(texto de matematicas)fcs2009,09,27

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES

PREFACULTATIVO

PENSAMIENTO LOGICO

MATEMATICO

MARIO ERROL CHAVEZ GORDILLO

Texto de ensenanza para el curso de

Admision de la Facultad de Ciencias sociales

La Paz - Bolivia

2009

Resumen

Este texto abarca las actividades a desarrollarse durante la segunda gestion del ano academico2009 en el curso Pre-Facultativo de la Facultad de Ciencias Sociales de la Universidad Mayorde San Andres (U.M.S.A.) y ha sido elaborado tomado en cuenta que la formacion basica de unLicenciado en Ciencias Sociales radica en el manejo de los conceptos de aritmetica y algebra.La comprension de estos conceptos y la destreza en hacer computos elementales usando laspropiedades del algebra le permitiran afrontar las asignaturas propias de la carrera, que no soloson imprescindibles en el aspecto teorico, sino de forma especial, en el practico.

Agradezco la confianza de las autoridades de la Facultad de Ciencias Sociales para realizar estalabor didactica educativa.

I

Indice general

1. Sistemas Numericos 1

1.1. Conjuntos de Numeros y operaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Reglas para el orden de las operaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Reglas para los parentesis y corchetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Exponentes 9

2.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Operaciones Algebraicas 11

3.1. Marco Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Productos Notables y Factorizacion 15

4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Ecuaciones de primer y segundo grado con una incognita 19

5.1. Marco Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2. Ecuacion de primer grado con una incognita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ii

INDICE GENERAL

5.3. Resolucion de ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.4. Problemas de Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6. Sistemas de ecuaciones lineales 24

6.1. Metodo de igualacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.2. Metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.3. Metodo de sumas y restas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7. Signo simple de sumar 27

7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8. Signo doble de sumar 30

8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9. Introduccion al calculo de probabilidades 33

9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.Reglas de contar 37

10.1. Notacion factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.2. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Bibliografıa 41

III

CAPITULO 1

Sistemas Numericos

1.1. Conjuntos de Numeros y operaciones aritmeticas

Los numeros son entes ideales que el hombre tuvo que inventar para poder contar los elementosde las colecciones que observaba en su mundo circundante.

Los numeros se clasifican de la siguiente manera:

☞ Numeros Naturales: N = {1, 2, 3, 4, ....}A partir del numero 1 podemos expresar todos los demas numero naturales a traves dela suma, por ejemplo

2 = 1 + 1

3 = 1 + 1 + 14 = 1 + 1 + 1 + 1

...

n =

n veces︷︸︸︷

1 + · · ·+ 1

Suma: Si a ∈ N y b ∈ N, entonces la suma entre a y b es otro numero en N dado por

a + b =

a veces︷︸︸︷

1 + · · ·+ 1 +

b veces︷︸︸︷

1 + · · ·+ 1

Ejemplo 1.

1

CAPITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS

3 + 5 =

3 veces︷︸︸︷

1 + 1 + 1 +

5 veces︷︸︸︷

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8.

Multiplicacion: Si a ∈ N y b ∈ N, entonces el producto entre a y b es un numero en N

dado por

ab =

b veces︷︸︸︷a + · · · + a =

a veces︷︸︸︷

b + · · ·+ b

Ejemplo 2.

3 · 5 =

5 veces︷︸︸︷

3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

3 veces︷︸︸︷

5 + 5 + 5 = 15

☞ Numeros Enteros: Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ....}A partir del numero −1 podemos expresar todos los numeros negativos a traves de lasuma, por ejemplo

−2 = (−1) + (−1)

−3 = (−1) + (−1) + (−1)−4 = (−1) + (−1) + (−1) + (−1)

...

−n =

n veces︷︸︸︷

(−1) + · · · + (−1)

Suma:

1 + (−1) = 0.

Ejemplo 3.

(−3) + 5 =

3 veces︷︸︸︷

(−1) + (−1) + (−1) +

5 veces︷︸︸︷

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2.

Ejemplo 4.

3 + (−5) =

3 veces︷︸︸︷

1 + 1 + 1 +

5 veces︷︸︸︷

(−1) + (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −2.

Resta: Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces a menos b es un numero c en Z siempre que b mas ces a, esto es

a − b = c simpre que b + c = a.

2


Ejemplo 5.

5 − 3 = 2 por que 3 + 2 = 5.

Ejemplo 6.

3 − 5 = −2 por que 5 + (−2) = 3.

Multiplicacion:

1(−1) = (−1)1 = −1.

Ejemplo 7.

3 · (−5) =

3 veces︷︸︸︷

−5 − 5 − 5 = −15

(−3) · 5 =

5 veces︷︸︸︷

−3 − 3 − 3 − 3 − 3 = −15

Regla de signos:

Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces

(−a)(−b) = ab.

(−a)b = a(−b) = −ab.

Ejemplo 8.

(−3)(−5) = 3 · 5 = 15.

(−3)5 = 3(−5) = −15.

☞ Numeros Racionales o fraccionarios:

Q ={a

b: a, b ∈ Z, b 6= 0

}

Ejemplo 9.

4

3,

1

2, −2

7,

9

8,

12

53,

11

56

Interpretacion geometrica: Si consideramos como unidad el rectangulo de la figura 1,las figuras 2, 3, 4, 5, corresponden a las fracciones indicadas en cada caso.

Suma de fracciones: Para sumar dos facciones,

3


Figura 1.1: 1

Figura 1.2: La parte sombreada se describe con la fraccion 1/3 (un tercio).

(1) se determina el mınimo comun denominador,

(2) se expresa cada fraccion en terminos del mınimo comun denominador, y

(3) se suman los numeradores y se divide la suma entre el comun denominador.

Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b 6= 0, d 6= 0 entonces

a

b+

c

d=

ad + bc

bd.

Ejemplo 10.

4

3+

2

5=

4 · 5 + 3 · 23 · 5 =

26

15.

Resta de fracciones: Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b 6= 0, d 6= 0 entonces

a

b− c

d=

ad − bc

bd.

Ejemplo 11.

4

3− 2

5=

4 · 5 − 3 · 23 · 5 =

14

15.

Multiplicacion de fracciones: Para multiplicar dos fracciones, se multiplican entre silos numeradores y se divide este resultado entre el producto de los denominadores.


a

b· c

d=

ac

bd.

Ejemplo 12.

4


Figura 1.3: La parte sombreada se describe con la fraccion 3/9 (tres novenos).

4

3· 2

5=

4 · 23 · 5 =

8

15.

Division de fracciones: Si p ∈ Q, q ∈ Q, p dividido entre q es c ∈ Q si qc = p, esto es,

p

q= c simpre que qc = p.

