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7/23/2019 TEXTO - CAP 4 (LIBRO PROF. MAULIO RODRGUEZ).pdf

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CAPTULO

TOPOLOGA DE REDES

4.1 INTRODUCCIN

La topologa trata de las propiedades de las redes relacionadas con la geometra del circuito. Esaspropiedades permanecen inalteradas cuando se distorsionan de alguna manera el tamao y forma de la red.Las propiedades geomtricas de una red son independientes de los tipos de componentes que la conformany por ello, en discusiones topolgicas, se acostumbra reemplazar cada rama de una red mediante unsegmento lineal. El diagrama geomtrico resultante, un grafo lineal, consiste de elementos llamadosvrticeso nodosinterconectados por segmentos lineales, denominados bordes o arcos. De esta forma, loselementos de la red (resistores, capacitores, inductores y fuentes independientes) se representan mediantesegmentos lineales denominados bordes. Desde un punto de vista abstracto, cualquier red elctrica deparmetros concentrados puede representarse mediante un grafo donde los bordes denotan lascomponentes elctricas y los pesos de los bordes los constituyentes de los elementos. El grafo essimplemente un modelo de la red fsica. En las aplicaciones, un grafo se representa por un diagramageomtrico, en el cual los nodos se indican mediantepequeos crculos o puntos, y la unin entrecualesquiera de ellos se indica por una curva continua. En la Fig. 4.1 se muestra la correspondencia entreuna red y su grafo lineal.

Comenzaremos nuestro estudio sobre redes concentrndonos primero en los grafos lineales y en aquellaspropiedades que son importantes para nuestro trabajo. Consideraremos rpidamente las definiciones de

muchos trminos sin, quizs, una motivacin adecuada para su introduccin.

AB

C

D

1a 6a

3a 5a

2a

4a

1e

1R

3R 5R

6R

2L

4C

AB

C

D

Figura 4.1

1.2 ALGUNAS DEFINICIONES BSICAS

Antes de comenzar con el anlisis topolgico de las redes elctricas, es necesario presentar algunasdefiniciones bsicas.


2/29

144

4.2.1 REDES PLANARES

Una red planares aquella que puede recorrerse completamente siguiendo una trayectoria a travs de susramas sin que ninguna de esas ramas pase sobre otra rama de la red, dicho de otra forma, una red es planarsi su diagrama geomtrico puede dibujarse en un plano de modo que dos de sus ramas o bordes no tenganuna interseccin que no sea un nodo.

4.2.2 VRTICES

La unin de dos o ms bordes de un grafo se denomina vrtice; los vrtices son equivalentes a los nodosde la red. La red de la Fig. 4.1 contiene 6 ramas y 4 nodos, y el grafo correspondiente contiene 6 bordes y4 vrtices. Un nodo aisladoes aqul sobre el cual no incide ningn borde. De esta definicin se deduceque un grafo puede contener un nodo en el que no incidan bordes, pero no puede contener un borde sin los

nodos sobre los cuales incide; el concepto de un borde aislado no es viable. Se dice que un grafo esfinitosi el nmero de bordes y vrtices es finito.

4.2.3 SUBGRAFOS

Un grafo formado por un subconjunto de los nodos y bordes de otro grafo es un subgrafo de ese otrografo. Por ejemplo, si se remueve un borde de un grafo se obtiene un subgrafodel referido grafo. Porejemplo, removiendo el borde a4del grafo de la Fig. 4.1, se obtiene un subgrafo formado por los bordesa1, a2, a3, a5 y a6, como se indica en la Fig. 4.2. Se dice que un subgrafo es propio si consiste deestrictamente menos bordes y nodos que el grafo que lo origina. Si un grafo est vaco se denomina elgrafo nulo. El grafo nulo es considerado como un subgrafo de todo grafo y se denota por el smbolo .

Un grafo es tambin su subgrafo.

AB

C

D

1a 6a

3a 5a

2a

Figura 4.2

4.2.4 PASOS O TRAYECTORIAS

Toda secuencia de bordes conectados en sucesin y en la que todos los nodos son distintos forma un pasoo trayectoria. En la Fig. 4.3 se muestran varias trayectorias en el grafo de la Fig. 4.1.


3/29

145

B

C

D

B

D

CB

D

CC

1a

2a

5

a

3

a

3

a

4

a6a 6a1a

5

a

5

aA AAA

B

Figura 4.3

4.2.5 CIRCUITOS

Si los vrtices terminales de una sucesin de bordes que forman una trayectoria coinciden formando unlazo cerrado, el paso o trayectoria se denomina un paso cerrado o circuitoen el grafo de la red. En la Fig.4.4 se muestran varios circuitos del grafo en la Fig. 4.1.

C

D

C

B

D

C

1a

2a

3

a

4a 6a 1a

5aA AAB

2

a

D

3a5a

6a

6a

B

Figura 4.4

4.2.6 GRAFO CONEXO

Un grafo conexoes aqul en el cual todo par de nodos est conectado por una trayectoria. Esto significaque un grafo es conexo si est en una sola pieza. La Fig. 4.5(a) muestra un grafo conexo y la Fig. 4.5bmuestra uno inconexo. Una componente de un grafo es un subgrafo conexo que contiene el mximonmero de bordes. La Fig. 4.5b es un ejemplo de un grafo inconexo que contiene dos componentes. Unnodo aislado es un componente. Entonces, si un grafo no es conexo, debe contener varios componentes.

Uno o muchos de estos componentes pueden consistir de un nodo aislado. El nmero de componentes sedenotar por c.

Tambin hablaremos de bordes circuitales o no circuitales. Un borde circuitalde un grafo es un bordeque puede hacerse parte de un circuito; de lo contrario es no circuital. Claramente, la eliminacin de unborde circuital de un grafo conexo deja un subgrafo conexo.

4.2.7 GRADO DEL VRTICE

El grado de un vrtice es el nmero de bordes incidentes en ese vrtice. Por ejemplo, el grado de losvrticesA,B, C,Den el grafo de la Fig. 4.1 es 3. Un vrtice aislado es de grado cero. Como cada borde


4/29

146

incide en dos vrtices, contribuye 2 a la suma de los grados de los vrtices, por lo que la suma de losgrados de los vrtices de un grafo es el doble del nmero de sus bordes.

