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CAPÍTULO 7
REDES DE DOS PUERTOS
7.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se hace un análisis de las redes de dos puertos. Estas redes son importantes cuando el interés radica en la transmisión de energía o información de un punto a otro. La red de dos puertos es la más común y más importante de las redes de n puertos generales. Una red de dos puertos se define como una red de dos pares de terminales disponibles para conexiones externas; se considera que la red está completamente aislada excepto por estos dos pares de terminales. La red está constituida por elementos pasivos y fuentes dependientes y sus condiciones iniciales son iguales a cero. No contiene fuentes independientes. Fundamental al concepto de un puerto es la suposición de que la corriente instantánea que entra por una terminal del puerto es siempre igual a la corriente instantánea que sale por la otra terminal del puerto. En la Fig. 7.1 se ilustra una red de dos puertos y los pares de terminales se indican como (1, 1') y (2, 2'); se supone que no se deben hacer conexiones entre una terminal de un par de terminales y otra terminal de un par de terminales diferentes.
1V
1I
2V
2I
+ +_ _
1
1'
2
2'
Figura 7.1
En la red de dos puertos se identifican cuatro variables: ,1V ,1I ,2V e .2I En la Fig. 7.1 se indica la convención utilizada para las polaridades de los voltajes y los sentidos de las corrientes. De estas cuatro variables, sólo dos se consideran independientes y la especificación de dos cualesquiera de ellas determina las dos restantes. Puesto que se está considerando redes lineales, las relaciones entre esas variables son lineales y se puede aplicar la superposición. También se debe señalar que en este capítulo se trabajará con variables transformadas y con redes en reposo (condiciones iniciales iguales a cero).
Las relaciones entre las cuatro variables indicadas pueden ser expresadas en seis formas diferentes, dependiendo de cuáles son las variables seleccionadas como dependientes e independientes. Estas seis formas diferentes de expresión conducen a seis tipos diferentes de parámetros para caracterizar la red de dos puertos, cada uno de los cuales tiene sus características y ventajas particulares, las cuales se verán en el transcurso del capítulo.
7.2 PARÁMETROS z
Para este primer tipo de parámetros, denominados también parámetros de circuito abierto, se selecciona a las corrientes )( e (s) 21 sII como las variables independientes, y su relación con las variables dependientes
)(y (s) 21 sVV , usando superposición, se expresa en la forma
286
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sIszsIszsVsIszsIszsV
+=+=
(7.1)
o expresadas en forma matricial,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)()(
)( (s))( (s)
)()(
2
1
2221
1211
2
1
sIsI
szzszz
sVsV
(7.2)
Los parámetros z se determinan dejando en circuito abierto (de allí su nombre) uno de los dos puertos, esto es, igualando a cero una de las corrientes en un puerto y aplicando un voltaje en el otro puerto. En esta forma se tiene que
02
222
01
221
02
112
01
111
1212)()(
)( )()(
)( )()(
)( )()(
)(====
====IIII sI
sVsz
sIsV
szsIsV
szsIsV
sz (7.3)
Observe que los parámetros z tienen las dimensiones de impedancia. 7.3 PARÁMETROS y
Con este tipo de parámetros, llamados también parámetros de cortocircuito, se seleccionan )(1 sV y )(2 sV como las variables independientes; las expresiones entonces para las variables dependientes )(1 sI e )(2 sI son
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sVsysVsysIsVsysVsysI
+=+=
(7.4)
O, en forma matricial,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)()(
)( )()( )(
)()(
2
1
2221
1211
2
1
sVsV
sysysysy
sIsI
(7.5)
Los parámetros y se obtienen poniendo en corto – circuito uno de los dos puertos, esto es, haciendo cero uno de los dos voltajes, e inyectando una corriente por el otro puerto. Las expresiones correspondientes son entonces
02
222
01
221
02
112
01
111
1212)()(
)( )()(
)( )()(
)( )()(
)(====
====VVVV sV
sIsy
sVsI
sysVsI
sysVsI
sy (7.6)
Observe que estos parámetros tienen las dimensiones de admitancia.
Si la red es recíproca, esto es, la red cumple con el teorema de reciprocidad, se tiene que
)()()()(
2112
2112
sysyszsz
==
(7.7)
7.4 PARÁMETROS HÍBRIDOS h
Se obtiene otro conjunto de parámetros expresando la corriente en una terminal y el voltaje en la otra terminal en función de la corriente en la segunda terminal y el voltaje en la primera terminal. Se
287
denominan parámetros híbridos porque tienen diferentes unidades. Si se seleccionan la corriente )(1 sI y el voltaje )(2 sV como las variables independientes, las expresiones para )(1 sV e )(2 sI son
)()()()()()()()()()(
2221212
2121111
sVshsIshsIsVshsIshsV
+=+=
(7.8)
En forma matricial,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)()(
)( )()( )(
)()(
2
1
2221
1211
2
1
sVsI
shshshsh
sIsV
(7.9)
Los parámetros )(y )( 2111 shsh se calculan cortocircuitando el puerto 2 y aplicando un voltaje en el puerto 1; los parámetros )(y )( 2212 shsh se calculan poniendo en circuito abierto el puerto 1 y aplicando una corriente en el puerto 2. De esta manera,
02
222
01
221
02
112
01
111
1212)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
====
====IVIV sV
sIshsIsIsh
sVsVsh
sIsVsh (7.10)
Observe que el parámetro h11(s) tiene dimensiones de impedancia, los parámetros h12(s) y h21(s) son adimensionales y el parámetro h22(s) tiene dimensiones de admitancia.
7.5 PARÁMETROS HÍBRIDOS g
Para estos parámetros, llamados también parámetros híbridos inversos, se seleccionan el voltaje V1(s) y la corriente I2(s) como las variables independientes. En función de estas dos variables, I1(s) y V2(s) se expresan en la forma
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sIsgsVsgsVsIsgsVsgsI
+=+=
(7.11)
y en forma matricial,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)()(
)( )()( )(
)()(
2
1
2221
1211
2
1
sIsV
sgsgsgsg
sVsI
(7.12)
Los parámetros g11(s) y g21(s) se calculan con el puerto 2 en circuito abierto y aplicando una corriente en el puerto 1; los parámetros g12(s) y g22(s) se determinan cortocircuitando el puerto 1 y energizando el puerto 2. De esta manera se obtiene
02
222
01
221
02
112
01
111
1212)()(
)( )()(
)( )()(
)( )()(
)(====
====VIVI sI
sVsg
sVsV
sgsIsI
sgsVsI
sg (7.13)
De las relaciones se observa que g11(s) tiene las dimensiones de admitancia, g12(s) y g21(s) son adimensionales y g22(s) tiene las dimensiones de impedancia. 7.6 PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN a
Para estos parámetros se seleccionan el voltaje V2(s) y la corriente I2(s) como las variables independientes. En función de ellas, las variables dependientes V1(s) e I1(s) se expresan mediante las ecuaciones
288
)()()()()()()()()()(
221
221
sIsDsVsCsIsIsBsVsAsV
−=−=
(7.14)
o en forma matricial
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)()(
)( )()( )(
)()(
2
2
1
1
sIsV
sDsCsBsA
sIsV
(7.15)
Los parámetros A(s) y C(s) se calculan poniendo el puerto 2 en circuito abierto y energizando el puerto 1; los parámetros B(s) y D(s) se calculan corto – circuitando el puerto 1 y energizando el puerto 2. Esto es,
02
1
02
1
02
1
02
1
2222)(
)()(
)()(
)( )(
)()(
)()(
)(====
====VIVI sI
sIsD
sVsI
sCsI
sVsB
sVsV
sA (7.16)
De las expresiones anteriores se observa que A(s) y D(s) son adimensionales, B(s) tiene dimensiones de impedancia y D(s) tiene dimensiones de admitancia.
Una clase especial de red de dos puertos recíproca es la red de dos puertos simétrica. Ésta es una red en la cual el intercambio de los pares de terminales o puertos no produce ningún efecto sobre la conducta externa. Estas redes son caracterizadas por las siguientes igualdades:
2211 zz =
2211 yy =
A = D (7.17)
2211 gh =
2211 hg =
7.7 PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN b
Para estos parámetros, llamados también parámetros de transmisión inversos, se selecciona al voltaje V1 y la corriente I1 como las variables independientes, y V2 e I2 se expresan mediante las ecuaciones
)()()()()()(
112
112
sDIsCVsIsBIsAVsV
−=−=
(7.18)
o en forma matricial
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)()(
)()(
1
1
2
2
sIsV
DCBA
sIsV
(7.19)
Los parámetros A y C se calculan abriendo el puerto 1 y energizando el puerto 2; y los parámetros C y D se calculan cortocircuitando el puerto 1 y energizando el puerto 2. Esto es,
01
2
01
2
01
2
01
2
1111)(
)(
)()(
)(
)(
)()(
====−
==−
==VIVI sI
sIC
sVsI
CsI
sVB
sVsV
A (7.20)
289
EJEMPLO 1
Se desea determinar las matrices de los parámetros z, y, h, g, a y b de la red en la Fig. 7.2.