Ejemplo 13.

7

31

4

=28

3por que

1

4· 28

3=

7

3.


a

bc

d

=ad

bc.

Ejemplo 14.

7

36

4

=7 · 43 · 6 =

28

18.

Regla de signos: Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces

−a

−b=

a

b.

−a

b=

a

−b= −a

b.

Ejemplo 15.

5


−2

−7=

2

7.

−3

4=

3

−4= −3

4.

☞ Numeros Iracionales: Qc = {x : x /∈ Q}

☞ Numeros Reales: R = Q ∪ Qc

1.2. Reglas para el orden de las operaciones aritmeticas

☞ El orden en que se suman los numeros no modifica el resultado.

6 + 4 + 11 = 4 + 6 + 11 = 11 + 6 + 4 = 21

6 + (−3) + 2 = −3 + 6 + 2 = 2 + 6 + (−3) = 5

☞ El orden en que se multiplican los numeros no modifica el resultado.

3x5x8 = 8x5x3 = 5x8x3 = 120

☞ Si aparece una multiplicacion y una suma o resta, la multiplicacion debe realizarse enprimer lugar, a menos que los parentesis o corchetes indiquen lo contrario.

4x5 + 2 = 20 + 2 = 22

6x(14 − 12)x3 = 6x2x3 = 366x(4 + 3)x2 = 6x7x2 = 84

☞ Si aparece una division y una suma o resta, la division debe realizarse en primer lugar, amenos que los parentesis o corchetes indiquen lo contrario

12/4 + 2 = 3 + 2 = 5

12/(4 + 2) = 12/6 = 212/4 − 2 = 3 − 2 = 112/(4 − 2) = 12/2 = 6

1.3. Reglas para los parentesis y corchetes

☞ Los parentesis y corchetes indican que lo encerrado por ellos debe considerarse como unsolo numero.

6


(2 + 8)(6 − 3 + 2) = 10(5) = 50

☞ Cuando haya parentesis dentro de unos corchetes, primero se realizan las operacionesdentro de los parentesis.

[(4)(6 − 3 + 2) + 6][2] = [(4)(5) + 6][2] = [26][2] = 52

☞ Cuando no sea conveniente reducir a un solo numero lo encerrado por unos parentesis,estos pueden eliminarse como sigue:

a) Si aparece un signo positivo antes de los parentesis, estos se eliminan sin modificarel signo de los numeros contenidos en ellos

1 + (3 + 5 − 2) = 1 + 3 + 5 − 2 = 7

b) Si aparece un signo negativo antes de los parentesis, estos se eliminan cambiando elsigno de los numeros contenidos en ellos

4 − (6 − 2 − 1) = 4 − 6 + 2 + 1 = 1

c) Si aparece un numero multiplicando fuera de los parentesis, todos los terminos dentrode ellos deben ser multiplicados por dicho numero

3(2 + 3 − 4) = 6 + 9 − 12 = 3a(b + c + d) = ab + ac + ad

d) El producto de dos sumas se obtiene multiplicando cada elemento de una suma porlos elementos de la otra.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

e) Si los numeros contenidos dentro de los parentesis se operan de alguna otra forma,siempre se realizan primero la operacion antes de combinarlos con otros terminos.

5 + 4(3 + 1) + 6 = 5 + 4(4) + 6 = 5 + 16 + 6 = 274 + (3 + 1)/2 = 4 + 4/2 = 4 + 2 = 6

1.4. Ejercicios

(I) Una vez que terminaste de leer las operaciones aritmeticas, resuelve los siguientes ejerci-cios, ten cuidado al realizar tus calculos numericos.

7


(1) 2 + 12 + 4 + 14 + 49 + 52 =.

(2) −16 + 14 + (−25) + 45 + 12 + (−19) =

(3) 4(12)(−2)(−5)(13)(−6)(100) − (12000) =

(4) d) − 1/4 + 3/5 − (−5) + 1/2 + 1/4 + (−2/9) =

(5) (−a)(−b)(−c)(−d) =

(6) (a)(b)(c)(−d) =

(7)(−2)5(−3)

20

(8)(−a)(−b)(c)

−h=

(9) 8(3 − 5)4(3 + 5 − 16) =

(II) Una vez que terminaste de leer las reglas para los parentesis y corchetes, resuelve lossiguientes ejercicios, ten cuidado al realizar tus calculos numericos.

(1) [5 + (4 × 3) − (6 × 6)] =.

(2) [5 + (4 × 3) − (6 × 6)] × [3 × (5 + 6)] + 10 =

(3) [15 + (4 × 2) − (5 × 6 + 5)] × [−3 × (5 + 6) × (8 − 12)] + 40 =

(4) [9 × (4 × 2 − 5) − (5 × 6 − 15)] × [3 × (5 − 6) × (8 − 12)] − 60 =

8

CAPITULO 2

Exponentes

☞ Multiplicacion de un numero por si mismo 2 veces

a2 = aa

42 = 4 × 4 = 6

☞ Multiplicacion de un numero por si mismo 3 veces

a3 = aaa

43 = 4 × 4 × 4 = 64

☞ Multiplicacion de un numero por si mismo n veces

an =

n veces︷︸︸︷a × · · · × a

4n =

n veces︷︸︸︷

4 × · · · × 4

☞ Propiedades

1 Multiplicacion de dos cantidades exponenciales con la misma base: El producto de doscantidades exponenciales con la misma base es la base elevada a la suma de losexponentes.

anam = an+m

2325 = 28

9

CAPITULO 2. EXPONENTES

2 Elevar una base a un exponente negativo: Una base a un exponente negativo es iguala 1 entre la base elevada al valor positivo del exponente.

a−n =1

an

5−3 =1

53

2 Division de dos cantidades exponenciales con la misma base: El cociente de dos canti-dades exponenciales con la misma base es la base elevada a un exponente igual a laresta del exponente en el numerador menos el exponente en el denominador.

an

am= an−m

23

25= 23−5 = 23−5 = 2−2 =

1

22

2.1. Ejercicios.

Una vez que terminaste de leer las fracciones y exponentes, resuelve los siguientes ejercicios,realiza con cuidado las operaciones que te piden.

1. 32 × 34 × 33 =

2. 12−3 × 124 × 126 × 12−3 =

3. [15 × 156 × (152)]2 =

4. 2−3 × 2−2 × 1

24=

5.1

103× 104 × 1

10−2=

10

CAPITULO 3

Operaciones Algebraicas

3.1. Marco Teorico

DEFINICION 3.1 (Expresion Algebraica). Una expresion algebraica es una combinacion desımbolos representativos de numeros reales, mediante las operaciones suma, diferencia, productoy cociente.

