Capítulo 1

Lógica Matemática

La lógica es el estudio de los métodos y principios que nos permiten distinguir el

razonamiento correcto del incorrecto, y de manera muy general podemos decir que la

lógica matemática nace de aplicar a la lógica los métodos de la matemática; para tal

propósito comenzamos adoptando un simbolismo adecuado para representar los

argumentos verbales por formulas, en las que se pone en evidencia las estructuras

lógicas.

1.1. ProposicionesUna proposición es una oración que cumple con las siguientes condiciones:

a. Es gramatical: Una oración es gramatical cuando está correctamente formada con

respecto a las reglas propias del idioma y que además tiene sentido, o sea expresa

algo comprensible.

Por ejemplo no son oraciones gramaticales las siguientes:

Eres estado grosero con María

Su terno es elegante mucho

En cambio si son oraciones gramaticales:

Hoy va a llover

Esta película ha sido muy interesante

b. Es declarativa: Una oración es declarativa cuando puesta en lugar de los puntos en

¿Es verdad que……? producen una pregunta que a su vez es gramatical1.

Por ejemplo son oraciones declarativas las siguientes:

Los gatos son reptiles

Carmen es más simpática que Lucia

En cambio no son oraciones declarativas:

Haz tu deber

Que dios me ayude

c. Es objetiva: Una oración es objetiva cuando su valor de verdad es el mismo para

todos, es decir, su valor de verdad no depende de quien juzgue.

Por ejemplo no son oraciones objetivas las siguientes:

Tu abuelo es más bueno que el mío

Loja es una linda ciudad

En cambio son oraciones objetivas:

Tu abuelo es más viejo que el mío

Loja es una ciudad más extensa que Ambato.

Ejemplos.

Son ejemplos de proposiciones las siguientes oraciones

Quito es la capital del ecuador

El número 5 es par y el número 8 es impar

El gallo es un mamífero

Nota. Una proposición se llama simple o atómica cuando no contiene ninguna otra

proposición; en caso contrario se dice compuesta.

Son proposiciones simples las siguientes:

Quito es la capital del ecuador

El gallo es un mamífero

1 Una oración declarativa se diferencia de otras oraciones por tener un valor de verdad, esto es por ser lo que expresan verdadero o falso.

2

Son proposiciones compuestas las siguientes:

El número 5 es par y el número 8 es impar

Si el número 24 es divisible por 3 y por 2, entonces es divisible por 6

El número 15 es par o es impar

Nota. A fin de conseguir los resultados de una manera general y al mismo tiempo más

ágil, emplearemos letras y símbolos que sean abreviaciones de proposiciones no

especificadas. Así, diciendo que o también son

proposiciones, entenderemos que representan proposiciones cualquiera.

Definición. Se dice que la proposición A tiene el valor de verdad V si A es verdadero y

que tiene el valor de verdad F si A es falso.

Definición. Se llama estructura de las proposiciones todas las

asignaciones de valores de verdad V y F de estas proposiciones.

Nota. Una proposición A tiene dos estructuras, representadas por el diagrama:

AVF

Dos proposiciones A, B tienen cuatro estructuras, representadas por el diagrama:

A BV VV FF VF F

Tres proposiciones A, B, C tienen ocho estructuras, representadas por el diagrama:

A B CV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

3

Añadiendo cada vez un enunciado, el número de estructuras se duplica, así que 4

proposiciones tienen 16 estructuras, 5 proposiciones tienen 32 estructuras y en general

proposiciones tienen estructuras.

1.2. Conectivos LógicosComo se ha dicho anteriormente una proposición puede ser simple o compuesta,

entendiéndose por compuesta aquella proposición que contiene más de una proposición

simple. Así, si tenemos varias proposiciones simples, de estas podemos formar

proposiciones compuestas valiéndose de los llamados conectivos lógicos.

Definición. Se llama conectivo lógico a cualquier vocablo o vocablos que se utilizan

para conectar proposiciones simples en una proposición compuestas.

Los conectivos lógicos más utilizados son los siguientes:

Negación

Conjunción

Disyunción

Implicación

Equivalencia

Nota. Como se indico anteriormente la introducción de símbolos para el estudio de las

proposiciones vuelven este más general y ágil; para el caso de los conectivos lógicos la

simbología es la siguiente:

Conectivo Símbolo

Negación

Conjunción

Disyunción

Implicación

Equivalencia

4

Definición. Se llama negación de la proposición A la proposición (se lee no A) que

sea:

Falsa si A es verdadera,

Verdadera si A es falsa

Esto lo representamos con el siguiente diagrama:

AV FF V

Llamado tabla de verdad de la negación.

Nota. Al símbolo corresponde en castellano a la palabra no, que tiene la función

lingüística de cambiar el valor de verdad de una proposición. Por ejemplo, si:

Está lloviendo

Es verdadero, entonces:

No está lloviendo

Es falsa y si la primera proposición es falsa, esta última es verdadera.

Definición. Se llama conjunción de las proposiciones A y B la proposición (se

lee A y B) que sea:

Verdadera si A y B son verdaderas

Falsa si A o B o ambas sean falsas

Esto lo representamos con el siguiente diagrama:

A BV V VV F FF V FF F F

Llamado tabla de verdad de la conjunción.

Nota. Al símbolo corresponde en castellano la palabra y, cuando ésta tiene la función

lingüística de afirmar que se cumplen dos hechos. Por ejemplo, la proposición:

Rodrigo y Silvia viajaron a Francia

Resulta verdadera cuando las proposiciones:

Rodrigo viajo a Francia

Silvia viajo a Francia

Son ambas verdaderas y resulta falsa cuando al menos una de estas es falsa.

5

Definición. Se llama disyunción de las proposiciones A y B la proposición (se

lee A o B) que sea:

Verdadera si A o B o ambas sean verdaderas

Falsa si A y B sean falsas

Esto lo representamos con el siguiente diagrama:

A BV V VV F VF V VF F F

Llamado tabla de verdad de la disyunción.

Nota. Al símbolo corresponde en castellano la palabra o cuando ésta tiene la función

lingüística de afirmar que se cumple al menos uno de dos hechos. Por ejemplo, la

proposición:

El señor Méndez es un abogado o un deportista

Resulta verdadera cuando al menos una de las proposiciones:

El señor Méndez es un abogado

El señor Méndez es un deportista

Es verdadero y resulta falsa cuando estas dos son falsas.

Definición. Se llama implicación con antecedente la proposición A y consecuente la

proposición B a la proposición (se lee si A entonces B) que sea:

Falsa si A es verdadera y B falsa

Verdadera en los demás casos

Esto lo representamos con el siguiente diagrama:

A BV V VV F FF V VF F V

Llamado tabla de verdad de la implicación.

Nota. Al símbolo no le corresponde ninguna palabra castellana. Las que más se

aproximan son si , entonces e implica que tienen la función lingüística de afirmar

que se cumple un hecho a condición que se cumpla otro hecho. Por ejemplo:

6

Si Luís está enfermo, entonces llamo al médico

Que los precios suben implica que las ventas bajan

Generalmente, quien afirma: Si A, entonces B o A implica B, desconoce el valor de

verdad de A y de B, pero tiene motivos para creer que cuando A es verdadera también B

resulta verdadera, o sea que no puede darse que A es verdadera y B falsa. Eso es

equivalente a considerar que cuando A es verdadera, la conjunción es falsa,

luego que su negación es verdadera. Consideremos las dos estructuras de

A, B en donde A es verdadera y determinemos los valores de verdad de

A B

V V VV F F

Estos valores son los mismos de la implicación y eso corresponde exactamente a lo que

pasa cuando se hace una afirmación condicional: se la acepta o se la rechaza según que

se cumpla o no se cumpla el hecho expresado por el consecuente, una vez que se de por

cumplido el hecho expresado por el antecedente.

La implicación que hemos definido es una extensión del uso común de las afirmaciones

condicionales, en el sentido que su tabla de verdad brinda los valores de verdad de

respecto a todas las estructura de A, B:

A B

V V VV F FF V VF F V

Por consiguiente la implicación se diferencia de las afirmaciones condicionales que

normalmente se hacen, por emplearse también cuando el antecedente es falso.

Definición. Se llama equivalencia de las proposiciones A y B a la proposición

(se lee A si y solo si B) que sea:

Verdadera si A y B tienen el mismo valor de verdad

Falsa si A y B tienen valores de verdad distintos

7

Esto lo representamos con el siguiente diagrama:

A BV V VV F FF V FF F V

Llamado tabla de verdad de la equivalencia.

Nota. Al símbolo no corresponde ninguna palabra castellana. Las que más se

aproximan son precisamente si, exactamente si y condición necesaria y suficiente,

ésta última expresión se utiliza a menudo en matemáticas. Ellas tienen la función

lingüística de afirmar que se cumple un hecho a condición que se cumpla otro hecho y

que éste efectivamente se cumple a condición que se cumple el primero. Por ejemplo, la

proposición:

Llamo al médico precisamente si Luís está enfermo

Declara que yo llamo al médico en el caso en que Luís esté enfermo y que

efectivamente Luís está enfermo en el caso en que yo llame el médico.

1.3. Tablas de verdad de las proposiciones compuestasEl valor de verdad de una proposición compuesta en donde ocurran solamente los cinco

conectivos lógicos definidos anteriormente queda determinado a partir del valor de

verdad de los conectivos. El diagrama en donde se indican los valores de verdad de la

proposición respecto a todas las estructuras de sus enunciados componentes, se llama

tabla de verdad de la proposición compuesta.

Para determinar la tabla de verdad de una proposición compuesta A se siguen los

siguientes pasos:

1. Se escriben todas las posibles combinaciones de valores de verdad que pueden

tomar las proposiciones simples. Si en la proposición participan n proposiciones

simples, entonces, como se indico anteriormente, hay combinaciones de valores

posibles

2. Se enumeran cada una de las operaciones a efectuarse en orden creciente de

complejidad

8

3. Se efectúan las operaciones considerando los valores de verdad obtenidos en los

pasos anteriores

4. La columna que queda bajo la proposición compuesta que está siendo analizada

contiene los valores de verdad buscados.2

Ejemplos.