+
V2
−
+
V1
−
4 Ω
1 Ω
2 ΩI1 I2
Figura 7.2
Con el puerto 2 en circuito abierto, se obtiene el circuito
2 Ω 4 Ω
1 Ω
+
V2
−
I2I1V1
I1
Y a partir de éste
31 3 0 1
12112V
IVIVI ====
Dejando en circuito abierto el puerto 1, se obtiene
2 Ω 4 Ω
1 ΩI2I1 I2 V2
+
V1
−
De este gráfico obtenemos
51 5 0 2
21221VIVIVI =×===
Cortocircuitando ahora el puerto 2, se obtiene
290
2 Ω 4 Ω
1 ΩI2I1 I3
+
V2
−
V1
3
De este circuito obtenemos las relaciones
23
3232 41
4 0 IVIIVV −==−==
( ) 222131222231 145242 54 IIIIVVIIIIII −=−+−=+=−=−−=−=
1121 145
1455 VVII =
−−
=−=
Ahora se cortocircuita el puerto 1, para obtener el circuito siguiente:
2 Ω 4 Ω
1 ΩI2I1 I3
+
V1
−
3
V2
De aquí se obtiene
13
3131 21
2 0 IV
IIVV −==−==
111132 32 IIIIII −=−−=−=
( ) 22111232 314
314143424 IIIIIIVV =
−−
=−=−+−=+=
A partir de esto resultados y usando las Ecs. (7.3), (7.6), (7.10), (7.13), (7.15) y (7.18), se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5 114 3
51
51
51
514
5 11 3
ahz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
3 114 5
314
31
31
31
51
51
141
145
bgy
291
EJEMPLO 2
Repetir el Ejemplo 1 para el circuito de la Fig. 7.3.
Ω1
Ω2
V+
_1
I2I1
I1Ω2 V2
+
_3
Figura 7.3
Dejando el puerto 2 en circuito abierto y colocando una fuente en el puerto 1, se obtiene el circuito
Ω1
Ω2
V +_1
I2I1
I1Ω2 V2
+
_
I3I4 I5 3
De este circuito obtenemos las ecuaciones siguientes:
522 2 0 IVI ==
( ) ( )1131
1311441445421
4242 6464232222
VIIIIIIIIIIIIIIVV
−−−−=−−=−=+−=+=+=
11 52 IV −=
( ) 112312421 2222 VIVIIVIVV −+=−+=+=
1212121 525223 VVVVIVV −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+=+=
218 VV =
21528 VI =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
21 516 VI =−
Abriendo ahora el puerto 1, se obtiene el circuito
292
Ω1
Ω2
V+_ 2
I2I1
Ω2V1
+
_
I3
I4 I5
A partir de este circuito se obtienen las ecuaciones
3 03 0 2
43111V
IIVII =−===
213 VV =
222
532 65
23V
VVIII =+=+=
22 56 VI =
21 563 IV =
21 25 IV =
Poniendo ahora en corto – circuito el puerto 2, se obtiene
Ω1
Ω2
V +_1
I2I1
I1Ω2I3
I4 I5 3
Y de este circuito se obtienen las relaciones
11314152 22222 0 0 VIIIIVIV −=−====
11 23 IV =
21211211431 322 3 IIIVIIIVIII −=−=−⇒−+=+=
21 38 II =
21 3238 IV =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
214 IV =
293
Finalmente, corto – circuitamos el puerto 1 para obtener el circuito
Ω1
Ω2
V+_ 2
I2I1
I1Ω2I3
I4 I5 3
A partir del cual obtenemos las siguientes relaciones:
2 0 2
4131V
IIIV −====
212 VI −=
11112
12 32
3 IIIIV
II −−=−+=
A partir de esto resultados y usando las Ecs. (7.3), (7.6), (7.10), (7.13), (7.15) y (7.18), se obtiene
12 II = 222 VI −=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
83
165
41
81
65
38
31
32
56
516
52
52
ahz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
1 25
2 3
2 8
1 25
21 4
21
23
bgy
En estos dos ejemplos es fácil demostrar que, a pesar de ser obtenidas bajo condiciones diferentes, la matriz y es la inversa de la matriz z, la matriz g es la inversa de la matriz h, y, salvo por el signo de B y C, la matriz b es la inversa de la matriz a. En la próxima sección se establecerán algunas de estas relaciones.
7.8 RELACIONES ENTRE PARÁMETROS
Los seis tipos de parámetros definidos en este capítulo están relacionados entre sí y conociendo uno de ellos, se pueden determinar los cinco restantes. Como ejemplo, se determinará la matriz z a partir de la matriz g. Las relaciones de definición para ambos parámetros son
2221212
2121111
IgVgVIgVgI
+=+=
(7.1) 2221212
2121111
IzIzVIzIzV
+=+=
(7.11)
Despejando V1 de la primera relación en la Ec. (7.11), se obtiene
294
211
121
111
1 Igg
Ig
V −= (7.21)
y sustituyendo ahora esta relación en la segunda ecuación en (7.11), se tiene que
211
111
21
222211
121
11212
1
Ig
gIgg
IgIggI
ggV
Δ+=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
(7.22)
donde ,12211122 ggggg −=Δ es el determinante de la matriz g.
Si se comparan las Ecs. (7.21) y (7.2) con la Ec. (7.1), se encuentra que la matriz z está dada en función de los parámetros de la matriz g por
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ
−
=
1111
21
11
12
11
1
gg
gg
gg
gz
Como un segundo ejemplo, ahora se procederá a determinar la matriz z = [zij] de los parámetros de circuito abierto en función de la matriz y = [yij] de los parámetros de corto – circuito. La relación entre los voltajes y corrientes en los puertos 1 y 2 en función de los parámetros de corto – circuito es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
VV
yyyy
II
De esta relación se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
2
11
2221
1211
2
1
II
yyyy
VV
o
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
Δ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
1121
1222
2
1 1
II
yyyy
yVV
donde 21122211 yyyyy −=Δ es el determinante de la matriz y.
Si se compara esta última relación con la Ec. (7.1), se observa que
1
1121
12221⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
Δ== −
yyyy
yyz
En forma similar se pueden determinar las relaciones entre todos los parámetros, las cuales se resumen en la Tabla 7.1
295
Tabla 7.1 Relaciones entre los Parámetros de Dos Puertos
ijz ijy ija ijb ijb ijg
ijz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
zzzz ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
Δ 1121
1222
1
yyyy
y ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ ΔDCaA
C 1 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ AbD
C 1 1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
Δ1
1
21
12
22 hhh
h ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−gg
gg
1 1
21
12
11
ijy ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
Δ 1121
1222
1
zzzz
z ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
1121
1211
yyyy ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
Δ−A
ADB 1
1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ−
−Db
AB
1 1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−hh
hh
1 1
21
12
11 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−Δ
1 1
21
12
22 ggg
g
ija ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ
22
11
21 1 1z
zzz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−Δ−−−
11
22
21 1 1yy
yy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡DCBA
⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ AC
BDb
1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−Δ−1
1
22
11
21 hhh
h ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δggg
g 1 1
11
22
21
ijb ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ
11
22
12 1 1
zzz
z ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−Δ−
−−
22
11
12 1 1
yyy
y ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ AC
BDa
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡DCBA
⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δhh
hh
1 1
22
11
12 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−Δ−1
1
11
22
12 ggg
g
ijh ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−zz
zz
1 1
21
12
22 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−yy
yy
1 1
21
12
11 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
ΔCaB
D 1 1 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ− CbB
A 1 1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
hhhh ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
Δ 1121
1222
1
gggg
g
ijg ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−zz
zz
1 1
21
12
11 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
Δ1
1
21
12
22 yyy
y ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ−B
aCA 1
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Bb
CD
1 1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
Δ 1121
1222
1
hhhh
h ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2121
1211
gggg
Δz, Δy, Δa, Δb, Δh y Δg representan los determinantes de las matrices de los parámetros z, y, a, b, h y g, respectivamente.
EJEMPLO 3
Determinar los parámetros g de la red de la Fig. 7.4 y luego, utilizando las relaciones en la Tabla 7.1, determinar los parámetros a.