Ejemplo. 2x + 5y; 4x3 + 3y − 2

DEFINICION 3.2 (Polinomios). Un polinomio en una variable es una expresion algebraicade la forma:

P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a2x

2 + a1x + a0.

El grado del polinomio es el valor de n. En el caso de polinomios de dos o mas variables elgrado es la mayor suma de exponentes.

Ejemplo 1. Los polinomios P y Q son de una variable, R es de dos variables

P (x) = 4x3 + 2x2 + x + 2

Q(x) = x5 + x2 − 2x

R(x, y) = 2x2y + 3xy3

Donde: Grado de P (x) es 3. Grado de Q(x) es 5 y el Grado de R(x, y) es 4.

11

CAPITULO 3. OPERACIONES ALGEBRAICAS

DEFINICION 3.3 (Terminos semejantes). Son aquellos que tienen los mismos factores lit-erales, cada uno con el mismo exponente. Los terminos semejantes tiene el mismo coeficienteliteral.

Ejemplo 1. 6x2y y 4x2y son terminos semejantes.

Ejemplo 2. En el siguiente polinomio: x6+3x5+2x4−2x+1. Indicar: a) Numero de terminos.

b) Grado del polinomio.

Solucion: a) El polinomio tiene 5 terminos: x6, 3x5, 2x4,−2x, 1. b) Grado es 6.

3.2. Operaciones con polinomios

Suma y diferencia.- Para sumar o restar polinomios, simplemente sumamos o restamos loscoeficientes de los terminos semejantes.

Ejemplo 3. 3x + 4x = (3 + 4)x = 7x

Procedimiento para sumar y restar polinomios:

I. Ordenar los polinomios, situando los terminos semejantes en la misma columna.

II. Sumar o restar los terminos semejantes

Ejemplo 4. Si P (x, y) = 4x2 + 3xy − 2y2 y Q(x,y) = 3x2 + 2xy . Hallar: (P + Q)(x, y)

Solucion. 1ro. Se ordenan los polinomios, situando los terminos Semejantes en la misma colum-na. 2do. Se suman los terminos semejantes:

4x2 + 3xy - 2y2

3x2 + 2xy

7x2 + 5xy - 2y2

Multiplicacion.- Para multiplicar polinomios se usa el axioma de la distributividad a∆(b+c) =ab + ac y las propiedades de los exponentes.

Procedimiento para multiplicar polinomios.

I. Ordenar cada polinomio.

II. Multiplicar cada termino de un polinomio por todos y cada uno de los del otro polinomio.

III. Sumar terminos semejantes.

12


Ejemplo 5. Multiplicar: 2x2 + 2x − 3 por 3x + 1

Solucion. 1ro. Se ordena cada polinomio. 2do. Multiplicar cada termino de un polinomio portodos y cada uno de los del otro polinomio. 3ro. Se suman los terminos semejantes.

2x2 + 2x - 3

3x + 1

6x3 + 6x2 - 9x

+ 2x2 + 2x - 36x3 + 8x2 - 7x - 3

Division.- Para dividir polinomios se usa las siguientes propiedades de los exponentes.

an

am= an−m si n > m.

an

an= 1.

an

am=

1

am−nsi n < m.

Procedimiento para dividir polinomios.

I. Disponer los polinomios en la forma ordinaria de efectuar una division numerica en ordendecreciente, dejando espacios para los terminos que no aparezcan en el dividendo.

II. Dividir el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor, obteniendoseası el primer termino del cociente.

III. Multiplicar el primer termino del cociente por cada uno de los terminos del divisor.

IV. Restar los terminos semejantes y bajar uno a mas terminos del dividendo segun se necesite.

V. Repetir los pasos II a IV, utilizando el resto como un nuevo dividendo; esto es dividir,multiplicar, restar y bajar.

VI. Continuar repitiendo los pasos II a IV tanto como sea posible.

VII. Multiplicar cada termino de un polinomio por todos y cada uno de los del otro polinomio.

VIII. Sumar terminos semejantes.

Para comprobar la division multiplicar el cociente por el divisor y anadir el resto (si hubiera),el resultado debe ser igual al dividendo.

Ejemplo 6. Dividir x3 − 2x2 − 6x + 2 entre x − 3 y realizar la prueba.

Solucion.

13


3.3. Ejercicios

1. Escribir un polinomio de una variable 4 terminos y grado 6.

2. Escribir 3 terminos semejantes de grado 2.

3. En cada uno de los polinomios siguientes identificar los terminos semejantes.

a) 2xy − 3xy + 4yz − yz.

b) y2 − x2 + 3z2 − 4y2

c) xy2 + x2y2 − 3x2y + 7x2y

d) 3(x + y) − 5(x + y) + 2(x − y)

4. Hallar el grado de: P (x) = 2x2y + 3xy2 + xy3

5. Realizar las siguientes operaciones algebraicas.

a) 5x + 10x

b) (−3y3) + (−7y3)

c) (+8x2y2) + (11x2y2) + 30(x2y2)

d) 6y2 − x2 + 10xy + 8x2

6. Expresar algebraicamente: cuatro veces c disminuido en un quinto de d.

a)4c − 5d, b)4c − d/5, c)4c + d/5, d)d + 4c, e)4c + 5d.

7. 7. Dados los polinomios: A(x) = −3x4 + 2x3 − x2 − 6 y B(x) = x4 − 2x3 − 3x. HallarS(x) = A(x) + B(x).

8. Dados dos polinomios Q1(x) = x5+2x3+4x2, y Q2(x) = x3−2x2, encuentre los siguientespolinomios:

P1 = Q1 + Q2, P2 = Q1 − Q2, P3 = Q1 ∗ Q2

14

CAPITULO 4

Productos Notables y Factorizacion

4.1. Productos Notables

Es conveniente recordar algunos ”Productos Notables”que se presentan con mucha frecuencia enel .Algebra”todos ellos naturalmente estan basados en los Axiomas o Teoremas de los numerosreales. A continuacion se presenta una tabla de los productos notables mas utilizados:

① Axioma de Distributividad a(x + y) = ax + ay

② Diferencia de cuadrados. (x + y)(x− y) = (x2 − y2)

③ Binomio al cuadrado (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2.