(a) b

1a

2a 3a

4a

5a

7a

1a

2a 3a6a 5a

4a

6a

7

a

Figura 4.5

4.2.8 RANGO Y NULIDAD

El rango rde un grafo con v vrtices y ccomponentes se define como el nmero vc. La nulidadde ungrafo con bbordes y ccomponentes se define como el nmero m= bv+ c(= br).

La razn para escoger los trminos rangoy nulidades que, como veremos ms adelante en el captulo,ellos son el rango y nulidad de la matriz de incidencia asociada con el grafo. Para un grafo dado, surango y nulidad son ambos no-negativos. Un grafo es de nulidad 0 si y solamente si no contiene ningncircuito, y es de nulidad 1 si y slo si contiene un solo circuito.

4.2.9 RBOL

Un rbol completo o simplemente rbol de un grafo es un subgrafo conexo de un grafo conexo queconecta todos los vrtices del grafo sin formar ningn circuito. Los bordes que forman el rbol sedenominan ramas. Obviamente, un rbol de un grafo conexo tiene r (= v1) bordes. Los bordes delgrafo que no son parte del rbol se denominan enlaces, cuerdas, uniones o eslabones y forman lo que sellama el corbol. Entonces, un corbol de un grafo conexo contiene m(= bv+ 1) enlaces. Como hayuna trayectoria nica entre dos nodos cualesquiera en un rbol, la adicin de un enlace produce un circuitonico en el grafo resultante. As que cada uno de los enlaces en un corbol define un circuito (con respectoal rbol escogido) en el grafo dirigido en una forma nica. En general, existen varios rboles diferentespara el mismo grafo. En la Fig. 4.6 se muestran varios rboles del grafo de la Fig. 4.2. Al especificar unrbol, es suficiente dar una lista de sus ramas. Observe que un rbol y el corbol correspondiente tienennodos en comn, a saber, todos aquellos del corbol, y que el grafo es la unin de estos dos subgrafos.

Los rboles de un mismo grafo tienen las siguientes propiedades:

a) Todos tienen el mismo nmero de bordesb) Cada rbol contiene todos los vrtices del grafo.c) Todos son conexos.d) Los rboles no contienen circuitos.

Si un grafo no es conexo, el objeto correspondiente a un rbol es un bosque, el cual se define como unaunin de rboles, uno para cada una de las partes separadas del grafo (una partees un subgrafo conexocon la propiedad de que la incorporacin de cualquier otro borde del grafo para crear un nuevo subgrafoproduce un subgrafo inconexo). El complemento del bosque enlaces y nodos asociados se conocecomo el cobosque.


5/29

147

El concepto de un rbol es extremadamente importante debido a las diferentes propiedades de una redque se pueden relacionar con l, entre ellas, las ecuaciones de voltaje de Kirchhoff y el nmero deecuaciones de estado.

AB

C

D

14

6

AB

C

D

3

4 6

AB

C

D

2

5

6

AB

C

D

14

5

Figura 4.6

4.2.10 RELACIONES ENTRE BORDES, VRTICES Y RAMAS

Para determinar una propiedad importante de un rbol, construyamos uno de ellos agregando ramassucesivamente. Comenzamos colocando una rama entre dos vrtices (ver la Fig. 4.7). A esta rama se lesiguen agregando otras sin que nunca formen una trayectoria cerrada. Cada vez que se agrega una rama,se agrega un vrtice, de manera que si el nmero de vrticeses v, el nmero de ramas en el rboles v 1,esto es, uno menos que el nmero de vrtices. Si el nmero de bordesen el rbol es b, de los cuales 1v son ramas, entonces el nmero de unioneses b(v1) = bv + 1. En la Fig. 4.7, el grafo tiene 6 bordes(1, 2, 3, 4, 5, 6), 4 vrtices (A, B, C, D), 4 1 = 3 ramas (1, 4, 6) y 6 4 + 1 =3 uniones: 5)3,(2, . En lafigura, las ramas se indican con lneas ms gruesas que las uniones.

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

Figura 4.7

4.2.11

CONJUNTOS CORTADOS

Otro concepto importante en la topologa de redes es el de conjunto cortado. Un conjunto cortadode ungrafo es el mnimo nmero de bordes del grafo que al ser removidos forman exactamente dos nuevossubgrafos conexos pero separados. En otras palabras, la remocin de esos bordes reduce en 1 el rango delgrafo. En la Fig. 4.8 se indican mediante lneas punteadas diferentes conjuntos cortados, los cuales estnidentificados con los siguientes bordes:

K1= 2, 3, 4, 6 K2= 1, 2, 4, 5 K3= 1, 4, 6 K4= 3, 4, 5


6/29

148

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

1K2K

3K

4K

Figura 4.8

El conjunto K1 separa a los subgrafos formados por los bordes 1 y 5 respectivamente. El conjunto K2

separa a los bordes 3 y 6. El conjunto K3separa a los subgrafos formados por los bordes 2, 3, 5 y por elvrticeD, respectivamente. El conjunto K4separa el subgrafo formado por los bordes 1, 2, 6 del subgrafoformado por el vrticeB. Todo esto se muestra en la Fig. 4.9.

El conjunto cortado clasifica los nodos de una componente de un grafo en dos grupos, donde cada grupoest en una de las dos nuevas partes. Cada borde del conjunto cortado tiene uno de sus terminalesincidente en un nodo en un grupo y su otro terminal incidente en un nodo en el otro grupo. Observe queuna componente del grafo puede consistir de un nodo aislado.