Ω2 2F
+
_1V
1I 2I
2V
+
_
3h
II 3
Figura 7.4
Dejando abierto el puerto 2 y aplicando una fuente de voltaje en el puerto 1, se obtiene el gráfico
296
Ω2 2F+_
1I 2I
+
_
3h
II
I3
V1 V23
En este caso 02 =I y se obtienen las siguientes relaciones:
sI
VsVIIsVI4
42 2 32232 −=⇒−==−=
3
2
3321 4112
4133 I
ss
ssIsIVV −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+=
21124 1
1123V
IVs
sI −=−
=
12
12 )1812()224( VssIs −+=−
( )222
221 12112 sVVsVV −=−=
22
1 )121( VsV −=
Corto – circuitando ahora el puerto 1, se obtiene
Ω2 2F +_
1I2I
2V
+
_
3h
II
I3
3
De este circuito se obtienen las relaciones siguientes:
22
13 23
sVIs
VII −==−=
2
2
22
32 31214
32 V
sssV
sV
III −=−=+=
222 3)1121( sIVs =− 21
2 )112( IIs =−
A partir de estas relaciones, se obtiene
297
201
2212
2
01
111
1211
2241812
22sV
Vg
sss
VI
gII −
==−
−+==
==
202
2222
02
112
1213
1211
11s
sIV
gsI
Ig
VV −==
−−==
==
De la Tabla 7.1, se obtienen las equivalencias entre los parámetros g y a; ellas son
s
s
ss
gg
Bsg
A 3
12111213
1211
2
2
21
222
21=
−
−==−==
2146
1211
2241812
2
2
2
2
21
11 −−−=
−
−
−+
== ss
s
sss
gg
C
223
1211
1211
1211
1213
2241812
2
2222
2
21
+=
−
−
−×
−−
−×
−
−+
=Δ
=s
s
ssss
sss
ggD
7.9 INTERCONEXIÓN DE REDES DE DOS PUERTOS
Las redes de dos puertos prácticas normalmente están conformadas por la combinación de estructuras de dos puertos más sencillas; esto permite simplificar el análisis y el diseño. Hay cinco conexiones básicas de redes de dos puertos y ellas son: serie – serie, serie – paralelo, paralelo – paralelo, paralelo – serie y en cascada. 7.9.1 Conexión Serie – Serie
Se dice que dos redes están conectadas en serie, si su interconexión es como se indica en la Fig.7.5.
Red a
Red b
V
V V
V V
V1
1a
1b
2a
2b
2
+ +
+ +
+ +
_ _
_
_
_
_
I1 I1a
I1b
I2a I2
I2b
Figura 7.5
298
En la Fig. 7.5 se observa que la corriente 1I de todo el sistema en el puerto 1, es igual a la corriente en el puerto 1 de la red a, aI1 , y a la corriente en el puerto 1 de la red b, .1bI Es decir, .111 ba III == También, el voltaje de todo el sistema en el puerto 1, ,1V es igual a la suma de los voltajes en el puerto 1 de cada una de las redes a y b; esto es, .111 ba VVV += Igualmente, en el puerto 2 se tiene que
baba VVVIII 222222 +===
Estas relaciones pueden expresarse en forma vectorial como
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
b
b
a
a
b
b
a
a
VV
VV
VV
II
II
II
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 (7.23)
También, las relaciones entre los voltajes y corrientes de ambas redes a y b, utilizando los parámetros de circuito abierto z, están dadas por
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
b
b
bb
bb
b
b
a
a
aa
aa
a
a
II
zzzz
VV
II
zzzz
VV
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
(7.24)
Utilizando ahora las Ecs, (7.23) y (7.24), se obtiene que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
22222121
12121111
2
1
II
zzzzzzzz
VV
baba
baba (7.25)
Esto es, la matriz z de los parámetros de circuito abierto para la interconexión serie – serie está dada por
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=baba
baba
zzzzzzzz
22222121
12121111
z (7.26)
Esto es, la matriz de impedancia total de dos redes de dos puertos conectados en serie – serie es igual a la suma de las matrices de impedancia de cada una de ellas. 7.9.2 Conexión Paralelo – Paralelo
En la Fig. 7.6 se ilustra la conexión paralelo – paralelo de las redes de dos puertos a y b.
Red a
Red b
V
V V
V V
V1
1a
1b
2a
2b
2+
+
+ +
+
+_
_
_
_
_
_
I1
I1a
I1b
I2a
I2
I2b
Figura 7.6
299
En la figura se observa que
.... ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
b
b
a
a
b
b
a
a
II
II
II
VV
VV
VV
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 ... (7.27)
Las relaciones entre los voltajes y las corrientes para las redes a y b utilizando los parámetros de corto – circuito son
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
b
b
bb
bb
b
b
a
a
aa
aa
a
a
VV
yyyy
II
VV
yyyy
II
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
(7.28)
Combinando las Ecs. (7.24) y (7.25), se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
22222121
12121111
2
1
2
1
2
1
VV
yyyyyyyy
II
II
II
baba
baba
b
b
a
a (7.29)
Esto es, la matriz y de los parámetros de corto – circuito para la conexión paralelo – paralelo es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=baba
baba
yyyyyyyy
22222121
12121111
y (7.30)
La matriz de admitancia total de dos redes de dos puertos conectadas en paralelo – paralelo es igual a la suma de las matrices de admitancia de las redes individuales.
7.9.3 Conexión Serie – Paralelo y Paralelo – Serie
Esta conexión se indica en la Fig. 7.7, con los terminales de entrada de las dos redes conectados en serie y los terminales de salida conectados en paralelo.
Red a
Red b
V
V V
V V
V1
1a
1b
2a
2b
2
+ +
+ +
+
+
_ _
_
_
_
_
I1 I1a
I1b
I2a
I2
I2b
Figura 7.7
De la figura se obtienen las relaciones
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
b
b
a
a
b
b
a
a
IV
IV
IV
VI
VI
VI
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 (7.31)
300
Las relaciones entre los voltajes y las corrientes en las redes a y b usando los parámetros híbridos h son
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
b
b
bb
bb
b
b
a
a
aa
aa
a
a
VI
hhhh
IV
VI
hhhh
IV
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
(7.32)
Combinando ahora las Ecs. (7.31) y (7,32), se determina que
2
1
22222121
12121111
2
1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡VI
hhhhhhhh
IV
baba
baba (7.33)
Esto es, la matriz h de dos redes de dos puertos conectadas en serie – paralelo es igual a la suma de las matrices h de las redes individuales.
Del análisis realizado hasta ahora, se observa en todos los casos que la matriz obtenida en cada uno de ellos es siempre igual a la suma de las matrices individuales correspondientes a cada red y que el tipo de matriz a utilizar depende de la conexión usada. Así, si la conexión es en serie – serie, se suman las matrices de impedancia; si la conexión es en paralelo – paralelo, se suman las matrices de admitancia. Si la conexión es en serie – paralelo, se busca una matriz que en la entrada o puerto 1 tenga dimensión de impedancia y en la salida tenga dimensión de admitancia. La matriz que cumple con este requisito es la matriz de los parámetros híbridos h y, por tanto, será ella la entra en la suma correspondiente a esta conexión. Usando este mismo razonamiento, se puede concluir que si las dos redes están conectadas en paralelo – serie, la matriz total será la correspondiente a la suma de las matrices correspondientes a los parámetros híbridos g. Entonces, para la conexión paralelo – serie, la matriz g total será
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=baba
baba
gggggggg
22222121
12121111
g (7.34)
7.9.4 La Conexión en Cascada
La conexión en casaca es la más sencilla y posiblemente la de mayor utilidad. En este tipo de conexión, el puerto de salida de una red se conecta al puerto de entrada de la otra, tal como se indica en la Fig. 7.8.
Red a Red bV V V V V V1 1a 1b2a 2b 2
+ + +__ _
I1 I1a I1bI2a I2I2b
=
=
= =
=
Figura 7.8
De esa figura se obtienen las siguientes relaciones:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
IV
IV
IV
IV
IV
IV
b
b
b
b
a
a
a
a (7.35)
Las relaciones entre los voltajes y corrientes usando los parámetros de transmisión a son:
301
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
b
b
bb
bb
b
b
a
a
aa
aa
a
a
IV
DCBA
IV
IV
DCBA
IV
2
2
1
1
2
2
1
1
(7.36)
Combinando las Ecs. (7.35) y (7.36), se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
2
1
1
IV
DCBA
DCBA
IV
bb
bb
aa
aa (7.37)
Esto es, la matriz a de la combinación en cascada de las redes a y b es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
bb
bb
aa
aa
DCBA
DCBA
a (7.38)
La matriz a total de dos redes de dos puertos conectadas en cascada es igual al producto de las matrices a de las redes individuales.
Si las redes a y b están descritas por sus parámetros de transmisión b, la matriz b correspondiente a la conexión en cascada, es igual al producto de la matriz b correspondiente a la red b por la matriz b correspondiente a la red a; esto es, el producto de las matrices se ordena desde la salida hacia la entrada. La matriz b total es entonces
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
aa
aa
bb
bb
DCBA
DCBA
b (7.39)
A continuación se presentan varios ejemplos de la aplicación de estos parámetros en la solución de redes de dos puertos conformadas por redes más sencillas. EJEMPLO 4
Calcular los parámetros h del circuito de la Fig. 7.9 si los parámetros del transistor son
mhos 4 1 2 ohmios 5 ==== oerefeie hhhh
10 Ω
Figura 7.9
El sistema puede considerarse como dos redes conectadas en cascada, como se indica en la Fig. 7.10. Por lo tanto, primero se calculará la matriz a para cada una de ellas y después se calculará la matriz a correspondiente a todo el sistema. A partir de esta última, utilizando las equivalencias de la Tabla 7.1, se calculará la matriz h del sistema.