④ Producto de binomios (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

⑤ Diferencia de cubos (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3

⑥ Suma de cubos (x + y)(x2 − xy + y2) = x3 + y3

⑦ Cubo de suma (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

⑧ Cubo de diferencia (x − y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3

⑨ Cuadrado de trinomio (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)

15

CAPITULO 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

4.2. Ejercicios Resueltos

1. Resolver empleando productos notables: (x + 5y)2. Solucion: Empleando el producto no-table Binomio al cuadrado se tiene: (x + 5y)2 = x2 + 10xy + 25y2

2. Resolver empleando productos notables: (y + 6)(y − 3) Solucion: Empleando el productode binomios. Se tiene: (y + 6)(y − 3) = y2 + (6 − 3)y + (6)(−3) = y2 + 3y + 3

3. Resolver empleando productos notables: (4 + 5y)3 Solucion: Empleando el cubo de unasuma se tiene: (4+5y)3 = (4)3+(3)(42)5y+(3)(4)(5y)2+125y3 = 64+240y+300y2+125y3

4. Resolver empleando productos notables: (x + y + z)2 Solucion: Empleando el productonotable cuadrado de un trinomio se tiene: (x + 2y + z)2 = x2 + (2y)2 + z2 + 2(x(2y) +xz + (2y)z) == x2 + 4y2 + z2 + 2(2xy + xz + 2yz)

5. Resolver empleando productos notables: (2x+y)(2x−y) Solucion: Empleando el productonotable diferencia de cuadrados: 4x2 − y2

6. Multiplicar: (a− b)(a2 +ab+ b2) Utilizando el producto notable (5) el resultado es: a3− b3

7. Multiplicar: (a − b)(a3 + a2b + ab2 + b3). Utilizando el producto notable 10 y se obtiene:a4 − b4

4.3. Factorizacion

Al factorizar una expresion algebraica, intentamos reducir la expresion a los componentes massencillos tales que al ser multiplicados entre si dan la expresion original.

☞ Factor Comun. Se usa la ley distributiva

ab + ac = a(b + c).

Si tenemos un polinomio con la variable x y queremos factorizarlo se debe elegir el maximofactor comun. El termino axn es el maximo factor comun del polinomio si:

1. a es el maximo entero que divide a cada uno de los coeficientes del polinomio.

2. n es el mınimo exponente de x en todos los terminos del polinomio.

Ejemplo 1. Factorizar 24x3 + 18x2.

Solucion. Para factorizar 24x3 + 18x2 hallemos el maximo factor comun.

16


(i) Descomponemos 24 y 18 en sus factores primos.

24 = 23 · 3. 18 = 2 · 32

Entre 23 y 2 elegimos 2 (el de menor exponente). Entre 3 y 32 elegimos 3 (el demenor exponente).

Luego el maximo entero que divide a 24 y a 18 es 2 · 3 = 6.

(ii) Para la letra x: elegimos el de menor exponente que es x2.

(iii) El maximo factor comun es 6x2.

24x3 + 18x2 = 6x2(4x + 3).

☞ Diferencia de dos cuadrados. Se usa la formula

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Ejemplo 2. Factorizar x2 − 16.

Solucion.

x2 − 16 = x2 − 42 = (x + 4)(x − 4).

☞ Suma y diferencia de cubos. Se usan las formulas

a3 + b3 = (a + b)(a2 + ab + b2), a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Ejemplo 3. Factorizar a3 − 27.

Solucion.

a3 − 27 = a3 − 33 = (a − 3)(a2 + a3 + 32) = (a − 3)(a2 + 3a + 9).

☞ Agrupamiento de Terminos. Dada una expresion no siempre es facil reconocer sipertenece a uno de los casos anteriores, pero puede reducirse a el haciendo algunas op-eraciones como agrupar los terminos adecuados.

Ejemplo 4. Factorizar 16x2y2 + 12ab − 4a2 − 9b2.

Solucion.

16x2y2 + 12ab − 4a2 − 9b2 = 16x2y2 − 4a2 + 12ab − 9b2

= 16x2y2 − [4a2 − 12ab + 9b2]

= 16x2y2 − [(2a)2 − 2(2a)(3b) + (3b)2]

= 16x2y2 − (2a − 3b)2

= (4xy)2 − (2a − 3b)2

= [4xy + (2a − 3b)][4xy − (2a − 3b)]

= (4xy + 2a − 3b)(4xy − 2a + 3b).

17


4.4. Ejercicios

1. Resolver empleando productos notables: (b + 4)2

2. Resolver empleando productos notables: (5 − c)2

3. Representar el area de un cuadrado cuyo lado es: (x+7) m.

a)x2 + 49, b)x + 49, c)x2, d)x2 + 14x + 49, e)x2 + 7.

4. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a − b). Subraye el inciso correcto.

a)a2 − b2, b)ab, c)a2 + b2 − a − b, d)1, e)a − b.

5. Hallar: (2c + 1)(2c − 1). Subraye el inciso correcto

a)4c − 1, b)4c2 − 1, c)4c2 + 2c − 1, d)2c2 + 1, e)4c2 + 2.

6. Hallar: (1 − 2a)(2a + 1)

7. Resolver empleando productos notables: (x2 + a2)(x2 − a2)

a)x2a2, b)x4 + a4, c)x2 + a4, d)x4 − a4, e)x4 − x2 + a2x2

8. Resolver empleando productos notables: (x + y + 3)2

9. Resolver empleando productos notables: (2x + 3y − 2)2

10. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a2 − ab + b2)

a)a3 + ab + a3, b)a3 + b3, c)a3 + ab2 + a2b + b3, d)a3 − b3e)N.A.

11. Factorizar

a) 16x2y2 − 81a2b2c2

b) x2y2 − 36y4

c) 4(x + 3y)2 − 9(2x − y)2

12. Factorizar

a) 8x3 − 27y3

b) 64(m + n)3 − 125

c) (x + y)3 − (x − y)3

13. Factorizar

a) 3ax − ay − 3bx + by

b) x2 − 4y2 + x + 2y

c) x3 + 6x6y + 12xy2 + 8y3

18

CAPITULO 5

Ecuaciones de primer y segundo grado

con una incognita

5.1. Marco Teorico

Se llama ecuacion o igualdad condicional, a la que solo se satisface o verifica para valoresparticulares atribuidos a sus letras o incognitas.

La solucion de una ecuacion es el conjunto de valores que satisfacen o verifican la ecuacion.Al sustituir estos valores en la ecuacion esta se transforma en una identidad numerica.

Resolver una ecuacion es efectuar en ella todas las operaciones necesarias para obtenersus raıces o soluciones.

5.2. Ecuacion de primer grado con una incognita.

Es una igualdad (condicional) que tiene la forma:

ax + b = c.

Donde: x es la incognita, a, b y c son constantes reales. La solucion o raız de esta ecuacion es:

x =c − b

a.

19

CAPITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

Ejemplo 1. Resolver la siguiente ecuacion: x + 3 = 8

Solucion. Para despejar x, el numero 3 debe pasar otro lado de la igualdad con diferente signo,se tiene: x = 8 − 3x = 5.