Hallar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

p q

V V F F F V F VV F F V F V F VF V V F F V F VF F V V V F V V

p q r

V V V F V V V F V VV V F F V F F V V VV F V V V F F F F FV F F V V V V V V VF V V F F V F F V VF V F F F F F V V VF F V V V F F F V Vf F F V V V V V V V

2 Normalmente para realizar las operaciones indicadas en la parte dos se debe tomar en cuenta los paréntesis y el orden jerárquico de los conectivos lógicos. Este orden jerárquico es el siguiente: La negación es el conectivo lógico con más fuerza La conjunción y la disyunción tiene el mismo nivel jerárquico La implicación y la equivalencia tiene el mismo nivel jerárquico y son los que menos fuerza tiene Los paréntesis son signos de agrupación que nos indican que las operaciones contenidas en estos se

tienen que efectuar primero Finalmente si se hallan conectivos lógicos del mismo nivel jerárquico y no existen paréntesis se tiene

que efectuar las operaciones de izquierda a derecha.

9

1.3.1. Tautologías y contradiccionesDefinición. Una proposición A se llama tautología si resulta verdadero con respecto a

todas las estructuras de las proposiciones simples que la constituyen.

Ejemplos.

Las siguientes proposiciones son tautologías:

Ejercicio. Comprobar que los ejemplos de anteriores son efectivamente tautologías

Definición. Una proposición A se llama contradicción si resulta falsa con respecto a

todas las estructuras de las proposiciones simples que la constituyen.

Nota. Si una proposición A es una tautología entonces su negación resulta una

contradicción y si una proposición es una contradicción entonces su negación es una

tautología.

Ejercicios. Comprobar que la negación de las proposiciones del ejemplo anterior son

contradicciones.

1.4. CuantificadoresMuchas veces interesan afirmaciones que dependen de una o más variables. Por

ejemplo, la afirmación “n es un número par” depende del valor que toma n. Para ciertos

valores de n esta resulta verdadera mientras que para otros resulta falsa.

Definición. Se llama función proposicional en la variable x a toda oración que contiene

x y tal que al reemplazar x por un valor particular lo que se consigue es una proposición.

Son ejemplos de funciones proposicionales las siguientes oraciones:

x lee las huellas de dios

x es un número primo

10

x más 7 es igual a 14

Nota. El contexto de una función proposicional indica cual es el rango de variabilidad

de x. Así, en el ejemplo anterior el rango de variabilidad de x abarca los seres humanos,

mientras que en el segundo y tercer ejemplo este rango es numérico. Naturalmente una

función proposicional no es una proposición.

Una función proposicional se simboliza con , las funciones proposicionales

anteriores se simbolizarían del siguiente modo:

: x lee las huellas de dios

x es un número primo

x más 7 es igual a 14

Nota. Las funciones proposicionales están ligadas a dos tipos de proposiciones que se

encuentran frecuentemente:

La función proposición es verdadera para todos los x de su rango de

variabilidad.

La función proposición , es verdadera solamente para algunos x de su rango de

variabilidad.

Estos tipos de proposiciones se escriben con la ayuda de los llamados cuantificadores, el

cuantificador universal en el primer caso y el cuantificador existencial en el segundo.

Definición. Se llama cuantificador universal ligado a la función proposicional a la

proposición (se lee para todo x ) que es verdadero si la función

proposición es verdadera para todos los x de su rango de variabilidad

Nota. Al símbolo corresponde en castellano la frase para todo cuando ésta tiene la

función lingüística de afirmar que se cumple el hecho expresado por la función

11

proposicional en todo el rango de variabilidad de x. Por ejemplo, la proposición

es verdadera en todo el rango de variabilidad de x3.

Definición. Se llama cuantificador existencial ligado a la función proposicional a

la proposición (se lee existe un x tal que ) que es verdadero si la función

proposición es verdadera para algunos valores de x en su rango de variabilidad

Nota. Al símbolo corresponde en castellano la frase existe o hay un cuando ésta

tiene la función lingüística de afirmar que se cumple el hecho expresado por la función

proposicional en una parte del rango de variabilidad de x. Por ejemplo, la

proposición es verdadera para algunos valores de x en su rango de

variabilidad4.

Para terminar este capítulo mencionamos que la negación de proposiciones que

contengan cuantificadores, universal y existencial, se la tiene que realizar siguiendo el

siguiente esquema:

3 En este ejemplo está sobre entendido que la función proposicional es 4 En este ejemplo la función proposicional es

12

Capítulo 2

Conjuntos

La mente humana posee una gran inclinación a reunir o agrupar. En lugar de ver a cinco

estrellas juntas como cinco objetos separados, las personas tendemos a verlas como un

grupo o conjunto de estrellas reunidas. Vemos, pues, que la mente trata de encontrar

orden y patrones.

En matemática, esta tendencia de agrupar se representa con la idea de conjunto. Un

conjunto es un grupo o colección de objetos5. Los conjuntos aparecen en matemáticas

en muchas formas; por ejemplo, cuando agrupamos todas las soluciones de un problema

dado, o tal vez todos los números que tienen un significado en una situación dada.

Las ideas básicas de la teoría de conjuntos fueron desarrolladas hacia 1875 por el

matemático alemán Georg Cantor (1845 – 1918). Algunas de las cosas que el demostró

se contrapusieron a creencias matemáticas aceptadas en su época. La ideas polémicas

rara vez son bien aceptadas, y esto era especialmente así en la década de 1870. Las ideas

básicas de Cantor se describirán con mayor detalle en este capítulo.

5 En esta introducción estamos utilizando la idea intuitiva de lo que es un conjunto, un desarrollo más sofisticado de la teoría de conjuntos se lo puede hallar en cualquier tratado de matemática pura.

2.1. Conceptos BásicosLa palabra conjunto se describió antes como una reunión de objetos. La idea de

conjunto, o colección, también sugiere muchas otras palabras, tales como grupo o

reunión. Los objetos pertenecientes al conjunto reciben el nombre de elementos o

miembros del conjunto.

Los conjuntos se expresan, por lo menos, de las dos maneras siguientes:

1. Por extensión. Cuando se lista todos los elementos del conjunto, por ejemplo el

conjunto esta expresado por extensión.

2. Por comprensión. Cuando se describe una propiedad que deben cumplir todos y

solamente los elementos del conjunto, por ejemplo el conjunto

esta expresado por comprensión6.

Nota. Un conjunto dado puede denotarse de manera más conveniente por un método

que por otro, pero la mayoría de conjuntos puede expresarse por cualquiera de los dos

métodos.

A los conjuntos, por lo general, se les da nombres (usualmente letras mayúsculas), de

modo que fácilmente se pueda hacer referencia a ellos en un análisis posterior. Por

ejemplo, si A se selecciona como un nombre para el conjunto de los números naturales

menores que 18, podemos escribir .

En muchos casos, la natación por extensión puede ser abreviada, estableciendo con

claridad el patrón de los elementos incluidos, y utilizando tres puntos para indicar una

continuación de patrón. Así, por ejemplo, .

Nota. Consideremos el siguiente conjunto ,

después de pensar un momento, nos daremos cuenta que no hay números naturales entre

8 y 9, de modo que este conjunto no tendrá elementos. Dicho conjunto lo llamaremos

6 En las notaciones de extensión y comprensión, las llaves al principio y al final indican que estamos pensando o nos referimos a un conjunto, otros símbolos de agrupamiento, tales como los paréntesis o corchetes, no se utilizan en la notación de conjuntos. Además cuando se expresa un conjunto por extensión, las comas son esenciales, otros separadores como el punto y coma o los dos puntos, no se utilizan en la notación de conjuntos.

14

conjunto vacío y lo notaremos con el siguiente símbolo . Es importante tener en

cuenta que el conjunto vacío no está denotado por ya que dicho conjunto denota a

un conjunto que posee un elemento (ese elemento es el conjunto vacío).

Los conjuntos numéricos que con mayor frecuencia se utilizan son los siguientes:

El conjunto de los números naturales

El conjunto de los números enteros

El conjunto de los números racionales

7

El conjunto de los números reales 8

Para que un conjunto sea útil, debe estar bien definido. Esto quiere decir que dados un

conjunto particular y algún elemento particular, debe ser posible decidir si el elemento

pertenece o no al conjunto. Por ejemplo el conjunto E de las letras del alfabeto

ecuatoriano esta bien definido. Si alguien nos da la letra t, sabemos que t es un elemento

de E, si alguien nos da la letra griega (pi) sabemos que no es un elemento de E.

Sin embargo, dado el conjunto C de todas las personas delgadas y una persona en

particular Gino, no es posible decir si:

Gino es un elemento de C

o

Gino no es un elemento de C

El problema es la palabra delgado ¿qué tan delgado es delgado?. Ya que no podemos

decidir si una persona determinada pertenece o no al conjunto C, el conjunto C no está

bien definido.

Nota. En lo que sigue se entenderá tácitamente la utilización de conjuntos bien

definidos.

7 (máximo común divisor) es el mayor entero positivo que es divisor de p y q.8 El conjunto de los números reales es fundamental importancia en la matemática y será tratado mcon mayor detalle en el capítulo siguiente.

15

Para indicar que un objeto particular pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo de

pertenencia y contrariamente para indicar que un objeto particular no pertenece a un

conjunto se utiliza el símbolo de no pertenencia. Así por ejemplo, si E es el conjunto

de las letras del alfabeto ecuatoriano, podemos escribir:

se lee t es un elemento del conjunto E

se lee no es un elemento del conjunto E

Diremos que dos conjuntos A y B son iguales si se satisface las siguientes condiciones:

1. Todo elemento de A es un elemento de B y

2. Todo elemento de B es u elemento de A

Si los conjuntos A y B son iguales escribiremos . Por ejemplo, si

y se tiene que A y B son iguales.

Para terminar esta parte introductoria indicamos que la idea de que un conjunto tiene

una cantidad limitada de elementos esta expresada en la noción de conjunto finito. Es

decir, un conjunto finito es aquel que tiene una cantidad limitada de elementos. En

contraposición a un conjunto finito están los conjuntos infinitos que son justamente

aquellos conjuntos que no son finitos9.

Para los conjuntos finitos la noción de cantidad de elementos esta expresada en la idea

de cardinalidad, el concepto exacto se halla en la siguiente definición:

Definición. Sea A un conjunto finito, se llama cardinalidad de A al número que

representa la cantidad de elementos que tiene A.

Ejemplos.

Si entonces

Si entonces

9 Para aquellas personas que deseen obtener un tratamiento más exacto a la intuición utilizada en esta parte le recomendamos el texto INTRODUCCION AL ANALISIS DE UNA VARIABLE REAL de WALTER RUDIN

16

Si entonces

2.2. Diagramas de Venn y subconjuntosCuando trabajamos en la solución de un problema, generalmente esperamos cierto tipo

de respuesta, por ejemplo, un problema que se refiera a dinero deberá arrojar una

respuesta en dólares y centavos. Con seguridad la respuesta no incluirá aspectos tales

como nombres, animales o lápices.