302
10 Ω
Figura 7.10
El circuito equivalente para el transistor se indica en la Fig. 7.11.
+
_1V1I
2I
2V
+
_ I+_2V
_1 4 mhos
5Ω
2
Figura 7.11
De esta figura se obtienen los siguientes valores para los parámetros de transmisión:
9105
2
22
2
21
02
1
2
−=+−
=+
===
VVV
VVI
VV
AI
mhos 25
255
1
1
2
1
2
1 −=−
=−
=−
=I
III
IV
B
mhos 22
2
2
02
1
2
−=−
===
VV
VI
CI
21
2 1
1
02
1
2
−=−
=−
==
II
II
DV
Por lo que la matriz a para el transistor es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
=5.0 5.25.2 9
tra
El otro circuito componente se muestra en la Fig. 7.12.
10 Ω
+
V1
−
+
V2
−
I1 I2
Figura 7.12
303
De la figura se obtiene
12
2
02
1
2
==== V
VVV
AI
00
22
1 =−
=−
=II
VB
mhos 1.01
1
02
1
2
==== V
IVI
CI
12
2
02
1
2
=−
−=
−=
= II
II
DV
y la matriz a para el circuito resistivo es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1 10 1
ra
La matriz a para el circuito en cascada es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
==5.0 05.25.2 2.9
1 10 1
5.0 25.2 9
rtr aaa
y de la Tabla 7.1 , se obtiene la matriz h:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
Δ=
1.4 21 5
1 1
21
12
22 aaa
ah
EJEMPLO 5
Conociendo los parámetros h del transistor, determine la matriz h de la red de dos puertos mostrada en la Fig. 7.13.
R
Figura 7.13
304
La red de la Fig. 7.13 puede considerarse formada por dos redes de dos puertos en conexión serie – serie, como se ilustra en la Fig. 7.14 (Las redes individuales están encerradas por las líneas de puntos). Por lo tanto, se determinará primero la matriz z para cada una de ellas y luego la matriz z para toda la red.
R
Red a
Red b
Figura 7.14
Considérese primero la red a para el modelo del transistor mostrada en la Fig. 7.15a.
+
_1V
1I 2I
2V
+
_
+__
ieh
2reVh 1feIhoeh
I1 I2
V1 V2
+ +
_ _
R
(a) (b)
Figura 7.15
Del modelo, se obtiene
oeoe
fereoeie
oefereiereie
I
hh
h
hhhh
I
hIhhIh
IVhIh
IV
z
Δ=
−=
−=
+==
=
1
11
1
21
01
111
2
oe
feoefe
I h
h
I
hIh
IV
z −=−
=== 1
1
01
221
2
oe
re
oe
re
I hh
VhVh
IV
z ==== 2
2
02
112
1
305
oeI hI
Vz 1
02
222
1
===
por lo que
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
Δ=
1
1
fe
fee
oea h
hh
hz
Para la red de la Fig. 7.15b, los parámetros z son:
RIV
IV
zRIV
zII
======= 2
2
02
112
01
111
12
RIV
zRIV
IV
zII
======= 02
222
1
1
01
221
12
La matriz de los parámetros z para esta red es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
RRRR
b
z
y la matriz de impedancia total es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+Δ+
=+=
oeoefe
oereoe
bahRhhR
hhRhhR
1
zzz
EJEMPLO 6
Determinar la matriz de admitancias y de la red de la Fig. 7.16 si los parámetros h del transistor son conocidos.
R
Figura 7.16 Analizando la red de la Fig. 7.16 se observa que el sistema está formado por dos redes de dos puertos, a y b, indicadas por las líneas de puntos, con una conexión paralelo – paralelo como se indica en la fig. 7.17.
306
R Red a
Red b
Figura 7.17
Debido al tipo de conexión, se determinarán primero las matrices de admitancia de cada una de las redes componentes. En la Fig. 7.18 se muestran las dos redes por separado.
+
_1V
1I 2I
2V
+
_
+__
ieh
2reVh 1feIhoeh
I1 I2
V1 V2
+ +
_ _
R
(a) (b)
Figura 7.18
Considérese primero el modelo del transistor en la Fig. 7.18a. Con el puerto 2 en corto – circuito, se tiene que
y con el puerto 2 en corto – circuito, se obtiene
ieie
fereieoeoefe
ie
re
hhV
hhhhh
VhIhIh
VhI 2
2122
1 Δ
=−
=+=−=
Por lo tanto,
ie
ie
V hVhV
VI
y 1
1
1
01
111
2
====
ie
feiefefe
V h
h
V
hVh
V
Ih
VI
y ===== 1
1
1
1
01
221
2
ie
re
ie
re
V hh
VhVh
VI
y −=−=== 2
2
02
112
1
ieie
fereieoe
V hh
h
hhhh
VI
y Δ=
−==
=02
222
1
1211 IhIIhV feie ==
307
y la matriz de admitancias correspondiente es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−=
hhh
h fe
re
iea
1 1y
Para el circuito de la Fig. 7.18b, los parámetros de corto – circuito son:
RVI
VI
yRV
Iy
VV
1 1
1
1
01
221
01
111
22
−=−======
RV
Iy
RVI
VI
yVV
1 1
112
222
2
2
02
112 ==−=−==
=
y la matriz de admitancias correspondiente es
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
RR
RRb 1 1
1 1 y
Así que la matriz de admitancias para toda la red es
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+Δ
−
−−+
=+=
Rhh
Rh
hRh
hRh
ieie
fe
ie
re
ieba 1 1
1 11
yyy
y mediante el uso de la tabla 7.1 se puede ahora determinar cualquiera de los otros parámetros. EJEMPLO 7
Determinar la matriz de transmisión a de la red en la Fig. 7.19 considerándolas como dos redes conectadas en cascada.
3 Ω 3 Ω
3 Ω 3 Ω 3 Ω
+V1
−
+V2
−
I1 I2
Figura 7.19
Se considera a la red conformada por dos subredes, como se indica en la Fig. 7.20. Estas dos subredes conectadas en cascada forman la red de la Fig. 7.19.
308
3 Ω
3 Ω
+V1
−
I1
3 Ω
3 Ω 3 Ω
+V2
−
I2I2
+V1
−
+V2
−
I1
Figura 7.20
Analizando primero la red de la Fig. 7.20a, se obtiene
mhos 31
3 2
36
1
1
02
1
1
1
02
1
22
======== I
IVI
CII
VV
AII
1 333
2
2
02
1
2
2
2
1
02
1
22
=−
−=
−=Ω=
−
−=
−=
−=
== II
II
DII
II
IV
BVV
y la matriz de transmisión a para esta red es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1 31
3 2
aa
Considerando ahora la red de la Fig. 7.20b, se obtienen los siguientes valores para la matriz de transmisión:
mhos 31
3 2
36
1
1
02
1
1
1
02
1
22
======== I
IVI
CII
VV
AII
22
9933
2
2
02
1
2
2
2
21
02
1
22
=−
−=
−==
−
−=
−
−=
−=
== II
II
DII
III
IV
BVV
y la matriz de transmisión a para la segunda red es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1 31
3 2
ba
La matriz de transmisión a para la red completa es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
5 124 5
1 31
3 2
1 31
3 2
baaaa
309
7.10 PERMISIBILIDAD DE INTERCONEXIÓN DE REDES DE DOS PUERTOS
En algunas oportunidades no es fácil determinar el tipo de conexión entre redes de dos puertos. Se presentan casos en los que al interconectarse dos redes se pueden modificar las relaciones de voltaje – corriente en los terminales de las redes, esto es, las condiciones terminales no deben cambiar cuando se realiza la interconexión. Considérese como ejemplo la interconexión de las dos redes de dos puertos de la Fig. 7.21.
1I
a1Ia1Z a2Z
a2I 2I
a1V
1Vb1Z
a3Z a2V
2Vb2Z
b3Zb1V b2V
b1I b2I
+ + +
++
+
_
_ _
_
_ _
Figura 7.21
Obsérvese en la figura que la corriente que circula por el elemento aZ1 es diferente de la que circula por
el elemento bZ1 y que la corriente que circula por el elemento aZ2 es diferente de la que circula por el
elemento .2bZ También es evidente que los voltajes 111 y , VVV ba son diferentes, como también lo son los voltajes .y , 222 VVV ba Se concluye entonces que las dos redes no tienen ningún tipo de conexión serie o paralelo entre ninguno de sus puertos. Así pues que esta conexión no es serie – serie como aparenta ser a primera vista.