Ejemplo 2. Resolver la siguiente ecuacion: 12y = 3

Solucion. Para despejar y, el numero 12 que esta multiplicando debe pasar al otro lado de laigualdad a dividir. y = 3/12 = 1/4.

Ejemplo 3. Resolver la siguiente ecuacion: 3x − 5 = x + 3

Solucion. Se deben transponer terminos semejantes reuniendo en un solo miembro los terminosque contengan a la incognita y en el otro miembro las cantidades conocidas 3x − x = 5 + 3 Sesuman o restan los terminos semejantes en cada miembro. 2x = 8 Para despejar la incognita elnumero 2 pasa al segundo miembro dividiendo: x = 8/2x = 4.

5.3. Resolucion de ecuaciones de segundo grado

.

Para resolver la ecuacion de segundo grado se utiliza los siguientes metodos:

a) Metodo de completar cuadrados.

b) Metodo de factorizacion.

c) Uso de formula

☞ Metodo de completar cuadrados. El cuadrado de un binomio es un trinomio cuadradoperfecto.

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

Procedimiento:

I. Escribir la ecuacion en la forma: x2 + px = q.

II. Sumar a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.

III. Sustituir el trinomio por el cuadrado del binomio correspondiente.

IV. Extraer la raız cuadrada de ambos miembros. Resolver las dos ecuaciones que resul-tan

V. Resolver las dos ecuaciones que resultan

VI. Comprobar las dos ecuaciones en la ecuacion general.

20


Ejemplo 4. Resolver la ecuacion x2 + 6x -7 =0 completando el cuadrado.

Solucion. x2 + 6x − 7 = 0, x2 + 6x = 7. Cuadrado de 6/2 es

(6/2)2 = 9

. Sumando 9 a ambos miembros

x2 + 6x + 9 = 7 + 9

(x + 3)2 = 16

x + 3 = ±√

16.

x + 3 = 4 x + 3 = −4

x = 1 x = −7.

☞ Metodo de factorizacion.

Procedimiento:

I. Escribir la ecuacion en la forma: ax2 + bx + c = 0

II. Descomponer en factores ax2 + bx + c.

III. Igualar a cero cada factor.

IV. Resolver cada ecuacion que resulta.

V. Comprobar cada raız o solucion en la ecuacion original.

Ejemplo 5. Resolver x2 − x = 6 por factorizacion.

Solucion.

x2 − x − 6 = 0

(x − 3)(x + 2) = 0

x − 3 = 0 x + 2 = 0

x = 3 x = −2.

☞ Metodo empleando formula.

Formula general: Si ax2 + bx + c = 0, su solucion es:

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a.

Procedimiento:

I. Escribir la ecuacion en la forma normalizada ax2 + bx + c = 0.

21


II. Identificar los coeficientes a, b y c.

III. Sustituir los valores de a, b y c en la formula.

IV. Calcular el valor de x.

Ejemplo 6. Resolver empleando la formula. 2x2 + x − 3 = 0.

Solucion. a = 2, b = 1 y c = −3.

x =−1 ±

√

12 − 4(2)(−3)

2(2)=

−1 ±√

25

4

x = 1, x = −3/2.

5.4. Problemas de Aplicacion

Ejemplo 1. Hallar un numero tal que restando 5 de tres veces dicho numero se obtiene 19.

Solucion: Sea n = numero. Expresando la proposicion en una ecuacion se tiene: 3n − 5 = 19.Despejando n se tiene: n = 8.

Ejemplo 2. Hallar la edad de dos personas sabiendo que una de ellas es el doble de la otra yque la mayor es igual a la menor mas 10. Solucion: Sea s la menor edad Sea 2s la edad mayorpuesto que es el doble de la menor. El planteamiento serıa: 2s = s + 10. Resolviendo se tiene:2s − s = 10, s = 10.

Ejemplo 3. Se hace una inversion al 8 % de interes compuesto anualmente. La inversionaumenta a 783 bs. al cabo de un ano. ¿Cuanto se invirtio originalmente?

Solucion: Formulamos la situacion de la siguiente forma: La cantidad invertida mas el interessuma 783, es decir: x + 8 %x = 783, x + 0,08x = 783, 1,08x = 783, x = 725.

5.5. Ejercicios

1. Resolver las siguientes ecuaciones de todas las formas conocidas.

3x − (77 − 12x) = 7x + 22.

32y − [87y − 2(1 − y)] = −(3 − (4 − y)).

−{1 − [2 − (3 − x)]} = −{4 − [5 − (6 − x)]}.x2 + 10x + 25 = 0.

x2 − x − 6 = 0.

22


x2 + 4x − 21 = 0.

2. Un jugador perdio la mitad de su dinero, volvio a jugar y perdio 1/2 de lo que le quedaba,repitio lo mismo por 3ra vez y 4ta vez, despues de lo cual le quedaron 6 Bs. ¿Cuanto dinerotenıa al comenzar el juego?.

a)84, b)94, c)86, d)96, e)N.A.

3. La edad de Marcelo hace 6 anos era la raız cuadrada de la edad que tendra dentro de 6anos. Hallar su edad actual.

a)4 anos, b)6 anos, c)8 anos, d)10 anos, e)N.A.

4. El cociente de dividir 84 entre cierto numero, excede en 5 a este numero. Hallar el numero.

a)3, b)5, c)7, d)9, e)N.A.

23

CAPITULO 6

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones como dice su nombre, esta formado por 2 o mas ecuaciones de 2 omas variables, llamadas incognitas. Cuyos valores se deben calcular utilizando propiedades delos numeros reales y los conocimientos del algebra y de la aritmetica.

En este capıtulo resolveremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incognitas que tienenla forma:

ax + by = u

cx + dy = v

Para resolver este tipo de sistemas existen varios metodos como:

a) Igualacion

b) Sustitucion.

c) Sumas y restas.

6.1. Metodo de igualacion

Ejemplo 1. Resolver el sistema empleando el metodo de igualacion.

2x + y = 5 (1)

3x − y = 5 (2)

24

CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Solucion. De la ecuacion (1) despejamos y, y = 5−2x. De la ecuacion (2) tambien despejamosy, y = 3x + 5.

5 − 2x = 3x − 5

−2x − 3x = −5 − 5−5x = −10

x = 2.

Por lo tanto: y = 5 − 2(2) = 1.

6.2. Metodo de sustitucion

Ejemplo 2. Resolver por el metodo de sustitucion.

3x + y = 5 (1)

2x + 3y = 8 (2)

Solucion. De la ecuacion (1) despejamos y, y = 5 − 3x. Reemplazando en la ecuacion (2)tenemos

2x + 3(5 − 3x) = 8

2x + 15 − 9x = 8−7x = −7

x = 1.