AB

C

D

1

5

1K

AB

C

D

3

6

2K

AB

C

D

2

3 5

3K

AB

C

D

1

2

6

4K

Figura 4.9

4.2.12 CIRCUITOS EN EL GRAFO

Ya se dijo que un circuito es una sucesin de bordes que forman una trayectoria cerrada. En el grafo de laFig. 4.10 se ilustran los siguientes circuitos:

C1= 1, 3, 4 C2= 1, 2, 6 C3= 1, 3, 5, 6 C4= 2, 3, 5 C5= 4, 5, 6

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

Figura 4.10


7/29

149

4.2.13 CONJUNTOS CORTADOS FUNDAMENTALES

A pesar de que en un grafo existen muchos conjuntos cortados, slo algunos de ellos son necesarios paradescribir el sistema, es decir, slo algunos de esos conjuntos son independientes. A stos se les llamaconjuntos cortados fundamentales o simplemente conjuntos cortados -f. Un conjunto cortado fundamentales aqul formado por una sola rama del rboly una o ms uniones. En la Fig. 4.11 se muestran variosrboles del mismo grafo con sus respectivos conjuntos cortados fundamentales. En todos los casos, elconjunto cortado fundamental se identifica con el nmero de la rama del rbol involucrada.

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

A

B

C

D

1

2

3

4

5

6

A

B

C

D

1

2

3

4

5

6

1f

K

3fK

4fK

5fK

4fK

1fK

4fK

5fK

6fK

a b c

Figura 4.11

De la Fig. 4.11 se observan los siguientes conjuntos cortados-f:

Fig. 4.11(a): Kf1= 1, 2, 3 Kf4= 3, 4, 5 Kf6= 2, 5, 6

Fig. 4.11(b): Kf3= 1, 2, 3 Kf4 = 1, 4, 6 Kf5= 2, 5, 6Fig. 4.11(c): Kf1= 1, 2, 3 Kf4= 2, 3, 4, 6 Kf5=2, 5,6

Observe en todos los casos ilustrados que la remocin de una rama del rbol, la rama 1, por ejemplo, en laFig. 4.11a, lo divide en dos subgrafos consistentes de dos componentes. Si S1y S2denotan los conjuntosde nodos de estos dos componentes, entonces S1y S2son mutuamente excluyentes y en conjunto incluyentodos los nodos del grafo. Por lo tanto, la rama 1 del rbol define una particin de los nodos del grafo enuna forma nica. El conjunto de bordes del grafo que conectan un nodo en S1 con un nodo en S2 esclaramente un conjunto cortado del grafo y forma un conjunto cortado fundamental o conjunto cortado f.Una propiedad importante ya mencionada de un conjunto cortadofes que contiene solamente una rama a saber, la rama del rbol que lo define y algunos enlaces del corbol (con respecto al mismo rbol).

Como puede observarse, por la manera como se forman los conjuntos cortados-f

en un grafo dado, elnmero de ellos es igual al nmero de ramas del rbol creado, ya que cada conjunto cortado fundamentalcontiene una y slo una rama del rbol. Es decir, que el nmero de conjuntos cortados fundamentales esigual al nmero de vrtices menos uno:

1= vKf (4.1)

donde Kfes el nmero de conjuntos cortados fundamentales.

Los conjuntos cortados-fcon respecto a un rbol determinado de un grafo conexo constituyen un grupocompleto de conjuntos cortados independientes. Todos los dems conjuntos cortados del grafo sonnecesariamente dependientes de stos.


8/29

150

4.2.14 CIRCUITOS FUNDAMENTALES

Igual que para los conjuntos cortados, ahora se definirn los circuitos fundamentales. Un circuitofundamental es aqul formado por una sola unin y una o ms ramas de un rbol. Cada vez que a un rbolse le agrega un enlace, el grafo resultante ya no es un rbol. El enlace y la trayectoria nica en el rbolentre dos puntos extremos del enlace constituyen un circuito. Por lo tanto, cada enlace de un corboldefine un circuito nico en el grafo orientado con respecto al rbol escogido. Tal circuito se denomina uncircuito fundamental o circuito f. En la Fig. 4.12 se muestran varios rboles del mismo grafo con suscircuitos fundamentales.

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

(a) (b) d

3fC 5fC

2fC

1fC6fC

2fC

3fC 6fC

2fC

Figura 4.12

En la Fig. 4.12 se observan los siguientes circuitos fundamentales:

Fig. 4.12(a): .y, 532 fff CCC

Fig. 4.12(b): .y, 621 fff CCC Fig. 4.12(c): .y, 632 fff CCC

Por la forma de construccin de los circuitos fundamentales, est claro que su nmero es igual al nmerode uniones; esto es,

1+= vbCf (4.2)

El conjunto de circuitos fundamentales con respecto a un rbol determinado constituye un conjuntocompleto de circuitos independientes y todos los dems circuitos del grafo son necesariamentedependientes de stos. El nmero m= b c + 1 = b rse conoce como la nulidaddel grafo, donde ces elnmero de componentes del grafo y res su rango(r= v c). El trmino nulidadtambin se conoce por elnombre de rango del circuito. Como se ver en el prximo captulo, el rango y la nulidad representan elnmero de conjuntos cortados y circuitos independientes de un grafo.

4.3 RELACIN ENTRE LOS CIRCUITOS FUNDAMENTALES Y LOS CONJUNTOSCORTADOS FUNDAMENTALES

Los circuitos fundamentales estn relacionados con la ley de los voltajes de mallas de Kircchoff (LVK)y los conjuntos cortados fundamentales lo estn con la ley de las corrientes en los nodos de Kircchoff(LCK). Las ecuaciones para los voltajes de mallas se obtienen seleccionando un rbol del grafo, formandoluego el conjunto de bv+ 1 circuitos fundamentales y escribiendo las ecuaciones de los voltajes de


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151

mallas para estos circuitos. De la misma forma, las ecuaciones para las corrientes en los nodos se obtienenformando el grupo de 1v conjuntos cortados fundamentales y escribiendo luego las ecuaciones para las

corrientes en los nodos para estos conjuntos fundamentales.

4.4 EL GRAFO ORIENTADO

En muchas aplicaciones, es necesario asociar con cada borde de un grafo una orientacin. Si a la red dela Fig. 4.13a se le asignan sentidos arbitrarios a las corrientes de cada elemento, el grafo correspondienteresultante, conservando el mismo sentido de las corrientes de la red en los bordes del grafo, ser un grafolineal orientado, tal como se ilustra en la Fig. 4.13b.