Si ahora se conectan las redes en la forma indicada en la Fig. 7.22, se observa que la corriente aI1 es
exactamente igual a bI1 y que la corriente aI 2 es exactamente igual a la corriente ;2bI por lo tanto, esta conexión sí es serie – serie.
1I
a1Ia1Z a2Z
a2I 2I
a1V
1V
a3Z a2V
2V
b3Zb1V b2V
b1I b2I
+ + +
++
+
_
_ _
_
_ _Z b1 b2Z
Figura 7.22
Para comprobar que una red de dos puertos combinada es una combinación de dos redes conectada en serie – serie, considérese la conexión mostrada en la Fig. 7.23. En esa figura, para que la corriente aI1 sea
310
exactamente igual a la corriente bI1 y efectivamente se tenga una conexión en serie en la entrada, la corriente de malla bI debe ser igual a cero.
A
A
I1a I2a
I2bI1bIb
Figura 7.23
Para determinar si la corriente de malla bI es igual a cero, se conecta el lado 1 de las dos redes en serie,
se dejan los terminales del lado 2 abiertos y se conecta una fuente de corriente arbitraria 1I , como se indica en la Fig. 7.24a. La conexión en el lado 1 es en serie si el voltaje indicado V es cero. Si este voltaje no es cero, existirá una corriente circulante bI al reponer la conexión en el lado 2 y los puertos del lado 1 no estarán conectados en serie.
A
B
V+_1I
A
B
V+_
(a) (b)
2I
Figura 7.24
El procedimiento para demostrar si el lado 2 está conectado en serie es similar al descrito para el lado 1 y la forma de la conexión se muestra en la Fig. 7.24b.
Para los otros tipos de conexiones se realizan pruebas similares. En la conexión paralelo – paralelo, los voltajes aV y bV en la Fig. 7.25 deben ser iguales a cero.
A
B
+_
A
+_
(a) (b)
+_ +_1V2V
aV bV
B
Figura 7.25
311
En la conexión serie – paralelo, los voltajes ba VV y indicados en la Fig. 7.26 deben ser iguales a cero.
A
B
+_1I
A
B
+_
(a) (b)
+_
aV bV
2V
Figura 7.26
En la conexión paralelo – serie, los voltajes ba VV y en la Fig. 7.27 deben ser iguales a cero.
A
B
+_
B
+_
(a) (b)
+_
aV bV
1V
2I
A
Figura 7.27
EJEMPLO 8
Se desea determinar si las redes componentes del sistema de la Fig. 7.28 están conectadas en paralelo – paralelo.
Ω 1 Ω 2
1 Ω
Ω 2
0.5Ω
0.5Ω
Figura 7.28
312
Para comprobar si la conexión es en paralelo – paralelo, se conecta el circuito como en la Fig. 7.25. El circuito resultante se muestra en la Fig. 7.29.
Ω 1 Ω 2
1 Ω
Ω 2
0.5Ω
0.5Ω
+ _
V a + _
V 1
Figura 7.29
En la figura se observa que el voltaje ,1VVa −= por lo que se concluye que los puertos 1 no están conectados en paralelo. La misma conclusión se obtiene para los puertos 2. EJEMPLO 9
Determinar si las redes que forman el sistema de la Fig. 7.24 están conectadas en paralelo – paralelo.
Ω1
Ω2
1Ω
Ω2
0.5Ω
0.5Ω
Figura 7.30
Siguiendo el mismo procedimiento del Ejemplo 8, se obtiene el circuito de la Fig. 7.31.
313
Ω1
Ω2
1Ω
Ω2
0.5Ω
0.5Ω
+_
Va
+_
V1
Figura 7.31
En la figura se observa que el voltaje ,0=aV y por lo tanto, los puertos 1 de las redes componentes están conectados en paralelo. Si se repite el procedimiento intercambiando los puertos, se consigue de nuevo que ,0=bV por lo que los puertos 2 también están conectados en paralelo. Se concluye entonces que la conexión para el sistema es en paralelo – paralelo. EJEMPLO 10 Determinar el tipo de conexión (si alguno) de las dos redes que conforman el sistema de la Fig. 7.32.
R
R2
1
Figura 7.32
Se intenta la prueba serie – paralelo: Primero se hace la conexión para la prueba serie en los puertos 1 y paralelo en los puertos 2, como se indica en la Fig. 7.33(a). Se observa que el voltaje .0=aV Luego se hace la prueba conectando en paralelo los puertos 2 y en serie los puertos 1, Fig. 7.33(b). Se observa que el voltaje .0=bV Por lo que se concluye que, efectivamente, la conexión es en serie – paralelo.
7.11 LA MATRIZ DE ADMITANCIA INDEFINIDA
Los dispositivos normalmente usados en las redes de dos puertos son por lo general dispositivos de tres terminales con tres formas diferentes de operación, dependiendo del terminal que se tome como común para los dos puertos. Mediante la aplicación del concepto de la matriz de admitancia indefinida es posible obtener los parámetros de cualquiera de los modos de operación si se conoce uno de ellos.
314
R
R2
1Va+_ R
R2
1
V2+_
bV+_
(a) (b)
Figura 7.33
Considere la red de dos puertos indicada en la Fig. 7.34, en donde se ha dejado el sistema flotando, esto es, se ha tomado la referencia en un punto externo a la red.
I
V1 V2
V3
+
_
++
Referencia
1 I2
I3
Figura 7.34
Los voltajes 321 y , VVV se toman como las variables independientes y las corrientes 321 e , III , las variables dependientes, se toman como una combinación lineal de esos tres voltajes; esto es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
VVV
VVV
yyyyyyyyy
III
y (7.40)
315
La matriz y se denomina la Matriz de Admitancia Indefinida porque el terminal común no está definido dentro del sistema. De la Ec. (7.40) se tiene que
01
331
01
221
01
111
323232
======
===VVVVVV V
IyVIy
VIy
por lo que
( )0
3211
312111
32
1
==
++=++VV
IIIV
yyy
Pero de acuerdo con la ley para las corrientes de Kirchhoff se tiene que
0321 =++ III
y se concluye entonces que
0312111 =++ yyy
En forma similar se demuestra que la suma de las admitancias de las otras dos columnas de la matriz de admitancia indefinida es también igual a cero; esto es
0312111 =++ yyy
0232212 =++ yyy (7.41)
0332313 =++ yyy
También se puede demostrar que lo que es válido para las columnas también lo es para las filas; esto es
0131211 =++ yyy
0232221 =++ yyy (7.42)
0333211 =++ yyy
Este método nos permite determinar la matriz y de un dispositivo de dos puertos con una terminal común si se conoce la matriz y del mismo dispositivo referida a otro terminal común.
Sea entonces la siguiente matriz de admitancia indefinida obtenida de un sistema flotante de tres terminales:
333231
232221
131211
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
yyyyyyyyy
y123
1 2 3
Si ahora se coloca el terminal 3 como referencia, la matriz y del sistema es la resultante de la matriz de admitancia indefinida cuando se eliminan la fila y la columna 3; es decir,
316
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
12113
yyyy
y
Si ahora se coloca el terminal 2 o el terminal 1 como referencia, la matriz y del sistema en cada caso es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3332
23222
3331
13112
yyyy
yyyy
yy
EJEMPLO 11
En la red de la Fig. 7.35.
1. Determinar la matriz y tomando el terminal 3 como referencia. 2. Formar la matriz de admitancia indefinida. 3. Encontrar la matriz y si el terminal 1 se coloca como terminal común. 4. Encontrar la matriz y si el terminal 2 se coloca como terminal común. 5. Colocar la terminal 2 como terminal común y determinar la matriz y directamente a partir de la red.
+
1V
1I 2I
2V
+
__
0.5Ω
1F 4F
3
1 2
Figura 7.35
1. Tomando el terminal 3 como referencia se obtiene:
24 2 2 202
222
02
112
01
221
01
111
1122
+==−==−==+======
sVI
yVI
yVI
ysVI
yVVVV
por lo que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+=
24 22 2
3 ss
y
2. Utilizando las relaciones en las Ecs. (7.41) y (7.42), se encuentra que
( ) ( ) syyysyyy 4 222123121113 −=+−=−=+−=
( ) ( ) ( ) syyysyyysyyy 4 5 333132231333211131 −=+−==+−=−=+−=
por lo que
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−−−+
=sss
ssss
5 4 4 24 2
2 2y
317
3. Eliminando la fila 1 y la columna 1 de la matriz y, se determina que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
ssss
5 4 4 24
1y
4. Eliminando la fila 2 y la columna 2 de la matriz y, se encuentra que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
ssss
5 2
2y
5. Reacomodando el circuito de la Fig. 7.35 para usar el terminal 2 como terminal común, se obtiene el circuito de la Fig. 7.36.