En cada problema existe, ya sea de forma explicita o implícita, un universo de

discurso. Dicho universo incluye todos los elementos en consideración en un momento

dado. Por ejemplo, al estudiar las reacciones a la propuesta en que cierta universidad se

aumenta la edad mínima necesaria para comprar cerveza, el universo de discurso podría

ser el de todos los estudiantes de la universidad, los residentes cercanos a la universidad

o quizás los dos grupos de personas.

Dentro de la teoría de conjuntos, el universo de discurso se conoce como conjunto

universo y se lo denota típicamente con la letra U. El conjunto universo podría cambiar

de un problema a otro. En un problema podría se el conjunto de los números naturales,

mientras que en otro problema el conjunto universo podría ser los hombres menores de

edad con problemas de alcoholismo.

En la mayoría de las áreas de la matemática, nuestro razonamiento puede ser auxiliado o

esclarecido con la ayuda de diversos gráficos o diagramas. En la teoría de conjuntos se

utilizan los llamados diagramas de Venn que consisten en curvas cerradas en cuyo

interior se entiende que están los elementos del conjunto. Sin embargo, es costumbre,

utilizar un rectángulo para el conjunto universo y curvas ovaladas para los demás

conjuntos. El diagrama siguiente muestra este hecho.

17

U

A

Además, el diagrama muestra una región exterior al conjunto A, a dicha región se le

conoce con el nombre de complemento de A. La definición exacta es la siguiente.

Definición. Sea A un conjunto, se llama complemento de A al siguiente conjunto

10. Con la ayuda de un diagrama de Venn al complemento de A

se lo puede visualizar como la región sombreada de gráfico siguiente:

Ejemplo. Sea , entonces el complemento de A es

el siguiente conjunto .

Nota. Como es natural el complemento de un conjunto depende de cual sea considerado

como conjunto universo. Así, cambiando el conjunto universo del ejemplo anterior por

se tiene que el complemento de A es .

Por definición de complemento se cumple que:

.

10 En la definición de complemento se ha utilizado el símbolo que tiene el significado que se le dio en

el capítulo 1 de este texto.

18

U

A

Definición. Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es subconjunto de B si todo

elemento de A es también elemento de B. Si A es subconjunto de B escribimos .

Nota. En la mayoría de los casos no es necesario dibujar el conjunto universo en el

diagrama de Venn. Así, la noción de subconjunto la podríamos representar simplemente

como:

Ejemplos.

1. Si y entonces

2. Si y entonces

.

Por definición de subconjunto se cumple que:

para todo conjunto A

para todo conjunto A

para todo conjunto A

19

U

BA

BA

A

B 5

4 6

3

1 2

Nota. Dado un conjunto A nos preguntamos cuantos subconjuntos de A podemos

extraer de él. Por ejemplo, Si entonces sus subconjuntos son: , , ,

, , , , A. Si realizamos más ejemplos nos daremos cuenta que el

número de subconjuntos de A depende de su cardinalidad, es decir de . Más

exactamente podemos decir que:

0 1 2 3 4 n

subconjuntos

Definición. Sea A un conjunto, se llama conjunto potencia de A al siguiente conjunto

. Es decir, el conjunto potencia de A está formado por todos los

subconjuntos de A.

Ejemplo. Si , entonces su conjunto potencia es:

2.3. Algebra de conjuntosCuando se dispone de varios objetos de alguna clase será importante obtener nuevos

objetos a partir de ellos mediante ciertas operaciones definidas sobre estos. En general

el algebra estudia las propiedades de dichas operaciones. Así, cuando se habla de

algebra de números reales se entiende el estudio de las propiedades de las operaciones

que se han definidos sobre los números reales.

El algebra de conjuntos estudia las propiedades de las operaciones que se pueden definir

sobre los conjuntos, las más utilizadas son:

Complemento

Intersección

Unión

Diferencia

De estas operaciones, la primera actúa sobre un único conjunto mientras las restantes

necesitan de al menos dos conjuntos para poder ser realizadas.

20

2.3.1. ComplementoLa definición de complemento ya se dio en la sección 2.3, en esta parte la volvemos a

mencionar por tratarse de una operación entre conjuntos.

Sea A un conjunto, se llama complemento de A al siguiente conjunto

. Con la ayuda de un diagrama de Venn al complemento de A

se lo puede visualizar como la región sombreada de gráfico siguiente:

Ejemplos.

Si tomamos el conjunto universo como

Sea y , entonces y

Si y , entonces y

Nota. Como se puede ver en los ejemplos anteriores; dado un conjunto A, su

complemento se lo calcula excluyendo del conjunto universo los elementos de A.

Como es obvio A y no tiene elementos comunes, el complementos de un conjunto

depende de cual sea el conjunto universo que se este considerando.

Por definición de complemento se cumple que:

.

21

U

A

2.3.2. IntersecciónSean A y B dos conjuntos, la intersección de A con B se define como el siguiente

conjunto: . En el diagrama de Venn siguiente, la intersección

de A con B es la parte sombreada.

Ejemplos.

Sean y , entonces

Si y , entonces

Si y entonces

La intersección entre conjuntos cumple con las siguientes propiedades:

1.

2.

3.

4.

Definición. Los conjuntos A y B se llaman disjuntos si su intersección es el vacío, es

decir, A y B son disjuntos si .

Por ejemplo y son disjuntos pues

Nota. La intersección entre conjuntos se puede utilizar en problemas prácticos como el

siguiente:

22

Problema practico de la intersección entre conjuntos.

Después de comparar las promesas de campaña de dos candidatos para la asamblea, un

votante dio la lista con las promesas hechas por los candidatos. Cada promesa está

representada por una letra.

El honesto G. M. La erudita L. H.

Menor gasto, m

Énfasis en el cumplimiento de la leyes de transito, t

Aumento de servicio en áreas suburbanas, s

Menor gasto, m

Acabar con políticos corruptos, p

Aumento de servicio para la ciudad, c

La única promesa en común entre ambos candidatos es la m, menor gasto. Supongamos

que tomamos la promesa de cada candidato como un conjunto. Las promesas hechas por

el candidato G. M. forman el conjunto , mientras que las de L. H. forman el

conjunto . El único elemento común entre los conjuntos es m, este elemento

pertenece a la intersección de los conjuntos y , es decir

. En un diagrama de Venn esto se lo puede representar como

indica el diagrama siguiente:

2.3.3. UniónSean A y B dos conjuntos, la unión de A con B se define como el siguiente conjunto:

. En el diagrama de Venn siguiente, la unión de A con B es

la parte sombreada.

23

m

Ejemplos.

Sean y , entonces

Si y , entonces

Si y entonces

La unión entre conjuntos cumple con las siguientes propiedades:

1.

2.

3.

4.

Nota. La unión e intersección entre conjuntos están ligadas a través de las llamadas

Leyes de De Morgan. Las cuales establecen lo siguiente:

Nota. En el párrafo que se dedico al problema práctico de la intersección entre

conjuntos, mostramos una lista con las promesas hechas por dos candidatos. Después se

encontró la intersección de esas listas. Supongamos ahora que el estudiante de Ciclo

Formativo debe escribir un reporte sobre el tipo de promesas hechas por los candidatos

al puesto público. El estudiante necesitará analizar todas las promesas hechas por uno u

otro candidato, o lo que es lo mismo el conjunto ; es decir, la unión de las

promesas hechas por los candidatos.

24

A B

2.3.4. DiferenciaSean A y B dos conjuntos, la diferencia de A con B se define como el siguiente

conjunto: . En el diagrama de Venn siguiente, la diferencia

de A con B es la parte sombreada.

Ejemplos.

Sean y , entonces

Si y , entonces

Si y entonces

La unión entre conjuntos cumple con las siguientes propiedades:

1.

2.

3.

4. Si A y B son disjuntos, entonces y

Nota. Además de las operaciones tratadas en este texto existe otra operación que se

utiliza con bastante frecuencia, la cual no se ha mencionado por tratarse de una

operación derivada de las restantes; es decir, se la define a partir de las anteriores.

Definición.

Sean A y B dos conjuntos, la diferencia simétrica de A con B se define como el

siguiente conjunto: . En el diagrama de Venn siguiente, la

diferencia simétrica de A con B es la parte sombreada.

25

BA

2.4. Aplicaciones de la teoría de conjuntosMuchos problemas que incluyen conjuntos de personas (u otros objetos) requieren de un

análisis de información conocida acerca de determinados subconjuntos, para determinar

la cardinalidad de otros subconjuntos. En esta parte utilizaremos diagramas de Venn

para la solución de tales problemas. La información conocida se obtiene comúnmente

(aunque no siempre) realizando una encuesta.

Supóngase que un grupo de estudiantes amantes de la música folclórica se le pregunta

acerca de su grupo favorito, y se consigue la siguiente información:

33 prefiere a Inti Illimani 15 prefiere a Inti Illimani y Quilapayun

32 prefiere a Illapu 14 prefieren a Illapu y Quilapayun

28 prefieren a Quilapayun 5 gustan por igual de los tres grupos

11 prefieren a Inti illimani e Illapu 7 no les gusta ningún grupo

Para determinar el número total de estudiantes encuestados, no podemos sólo sumar los

ocho números anteriores, ya que existen algunos superpuestos. Por ejemplo, en la figura

siguiente:

26

A B

los 33 estudiantes que les gusta Inti illimani no deben ser colocados dentro de la región

b, pero si deben ser distribuidos a los largo de las regiones b, c, d y e, de forma tal que

sea consistente con la información proporcionada. (de hecho la región b contiene a los

estudiantes a quienes les gusta Inti Illimani pro no les gusta Illapu ni Quilapayun).