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

(b)

+_1e

1R

A3R

2L

4C

B 5R

C

6R

D

1i

2i

3i

4i

5i

6i

(a)

Figura 4.13

Un circuito est orientado si a ese circuito se le asigna una direccin. Es conveniente asignar laorientacin de un circuito fundamental de manera que su direccin coincida con la de la corriente en launin que lo genera. En la Fig. 4.14 se ilustran varios circuitos fundamentales orientados para diferentesrboles.

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

2fC

3fC 5fC

2fC

4fC 5fC 1fC

2fC

6fC

(c)(b)(a)

Figura 4.14

En igual forma, un conjunto cortado est orientado si se le asigna una orientacin. Para un conjuntocortado fundamental, es conveniente asignarle una orientacin de forma que coincida con la orientacin dela rama que lo genera. La orientacin se indica con una flecha colocada al lado de la lnea punteada queidentifica al conjunto cortado. En la Fig. 4.15 se ilustran varios conjuntos cortados fundamentalesorientados para diferentes rboles.


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152

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

AB

C

D

1

2

3

4

5

6

AB

C

D

1

2

3

4

5

61fK

4fK

6fK

1fK

3fK

6fK3fK

4fK

5fK

(c)(b)(a)

Figura 4.15

4.5

LA MATRIZ DE CIRCUITOS FUNDAMENTALESPara un grafo que contiene bbordes, la matriz de circuitos completa, Bc= [bij], es una matriz con b

columnas y tantas filas como circuitos tenga el grafo. Sus elementos tienen los valores siguientes:

1=ijb si el bordejest en el circuito iy sus orientaciones coinciden;

1=ijb si el bordejest en el circuito iy sus orientaciones no coinciden;

0=ijb si el bordejno est en el circuito i.

El subndice cen Bcindica que se ha considerado el conjunto completo de circuitos. El grafo de la Fig.4.14a tiene tres circuitos fundamentales orientados. Escribiendo las ecuaciones para los voltajes de malla(tomando como referencia positiva la indicada por la orientacin del circuito), se obtiene

0:

0:

0:

6545

4313

6212

=++

=++

=++

vvvC

vvvC

vvvC

f

f

f

(4.3)

Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial se obtiene

0111000001101

100011

654321

6

5

4

3

2

1

5

3

2

=

v

v

v

v

v

v

CC

C

f

f

f (4.4)

o tambin

0=e

vB (4.5)

La matriz Bse denomina la matriz de circuitos fundamentalesy su dimensin es de bvb + )1( . Suselementos se forman de acuerdo a las reglas ya dadas para la matriz de circuitos y se recomienda escribirlas filas de la matriz Ben el orden numrico de los circuitos fundamentales (la razn para esto se ver ms


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153

adelante). En el caso anterior el orden recomendado es Cf2, Cf3, Cf5. La Ec. (4.5) es la forma matricial de laLVK. ve(t) es el vector de los voltajes en los elementos.

La matriz de circuitos fundamentales del grafo en la Fig. 4.14b es

=

110101

001101

100011

654321

B (4.6)

y la del grafo en la Fig. 4.14c es

=

111000

010110

001101

654321

B (4.7)

Si estas matrices se ordenan de manera tal que se colocan primero las columnas correspondientes a lasuniones y luego las correspondientes a las ramas, manteniendo siempre el orden numrico de ambas, seobtiene para los grafos de las Figs. 1.14a, 1.14b y 1.14c, respectivamente,

=

110100

011010

101001

641532

B (4.8)

=

111100

011010

101001

631542

B (4.9)

=

110100

101010

011001

543621

B (4.10)

De las igualdades (4.8) a (4.10) se observa que si la matriz de circuitos fundamentales se ordena en laforma indicada, la porcin correspondiente a las uniones forma la matriz identidad, por lo que la matriz Bpuede escribirse en la forma

[ ]12 BUB m= (4.11)

donde se ha utilizado la notacin Umpara indicar a la matriz identidad de orden m (mes la nulidad delgrafo).

Al escribir las ecuaciones de Kirchhoff para los voltajes (LVK), suponemos implcitamente que loselementos del vector de los voltajes en los bordes o elementos han sido arreglados en el mismo orden que


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154

los bordes correspondientes a las columnas de B. Si, por ejemplo, usamos la matriz de circuitosfundamentales de la Ec. (4.10), el vector de voltajes ve(t) debe arreglarse como

[ ]Te

tvtvtvtvtvtvt )()()()()()()( 543621=v

4.6

LA MATRIZ DE CONJUNTOS CORTADOS FUNDAMENTALES

El grafo de la Fig. 4.15a tiene tres conjuntos cortados fundamentales y orientados. Escribiendo lasecuaciones de corriente (LCK) para cada uno de estos conjuntos, considerando positiva a la corriente delborde que tenga la misma orientacin del conjunto cortado y negativa a la corriente del borde orientada ensentido contrario a la del conjunto cortado, se obtiene

::

:

6

4

1

f

f

f

K

K

K

00

0

652

543

321

=+=++

=

iii

iii

iii

(4.12)

Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como

=

0

0

0

110010

011100

000111

654321

6

5

4

3

2

1

i

i

i

i

i

i

(4.13)

o tambin

0=eQi (4.14)

La matriz Qse denomina la matriz de conjuntos cortados fundamentalesy su dimensin es bv )1( .Los elementos qijde Qse obtienen de la manera siguiente:

qij= 1 si el bordejpertenece al conjunto cortado iy su orientacin coincide con la del borde.qij= 1 si el bordejpertenece al conjunto cortado iy su orientacin es contraria a la del borde.qij= 0 si el bordejno pertenece al conjunto cortado i.

Al igual que en el caso de la matriz de circuitos fundamentales B, se recomienda escribir las filas de lamatriz Qen el orden numrico de los conjuntos cortados. En el caso anterior en el orden 641 ,, fff KKK .

La matriz Qdel grafo de la Fig. 4.15b es

=

110010

011100

011011

654321

Q (4.15)


13/29

155

y la del grafo de la Fig. 4.15c es

=

110010

101001

000111654321

Q (4.16)

Una forma de visualizar con rapidez si una corriente tiene o no la misma orientacin que el conjuntocortado, es imaginar al conjunto cortado como un supernodo.

