texto - cap 5 (libro prof. maulio rodriguez).pdf
TRANSCRIPT
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 1/63
CAPÍTULO 5
ECUACIONES DE REDES
5.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se estudiarán diferentes métodos para determinar las corrientes y voltajes en cada elementode una red. Se empezará con un análisis sencillo y tradicional de mallas y de nodos en frecuencia compleja ycon excitación sinusoidal. Luego se estudiarán otros métodos muy útiles y apropiados para su uso concomputadoras, utilizando las técnicas descritas en los capítulos anteriores.
5.2 ANÁLISIS DE MALLAS
El método de análisis de mallas se basa en la definición de las corrientes de mallas, las cuales se describencomo aquellas corrientes que fluyen a lo largo de las fronteras de cada malla y que, en general, no soncorrientes que se pueden medir en un elemento.
El procedimiento para resolver una red por medio del análisis de mallas es el siguiente:
1. Asigne una dirección a la corriente de malla en cada malla independiente de la red.2. Escriba las ecuaciones de los voltajes de mallas en cada una de estas mallas.3. Resuelva las ecuaciones resultantes para obtener las corrientes de mallas.4. Determine la corriente en cada elemento como la suma o la diferencia de las corrientes de malla.
5.2.1 ANÁLISIS DE MALLAS EN FRECUENCIA COMPLEJA
El análisis de mallas en frecuencia compleja permite determinar la solución completa de corrientes yvoltajes en los elementos de la red. El análisis consiste en escribir las ecuaciones de mallas en el dominio dela frecuencia, resolver por las corrientes de mallas en este dominio, hacer el desarrollo en fracciones parciales y, por último, con la ayuda de la transformada inversa de Laplace, obtener la solución en eldominio del tiempo.
Ejemplo 1
En la red de la Fig. 5.1, calcular las corrientes i1(t ) e i2(t ).
1 A
1 Ω 0.5 H
20 V 1 F10 V +1 V
−
i1 i
2
Figura 5.1
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 2/63
174
El diagrama de la red en el dominio de frecuencia compleja se muestra en la Fig. 5.2.
+ _
+ _
Ω1 Ω2
s
10
s5.0
s
1
s
1 s
20+ _
_ +
)(2 s I )(1 s I
V 5.0
Figura 5.2
Las ecuaciones para los voltajes de malla son:
)(1
)(1
1110
21 s I ss I sss −⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=−
)(21
5.0)(120
5.01
21 s I s
ss I sss
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++−=−+
En forma matricial
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−
−+
5.019
9
)(
)(
21
5.0 1
1
11
2
1
s
s
s I
s I
ss
s
ss
Despejando, se obtiene
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
++=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
s
s
s
ss
ss
ss
s
s I
s I
5.019
9
11
1
s
1 2
15.0
65
2
)(
)(
2
2
1
de donde
2
29
3
350310
)2)(3(
20379)(
2
1 ++
+−−=
++−+
=ssssss
sss I
2
29
3
3100310
)2)(3(
2037)(
2
2 +−++−=++−−
= ssssss
sss I
Utilizando ahora la transformada de Laplace inversa, se tiene
t t eet i
231 29
3
50
3
10)( −− +−−=
t t eet i
232 29
3
100
3
10)( −− −+−=
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 3/63
175
Ejemplo 2
En la red de la Fig. 5.3, calcular las corrientes i1(t ) e i2(t ).
Ω1
+ _ V 10
h1 h M 1= h2
)(1 t i )(2 t iΩ1 Ω1
A2 A3
Figura 5.3
En la Fig. 5.4 se muestra el diagrama en el dominio de frecuencia.
Ω1
+ _ Ω1 Ω1
A2 A3
_ _ _ _ _ + + + + + + _
s
10
s V 2 V 3 )(2 ssI s2 V 6 V 2 )(1 ssI
)(1 s I )(2 s I
Figura 5.4
Las ecuaciones para los voltajes de mallas son
)()()2()(510
212 s I s I sssI s
−+=+−
)()22()()(8 211 s I sssI ssI ++−=+
y ordenando
510
)()1()()2( 21 −=+−+s
s I ss I s
8)()22()()1( 21 =+++− s I ss I s
Escribiendo ahora estas dos últimas relaciones en forma matricial, se obtiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−
+−+
8
510
)(
)(
22 )1(
)1( 2
2
1s
s I
s I
ss
ss
Resolviendo ahora por I 1(s) e I 2(s), se obtiene
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 4/63
176
3
326320
)3)(1(
20182)(
2
1 +−=
++
++−=
sssss
sss I
3
313
1
4310)(2 +−
++=
ssss I
por lo que
t t
t
eet i
et i
32
31
3
134
3
10)(
3
26
3
20)(
−−
−
−+=
−=
Ejemplo 3
En la red de la Fig. 5.5, determinar las corrientes de mallas i1(t ) e i2(t ).