Por lo tanto: y = 5 − 3(1) = 2.

6.3. Metodo de sumas y restas

Ejemplo 3. Resolver por el metodo de sumas y restas

2x + 3y = 5 (1)

−x + 4y = 3 (2)

Solucion. Multiplicando la ecuacion (2) por 2 tenemos

2x + 3x = 5

−2 + 8x = 6

+ 11y = 11

Por lo tanto: y = 1, Reemplazando en (1) 2x + 3(1) = 5, de donde x = 1.

25

CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6.4. Ejercicios

1. Resolver por los tres metodos los siguientes sistemas

{

3x + 2y = 8

8x − y = 2

{

−x − 10y = 4

3x + 5y = −2

{

2x + 22y = 2

22x − 2y = −2

2. Pedro tiene doble dinero que Carlos, si Pedro pierde 10 Bs y Carlos pierde 5 Bs, Pedrotendra 20 Bs mas que B. ¿Cuanto tiene cada uno?.

a)50 y 25Bs., b)52 y 26Bs., c)54 y 27Bs., d)56 y 28Bs., e)N.A.

3. Un auto viaja a una cierta velocidad durante 5 h y, a continuacion a otra velocidaddurante 3h, se han recorrido 250 Km, pero si se hubiera viajado 2 h mas a cada una delas velocidades se habrıan recorrido 370 Km. Hallar ambas velocidades.

a)10 y 15Km/h, b)35 y 25Km/h, c)40 y 45Km/h,

d)30 y 35Km/h, e)N.A.

4. Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa distancia en 1 horamenos, la velocidad deberıa haber sido 10 Km/h mas. Hallar la velocidad del tren enKm/h.

a)20Km/h, b)30Km/h, c)40Km/h, d)50Km/h, e)N.A.

5. Dos turistas se dirigen simultaneamente a San Buenaventura que se halla a 30 Km deellos. El 1ro. De ellos hace por hora 1 km mas debido a lo cual llega a la ciudad una horaantes. Hallar las velocidades de los turistas en Km/h.

a)5 y 4Km/h, b)4 y 3Km/h, c)6 y 5Km/h,

d)7 y 6Km/h, e)N.A.

6. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. La parte inferior se encuentraa 6 m de la pared, la parte inferior de la escalera se separa luego 3 metros adicionales.¿Que distancia hacia abajo se mueve la parte superior?.

26

CAPITULO 7

Signo simple de sumar

El signo de sumar,∑n

i=1, viene a significar lo siguiente: “Sume los n terminos obtenidos susti-

tuyendo el subındice i por 1, 2, 3, ..., n en la expresion afectada por dicho signo”. Esto es,

n∑

i=1

xi = x1 + x2 + · · · + xn.

Ejemplo 1. Si xi = i, tenemos que

5∑

i=1

xi = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

Ejemplo 2. Si xi = (i + 1)2, tenemos que

3∑

i=1

xi = x1 + x2 + x3 = (1 + 1)2 + (2 + 1)2 + (3 + 1)2.

de donde3∑

i=1

(i + 1)2 = 22 + 32 + 42.

Propiedades.

①

n∑

i=1

k = kn.

27

CAPITULO 7. SIGNO SIMPLE DE SUMAR

②

n∑

i=1

cxi = c

n∑

i=1

xi.

③

n∑

i=1

(xi + k) =

n∑

i=1

xi + kn.

④

n∑

i=1

(cxi + k) = cn∑

i=1

xi + kn.

⑤

n∑

i=1

(xi + yi) =

n∑

i=1

xi +

n∑

i=1

yi.

Ejemplo 3. Si x1 = −3, x2 = 1, x3 = 6, x4 = −8, x5 = 20, x5 = −1, y1 = 4, y2 = 1, y3 = −6,y4 = 8, y5 = 2, y5 = 10. Hallar

1.

6∑

i=1

2 = 2(6) = 12.

2.6∑

i=1

2xi = 2n∑

i=1

xi = 2(−3 + 1 + 6 − 8 + 20 − 1) = 30.

3.6∑

i=1

(xi + 4) =n∑

i=1

xi + 4(6) = 15 + 24 = 39.

4.

6∑

i=1

(−1xi − 3) = −1

n∑

i=1

xi − 3(6) = −15 − 18 = −33.

5.

6∑

i=1

(xi + yi) = 15 + 19 = 39.

7.1. Ejercicios

1. Si x1 = 45, x2 = 11, x3 = 16, x4 = −18, x5 = 2, x5 = −21, y1 = 41, y2 = −1, y3 = −16,y4 = 82, y5 = 23, y5 = 100. Hallar

a)

6∑

i=1

4xi =

b)6∑

i=1

(xi − 66) =

28

CAPITULO 7. SIGNO SIMPLE DE SUMAR

c)6∑

i=1

(−11xi + 56) =

d)

6∑

i=1

(xi + yi) =

2. Si xi =1

(i + 1)2, hallar

3∑

i=1

xi =

3. Si xi = i3, hallar10∑

i=1

xi =

29

CAPITULO 8

Signo doble de sumar

Supongamos que un grupo de n personas queda descompuesta en k subgrupos, con n1, n2, n3,...,nk personas respectivamente, esto es

n1 + n2 + n3 + · · · + nk = n

Supongamos que xij representa la puntuacion de la persona i que pertenece al grupo j, entoncespodemos formar la siguiente tabla con estas puntuaciones.

Grupo 1 Grupo 2 . . . Grupo kx11 x12 . . . x1k

x21 x22 . . . x2k

......

......

xn11 xn22 . . . xnkk

La suma de las puntuaciones del grupo 1 vendra dada por

n1∑

i=1

xi1.

La suma de las puntuaciones del grupo 2 vendra dada por

n2∑

i=1

xi2.

30

CAPITULO 8. SIGNO DOBLE DE SUMAR

La suma de las puntuaciones del grupo k vendra dada por

nk∑

i=1

xik.

La asuma de las n puntuaciones del grupo total viene dada por

k∑

j=1

nj∑

i=1

xij .

Propiedad.

k∑

j=1

n∑

i=1

xij =k∑

j=1

(n∑

i=1

xij

)

=n∑

i=1

(k∑

j=1

xij

)

.