Si la matriz de conjuntos cortados fundamentales Q se ordena de manera que se colocan primero lascolumnas correspondientes a las uniones y luego las correspondientes a las ramas, se obtiene para losgrafos de las Figs. 1.15a, 1.15b y 1.15c, respectivamente,

=

100101

010110

001011641532

Q (4.17)

=

100101

010110

001111

631542

Q (4.18)

=

100110

010101

001011543621

Q (4.19)

Igual que en el caso de la matriz de los conjuntos cortados, el vector ie(t) debe ordenarse en el mismoorden que la matriz Qcorrespondiente; por ejemplo, para la matriz Qde la Ec. (4.19), el vector ie(t) es

[ ]Te

titititititit )()()()()()()( 543621=i

De las relaciones (4.17) a (4.19), se observa que la porcin de las matrices correspondiente a las ramas

forma la matriz identidad, por lo que la matriz Qpuede expresarse en la forma[ ]rUQQ 11= (4.20)

donde Ures la matriz identidad de orden r.

4.7 LA MATRIZ DE INCIDENCIA

Ahora se proceder a escribir las ecuaciones para las corrientes en los cuatro vrtices del grafo de la Fig.4.13, tomando como positiva la corriente que sale del vrtice y como negativa la corriente que entra:


14/29

156

0:DVrtice

0:CVrtice0:BVrtice

0:AVrtice

641

652

543

321

=

=+=++

=++

iii

iiiiii

iii

(4.21)

Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial se obtiene

:DVrtice

:CVrtice

:BVrtice

:AVrtice

=

0

0

0

0

101001

110010

011100

000111

654321

6

5

4

3

2

1

i

i

i

i

i

i

(4.22)

o en forma ms compacta,

0=ea iA (4.23)

La matriz Aase denomina la matriz de incidencia aumentada ocompleta. Observe que cada columna deAacontiene exactamente un +1 y un 1 yque la suma de los elementos de las columnas de la matriz deincidencia aumentada es siempre igual a cero; ello se debe a que un borde cualquiera siempre une a dosnodos: si la corriente est entrando a uno de los nodos, es obvio que est saliendo del otro. Observetambin que el orden de la matriz de incidencia aumentada es de v b. Puesto que cada columna contiene

exactamente un +1 y un 1, cualquier fila de la matriz de incidencia aumentada es la suma negativa de lasotras. Por lo tanto, el rango de Aaes v1 como mximo. Es fcil demostrar que v1 es el rango de Aa.Para un grafo de vnodos y ccomponentes, el rango de la matriz de incidencia Aaes igual a cvr = .Como un resultado de esta propiedad, no hay necesidad de considerar todas las filas de Aa; son suficientesr filas linealmente independientes. Una submatriz de Aa, denotada por A, se denomina una matriz deincidencia baseo simplemente una matriz de incidenciasi Aes de orden br y de rango r. Si el grafo esconexo, se puede obtener una matriz de incidencia base Aa partir de la matriz de incidencia completa Aamediante la eliminacin de una de sus filas. La fila eliminada de Aacorresponde al punto de referenciapara los potenciales en una red elctrica.

Si tomamos el vrticeDcomo referencia, la matriz de incidencia correspondiente al grafo de la Fig. 4.13es

C

B

A

=

110010

011100

000111

654321

A (4.24)

Al igual que la matriz By la matriz Q, la matriz de incidencia puede formarse directamente a partir delgrafo colocando 1 en la posicin del borde si ese borde est unido al vrtice y un 0 si no lo est. Entoncessi A= [aij], tenemos que

aij= 1 si el bordejincide en el vrtice iy su orientacin se aleja de i.


15/29

157

aij= 1 si el bordejincide en el vrtice iy su orientacin se acerca a i.aij= 0 si el bordejno incide en el vrtice i.

El orden en que se escriban las filas de la matriz Ano tiene mucha importancia.

La matriz de incidencia para el grafo de la Fig. 4.13, tomando el vrticeBcomo referencia es

=

101001

110010

000111

654321

A

D

C

A (4.25)

y tomando el vrtice Ccomo referencia,

=

101001

111100

000111654321

A

D

B

A (4.26)

La matriz de incidencia A, al igual que la matriz de circuitos fundamentales By la matriz de conjuntoscortados Q, puede reordenarse de manera tal que las columnas correspondientes a las uniones se escribanprimero y luego se escriban las columnas correspondientes a las ramas, en el mismo orden que se tompara ByQ. El resultado se denota entonces como

[ ]1211 AAA= (4.27)

Dado un grafo, es relativamente sencillo escribir una matriz de incidencia. Con frecuencia, el problemapodra ser el inverso: Dada la matriz de incidencia, dibujar el grafo. En un sentido abstracto, la matriz deincidencia aumentada define al grafo. Es una representacin del grafo, mientras que el dibujo es otrarepresentacin. Sin embargo, la matriz de incidencia, a diferencia de la matriz de incidencia completa, pors sola no define al grafo; debe ser aumentada por alguna condicin, como, por ejemplo, el grafo esconexo. sta es la condicin ms probable, as que siempre se supondr al menos que se especifique otracondicin.

El procedimiento es directo. Dada A, coloque en un plano un nodo adicional al nmero de filas de Ayenumrelos de acuerdo con las filas. Luego considere las columnas, una a la vez. En cada columna haycuando ms dos elementos diferentes de cero. Coloque un borde entre los dos nodos correspondientes a lasdos filas que contienen elementos diferentes de cero en esa columna. Si existe slo un elemento diferente

de cero, el borde est entre el nodo correspondiente a esta fila y el nodo adicional. Las direccionesquedarn determinadas por los signos de los elementos diferentes de cero.

Para ilustrar el procedimiento, sea

=

11100000

00111000

00001110

10000011

A


16/29

158

la matriz de incidencia dada. En la Fig. 4.16 se han dibujado, a partir de esta matriz, dos grafos conexosaparentemente diferentes. Las diferencias visuales provienen del hecho que inicialmente los nodos fueroncolocados en el plano en patrones diferentes. Sin embargo, ambos grafos tienen la misma matriz deincidencia.