Como al principio no sabemos como distribuir los 33 estudiantes que les gusta Inti,

buscamos primero información más manejable. El número más pequeño en la lista, los 5

estudiantes a quienes les gusta los tres grupos, pueden ser colocados dentro de la región

d (la intersección de los tres conjuntos). Los 7 a quienes no les gusta ninguno de los tres

deben ir en la región a. Por lo tanto, los 11 a quienes les gusta Inti e Illapu deben ir en la

región d y e. Como la región d ya contiene 5 estudiantes, debemos poner

dentro de la región e. Como a 15 les gusta Inti y Quila (región c y d), ponemos

dentro de la región c. Ahora que las regiones c, d y e contienen 10, 5 y 6

estudiantes, respectivamente, la región b recibe . Con razonamientos

similares, son asignados de forma correcta los números de todas las regiones como se

muestra en la siguiente figura:

27

QuilapayunIllapu

Inti Illimani

U

a

b

fh

e

d

g

c

28

QuilapayunIllapu

Inti Illimani

U

a

b

fh

ed

g

c

12

5

1115

14

12

4

7

Capítulo 3

Números reales

Los orígenes de la matemática se remontan a los albores de la inteligencia humana. Los

estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que el hombre realizó cálculos y

medidas y llego a concebir figuras geométricas antes que fuera inventada la escritura,

esto explica por que aparecen ya los números y las figuras geométricas en los escritos

más remotos que se conoce. Hay que remontarse a la civilización sumeria, que se

desarrolló en la región Mesopotámica alrededor del tercer milenio A. C., para encontrar

el documento matemático más antiguo; se trata de unas tablillas de arcilla con

inscripciones de carácter cuneiforme. A épocas también remotas, hacia 1800 A. C. se

remontan las primeras referencias matemáticas de las civilizaciones egipcia y

babilónica. En todos estos documentos aparecen reglas elementales de cálculo

algebraico y numérico y reglas para el cálculo aproximado de longitudes, áreas y

volúmenes.

En los documentos que se conservan de estas civilizaciones se hace patente que la

necesidad de contar y de mantener el registro de cantidades de alimentos, animales y

otras cosas de uso cotidiano fue lo que dio origen a lo que actualmente es la matemática.

Así, se cree que los primeros números que aparecieron fueron los números naturales,

posteriormente surgieron las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y

división. Luego se hizo necesario dar significado a expresiones como , y se

introdujeron las fracciones, con las que al principio se siguieron prácticas extrañas pues,

por ejemplo, los babilonios consideraron únicamente fracciones cuyos denominadores

eran igual a 60 y los egipcios insistían en que los numeradores debían ser 1 y escribían

en lugar de . La notación moderna fue introducida por Fibonacci en su obra

Liber Abace, publicada en 1202.

En el mundo griego se creía que los números enteros y las fracciones, puesto que son

razones de números enteros, constituían la base del universo y era todo cuanto existe.

Sin embargo, en la escuela pitagórica (hacia 1520 A. C.) se determinó que existían otros

números que no se podían expresar como la división entre dos números enteros, estos

son los números irracionales.

Es interesante notar que pasaron cientos de años antes que los números negativos fueran

introducidos en la matemática, y aunque se utilizaban, no fue hasta el siglo XVII que se

consideraron a los números negativos. Con todos estos conjuntos de números se formo

lo que en la actualidad se conoce como los números reales .

Pero con los números reales surgieron ecuaciones tales como que no se

podían resolver utilizando solamente los números reales. Con el objeto de resolver tales

problemas se introdujo hacia el año 1512, el símbolo i, que por definición tiene la

propiedad de que , y se crearon los números complejos.

Estas ampliaciones del dominio numérico permiten generalizar el lenguaje matemático,

hacer más rápido la formulación de problemas y no tener en cuenta la distinción de una

multitud de casos particulares, lo cual responde a una norma general en el desarrolla de

la ciencia.

Nota. En esta parte introductoria al capítulo 3 se ha expuesto el desarrollo histórico de

los números reales; sin embargo, para tener una idea más clara de sus propiedades es

necesario presentar su teoría en forma axiomática; esto es, introducir operaciones en el

30

conjunto de números reales y decir cuales son las propiedades que deben satisfacer tales

operaciones.

31

3.1. Operaciones en los números realesSupongamos que existe un conjunto numérico llamado conjunto de los números reales,

denotado con el símbolo , en el cual se han definido dos operaciones llamadas

adición y producto cuyo comportamiento esta descrito por las siguientes propiedades11:

3.1.1 Propiedades de la adiciónLa adición o suma es una operación definida en el conjunto de los números reales

que coge los números a, b y los convierte en el nuevo número talque se satisface

las siguientes propiedades:

A1. , propiedad clausurativa

A2. , propiedad conmutativa

A3. , propiedad asociativa

A4. tal que , , propiedad de existencia del elemento neutro

aditivo, 0 es el neutro aditivo

A5. , tal que , propiedad de existencia del elemento

inverso aditivo, es el inverso aditivo de a

3.1.2. Propiedades del productoEl producto o multiplicación es una operación definida en el conjunto de los

números reales que coge los números a, b y los convierte en el nuevo número

talque se satisface las siguientes propiedades:

M1. , propiedad clausurativa

M2. , propiedad conmutativa

M3. , propiedad asociativa

M4. tal que , , propiedad de existencia del elemento neutro

multiplicativo, 1 es el neutro multiplicativo

A5. , tal que , propiedad de existencia del elemento

inverso multiplicativo, es el inverso multiplicativo de a

11 En lenguaje técnico las propiedades se llaman axiomas y son estos los que definen la estructura que debe tener los números reales.

32

Nota. Es costumbre escribir en lugar de .

Además de las propiedades enunciadas para la adición y el producto existe una

propiedad adicional llamada propiedad distributiva que liga estas dos operaciones, esta

propiedad asegura que: .

3.1.3. Operaciones derivadasAdemás de la adición y el producto, que son las operaciones básicas de los números

reales, se puede definir otras operaciones a partir de estas. Las más importantes son la

diferencia o resta, el cociente o división, la potenciación y la radicación. Las dos

primeras las tratamos en esta parte dejando las dos últimas para un parágrafo posterior.

La resta y la división se definen de la siguiente manera:

Definiciones.

1. Sean a, b números reales. La diferencia de a y b se define como: ,

donde es el inverso aditivo de b.

2. Sean a, b números reales con b diferente de cero. La división de a y b se define

como: , donde es el inverso multiplicativo de b.

Nota. Como se puede observar en las definiciones anteriores, la resta y la división son

operaciones definidas a partir de la adición y el producto, de ahí el nombre de

operaciones derivadas

La suma, resta, multiplicación y división son consideradas las cuatro operaciones

fundamentales de los números reales; estas cumplen con el siguiente listado de

propiedades:

1. , 2.

3. 4.

33

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12. , cuando

13. , cuando 14.

15. 16.

17. 18. , cuando

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.26.

27.28. Si , entonces o

ambas

Nota. Con este listado de 28 propiedades se puede construir toda la aritmética de los

números reales.

34

3.1.4. Potenciación y radicaciónSea y diferente de cero. Se llama potencia de a la siguiente valor

. Por ejemplo .

Nota. En la expresión , al valor de a se le llama base, mientras que al valor de n se le

llama exponente, por ejemplo, en la expresión , 3 es la base mientras que 5 es el

exponente; además se lee la quinta potencia de tres. Por último se admite que

siempre que .

La potencia12 de un número real cumple con las siguientes propiedades:

1.2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Nota. A partir de estas propiedades y de las propiedades enlistadas en la sección 3.1.3

se puede desarrollar todos los conceptos de factoreo que se estudia en el nivel medio. En

particular se puede ver que se cumplen los siguientes casos:

Trinomio cuadrado perfecto13

Trinomio cuadrado perfecto

Diferencia de dos cuadrados

Suma de dos cubos

Diferencia de dos cubos

Cubo de un binomio

12 Aquí consideramos potencias enteras, para las potencias negativas y fraccionarias se cumple las mismas propiedades.13 Este caso de factoreo también se puede enunciar como el cuadrado de un binomio

35

Cubo de un binomio

La idea de raíz de un número real está ligada al concepto de potencia

de la siguiente manera:

Definición. Decimos que b es la raíz de a si . Si este es el caso,

escribimos .

Nota. La expresión se llama radical de x, en este, n es el índice, x el

radicando y es el signo radical.

Ejemplos.

pues

pues

pues 14

Nota. Es costumbre no poner el índice del radical si este es 2. Así, se escribe en

lugar de .

El radical de un número real cumple con las siguientes propiedades:

1. 2.3.

4.5. 6.

7.

14 Este ejemplo y el anterior nos hace notar que la raíz cuadrada de un número real positivo no es

unida, en efecto, es y

36

Nota. Para los radicales de índice par se debe tener en cuenta que estos están definidos

en solamente en el caso de que el radicando es positivo. Así por ejemplo, la expresión

no tiene sentido en el conjunto de los números reales.

Las expresiones del tipo donde n es par y a es un número negativo generan una

nueva clase de números, a saber, los números complejos. La parte básica de un número

complejo es su parte imaginaria siendo esta igual a . En forma más precisa

podemos dar la siguiente definición:

Definición. Se llama unidad imaginaria al siguiente valor .

Nota. Por las propiedades de los radicales se puede escribir

Definición. Se llama número complejo a toda expresión de la forma donde a

y b son números reales donde a se llama parte real de z y b se conoce como parte

imaginaria de z.

Son ejemplos de números complejos los siguientes:

,su parte real es 3 mientras su parte imaginaria es 1

, su parte real es mientras su parte imaginaria es 4

, su parte real es 2 mientras su parte imaginaria es

3.2. Orden de los números realesExiste un subconjunto de los números reales, llamado el conjunto de los números reales

positivos, denotado por que cumple con las siguientes propiedades15:

O1. Si , entonces se cumple una y solo de las siguientes proposiciones ,

,

O2. ,

O3. ,

15 Estas propiedades se les llama usualmente axiomas de orden de los números reales.

37

Si a es un número real positivo, llamaremos a un número real negativo. Al conjunto

de todos los números reales negativos lo notaremos por .

Nota. Según esta definición el cero no es no positivo ni negativo, se tiene además que

, siendo cada uno de estos conjuntos disjuntos entre sí.

Los símbolos “<” (menor que) y “>” (mayor que) se definen como sigue:

si y solo si

si y solo si

Estas expresiones se denominan desigualdades estrictas.

Los símbolos “ ” (menor o igual que) y “ ” (mayor o igual que ) se definen como

sigue:

si y solo si o

si y solo si o

Estas expresiones se denominan desigualdades no estrictas.

Para dos números reales a y b se cumple la propiedad de tricotomía, la cual asegura que

se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

Nota. De las propiedades de orden de los números reales se pueden derivar la siguiente

lista de propiedades:

1. , si , entonces

2. , si y , entonces

3. , si y , entonces

4. , si , entonces o

5. , si , entonces o

6. , si , entonces

38

7. , si , entonces

8. , si , entonces

Nota. Todas estas propiedades se cumplen también para las desigualdades no estrictas.

La relación de orden definida anteriormente nos permite graficar los números reales en

una recta llamada recta real, la cual se muestra en la siguiente figura:

Nota. El conjunto de todos los números comprendidos entre dos números dados a y b se

denomina un intervalo. Estos números a y b son los extremos del intervalo. Un intervalo

con extremos y , donde se representa por la desigualdad y

se denota por o por . El intervalo de denomina intervalo abierto y

está definido como el siguiente conjunto: .

