,5a-2,5b=

i) 0,6m+0,8n= j) 75x+100y=

52

k) 72m+ 48r= l) 120s-100k=

II.- FACTOR LITERAL: se reconoce como la o las letras repetidas que están contenidas en todos los términos dados, considerando el menor exponente dado, respectivamente.

Identificar el factor literal y factorizar:

a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

i) = j) =

k) 4,5g-2,7h= l)0,01a+0.02m=

III.-FACTOR COMUN: se caracteriza por contener los dos casos anteriores en forma simultánea, siendo generalmente el factor un monomio pero también se dá el caso de polinomios:

1) Factor común monomio:

a) = b) =

c) = d) =

e) = f) =

g) = h) =

i) = j) =

k) = l) =

m) = n) =

53

ñ) = o) =

p) = q)

IV.-FACTORIZACION CON USO DE PRODUCTOS NOTABLES:En cada uno de los siguientes ejercicios, utilize las recomendaciones de

factorización dadas anteriormente y una vez que las haya aplicado revise si el resultado obtenido representa alguno de los productos notables antes vistos.

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) =

g) =

h) =

i) =

j) =

k) =

l) +12=

m) =

n) =

ñ) =

o) =

54

p) =

q) =

r) =

s) =

t) =

u) =

v) =

w) =

y) =

z) =

Soluciones:I.-a)5(3a+2b) b)4(2m-3n) c)4(4a-5x) d)6(4y-3z)

e) 8(4x+3m) f) g) h)

ii.-a) b) c) d)e) f) g) h)

iii.-a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

m) n) ñ)

o) p) q)

iv-a)(x+10)(x-10) b) c) d)e) f) g) h)i) j) k) l)(a-b-3)(a-b-4)

55

m)(m+n+5)(m+n+3) n) ñ)

o)3xy(2x+5)(2x-5) p) q)r) s)6(4h-9)(h+2) t) u)

v) w)20x(5x+y)(5x-y) y)

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

Utilizando factorización y productos notables reduzca a su más simple expresión:

a) = Rp:

b) = Rp:

c) = Rp:

d) = Rp:

e) = Rp:

f) = Rp:

g) = Rp:

h) = Rp:

i) = Rp:

56

j) = Rp:

k) = Rp:

l) = Rp:

m) = Rp:

n) = Rp:

ñ) = Rp:

o) = Rp:

p) = Rp:

q) = Rp:

r) = Rp:

57

4.-ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

OBJETIVO:

- Desarrollar ecuaciones lineales, cuadráticas, literales, exponenciales e irracionales

N° de horas : 9 horas

DESARROLLO DE CONTENIDOS

ECUACIONES:

Las ecuaciones son igualdades que se hacen válidas para un único valor o más de un valor l.el número de soluciones que puede tener una ecuación depende del grado o exponente mayor de la variable.

Como por ejemplo:

Ecuación lineal (de primer grado ), tiene una unica solución

Ej: 2x+3=9

Ecuación cuadrática (de segundo grado), Tiene máximo dos soluciones.

Ej: 4x

Ecuación cúbica o de tercer grado: Tiene máximo tres soluciones

Ej: 3x

I.- ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Su forma general es :

Ax+ B= 0, con A

Esta ecuación se relaciona con la línea recta, de ahí que también se conoce como ecuación lineal, la que se estudiará más adelante.

Para resolverla debemos debemos recordar:

58

a) Al tener una igualdad , podemos sumar, restar, multiplicar o elevar al cuadrado, etc . Siempre y cuando la operación se aplique a ambos miembros de la igualdad

b) Se despeja la incógnita, aplicando las propiedades de los inversos aditivos y/o multiplicativos, según sea el caso, después de haber desarrollado todas las operaciones indicadas.

Ejercicios

1.-Resolver las siguientes ecuaciones:

1) 5x(8-x)-3x(5-3x)= -26-2x(7-2x)

2) x+3(x-1)= 6-4(2x+3)

3) (x+1)(2x+5)=(2x+3)(x-4) -1

4) 14x-(3x-2)- =0

5)

6) -2

7) 14

8)

9) 15

10) 2

59

11)

12)

13)

14) 9

15)

16

16)

17)

18) 1

19)

20)

21)

22)

23) 14

60

24)

25)

26) 2

27) 5

28) 3

29) 3

30) 2

31)

II.-ECUACIONES LITERALES

1) a+b

2)

b

3) 17a

4)

5) 3a+2b

6)

61

7)

8)

9)

10)

11)

12) 2a+3b

III.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Se resuelven por factorización o aplicando la fórmula:

X=

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 11;-8

2.

3. 0;-3

4.

5. 17;-12

6. 4;-1

7.

62

8.

9. 8;-9

10. 1;6

11. 1;16

12. 0;5

13.

14. 2;-3

15.

16. 3;-4

17.

18.

19. 3;-7

20. 5;10

21.

22.

23.

63

24.Raíces de la ec. de 2° : Determinar la ecuación dadas las raíces de ec de 2° utilizando las siguientes fórmulas:

(a) 5 y 9(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

IV.-ECUACIONES IRRACIONALES

1) 16

2) 8

3) -2

4) 4

5) 24

6)

7) -1

8)

9) 1

64

10) 9

11) 4

12) 81

13) 16

14) 11

15) 3

16) 5

17)

18) 7

19) 3

20) 5

21) 1

22) 23

23) 6

24) 9

25) 20

26) 9

27) 17

65

V.- ECUACIONES EXPONENCIALES.

Son aquellas que tienen la incógnita en el exponente, es decir tienen la forma:

Se resuelven Igualando las bases Aplicación de logaritmos

Ejercicios : Resuelva las siguientes ecuaciones

1. 6

2.

3.

4. 0

5.

6.

7.

8.

9. 3

10.

11.

66

12.

13.

14. 0

15. -8

16. -5

17. -1

18. 8

19. -

20.

21.

22. 3

23. 4

24.

25.-7

67

26.

27. 8

28. 1

29. -

VI.- ECUACIONES LOGARITMICAS

Ejemplo: Cuál de las siguientes alternativas es el valor de la ecuación

A) x=-3 B) x=3 C) x=7 D) x= -7

Solución: - 1° se transforma el entero 1 a forma logarítmica, cuidando de que sea en la misma base de los otros logaritmos dados.

- 2° se agrupan logaritmos a cada lado de la igualdad, usando las propiedades que correspondan (ver síntesis teórica)

- 3° se simplifica y opera algebraicamentex = 7

1) 5

2)

3) 5

4) 6

5) 6

68

6)

7) 3

8) -17

9)

10) 7

11) 1

12)

13)

14) 9

15) 3

16) 6

17) 10

18) ) 10; 2

19)

20)

21)

22) 4;-2

23)

69

24)

25)

26)

27)

28)

29) -3;-6

30) 7

31) 4

32) 5

33) 3

34) 3;4

35) 2;3

70

.SISTEMAS DE ECUACIONES

I.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

1) 2)

Rp.: (10,9) Rp. (3,5)

3) 4)

Rp: 7,5) Rp: (3,2)

5) 6)

Rp: (60,5) Rp: (2,15)

7) 8)

Rp: (ab,b) Rp: (3a,3b)

9) 10)

Rp: (-1,-2,-3) Rp: (7,6,5)

11) 12)

Rp: (10,2,20) Rp: (3,4,5)

13) 14)

Rp: (5,7,9) Rp: (

15) 16)

Rp: (12,8,6) Rp: (

II.-SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

En general los sistemas de ecuaciones de segundo grado se pueden resolver en su mayoría por dos métodos que son:

- por sustitución- por igualación

Cualquiera sea el método, estos sistemas se presentan en diferentes formas o casos y su aplicación está presente en todas las disciplinas, por ello resulta necesario que lo integres como otra de las herramientas o medios con que aporta la matemáticas a la solución de problemáticas de especialidad.

CASO I.- Combinación de una suma y de un producto(En este caso se recomienda despejar una variable en función de la otra y luego sustituir)

Ejemplo-. 3x - 2y=72xy=40

Solución:

despejar cualquiera de las dos variables

sustituir en el sistema original

formar la ecuación de 2°grado

resolver la ec. de segundo grado

por lo tanto

CASO II.- Combinación cuadrática y una linealSe recomienda despejar siempre de la ecuación lineal y luego sustituir.

Ejemplo:

Solución:

despejando y

sustituyendo y

formando la ec. de 2°

resolviendo la ec. de 2°

reemplazando se obtiene

CASO III: Combinación de cuadrados, sumas y productos.Se ordenan e igualan coeficientes.

Ejemplo:

Solución:

ordenando

igualando coeficientes

se obtiene

por lo tanto las soluciones son

CASO IV.- Combinación de sumas y restas de cuadrados.Despejar una variable y sustituirla en la otra.

Ejemplo:

Solución:

despejando x

sustituyendo este valor

Ejemplo:

Solución:

igualando coeficientes

despejando x

sustituyendo en cualquier ecuación

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Rp: x=12 x=3 y=3 y=12

2) Rp: x=17 x=y=5 y=-17

3) Rp: x=17 x=11 y=11 y=17

4) Rp: x=43 x=-51 y=-51 y=43

SESION 10

OBJETIVO: RESOLVER PROBLEMAS APLICANDO ECUACIONE Y SISTEMAS DE ECUACIONES

PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES.

1. Un neumático sin cámara, que tiene una capacidad de 16 litros, soporta una presión de 1,93 atm cuando la temperatura ambiente es de 20°C. ¿Qué presión llegará a soportar dicho neumático si, en el transcurso de un viaje, las ruedas alcanzan una temperatura de 80°C?Solución:

Datos: Ley de los gases:

T° Kelvin= T° Celcius+273

x= 2,73 atm

2. La suma de las longitudes de dos pasadores metálicos es de 21 cm. Si la longitud de uno de ellos es el doble de la longitud del otro. ¿Cuál es la longitud de cada pasador?Solución: Datos: x = longitud pasador menor

2x = longitud pasador mayor

entonces x + 2x = 21x = 7

es decir el pasador menor mide 7 cm y el mayor 14 cm.

3. El eje de un torno gira a 96 revoluciones por minuto (rpm). ¿Cuántos minutos tarda en dar revoluciones?.Solución:

N= n° minn° de vueltas

entonces la ecuación a formular es

4. Para obtener 8 kg de café, cuyo precio es de $4.500 el kg, se mezcla café de tipo A que vale $6.000, con café del tipo B que vale $4.000 el kg. ¿Qué cantidad de cada tipo tiene la mezcla?

Solución:Sea x= n° de kg de café tipo A

y= n° de kg de café tipo B

entonces el sistema que se forma

resultando x = 2 ; y = 6

es decir se necesitan 2 kilos de café del tipo A y 6 kilos de café del tipo B.

5. Una empresa electrónica produce aparatos de TV y aparatos estereofónicos. La curva de transformación denominada también curva de posibilidades de producción, representa las combinaciones posibles y distintas de cada artículo que se pueden producir utilizando eficientemente todos los recursos, lo da la ecuación

Calcular:a) n° máximo de equipos estéreos que la empresa puede producir.

Solución:

La empresa puede producir 10 equipos estéreos.

b) N° máximo de TV que puede producir la empresa.Solución:

peroreemplazando

c) Cantidad máxima de equipos si se producen 18 TVSolución:¿TS? Si TV=18

es decir se podrían producir 5 equipos.

d) ¿TV si TS=7Solución :

TV

TS

PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1) Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un quinto de cuya suma sea 9.(Rp: 28 y 17).

2) Hállense dos números cuya suma sea 34 y cuya diferencia sea 10. (Rp 22 y 12).

3) La suma de dos números es 73, y su diferencia, 37; hállense los números. (Rp :55 y 18).

4) Un tercio de la suma de dos números es 14, y la mitad de su diferencia es 4; hállense los números. (Rp: 25 y 17).

5) La mitad de la suma de dos números es 20 y el triple de su diferencia es 18; hállense los números. (Rp: 23 y 17).

6) Si se aumenta en 2 el numerador de una fracción y el denominador en 1, es

igual a ; y, si el numerador y el denominador se disminuyen cada uno en 1,

es igual a ; hállese la fracción. (Rp: )

7) Si a los dos términos de una fracción se añade 1, el valor de la fracción es ,,

y si a los dos términos de una fracción se resta 1, el valor de la fracción es .

Hallar la fracción. (Rp: ).

8) Dos números están en la relación de 5 a 6. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye en 6, la relación es de 9 a 8. Hallar los números.

(Rp: 25 y 30).

9) Las edades de A y B están en la relación de 5 a 7. Dentro de 2 años la relación entre la edad de A y la de B será de 8 a 11. Hallar las edades actuales.

(Rp: 30 y 42).

10) Las edades de A y B están en la relación de 4 a 5. Hace 5 años la relación era de 7 a 9. Hallar las edades actuales. (Rp: 40 y 50).

11) Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 4, y si 5 veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 2 y el residuo 17, Hallar los números. (Rp: 54 y 25).

12) Si el duplo del mayor de dos números se divide por el triple del menor, el cociente es 1 y el residuo 3, y si 8 veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 5 y el residuo 1. Hallar los números. (Rp: 27 y 17).

13) Seis veces el ancho de una sala excede en 4 m a la longitud de la sala y si la longitud aumentada en 3 m se divide entre el ancho, el cociente es 5 y el residuo 3. Hallar las dimensiones de la sala. (Rp: 20 x 4 m).

14) Se tienen $11.30 en 78 monedas de a 20 cts. Y de 10 cts. ¿Cuántas monedas son de 10 cts. Y cuántas de 20 cts?. (Rp: 35 de 20 cts. y 43 de 10 cts).

15) En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó 40 cts. y cada niño 15 cts. por su entrada. La recaudación es de $180. ¿Cuántos adultos y niños hay en el cine?. (Rp: 300 adultos y 400 niños).

16)Un hombre tiene $404 en 91 monedas de a $5 y de a $4. ¿Cuántas monedas son de $5 y cuántas de a $4?. (Rp: 40 de $5 y 51 de $4).

17) Una compañía trata de adquirir y almacenar dos tipos de artículos, X e Y. Cada artículo X cuesta 3 dólares y cada artículo Y cuesta 2,50 dólares. Cada artículo X ocupa 2 pies cuadrados del espacio del piso y cada artículo Y ocupa un espacio de 1 pie cuadrado del piso. ¿Cuántas unidades de cada tipo pueden adquirirse y almacenarse si se dispone de 400 dólares para adquisición y 240 pies cuadrados de espacio para almacenar estos artículos?

(Rp.: 100 unidades de X y 40 unidades de Y).

18) Cierta compañía emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21 son titulados de INACAP. Si una tercera parte de las personas que laboran en la primera sucursal y tres séptimos de los que se encuentran en la segunda sucursal son titulados de INACAP. ¿Cuántos empleados tiene cada oficina?

(Rp.: 18 y 35).

19) Una planta de fertilizantes produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitratos y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitratos y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, tiene 75% de nitratos y 255 de fosfato. La planta tiene suministros de 1,5 toneladas diaria de potasio, 5 toneladas diarias de nitratos y de 3 toneladas diarias de fosfato. ¿Qué cantidad de cada tipo de fertilizante deberá producir de modo que agote los suministros de ingredientes?

(Rp.: ton del tipo A, ton del tipo B, y ton del tipo C).

20)Un almacén de productos químicos tiene dos tipos de soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25% de ácido y la otra contiene 15% de ácido. ¿Cuántos galones de cada tipo deberá mezclar para obtener 200 galones de una mezcla que contenga 18% de ácido?

(Rp.: 60 gal con un 25% de solución ácida y 140 gal con un 15% de solución ácida).

5.-DESIGUALDADES E INECUACIONES.

Objetivo: Emplear el orden de los números reales en la resolución de desigualdades e inecuaciones , aplicadas a la especialidad-

N° de horas : 3

DESARROLLO DE CONTENIDOS

Orden en los Números Reales.

Establecer un orden en los números reales puede tener diversas interpretaciones, según necesidades

- En un problema de costos se determino que el valor precio de venta de un articulo es de 155 U$, en un mes se venden 35 unidades regularmente. El fabricante garantiza un abastecimiento sin inconveniente por pedidos de a lo menos 20 unidades de utilidad por cada articulo vendido es de 35 U$.¿Dependiendo del fabricante y su capacidad de abastecer los pedidos cual es la utilidad esperada por un determinado mes?

- En un intercambio de opiniones un encargado de adquisiciones escucha por parte de profesionales de la empresa los siguientes expresiones:A: “Si el costo unitario fuera de 16 U$ y la demanda sube 1.200 unidades estaríamos en buen pie para competir.”B: “ Comparto tu primer valor pero la demanda debe ser entre 1000 y 2000 unidades.C: “ Solo tengo claro que el costo unitario no podrá ser menos a 16,5 U$.¿Qué puede inferir el empleado de todas estas operaciones?

En algunos casos es necesario interpretar, que en el ámbito de las operaciones matemáticas, debemos ser capaces de “interpretar un orden”, con estas nuevas expresiones.Que indican, cuando se imponen condiciones sobre un conjunto de Números Reales, esto es las desigualdades e inecuaciones, que se utilizan tanto como las ecuaciones.Una desigualdad es una proposición que se forma siempre que dos expresiones están asociadas por algún símbolo de desigualdad: >,<, y . Las dos expresiones se denominan miembros o lados de la desigualdad. Una desigualdad compuesta contiene más de dos expresiones separadas por símbolos de desigualdad.Las siguientes expresiones son desigualdades.

-3 + 2x < 5,3x + 7 5 – 2x,

16x + 8 5x + 2,5x2 – 3x – 2 > x – 7

Éstas son desigualdades compuestas23x < 4x – 15 < 19

x < w 2z-8x 4x + 1 -4

y - 1 > 2x – 8 7

Una desigualdad compuesta siempre puede escribirse como una combinación de desigualdades simples.La desigualdad compuesta 23x < 4x – 15 < 19 es lo mismo que las desigualdades simples 23x < 4x – 15 y 4x – 15 < 19.-8x 4x + 1 -4 es lo mismo que las dos desigualdades simples –8x 4x + 1 y 4x + 1 -4.

Hay tres tipos de desigualdades.Una desigualdad condicional es verdadera para algunos números reales y falsa para otros.

El caso, x 6 es una desigualdad condicional. Es verdadera si x es igual a 6, 5 , -19, para

cualquier otro número, mayor que 6, es falsa, como 14, 13 Una desigualdad se llama absoluta, si es verdadera para todos los números reales.

Es el caso de x + 2 > x. Sin importar qué número real que se tome, siempre será una proposición verdadera.

La opuesta de una desigualdad absoluta es la llamada contradictoria. Una desigualdad contradictoria es falsa para todos los números reales. El caso, x + 1 > x es una desigualdad contradictoria, ya que nunca es verdadera.