1

2

3

4

5

6

2 341

(a)

8

7

4

32

1

7

6

5

3

4

8

12

(b)

Fig. 4.16 Grafos isomorfos.

A pesar de las diferencias visuales, el hecho significativo es que hay una correspondencia uno-a-unoentre los vrtices y los bordes que preserva las relaciones de incidencia. Observe que al dibujar estacorrespondencia no se considera la orientacin de los bordes. Los grafos para cuales se puede estableceresta correspondencia se denominan isomorfos o topolgicamente equivalentes. Se deduce que, si dos

grafos tienen la misma matriz de incidencia aumentada o la misma matriz de incidencia si el grafo esconexo entonces los grafos son isomorfos.

4.8 RELACIONES ENTRE LAS MATRICES DE LAS REDES

Existen varias relaciones entre las matrices de los grafos de redes que permiten determinar una o variasde las matrices previo conocimiento de una o varias de las otras, o que tambin permiten construir el grafoa partir del conocimiento de una de esas matrices.

Considere el grafo de la Fig. 4.17. En el grafo se indica el rbol seleccionado.

Las matrices de circuitos fundamentales, de conjuntos cortados fundamentales y de incidencia, tomando

el vrticeEcomo referencia, son:

=

1110000

0011110

0101001

7654321

B (4.28)


17/29

159

A

B

CD

1

2 3

4 5

64fK

6fK

5fK

(b)(a)

7

E

1fC

3fC

7fC

A

B

CD

1

2 3

4 5

6 7

E

2fK

Figura 4.17

=

1100001

1010100

0001101

0000110

Q (4.29)

=

1010100

0111000

0000110

0001011

A (4.30)

Multiplicando ahora la matriz de incidencia Apor la traspuesta de la matriz de circuitos fundamentales B,se obtiene

=

=

000

000

000

000

100

101

110

011

010

010

001

1010100

0111000

0000110

0001011

TAB (4.31)

Si las matrices A, By Qse ordenan por sus uniones y sus ramas, se obtiene

[ ]1211

0100110

1110000

0001010

0011001

6542731

AAA =

= (4.32)


18/29

160

[ ]1211001000111010

1010001

BUB u=

= (4.33)

[ ]1211

1000101

0100110

0010011

0001010

QQQ =

= (4.34)

Multiplicando ahora la matriz de incidencia ordenada A [Ec.(4.32)] por la traspuesta de la matriz decircuitos fundamentales ordenada B[Ec. (4.33)], se obtiene

=

=

000

000

000

000

101

110

011

010

100

010001

0100110

1110000

0001010

0011001

TAB (4.35)

De las Ecs. (4.31) y (4.35) se observa que el producto matricial ABT, para el ejemplo ilustrado, es igual acero. Este resultado es general y puede obtenerse de la siguiente manera: para cualquier grupo de unionesincidentes en un vrtice iy cualquier grupo de uniones contenidas en un circuito j, el nmero de unionescomunes a los dos grupos es cero o dos. Si las columnas de Ay Bestn arregladas con el mismo orden deuniones, el producto de la i-sima fila de A por la j-sima columna de B da bien sea la suma de dosproductos diferentes de cero si hay dos uniones comunes, o un cero si no hay uniones comunes. Pero lasuma de dos productos diferentes de cero es siempre igual a cero debido a la convencin de signosutilizada para definir los elementos aijde Ay bijde B. Queda as establecido el resultado

0=TAB (4.36)

y tambin que

0=TBA (4.37)

Este ltimo resultado se obtiene simplemente tomando la transpuesta de la Ec. (4.36). Estas relaciones seconocen como las relaciones de ortogonalidad.

De nuevo se debe recalcar que las Ecs. (4.36) y (4.37) son vlidas si las matrices estn ordenadas en lamisma forma. Las ecuaciones no se cumplen para ordenamientos arbitrarios.

Considrese ahora el producto de la matriz de conjuntos cortados fundamentales de la Ec. (4.29) y latraspuesta de la matriz de circuitos fundamentales de la Ec. (4.29):


19/29

161

=

=

000

000

000

000

000

101

110

011

010010

001

1100001

1010100

0001101

0000110

TQB (4.37)

y multiplicando la matriz de conjuntos cortados fundamentales ordenada (4.34) por la traspuesta de lamatriz de circuitos fundamentales ordenada (4.33), se obtiene

=

=

000

000

000

000

101

110

911

910

100

010001

1000101

0100110

0010011

0001010

6542731

TQB (4.38)

De las Ecs. (4.37) y (4.38) se observa que el producto de cualquier matriz de conjuntos cortadosfundamentales Qpor la traspuesta de la matriz de circuitos fundamentales Bes igual a cero. Igual que en

el caso anterior, este resultado es general y la demostracin se deja para el lector. Se tiene entonces que

0

0

=

=

T

T

BQ

QB (4.39)

De nuevo debemos sealar que los resultados dados por la Ec. (4.39) son vlidos si las matrices By Qestn ordenadas en la misma forma. Estas dos ltimas son relaciones de ortogonalidad adicionales. Lasrelaciones de ortogonalidad dadas conforman uno de los teoremas fundamentales de la teora de grafos.

Combinando las Ecs. (4.32), (4.33) y (4.34), se obtiene

[ ][ ] [ ] 0121112111211

=+=

== T

T

u

r

T

ur

BQB

UUQBUUQQBT

de donde

T1211 BQ = (4.40)

Como ejemplo, de las Ecs. (4.33) y (4.34) se tiene que


20/29

162

=

=

101

110011

010

1100

0111

1010

1112 QB

y se observa que

=

101

110

011

010

12TB

y as queda comprobada la Ec. (4.40).Combinando las Ecs. (4.39) y (4.40), se obtiene

[ ][ ] [ ] 0 12121112

1211121211 =+=

== T

T

uT

uT BAA

B

UAABUAAAB

de donde

111

1212 AAB = T (4.41)

Combinando adems las Ecs. (4.40) y (4.41), se obtiene

111

121211 AABQ ==T (4.42)

De las Ecs. (4.32) y (4.33), se obtiene

=

=

=

1100

0111

1010

0100

1110

0001

0011

110

000

010

001

121211 BAA

por lo que

=

=

101

110

011

010

1111

1000

0011

0010

121

12TBA

y


21/29

163

=

=

101

110011

010

110

000010

001

1111

10000011

0010

111

12AA

quedando as comprobada la Ec. (1.41).