Si los extremos de un intervalo pertenecen a este, el intervalo se representa por

y se denota por . El intervalo se denomina intervalo cerrado y está

definido como el siguiente conjunto: .

Además de los intervalos abiertos y cerrados existen los intervalos semiabierto por la

derecha y semiabierto por la izquierda; estos intervalos se definen de la siguiente

manera:

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la izquierda:

El grafico de todos estos intervalos se hallan en la siguiente figura:

39

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Intervalo cerrado

Intervalo abierto

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la izquierda

3.3. LogaritmosSean , , se llama logaritmo de x en base a al número b que satisface

la siguiente condición: . Si b es lo logaritmo de x en base a, escribimos

.

Ejemplos.

De la igualdad Se deduce que

Nota. Si bien es cierto que los logaritmos se definen para cualquier base positiva

diferente de uno, en la práctica solamente se utilizan logaritmos de dos bases, la base 10

y la base . Estos logaritmos se llaman logaritmo vulgar y logaritmo natural

respectivamente. La nomenclatura utilizada para estos es la siguiente:

40

a,bba

a,bba

a,bba

a,b

ba

Los logaritmos cumplen con las siguientes propiedades:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

A partir de estas propiedades se puede realizar ejercicios como el siguiente:

Escriba la expresión como un único logaritmo.

Solución.

=

=

=

=

41

Capítulo 4

Ecuaciones

Las civilizaciones antiguas aprendieron que la habilidad para resolver ecuaciones es

esencial en las aplicaciones de la matemática. El algebra se remonta a los babilonios del

año 2000 A. C., quienes idearon métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Los

egipcios también resolvieron problemas de algebra, pero estos no eran tan complejos

como los de los babilonios. Para que se dieran avances en el algebra, hubo que esperar

hasta alrededor del siglo VI, en la India, donde se crearon métodos para dar solución a

problemas relacionados con intereses, descuentos y participación en copropiedad.

Muchos de los tratados sobre matemáticas de los hindúes y los griegos se conservaron

debido a que los musulmanes los tradujeron. Casi todas estas traducciones, realizadas en

su mayor parte entre el año 750 y 1250, se llevaron a cabo en Bagdad. Los árabes

retomaron los trabajos de los griegos e hindúes y lo ampliaron enormemente. Por

ejemplo, Muhammad ibn Mûsâ al-Jwârizmî escribió libros sobre algebra y sobre el

sistema de numeración hindú. Sus obras tuvieron una gran influencia en Europa

Occidental, y en la actualidad su nombre lo recordamos en la palabra algoritmo, tal vez

el más famoso libro de al-Jwârizmî fue Hisâb al-yabrw’al muqâbalah, de cuyo título se

deriva la palabra álgebra.

4.1. Ecuaciones lineales y cuadráticasUna expresión algebraica es una representación de las operaciones básicas de suma,

sustracción, multiplicación y división, o la extracción de raíces sobre cualquier conjunto

de variables y números. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son ,

y .

Las aplicaciones de las matemáticas con frecuencia conducen a ecuaciones,

formulaciones en las que dos expresiones algebraicas son iguales.

4.1.1. Ecuaciones linealesUna ecuación lineal en una variable incluye sólo números reales y una variable.

Algunos ejemplos son . De forma más exacta, la

definición de una ecuación lineal es la siguiente:

Definición. Una ecuación en la variable x es lineal si puede escribirse en la forma

, donde , con .

La ecuación lineal, en una variable, también se denomina ecuación de primer grado, ya

que la potencia más alta en la variable es uno.

Si la variable en la ecuación se reemplaza por un número real que hace que la

proposición sea verdadera, entonces ese número es una solución de la ecuación, por

ejemplo 8 es la solución de la ecuación , ya que al reemplazar y con 8 se

obtiene una proposición verdadera. Una ecuación se resuelve determinando su

conjunto solución, el conjunto de todas sus soluciones. El conjunto solución de la

ecuación es .

Nota. La solución de una ecuación lineal se la obtiene de la siguiente manera:

Consideramos la expresión original

Sumamos el inverso aditivo de b a ambos miembros

43

Reducimos la expresión

Propiedad del neutro aditivo

Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a

Simplificamos la expresión

Propiedad del neutro multiplicativo

Dada la ecuación lineal , el proceso anterior nos muestra que su solución tiene

la forma , es decir, su conjunto solución es .

Ejemplos

La ecuación tiene solución , su conjunto solución es

La ecuación tiene solución , su conjunto solución es

La ecuación tiene solución , su conjunto solución es

La ecuación tiene solución , su conjunto solución es

Nota. Ecuaciones como no tienen la forma de una ecuación

lineal, sin embargo estas son lineales por medio de transformaciones, es decir, estas se

las pueden poner en la forma de una ecuación lineal realizando transformaciones.

Ejemplo

es equivalente a la ecuación .

44

4.1.2. Ecuaciones cuadráticasUna ecuación en la variable x es cuadrática si puede escribirse en la forma

, donde , con .

La ecuación cuadrática, en una variable, también se denomina ecuación de segundo

grado, ya que la potencia más alta en la variable es dos.

Nota. Haciendo uso de un procedimiento denominado completar el cuadrado podemos

deducir una de las más importantes formulas del álgebra, la fórmula cuadrática, se tiene

pues:

Expresión original

Efectuamos el producto por el inverso multiplicativo de a

Sumamos a ambos lados

Sumamos a ambos lados para completar el cuadrado

Factorizamos el lado derecho

Extraemos la raíz cuadrada a ambos lados

Aplicamos la propiedad de la raíz cuadrada

Sumamos a ambos lados

Sacamos denominador común

45

Nota. Una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, una con la raíz positiva del radical

y otra con las raíz negativa del radical, además, las soluciones de una ecuación

cuadrática pueden ser complejas, dependiendo que cuanto es el valor de 16.

Dada la ecuación cuadrática , el proceso anterior nos muestra que su

solución tiene la forma , es decir, su conjunto solución es

Ejemplos.

La ecuación , tiene solución y , su conjunto solución es

La ecuación , tiene solución y , su

conjunto solución es

La ecuación , tiene solución y , su conjunto

solución es

Nota. La ecuación no tiene la forma estándar de una ecuación cuadrática,

sin embargo, esta es equivalente a la ecuación .

Una ecuación es lineal o cuadrática sin necesidad de tener la forma o

respectivamente, lo único que se necesita es poder pasar la ecuación

dada a cualquiera de las formas sea de la ecuación lineal, sea de la ecuación cuadrática.

16 se llama discriminante de la ecuación cuadrática, si este es positivo la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes, si este es cero, la ecuación tiene soluciones repetidas y si este es menor que cero la ecuación tiene soluciones complejas.

46

4.2. Ecuaciones exponenciales y logarítmicasUna de las principales aplicaciones de los exponentes y los logaritmos es la resolución

de ecuaciones de tipo exponencial y logaritmo.

4.2.1. Ecuaciones exponencialesSe denomina ecuación exponencial a una ecuación en la cual la incógnita (o variables)

se encuentra en el exponente de la potencia.

Por ejemplo las ecuaciones , son exponenciales; mientras que las

ecuaciones o ya no son exponenciales.

Para hallar la solución de una ecuación exponencial existen dos métodos fundamentales:

la reducción a una base común y la logaritmación de ambos miembros de la ecuación.

Reducción a una base común

Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base a,

donde a es un número positivo, distinto de uno, de la igualdad de las potencias y de las

bases se deduce que los exponentes tienen que ser iguales. Igualando los exponentes

obtendremos un tipo de ecuación generalmente conocido.

Ejemplos

Resolver

Solución.

Tenemos

De donde

Entonces

47

Resolver

Solución.

Puesto que , en el primer miembro se puede sacar factor común , por

lo que tenemos:

Entonces

Encontrar el valor de x si

Solución.

Representamos ambos miembros de la ecuación en potencias de 3:

De donde

Resolviendo esta ecuación cuadrática, hallamos que su conjunto solución es

. Sustituyendo estos valores en la ecuación originales comprueba que

ambos satisfacen la misma.

Logaritmación de ambos miembros de la ecuación

Cuando no se puede representar los miembros de una ecuación en una misma base, es

conveniente tomar logaritmos en los dos lados de la ecuación para llegar a una ecuación

simple.

48

Se debe tomar en cuenta que es mejor tomar logaritmos en una base convenientemente

escogida, pues así se simplifican los cálculos.

Ejemplos.

Resolver

Solución.

Si tomamos logaritmos en ambos miembros, obtenemos:

Resolver

Solución.

Tendremos

Si realizamos la sustitución ; en tal caso y la ecuación toma la forma

Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos y , de donde

;

,

Es fácil verificar que las dos soluciones satisfacen la ecuación dada.

Resolver

Solución.

La ecuación dada puede representarse en la forma

49

Entonces, poniendo , tenemos respecto a t la ecuación cuadrática .

Al resolver esta ecuación, tenemos , , la primera es imposible puesto

que , por consiguiente .

Si tomamos logaritmos de base 3 3n ambos miembros resulta que

4.2.2. Ecuaciones logarítmicasSe denomina ecuación logarítmica a una ecuación en la cual la incógnita (o variables) se

encuentra bajo el signo de logaritmo.

Así, por ejemplo, las ecuaciones y son logarítmicas,

mientras que la ecuación no es logarítmica.

El método fundamental de resolución de las ecuaciones logarítmicas es la potenciación,

mediante lo cual se obtiene comúnmente una ecuación algebraica. Las raíces halladas se

deben verificar, ya que pueden aparecer raíces impropias.

Ejemplos.

Resolver la ecuación

Solución.

Por las propiedades de los logaritmos, es evidente que

(el primer miembro)

(el segundo miembro)

De este modo,

Como logaritmos iguales, tomados de una misma base, corresponden a números

iguales, se tiene que

50

Resolviendo esta ecuación, hallamos dos raíces , . Es fácil cerificar

que las soluciones halladas son soluciones de la ecuación original.

Resolver la ecuación

Solución.

Transformemos el primer miembro de la ecuación

Teniendo en cuenta que , la ecuación dada es equivalente a la

ecuación

Si realizamos la sustitución , obtenemos la ecuación cuadrática

, que tiene las soluciones y ; es decir y

.

La primera solución no satisface la condición 17. Por consiguiente, la

ecuación dada es equivalente a y tiene solución única .