Una inecuación es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad. Resolver una inecuación significa determinar dichos valores o soluciones.

Propiedades de las desigualdades.

Estas se utilizan para resolver las inecuaciones que podamos obtener de una problemática en estudio que se pueda plantear como inecuación. Teniendo presente que al usar cualquiera de los 4 símbolos, la condición será valida

Consideremos1. x + 4 < 7 es equivalente a x < 3. Se resta 4 en los dos miembros.2. 8x - 4 < -6 + 12x es equivalente a 2 < 4x. Se resta 8x y se suma 6 a ambos miembros.

Esta propiedad establece que a ambos miembros de una desigualdad puede sumarse o restarse la misma expresión sin cambiar el signo de la desigualdad.

Propiedad 1. Si a, b y c son números reales con a < b, entonces a + c < b + c.

Consideremos

1. < 3x + 2 es equivalente a x – 4 < 9x + 6. Ambos miembros se multiplican por 3.

2. 3x < 12 es equivalente a x < 4. Ambos miembros se dividen entre 3.

Esta propiedad establece que ambos miembros de una desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por la misma expresión positiva sin cambiar el signo de la desigualdad.

Propiedad 2. Si a, b y c son números reales, con a < b y c > 0, entonces ac < bc o .

Consideremos 1. -3 < 17 es equivalente a 9 > -34. Ambos miembros se multiplican por –3.

2. - < 6 es equivalente a x > -18. Ambos miembros se multiplican por –3.

3. -4x < 24 es equivalente a x > -6. Ambos miembros se dividen entre –4. Esta propiedad establece que ambos miembros de una desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por la misma expresión positiva sin cambiar el signo de la desigualdad.

Propiedad 3. Si a, b y c son números reales, con a < b y c < 0, entonces ac > bc o .

Consideremos1. Si 3 < 4 y n = 6 , entonces 36 < 46.

2. Si 2 < 30 y n = 8, entonces <

Esta propiedad establece que si ambos miembros de una desigualdad son positivos y n es un número positivo, entonces la n-ésima raíz o potencia de ambos miembros, no cambia el signo de la desigualdad.

Propiedad 4. Si a, b y n son números reales positivos y a < b, entonces an < bn y

< .

Consideremos.1. < 6 es equivalente a –6 < x + 3 < 6.

2. < 1 es equiva

Propiedad 6. Si x y a son lente a –1 < 2x – 7 < 1.

Propiedad 5 Si x y a son números reales, a > 0 y < a entonces –a < x < a.

Ejemplos.1. > 3 es equivalente a x –5 > 3 o x – 5 < -3.

2. > 6 es equivalente a 7x + 4 > 6 o 7x + 4 < -6.

números reales, a > 0 y > a, entonces x > a o x < -a.

Resolución de inecuaciones lineales.

Podemos usar las propiedades anteriores para resolver problemas en que aparecen desigualdades, esto, recuerde, se hace llamar una inecuación.

Inecuación lineal.

Una inecuación lineal en una variable, x, es una expresión de la forma ax + b < 0, donde a y b son constantes y a 0.

Si resolvemos 6x - 2 22.

Solución: 6x - 2 226x 24 Se suma 2 de ambos miembros. x 4 Ambos miembros se dividen entre 6.

Esta expresión se puede escribir , los intervalos con infinito se anotan abiertosLa solución para 6x - 2 22 son todos los números reales mayores o iguales que 4.Esto se indica en la figura 1El círculo en negrita indica que 4 está incluido en la solución.

Fig. 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

Resuelva:

.

Solución:

36 – 10 x > - 6x – 11 Se multiplica por 12, el MCD de los denominadores. 36 – 4x > - 11 Se suma 6x a ambos miembros. -4x > 25 Se resta 36 de ambos miembros

4x < 25 Se multiplica por –1 ambos miembros x < 25/4 Se divide por 4 ambos miembros Esta expresión se puede escribir , los intervalos con infinito se anotan abiertos. La solución es x < 6,25, la cual se muestra la figura 2. el círculo vacío en 6,25 indica que la solución no incluye a 6,255.

Fig. 2. -6 -4 -2 0 2 4 6,25 8

Resuelva: < 3.

Solución: < 3 -13 x < 3x – 5 < 13 Se aplica la propiedad 5.

-8 < 3x < 18 Se suma 5 a las tres expresiones.

- < x < 6 Se divide entre 3.

Esta solucion se puede anotar

Esta solución se muestra gráficamente en la figura 16.7. observe que - < x < 6, es equivalente a -

< x y x < 6.

- Fig. 3

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

Resuelva:

Solución: 3x + 2 8 o 3x + 2 -8 Se aplica la propiedad 6.

3x 6 o 3x -10 Se resta 2.

x 2 o x - Se divide entre 3.

Esta solucion se anota

La solución son los números menores o iguales que - o aquellos mayores o iguales que 2. esto

se muestra gráficamente en la figura 4

- Fig. 4

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

Observación : - Los infinito, positivo y negativo son anotados con corchete abierto en ese punto. - Se puede efectuar operaciones con intervalos

Aplicación.

Resuelva algebraicamente y gráficamente las desigualdades dadas.

1.- 2.- 7 + 3x 3 - 5x

3.- x + 5 < x -4

4.-

5.-

6.-

Exprese la respuesta en términos de una desigualdad.

1. El manual de uso de un automovil establece que el ángulo de flexión k de los neumáticos debe ser de +0.60° 0.50°. exprese k como una desigualdad.

2. Una soldadura debe efectuarse a temperaturas de entre 1800°C y 2200°C. ¿cuál es el intervalo de la temperatura en grados Fahrenheit?

3. El costo semanal de manufactura de microcomputadoras de cierto tipo esta dado por C = 1000 + 20x; los ingresos por su venta están dadas por R = 50x. ¿cuántas microcomputadoras deben fabricarse y venderse semanalmente como mínimo para que haya utilidades?

4. Una empresa editora ha encontrado que el costo de publicación de cada revista es de 0.38 dólares. La empresa recibe 0.30 dólares por cada ejemplar de los vendedores de la revista. El ingreso por publicidad es de 15% de los ingresos recibidos de parte de los vendedores al publico después de que se han vendido los primeros 1.000 ejemplares. ¿cuál es el número mínimo de ejemplares que es necesario vender para que la empresa obtenga utilidades por esta venta?

7. Un CD debe mantenerse a temperatura dada por . ¿cuáles son las temperaturas mínimas y máximas acotadas para el uso de este elemento?

Consideremos x2 + x – 6 > 0, que no es una desigualdad lineal, se trata de una desigualdad en una variable, x.Una forma posible de encontrar las soluciones seria :

a. Graficar la función y = f(x) = x2 + x – 6 como en la figura 5.b. Analizamos la grafica. ¿cuándo ocurre que y > 0?. Es decir, cuando la grafica de y = x2 + x

– 6 está arriba del eje x?. Puede observar que y > 0 cuando x < -3 o x > 2. por lo tanto, la solución de x2 + x – 6 > 0 es x < -3 o x > 2. éste es un método bastante fácil.

c. Usamos la calculadora. No es fácil determinar exactamente el punto en que la grafica cruza tanto el eje x como el eje y.

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5 y = x^2 + x - 6

fig 5.

Otro metodo posible.a. Utilizaremos la misma desigualdad para ilustrar el segundo método. Empecemos por encontrar las raíces de la ecuación correspondiente x2 + x – 6 = 0. debido a que (x + 3)(x - 2) = 0, las raíces son –3 y 2. al trazar una recta numérica y marcar en ella las raíces obtenemos la figura 5.

Fig. 6

| | | | | | | | x -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

En la marca de una de las raíces dibujamos un círculo vacío. Por ejemplo, en la figura 6 hemos dibujado un círculo vacío en la marca de –3. en el círculo en –3 trazamos una línea vertical discontinua. La línea es discontinua porque –3 no es una solución de esta desigualdad. A la derecha de este círculo x + 3 > 0 y al otro lado x + 3 < 0. escribimos un reglón de signos + en el lado en que x + 3 es positivo y uno de signos – en el otro lado. Anotamos x + 3 en un extremo para recordar qué factor indica ese reglón. La recta numérica debe verse ahora como la que se muestra en la figura 7

Fig. 7- + + + x + 3

x-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

En la segunda raíz dibujamos un círculo vacío en la marca de la raíz en 2 y trazamos una línea vertical discontinua a partir de ese círculo. Indicamos al lado en que x – 2 es positivo y el lado en que x – 2 es negativo, como en la figura 8.Necesitamos otro reglón de signos para completar el proceso. El último reglón es el reglón producto. La desigualdad original es x2 + x – 6 > 0 o (x + 3)(x - 2) > 0. El reglón producto indica el signo de (x + 3)(x - 2). Recuerde que al multiplicar un par de números negativos entre sí se obtiene una respuesta positiva. Si se multiplica un número impar de números negativos se obtiene un resultado negativo.

Fig. 8.

- - - + x - 2- + + + x + 3

x-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

En la figura 9 a la derecha del 2 se observa que los renglones x – 2 y x + 3 son positivos, de modo que su producto es positivo. Hemos escrito signos + en el renglón producto a al derecha de la línea discontinua trazada a partir del 2. el siguiente intervalo es la sección entre –3 y 2. en este caso x – 2 es negativo y x + 3 es positivo, de modo que el producto es negativo. En consecuencia, hemos escrito signos – en el renglón producto entre las líneas discontinuas correspondientes a –3 y 2. el último intervalo es a la izquierda de –3, o los números menores que -3. En este intervalo ambos factores son negativos, de modo que el producto es positivo. Este hecho está indicado por los signos + en el renglón producto a la izquierda de la línea discontinua correspondiente a –3, como se muestra en la figura 9.

Fig. 9

+ - - + producto- - - + x - 2

- + + + x + 3 x

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8Por inspección del renglón producto en la figura 9 observamos que la solución es x < - 3 o x > 2. Este hecho se muestra gráficamente en la figura 10. Es la misma repuesta que obtuvimos al aplicar el otro método. El método recién visto parece ser más largo y complicado, aunque en realidad sea más sencillo. Si resuelve una desigualdad con el signo , los círculos que indican las raíces deben estar llenos y a partir de los círculos debe trazar líneas verticales continuas en vez de discontinuas.

Fig. 10

x-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

1.- Resuelva: (x - 2)(x + 3)(x - 5)(x + 1) 0.

Solución: Esta expresión ya está factorizada. Las raíces son 2, -3, 5 y –1. Los renglones de signos para cada uno de estos factores se muestran en la figura 11. En el renglón producto se observa en la figura 12. Debido a que esta desigualdad contiene el signo , los círculos llenos indican que las raíces están incluidas. Por inspección observamos que en el renglón producto es negativo cuando –3 x -1 o 2 x 5. Ésta es la solución, que se muestra gráficamente en la figura 13.

- - + + + x + 1 - - - - + x - 5 - + + + + x + 3 - - - + + x – 2 Fig. 11

x-6 -4 -2 0 2 4 6 8

+ - + - + producto - - + + + x + 1 - - - - + x - 5 - + + + + x + 3 - - - + + x – 2 Fig. 12

x-6 -4 -2 0 2 4 6 8

Fig. 13-6 -4 -2 0 2 4 6 8

No se equivoque al pensar que los signos de cada renglón siempre son positivos a la derecha de la raíz. Para determinar los signos debe resolver cada desigualdad lineal, como se ilustra en el siguiente ejemplo.2.- Resuelva: x (x - 2)(5 - x) > 0.

Solución: Las raíces son 0, 2 y 5. En el renglón de signos de cada raíz se muestra en la figura 14. Los círculos no están llenos porque el signo de la desigualdad no incluye un signo de igualdad. También observe el renglón de signos de 5 – x. El producto en la figura 15 indica que la solución es x < 0 o 2 < x < 5. En la figura 16 vemos gráficamente la respuesta.

Fig. 14 + + + - 5 - x

- - + + x - 2- + + + x x

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

+ - + - producto + + + - 5 - x - - + + x- 2

- + + + x x-6 -4 -2 0 2 4 6 8 Fig.15

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 Fig. 16

El procedimiento para encontrar las soluciones de un problema de división puede determinar de la misma manera. Debe comprobar para asegurarse de que ningún número que haga igual a cero el coeficiente forme parte de las soluciones.

3.- Resuelva:

Solución: El numerador se factoriza como (x + 5)(x + 1), por lo que es cero en –5 y –1; el denominador es cero en x = -2. Estos tres puntos se muestran en la figura 17 junto con el renglón de signos para x + 5, x + 1 y x + 2. Observe que los círculos están llenos en –5 y –1 porque la desigualdad incluye un signo de igualdad. El círculo en –2 no está lleno porque el denominador es

cero en –2. En consecuencia, -2 no es una solución. Si recuerda que = (x + 5)(x + 1)

y observa que los signos x + 2 y son iguales, entonces los signos de la respuesta

están dados por un renglón producto. El renglón producto se muestra en la figura 19. Con base en esa figura podemos ver que la solución es x -5 o –2 < x -1.

- - - + x + 1- - + + x + 2 Fig. 17- + + + x + 5-6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

- + - + producto - - - + x + 1 - - + + x + 2 - + + + x + 5-6 -4 -2 0 2 4 6 8 x Fig. 18

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 x Fig.19

Empleo de una calculadora con función de graficado.

Para resolver desigualdades puede utilizarse una calculadora con función de graficado. Primero debe determinar las raíces reales de la función asociada y luego graficar la función.

Resolución de desigualdades en una calculadora con función de graficado.

1. Determine las raíces reales y el dominio de la ecuación asociada con la desigualdad.2. Grafique la función asociada con la ecuación o con la desigualdad.

3. a) Si la desigualdad es de forma f(x) > 0, las soluciones son los intervalos en el eje x donde la gráfica está arriba de dicho eje.b) Si la desigualdad es de la forma f(x) < 0, las soluciones son los intervalos en el eje x donde la gráfica está debajo de dicho eje.

En los dos ejemplos siguientes se vuelven a trabajar los ejercicios 2 y 3 utilizando una calculadora con función de graficado.

5.- Utilice una calculadora con función de graficado para resolver x(x – 2)(5 – x) > 0.

Solución: La ecuación asociada con esta desigualdad es x(x – 2)(5 – x) = 0. Sus raíces reales son x = 0, x = 2 y x = 5. El dominio son todos los números reales.La función asociada con esta desigualdad es f(x) = x(x –2)(5 – x). Su gráfica corta el eje x en cada una de las raíces.Debido a que la desigualdad es de la forma f(x) > 0, buscamos los intervalos donde la gráfica esté arriba del eje x. Éstos son (- , 0) y (2, 5). En consecuencia, la solución es x < 0 o 2 < x < 5.

6.- Utilice una calculadora con función de graficado para resolver .

Solución: La función asociada con esta desigualdad es f(x) = .

Por el ejercicio 3 sabemos que f(x) = 0 tiene raíces reales en x = 5y x = -1, y que no está definida en x = -2.La gráfica de f se muestra en la figura 20. Observe que y = f(x) con eje x en cada una de las raíces y que no está graficada en x = 2.Debido a que esta desigualdad es , buscamos los intervalos donde la gráfica esté abajo o toque el eje x. Al analizar la gráfica observamos que esto ocurre cuando x -5 o –2 < x -1. Recuerde que como f(x) no esta definida en x = -2 la solución no contiene a x = -2.

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

Fig. 20

[-9.4, 9.4, 1] x [ -6.2, 2.2, 1]

7.- Resuelva: x2 + 4x + 5 > 0.

Solución: Al aplicar la fórmula cuadrática observamos que las raíces son

. Ambos son números complejos. Debido a que x2 + 4x + 5 = 0 sólo tiene

dos raíces y ninguna en número real, esta desigualdad es absoluta o contradictoria. Si es absoluta, entonces cualquier número real la satisface. Elijamos cualquier número, por ejemplo 0, con el que se obtiene 02 + 4 (0) + 5 = 5 > 0. En consecuencia 0 es una solución. Ésta es una desigualdad absoluta, por lo que todos los números reales la satisfacen.La gráfica de y = x2 + 4x + 5 se muestra en la figura 21. A partir de esta gráfica podemos observar que y siempre es mayor que 0. Este hecho confirma la solución encontrada.

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

4

6

Fig. 21

y = x^2 + 4x + 5

8.- Resuelva: x2 + 4x + 5 < 0.

Solución: compruebe la gráfica de y = x2 + 4x + 5 < 0 en la figura 21. Como vimos en el ejemplo anterior, y siempre es positiva. Ésta es una desigualdad contradictoria, por lo que ningún número real la hará verdadera.

También hubiéramos podido resolver la desigualdad previa de la misma forma descrita en el ejercicio anterior. Se elige un número real, por ejemplo 2. debido a que 22 + 4 (2) + 5 = 17, ésta desigualdad no tiene soluciones reales.Las técnicas descritas en los ejercicios 7 y 8 dependen de que se determine primero la inexistencia de raíces reales. Por ahora sólo podemos hacer esto para expresiones cuadráticas.

Resuelva las desigualdades:

1. 2x2 – x < 1.2. 4x2 + 2x > x2 – 1.3. (x – 1)(x + 2) (x – 3) 04. (x + 3)2(x – 5) 0.

5. < 0.

6. 0.

7. > 0.

8. > 5.9. Tecnología de iluminación. La intensidad I en candelas (cd) de cierta luz cs I = 75 a2, donde d es la distancia en metros a la fuente. ¿para que intervalo de distancias la intensidad estará entre 75 y 450 cd?

10. Silvicultura. La ecuación de la regla de Scriber para troncos de 16 pies es V = 0.79D2-2D-4, donde V es el volumen, en pies de tabla, del tronco y D el diámetro interior de la corteza, en pulgadas, en el extremo pequeño de un tronco. ¿qué diámetro interior de la corteza en el extremo pequeño del tronco es necesario para que una pieza de 16 pies tenga un volumen por lo menos igual a 926 pies de madera?

11. Ciencia de los materiales. El intervalo de temperaturas, T (en grados Kelvin), para 100g de plata cuando se les aplica 2.00 x 104 cal de calor estimado por < 10.000. Despeje T y calcule su valor hasta el 0.1 K más próximo.

Desigualdades en dos variables.

Las soluciones de ecuaciones y desigualdades en una variable se representa en una recta numérica. Las soluciones de ecuaciones se representan con puntos y las de desigualdades con intervalos.Las ecuaciones en dos variables se representan mediante una gráfica en un plano. Las desigualdades en dos variables también se representan gráficamente en un plano. no obstante, su grafico no es una recta o una curva.Comenzaremos con el análisis de desigualdades lineales en dos variables.

Desigualdades lineales en dos variables.