+
1I
+
__0.5Ω
1F
4F
2
1 3I3
Figura 7.36
De la figura se obtiene
sVI
ysVI
ysVI
ysVI
yVVVV
5 203
333
03
113
01
331
01
111
1133
==−==−==+======
por lo que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
ssss
5 2
2y
Observe que el resultado igual al obtenido en la parte 4.
EJEMPLO 12
Para la red de la Fig. 7.37
1. Usando la definición, calcule la matriz h tomando el terminal 3 como referencia. 2. A partir de la matriz h determine la matriz y. 3. Mediante el concepto de la matriz de admitancia indefinida, determine la matriz y tomando el terminal 2 como
referencia. 4. A partir del resultado anterior, determine la matriz h con el terminal 2 como referencia.
318
I1
I2
V1V2
+ +
_ _
2Ω
4F
1h
V3
1 2
3
2
Figura 7.37
Con los terminales dos en cortocircuito, se obtiene
214
23
131 ⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=+=
ssIVV 12
2
1 1428 I
sssV+
++=
3
2
33313314144 V
ssV
ssIsVIsIV +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+==
1233333214
1212212 Is
ss
sVs
sVVs
VII+
×+
−=+
−=−−=−−=
122 1412 I
ssI
++
−=
Con las terminales 1 abiertas, tenemos que
41
41231 ⇒
+== V
sss
VV 221 141 V
sV
+=
( ) 22222333332 1424
142424242 V
ssIV
ssVsVsVVII
+−
=⇒+
−=−=−=−=
De las relaciones anteriores se obtiene
1412
1428
201
2212
2
01
111
22+
+−==
+
++==
== ss
II
hs
ssIV
hVV
1424
141
202
2222
02
112
11+
−==
+==
== ss
VI
hsV
Vh
II
y así
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−
+
+−
++
++
=
1424
1412
141
1428
22
22
2
3
ss
ss
ssss
h
De las relaciones para los parámetros híbridos h sabemos que
319
22212122121111 VhIhIVhIhV +=+=
Por lo que
21122211211
111
2122
11
121
111 1 hhhhhV
hhV
hh
IVhh
Vh
I −=ΔΔ
+=−=
Comparando estas relaciones con las que definen los parámetros de corto – circuito
22212122121111 VyVyIVyVyI +=+=
encontramos que
2812
28141
211
12122
2
1111
++
+−=−=
++
+==
sss
hh
yss
sh
y
28
2812
222211
2121
++
Δ=
++
+−==
sshy
sss
hh
y
Los otros términos de la matriz de admitancia indefinida se determinan usando las Ecs. (7.41) y (7.42). Por lo tanto,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
−+
++
+−
++
+−++
+−
++
−
++
+−
++−
++−
++
+
=
28
464
28
48
28
2428
4628
3828
1228
4
28
1
28
14
3
2
1
321
2
2
22
2222
2
2
22
2
ss
ss
ss
s
ss
ssss
sss
sss
sss
s
ssss
s
y
La matriz de admitancias con el terminal 2 como referencia es
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
−+
++
+−++
−
++
+
=
28464
2824
284
2814
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ssss
ssss
sss
sss
y
A partir de las relaciones que dan los parámetros h en función de los parámetros y, se obtiene
144
14281
2
2
11
12122
2
1111
+=−=
+
++==
ss
yy
hs
ssy
h
1424
1424
211
222
2
11
2121
+
−=
Δ−=
+
+−==
ss
yyh
sss
yy
h
Y finalmente, la matriz h tomando el terminal 2 como referencia es
320
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−
+
+−++
++
=
1424
1424
144
1428
22
2
2
2
2
2
2
ss
sss
ss
sss
h
EJEMPLO 13
En el circuito de la Fig. 7.38, determinar
1. La matriz de admitancia de un transistor si se conocen los parámetros h cuando está conectado en emisor común.
2. La matriz de admitancia indefinida de este transistor. 3. La matriz de admitancia del transistor cuando está conectado en colector común. 4. La matriz h del transistor conectado en colector común en función de los parámetros h de la conexión en emisor
común. 5. La matriz y del transistor conectado en base común en función de los parámetros h de la conexión en emisor
común. 6. La matriz h del transistor conectado en base común en función de los parámetros h de la conexión en emisor
común.
bc
e
Figura 7.38
1. Del Ejemplo 6 se tiene que
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ
−
=
ie
e
ie
fe
ie
re
iee
hh
h
hhh
h
1
y
2. La matriz de admitancia indefinida para esta conexión es
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ++−Δ−+−
+Δ−
Δ
−−
=
ie
efere
ie
ere
ie
fe
ie
fee
ie
e
ie
fe
ie
re
ie
re
ie
h
hhh
hhh
h
hh
hh
hh
h
hh
hhh
h
1
1
1 1
y
3. La matriz de admitancia del transistor para la conexión en emisor común (Fig. 7.39) es
321
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ++−+−
−
=
ie
efere
ie
feie
re
iec
h
hhh
h
hh
h
h
e
b
eb
1)1(
11
y
be
c
Figura 7.39
4. Para determinar la matriz h del transistor en conexión común en términos de los parámetros h de la conexión en emisor común, se usan las equivalencias en la Tabla 7.1 (o de ejemplos anteriores), para obtener
( )fereie hyy
hhyy
hhy
h +−==−=−=== 1 1 1
11
2121
11
1212
1111
oeie
fefererefereoeiefere hh
hhhhhhhhhh
yyh =
−−++−++−=
Δ=
11
1122
y por lo tanto,
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
oefe
reie
ocfc
racicc hh
hhhhhh
11
h
5. Para determinar la matriz y del transistor en base común, usamos la fig. 7.40.
e c
b Figura 7.40
Eliminando la fila y la columna b de la matriz de admitancia indefinida obtenida en 3 y además intercambiando la posición e con la c, ya que el emisor pasa a ser el puerto 1 y el colector el puerto 2, se obtiene
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ+Δ−
Δ−Δ++−
=
ie
e
ie
ree
ie
ere
ie
efere
b
hh
hhh
hhh
hhhh
1
y
e c
e
c
6. Para la matriz h del transistor con base común, tenemos
322
efere
ree
efere
ie
hhhhh
yy
hhhh
hy
hΔ++−
−Δ=−=
Δ++−==
1
11
11
1212
1111
( )efere
oe
efere
fee
hhhh
yyh
hhhhh
yy
hΔ++−
=Δ
=Δ++−
+Δ−==
1
1 1122
11
2121
y por tanto,
( )
1
1
1
1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ++−Δ++−
+Δ−
Δ++−
−Δ
Δ++−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
efere
oe
efere
fee
efere
ree
efere
ie
obfb
reibb
hhhh
hhh
hh
hhhhh
hhhh
hhhh
h
En la práctica, hre<<1 y ,fee hh <<Δ por lo que
1
1
1
1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
−
+
−Δ
+=
fe
oe
fe
fe
fe
ree
fe
ie
b
hh
h
h
hhh
hh
h
7.12 OSCILADORES REALIMENTADOS
El concepto de redes de dos puertos es muy útil en el análisis de los osciladores realimentados, como estudiaremos a continuación. Un oscilador realimentado consiste básicamente de una red activa para proporcionar amplificación y de una red pasiva que ejerce la función de retroalimentación y que, además, determina la frecuencia de oscilación del dispositivo. Estas dos redes pueden ser interconectadas en cuatro formas diferentes, tal como se indica en la Fig. 7.41. Estas formas de conexión son: paralelo – paralelo, serie – serie, serie – paralelo y paralelo – serie. En los puertos en los cuales se haga la interconexión en serie, los terminales deben estar en corto – circuito. Como se señaló en la Sección 7.10, las condiciones terminales deben permanecer inalteradas al hacer la interconexión.
Amplificador
Red Pasiva
Paralelo - Paralelo
Amplificador
Red Pasiva
Serie - Serie
Amplificador
Red Pasiva
Serie - Paralelo
Amplificador
Red Pasiva
Paralelo - Serie
Figura 7.41
323
Para estudiar estas redes osciladoras se utilizan las relaciones de interconexión estudiadas en la Sección 7.9 para determinar la matriz de los parámetros correspondientes a la red bajo estudio. A partir de esta matriz se determina la ecuación característica, a cual proporciona la condición de oscilación y la frecuencia de oscilación.
EJEMPLO 14
Se desea obtener la condición de oscilación y la frecuencia de oscilación del oscilador ilustrado en la Fig. 7.42 en función de los elementos de la red pasiva y de los parámetros del transistor.
C 2
C 1
L
Figura 7.42
Reordenando el circuito para visualizar mejor las dos redes, se obtiene la red de la Fig. 7.43.