17 En la ecuación original aparece la expresión lo cual indica que

51

Capítulo 5

Sistemas de ecuaciones lineales

Muchas de las aplicaciones de la matemática requieren la resolución de una gran

cantidad de ecuaciones simultáneas que tienen muchas variables. Tal conjunto de

ecuaciones se denomina sistema de ecuaciones. La definición de una ecuación lineal

dada en el capítulo 4 sección 4.1.1 se puede ampliar a más variables. Cualquier

ecuación de la forma para números reales

(no todos cero), y b, es una ecuación lineal. Si todas las ecuaciones en un sistema son

lineales, el sistema es un sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal.

5.1. Ecuaciones linealesEl tipo más elemental de ecuación lineal está dado por la forma . Donde a y b son

números conocidos y x el único desconocido. Una solución a esta ecuación consiste

(como se menciono en el capítulo anterior) en un número que cuando es sustituido por

x, hace válida la ecuación. Ejemplos de esta clase de ecuaciones son ; y

. Notemos que en el primer caso es la solución única, en el segundo caso no

hay soluciones y en el tercer caso cualquier número es solución. Estos tres ejemplos

abarcan casi todo el argumento en términos generales.

La ecuación tampoco tiene soluciones (cuando y ), o exactamente

tiene una solución (cuando ), o un número infinito de soluciones (cuando y

).

Consideremos ahora una ecuación de la forma . Donde a, b, c, son números

conocidos y x, y son incógnitas. Estamos buscando un par de números, uno para

sustituir a x y el otro a y. Estamos de acuerdo en que sustituir por significa

sustituir 1 por x y 7 por y, y de manera semejante para cualquier par ordenado de

números. Luego la solución de la ecuación anterior es un par ordenado de números, los

cuales cuando son sustituidos por , hacen válida la ecuación.

Un ejemplo de esta clase de ecuación es . Notamos que los pares ,

, , son soluciones mientras que , , , no lo son.

Resolviendo x en función de y, vemos que las soluciones son todos los pares de

números, los cuales pueden obtenerse de asignando valores numéricos

arbitrarios a y. Si elaboramos la gráfica de este par (usando coordenadas cartesianas)

encontramos que se hallan sobre una línea recta. Otros ejemplos triviales al parecer,

pero técnicamente importantes son y . En el primer caso,

no hay soluciones mientras que, en el segundo caso, cualquier par es solución.

Estos ejemplos ilustran la situación general para la ecuación :

No hay soluciones (cuando , y )

Cualquier par es solución (cuando )

Hay un número infinito de soluciones (cuando ó ), que pueden ser

descritas en términos de una variable o parámetro.

Cuando tratamos con varias incógnitas, es conveniente usar subíndices tales como

, y para denotar los coeficientes desconocidos sin

especificar, en lugar de usar una letra diferente para cada incógnita y para cada

coeficiente. Por ejemplo, escribimos n vez de ; tenemos

53

en lugar de ; y decimos en vez de

.

Con esta notación, una ecuación lineal de n incógnitas es una ecuación de la forma

, donde son números conocidos. Aquí,

nuestra inquietud principal es la pregunta ¿Qué valor numérico puede ser asignado a las

incógnitas para que la ecuación sea válida? Una solución es una

respuesta a esta pregunta: es una de números con la propiedad de que, cuando

el primer número es sustituido por , el segundo por , …, el por , la

ecuación es válida.

Ya hemos visto la clase de solución cuando ó . Usando el mismo argumento

de los ejemplos anteriores, vemos que para cualquier n entero positivo, siempre

tendremos uno de los tres casos siguientes:

Caso 1. y . Entonces no hay solución.

Caso 2. . Entonces cualquier es solución

Caso 3. Al menos una . Entonces resolviendo para , tenemos

, De esta manera todas las soluciones se obtienen de la

expresión . Asignando valores arbitrarios a

. En este caso, las soluciones son descritas en términos de

variables arbitrarias o parámetros, es decir, . Si , hay una solución

única. Si , hay un número infinito de soluciones.

Nota. Puede parecer exagerado considerar el caso 2, siendo tan trivial. Sin embargo,

como veremos al tratar con varias ecuaciones lineales simultáneamente, puede aparecer

con frecuencia una ecuación superflua. Reconocerla explícitamente es uno de nuestros

principales problemas.

54

Podemos examinar una ecuación lineal con n incógnitas como una condición impuesta a

una . Las soluciones de la ecuación son los que satisfacen esta

condición. El caso 1 corresponde entonces a una condición imposible y el caso 2

corresponde a no imponer condiciones de ninguna naturaleza. Si deseamos imponer

más de una condición, tendremos que considerar varias ecuaciones lineales simultáneas.

5.2. Sistemas de ecuaciones linealesSi damos varias ecuaciones lineales con n incógnitas y estamos interesados en encontrar

las que son soluciones para todas las ecuaciones simultáneas, indicamos esto

refiriéndonos a la reunión de ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales y a los

que son soluciones para todas las ecuaciones simultáneas dadas, como

soluciones del sistema.

Por ejemplo, el sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas:

(el coeficiente de en la segunda ecuación es cero) tiene entre sus soluciones las

ternas ordenadas y ; sin embargo, no es solución del sistema

aunque es solución de la primera ecuación.

En general podemos escribir un sistema de 2 ecuaciones lineales con n incógnitas de la

forma.

Sin embargo, como el número de ecuaciones aumenta, encontramos cada vez más

complicado el uso de diferentes letras para los coeficientes de las incógnitas. Una

notación más conveniente encierra el uso de una letra con dos subíndices, el primero

para conservar la señal de la ecuación y el segundo para conservar la de la incógnita.

Para la misma señal usamos una letra con un subíndice para denotar los números sobre

55

el lado derecho de las ecuaciones. Por ejemplo, un sistema de 2 ecuaciones y 3

incógnitas es escrito, así:

,

Un sistema de 4 ecuaciones y dos incógnitas es escrito así:

Y, en general un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es escrito así

Para lograr un sistema particular como:

de la forma general establecida, tomamos solamente , , , ,

, , , , , .

La idea básica para encontrar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

simplemente es: Encontrar las soluciones de una ecuación; de estas, escoger cuáles son

también soluciones de la segunda; de estas escoger aquellas que son soluciones para la

tercera ecuación; repetir este proceso hasta que todas las ecuaciones hayan sido

consideradas. En varios casos simples, esta idea puede ser aplicada directamente sin

ningún refinamiento. Por ejemplo, dado el sistema de ecuaciones

Primeramente notamos que las soluciones de la primera ecuación son las ternas

ordenadas de la forma ; de estas, las que satisfagan la segunda

56

ecuación, deben tener y en consecuencia las soluciones del sistema son las

ternas ordenadas de la forma:

En situaciones más complicadas sin embargo, el empleo de la idea anteriormente

expresada puede ser muy lento y sobre todo complicado. En lo que resta del capítulo se

describe un método más sofisticado para encontrar soluciones de sistemas de

ecuaciones.

5.3 Reducción a la Forma Fila-EscalonadaAhora describiremos un algoritmo (o método práctico) para encontrar todas las

soluciones de un sistema arbitrario de ecuaciones lineales. Este se basa en los dos

hechos siguientes:

1. El desarrollar algunas operaciones en un sistema no cambia sus soluciones.

2. Las soluciones, para algunos tipos simples de sistemas pueden encontrarse

inmediatamente a simple vista.

El algoritmo implica la aplicación de operaciones en (1) repetidamente hasta que el

sistema dado sea transformado en uno de tipo (2) y entonces se toman las soluciones.

Las operaciones referidas en (1) son las siguientes:

I. Intercambiar dos ecuaciones

M. Multiplicar una ecuación por un número diferente de cero.

A. Sumamos a cualquier ecuación un múltiplo ce otra ecuación del sistema.

Llamaremos estas operaciones operaciones elementales. Además, decimos que dos

sistemas de ecuaciones son equivalentes si cualquier solución de un sistema es también

solución del otro sistema.

Naturalmente operaciones del tipo (I) y (M) transforman un sistema de ecuaciones

lineales en uno de ecuaciones equivalentes. Para observar que una operación del tipo

(A) tiene el mismo efecto, sean y las ecuaciones y

57

, respectivamente, c es un número, y es la ecuación

, es decir,

Naturalmente cualquier solución de y es también solución de . Por otro lado,

ya que es lo mismo que , vemos que cualquier solución de y es

también una solución de . Así el sistema , es equivalente al sistema , .

Como ilustración de cómo usar las ventajas de las operaciones elementales,

consideremos el sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas siguientes:

Trataremos de transformar este sistema en un sistema equivalente en el cual cada

ecuación tenga tan pocas incógnitas como sea posible, pero con más de una.

Comenzamos intercambiando la primera y la tercera ecuación (hacemos que tenga el

coeficiente 1 en el encabezamiento de la ecuación)

Enseguida. Agregamos (-3) veces la primera ecuación a la segunda (para eliminar de

la segunda ecuación):

agregamos (-2) veces la primera ecuación a la tercera (para eliminar de la tercera

ecuación):

luego intercambiamos la segunda y tercera ecuación ( hacemos que tenga coeficiente

1 en la segunda ecuación)

58

Acelerando el proceso, aplicamos dos operaciones al mismo tiempo: Agregamos (-1)

veces la segunda ecuación a la primera y sumamos 5 veces la segunda ecuación a la

tercera (así, eliminamos de la primera y tercera ecuaciones):

Ahora, multiplicamos la última ecuación por :

sumamos 3 veces la última ecuación a la segunda y agregamos (-4) veces la última

ecuación a la primera:

y obtenemos como la única solución del sistema.

El sistema final anterior ilustra el tipo de sistemas muy simples para los cuales las

soluciones se encuentran a simple vista. Estas son descritas en general en la siguiente

definición.

Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es una forma fila-escalonada si satisface

las siguientes condiciones (el primer lugar de una incógnita de una ecuación es la

primera incógnita que no tenga coeficiente nulo):

1. la incógnita directriz aparece en escalones sucesivos en la lista de ecuaciones

2. la incógnita directriz en cada ecuación aparece solamente en esa ecuación (con

coeficiente no nulo),

3. la incógnita directriz en cada ecuación tiene coeficiente 1.

59

El siguiente es un ejemplo claro de un sistema de la forma fila-escalonada

Las incógnitas directrices son: , , , . La posición que ellas ocupan forman

peldaños (escalas) en la línea. Las soluciones de este sistema se encuentran

inmediatamente, resolviendo las incógnitas directrices en función de las otras

incógnitas.

Así, las soluciones son todas las octadas las cuales son obtenidas de la expresión

asignando valores arbitrarios a , , , . Por ejemplo y

vemos que es una solución particular del sistema.