Una desigualdad en dos variables, x y y, es una desigualdad de la forma ax + by + c < 0, donde a, b y c son constantes y a y b no son ambas cero.

NOTA: Emplear el símbolo < en esta definición no significa restringirla sólo a las desigualdades en las que se utiliza. La misma definición es valida para >, y .

Toda recta no vertical puede escribirse en forma de ecuación dada su pendiente y la ordenada al origen, y = mx + b. Esta recta divide el plano en tres regiones ajenas, como se muestra en la figura 22.

1. Los puntos que satisfacen y = mx + b (la recta).2. Los puntos que satisfacen y < mx + b (los puntos abajo de la recta)3. Los puntos que satisfacen y > mx + b (los puntos arriba de la recta)

Una recta vertical es de la forma x = a, donde a es una constante. Las rectas verticales también dividen el plano en tres regiones ajenas, como se muestra en la figura 23: la recta (x = a), los puntos a la derecha de la recta (x > a) y los puntos a la izquierda de la recta (x < a).

y

y > mx + b y = mx + b

x y < mx + b

Fig. 22

yx = a

x < a x > a

x Fig 23

Para ilustrar cómo funciona lo anterior, resolveremos 2x + y < 4, comenzando por resolver la desigualdad para y, con lo que obtenemos y < -2x + 4. Luego graficaremos la recta y = -2x + 4. Esta desigualdad no incluye los puntos donde y = -2x + 4, de modo que trazaremos la recta con línea discontinua, en vez de hacerlo con línea continua. Así, el plano está dividido ahora en tres regiones y buscamos la región debajo de la recta. Es el área sombreada en la figura 24.Siempre es bueno comprobar los resultados. Elija cualquier punto en la región sombreada. Por ejemplo, (-1, 49. Al sustituir estos valores en la desigualdad original, en el miembro izquierdo obtiene 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2. Ciertamente, esto es menor que 4, de modo que este punto sí concuerda. Por supuesto, la comprobación de un valor no significa que no se haya cometido algún error. Esta respuesta tiene una infinidad de soluciones y solamente hemos comprobado una. Sin embargo, verificar un valor por lo menos ayuda para ver si acaso no nos hemos equivocado.

NOTA: Observe que si la desigualdad no incluye el signo de igualdad, entonces la curva que divide la región es discontinua. Una línea continua indica que los puntos sobre la recta están incluidos en la solución.

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

4

6

y = -2x + 4y < -2x + 4

Fig 24

12.- Encuentre la región descrita por 2x – 3y 6.

Solución: Primero resolvemos la desigualdad para y.

2x – 3y 6 – 3y -2x +6

y x –2

Observe que al dividir entre –3 se invierte la dirección del símbolo de la desigualdad.

Luego graficamos la recta y = x – 2 como se muestra en la figura 25 debido a que este problema

implica igualdad ( ), trazamos una línea continua. Cuando resolvimos la desigualdad para y

obtuvimos y x – 2, y esto indica que nos interesa la región debajo de la recta, como de

muestra con el sombreado de la figura 25. la región sombreada y las recta son las soluciones de este problema.

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

2x - 3y = 6

2x - 3y > 6

Fig 25

13.- Encuentre la solución de 2x > 5.

Solución: Si resuelve esta expresión para x, obtendrá x > . Grafique la recta 2x > con una

línea discontinua. La región buscada está a la derecha de la recta. La solución es la región sombreada de la figura 26.

8 6 4 2

-8 -6 -4 -2 -2 2 4 6 8 -4-6-8 Fig. 26

No todas las ecuaciones en dos variables son ecuaciones de una recta. De la misma forma, no todas las desigualdades en dos variables corresponden a regiones separadas por una recta.

14.- Encuentre la solución de y x2 – 4.

Solución: La grafica de y = x2 – 4 es la parábola de la figura 27. Todos los puntos de la parábola o debajo de ella satisfacen la desigualdad, como se indica en la figura 27.

Aplicación:Una empresa ha determinado que puede obtener ganancias por la venta de sus microcomputadoras si el costo de producción C satisface la desigualdad C(n) < 2.1 + 0.4n, donde n es el número de computadoras producidas. Grafique esta desigualdad.

Solución: Hacemos que n este sobre el eje horizontal y C sobre el eje vertical. Graficamos la recta C(n) = 2.1 + 0.4n con línea discontinua para señalar que la solución no incluye los puntos sobre la recta. Como deseamos que C(n) < 2.1 + 0.4n, sombreamos los puntos por debajo de la recta, pero únicamente los del primer cuadrante porque n > 0. (después de todo, la empresa no puede producir menos de 0 microcomputadoras). También tenemos C(n) > 0 porque producir las computadoras tiene un costo. La solución se muestra en la grafica de la figura 28.

8 6 4 2 C(n) < 2.1 + 0.4n

-8 -6 -4 -2 -2 2 4 6 8 n-4

Grafique cada desigualdad:

1. x 52. y < 23. 0.5x + 1.5y > 2.54. 1.4x – 0.7y < 1.05. y 4x2 - 56. y < x2 + 2x +17. Negocios. Para obtener ganancias, el costo c de producción de una pastilla de computadora en cierta fábrica debe satisfacer la desigualdad C(n) < n2 + 10n + 3.5, donde n es el número de pastillas producidas. Grafique esta desigualdad. Recuerde que n 0.

8. Negocios. Un banco cobra el 8.5 y el 6.75% por un préstamo hipotecario y por uno comercial, respectivamente. El gerente del departamento de préstamos desea ganar un rédito de por lo menos US $3.6 millones sobre los préstamos mencionados. Sean x la cantidad (en millones de dólares) para los préstamos hipotecarios y la de los préstamos comerciales. Grafique esta desigualdad.

9. Nutrición. Una tableta multivitaminica de la marca X contiene 15mg de hierro; una de la marca Y contiene 9mg. Un nutriologo recomienda el consumo diario mínimo de 90mg de hierro. Grafique esta desigualdad.

6.-LOGICA PROPOSICIONAL

OBJETIVOS:-Verificar el valor de verdad en proposiciones lógicas-Aplicar la valoración lógica en secuencias algoritmicas-Verificar el valor de verdad de una proposición en la calculadora gráfica.

N° de horas : 6 horas

SINTESIS TEORICA

Proposición: Es un concepto primitivo, que no se define.Es el nombre que se le da a todo enunciado que tenga un sentido lógico, este puede ser verdadero o falso.

Para denotarlas se utilizan las letras minúsculas p, q, r, s, etc.

Ejemplos:1) “Santiago es la capital de Chile” Proposición Verdadera.2) “Cinco es mayor que diez” Proposición Falsa.

3) “¿Qué hora es?” No es proposición ya que no es ni verdadero ni falso.

Proposición Simple : es aquella que no esta vinculada a ninguna otra.

1er Principio: El valor de verdad de una proposición: Una Proposición puede ser verdadera o falsa.

2do Principio: Negación. La negación es cambiar el sentido de verdad de la proposición. Se denota por: p p p p’

Tabla de verdad Para n proposiciones simples, las entradas a la tabla son 2n. (La mitad verdadera y la otra mitad falsas).

p pV FF V

Proposición Compuesta : esta formada por proposiciones simples que están vinculadas por conectivos lógicos.

Conjunción “y” Disyunción “o”

Conectivos Lógicos Condicional “implica, entonces” Bicondicional “sí y solo si”

Conjunción Disyunción Condicional Bicondicionalp q p q p q p q p qV V V V V VV F F V F FF V F V V FF F F F V V

Clasificación de una Proposición Compuesta:

1) Tautología : Una proposición es una tautología o teorema lógico si su tabla de verdad es verdadera en todas sus combinaciones.

2) Contradicción : Una proposición es una contradicción si su tabla de verdad es falsa en todas sus combinaciones.

Dos entradas a la tabla.n = 1, 2n = 21 = 2

3) Contingencia : Una proposición es una contingencia si la tabla de verdad tiene resultados lógicos verdaderos y falsos, o sea no es tautología ni contradicción.

Ejemplo: Construir la tabla de verdad asociada a las siguientes proposiciones:

1) p p q)

p q p q p p q p (p q)V V V V V V V V VV F V V V V V V FF V V V F V F V VF F F V F V F F F

Paso2 3 1 2 1

Método 1 Método 2

2) p p

p p p p p pV F F V F FF V F F F V

Paso1 2 1

3) (p q) (p q)

p q p q p q (p q) (p q) (p q) (p q)V V V V V V V V V V V VV F V F F V V F F V F FF V V F F F V V F F F VF F F F V F F F V F F F

Paso 1 2 1 3 1 2 1

ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Equivalencia lógica: Dos proposiciones se dicen lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son iguales y se denota por

Por Ej.: 1) p q p q Definición condicional

TAUTOLOGIA

CONTRADICCION

CONTINGENCIA

2) p q (p q) q p) Definición Bicondicional

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

1) Leyes de Idempotencia:a) p p pb) p p p

2) Leyes Asociativasa) (p q) r p q r)b) (p q) r p q r)

3) Leyes Conmutativasa) p q q pb) p q q p

4) Leyes Distributivasa) p q r) p q) p r)

b) p (q r) p q) (p r)5) Leyes de Identidad

a) p F p c) p V Vb) p V p d) p F F

6) Leyes de Complementoa) p p V c) p p Fb) V F d) F V

7) Ley de Involucióna) p p

8) Leyes de DeMorgana) (p q) p qb) (p q) p q

Las equivalencias se pueden demostrar construyendo la tabla de verdad.

EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGICA PROPOSICIONAL

1) Identificar las proposiciones simples, los conectivos y escribir en forma simbólica.

“Las rosas son rojas y las violetas azules”

Solución: p: Las rosas son rojasq: las violetas son azules

Conector “y”

Forma simbólica: p q

2) Construya la tabla de verdad asociada a la siguiente proposición compuesta.(p q) (p q)

Solución:

p q p q p q ~(p q)

(p q)(p q)

(p q) ~ (p q)

V V V V F F V V V F F V V VV F F V F F V F F F F V V FF V F V F F F F V F F F V VF F F F V F F F F F V F F F

Paso 1 3 1 4 3 1 2 1Método 1 Método 2

3) Demostrar la siguiente equivalencia: p (~p q) p q

a) Construyendo la tabla de verdadb) Por el álgebra de proposiciones

Solución:

a)P (~p q) p qV

VF V V V

VV

V F F F F V F FF F V V V F F VF F V V F F F F

Son equivalentes, porque sus tablas de verdad son iguales

b)p (~p q) (p ~p) (p q)

Ley distributiva

F (p q) Ley de Complemento p q

Ley de Identidad

4) Sea p: “Hace frío” y sea q: “Está lloviendo”. Dé una frase verbal sencilla que describa cada uno de los siguientes enunciados:

a) ~p b) p q c) p q d) q ~p e) ~p ~q

En cada caso, traduzca, y para que se lea “y”, “o” y “Es falso que” o “No”, respectivamente, y luego simplifique la frase.

Solución:

a) No hace frío.b) Está haciendo frío y está lloviendo.c) Está haciendo frío o está lloviendo.d) Está lloviendo o no está haciendo frío.e) Ni está haciendo frío ni está lloviendo.

5) Con las leyes del álgebra proposicional simplificar:Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LOGICA PROPOSICIONAL

1) Sean p: “Cinco es mayor que diez” y q: “Dos más dos son cuatro”. Describir con un enunciado verbal las siguientes proposiciones.a) pb) p qc) p qd) q pe) p qf) p q

2) Sean p: “Pedro habla inglés” y q: “Pedro habla francés”. Dé una frase sencilla que describa lo siguiente:a) p qb) p qc) p qd) p qe) pf) (p q)

3) Construya la tabla de verdad asociada a las siguientes proposiciones:

a) (p p) pb) (p q) pc) p (p p)d) (p q) (p q)e) p (q p)f) (p q) rg) [(p q) q]ph) (p r) (q s)i) [(p q)r] (r s)j) [(p q)r]qk) {[(p q) (p r)] (r p)} (p q)l) {[(p q) (r s)] (r p)} (p q)

4) Cuales de las siguientes proposiciones son tautologías:

a) (p q) (p q)b) p (p q)c) (p q) (q p)

5) Identificar las proposiciones simples, los conectivos, escribir en forma simbólica y determinar la verdad de cada uno de los siguientes enunciados:

a) Si 3 + 2 = 7, entonces 4 + 4 = 8

b) No es verdad que 2 + 2 = 5, si y sólo si, 4 + 4 = 10c) París está en Inglaterra o Londres está en Francia.d) No es verdad que 1 + 1 = 3 o que 2 + 1 = 3e) Es falso que si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia.

6) Demostrar las siguientes equivalencias:i) Construyendo la tabla de verdadii) Por el álgebra de proposiciones

a) p p pb) p q q pc) p (p q) Vd) p ( p q) p qe) p (p q) pf) (p q) p p qg) (p q) (p q)p qh) (p r) (q r) (p r) qi) (p q) (p q) Vj) (p q) q p q

7) La conectiva es la conjunción negativa; p q se lee “Ni p ni q”p q p qa) Construir la tabla de verdad p qb) Demostrar las siguientes equivalencias:

i) Construyendo la tabla de verdadii) Por el álgebra de proposiciones

I) p p pII) p q (p p)q q)III) p q p q) (p q)

8) Si p es una proposición verdadera, q una proposición falsa, determinar el valor de verdad de:

a) (p q) qb) (p q) qc) (p q) (p q)

9) Demostrar que las siguientes proposiciones son tautologías.Simplifique aplicando el álgebra de proposiciones.

a) p pb) p pc) (p q) pd) p (p q)e) [p (p q)] qf) (p q) [p (q r)]g) (p q) [(p r)q]

h) [(p r)q] (p q)i) [p (q r)] (p q)j) (p q) [(p r) (q r)]

10)Con las leyes del álgebra de proposiciones simplificar:a) b)

11) Indique si es verdadero o falso:a)b)c)d)e)

12) Si se sabe que . Determinar el valor de verdad de

13) Sea Determinar el valor de verdad de:

14)Si es falsa. ¿Cuál es el valor de verdad de:a)b)c)

15)Si p es V, q es F, r es V, anotar el valor de verdad de:a)b)c)

16)Si p es V, q es F , r es V, anotar el valor de verdad de:a)b)c)

17) Juego lógico:Piense un número de tres cifras y luego repita el número para formar uno de seis

cifras1° divida este número por 72° el resultado divídalo por 113° divida el resultado por 13 ¿Qué ocurre?

18)Según los siguientes enunciados descifre los argumentos lógicos;a) p= la fresadora es más versátil que el torno

q= el torno es más rápido para hacer ejes

b) p= Pablo trabaja en la fresadoraq= Pablo trabaja en el torno

c) p= Carlos hace roscas métricasq= Carlos no sabe hacer roscas whitwort

d) p= los machos sirven para hacer hilos interioresq= los dados sirven para hacer hilos exteriores

e) p= el torno CNC tiene mayor producción de piezasq= el torno convencional es lento

f) p= el torno sirve para hacer piezas cilíndricasq= la fresadora sirve para fabricar engranajes

19) Dada la siguiente expresión escríbala en símbolos:"La calculadora es una herramienta de alta tecnología y los alumnos la usan en sus tareas, sólo si, no es materia de lectura o educación física".

20) Dadas las siguientes proposiciones;P= comprar es una actividad importanteQ= es indiferente a las marcasR= realiza extensas comparaciones de preciosS= disfruta comprando

Escriba con palabras la expresión:

21)Reducir aplicando álgebra de proposiciones:

22)Determinar los valores veritativos de p,q y r si; es falso.

23)Determine el valor de la expresión;)

24)Si se sabe que es falso, y es falso. Determine el valor de verdad de:a)b)

Soluciones:1) a) Cinco no es mayor que diez.

b) Cinco es mayor que diez y dos más dos son cuatro.c) Cinco es mayor que diez o dos más dos son cuatro.d) Dos más dos son cuatro o cinco no es mayor que diez.e) Cinco es mayor que diez si y sólo si dos más dos no son cuatro.f) Cinco es mayor que diez, entonces dos más dos no son cuatro.

2) a) Pedro habla inglés o francés.b) Pedro habla inglés y francés.c) Pedro habla inglés pero no francés.d) Pedro no habla inglés o no habla francés.e) No es cierto que Pedro no hable inglés.f) No es cierto que Pedro no hable inglés o no hable francés.

3)a) V b) V c) F d) V e) F f) V g) V h) F i) V j) V k) F l) V

V V V V F F V V V F V VV V F V V F V V F VV V V V V V V V F F

V F V V F FV F V F V FV F V V F FV F V V F F

V V FV V FF V VV V FV V FV V FF V VF V F

4) a) y c) son tautologías.5)

Proposición simple Forma simbólica

Sentido lógicop q

a) 3 + 2 = 7 4 + 4 = 8 p q Verdadero

b) 2 + 2 = 5 4 + 4 = 10 ( p q) Falsoc) París está en

InglaterraLondres está en Francia

p q Falso

d) 1 + 1 = 3 2 + 1 = 3 ( p q) Falsoe) París está en

InglaterraLondres está en Francia

(p q) Falso

7.-“CONJUNTOS”

OBJETIVOS:Identificar las expresiones del lenguaje conjuntista y lógico de una expresión recursivaAplicar secuencias lógicas a través de representaciones visuales asociadas a problemas con enunciado

N° de horas : 6 horas

TALLER EVALUADO: 3 horas

Definición de Conjuntos: es toda colección, agrupamiento, clasificación de objetos que pasan a llamarse elementos del conjunto.

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C y sus elementos por letras minúsculas a, b, c.

Gráficamente se denotan por un óvalo que encierra a sus elementos.

Ej: A = {a, b, c} Diagrama de Venn- Euler

Conjunto Vacío: conjunto que no contiene elementos., se designa por

Conjunto Universo o de Referencia: conjunto formado por todos los elementos de una característica, contiene a todos los elementos. Se denota por la letra U y gráficamente se representa por un rectángulo.

Definición de un Conjunto: un conjunto se puede definir de 2 formas.

1) Por extensión: se nombran todos sus elementos.Ejemplo: a) Conjunto de los números dígitos.

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}b) Números naturales menores que 5.

A= {1, 2, 3, 4}

2) Por Comprensión : indicando una cualidad particular de los elementos que forman el conjunto.Ejemplo: a) Conjunto de los números dígitos.

D = {x/x es dígito}

b) Números naturales menores que 5.A = {x/x < 5, x N}

Pertenencia si en un conjunto B, está presente el elemento b, se dice que “b pertenece a B” y se denota por bB. Si el elemento d no se encuentra en B, se dice que “d no pertenece a B” y se denota por dB.

Aa. b.c.

U A

Subconjunto: si todos los elementos de un conjunto B, son también elementos de un conjunto A, se dice que “B es un subconjunto de A” y se denota por BA.