C2
L
C1
Figura 7.43
Evidentemente, esta conexión es paralelo – paralelo, por lo tanto, estaremos interesados en la ecuación característica correspondiente a la matriz y de todo el sistema. De la Tabla 7.1 o de ejemplos anteriores, la matriz y para el transistor es
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ
−
=
ie
e
ie
fe
ie
re
ie
hh
h
hhh
h
1
y
324
C2C1
L
+ +
_ _1V
1I
2V
2I
Figura 7.44
Para la red pasiva (Fig. 7.44), tenemos
sLVI
ysL
LCssL
sCVI
yVV
1 11
01
221
12
101
111
22
−==+
=+====
sLLCs
sLsC
VI
ysLV
Iy
VV
11 1 22
202
222
02
112
11
+=+==−==
==
y entonces
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+
=
sLLCs
sL
sLsLLCs
rp1
1
1 1
22
12
y
y la matriz de admitancia total para el circuito completo es
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
Δ−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
++
=
sLLCs
hh
sLh
h
sLhh
sLLCs
h
ie
e
ie
fe
ie
re
ie
1 1
1 11
22
12
y
La ecuación característica se obtiene igualando a cero el determinante de esta matriz; la ecuación es entonces
0)()()(
12
12
22
2
21
4
221
24
22
4=−++
Δ+
Δ++++
Δ++
ie
re
ie
fere
ie
fe
ie
ie
ie
e
ie
e
ieie sLhh
h
hh
sLh
h
sLhh
sLhhLCs
sLLCs
sLLCs
sLCCLs
hh
sLhsLhLCs
Simplificando y ordenando en potencias de s, se obtiene
01 22
21212321 =−+
Δ++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ+++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ++
ie
re
ie
fe
ie
e
ieie
fere
ie
e
ie
e
ie Lhh
Lh
h
Lhh
Lhs
h
hh
hh
LC
LC
sh
hChC
sCC
Para que puedan ocurrir oscilaciones, las raíces de la ecuación característica deben ser puramente imaginarias. Por lo tanto, sustituyendo s por ωj en la ecuación anterior obtenemos
01 )( )(22
21212321 =−+
Δ++ω⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ+++ω⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ++ω
ie
re
ie
fe
ie
e
ieie
fere
ie
e
ie
e
ie Lhh
Lh
h
Lhh
Lhj
h
hh
hh
LC
LC
jh
hChC
jCC
e igualando a cero la parte imaginaria, se obtiene la ecuación
325
LC
LC
hh
CCie
oe 21221 ++=ω
la cual produce la frecuencia de oscilación:
2121
11LCLChCC
h
ie
oe ++=ω
Igualando ahora a cero la parte real, se obtiene la ecuación
01 212 =−+Δ
++ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+
ie
re
ie
fe
ie
e
ieie
e
ie Lhh
Lh
h
Lhh
LhhhC
hC
Sustituyendo en esta ecuación la expresión obtenida para la frecuencia de oscilación y resolviendo por hfe, se obtiene
reeie
oeefe hh
CC
hCLh
hCC
CC
h +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ++Δ+=
2
1
12
1
1
2 1
la cual es la condición de oscilación, esto es, el valor mínimo que debe tener el parámetro correspondiente a la amplificación de corriente hfe del transistor para que el circuito oscile.
EJEMPLO 15
Obtener la frecuencia de oscilación y la condición de oscilación del circuito de la Fig. 7.45 en función de los elementos de la red pasiva y de los parámetros h del transistor.
C2
LC1
Figura 7.45
Reordenando las redes, se obtiene el circuito de la Fig. 7.46, el cual evidentemente es una conexión serie – serie u oscilador tipo z. Por lo tanto, se debe determinar la matriz z para todo el sistema.
La matriz z para el transistor (ya determinada anteriormente) es
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
Δ
=
oeoe
fe
oe
fe
oe
e
tr
hh
hh
h
hh
1
z
326
C2
LC1
Figura 7.46
La red pasiva conectada al transistor se muestra en la Fig. 7.47.
C2C1
L1V
1I
2V
2I
+ +
_ _
Figura 7.47
De esta figura obtenemos:
sLIV
zsCLCs
sCsL
IV
zII
==+
=+==== 02
112
1
12
101
111
12
11
2
22
202
222
01
221
11 12
sCLCs
sCsL
IV
zsLIV
zII
+=+====
==
y la matriz de inductancia total es entonces
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++−
+++Δ
=
2
1
11
1
sCsL
hsL
h
h
sLhh
sCsL
hh
oeoe
fe
oe
re
oe
e
z
Por lo tanto, la ecuación característica para esta matriz es
01 1 2121
2
21
3 =+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
Δ+
CCs
hCh
hCs
CL
CL
hh
shLh
h
Lh
hhL
hL
oe
e
oeoe
ie
oe
re
oe
fe
oe
e
oe
Haciendo ω= js en esta ecuación y luego igualando la parte real a cero, se obtiene la relación
21
2
21
1 CCC
LCL
hh
oe
ie =ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
327
y la frecuencia de oscilación es
oeoeie
oe
hLChLChCCh
1221 ++=ω
Igualando ahora la parte imaginaria a cero y sustituyendo este valor para la frecuencia, se determina la condición de oscilación:
reeoe
eie
oe
iefe hh
CC
CC
LhhhC
hhC
h +Δ++Δ
+=2
1
1
212
7.13 REDES DE TIPO T Y DE TIPO Π Y REDUCCIÓN DE REDES
7.13.1 Redes de Tipo T y de Tipo Π
Las redes de dos puertos lineales y pasivas reducidas son redes de tipo T o tipo Π, nombres derivados de la semejanza entre la estructura de las redes y la forma del símbolo descriptivo, tal y como se observa en la Fig. 7.48.
1V
1I
2V
2I1Z 2Z
3Z 1Y
2Y
3Y1V 2V
2I1I
+ + + +
_ _ _ _
Red del tipo T Red del tipo Π
Figura 7.48
La red de tipo T contiene tres nodos y dos mallas y resulta más fácil analizarla usando el método de mallas con base en las impedancias de las ramas, obteniéndose directamente de la red la matriz z para los para los parámetros de circuito abierto. Los valores de la matriz z para la red de tipo T son los siguientes:
302
11231
01
111
12
ZIV
zZZIV
zII
==+====
3202
2223
01
221
12
ZZIV
zZIV
zII
+======
y la matriz z es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+=
323
331
ZZZZZZ
z
Debido a la estructura geométrica de la red Π, es más fácil analizarla usando el método nodal con base en las admitancias de los nodos; de esta manera obtenemos directamente del circuito la matriz y para los parámetros de corto circuito. Los valores de la matriz y para esta red son entonces:
328
302
11231
01
111
12
YVI
yYYVI
yVV
==+====
3202
2223
01
221
12
YYVI
yYVI
yVV
+======
y la matriz y correspondiente es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+=
323
331
YYYYYY
y
Una vez obtenida cualquiera de estas dos matrices para alguna de las redes, la matriz inversa proporciona el valor de los parámetros para conformar el otro tipo de red equivalente. A continuación se dan algunos ejemplos del procedimiento. EJEMPLO 16
Para la red tipo Π de la Fig. 7.49, obtener la matriz y directamente y formar la matriz z y luego construir la red de tipo T.
5 Ω
2 Ω 1 Ω
1 2
Figura 7.49
Como la red es de tipo Π, se determina primero la matriz y para los parámetros de corto circuito. Sus elementos son:
S 2.151
11 S 2.0
51 S 7.0
51
21
3222321122111 =+=+==−=−===+=+= YYyYyyYYy
y la matriz correspondiente es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
2.1 2.02.0 7.0
y
e invirtiendo y se obtiene z:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
875.0 25.0250.0 50.1
z
De esta matriz obtenemos:
Ω=−=−=Ω=−=−=Ω=== 625.025.0875.0 25.125.05.1 25.0 3222311121123 ZzZZzZzzZ
La red T para estos parámetros se muestra en la Fig. 7.50.
329
0.625 Ω
0.25 W
1 21.25 Ω
Figura 7.50
EJEMPLO 17
Construir la red de tipo Π a partir de la siguiente matriz y.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
4.2 4.04.0 6.1
y
De esta matriz se obtiene:
S 0.24.04.2 S 2.14.06.1 S 4.0 32223111123 =−=−==−=−==−= YyYYyYyY
La red de tipo Π en valores de admitancias e impedancias se muestra en la Fig. 7.51.
0.4 S
1.2 S 2 S
1 22.5 Ω
0.833 Ω 0.5 Ω
1 2
Figura 7.51
7.13.2 REDUCCIÓN DE REDES MEDIANTE EL MÉTODO DE PARTICIÓN DE MATRICES
Si la red contiene muchos nodos, a veces es necesario reducirlas a alguna de las formas mencionadas anteriormente para facilitar su análisis. Esto se obtiene eliminando los nodos que no sean de interés, lo cual es posible si no existen corrientes entrando o saliendo de los nodos que se van a eliminar. Básicamente existen dos métodos para la reducción de nodos:
1. La transformación estrella – triángulo en conjunto con la reducción serie – paralelo. 2. El método de partición de matrices.