Ejemplo 1. Supongamos que a tres personas les han sido aplicadas dos pruebas. Llamemosxij a la puntuacion obtenida por la persona i en la prueba j. Es decir x11 es la puntuacionobtenida por la primera persona en la prueba primera, x12 es la puntuacion obtenida por laprimera persona en la prueba segunda, etc. Supongamos ademas que las puntuaciones obtenidaspor estas tres personas en las dos pruebas son las siguientes:

Pruebas (j)

Personas (i)x11 = 1 x12 = 1x21 = −1 x22 = 2x31 = 3 x32 = −2

Con este supuesto, tenemos

a)3∑

j=1

2∑

i=1

xij = 4.

b)3∑

j=1

2∑

i=1

x2

ij = 20.

c)

(3∑

j=1

2∑

i=1

xij

)2

= 16.

31

CAPITULO 8. SIGNO DOBLE DE SUMAR

8.1. Ejercicios

Supongamos que

Pruebas (j)

Personas (i)x11 = −1 x12 = 2x21 = +1 x22 = 3x31 = −3 x32 = −4

Con este supuesto, desarrollar las siguientes expresiones y calcular su valor numerico:

a)

3∑

j=1

2∑

i=1

xij =.

b)3∑

j=1

2∑

i=1

x2

ij =.

c)

(3∑

j=1

2∑

i=1

xij

)2

=.

32

CAPITULO 9

Introduccion al calculo de

probabilidades

DEFINICION 9.1 (Experimento Aleatorio). Es toda operacion cuyo resultado no puede serpronosticado con certeza.

Ejemplo 1. Seran experimentos aleatorios: lanzar una moneda al aire, aplicar un test a unapersona, disparar una flecha a una diana, contar las piezas defectuosas entre las fabricadas undıa cualquiera en cierta empresa industrial.

El experimento aleatorio es, pues, una operacion o proceso que puede ser llevado a cabo repeti-das veces bajo las mismas condiciones iniciales, pero cuyo resultado final no es siempre elmismo.

Conviene advertir que el experimento aleatorio puede ser entendido o como un proceso realizadofısicamente, o como un proceso concebido idealmente. Lo importante es que sean posibles doso mas resultados, sin que podamos afirmar con certeza cual de ellos se verificara en cada unade las pruebas, bien realizadas fısicamente, bien concebidas idealmente.

DEFINICION 9.2 (Espacio de muestras, S). Es el conjunto de todos los resultados posiblesde un experimento aleatorio.

Ejemplo 2. Lancemos al aire un dado. Si aceptamos como resultado posible “el numero dela cara hacia arriba”, tendremos el espacio de muestras compuesto de 6 resultados posibles.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

33

CAPITULO 9. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROBABILIDADES

Ejemplo 3. Lancemos al aire dos monedas. Si aceptamos como resultados posibles que los

lados de una moneda sean Cara (C) o Cruz (X), tendremos el espacio de muestras compuestode 4 resultados posibles.

S = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)}DEFINICION 9.3 (Suceso). Es cualquier subconjunto de un espacio muestral, S

Ejemplo 4. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f} seran suceso los siguientes

subconjuntos A = {b, c}, B = {a, c, d}, C = {e}.Diremos que un suceso A, B, o C tiene lugar, cuando se verifica uno cualquiera de los elementosque lo constituyen.

Vamos a distinguir cuatro tipos de sucesos, de acuerdo con el numero de elementos del espaciomuestral finito S, de los que constan dichos sucesos.

☞ Suceso simple o elemental, es el que consta de un solo elemento de S, ası en el ejemplo dela definicion 3, el suceso C = {e} , es simple o elemental.

☞ Suceso compuesto, es el que consta de dos o mas, son compuestos los sucesos A = {b, c},B = {a, c, d}.

☞ Suceso seguro o cierto, el que consta de todos los elementos de S, es decir el mismoS = {a, b, c, d, e, f} . Lo llamaremos seguro o cierto porque al realizar el experimento, severificara segura o ciertamente uno de los resultados posibles o elementos de S, y, porconsiguiente, segun lo acabado de indicar, tendra lugar S.

☞ Suceso imposible, el que no consta de elemento alguno de E. Ası en el ejemplo de ladefinicion 3, es imposible el suceso D = {g, h} . Lo llamaremos imposible porque al realizarel experimento, es imposible que se verifique un suceso cuyos elementos no pertenecen aS. A dicho suceso lo representaremos con { }

DEFINICION 9.4 (Union). Dados dos sucesos, A y B, subconjuntos del espacio de muestrasS, llamaremos union de A y B, al suceso constituido por los elementos de S que pertenecen o aA, o a B, o a los dos a la vez.

Designaremos la union de A y B por A ∪ B. Evidentemente se cumple que:

A ∪ S = S y A ∪ { } = A.

DEFINICION 9.5 (Interseccion). Llamaremos interseccion de A y B, al suceso constituidopor los elementos de S que pertenecen simultaneamente a A y B.

Designaremos la interseccion de A y B por A ∩ B. Evidentemente se cumple que:

A ∩ S = A y A ∩ { } = { }.

34


DEFINICION 9.6 (Complemento). Llamaremos complemento de A al suceso constituido porlos elementos de E que no pertenecen al suceso A

Designaremos el complemento de A por Ac. Evidentemente se cumple que:

A ∪ Ac = S y A ∩ Ac = { }.

DEFINICION 9.7 (Diferencia). Llamaremos diferencia, A-B, al suceso constituido por loselementos de A que no pertenecen a B. Analogamente, llamaremos diferencia de B-A, al sucesoconstituido por los elementos de B que no pertenecen a A.

Ejemplos Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} y los sucesos A = {c, d, f, g}y B = {a, c, f, i, j}, tendremos:

Union de A y B A ∪ B = {c, d, f, g, a, i, j},

Interseccion de A y B A ∩ B = {c, f},

Complemento de A Ac = {a, b, e, h, i, j},

Complemento de B Bc = {b, d, e, g, h},

Diferencia de A-B A − B = {d, g},

Diferencia de B-A B − A = {a, i, j},

Notese queA ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

peroA − B 6= B − A.

DEFINICION 9.8 (Mutua exclusividad o mutuamente excluyentes). Diremos que A y B sonmutuamente exclusivos si A ∩ B = { } ; es decir, si no tienen elemento alguno en comun.

Ejemplo 5. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h} y los sucesos A = {c, f, h}y B = {c, d, e, g}, son mutuamente exclusivos.

Los llamamos mutuamente exclusivos porque la verificacion de uno de ellos excluye la verifi-cacion del otro, al no tener elemento alguno en comun.

Las definiciones de union, interseccion y mutua exclusividad pueden ser extendidas al caso den sucesos (donde n es un numero finito mayor que 2), del modo siguiente

DEFINICION 9.9 (Union de n sucesos). Dados n sucesos A1, A2, A3, ..., An, subconjuntos deun espacio muestral S, llamaremos union de A1, A2, A3, ..., An (designada por A1∪A2∪· · ·∪An)al suceso constituido por todos aquellos elementos de S que pertenecen al menos a uno, al menos,de dichos sucesos.