Combinando las Ecs. (4.34), (4.40), (4.41) y (4.42), se tiene que

[ ]

[ ] AAAAA

AAAAUAAUBUQQ1

1212111

12

121

12111

12111

121211

==

==== rrT

r (4.43)

Usando los valores de la matriz en la Ec. (4.32), se obtiene

=

=

1000101

0100110

0010011

0001010

0100110

1110000

0001010

0011001

1111

1000

0011

0010

112 AA

y as queda comprobada la Ec. (4.43).

En resumen, las relaciones entre matrices son:

[ ]1211 AAA= (4.32) [ ] (4.33)12BUB u= [ ] (4.34)11 rUQQ=

(4.36)0== TT BAAB 0== TT BQQB (4.39) T1211 BQ = (4.40)

111

1211 AAQ = (4.42) 11

11212 AAB

= (4.41) AAQ 112= (4.43)

Conociendo entonces una matriz, la de incidencia por ejemplo, por intermedio de la Ec. (4.41) se

determina T12B , con lo que se puede obtener la matriz de circuitos fundamentales usando la Ec. (4.33).

Tambin se podra determinar la matriz de conjuntos cortados fundamentales por intermedio de la Ec.(4.43) o de las Ecs. (4.41) y (4.34), En esta forma se construye el grafo orientado especificando su rbol,ramas y uniones. Tambin son posibles otras combinaciones, como por ejemplo, la matriz de incidenciaslo se puede determinar a partir del grafo. En resumen, el significado de los resultados es que una vezdada A, las matrices B y Q pueden calcularse directamente a partir de A sin la necesidad de formarprimero los conjuntos cortados fundamentales y los circuitos fundamentales una ayuda verdadera en elanlisis asistido por computadora.


22/29

164

Ejemplo 1

Un grafo tiene la siguiente matriz fundamental:

=

1111000

0101110

0010011

7654321

B

a) Determine la matriz de conjuntos cortados fundamentales.

b) Dibuje el grafo orientado y determine los conjuntos cortados fundamentales y los circuitos fundamentales.

c) Determine la matriz de incidencia.

a) Ordenando la matriz dada en la forma [ ]12BUB u=

, se obtiene

=

1110100

1011010

0101001

6542731

B

de donde

==

=

110

101

110

011

1110

1011

0101

121112TBQB

y

=

1000110

0100101

0010110

0001011

6542731

Q

b) Con la informacin proporcionada por las matrices By Q, se tiene que los circuitos fundamentales son

76,5,4,64,3,2,52,,1 731 === fff CCC

y los conjuntos cortados fundamentales son

7,6,376,3,74,3,32,1, 8542 ==== ffff KKKK

Con esta ltima informacin se puede obtener el grafo orientado como se indica en la Fig. 4.18.


23/29

165

A B C

7

1

63

25

4

D

E

2fK 4fK

5fK

6fK

1fC

3fC7fC

Figura 4.18

c) Del grafo orientado se construye la matriz de incidencia. Esta matriz, tomando el vrticeBcomo referencia, es

=

0110101

1000000

0111000

0001011

6542731

A

Ejemplo 2

Encontrar la matriz de incidencia aumentada ordenada numricamente por las uniones a partir de la siguiente matrizde conjuntos cortados fundamentales.

=

0010100001

0111000001

0010000011

1110010100

0100001100

10987654321

Q

Se observa que los conjuntos cortados son Kf2, Kf4, Kf6, Kf7y Kf10. Ahora se ordena la matriz de manera que las ramas

2, 4, 6, 7 y 10 queden como las ltimas columnas. Si se desea que las ramas queden ordenadas numricamente, parapoder obtener la matriz Ures necesario reordenar primero algunas filas. Con lo cual se obtiene

=

1110010100

0111000001

0010100001

0100001100

0010000011

10987654321

Q

y reordenando las columnas


24/29

166

=

1000011110

0100011001

0010001001

00010100100000101001

10764298531

Q

por lo que la matriz de circuitos fundamentales es

=

1101010000

1110101000

1000000100

1001000010

0110100001

10764298531

B

Los conjuntos cortados fundamentales y los circuitos fundamentales son entonces

10,9,7,410,8,7,6,210,510,4,37,6,2,1

9,8,7,110,9,8,5,38,6,19,4,38,2,1

98531

710642

=====

=====

fffff

fffff

CCCCC

KKKKK

Con esta informacin se construye el grafo orientado de la Fig. 4.19.

AB

C

F

7

1

10 8

63

92

5

4

D E

Figura 4.19

Y, finalmente, la matriz de incidencia aumentada y ordenada es

=

0100110000

0010100000

0001010010

0010001001

1001001100

1100000111

F

E

D

C

B

A

10987654321

A


25/29

167

Ejemplo 3

Hacer las conexiones de la fuente de voltaje, la lmpara y los ocho interruptores indicados en la Fig. 4.20, de maneraque se cumplan las siguientes condiciones:

a) Con los interruptores 1, 3, 5 abiertos, la lmpara encender si y slo si los dems interruptores estn cerrados.

b) Con los interruptores 1, 6, 8 abiertos, la lmpara encender si y slo si los dems interruptores estn cerrados.

c) Con los interruptores 2, 4, 6 abiertos, la lmpara encender si y slo si los dems interruptores estn cerrados.

d) Con los interruptores 3, 4, 7 abiertos, la lmpara encender si y slo si los dems interruptores estn cerrados.

1 8765432+

_V L

Figura 4.20

Se toma la fuente en serie con la lmpara como un solo borde y cada interruptor como un borde. Se coloca un 1 siel interruptor est cerrado y un 0 si est abierto. Los nmeros de los bordes del 1 al 8 corresponden a los

interruptores y el 9 corresponde a la fuente lmpara. De esta manera, la matriz de circuitos fundamentales sinorientacin es

=

110110011

111010101

101011110

111101010

987654321

B

A partir de esta matriz se obtiene el grafo mostrado en la Fig. 4.21.