Gráficamente se tiene:

BASi xB xA

Todo conjunto es subconjunto del Universo.

El conjunto vacío se considera subconjunto de todo conjunto.

Familia de Conjuntos: Es aquel conjunto cuyos elementos son conjuntos.

Ej: F = {{1, 2}, {5}, } es una familia de conjuntos.

Es decir, {1, 2} F {{1, 2}} F

Conjunto Potencia de A: es una familia de todos los subconjuntos de A y se denota por P(A). (n número elementos de A, 2n número de subconjuntos de A).

Ej: Si A = {a, b, c} n = 3 23 = 8

P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1) UNION : Unión entre dos conjuntos A y B, es el conjunto que contiene todos los elementos de A y todos los elementos de B, considerando una sola vez los elementos repetidos.

Lo achurado corresponde a (AB)

A B = {x / xA xB}

U

A B

Propiedades: 1) A A = A2) A B = B A3) (A B) C = A (B C)4) A (A B)5) B (A B)

2) INTERSECCION: Es el conjunto formado por los elementos comunes a todos los conjuntos.

Lo achurado corresponde a (A B)

A B = {x / xA xB}

Propiedades: 1) A A = A2) A B = B A3) (A B) C = A (B C)4) (A B) A5) (A B) B6) A (B C) = (A B) (A C)7) A (B C) = (A B) (A C)

Nota: Si dos conjuntos presentan intersección vacía se dice que son conjuntos disjuntos.

3) COMPLEMENTO DE A : se define con respecto a un conjunto universal y es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto universal y no pertenecen al conjunto A, se denota por Ac , A’, etc.

Lo achurado corresponde a A’A’ = {x / xU xA}

Propiedades: 1) A A’ = U2) A A’ = 3) U’ = 4) ’ = U5) (A’)’ = A6) A’ B’ = (A B)’7) A’ B’ = (A B)’

4) DIFERENCIA entre dos conjuntos A y B: corresponde al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se denota por A – B.

Lo achurado corresponde a A – BA – B = {x / xA xB}

EJERCICIOS PROPUESTOS DE CONJUNTOS

1) Determine los elementos que correspondan en cada caso, aplicando la operatoria conjuntista: (N)

U = x / x es múltiplo de 2, 2 x 24 A = xN / x es par, 2 x 10 B = xN / x es múltiplo de 4; 2 x 24

a) U - A b) A B c) A - B d) (A B) e) (A B)

2) Haga un diagrama de Venn que represente los conjuntos

A = 1,3,5,7 B = 2,4,5,6 C = 1,7

3) Si A = xN / x es divisible por 5; 5 x 30B = xN / x es divisible por 10; 5 x 30

Determine:

a) A B b) Haga un diagrama para A – B

4) Sea A = x / x es letra de la palabra “repiquetero” B = x / x es letra de la palabra “traqueteo” C = x / x es letra de la palabra “tranque”

Hallar:

a) (A – C) B b) (B C) A c) (A B) (A C)

5) Si U = xN / 2 x 10, A = xN / 5 x 8, B = xN / 4 x 10

Calcular:

a) A – B b) (A B) c) B - A d) A (B A)

6) ¿Qué expresión representa la parte sombreada?

I) (A B) - (A B) II) (A B) (A B) III) (A - B) (B - A)

a) sólo Ib) sólo IIc) I y IId) I y IIIe) II y III

7) Haga el diagrama que corresponda a las condiciones que se indican para cada caso;

a) A B; C B; A C

b) A C; A B = ; C B

c) A B; (B C) ; (A C) =

d) (A B) C; A C; (B C) = B

8) Sombree la condición que se indica:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) ñ)

o) p) q) (A B) ’ C

9) Reconozca el área sombreada y exprésela en términos de operación conjuntista

a) b) c)

8.- RELACIONES Y FUNCIONES

N° de Horas : 18 horas

OBJETIVOS:

-Clasificar una relación considerando su definición y elementos. ( 3 horas)-Aplicar el concepto de relación en el gráfico del plano cartesiano. ( 3 horas)-Comparar una relación y una función en una representación real. (3 horas)-Representar la función lineal en forma analítica y gráfica relacionada con la especialidad. ( 3 horas)-Representar la parábola en forma analítica y gráfica, y en aplicaciones orientadas a otras disciplinas del área. ( 3 horas)-Analizar fenómenos de crecimiento exponencial y logarítmico en forma analítica y gráfica.(3 horas)

CONTENIDOS

INTRODUCCION

Sabemos que un conjunto numérico se puede representar gráficamente por una línea recta. Por ejemplo, en el caso de los Números Reales a cada elemento del conjunto se le puede asociar o hacer corresponder un punto de una línea recta. Dicha correspondencia es uno a uno, ya que cada número real le corresponde un único punto en la recta. Dicha recta se llama Línea Cartesiana.

-2 -1 0 1 2 3

Con esto nos damos cuenta cómo poder representar un punto en una línea recta (una dimensión). La idea siguiente es poder representar un punto teniendo dos dimensiones como referencia, es decir, representarlo en un plano.

DEFINICIONES

Sistema de coordenadas cartesianas.

Este sistema está formado por dos rectas que se intersectan perpendicularmente. La recta dispuesta horizontalmente se denomina Eje X, ó eje de las abscisas y la recta dispuestas verticalmente Eje Y, ó eje de las ordenadas.

La intersección de ambas rectas se llama Origen y se representa por la letras O.

Como debe haber una correspondencia exacta entre los números reales y cada recta, el origen coincide con el número 0.

En la línea cartesiana, sobre el eje X se representan los números positivos, a la derecha del origen. Los números negativos a la izquierda.

Para el caso del eje Y, los números positivos se representan arriba del origen y los negativos abajo del origen.

Finalmente, la intersección de la recta divide al Plano en cuatro “cuadrantes” que se numeran como I, II, III y IV, en sentido antihorario a partir del eje positivo de las abscisas, como se representa en la siguiente figura.

Eje Vertical (y)

II I

IIIIV

Para representar un punto en el plano, es necesario asociarlo a un par ordenado de números reales (x, y), también conocido como coordenadas. Donde el primer elemento es x y el segundo es y.

Al ser ordenado, tenemos que:

En general podemos decir que en dos pares ordenados son iguales, si y sólo si sus componentes correspondientes lo son, En símbolos se expresa como:

Ejercicios de autoevaluación n° 1

Determinar los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades de pares ordenados.

a) (3x + 1, y -2) = (4, -7)b) (y -2, 2x + 1) = (x – 1, y + 2)c) (3 x – 5, 0) = (3, 2y + 1)d)

e) ( Entonces la representación de un punto en el Plano está asociada a un par ordenado, donde cada uno de los dos elementos de dicho par establece la referencia para ubicar el punto en el Plano. Veamos ahora como representar geométricamente un Plano.

En términos generales el punto P de coordenadas (x,y) se ubicará en:

La intersección de la recta al eje Y que pasa por el número x (abscisa), y la recta paralela al eje X que pasa por el número y (ordenada).

Eje Horizontal (x)

Cuadrante

En la figura se representa el Punto P que tiene coordenadas (1, 2), el cual es un punto del primer cuadrante. El Punto P’ de coordenadas (-2, -2) que es un punto del tercer cuadrante. La representación gráfica de ellos la tenemos a continuación:

y

                                                                                                                 (1,2),                                                         x     (-2 ,-2)                                                                                                                                               

Ejercicios de autoevaluación:

1) En el par ordenado (2, -4) cuál es la abcisa ?

1) -4 2) –2 3) 2

2) ¿Cuál es el ordenada en el par ordenado (2, -4)?

1) –6 2) –4 3) 2

Las preguntas 3 y 4 se refieren al siguiente diagrama.y

y                                                      C                                                                                                                         x x                                                                      .        B                 A                                                    

3) Que par de ordenados le corresponde al punto donde BC cruza el eje x.

1) (-4, 0) 2) (-3, 0) 3) (0, -3)

4) Cual punto es exactamente a 4 unidades de (0, 3)?

1) A 2) B 3) C

RESPUESTAS:1) 3

2) 2

3) 1

4) 3

El conjunto que reúne a todos los pares ordenados se denomina Producto Cartesiano. El que definiremos de la siguiente manera.

Producto Cartesiano de dos conjuntos.

Dado dos conjuntos A y B, al conjunto de pares ordenados (a, b) tales que: a es un elemento de A y b es un elemento de B, se le llama Producto Cartesiano entre A y B, lo que se denota por A x B.

En símbolos se expresa: }

Ejemplo.

Si A = {1,2,3} y B={a,b}

Entonces: A x B = { (1, a), (1,b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

En este mismo ejemplo podemos determinar que:

B x A = {(a, b) / a }

Es decir: B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.

Observando los dos resultados, podemos decir que los dos conjuntos de pares ordenados resultantes AxB y BxA son diferentes. Por lo tanto el Producto Cartesiano no es conmutativo.

Recordemos que cuando definimos para ordenado, se estableció que el par (x, y) es diferente del par (y, x) y por lo tanto en el ejercicio mostrado, (1,a) ≠ (a, 1). En definitiva, tenemos que:

A x B ≠ B x A

Observaciones

En el producto cartesiano de dos conjuntos, no necesariamente los conjuntos deben ser distintos. Podemos calcular para el mismo conjunto A dado anteriormente el producto de

A x A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Para estos casos podemos escribir AxA como .

De hecho, el Plano Cartesiano de números reales, es un conjunto de pares ordenados (x,y), donde x IR IR

Por lo tanto representa al producto cartesiano IRxIR=IR2

El producto cartesiano entre un conjunto no vacío y el conjunto vacío, es:

A x Ø = Ø x A = Ø

A x B = Ø A = Ø v B = Ø

El producto Cartesiano puede definirse para más de dos conjuntos. Es decir, si A, B y C son conjuntos entonces existe el conjunto:

AxBxC = {(a,b,c) / a A b B c C}

Donde (a, b, c) se llama terna (trío) ordenada. Esta es la primera de los puntos en el espacio tridimensional en el cual vivimos, cada una de las componentes del trío está asociada a las dimensiones conocidas comúnmente como, largo, alto y ancho.

Ejercicios de autoevaluación n° 2

Determine el producto cartesiano cualquiera indicado entre los conjuntos dados:

1) AxB= si A={1,2,3} y B={0,1}

2) CxD y DxC si C={-1,-2,-3} y D={3,4}

Si tenemos un producto cartesiano cualquiera, al igual que para todo conjunto, existen subconjuntos en el.Por ejemplo, consideremos los conjuntos A y B, definidos como:

A = {1,2,3,4,5} y B = {1,2,3}

De todos los subconjuntos de A x B ,es conveniente que el alumno escriba el conjunto AxB , vamos a considerar los siguientes conjuntos:

El conjunto R = {(1,2), (1,3), (2,3)} que es uno de los subconjuntos de A x B.

El conjunto R = {(1,1), (2,2), (3,3)} que es otro conjunto de A x B.

Al observar estas subconjuntos surgen las siguientes interrogantes:

¿Cuál fue el criterio para elegir estos subconjuntos de AxB y no a otros? ¿Por qué cada uno de estos subconjuntos tiene esos elementos y no otros?

Si analizamos el conjunto R nos damos cuenta que cada par ordenado de él es tal, que el primer elemento es menor que el segundo elemento, y de hecho, al considerar los conjuntos A y B (de donde se obtuvieron los pares ordenados) nos damos cuenta que R contiene a todos los pares ordenados, tales que el primer elemento es menor que el segundo elemento.

Si analizamos el conjunto R , sucede algo similar. Los pares ordenados que los conforman son todos aquellos de A x B donde le primer elemento es igual al segundo elemento; y no existen otros.

Es decir, R y R son subconjuntos de AxB, donde los elementos de sus pares ordenados tienen una relación

entre sí, que define estrictamente al conjunto al que pertenecen. R es entonces un subconjunto de A x B tal que sus pares ordenados tienen la relación que el primer elemento es menor que el segundo elemento y además, en R están todos los pares que satisfacen esa relación entre sí.

Dado entonces que R y R son subconjuntos de un producto cartesiano formados a través de una relación

entre los elementos de sus pares ordenados, diremos R y R son relaciones de A x B.

Relación:

Una relación R definida de A en B es un conjunto de pares ordenados, subconjunto de AxB , tales que, sus primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas al conjunto B y cada primera componente está relacionada con la segunda componente de una misma manera. En símbolos esto se escribe como :

R={(a,b) }Observación :

(a,b)

EjemploSi tenemos los conjuntos A={1,2,3} y B= {-1,-2}, se pueden definir las siguientes relaciones:

R ={(1,-1),(1,-2)}

R ={(1,-1),(2,-2),(3,-1),(3,-2)}

Dominio de una Relación.

Se define como el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la relación y es un subconjunto de A. estas componentes se denominan preimágenes.

En símbolos: Dom R={a , de esto se obtiene que Dom R .

Recorrido de una Relación:

Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la relación y es un subconjunto de B. También a este conjunto se le llama dominio de imágenes de la relación.

En símbolos:Rec R={(b

De donde se entiende que el Rec R

Ejemplo 1.

Consideremos los conjuntos A={1,2,3,4} y B={0,1,2} y la relación R definida por.

R={(a,b) }

AxB={(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2)}

Para determinar el conjunto R debemos elegir de AxB sólo aquellos pares ordenados que satisfacen la relación “el primer elemento del par debe ser menor o igual que el segundo más 1”;por lo tanto la relación es:

R= {(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,2)}

Además :Dom R= {1,2,3} y Rec R= {0,1,2} B

( en este caso particular Rec R=B)

Ejercicios de autoevaluación n° 3.

Escribe las siguientes relaciones definidas en AxA , con A={1,2,3}

1) R={(x,y) / x y }2) R={(x,y) / 4 }3) R={(x,y) / x=y }

Obs: Una relación puede representarse gráficamente en el plano cartesianoo bien en un diagrama de Venn. (Compruebe con software o calculadora gráfica)

Relación inversa.

Sea R una relación de A en B . El subconjunto de BxA formado por los pares (b,a) tales que (a,b) R ; se

llama relación inversa de R y se denota por .Es decir :

= {(b,a)/ (a,b) R}

Ejemplo 1: Sea R= {(1,2), (3,5),(4,7)}, entonces ={(2,1),(5,3),(7,4)}

De esto se concluye que dom =Rec R y Rec = dom R

Ejemplo 2Sean A=B= {1,2,3,4,5,6}, y la relación R={(x,y)/ y=x+2}, entonces :

R = {(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)}, en este caso

= {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}= {(x,y)/ y =x – 2}

Costruya la gráfica para R y para , comente con su compañero y concluya con su profesor.

Ejercicios de autoevaluación n° 4:

Encuentre la relación inversa entre:

1) R= {(2,a); (3,b); (2,b);(3,a)}2) R= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}3) R= {(x,y) INxIN /x 3 , 3 y 6 }4) R= {(x,y) IRxIR / x+2y=10}

Propiedades de las relaciones- Refleja

- Simétrica

- Transitiva

- Antisimétrica Tipos de relaciones:

- De Equivalencia ssi es refleja, simétrica y transitiva- De Orden ssi es refleja, antisimétrica y transitiva

F U N C I O N

DefiniciónSean A y B conjuntos no vacíos y f una relación de A a B , entonces f es una función ( o aplicación ) de A en B , si y sólo si a cada elemento de A , le hace corresponder un y sólo un elemento de B.También se define como función a una relación f de un conjunto A a un conjunto B si y sólo si satisface las siguientes condiciones:

a) Existencia: Para todo elemento x de A existe un y en B, tal que (x,y) f; es decir todo elemento de A tiene un correspondiente en B

b) Unicidad Si (x,y) f y (x,z) f , entonces x=z. es decir cada elemento de A tiene un único correspondiente en B

Notación f:A ( se lee f de a en B o f desde A hacia B)Y= f(x) (x, f(x) ( la imagen para x es f(x)=y)

Ejemplo

f = { ( a , r ) , ( b , m ) , ( c , p ) , ( d , r ) }es decir f(a)= r

f(b)=m

f(c )= p

f( r )=r

Dominio ( Dom f ) y codominio ( Codom f )Sea f función de A en B, entonces:

Dom f = A y Codom f = B

Notación Sea f función de A en B , x A e y B , entonces:

Dom f= { x A / y B ; y = f(x) }

Recorrido o rango ( Rec f )Sea f función de A en B, entonces el recorrido de f ( Rec f ) es el conjunto formado únicamente por todos los elementos de B, que son imagen de al menos un elemento de A, bajo f. Además el recorrido de f es subconjunto de B:

Rec f = { y b / x A ; y= f(x)}

Ej en el diagrama anterior ; Rec f = { m , p , r } B.

Observación: Rec f se conoce también como imagen de A por f y se simboliza: f (A).

Función epiyectiva ( sobreyectiva o sobre ) Sea f función de A en B , entonces f es epiyectiva si y sólo si cada elemento de B es imagen , de al menos un elemento de A bajo f , es decir:

f es epiyectiva Rec f = BEjemplo

Función inyectiva ( uno a uno ) Sea f función de A en B, entonces f es inyectiva si y sólo si a elementos distintos de A, les hace corresponder imágenes distintas en B.

f es inyectiva ( f ( x ) = f ( y ) x = y )Ejemplo

Función biyectivaSea f función de A en B, entonces f es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y epiyectiva a la vez, es decir, cada elemento de B es imagen de un y sólo un elemento de A, bajo f.

f es biyectiva f es epiyectiva f es inyectiva

Inversa de una funciónSea f una función de A en B, entonces su inversa ( f 1 ) es una relación de B a A tal que:

f 1 = { ( y , x ) : ( x , y ) f }

En el ejemplo f 1 = { ( m , b ) , ( p , c ) , ( r , a ) , ( r , d ) } .

Teorema: Sea f función de A en B, entonces f – 1 es una función de B en A, si y sólo si f es biyectiva. Además, bajo esta condición, f – 1 es también una función biyectiva ( ver ejemplo ).

Funciones de IR en IR 1 ) Función constante

f ( x ) = a ; a R

Ejemplo : y = 4

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

Su gráfica es una recta paralela al eje x.

2 ) Función identidad

f ( x ) = x

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

3 ) Función lineal: Sea f. IR IR , entonces la función:

f ( x ) = a x + b ; IR a 0 , se llama función lineal

Ejemplo y = 2 x – 8Su gráfica es una recta, la que se obtiene, calculando las intersecciones con los ejes los cuales se producen al hacer x =o e y= 0 , es decir:

Si x=0 ,entonces: Y = 2.0-8= -8 , intersección o corte al eje y es (0,-8)

La intersección con el eje x se obtiene al hacer y=0, es decir:

0= 2x-8 x=4 ; por lo tanto la intersección es (4,0)

4 ) FUNCION CUADRATICA

SINTESIS TEÓRICA:

Una función de la forma ,a,b,c IRCon a,b,c constantes, se denomina función cuadrática .El dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola.