Combinando las observaciones sobre operaciones elementales y sistemas de la forma

fila-escalonada, obtenemos el siguiente método general para resolver un sistema de

ecuaciones lineales con n-incógnitas: Por aplicaciones sucesivas de las operaciones

elementales reducimos el sistema dado a uno de la forma fila escalonada y después

leemos las soluciones.

Si el sistema equivalente de la forma fila escalonada no tiene ecuaciones inconsistentes

y el número de incógnitas directrices en el sistema es p entonces podemos resolver estas

p incógnitas en términos del residuo n-p incógnitas. Así, solamente hay tres

posibilidades:

60

1. El sistema no tiene soluciones

2. El sistema tiene una solución única (cuando ),

3. El sistema tiene un número infinito de soluciones (cuando ) y estas pueden ser

descritas en términos de n-p parámetros arbitrarios.

Es mejor indicar con ejemplos el hecho de que cualquier sistema de ecuaciones lineales

pueda reducirse a la forma fila-escalonada por aplicaciones sucesivas de operaciones

elementales. Antes de hacerlo, introducimos una manera esquemática de representar un

sistema de ecuaciones lineales, como un conjunto de números los cuales economizan

esfuerzo y espacio. Esta consiste en escribir solamente los números que aparecen en las

ecuaciones, omitiendo los signos “+” y “=“ como también las letras que denotan las

incógnitas. Usamos el orden en el cual aparecen los números para conservar la señal de

qué número es el coeficiente de la incógnita. Para más ilustración, el sistema

está representado por el conjunto

obtenido por la escritura de los coeficientes en el orden en el cual se presentan; la línea

vertical reemplaza el signo igual.

Las operaciones elementales en las ecuaciones del sistema se traducen en las siguientes

operaciones en las filas del conjunto:

I. Intercambiar dos filas

M. Multiplicar (todas las anotaciones) una fila por un número que no sea cero

A. Agregar (a manera de términos) a una fila dada un múltiplo de otra fila.

61

Además notamos que el sistema de forma fila-escalonada se representa por un conjunto

en el cual el primer término no nulo en cada fila es 1 y se presentará así sucesivamente

en los pasos escalonados; y cada término arriba y abajo es cero.

Ahora procederemos a reducir el sistema

a la forma fila-escalonada trabajando con el arreglo asociado.

Sumamos la tercera fila a la primera (sobresaliendo el término 1 en la primera fila):

,

Sumamos tres veces la primera fila a la segunda y 2 veces la primera fila a la tercera

(cero bajo el término directriz de la primera fila):

,

Multiplicando la tercera fila por (-1) e intercambiándola por la segunda (término

directriz 1 en la segunda fila):

62

,

Sumamos la segunda fila a la primera y tres veces la segunda a la tercera (ceros arriba y

abajo del término directriz de la segunda fila):

,

Sumamos veces la tercera fila a la segunda y (-1) vez la tercera fila a la primera

(ceros arriba del término directriz de la tercera fila):

,

Este conjunto representa el sistema de la forma fila-escalonada:

Resolviendo para las incógnitas directrices , , en términos de , vemos que las

soluciones del sistema original pueden ser obtenidas de los tetradas

Por sustitución de números arbitrarios para . Por ejemplo, si hacemos ,

conseguimos la solución particular mientras que si hacemos

encontramos la solución . Nótese que en este caso el número p de las

63

incógnitas directrices es 3 y que las soluciones están descritas en términos de

parámetros, es decir, .

Como ejemplo final, mostremos que el sistema

no tiene soluciones. Primeramente, lo representamos por el arreglo

Y comenzamos la reducción a la forma fila-escalonada. Intercambiamos la primera y

segunda fila:

,

Luego sumamos (-2) veces la primera fila a la segunda y (-4) veces la primera fila a la

tercera:

,

La inconsistencia de este sistema debería ser ya aparente a partir de una comparación de

la segunda y tercera filas. Asumiendo que esto no ha sido notado, procedemos con la

reducción de la forma fila-escalonada.

64

Sumando (-1) veces la segunda fila a la tercera y veces la segunda fila a la primera y

multiplicando finalmente la segunda fila por , tenemos

,

Esto representa el sistema

En el cual la última ecuación es inconsistente. Así, el sistema original no tiene

soluciones.

Si el número del lado derecho en la última ecuación del sistema original se cambia por 5

entonces la reducción a la forma fila-escalonada produce

Ahora, la última ecuación es evidentemente superflua. Resolviendo para las incógnitas

directrices , en términos de y , vemos que las soluciones son todas las

tetradas de la forma

.

65

Aquí, el número p de las incógnitas directrices es 2 y todas las soluciones están descritas

en términos de parámetros.

Nota. No se debe llegar a ser tan dogmático sobre la técnica desarrollada en este

capítulo. Por supuesto, es importante comprender que hay una manera sistemática de

reducir cualquier conjunto dado de números a la forma fila-escalonada (el cual podría

aún emplearse para programar un computador electrónico). Sin embargo, en cada caso

particular puede haber varios métodos abreviados los cuales reducen drásticamente la

cantidad de trabajo. Además, para contestar una pregunta de naturaleza más cualitativa

usualmente sólo tenemos que pasar por los primeros pasos del proceso de reducción.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene más de una solución, cualquier fórmula

que describa todas las posibles soluciones se denomina la solución general del sistema.

En la práctica hay tantas fórmulas que la solución general puede tomar diferentes

formas, dependiendo del método particular usando para encontrar las soluciones. Aún la

reducción a la forma fila-escalonada puede ser efectuada de diferentes maneras. El

hecho sorprendente es que a cualquier sistema de ecuaciones lineales, corresponde

exactamente un sistema equivalente en la forma fila-escalonada digamos con, p

incógnitas directrices y la solución general no puede tener menos de parámetros,

sin importar cómo se ha obtenido. Así la reducción a la forma fila-escalonada conduce

a la presentación más eficiente de la solución general18.

18 Probar y conseguir una total apreciación de estos hechos requiere las ideas del álgebra lineal

66

Capítulo 6

Aplicaciones

Los cinco capítulos precedentes se desarrollaron con la intención de dar el soporte

teórico necesario para comprender de forma más adecuada la exposición de este

capítulo dedicado a la aplicación de las matemáticas básicas a la administración y

economía.

Las aplicaciones de la matemática básica a la administración y economía serán

aprovechadas de una mejor manera si se comienza con una exposición (quizás muy

rápida para ciertos gustos) de las funciones lineales y cuadráticas.

6.1. Funciones lineales y cuadráticasCon frecuencia es útil describir una cantidad en términos de otra. Por ejemplo, el

crecimiento de una planta está relacionado con la cantidad de luz que recibe; la

demanda para cierto producto está relacionada con el precio del producto; el costo de un

viaje está relacionado con la distancia recorrida, etc. Para representar estas cantidades

correspondientes, es de ayuda utilizar pares ordenados.

Podemos indicar, por ejemplo, la relación entre la demanda de un producto y su precio,

escribiendo los pares ordenados en los que el primer número representa el precio y el

segundo la demanda. Entonces el par ordenado podría indicar una demanda de

1000 artículos, cuando el precio es de $5. Si se supone que la demanda depende del

precio que se cobra, colocamos el precio primero y la demanda en segundo lugar. El par

ordenado es una abreviación de la proposición si el precio es 5 (dólares), entonces la

demanda es de 1000 (artículos). De manera análoga, los pares ordenados y

muestran que un precio de $3 produce una demanda de 5000 artículos y un

precio de $10 genera una demanda de 250 artículos.

En este ejemplo la demanda depende del precio del artículo. Por esta razón a la

demanda dependiente, y al precio variable independiente. Generalmente si el valor de la

variable y depende de la variable x, entonces y es la variable dependiente y x es la

variable independiente.

Como cantidades relacionadas pueden escribirse como pares ordenados, el concepto de

relación puede definirse como sigue:

Definición. Una relación es un conjunto de pares ordenados.

Nota. De todas las relaciones, las más importantes son aquellas relaciones funcionales o

simplemente funciones, estas son de vital importancia en toda la matemática y en

particular en sus aplicaciones.

Definición. Una función es una relación en la que, para cada valor del primer

componente del par ordenado, existe exactamente un valor del segundo componente.

Ejemplo. Determinar si cada una de las relaciones siguientes es una función.

Las relaciones F y G son funciones, puesto que para cada valor de x, existe un único

valor de y. Obsérvese que en G, os últimos dos pares ordenados tiene el mismo valor de

68

y. Esto no viola la definición de función, ya que cada primer elemento (valor de x) tiene

sólo un segundo elemento (valor de y).

La relación H no es función, pues los últimos dos pares ordenados tienen el mismo

valor de x, pero diferentes valores de y.

Nota. Las funciones que con más frecuencia se utilizan son aquellas en las cuales la

relación de x con y está expresada a través de una ecuación, si se considera a x como la

variable independiente, esta ecuación se escribe como .

A las funciones se las puede representar gráficamente haciendo corresponder a cada

valor de x su correspondiente valor de y.

6.1.1. Funciones lineales

Una función lineal tiene la forma , donde m y b son constantes.

Nota. El gráfico de una función lineal es una recta. El valor de m se llama pendiente de

la recta, si es positivo tiene una inclinación hacia la derecha y si es negativa tiene una

inclinación hacia la izquierda19, esto se muestra en la siguiente figura:

19 El caso en el que m es cero, corresponde al gráfico de una recta horizontal. Para una recta vertical no está definida su pendiente

69

x, y

y

y

x x

Gráfico de

Si , la recta pasa por el origen mientras que si la recta se traslada desde el

origen b unidades hacia arriba si o b unidades hacia abajo si . El valor de b

se le llama valor de la ordenada en el origen de la recta.

La pendiente de una recta que pasa por los puntos y esta dado por la

expresión .

Ejemplos.

Hallar la pendiente y el valor de la ordenada en el origen de la recta , trace

la gráfica correspondiente.

Solución.

La función es de l forma , por tanto y , la grafica es una

recta con pendiente 4 y el valor de la ordenada en el origen igual a . Para trazar su

gráfico es suficiente conocer un par de puntos que pertenezcan a la recta, para ello

damos valores a x y obtenemos su correspondiente valor de y:

x y

0 -1

1 3

70

m 0 m 0

b

b

b 0 b 0

Su gráfico es:

Las inscripciones para un centro de estudios se puede efectuar por correo hasta una

fecha prevista y a partir de ella se receptan inscripciones personalmente. Según datos

de secretaria pueden procesar 40 estudiantes personalmente, por hora. Una vez

transcurridas 5 horas, se han inscrito un total de 350 estudiantes.

a. Exprese el número de estudiantes registrados como una función del tiempo.

b. ¿Cuantos estudiantes se registraron previamente por correo?