Y la conexin final de interruptores y lmpara ser como se muestra en la Fig. 4.22.

1.9 TEOREMA DE TELLEGEN

Las leyes de voltaje y de corriente de Kirchhoff son restricciones algebraicas que surgen de lainterconexin de los elementos de una red y son independientes de las caractersticas de los elementos.Como una consecuencia, ahora se demostrar que ellas implican la conservacin de la energa. En otraspalabras, la conservacin de la energa no tiene que ser un postulado adicional de la teora de redes.

Ya se demostr que una red cumple la LCK y la LVK si y slo si se satisfacen las ecuaciones 0iQ =)(t

y 0vB =)(t . Las soluciones ms generales de i(t) y v(t) que satisfacen estas ecuaciones pueden escribirseexplcitamente como


26/29

168

1

2

3

4

5

6

7

9

8

Figura 4.21

+_V

L

7

6

1

2 8 5

4

3

Figura 4.22

)()( ttm

TiBi = (4.44)

)()( ttc

TvQv = (4.45)

donde im(t) es un m-vector arbitrario y )(tcv es un r-vector arbitrario. Recuerde que v, b, c, my rdenotan

respectivamente el nmero de nodos, el nmero de bordes, el nmero de componentes y la nulidad y rangodel grafo orientado asociado con la red. Para verificar esto calculamos

00iiQBQi === )()()( tttmm

T

00vvQBvBQBv ==== )()()()()( ttttcc

TTc

T


27/29

169

ya que 0QB =T . Como un resultado inmediato tenemos que

00iviQBviv =====

)()()()()()()(1

ttttttitvm

Tcm

TTc

Tb

k

kk (4.46)

demostrando que la suma de las potencias instantneas suministradas a todos los elementos, cuyos voltajesy corrientes son respectivamente vk(t) e ik(t), es igual a cero. Si se integra la Ec. (4.46) entre dos lmites t0y tcualesquiera, se obtiene la energa almacenada total en la red desde t0hasta tcomo

constante)()()(1

0

===

b

k

t

t

kkdivtw (4.47)

Expresado en una forma diferente, la Ec. (4.47) muestra que la conservacin de la energa es unaconsecuencia directa de las dos leyes de Kirchhoff y no se necesita aadir el postulado de que la energatotal es conservativa en la teora de redes.

Puesto que las leyes de Kirchhoff son independientes de las caractersticas de los elementos que forman

la red, se puede obtener un resultado an ms general. Considere otra red N que tiene el mismo grafo

orientado. Denote por )( ti y )( tv los vectores de corrientes y voltajes en los elementos de N . Entonces

tenemos que )()( tt miBi = y )()( tt cTvQv = , donde )( tmi y )( tcv son un m-vector y un r-vector

arbitrarios, respectivamente. Ahora se puede calcular

0)()()()()()( === ttttttm

Tcm

TTc

T i0viBQviv (4.48)

0)()()()()()( === ttttttm

Tcm

TTc

T i0viBAviv (4.49)

Tomando las transpuestas de estas ecuaciones y observando que la transpuesta de un escalar es l mismo,se obtienen diferentes formas de la Ec. (4.48):

0)()()()()()()()( ==== tttttttt TTTT viviiviv (4.50)

La Ec. (4.50) se conoce como el teorema de Tellegen. La entidad )()( ttT iv no tiene significado fsico

como la suma de potencias instantneas porque v(t) e )( ti pertenecen a dos redes diferentes. Se tiene querecalcar que el teorema de Tellegen es vlido bajo la suposicin de que las dos redes diferentes bajoconsideracin tienen la misma topologa a saber, el mismo grafo orientado asociado. El teorema esvlido si las redes son lineales o no y variables o no en el tiempo.


28/29

170

PROBLEMAS

1. Obtenga el grafo de las redes en la figura e indique los bordes, vrtices y todos los circuitos yconjuntos cortados.

+_1e

1R 3R

6R

2L

4L 5C

+_

1R 6R

2L

5C

4e4R

3L

1i

2. Seleccione tres rboles de cada uno de los grafos del problema 1 e indique los circuitos fundamentalesy los conjuntos cortados fundamentales para cada uno de ellos.

3. En la red de la figura, seleccione un rbol y escriba las matrices de incidencia, de conjuntos cortadosfundamentales y de circuitos fundamentales.

+_1e 4L +_

1L

2R

3C5R

5e

1I

2I

3I

4I

5I

4. Repita el problema anterior seleccionando otro rbol.

5. Ordene las matrices de los problemas 3 y 4 por sus uniones y ramas y en ambos casos compruebe lasrelaciones (4.32), (4.36), (4.39), (4.40), (4.41), (4.42) y (4.43).

6. Encuentre el grafo orientado a partir de la siguiente matriz de incidencia.

=

110000

011100

001010000111

654321

A

7. Consiga una matriz de conjuntos cortados fundamentales y de circuitos fundamentales del grafo con lamatriz de incidencia del problema 6.

8. Un grafo tiene la siguiente matriz de circuitos fundamentales:


29/29

171

=

100110100

111000110

001001010001100001

987654321

B

a) Determine la matriz de conjuntos cortados fundamentales.b) Construya el grafo.c) Indique los conjuntos cortados fundamentales y los circuitos fundamentales.d) Determine la matriz de incidencia.

9. Encuentre la matriz de circuitos fundamentales y la matriz de incidencia a partir de la siguiente matriz

de conjuntos cortados fundamentales.

=

00100010

10100101

11110000

10001001

87654321

Q

10.Sean B y Q las matrices de circuitos fundamentales y de conjuntos cortados fundamentales de ungrafo orientado. Se puede demostrar que el nmero de rboles en un grafo viene dado por la frmula

Nmero de rboles = TT QQBB detdet =

Use esta frmula para determinar el nmero de rboles en el grafo de la figura.

texto - cap 4 (libro prof. maulio rodrÍguez).pdf

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