La función cuadrática más simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en cuyo caso obtenemos

Las gráficas comunes de esta función en los casos en que a es positiva o negativa corresponde a

El punto más bajo de la gráfica cuando ocurre en el origen, mientras que este mismo es el punto más alto si a<0. En cualquiera de los dos casos , el punto se denomina vértice de la parábola, (V) cuyas coordenadas son

0

2

a

axy

0

2

a

axy

La función cuadrática general tiene una gráfica idéntica en forma y tamaño a la

correspondiente a ; la única diferencia es que el vértice de está trasladado afuera del origen.

La gráfica de la función es una parábola que se abre hacia arriba si .

La gráfica de la función es una parábola que se abre hacia abajo si .

Si b=c=0, la función cuadrática se reduce a . Las coordenadas del vértice se reducen a x=y=0.

Interceptos con los ejes; son los puntos donde la curva corta a cada eje. - Si x=0 se obtiene los puntos donde la parábola corta al eje Y.

- Si y=0 se obtiene los puntos donde la parábola corta al eje X.

Los puntos máximos y mínimos representan los respectivamente el punto más alto y el punto más bajo de la parábola. Si a>0 es máximo, y si a<0 el punto es mínimo.

Ejemplo: y = 0,5 x 2 + 3 x – 4

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

Ejercicios de autoevaluación n°5

Determine la gráfica de las siguientes funciones y compárelas con el software

a) f(x)=xb) f(x)=2xc) f(x)= x+2d) y=-x+2e) g(x)=x - 4f) h(x)= x -xg) y=x +2x – 3h) y= x - 1

Autoevaluación n° 6

Determine el dominio y el recorrido y las intersecciones con los ejes coordenados de las siguientes funciones

a) f(x)=

b) f(x)=c) g(x)= 5x-3

d) f(x)= Compruebe utilizando el software

7.Calcule la función inversa en cada una de las funciones anteriores.

Autoevaluación n°8.

Para cada una de las funciones determine : intersección con los ejes coordenados, vértice de la parábola y recorrido de la función:

a) f(x)=b) f(x)=3xc) f(x)=xd) y=e) f(x)=f) f(x)=

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN:

Autoevaluación n° 1

a) ( 1,-5) b) (2,3) c)(8/3,-1/2) d)(4,4) e)(x=3

Autoevaluación n°2

1) AxB={(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)}2) CxD={(-1,3),(-1,4),(-2,3),(-2,4),(1,3),(1,4)}3) DxC={(3,-1),(4,-1),(3,-2),(4,-2),(3,1),(4,1)}

Autoevaluación n°3

1) R={(1,2),(1,3),(2,3)}2) R={(2,3),(3,2),(1,3),(3,1),(3,3),(2,1),(1,2),(2,2)}3) R={(1,1),(2,2),(3,3)}

Autoevaluación n°4

1) R ={(a,2),(b,3),(b,2),(a,3)}2) R ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}3) R ={(4,1),(5,1),(4,2),(5,2)}

Autoevaluación n°5a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Autoevaluación n° 6

Ejercicio Dom Rec Int. Eje x Int eje ya IR-{0} IR-{0} No hay No hayB IR [-1,+ [ 0 y -2 0C IR IR 3/5 -3D IR-{4} IR-{0} No hay -1/4

Autoevaluación n° 7

a)

b) No tiene inversa, pero si x , se tiene =-1 +

c) =

d) = , x

Autoevaluación n° 8

Ej Intersec eje x Intersec eje y Vértice Recorridoa (-1,0), (1,0) (0,-1) (0,-1) [-1,+b (0,0),(1/3,0) (0,0) (1/6,!/12) [1/12, +c (7,0),(-6,0) (0,-42) (1/2,-169/4) [-169/4, +d (-1/2,0),(1,0) (0,-1) (1/4,-9/8) (-9/8, +e (9,0),(-6,0) (0,54) (3/2,225/4) [- ,225/4[f (-1/3,0)(3/2,0) (0,-3) (-11/12,49/24) [-

PROBLEMAS DE APLICACIÓN (RESUELTOS)

1) Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es el área máxima que puede cercarse?.

Solución:graficando la situación se obtiene

la longitud de la nueva cerca es 2x+y=200

el área encerrada es (1)

comparando esta expresión con

se observa que A es una función cuadrática con a=-2 b=200 c=0

x x

y

pero como a<0, la función tiene un máximo en el vértice que corresponde a

el valor máximo de A se obtiene sustituyendo x=50 en la ecuación (1)

por lo tanto el área máxima que puede encerrarse es de 5.000 , y las dimensiones son x=50m e y=100m.2) La demanda mensual x, de cierto artículo al precio de p dólares por unidad está dada por la relación

. El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual?

Solución:Costo total C en dólares de producir x unidades al mes es

C= costos variables + costos fijosC= 5x+2000

la demanda x está dada por sustituyendo este valor en C C= 5(1350-45p)+2000

C= 8750-225p

el ingreso I obtenido por vender x unidades a p dólares por unidad es

I= (alquiler por unidad)(n°unidades alquiladas)= pxI= p(1350-45p)I=1350p-

la utilidad U está dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo

U= I-CU=

U= U= 5031.25

3) El propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones, puede alquilarlas todas si fija un alquiler mensual de $200 por habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedarán vacías. En promedio, por cada incremento de alquiler de $5, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine la relación funcional entre el ingreso mensual total y el número de habitaciones vacías. ¿Qué alquiler mensual maximizaría el ingreso total? ¿Cuál es este ingreso máximo?.

Solución:sea x el n° de unidades vacíasel n° de departamentos alquilados es entonces 60-xel alquiler mensual por habitación es (200+5x)

si I es el ingreso mensual total R=(renta por unidad)(n°unidades rentadas)R=(200+5x)(60-x)R=

ingreso mensual total R es una función cuadrática de x cona=-5 b=100 c=12.000

la gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo dado que a<0 y su vértice es el punto máximo.

El vértice está dado por

luego

o sea, si 10 unidades están desocupadas, los ingresos son máximos. El alquiler por habitación es entonces (200+5x) o $250, y el ingreso total es de $12.500 al mes.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

1) A una compañía le cuesta 75 dólares producir 10 unidades de cierto artículo al día y 120 dólares producir 25 unidades del mismo artículo al día.

a) ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día?b) ¿Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículo?

(Rp.: a) b) 105 c) 3 y 45

2) Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 dólares al mes y los costos variables son de $3.50 dólares por unidad. Si el productor vende cada uno a $6.00 dólares.a) Encuentre el punto de equilibriob) Determine el número de unidades que deben producirse y venderse al mes para obtener una utilidad de

$1000 dólares mensuales.c) Obtenga la pérdida cuando sólo se producen y venden 1500 unidades.

3) Una empresa compra maquinaria nueva por $15.000 dólares. Si se deprecia linealmente en $750 dólares al año y se tiene un valor de desecho de us$2.250. ¿Por cuánto tiempo estará la maquinaria en uso? ¿Cuál será el valor V de la maquinaria después de t años en uso y después de6 años de uso?.(Rp.: 17 años V=(15.000 – 750t)dólares ; 10.500 dólares.

4) El costo total de un fabricante está formado por unos gastos generales de 200 u.m., más el costo de producir de 50 u.m. por unidad. Expresar el costo total como una función del número de unidades producidas y dibuje el gráfico.Solución: Sea x el n° unidades producidas y C(x) el costo total.

Costo total=

el gráfico de la función es C(x)

X C(x) 0 200 2 300 4 400

X

5) El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por . Si cada artículo puede

venderse a 10 dólares, encuentre el punto de equilibrio.(Rp.: x=40).

6) Una empresa tiene costos fijos mensuales de 2000 dólares y el costo variable por unidad de su producto es de 25 dólares.

a) Determine la función costo.

b) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por . Determine el número de unidades que deben venderse de modo que maximizen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo?.

c) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima?. ¿Cuál es esta utilidad máxima?

(Rp.: a) C(X)=25x+2000 b) 3000 ; c) 1750;

7) Una cierta empresa constructora ha construido un edificio con un total de 40 departamentos para rentar. Se sabe por las investigaciones de mercado que si se asigna una renta de 150 dólares al mes, se ocuparán todos los departamentos. Por cada incremento de 5 dólares en la renta, un departamento quedará vacío. ¿Qué renta mensual deberá asignar a cada departamento de modo que obtenga ingresos por rentas mensuales máximos?. Calcule este ingreso máximo.(Rp.: 175 dólares ; ).

8) A un fabricante le cuesta US$2.000 comprar herramientas a fin de producir cierto artículo casero. Si tiene un costode60 centavos de dólar por el material y la mano de obra de cada artículo producido y si el fabricante puede vender todo lo que produce a 90 centavos de dólar cada uno. Determine cuántos artículos debería producir con objeto de obtener utilidades por 1.000 dólares. (Rp.: 10.000 artículos).

9) Un capital de 100 dólares se invierte a cierto interés a un año; luego junto con el interés ganado, se invierte en el segundo año a un interés igual al doble de la primera tasa de interés. Si la suma total obtenida es de 112,32. ¿Cuáles son las dos tasas de interés?. (Rp.: 4%y 8%).

10) Cada semana, una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de p dólares cada uno, en donde p= 600-5x. Si le cuesta a la compañía (800+75x) dólares producir x unidades.

a) ¿Cuántas unidades debería vender la compañía a la semana si desea generar un ingreso de 17.500 dólares?.

b) ¿Qué precio por unidad debería fijar la compañía con el propósito de obtener ingresos semanales por 18.000 dólares?

c) ¿Cuántas unidades debería producir y vender cada semana para lograr utilidades semanales de 5.500 dólares?.

d) ¿A que precio por unidad generaría la compañía una utilidad semanal de 5.750 dólares.(Rp.: a) 50 o 70b) 300 c) 45 o 60 d) 325 o 350)

11) Un barco transporta dos tipos de contenedores. Por cada dos contenedores del primer tipo y tres del segundo tipo, se ocupa un volumen de 39 . ¿Cuál es el volumen de cada tipo de contenedor?

12) La demanda del mercado de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares en donde 15p + 2x =720.

El costo ( en dólares) de producir x unidades está dado por C(x)=200+6x.¿Qué precio p por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea

máxima?

13) Se invierten $850.000 a un interés compuesto anual del 8%.¿Cuánto tiempo le llevará incrementarse a $1.200.000?

LA FUNCION EXPONENCIAL: Es una función donde una constante está elevada aun término variable, es decir :

f ( x ) = a x ; a > 0 y a 1 y x IR

Ej: y = 2 x

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

Se caracteriza porque el dominio son todos los números reales y el recorrido es el conjunto de los reales positivos.

Desafío. Analice con su grupo que ocurre con la función f(x)= , grafique y elabore sus conclusiones

FUNCIÓN LOGARÍTMICA:

Corresponde a la función inversa de la función exponencial, y se define como:

f ( x ) = log b ( x ) ; b > 0 y b 1

El dominio de la función es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales

Ejemplo: y = log 2 ( x ) 2 . Dando valores a y se obtiene el gráfico:

x

y

0 5 10 15 20 25 30 35

-5

0

5

Ejercicio de autoevaluación

Graficar las siguientes funciones:

a) f(x)=5

b) f(x)=(1/4)

c) f(x)=d) y=log(x+2)

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FUNCION EXPONENCIAL

1) Un capital de 2000 dólares se invierte a una tasa de interés nominal anual de 12%. Calcule su valor después de 4 años si la capitalización es semestral.

(Rp.: 3187,70)

2) La población del planeta al inicio de 1976 era de 4 mil millones y ha crecido a un 2% anual. ¿Cuál será la población en el año 2.000, suponiendo que la tasa de crecimiento no se modifica?.

(Rp.: 6,43 miles de millones).

3) Las utilidades de cierta compañía se han incrementado a un promedio del 12% por año entre 1990 y 1995. En este último año, tenían $5,2 millones. Suponiendo que este crecimiento continua, calcule las utilidades para el año 2001.

4) Un almacén de productos químicos tiene dos tipos de soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25% de ácido y la otra contiene 15% de ácido. ¿Cuántos galones de cada tipo deberá mexclar para obtener 200 galones de una mezcla que contenga 18% de ácido?

(Rp: 60 galones y 140 galones respectivamente)

Problemas de aplicación de la función logaritmo

1) La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2% anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente. ¿Cuándo alcanzará la población los 10 mil millones?

(Rp.: 46,3 años después de 1976).

2) La suma de 100 dólares se invierte a un interés compuesto anual del 6%. ¿Cuánto tardará la inversión en incrementar su valor a 150 dólares? (Rp.: 7 años).

3) La población de cierta nación en desarrollo está dada en millones de habitantes por la fórmula en donde t es el tiempo medido en años desde 1970. ¿Cuándo alcanzará la población los 25

millones, suponiendo que esta fórmula mantiene su validez?.(Rp.: la población tardará 25,5 años; a mediados de 1995).

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE FUNCIONES:

RECUERDA QUE:

Definición: se llama función de A en B a una relación que cumple la siguiente condición:!

Dominio de f;

Codominio de f;

Imagen de x; f(x)=y

Recorrido de f; se obtiene despejando x

Función real; es toda función definida en tal que

Función constante;

Función identidad;

Función cero; coincide con el eje X

Función Valor Absoluto;

Función Exponencial; Tipos de funciones:

F. Inyectiva: cada elemento del Dom tiene su exclusiva imagen en el Cod.

F. Epiyectiva o Sobreyectiva: el Rec de una función ocupa todos los elementos de B

F. Biyectiva: si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.

F. Inversa:

Para determinar de f se procede como:- Despejar x de la ecuación y =f(x)- Intercambiar las variables x e y- La nueva función es

Composición de funciones:

Sea ; se define

Se aplica f en primer lugar y g en segundo lugar

se aplica g en primer lugar y luego f

PROBLEMAS RESUELTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.

1. La inversa de la relación "ser padre de" es la relación "ser hijo de".2. La inversa de la relación:R = {(x,y) : x, y R, x + 2 = y }

es la relación:R -1 = {(x, y) : x, y R, y + 2 = x} = {(x, y) : x, y R, y = x - 2}

3. La inversa de R = {(x, y) : x, y , 4x2 + 9y2 = 36} es:

R -1 = {(x, y) : x, y , 9x2 + 4y2 = 36}

4. Sea la relación R = {(x, y) : x, y , 2x + y = 10} =

= {(1, 8),(2, 6),(3, 4),(4, 2)}

Su inversa es R -1 = {(x, y) : x, y , x +2y = 10 } =

= {(8, 1),(6, 2),(4, 3),(2, 4)}

5. Si A = N, conjunto de los números naturales, la relación si y solo si, x = y es una relación de equivalencia en N:

En efecto:a) Para todo número natural x, se tiene x = xb) Si x = y, es y = xc) Si x = y e y = z, es x= zLuego, la relación de igualdad es de equivalencia.

6. Si A = conjunto de todas las rectas del plano, la relación , si y solo si, x / / y es una relación de equivalencia.

En efecto:a) Toda recta x es paralela a si misma, se tiene x / xb) Si x / / y, es y / / xc) Si x / / y e y / / z, es x / / z

7. En el conjunto de todos los triángulos del plano, las relaciones de congruencia y de semejanza son relaciones de equivalencia; esto es:

a)b) Si c) Si

8. En el conjunto de todos los seres humanos, la relación "tiene los mismos padres" es una relación de equivalencia.

En efecto:a) Evidentemente toda persona x "tiene los mismos padres que" x.b) Si x "tiene los mismos padres que" y, entonces y "tiene los mismos padres que" x.c) Si x e y "tienen los mismos padres que" y y , también entonces x "tiene los mismos padres que" z.

9. Sea X = {a, b, c}, y sean f: X R, g : X R definidas por:f(a) = 1, f(b) = -2, f(c) = 3g(a) = -2 g(b) = 5, g(c) = 1

Encontrar:(1) (f + g) (a) = f (a) + g (a) = 1 - 2 = -1(f + g) (b) = f (b) + g (b) = -2 + 5 = 3(f + g) (c) = f (c) + g (c) = 3 + 1 = 4 Luego, f + g = {(a, -1),(b, 3), (c,4)}

(2) (f - g)(a) = f (a) - g (a) = 1 + 2 = 3(f - g)(b) = f (b) - g (b) = -2 - 5 = -7(f - g)(c) = f (c) - g (c) = 3 - 1 = 2

Luego, f - g = {(a, 3),(b, -7),(c, 2)}

(3) (2f - 3g)(a) = 2f(a) + 3g(a) = 2 - 6 = -4(2f - 3g)(b) = 2f(b) + 3g(b) = -4 + 15 = 11

(2f - 3g)(a) = 2f(a) + 3g(a) = 6 + 3 = 9 Luego, 2f + 3g = {(a, -4), (b, 11), (c, 9)}

(4) (f * g)(a) = f (a) * g (a) = 1 * (-2) = -2(f * g)(b) = f (b) * g (b) = (-2) * 5 = -10(f * g)(c) = f (c) * g (c) = 3 * 1 = 3

Luego, f * g = {(a, -2),(b, -10),(c, 3)}

(5)

Luego,

(6) (f 3)(a) = (f (a)) 3 = 13 =1(f 3)(b) = (f (b)) 3 = (-2)3 = -8(f 3)(c) = (f (c)) 3 = 33 = 27

Luego, f 3 = {(a, 1),(b, -8),(c, 27)}

(7) (fg - 2f)(a) = f (a) * g (a) - 2f (a) = -2 -2 = -4(fg - 2f)(b) = f (b) * g (b) - 2f (b) = -10 + 4 = -6

(fg - 2f)(c) = f (c) * g (c) - 2f (c) = 3 - 6 = -3 Luego, fg - 2f = {(a, -4),(b, -6),(c, -3)}

10. Sean f = {(4, 3),(5, 6),(0, 5),(3, 2),(8, 11)}g = {(5, -4),(0, 6),(3, 3),(8, 9),(7, 10)}

Encontrar; f + g, f - g, f * g, , f 2.