Solución

a. Usando x para denotar el número de horas para inscripciones, y para denotar el

número de estudiantes registrados. El valor de y aumenta en 40 cada vez que x

aumenta en 1.

Así, y es una función lineal de x con pendiente 40. Además cuando

. Por la fórmula de la pendiente se tiene que ,

reduciendo términos se tiene . Esta función tiene gráfico:

71

b. El número de estudiantes que se registraron por correo previamente corresponde

al valor de y cuando , esto es 150 estudiantes.

6.1.2. Funciones cuadrática

Una función cuadrática tiene la forma , donde a, b y c son

constantes con .

Nota. El gráfico de una función cuadrática se conoce como parábola. El valor de a

determina si la parábola se abre hacia abajo o hacia arriba, esto se muestra en la

siguiente figura:

Las parábolas son simétricas respecto a una recta. De manera intuitiva, esto significa

que si la gráfica se doblara a lo largo de la recta de simetría, los dos lados coincidirían.

La recta de simetría para la parábola se llama eje de la parábola. El punto en el cual el

eje interseca a la parábola se llama vértice de la parábola. El vértice, por su parte, es el

punto más bajo o más alto de la parábola. El vértice de la parábola tiene coordenadas

.

Para trazar el gráfico de una parábola se sigue los siguientes pasos:

Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Si la parábola se

abre hacia arriba, si la parábola se abre hacia abajo

Encuentre la intersección con el eje y. Este cálculo corresponde a

72

a 0a 0

Encuentre las intersecciones con el eje x. Si existen, estas intersecciones

corresponden al cálculo de

Encuentre el vértice. Este se calcula con la expresión

Complete la gráfica.

6.2. Aplicaciones a la administraciónEn esta parte se estudiaran algunas aplicaciones de las funciones lineales en problemas

de Administración de Empresas, las cuales ilustrarán la aplicabilidad de la matemática

básica en el campo administrativo.

6.2.1. Modelos de Costo LinealEn la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos,

que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos hay que

enfrentarse sin importar la cantidad producida del artículo; es decir, no dependen del

nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas, intereses, sobre préstamos,

salarios de administración, etc.

Los costos variables dependen del nivel de producción, es decir de la cantidad de

artículos producidos. Ejemplos de costos variables son los costos de los materiales y de

la mano de obra, etc.

De esta manera:

Si se considera el caso en que el costo variable por unidad del artículo es constante, en

este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos

producidos. Si m denota el costo variable por unidad, entonces los costos variables

totales al producir x unidades de artículos son (en dólares). Si los costos fijos son

de b dólares, se desprende que el costo total y (en dólares) de producir x unidades esta

dado por:

73

Obsérvese que m representa el costo variable por unidad y b representa la ordenada al

origen representando los costos fijos.

Ejemplo.

El costo variable de procesar un Kilo de granos de café es $5 y los costos fijos son de

$30.

1. Determine la ecuación de costo lineal y dibuje la gráfica

2. determine el costo de procesar 10 Kilos de granos de café en un día.

Solución.

1. Si representa el costo total de procesar x Kilos de café por día, se tiene:

Por tanto:

Gráficamente:

x Y

0 30

1 35

74

2. Sustituyendo , se obtiene que . El costo de procesar

1000 Kilogramos es 800000.

6.2.2. Análisis del punto de equilibrio

Si el costo total de producción excede al de los ingresos obtenidos por las ventas,

entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan a los

costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos

por las ventas no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio esta en el punto de

equilibrio. En número de unidades producida y vendidas en este caso se denomina

punto de equilibrio.

Nota. Para hallar el punto de equilibrio, se tiene que resolver un sistema de ecuaciones,

el formado por las curvas de ganancia y perdida; si estas curvas son lineales, el

problema es equivalente a resolver un sistema lineal.

Ejemplo. Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por

el reloj es de $15 y los costos fijos son de 20 al día. Si vende cada reloj a $20. ¿Cuántos

relojes deberá producir y vender cada día con el objeto de garantizar que el negocio se

mantenga en el punto de equilibrio?

Solución.

Sea x el número de relojes producidos y vendidos cada día. El costo total de producir x

relojes es: , . Si se vende a $20,

el ingreso es: .

En el punto de equilibrio no hay ganancias, ni pérdidas, por tanto, el sistema

Representa la situación deseada. Su solución es .

75

Representando gráficamente se tiene que:

x y

0 20

1 35

x y

0 0

1 20

Si , hay utilidad. Cuando , hay pérdida. El punto de

equilibrio corresponde a la intersección de las rectas.

6.2.3. Oferta y demandaLas leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en

cualquier análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo que será adquirido por

los consumidores depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación

que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores están

dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de la demanda. a ley

más simple es una ley del tipo , donde p es el precio por unidad del artículo,

m y b son constantes.

76

pérdida

ganancia

La gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda. Es un hecho conocido

que si el precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda por el artículo

disminuye, porque menos consumidores podrán adquirirlo, mientras que si el precio por

unidad disminuye, (es decir, el artículo se abarata) la demanda se incrementará. En otras

palabras, la pendiente m de la ecuación de demanda es negativa. De modo que su

grafica tiene una inclinación hacia la derecha como se muestra en la siguiente figura:

Puesto que el precio (p) por unidad y la cantidad (x) demandada son números no

negativos, la gráfica debe dibujarse solo en el primer cuadrante.

La cantidad de un artículo determinado que sus proveedores están dispuestos a ofrecer

depende del precio al cual puedan venderlo.

Una relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o

vendedores) pueden poner en el mercado a varios precios se denomina ley de la oferta.

La gráfica de la ley de oferta se denomina curva de oferta. En general, los proveedores

inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos, si se puede ponerle un precio

alto, y con una cantidad más pequeña de artículos si el precio obtenido es más bajo. En

otras palabras, la oferta aumenta al subir el precio. Una curva de oferta lineal típica se

aprecia en el siguiente gráfico:

77

x 0

b

p 1

El precio corresponde a un precio por debajo del cual los proveedores no ofrecen

el artículo.

Ejemplo. Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25

cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica.

Determinar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal.

Solución.

Considerando x como la abscisa y el precio p por unidad como la ordenada los dos

puntos sobre la curva de demanda tienen coordenadas.

, y , , de modo que los puntos son y .

Utilizando la ecuación de la pendiente:

Representando gráficamente :

x p

0 35

1 34.5

78

6.2.4. Punto de equilibrio en el mercadoSi el precio de cierto artículo es demasiado alto, los consumidores no lo adquirirán,

mientras que si es demasiado bajo los proveedores no lo venderán. En un mercado

competitivo, cuando el precio por unidad depende sólo de la cantidad demandada y de

la oferta, siempre existe una tendencia del precio a ajustarse por sí mismo, de modo que

la cantidad demandada por los consumidores es igual a la cantidad que los vendedores

están dispuestos a ofrecer. Se dice que el punto de equilibrio del mercado ocurre en un

precio cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Esto corresponde

al punto de intersección de las curvas de la oferta y la demanda.

Algebraicamente, el precio de equilibrio del mercado y la cantidad de equilibrio

se determinan resolviendo las ecuaciones de la oferta y la demanda simultáneamente

para p y x.

79

Punto de equilibrio

demanda

oferta

Ejemplo. Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes de la

oferta y la demanda siguiente:

Demanda:

Oferta:

Solución.

Igualando los valores de p y resolviendo la ecuación resultante para x se tiene que

, reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones, de oferta o demanda, se tiene

que .

Representando gráficamente se tiene que:

x y

0 25

1 23

x y

0 5

1 8

80

Bibliografía

Millar. Matemática, razonamiento y aplicaciones. Editorial PEARSON. 1999

Tetra. Algebra lineal. Editorial HARLA. 1976

Gortaire. Matemáticas superiores. PROCIENCIA EDITORES, 2003

Haeussler. Matemáticas para administración y economía. Editorial PEARSON. 2003

81

Índice general

1.

Lógica Matemática..........................................................................................................1

1.1. Proposiciones..........................................................................................................1

1.2. Conectivos Lógicos................................................................................................4

1.3. Tablas de verdad de las proposiciones compuestas................................................8

1.3.1. Tautologías y contradicciones.......................................................................10

1.4. Cuantificadores.....................................................................................................10

2. Conjuntos...................................................................................................................13

2.1. Conceptos Básicos................................................................................................14

2.2. Diagramas de Venn y subconjuntos.....................................................................17

2.3. Algebra de conjuntos............................................................................................20

2.3.1. Complemento................................................................................................21

2.3.2. Intersección....................................................................................................22

2.3.3. Unión.............................................................................................................23

2.3.4. Diferencia......................................................................................................25

2.4. Aplicaciones de la teoría de conjuntos.................................................................26

3. Números reales...........................................................................................................29

3.1. Operaciones en los números reales.......................................................................31

3.1.1 Propiedades de la adición...............................................................................31

3.1.2. Propiedades del producto..............................................................................31

3.1.3. Operaciones derivadas...................................................................................32

3.1.4. Potenciación y radicación..............................................................................34

3.2. Orden de los números reales.................................................................................36

3.3. Logaritmos............................................................................................................39

4. Ecuaciones..................................................................................................................41

4.1. Ecuaciones lineales y cuadráticas.........................................................................42

4.1.1. Ecuaciones lineales........................................................................................42

4.1.2. Ecuaciones cuadráticas..................................................................................44

4.2. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas............................................................46

1

4.2.1. Ecuaciones exponenciales.............................................................................46

4.2.2. Ecuaciones logarítmicas................................................................................49

5. Sistemas de ecuaciones lineales................................................................................51

5.1. Ecuaciones lineales...............................................................................................51

5.2. Sistemas de ecuaciones lineales...........................................................................54

5.3 Reducción a la Forma Fila-Escalonada.................................................................56

6. Aplicaciones................................................................................................................66

6.1. Funciones lineales y cuadráticas..........................................................................66

6.1.1. Funciones lineales.........................................................................................68

6.1.2. Funciones cuadrática.....................................................................................71

6.2. Aplicaciones a la administración..........................................................................72

6.2.1. Modelos de Costo Lineal...............................................................................72

6.2.2. Análisis del punto de equilibrio.....................................................................74

6.2.3. Oferta y demanda..........................................................................................75

6.2.4. Punto de equilibrio en el mercado.................................................................78

Bibliografía.....................................................................................................................80

2