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DEFINICION 9.10 (Interseccion de n sucesos). Dados n sucesos A1, A2, A3, ..., An, sub-conjuntos de un espacio muestral S, llamaremos interseccion de A1, A2, A3, ..., An, (designadapor A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An) al suceso constituido por todos aquellos elementos de S que pertenecensimultaneamente a los n sucesos.

Ejemplo 6. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g} y los sucesos A = {c, d, g},B = {a, b, c, d} y C = {a, c, g}, tendremos:

Union de A, B y C A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, g},

Interseccion de A, B y C A ∩ B ∩ C = {e}.

DEFINICION 9.11 (Mutua exclusividad de n sucesos). Diremos que A1, A2, A3, ..., An, sonmutuamente exclusivos si Ai ∩ Aj = { } , es decir, si ninguno de ellos tiene elemento algunoen comun con ninguno de los demas.

Ejemplo 7. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} y los sucesos A = {a, d},B = {b, h, i} y C = {c, f}, son mutuamente exclusivos.

Union de A, B y C A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, g},

Interseccion de A, B y C A ∩ B ∩ C = {e}.

9.1. Ejercicios

Responde a las siguientes preguntas

1. Que podemos afirmar de los sucesos A y B si:

a) A ∪ B = { }b) A ∩ B = { }c) A ∪ B = S

d) A ∩ B = S

e) A ∩ S = { }f) A ∪ { } = S

2. Siendo S un espacio muestral finito de tamano n, demostrar que son 2n todos los sucesoso subconjuntos posibles (incluidos S y ) que podemos formar a partir de los n elementosde S.

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CAPITULO 10

Reglas de contar

Cuando es reducido el numero de resultados posibles de un experimento aleatorio (es decir,su espacio muestral S), suele ser tarea sencilla contar tanto ese numero, como el numero deresultados de cada uno de los sucesos o subconjuntos de S. Sin embargo cuando el numero esgrande, no suele ser facil el recuento de dichos resultados y, por ello, necesitamos ciertas reglasque nos ayuden esta tarea enumerativa.

Comenzaremos proponiendo la notacion factorial, como condicion instrumental previa.

10.1. Notacion factorial

Llamaremos “n factorial”(o factorial de n), designandolo por n!, al producto de los n primerosnumeros naturales. Es decir,

n! = (1)(2)(3) · · · (n − 1)(n)

Por ejemplo, 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120. De la misma definicion se deduce las siguientesrelaciones:

n!(n + 1) = (n + 1)!

En efecto.

n!(n + 1) = [1 · 2 · 3 · · · · · n](n + 1) = (n + 1)!

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CAPITULO 10. REGLAS DE CONTAR

Ası por ejemplo.

4!5 = [1 · 2 · 3 · 4]5 = 5!

10.2. Variaciones

Dados n elementos, llamaremos variaciones de orden r a todos los conjuntos distintos quepodamos formar con esos n elementos, tomados de r en r, y entendiendo que dos conjuntosson distintos si difieren en uno, al menos de sus elementos o si, teniendo identicos elementos,difieren en el orden de los mismo.

Vn,r =n!

(n − r)!

Por ejemplo, el numero de variaciones de cuatro elementos (a, b, c, d) tomados de tres en tresvaldra V4,3 = (4)(3)(2) = 24 que son las siguientes:

abc abd acd bcdacb adb adc bdcbca bda cda cdbbac bad cad cbdcab dab dac dbccba dba dca dcb

Las cuatro ternas de la primera fila difieren entre si en uno, al menos, de sus elementos. Lomismo sucede a las cuatro de cada una de las cinco filas restantes. Por el contrario, las seisternas de la primera columna tienen identicos elementos difiriendo entre si en el orden de losmismos. Lo mismo le sucede a las seis de cada una de las tres columnas restantes.

10.3. Permutaciones

Dados r elementos llamaremos permutaciones de orden r a todos los conjuntos distintos quepodamos formar con esos r elementos, tomados de r en r. Dado que todos los conjuntos constande los mismos r elementos, solo podran diferir en el orden de los mismos. Pues bien, se demuestraque el numero de permutaciones de orden r, designado por Pr vale

Pr = r!

Por ejemplo, el numero de permutaciones de los tres elementos (a, ,b, c) valdra Pr = 3!, queson las siguientes:

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abc acb bac bca cab cba

10.4. Combinaciones

Dados n elementos, llamaremos combinaciones de orden r a todos los conjuntos distintos quepodamos formar con esos n elementos, tomados de r en r, y entendiendo que dos conjuntos sondistintos si difieren en uno, al menos, de sus elementos. Pues bien se demuestra que el numerode combinaciones de orden r (supuestos n elementos) designado por Cn,r vale

Cn,r =n!

r!(n − r)!

Por ejemplo, el numero de combinaciones de cuatro elementos (a, b, c, d) tomados de tres entres, valdra

C4,3 =4!

3!(4 − 3)!=

24!

6(1)= 4.

Son inmediatas las siguientes relaciones:

a) Cn,n = 1

b) 0! = 1

c) Cn,0 = 1

d) Cn,1 = n

e) Cn,n−r = Cn,r

10.5. Ejercicios

Responde a las siguientes preguntas

1. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, cuantos numeros de tres cifras distintas podemos formar

2. Con las letras a, b, c, d, e, f, cuantos grupos de tres letras distintas podemos formar.

3. De cuantas maneras distintas pueden ser colocados cuatro libros en un estante.

4. Cuantos tribunales de cuatro profesores podemos formar con seis profesores de maneraque cada tribunal difiera de los restantes en un profesor, por lo menos

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5. De cuantos modos distintos podemos distribuir cinco juguetes entre dos ninos de maneraque a cada nino le corresponda por lo menos, un juguete.

6. De cuantas maneras distintas pueden ser repartidos tres premios (A de 50000 bolivianos,B de 30000 bolivianos y C de 10000) entre cinco personas.

7. Diez personas se presentan a una competicion deportiva en la que se ofrecen tres premiosdistintos. Sabiendo que cada persona solo puede ganar uno de ellos, de cuantas manerasdistintas pueden ser distribuidos estos tres premios.

8. Lanzamos una moneda al aire doce veces consecutivas. De cuantas maneras distintaspodemos obtener el resultado: siete caras y cinco cruces.

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Bibliografıa

[Mi] Vivien Michel Llanos: “Texto de ensenanza para el curso de Admision”. Facultad deCiencias Sociales, UMSA (2008)

[Ma] “Matematicas”. Facultad de Ciencias Sociales, UMSA (2008)

(texto de matematicas)fcs2009,09,27

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