(1) f + g = {(5, 2),(0, 11),(3, 5),(8, 20)}(2) f - g = {(5, 10),(0, -1),(3, -1),(8, 2)}(3) f * g = {(5, -24),(0, 30),(3, 6),(8, 99)}

(4)

(5) f 2 = {(4, 9),(5, 36),(0, 25),(3,4),(8, 121)}

EJERCICIOS PROPUESTOS DE FUNCIONES

1. De los gráficos siguientes indique cuál es función y justifique cuando no lo sean:

a) b) c)

2. Completar las siguientes tablas si f y g definidas en R son:

x 0 1 -1 2f(x)

x 1 -1G(x) 3 -3

3. Si y definidas por

calcular;

a) b)

c) d)

4. Determine el dominio de las siguientes funciones reales;

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

5. Complete la tabla si

x -1 -2f(x) 5 8 9

6. Si completar

x -3 -2 -3/2 ½ 1 2g(x)

7. Determine el Dom y Rec de las siguientes funciones reales:

a) b)

c) d)

e) f)

8. El Dom de las siguientes funciones reales es el conjunto . Determine el Rec de cada una de ellas.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

9. Determine si son o no inyectivas las siguientes funciones:a.)

b.) tal que

c.)

10. Indique si son epiyectivas las funciones:a) ; tal que

b) tal que

11. Determinar la función inversa de las siguientes funciones:a.) b)

c) d)

e) f)

12. Sea calcular:

a) u(0)= b) u(2)=

c)u(3)-2 u(2)= d)

13. Sean y determinar .

14. Sean s y t funciones reales definidas como ;

completar

x 0 -1 2 3S(x)

Y -3 -2 1 6 13t(y)

X 0 1 2 3 4

y determinar además: a) b)

c) d)

15. Sean u y v funciones reales tal que . Calcular:

a) b)

c) d)

16. Sea tal que . Determinar;

a) f(1)= b) f(-1)=

c) f(o)= d) f(y)=

17. Sea tal que . Calcular:

a) g(1)= b) g(-1)=

c) g(2)= d) g(-2)=

e) f)

18. Dadas , funciones reales, calcular:

a)

b)

a)

19. Sea tal que ,completar la tabla:

X 2 1/3 4 1/2

f(x) 1/15 2/5

20. Sea f(x)=2x+6 , completar las tablas:

x -1 -2F(x) 5 8 9

x -3 -2 -3/2 ½ 1 2G(x)

21. Si , tal que ;

Determinar las imágenes de -1,0,2 respecto de

22. Si , definidas como

y . Determinar;

a) b)

23. Si , tal que . Determinar:

a)

b)

c)

Si ; tal que

determinar:a) b)

c) d)

e) f)

24. Si tal que , completar:

1 2

3

25. Determinarla función inversa de tal que

26. Determinar la función inversa de tal que

27. En los diagramas siguientes, decir cuando se define o no una función de en

a) b) c)

a

b

c

a

b

c

a

b

c

x

y

z

x

y

z

x

y

z

29. Dar una fórmula para definir las siguientes funciones:a) A cada número real asignarle por su cubo.

b) A cada número real asignarle por el número 5.

c) Hacer corresponder a todo número positivo por su cuadrado, y a los otros números

reales por el número 4.

30. Definida una función en el intervalo cerrado por , averiguar:a) f(-3)= b) f(4)= c) f(a-2)=

31. Sea la función definida por Hallar:

a) = b)

c) e)

32. Sean los conjuntos y . ¿Cuántas funciones diferentes de A en B hay y cuáles son?

33. Sea y la función definida por el diagrama

¿Cuál es el dominio de la función?

34. Con definida una función por

Hallar el dominio de imágenes.

35. Sea la función definida por Hallar:a) f(4)= b) f(-3)=

c) f(y-2z)= d) f(x-2)=

36. Sea la función definida por Hallar:

a) g(5)=

b) g(8)=

c) g(-2)=

37. Sea y sea la función definida por . Calcular:a) f(2)=

b) f(6)=

c) f(t-2)=

12345

12345

38. Sea la función definida por Calcular:

a) h(3)= b) h(12)=

c) h(-15)= d)

39. Dado . Sea la función definida por .¿Cuál es el dominio de imágenes de f?

40. Sean las funciones siguientes;

Si cada función viene definida por la misma fórmula , calcular el dominio de imágenes de cada una de ellas.

41. Si las funciones del problema 40 están definidas por la fórmula f(x)=x-3, hallar el dominio 42. Sea . ¿Qué es cierto siempre?

a) b)

43) Sean y la función definida por . Hallar el dominio de imágenes de g.

44. Cada una de las siguientes fórmulas define una función de R en R. Determinar el recorrido (intervalo) de cada una de ellas:a) b) c)

45. Sean las funciones definidas así:

Entre estas funciones ¿Cuáles son iguales?

46. Sean las funciones f, h y g definidas por:

¿Cuáles de estas funciones son iguales?

47. Sea y B el conjunto de letras del alfabeto. Definidas las funciones f, g y h de A en B por;

¿Son inyectivas o no?

48. Entre las siguientes funciones, decir cuáles son inyectivas y cuáles no:

a) A cada persona que vive en la tierra asignarle el n° de sus añosb) A todo libro escrito por un solo autor, asignarle su autor.c) A todo país que tiene primer ministro, hacerle corresponder su primer ministro.

49. Sean . Sean las funciones

,

definidas así; “a cada número le corresponde su cuadrado”. ¿Cuáles son inyectivas?

50. Hallar el intervalo “más amplio” en que la fórmula define una función inyectiva.

51. Sea . De las funciones f, g y h de A en A definidas por;

.¿Cuál es sobreyectiva si la hay?

52. ¿Puede ser sobreyectiva una función constante?

53. Sea y sean las funciones definidas por;

Hallarlas funciones producto de composición

54. Sean las funciones definidas por

. Hallar .

55. Sean las funciones f y g sobre los números reales R definidas por: .

a) Dar fórmulas para las funciones producto

b) Verificar las fórmulas mostrando que y que

56. Sea f la función definida por . Hallar;

57. Sea y sean las funciones definidas por los diagramas siguientes:

¿Cuáles de estas funciones, si las hay, tiene función recíproca?

58. Dado , sean las funciones de A en A definidas por

¿Cuáles de estas funciones tienen o no función recíproca?

59. Sea definida por . Siendo f inyectiva y sobreyectiva, f tiene una

función recíproca . Hallar una fórmula que defina la función recíproca .

12345

12345

12345

12345

12345

12345

f g h

60. Sea definida por . Hallar;

61) Sean f y g funciones reales definidas por , .

Calcular: a)

b) Encuentre , si existe. Justifique.

TRIGONOMETRIA

N° DE HORAS : 6 HORAS

OBJETIVO: Inferir relaciones de igualdad e identidad con expresiones trigonométricas

1.- Sistemas de medición de ángulos:

Sistema Sexagesimal; - unidad de medida es el grado sexagesimal (1°)-

-

Sistema Centesimal;- unidad de medida es el grado centesimal

-

-

Sistema Radial o Circular;- la unidad de medida es el radián (1 rad)

---

Ejercicios:

Verifica los resultados dados siguiendo las instrucciones que el profesor indique para el uso correcto de la calculadora:

1) Valor de una función trigonométrica dado el ángulo:

a)b)c)d)e)f)

2) Transforme a radianes

a) 135° b) 48° c) 132°42’

II.- 2) Valor del ángulo de una función dado el valor de ella:

a)b)c)d)

2.- Razones trigonométricas básicas y sus recíprocas:

EJERCICIOS

1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 50cm y uno de los catetos 30cm. Calcular las funciones del ángulo menor.

2.-¿ Cuál es la altura de un edificio si la visual dirigida al borde del techo, desde una distancia de 40m de la pared, mide 38°?R: h = 31, 252 m

3.- Un observador en el cuarto piso de un edificio calcula que el ángulo de depresión del pie de otro edificio situado al otro lado de la calle es 39° y que el ángulo de elevación de la parte superior del mismo edificio es 49° . Si la calle mide 70 pies de ancho. Calcular la altura del edificio observado. R: 140 pies.

4.- Al volar sobre un lago , un piloto observa que se encuentra a 500 pies de altura, y que el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla del lago es 520° y que un punto situado en el lado opuesto del lago tiene 7° de depresión. Suponiendo que el punto directamente abajo del aeroplano está sobre la recta. ¿cuánto mide de ancho el lago?R: 9300 pies.

3.- Razones trigonométricas de ángulos complementarios:

4.- Razones trigonométricas de ángulos suplementarios:

5.- Signos de las funciones trigonométricas:

I II III IV+ + - -+ - - ++ - + -

6.- Tabla de valores para las razones trigonométricas de ángulos fundamentales:

7.- Función sen x::

8.- Función cos x:

9.- Función tg x:

10.- Identidades Trigonométricas Pitagóricas:

11.- Identidades trigonométricas para la suma de ángulos:

12.- Identidades trigonométricas para el valor medio de un ángulo:

•

•

•

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Son igualdades que se evidencian para cualquier valor del ángulo que se reemplace en la igualdad. Las siguientes identidades trigonométricas básicas pueden ser usadas en los problemas de demostración de identidades.

Ejemplo: Aplicación de las identidades:

Si calcular .

Solución;

en la identidad reemplazamos

se obtiene

reemplazando en

Recomendaciones:

1.- Elija para trabajar el lado de la igualdad que tenga más operaciones.2.- Es conveniente trabajar con las funciones básicas sen,cos y tg.3.- Desarrollar las operaciones algebraicas indicadas.4.- Utilizar las identidades trigonométricas vistas anteriormente.

1. 2.

Solución; Solución;

= =

3.Desarrollo;

EJERCICIOS PROPUESTOS DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Una ecuación trigonométrica es una igualdad que se cumple sólo para algunos valores que

puede tomar la incógnita de dicha expresión.

EJERCICIOS RESUELTOS

a) b)

c) d)

e) f)

a)

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

1.2.3.4.5.

6.

7.8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.21.22.

23.

24.25.26.

27.

28.

29.

30.31.32.

PROBLEMAS DE APLICACION

a) Cuando el sol está 20° sobre el horizonte. ¿Qué largo tiene la sombra que proyecta un edificio de 45 m de alto? (Rp.:123m)

b) Un hombre conduce durante 150m. A lo largo de una vía inclinada de 20° sobre la horizontal. ¿A que altura se encuentra sobre su punto de partida?

(Rp.:51m)c) 2 autos recorren, 15 km con rumbo S40°10’O y el otro auto 21km en dirección N28°20

´O.}A que distancia queda uno del otro?(Rp.: )

CONCEPTOS RECURSIVOS

Objetivos:-Examinar una sucesión considerando su definición y sus elementos- Aplicar sumatorias involucradas en la solución de problemas de la especialidad-Aplicar progresiones a la resolución de problemas de la especialidad-Demostrar el teorema del binomio de Newton en expresiones matemáticas que lo involucren.

N° de horas : 10 horas

1.-SUCESIONES

    Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números.    Toda sucesión tiene una propiedad o ley de formación de sus elementos.

Ejemplos de sucesiones:

    A: 2,4,6,8,... es una sucesión infinita, el primer término es 2 como ley de formación los siguientes se obtiene sumando 2 en cada cada paso.    B: 0,5,4,2,9,8,6,7,3,1. Es una sucesión finita. Se trata de las cifras numéricas ordenadas alfabéticamente.    C: 1,2,3,4,5,... es la sucesión infinita de los números naturales. Es la sucesión fundamental, pues nos sirve para ordenar las demás.    D: 1,4,9,16,25,... es la sucesión de los cuadrados de los números naturales.    E: 1,1,2,3,5,8,13,... esta se llama Sucesión de Fibonacci. El primer y segundo elementos son 1,1. Los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.    F: 4,2,1, 0'5, 0'25, ... es una sucesión infinita en que el primer elemento es el cuatro y cada uno de los siguientes se obtiene dividiendo por 2 el anterior.    G: 3,3,4,6,5,4, ... es una sucesión infinita. Cada elemento es el

número de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural. 

    Hay sucesiones numéricas de muchos tipos, dependiendo de la ley de formación. Puedes ponerte ejemplos tú mismo: primero piensa en la ley de formación y en el primer término y luego vete obteniendo otros términos.    Para designar los términos de una sucesión cualquiera utilizaremos la misma letra con subíndices a1, a2, a3, a4,...,an, indicando que a1 es el primer término, a2

es el segundo, ... y an es el término de orden n -n es cualquier número natural- o término general de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 2,4,6,8,... pondremos a1=2, a2=4, a3=6, a4=8, ... , an=2n.    A veces el término general de una sucesión se puede expresar en función de los términos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, en la sucesión E de Fibonacci, se verifica an = an-2+an-1. Estas sucesiones se llaman recurrentes.    Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término general y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión; por ejemplo, las sucesiones B y G.

Ejercicios de Autoevaluación: 1. Busca el término general de las sucesiones:

an: 5, 8, 11, 14,...bn: 580, 540, 500, 460, 420, ... cn: 4, 2, 1, 0'5, 0'25, ... dn: 1, 4, 9, 16, 25, ... en: 1, 10, 100, 10 00,...

SUMATORIA

La sumatoria es un símbolo muy utilizado en matemáticas que sirve para representar en forma abreviada la suma de los términos de una sucesión,es decir si: an= , entonces la suma de los términos se representa por:

Esto nos indica qué valores de la variable x se deben sumar. Para determinar cuáles son estos valores es necesario sustituir la i por los valores que se indican arriba y abajo del signo de sumatoria.

Esto se abrevia:

Por ejemplo:

 

En este caso la sumatoria representa X1 + X2 + X3 + X4

Si X1 = 2; X2 = 7; X3 = 4; X4 = 6

Entonces

 

Ejercicios:

Si X , x = 6, x = 2, x =8, x =10, x =4

Calcule:

a) = b) = c) = d)

Soluciones:

a) 35 b)13 c)20 d)24

2. Propiedades de la sumatoria

a) La propiedad distributiva de la suma indica que cuando se multiplica cada uno de los términos que componen una suma por la misma constante, es posible primero efectuar la suma de los términos y luego multiplicar el resultado por la constante.

Ejemplo:

9(2+7+4+6) = (9)2 + (9)7 +(9)4 + (9)6

= 18 + 63 + 36 + 54

= 171

9(2+7+4+6) = (9)19

= 171

Utilizando la sumatoria esta situación se representa de la siguiente manera

 

b. Sumatoria de una constante:

Si se aplica la sumatoria a una constante es lo mismo que sumar la constante a sí misma tantas veces como lo indique la sumatoria.

Ejemplo: Si C = 5

Como la suma del mismo número repetidas veces se puede representar por medio de la operación de multiplicación es posible indicar que si C es una constante entonces

c. Sumatoria de dos o más variables:

Si se aplica la sumatoria a una suma de dos o más variables el resultado es igual a la suma de las sumatorias de estas variables.

Ejemplo:

 

I X Y

1 2 5

2 3 -2

3 -1 0

4 1 1

 

La sumatoria es igual a:

(X1+Y1)+(X2+Y2)+(X3+Y3)+(X4+Y4) = X1+X2+X3+X4+Y1+Y2+Y3+Y4

(2+5)+[3+(-2)]+[(-1)+0]+(1+1) = 2+3+(-1)+1+5+(-2)+0+1

7+1-1+2 = 9

d.- , k 1

Ejemplo: Calculemos = [(1+2+3+4+5+6)-(1+2)]

3+4+5+6 = [(21)-(3)]

18 = 18

OTRAS PROPIEDADES:

e.-

f.-

g.-

Ejercicios de autoevaluación:

Calcule:

a) b) c) d) 6

e) f) g)

Soluciones:

a) 45 b)6 c)55 d)385 e)18150 f)100 g)14

Ejercicios de autoevaluación:

1.-Calcular el valor final de las siguientes expresiones:

a) = b) = c) =

donde x , y , representan dos variables relacionadas en la siguiente tabla:

10 15 21 24 29 32 34 41 46 50

12 13 23 28 31 30 25 24 14 6

Soluciones: a)10.660 b)4.920 c)6107

2.- Sea a= , Calcule la expresión:

,

donde x puede tomar los valores:12,13,18,25,32,41,52,63,71,92

Solución: 0

3.-SUCESIONES ESPECIALES

Progresiones Aritméticas     Las Progresiones Aritméticas son sucesiones en las que cada término se obtiene sumando una misma cantidad d -que puede ser positiva o negativa- al término anterior. Es decir:  an=an-1+d. La cantidad  d  que se va sumando se llama diferencia. Las sucesiones an y bn de los ejercicios anteriores son progresiones aritméticas de diferencias d=3 y d=-40  respectivamente.    Conociendo el primer término a1 y la diferencia de una progresión aritmética se calcula el término general de la sucesión por la siguiente fórmula:

    También es posible hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Para ello utilizamos la fórmula:

   Ejercicios: 2. Halla los términos a12 y b15 de las progresiones an y bn del ejercicio 1. 3. Halla la suma A12 de los 12 primeros términos de la progresión an  y  la suma B15  de los 15 primeros términos de la sucesión bn.

Progresiones Geométricas       Las Progresiones Geométricas son sucesiones en las que cada término se obtiene multiplicando por una misma cantidad r -que puede ser positiva o negativa- al término anterior. Es decir:  an=an-1.r. La cantidad  r  por la que se va multiplicando se llama razón. Las sucesiones cn y en de los ejercicios anteriores son progresiones geométricas de razón d=0'5 y d=10  respectivamente.    Conociendo el primer término s1 y la razón de una progresión geométrica se calcula el término general de la sucesión por la siguiente fórmula:

    También es posible hallar la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Para ello utilizamos la fórmula:

Ejercicios: 4. Halla los términos c8 y e7 de las progresiones cn y en del ejercicio 1. 5. Halla la suma C8 de los 8 primeros términos de cn y la suma E7 de los 7 primeros términos de en. A

Aplicaciones

Capitalización:    La operación que consiste en invertir o prestar un capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión o el préstamo, se llama Capitalización. Por el contrario, la operación que consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses se llama Amortización.

    Estudiaremos las leyes matemáticas que regulan las dos operaciones.

    El capital que se invierte se llama capital inicial C, el beneficio que nos produce se llama interés I y la cantidad que se recoje al final, sumando el capital y el interés, es el capital final, F. En la práctica, el interés se puede percibir dividido en periodos de tiempo iguales.

    El rédito R, o tanto por ciento es la cantidad que producen cien unidades -pesetas, euros, ... - del capital en cada periodo de tiempo. El tanto por uno i es la cantidad que produce una unidad en cada periodo. Se cumple: R = 100 . i.

    La capitalización puede ser simple o compuesta según que el interés no se acumule (simple) o se acumule al capital al finalizar cada periodo de tiempo (compuesta). En la capitalización simple el interés no es productivo y podemos disponer de él al final de cada periodo. En la compuesta, el interés es productivo -se une al capital para producir intereses en el siguiente periodo- pero no podemos disponer de él hasta el final de la inversión.

Capitalización simple.

    En la capitalización simple, el interés producido en todos y cada uno de los periodos de tiempo es el resultado de multiplicar el capital inicial por el tanto por ciento y dividir por cien; es decir, multiplicar el capital inicial por el tanto por uno: I = C . R / 100 = C . i . El capital final resulta al sumar el capital inicial y los intereses de todos los periodos.