El método de partición de matrices se adapta perfectamente al uso de las computadoras. En este método se ordena la ecuación que relaciona al vector corriente de nodos y al vector voltaje de nodos con la matriz admitancia de nodos; el ordenamiento se hace de manera tal que los nodos a eliminar estén identificados con los últimos números y bajo la condición que sus corrientes inyectadas sean iguales a cero.
Tomemos como ejemplo un sistema de cinco nodos en el cual se conoce la relación entre el vector corriente de nodos y la matriz admitancia de nodos, y se desea eliminar los nodos 4 y 5 para encontrar posteriormente la matriz admitancia de nodos para los nodos 1, 2 y 3 solamente. Se tiene entonces que
330
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5
4
3
2
1
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
3
2
1
0 0
VVVVV
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
yyyyy
III
Haciendo la partición alrededor de los nodos que se desean eliminar, se obtiene
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5
4
3
2
1
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
3
2
1
00
VVVVV
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
III
O también
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
B
A
BBBA
ABAAVV
YYYY
0I A
donde
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
535251
434241
3534
2524
1514
333231
232221
131211
yyyyyy
yyyyyy
yyyyyyyyy
BAABAA YYY
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5
4
3
2
1
3
2
1
5554
4544
VV
VVV
III
yyyy
BAABB VVIY
Desarrollando, se obtiene
BBBABABABAAAA VYVY0VYVYI +=+=
de donde
ABABBB VYYV 1−−=
y entonces
[ ] AAAABABBABAAABABBABAAAA YYYY VYVVYYYVYI '11 =−=−= −−
Esto es,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−= −
'33
'32
'31
'23
'22
'21
'13
'12
'11
1'
yyy
yyy
yyy
BABBABAAAA YYYYY
331
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
−
535251
4342411
5554
4544
3534
2524
1514
333231
232221
131211
yyyyyy
yyyy
yyyyyy
yyyyyyyyy
EJEMPLO 18
Reducir la red de la Fig. 7.52 de manera de eliminar los nodos 3 y 4 y encontrar la red de tipo T y la de tipo Π.
3
4Ω2Ω
5Ω1 2
41Ω 2Ω
Figura 7.52
La matriz y para este circuito, con la partición correspondiente, es
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
=
95.02.05.002.07.1015.005.000101
4321
4 3 2 1
y
y la reducción produce la matriz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=′
−
2302.0 0635.00635.0 3968.0
5.0 0 0 1
95.0 2.02.0 7.1
5.0 0
0 15.0 00 1 1
y
El circuito Π equivalente se muestra en la Fig. 7.53.
0.0635S1 2
0.3333S 0.1667S 3Ω 6Ω
1 215.75Ω
Figura 7.35
A partir de la matriz y’ se obtiene la matriz z’:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== −
5447.4 7273.07273.0 6365.2
'' 1yz
El circuito T correspondiente se muestra en la Fig. 7.36.
332
0.5338S1 2
1.9092Ω
0.7273Ω
3.8174Ω1 2
1.3749S
0.2620S
Figura 7.36
EJEMPLO 19
Construir el modelo Π y T de impedancias y admitancias de la red de la Fig. 7.37 eliminando los nodos 2, 3 y 4, usando la fórmula de reducción de nodos.
j0.2
j0.1 j0.5
j0.4Ω
j0.2Ω
j0.2Ω
j0.2Ω
Ω
j0.1Ω
Ω j0.5Ω
j0.5Ω
1 2 3 5
4
Figura 7.37
Primero se forma la matriz y arreglándola de tal manera que los nodos a eliminar aparezcan en las últimas filas:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
−−
=
200100505.6220
10222010020905010020
43251
4 3 2 5 1
y
A partir de esta matriz obtenemos ahora
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−
0 52 0 0 10
20 0 100 5.6 210 2 22
0 2 0 5 0 10
9 0 0 20
'
1
jy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=
3616.8 4700.04700.0 3175.9
j
El modelo Π correspondiente se muestra en la Fig. 7.38.
333
-j7.8916S
-j0.47S
-j8.8475S
1 5
j0.1267j0.1130 Ω
1 5
Ω
j2.1277 Ω
Figura 7.38
La inversión de y' produce
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== −
1199.0 0060.00060.0 1076.0
'' 1yz
y el modelo T correspondiente se muestra en la Fig. 7.39.
-j166.67S
-j8.7796S-j9.8425S1 5j0.1016 Ω j0.1139 Ω
j0.0060 Ω
1 5
Figura 7.39
EJEMPLO 20
Construir el diagrama de impedancias del sistema anterior eliminando los nodos 3 y 4 solamente,
En este caso la matriz y reducida es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=
−
10 0 52 2 0
20 0 0 5.6
10 20 25 0
22 0 100 9 0
10 0 20 '
1jy
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=3848.166152.0500.126152.03842.80
50.1207500.18
251
2 5 1
j
Las redes de admitancia e impedancia se muestran en la Fig. 7.40.
334
-j3.27S
-j12.5S
-j6.25S
1 5
j0.08 Ω
-j0.6152S
-j7.7696S
2
1 52j1.6255 Ω
j0.16 Ω j0.3058 Ω j0.1287 Ω
Figura 7.40
335
PROBLEMAS
1. Usando las definiciones de los parámetros, determine las matrices z, y, h, g, a y b de las redes siguientes.
+
1V
1I 2I
2V
+
__
I1 I2
V1 V2
+ +
_ _
1Ω 2Ω
2Ω
2Ω
3Ω 1Ω 1Ω2F
1h
II2
P.1
2. Usando las relaciones entre las matrices para los parámetros y partiendo de una de las matrices calculadas en el problema anterior, determinar las matrices restantes y comparar los resultados con los ya obtenidos.
3. En la red siguiente:
a) Determinar la matriz h. b) Usando las relaciones entre matrices, determinar la matriz y. Derive las relaciones. c) Mediante el concepto de la matriz de admitancia indefinida, encontrar la matriz h tomando el
terminal 2 como referencia. d) Usando la definición, determinar la matriz h tomando el terminal 2 como referencia y luego
comparar con el resultado en la parte c.
2 Ω 1 F
1 H 2 F 3 Ω+
V2
−
+
V1
−
I1 I2
P.3 4. En la red de la figura siguiente:
a) Use la definición para calcular la matriz g tomando el terminal 3 como referencia. b) A partir de la matriz g, determine la matriz y. Derive las relaciones. c) Mediante el concepto de la matriz de admitancia indefinida, encontrar la matriz y tomando el
terminal 2 como referencia. d) Usando la definición, calcular la matriz y tomando el erminal 2 como referencia y comparar con
el resultado de la parte c.
336
I1 I2
V1 V2
+ +
_ _
3ΩI 2F
I
3
1 2
4
P.4
5. Encontrar la matriz h de la siguiente red en función de los parámetros h del transistor y de los elementos Z1 y Z2.
I1
I2
+
V1
−
+
V2
−
Z1
Z2
P.5 6. Determinar la matriz h de la siguiente red si los parámetros del transistor son
S25 49 105 4.1 4 μ==×=Ω= −oefereie hhhkh
+
V2
−
20 kΩ
200 Ω
+V1
−
I1
I2
P.8 7. En la red siguiente calcular la matriz y en función de los parámetros h del transistor.
337
VV
I
I
1
1
2
2+
_
+
_
P.7
8. En el siguiente oscilador, obtener la frecuencia de oscilación en función de los elementos pasivos y de
los parámetros h del transistor.
L2
L1
C
P.8 9. Se pretende que el dispositivo de la Fig. P.9 sea un oscilador. Determinar:
(a) La frecuencia de oscilación y la condición de oscilación. (b) Los valores de las incógnitas anteriores si hie es infinita y hre es cero.
L1
L2 C
P.9 10. En la red siguiente determinar:
(a) La relación C2/C1 para obtener oscilación. (b) La frecuencia de oscilación si FC 01.01 = , ,500Ω=ieh 410−=reh y Shoe μ20= .
338
2C1C 10kΩ
10Ω 10mh
20kΩ
P.10 11. En la red de la Fig. P.11:
(a) Usando la fórmula de reducción de nodos, determinar los modelos Π y T de impedancias y admitancias eliminando los nodos 3 y 4.
(b) Construir el diagrama de impedancias, eliminando el nodo 4 solamente.
3 Ω
12 Ω 1 Ω
1 Ω
4 Ω
5 Ω
23 4
P.11 12. En la red de la Fig. P.12:
(a) Construir los modelos Π y T de impedancias y admitancias mediante la fórmula de reducción de nodos, eliminando los nodos 2, 4, 5 y 6.
(b) Construir el diagrama de impedancias, eliminando los nodos 4, 5 y 6 solamente.
j0.343Ω
j0.25Ω
2 3
54
j0.25Ω
j0.333Ω
j0.385Ω j0.385Ω j0.25Ω
j0.355Ω
j0.343Ω
1
6
P.12