    Si la inversión dura t periodos, para el cálculo del capital final se tienen las fórmulas: F = C + I.t = C + C.i.t = C (1 + i.t). Los sucesivos capitales forman una progresión aritmética cuyo primer término es C1=C y cuya diferencia es I. El capital final es el término de orden t+1 que se puede calcular con la correspondiente fórmula de las progresiones aritméticas: F=Ct+1=C1 + I.t.

Ejemplo.

Disponemos de 1.000.000 Ptas que invertimos al 5% anual simple durante tres años. Entonces, C = 1.000.000, R = 5% anual, i = 0,05 anual.

Fin del 1º año: I1= C.i=50.000 Fin del 2º año: I2=C.i=50.000 Fin del 3º año: I3=C.i=50.000 Capital Final: F=C+I1+I2+I3= 1.000.000+50.000 x 3 = 1.150.000 Ptas.

Utilizando la fórmula es más rápido: F=1.000.000x(1+0,05x3)=1.000.000 x 1,15=1.150.000

    La ventana que tienes a continuación te permite generar tus propios ejemplos. Debes rellenar o modificar las casillas correspondientes a los datos de la imposición: capital inicial, tipo de interés y número de años y pulsar el botón de introducir los datos. Obtendrás los intereses que recibirás cada año y los totales. Repite la actividad cuantas veces quieras introduciendo nuevos datos. Capitalización compuesta.     En la capitalización compuesta, el capital cambia en cada periodo, pues hay que sumar al capital anterior el interés producido en ese periodo. Designamos con C1 al capital inicial. El segundo capital C2 se obtiene sumando los intereses al primer capital: C2 = C1 + I1 . En el segundo periodo los intereses producidos I2

son mayores por ser mayor el capital C2 . Para el tercer periodo el capital es C3

= C2 + I2 . Y así sucesivamente. Designamos con Ck al capital en el periodo k e Ik el interés producido en ese periodo. Se tiene Ck = Ck-1+Ik-1. Pero como Ik = Ck.i, entonces Ck =Ck-1.(1+i).     Si la inversión dura t periodos, los sucesivos capitales se obtienen multiplicando siempre por el mismo número (1+i) y forman una progresión geométrica cuyo primer término es el capital inicial C1 y cuya razón es r = (1+i). El capital final es el término de orden t+1 de la progresión: F=Ct+1. Utilizando la fórmula para calcular los términos de una progresión geométrica obtenemos: F=C1.(1+i)t. Ejemplo 2.

Disponemos de 1.000.000 Ptas que invertimos al 5% anual compuesto durante tres años. Entonces, Capital inicial = C1 = 1.000.000, R = 5% anual, i = 0,05 anual.

Fin 1º año: I1 = C1.i = 1.000.000 x 0,05 = 50.000, C2 = C1+I1 = 1.000.000+50.000 = 1.050.000

Fin 2º año: I2 = C2.i = 1.050.000 x 0,05 = 52.500, C3 = C2+I2 = 1.050.000+52.500 = 1.102.500

Fin 3º año: I3 = C3.i = 1.102.500 x 0,05 = 55.125, Capital Final: F = C4 = C1+I1+I2+I3 = 1.000.000 + 50.000 + 52.500 + 55.125 = 1.157.625.

Utilizando la fórmula es más rápido: F = C1.(1+i)t = 1.000.000.(1+0,05)3 = 1.000.000 x 1,157625 = 1.157.625 Ptas.

Ejercicios:

1. Calcula los capitales finales que produce un capital inicial de 8.000 euros invertido al 3% anual al cabo de 6 años en las dos formas que hemos estudiado: capitalización simple y compuesta.¿Cuál es más rentable al final de los 6 periodos?Razona las ventajas e inconvenientes de ambos.

2. Un banco nos ofrece un rédito del 8% anual en capitalización simple. Disponemos de 500.000 Ptas. ¿Cuánto tiempo necesito para que sumando los intereses disponga de 1.000.000 Ptas?

3. El mismo ejercicio 2 pero con capitalización compuesta.

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

1.- En una PA el 5to término es 11/3, el 7mo es 7. Si tiene 13 términos calcular: a) el primero; b) el último c) la suma de los trece. Rta: a) -3 b) 17 c) 91

2.- En una PG el 8vo término es ¼ y el 9no 0,125. Si tiene 20 términos calcular: a) el primero; b) el último c) la suma de los veinte. Rta: a) 32 b) 1/214 c) 26 - 2-14

3.-Un joven ahorra cada mes $5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros sumarán $ 9330. Determinar

a) lo que ahorró el primer mes. b) lo que ahorró el último mes. Rta: a) $8   b) $303

4.-Un padre proyecta colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego? Rta: a) $131072 b) $262143 5.-Una máquina costó $ 9000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 15 % del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 5 años? Rta: $3993,35

6.- El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? Rta: 915527,34 7.-El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años? Rta: $3184,77

8.-Una ciudad tiene 600000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es 8 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de tres años? Rta: 755827,2

9.-El valor de una mercadería se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años? Rta $16137,58

10.-La población de una ciudad aumenta en 35 % cada 10 años. Si su población en 1940 era de 40000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000? Rta: 242137,8

11.-. Busca el término general de las sucesiones:

an: 5, 8, 11, 14,...bn: 580, 540, 500, 460, 420, ... cn: 4, 2, 1, 0'5, 0'25, ... dn: 1, 4, 9, 16, 25, ... en: 1, 10, 100, 1000, ...

TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

Se define:

= a

donde:

,

siendo n!=1.2.3.4.……….n , se lee “n factorial”

Ejemplo: Calculemos

=16 +4.24y+6.36y +4.54y +y

=16+ 96y +216y +216y

Calcule:

a)(2a-5b) = b)(3p+5) =

   

 10.- ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

OBJETIVOS:-Aplicar los conceptos básicos de la estadística-Calcular las medidas de posición y de dispersión -Calcular coeficientes de sesgo y curtosis-Representar estadigrafos en la calculadora y en el computador

N° de horas 26 horasCONCEPTOS BASICOS

1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.Comprende una descripción, esto es, resumir en forma adecuada un gran conjunto de

datos, así tenemos entonces que esta parte corresponde a la organización, recopilación, tabulación, representación de los datos de interés, ya sea mediante gráficos o tablas, además involucra la obtención de la información deseada, a estas medidas que resumen al gran conjunto de datos, recibe el nombre de Estadísticas o Estadígrafos.

2. POBLACIÓN Y MUESTRA.Población Estadística es el conjunto completo de posibles mediciones o registros de

algún rasgo cualitativo correspondiente a la colección completa de unidades para las que se harán inferencias. La población representa el objetivo de una investigación y por ende el objetivo de recolectar datos para obtener o extraer conclusiones referentes a ella. La muestra de una población es el conjunto de mediciones que realmente se obtienen en el curso de la recolección, por lo tanto corresponde a un subconjunto de la población.

3. CLASIFICACIÓN DE VARIABLE:Es cualquier característica que difiere de un miembro a otro dentro de una población

estadística. Puede tomar un valor cualquiera obtenido de un conjunto que constituye el dominio de la variable. Se representa por x,y,etc. Existen múltiples formas de clasificar variables, para nuestro estudio las categorías de Variables Continua y Variable Discreta son adecuadas al tipo de información numérica que se dispone:- Variable Continua; aquella que puede tomar cualquier valor comprendido en los Números

Reales. Estatura de una persona en metros, Valor de la UF, Valor del dólar.- Variable Discreta; aquella que puede tomar sólo valores en el conjunto de los Números

Enteros. Número de alumnos de un curso. Población humana

5.- DATOS, OBSERVACIONES, TAMAÑO DE LA MUESTRA

Es el conjunto de valores asociados o asignados a una variable.

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlos agrupados y ordenados en clases o categorías y determinar el número de individuos que pertenece a cada clase, llamado frecuencia de clase.

Una disposición tabular o tabla de datos junto con las correspondientes frecuencias de clase, se llama distribución de frecuencias (o tabla de frecuencias).

Para confeccionar estas tablas de frecuencias, debemos considerar los siguientes casos:

Caso 1: Si la variable que estamos midiendo es un tipo discreto (asumen valores de un conjunto finito), entonces podemos realizar la distribución en dos columnas, en la primera se anotan los valores de la variable y en la segunda el número de veces que se repite cada una.

Caso 2: Si la variable que estamos midiendo es de tipo continuo (pueden tomar cualquier intervalo determinado por los números reales), no tiene sentido él tabularla para cada una de las observaciones dado que es muy improbable que la variable bajo estudio tome el mismo valor durante el experimento. Dicho de otro modo cuando en una distribución de frecuencias haya muchos valores distintos de la variable conviene agruparlos en intervalos o clases.

Para hacer la agrupación se debe considerar:

a. Recorrido o campo de variación de la variable: es la diferencia entre el mayor y el menor valor que ella toma. Se designa por R.

b. Tamaño de los intervalos: decidir el número y tamaño de los intervalos. Dependen de la cantidad de datos de la muestra y de su recorrido.

El número de intervalos debe cumplir con dos condiciones: resumir la información y conservar el detalle de la muestra.

Ejemplo: CASO 1Los siguientes datos corresponden a los pesos de un grupo de 33 personas:

45 36 72 54 45 72 48 62 38 43 4864 43 36 54 72 64 60 70 38 64 60

70 48 72 62 72 48 54 64 70 43 60

Tabla de frecuencias: Peso N° de personas36 238 243 3

45 2 48 4 54 3

60 3 62 2

64 470 3

72 5

Ejemplo: Caso 2.Se tiene la información de los ingresos, mensuales, en miles de pesos, de un grupo

de 30 empleados. Obtenidos en una encuesta realizada en la vía publica.

154 178 150 166 182 175 163 175 150 162 152 155 161 165 160 159 160 168 162 162 163 155 157 161 162 155 167 164 165 158158 163 166 167 156 164 170 176 172 160

Podemos ordenar la información con relación a múltiples criterios de interés;i. podemos estar interesados en lograr 5 intervalos de agrupación.ii. nos puede interesar que la diferencia entre el ingreso mayor y menor de cada intervalo

sea 4.000 pesos.Cualquiera sea la ordenación debemos considerar el Rango como valor necesario para tener la distancia entre el valor máximo y el valor mínimo del recorrido de la variable. Rango = 182-150= 32 es decir Rango o Recorrido = Xmaximo- Xminimo

Si elige construir 5 intervalos se tiene 32 : 5 = 6,4 es decir la amplitud es de 6.400 pesos

Si el criterio hubiese sido dejar una amplitud de 4.000 se tiene 32.000 : 4.000 = 8 intervalos

Tabla de frecuencias:Intervalo N° de personas150-154 3154-158 6158-162 8162-166 11166-170 5170-174 2174-178 3178-182 2

Un criterio más universal para determinar él numero optimo de intervalos esta dado por la expresión Numero optimo de intervalos = tal que n es él numero de observaciones o tamaño de la muestra y el doble paréntesis es considerar la parte entera del numero obtenido.En nuestro caso Numero optimo de intervalos = =

= 5

TABLAS DE FRECUENCIAS.

Para facilitar el resumen de la información contenidas en las tablas de frecuencias, es necesario definir algunos conceptos:

1.INTERVALOS DE CLASES El símbolo que representa una clase, como el 150-154, en nuestro ejemplo, se llama intervalo de clase . Los números extremos 150 y 154 se llaman limite inferior de clase (150) y límite superior de clase (154).

2. MARCA DE CLASE: Es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene promediando los límites inferior y superior de clase.

3. FRECUENCIA O FRECUENCIA ABSOLUTA: fi , ni

Corresponde al número de veces que se repite un valor o una característica determinada, en

algunos casos corresponderán al número de valores comprendidos en un determinado intervalo.

Propiedad 1.

4. FRECUENCIA RELATIVA: Si se denota por a la variable bajo estudio y al número de veces que se repite dicha variable, la frecuencia relativa corresponderá a la expresión:

Propiedad 2. .

5. FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL: Corresponde a la frecuencia relativa multiplicada por 100.

Propiedad 3

6. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA: Ni Es la suma acumulativa termino a termino de las frecuencias absolutas. Propiedad 4. “Él ultimo termino de las frecuencias relativas acumuladas es n. 7. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA: Hi

Corresponde a la frecuencia absoluta acumulada partido por el total de observaciones.

Propiedad 5. “El ultimo termino de las frecuencias relativas acumuladas es 1”

Ejemplo: La tabla de los ingresos, si quisiéramos ordenar en una agrupación de 8 intervalos, luego de todas estas definiciones queda determinada por:

Intervalo de clase

Marca de clase

150-154 152 3 3 7,5%154-158 156 6 9 15 %158-162 160 8 17 20 %162-166 164 11 28 27,5%166-170 168 5 33 12,5%170-174 172 2 35 5 %174-178 176 3 38 7,5%178-182 180 2 40 5%

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Se dispone de la siguiente información sobre el número de personas activas en 25 familias.

a) indique que tipo de variable esb) indique el recorrido de la variablec) construya la tabla de distribución de frecuenciasd) con respecto a la tabla determine el número de familias que tienen más de 3 personas

activas.e) con respecto a la tabla determine el número de familias que tienen entre 2 y 4 personas

activas.

2. La última encuesta realizada a los trabajadores de una constructora determinó que sus ingresos en miles de pesos están dados por::220 110 230 135 285 310 250 180 330 129 125 135 140 150 230250 285 290 310 180 220 260 290 293 281 245 230 120 125 145

a) construya una tabla de distribución de frecuencias utilizando el criterio del SAS.b) Con respecto a la tabla diga cuantos trabajadores ganan sobre $250.000c) ¿ Cuantos trabajadores ganan entre $182.000 y $245.000d) ¿ Cuantos trabajadores ganan menos de $180.00

3. La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de los ingresos semanales de 65 empleados de la empresa XXX.

Ingresos nºde empleados

250.0-259.990 8260.0-269.990 10270.0-279.990 16280.0-289.990 14290.0-299.990 10300.0-309.990 5310.0-319.990 2

total 65

Determine de esta tabla:

. a. Número de trabajadores que ganan a lo mas $289.990b. Número de trabajadores que ganan entre $275.000 y $295.000c. Número de trabajadores que ganan menos de $260.000

4. En un negocio de ventas de frutos del país se examinó un lote de 25 cajas de manzanas. El número de manzanas en mal estado en cada caja fue:

4 1 2 1 2 2 5 2 1 2 3 0 4 2 3 2 0 2 1 3 4 1 2 0 1

a) construya una tabla de distribución de frecuenciasb) de acuerdo con la tabla anterior diga:

1- ¿cuántas cajas tienen menos de 3 manzanas en mal estado?2- ¿cuántas cajas tienen de 2 a 4 manzanas en mal estado?3- ¿qué % de cajas contienen al menos 3 manzanas en mal estado?4- ¿qué % de cajas tienen a lo más 2 manzanas en mal estado?5- ¿cuántas cajas contienen no más de 3 manzanas en mal estado?

6- ¿cuántas manzanas en mal estado hay en el lote?

5. Determine la veracidad de las siguientes relaciones:

REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.

1. HISTOGRAMAS: consiste en un conjunto de rectángulos con:a. bases en el eje X horizontal, centros en las marcas de clases y longitudes

iguales a los tamaños de los intervalos de clases.b. Áreas proporcionales a las frecuencias de clases.

Si los intervalos de clases tiene todos la misma amplitud las alturas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase, y entonces es costumbre tomar las alturas iguales a las frecuencias de clase.

2. POLIGONO DE FRECUENCIA: es un gráfico de trozos de la frecuencia de clase con relación a la marca de clase. Puede obtenerse conectando los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del histograma.

Ejemplo: Polígono e Histograma de la tabla de frecuencias de la altura.

Otra representación gráfica de las tablas de frecuencias es la OJIVA, la diferencia entre ésta y el Histograma o polígono de frecuencias es que la ojiva representa la distribución de frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de las fronteras de clase superiores respecto de dicha frontera.

EJERCICIOS DE APLICACION.

1.- Las cotizaciones de la bolsa de valores suelen contener el nombre de la compañía , las ofertas altas y bajas , el precio de las acciones al cierre y el cambio respecto al precio de cierre del día anterior. En seguida se da un ejemplo:

NOMBRE POSTURA ALTA POSTURA BAJA CIERRE CAMBIO Sistemas Asociados 11% 10% 11 1/4 +1/2

Indique si una distribución de a) Las acciones de la bolsa de valores en Nueva York por industria, b) Precios al cierre en determinado día, c) Cambios de precios en ciertos días es:1.- Cuantitativa o cualitativa.2.- Continua o discreta.3.- abierta o cerrada.¿Sería diferente su respuesta en c) si el cambio fuera expresado simplemente como "más alto", "más bajo" o "inalterado"?.

2.- Una cadena de neverías intenta conservar en inventario sus 55 sabores de helado en cada una de sus tiendas. Su director de investigación de mercado a firma que llevar mejores registros en las tiendas es al clave para evitar que se agoten las existencias. Damián Martínez, director de operaciones de los establecimientos , reúne datos aproximándolos hasta el medio galón más lo cercano a la cantidad de sabor de helado que se vende diariamente. En un día nunca se usan más de 20 galones de un sabora) Es contínua o discreta la clasificación de los sabores? ¿cerrada o abierta?.b) Es contínua o discreta la clasificación por cantidad de helado? ¿abierta o cerrada?.c) Son cualitativos o cuantitativos los datos.d) Qué recomendaría que hiciera el señor martínez para generar mejores datos

destinados a la Investigación de Mercado.

3.- Roberto Durán es el dueño y el que recoge los boletos en un transbordador que transporta personas y automóviles de Long Island a Connecticut. Cuenta con datos que indican el número de personas , y también de automóviles , que han sido trasladados en el transbordador durante los dos últimos meses, por ejemplo:

JULIO 3 NUMERO DE PERSONAS , 173 NUMERO DE AUTOS, 32

Puede ser un dato típico que Roberto anota diariamente. Ha creado 6 clases de igual espaciamiento para registrar el número diario de personas, y las marcas de clases son 84.5, 104.5, 124.5, 144.5, 164.5, y 184.5. Las 6 clases del Sr Durán para el número diario de automóviles tienen las marcas de clase 26.5, 34.5, 42.5, 50.5, 58.5, y 66.5,(las marcas de clase son los puntos medios de los intervalos).

a) Cuales son los límites superior e inferior de la clase para el número de personas.b) Cuales son los límites superior e inferior de la clase para el número de automóviles..

4.- Un agente de seguros tiene datos sobre la cantidad mensual de pólizas que vendió en los 3 últimos años . Sus datos los ha arreglado en al siguiente distribución de frecuencia:

VENTAS MENSUALES FRECUENCIA$1,000 - $1,149 11,150 - 1,299 31,300 - 1,449 61,450 - 1,599 41,600 - 1,749 81,750 - 1,899 91,900 - 2,049 3

2,050 - 2,199 2

a) Mencione al menos dos gráficos que utilizaría preferentemente en esta distribuciónb) Calcule la desviación media de la distribución.

5.- El administrador de un hospital a ordenado un estudio sobre el tiempo que un paciente espera antes de ser atendido por el personal de la sala de urgencia , los siguientes datos fueron reunidos durante una jornada típica:

TIEMPO DE ESPERA EN MINUTOS: 15- 13- 19- 23- 22- 5 - 15- 12- 28- 20.

a) Calcule el tiempo promedio de esperab) Calcule la amplitud y la desviación media de esta distribución.c) Interprete la situación anterior desde el punto de vista estadístico.d) Qué gráfico recomienda para presentar esta situación.

6.- En cada uno de los casos describa la población correspondiente , al objetivo inferencial y como determinaría la muestra.

a) Un Ingeniero Comercial, desea determinar la resistencia de rotura promedio de los envases de cartón para la leche que fabrica la Empresa.

b) Un representante del consejo de seguridad nacional, desea estimar la proporción de conductores que maneja en estado de ebriedad los fines de semana.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. PROMEDIO: es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como tales valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios se conocen como medidas de tendencia central.

Se definen varios tipos, siendo los más comunes, la media aritmética, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica. Cada una tiene ventajas y desventajas, según los datos y el objetivo perseguido.

2. MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO: la media aritmética de un conjunto de n números se denota por y se define por:

Si los datos provienen de una tabla de frecuencia, la media se calcula de la siguiente forma. Sean las marcas de clase de cada uno de los k intervalos, cada uno con

una frecuencia absoluta de, luego es:

Ejemplos:1. La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es:

Una desventaja de la media, es que es altamente influenciable por valores extremos, por lo que la media es recomendable cuando la variable tiene una distribución simétrica.

3. MEDIA ARITMETICA PONDERADA: A veces asociamos con los números ciertos factores de peso (0 pesos)

, dependientes de la relevancia asignada a cada número. En tal caso

se llama media aritmética ponderada.

Ejemplo: Si el examen final de un curso cuenta 3 veces más que una evaluación parcial, y un

estudiante tiene calificaciones de 85 en el examen y parciales de 70 y 90, su calificación media

es:

4. MEDIANA:Mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es o el valor

central o la media de los dos valores centrales.

Ejemplo:

a. El conjunto de números 3,4,4,5,6,8,8,8, y 10 tiene mediana 6, n = 9, numero impar de datos, la mediana es el valor central de la serie

b. El conjunto de números 5,5,7,9,11,12,15 y 18 tiene mediana , n = 8,

numero par de datos, la mediana es la media entre los valores centrales.

c. Para datos agrupados, la mediana obtenida por interpolación viene dada por

donde

Limite inferior de la clase mediana.

Ni-1 = frecuencia acumulada anterior a la del intervalo mediano ni = frecuencia de la clase de la mediana

C = amplitud de los intervalos del intervalo mediano. En este caso para aplicar la formula indicada será necesario, determinar el intervalo mediano previamente. O sea

5. MODA:La moda de un conjunto de observaciones es el valor numérico que ocurre con

mayor frecuencia, es decir, el valor más frecuente. La moda puede no existir, incluso no ser única en caso de existir.

Puede haber una distribución unimodal, bimodal o no existir Moda.

En el caso de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencias para ajustar los datos, la moda será el valor (o valores) de X correspondiente al máximo (o máximos) de la curva.

La moda puede deducirse de una distribución de frecuencias o de un histograma a partir de la fórmula

donde

Limite inferior de la clase modal

frecuencia anterior a la del intervalo modal

frecuencia siguiente a la del intervalo modal C = amplitud de los intervalos o del intervalo modal

En este caso será necesario determinar previamente el intervalo modal, que corresponde al intervalo que presenta la mayor frecuencia.

6. MEDIA GEOMETRICA:La media geométrica de un grupo de n observaciones se define

como la raíz enésima del producto de las observaciones:

En el caso de tablas de frecuencias la media geométrica va a ser:

en donde ; son las marcas de clases de los k intervalos, y los

, i=1,k, las frecuencias absolutas de cada una de ellas.

7. MEDIA ARMONICA (H):La media armónica de un conjunto de números , es el recíproco

de la media aritmética de los recíprocos de esos números.

Ejemplo: La media armónica de los números 2, 4 y 8 es

Puntos de división del recorrido de la variable

Existen múltiples puntos en el recorrido de la variable que dividen la muestra en puntos de características semejantes; cuartos, quintos, décimas partes y 100 partes los que respectivamente llamamos cuartiles, quintiles, deciles y percentiles, todos ellos corresponden a la idea general de los fractiles. Es posible determinar formulas particulares para cada uno de ellos, aunque todas se pueden reducir a la formula del percentil al establecer las equivalencias en el siguiente modo.CUARTILES: Corresponden a medidas que dividen a la muestra ordenada en 4 grupos de igual tamaño.

Denotemos por el cuartil i-ésimo con i=1,2,3. Es decir 4 partes del total con tres puntos de división del total del recorrido.

DECILES: Son aquellas medidas que dividen a la muestra ordenada en 10 partes de igual tamaño. Denotadas por la letra , .Es decir 10 partes del total con 9

puntos de division del total del recorrido.

PERCENTILES: Son aquellas medidas que dividen a la muestra ordenada en 100 partes iguales dejando en cada una de ellas igual número de elementos. Denotada por , .

Su fórmula para datos tabulados es: tal que

Pp es el rango del percentilLi es él limite inferior del intervalo percentilicoC es la amplitud de los intervalospn es la expresión porcentual del percentil Ni – 1 frecuencia acumulada anterior al intervalo percentilico

Así: Q1 = P25, Q2 = P50 = Me = D5 etc.

En síntesis podemos usar para toda necesidad de puntos de división la formula de los percentiles.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

6. Para estudiar el consumo de cierto producto por una población, se dividió la muestra en dos estratos A y B, cuyos datos se indican en las tablas siguientes:

Estrato A Estrato BX - X' n X -X' n

50-100 10 100-150 5100-150 15 150-200 15150-200 18 200-250 20200-250 20 250-300 15250-300 10

Calcule a) media de cada estratob) media general o estratificadac) varianza por estratod) varianza general o estratificada

R. a) de A es 178,42 de B es 215,91 b) 194,53 c) V(A)=3926,63 V(B)=2190,08 d) 3524,89

7. En el país A el ingreso per capita es de US$4.000 y la desviación típica US$50. En el país B se tiene el mismo ingreso por persona, pero la desviación estándar es US$200. ¿En qué país es más uniforme la distribución del ingreso? R. en el país A, ya que el coeficiente de variación es de un 1,25%.

8. La distribución incompleta corresponde a la recaudación de impuestos de 40 contribuyentes. (recaudación de impuestos en miles de pesos).

Ni Hi Ni Hi

50- 5-

- 110 0,275- 8 0,825-

a) reconstruya la tabla de distribuciónb) calcule la recaudación promedioc) Suponga que esta recaudación de impuesto corresponde a contribuciones

puntuales y que la próxima recaudación se regirá por la fórmula. ¿Cuál es la nueva recaudación promedio según ?

d) Considerando la recaudación primitiva;i- ¿cuál es la recaudación correspondiente a ?

ii- ¿cuál es la recaudación correspondiente al ?iii- ¿bajo que recaudación están el 20% de las recaudaciones menores?iv- ¿sobre que recaudación está el 20% de las recaudaciones mayores?v- ¿qué orden de percentil representa la recaudación $108.000?

9. De una tabla de distribución simétrica de frecuencias de una variable estadística continua, sólo se tiene la siguiente información;

a) Complete la tabla de distribución, suponiendo uniforme la amplitud de los intervalos.

b) Calcule; media, mediana, moda. ¿Cómo son los valores entre sí?c) si la variable se incrementa en un 18% más de US$1500. Calcule la nueva media

10. En una distribución simétrica de 7 intervalos de igual tamaño, se sabe que;

a) complete la tabla de distribución de frecuenciab) calcule

11. En una distribución simétrica de 7 intervalos de igual tamaño, se sabe que;

c) complete la tabla de distribución de frecuenciad) calcule e) calcule; Me(y), Mo(y), promedio

R. a)

5-15 10 8 0,04 8 0,0415-25 20 20 0,10 28 0,1425-35 30 42 0,21 70 0,3535-45 40 60 0,30 130 0,6545-55 50 42 0,21 172 0,8655-65 60 20 0,10 192 0,9665-75 70 8 0,04 200 1,00

c) Me(y)=40 Mo(y)=40 promedio=40

MEDIDAS DE DISPERSION

La dispersión se relaciona con la mayor o menor concentración de datos en torno a un valor central generalmente el promedio o media.

Existen varias medidas de dispersión.

RANGO:

El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de ellos.

DESVIACIÓN MEDIA:

La desviación media de un conjunto de N números es denotada por MD y se define como:

donde: es la media aritmética de los números

= es el valor absoluto de la desviación de respecto de

DESVIACION ESTANDAR:

La desviación estándar de un conjunto de n números se denota por S , y otras expresiones, se define:

si los datos provienen de tablas de frecuencias entonces

donde: marca de clase de cada intervalo

frecuencia absoluta de cada intervalon = número total de observaciones

VARIANZA:

La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar.

=

COEFICIENTE DE VARIACION:

Sirve para comparar, en terminos relativos, la dispersión de los datos respecto al promedio entre grupos de distintas medidas, es adimensional y se define como:

.100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EVALUADO GRUPALMENTE

1.-Un fabricante de tubos de televisión produce dos tipos de tubos , A y B , los que

tienen vidas medias respectivas de 1495 y 1875 horas y una desviación estándar de

280 y 310 horas ¿Qué tubo tiene una distribución de duración más homogénea?

2.-Un fabricante de envases de cartón produce tres tipos de cajas para envasar leche

líquida . La resistencia de cada tipo de caja se prueba tomando como muestra 100 cajas

y determinando la magnitud de la presión necesaria para romper cada una de ellas .Los

resultados se entregan en la siguiente tabla:

Tipo de caja: A B C

Presión de rotura promedio 150 160 170

Desviación estándar de las 40 50 60

presiones de roturas

¿Cuál envase es más confiable y porqué?

MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS

I.- MOMENTOS: Si son los n valores de la variable X, se define la cantidad

llamada r-ésimo momento .

El primer momento, con r=1, es la media aritmética .

El r-ésimo término respecto de la media se define como

Si r=1, entonces

Si r=2, entonces , la varianza.

El r-ésimo momento respecto de cualquier origen A se define como

donde son las desviaciones de X con respecto de A.

II.- MOMENTOS PARA DATOS AGRUPADOS:

SI ocurren con frecuencias , respectivamente, los momentos anteriores vienen dados por

donde

Las fórmulas son adecuadas para calcular momentos en datos agrupados.

III.- MOMENTOS ADIMENSIONALES:

Para evitar unidades particulares, podemos definir momentos adimensionales respecto de la media como

donde es la desviación típica.

Ya que , se tiene

IV.- SESGO

Sesgo se define como el grado de asimetría de una distribución, es decir, cuando se aparta de la simetría.

Si la curva de frecuencia de una distribución se presenta como;- a la derecha tiene una cola más larga que a la izquierda, se dice, sesgada a la derecha

o de sesgo positivo.- sesgada a la izquierda o de sesgo negativo si la cola es más larga a la izquierda.

Una importante medida del sesgo usa el tercer momento respecto de la media expresada en forma adimensional y viene dado por

Si a3 > 0 , La curva tiene sesgo positivo Si a3 = 0 , La curva tiene simetria perfecta Si a3 < 0, La curva tiene sesgo negativo. si la curva es simétrica también se usa , para curvas perfectamente simétricas.

V.- CURTOSIS:

Mide cuán puntiaguda es una distribución, en referencia a la norma. Si el monte es alto, se dice leptocúrtica. si es aplastada se dice platicúrtica. si no es ni muy

puntiaguda ni muy aplastada se llama mesocúrtica. una medida de curtosis utiliza el cuarto momento respecto de la media en forma

adimensional, dada por

que se puede denotar por

Si a4 < 3 , La curva es Platicurtica Si a4 = 3 , La curva es Mesocurtica Si a4 > 3 , La curva es Leptocurtica.

EJERCICIOS DE APLICACION

12. En una distribución simétrica de 5 intervalos, de amplitud constante, se tiene la siguiente información:

a) complete la tabla de distribuciónb) construya un gráfico para frecuencia absoluta y absoluta acumuladac) ¿qué valor deja sobre sí al 38% de las observaciones?d) ¿qué valor deja bajo si al 62% de las observaciones?e) Calcule; Me(y), Mo(y), promedio.

13. Los sueldos que paga una empresa a sus empleados, en miles de US$ anuales, están dados por;

14.000-15.000 515.000-16.000 716.000-17.000 817.000-18.000 618.000-19.000 519.000-20.000 420.000-21.000 321.000-22.000 2

La empresa propone al personal dos posibles arreglos de negociación:

Arreglo(1)

Arreglo(2)a) ¿cuál es el nuevo sueldo promedio según el arreglo (1)?b) ¿qué cantidad de ingresos quedan por bajo del ingreso medio, según el arreglo

?

c) de qué montos son los ingresos correspondientes al 50% de los ingresos centrales?

d) ¿a que monto corresponde el ingreso de mayor frecuencia?e) ¿qué condición deben cumplir los sueldos primitivos para que les convenga el

arreglo (2)?

14. Se dispone de la siguiente información sobre el consumo de un producto envasado en latas. Se encuestó a un grupo de 20 familias y se interrogo ¿cuántas unidades de este producto, mensualmente, consume su grupo familiar?

2 2 4 4 3 2 5 1 2 0 1 0 5 3 3 5

Calcule los siguientes estadígrafos; media, varianza y desviación típica.R.. 2,3 2,7556

1,66

15. Para la tabla de distribución siguiente, se pide calcular e interpretar el coeficiente de asimetria por la fórmula de los momentos:

Intervalo frecuencia60-66 466-72 672-78 778-84 1184-90 890-96 4

R: -0,192 asimétrica negativa

16. Se tiene la siguiente información respecto de una tabla de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud:Y= 35,3 Me = 35 h1=0,10 h3=0,4 h4= 0,35 H5=0,98Determinar:a. El coeficiente de asimetria R: 0,161b. El coeficiente de curtosis e interpretelo R: 0,281; mesocúrtica

17. Una compañía tiene 100 trabajadores profesionales; para los nombrados el haber básico es de 450 u.m. y el mínimo de 60 u.m. mensuales. Hay un 5% de practicantes que trabajan ad-honoren o perciben compensaciones inferiores a 60 u.m.; 15 profesionales nombrados perciben haberes inferiores a 250 u.m.; el 85% de los profesionales tienen haberes inferiores a 250 u.m.Con esta información, calcule:a. El coeficiente de asimetía e interpretelo R: -0,000087 asimétrica

negativab. El coeficiente de apuntamiento e interpretelo R: 0,197

Platicúrtica

18. En un grupo de empresas se tiene la siguiente información;

- ninguna empresa tiene más de 7 empleados o menos de 5 empleados- la mayoría tiene 5 empleados- el 25% de las empresas tiene 6 empleados- una de cada 10 empresas tiene 7 empleados.

a) construya la tabla de distribución de frecuencias absolutas y relativasb) Construya un gráfico circular para la frecuencia relativa.

Rp.:

5 0,656 0,257 0,10

19. Los gastos en publicidad, por medios de difusión en cierto país en el año 2000 fueron los siguientes(en millones en pesos)

Medio de Difusión Cantidad Vendida

Periódicos 4936Revistas 1061

Televisión 2853Correo 2548Internet 839Radio 1128Otros 941

Construya un gráfico de sectores y un gráfico de barras

20. Los sueldos que paga una empresa a sus empleados, en miles de US$ anuales, están dados por;

14.000-15.000 515.000-16.000 716.000-17.000 817.000-18.000 618.000-19.000 519.000-20.000 420.000-21.000 321.000-22.000 2

Con respecto a la información anterior: a. Construya un histrograma de frecuencias b .¿ Qué observa en el histograma respecto a los datos que no captó de inmediato en la distribución de frecuencias? c. Construya una ojiva que le ayude a contestar las siguientes preguntas: d. Aproximadamente qué proporción de los trabajadores gana más de 18.500 dólares e. ¿Aproximadamente cuánto gana el trabajador “medio” de la muestra

21. Los siguientes datos corresponden a la distribución de los pesos en kilos de 200 lingotes de acero fabricados por cierta siderúrgica

5-15 10 8 0,04 8 0,0415-25 20 20 0,10 28 0,1425-35 30 42 0,21 70 0,3535-45 40 60 0,30 130 0,6545-55 50 42 0,21 172 0,8655-65 60 20 0,10 192 0,9665-75 70 8 0,04 200 1,00

Con relación a la información anterior, graficar: a. Polígono de frecuencias absolutas y relativas b. Histograma de frecuencias c. Polígono de frecuencias acumuladas u ojivas

22. En una industria donde trabajan 130 obreros, el salario medio alcanzó a los 6500 pesos diarios. ¿Qué sucede con este promedio si:

a) se aumentan todos los salarios en 500 pesos.b) Se aumentan los salarios en un 15%c) Se aumentan los salarios en un 5%, más 600 pesos.

R. a) 7000 b) 7475 c) 7425

23. En un examen de estadística, se obtuvo un promedio general de 4,951. El curso del turno A tuvo una media de 5,2; los 17 alumnos del curso del turno C obtuvieron un promedio de 4,6. ¿Cuántos alumnos hay en el curso del primer turno?

R. 24

24. En una muestra de 20 vehículos de una empresa, se observó que los años de utilización práctica de ellos fue:

10 6 13 7 12 13 10 7 12 6 12 10 6 13 12 7 13 12 6 10

a) Confeccione la tabla de distribución de frecuencias, sin intervalos.b) ¿A lo más cuanto tiempo de utilización presenta el 50% de los vehículos ordenados

de menor a mayor tiempo?c) ¿Cuál es el tiempo modal en la utilización de estos vehículos?

R. b) 10 años c) 12 años

25. En una fabrica de tres secciones se sabe que en la sección A, con 120 empleados, la asistencia media anual es de 240 días, en la sección B, que tiene 180 empleados, la asistencia media anual es de 216 días. Si la asistencia media en la fabrica es de 226,25 días al año. Determine cuantos empleados hay en la sección C cuya asistencia media es de 230 días al año.