+
_ +
_ V 15
h1
A4
h M 1=
Ω2
h2 A3
1F
V 5
V 8)(1 t i )(2 t i
+ _
Figura 5.5
El circuito equivalente en el dominio de frecuencia compleja se muestra en la Fig. 5.6.
Las ecuaciones de los voltajes de mallas se obtienen a partir de la Fig. 5.6:
[ ] )()22()()32()(10)()(715
21112 s I ss I sssI s I s I ss
+−+=+−−−+−
o
)()2()()2(315
21 s I ss I ss
+−+=−−
y
)()22()(1
2264)(85
121 s I ss I s
sssI ss
+−⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=−+−+−
o
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 5/63
177
)(1
22)()2(103
21 s I s
ss I ss
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++−=+
+
_
_ +
_ +
s
_ +
+
_
s
15
V 4 V 3 ( )12 I I s − s
1
s
5
Ω2
s2
V 6
V 4
)(1 ssI
s
8)(1 s I )(2 s I
+
+
+
_
_
_
_ +
Figura 5.6
En forma matricial
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++−
+−+
103
315
)(
)(
122 )2(
s)(2 2
2
1
s
s
s I
s I
sss
s
Resolviendo por I 1(s) e I 2(s), se obtiene
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
++
+++
++=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
s
s
s
s
s
ss
s
ss
s
s I
s I
103
315
s2 2
2 1
22
1)2()(
)(
2
2
1
de donde
( ) js
j
js
j
sssss
ssss I
++−
+−
−−+
+−=
++
+++−=
65.365.3
2
5.45.7
1)2(
1527134)(
2
23
1
js
j
js
j
s
ss I
+−
+−+
=+
−=
65.365.3
1
127)(
22
Aplicando ahora la transformada de Laplace inversa, se obtiene
o26.30sen89.135.45.7)( 21 −+−= −
t et i t
o74.149sen89.13)(2 += t t i
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 6/63
178
5.2.2 ANÁLISIS DE MALLAS CON EXCITACIÓN SINUSOIDAL
Si la red está excitada por fuentes sinusoidales y no interesan los transitorios de voltaje o corriente, se puede
resolver la red en la misma forma que en los ejemplos anteriores expresando a las corrientes y voltajes comofasores y a los elementos pasivos de la red por sus impedancias o admitancias respectivas. Básicamente esto
equivale a trabajar en el plano de frecuencia compleja reemplazando la variable s por jω, donde ω es lafrecuencia de la fuente de excitación sinusoidal.
Ejemplo 4
En la red de la Fig. 5.7, determinar los voltajes y las corrientes de cada elemento en función del tiempo.
+ _
Ω=101 R Ω= 33 R
h L 4.04 =1i 2it v 10cos202 ×=F C 02.0
2 =
Figura 5.7
Los valores equivalentes de los elementos en el régimen sinusoidal para ω = 10 rad/s son:
Ω=×=ω=Ω−=
×
=
ω
=°∠= 44.010 ,5
2.010
11 voltios,020 4
242
j j L j jX j
jC j
jX LC V
y el circuito equivalente es como se muestra en la Fig. 5.8.
+ _
Ω=101 R Ω= 33 R
V 020 °∠Ω− 5 j
Ω4 j1 I 2
I
Figura 5.8
De este circuito se obtienen las ecuaciones para los voltajes de mallas:
21
21
)543()5(0
)5()510(020
II
II
j j j
j j
−++−−=
−−−=°∠
Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial, se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ °∠=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
0
020
13 5
5 510
2
1
I
I
j j
j j
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 7/63
179
de donde
A43.63789.16.18.02550
100
A13.8131.116.012.1
2550
2060
2
1
°−∠=−=−
−=
°∠=+=
−
−=
j j
j
j
j
j
I
I
por lo que
A69.79789.176.132.0
A43.63789.1 A,13.8131.1
21
21
2
431
°∠=+=−=
−∠===°∠==
jC
L R R
I I I
I I I I I
Ejemplo 5
En la red de la Fig. 5.9, calcular las corrientes de mallas.
+ _ 1 I 2 I V 050 °∠
Ω5 j
Ω− 4 j
Ω10 j
Ω5
Ω3 Ω= 6 j jX
M
Figura 5.9
Para obtener la solución, se dibuja la red de nuevo en la forma indicada en la Fig. 5.10.
+ _ 1 I 2
I V 050 °∠
Ω5 j Ω10 j
Ω5
Ω3
+ _ _
+
16 I j26 I j
Ω− 4 j
Figura 5.10
A partir de la Fig. 5.10 se pueden escribir las ecuaciones de mallas:
211
212
)4108()43(6
)43()453(6050
III
III
j j j j
j j j j
−++−−=
−−−+=+°∠
Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial, se obtiene
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 8/63
180
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ °∠=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−
+−+
0
050
68 )23(
)23( 13
2
1
I
I
j j
j j
y despejando
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ °∠⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
++
+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0
050
13 23
23 68
1413
1
2
1
j j
j j
jI
I
de donde
°−∠=−=+
+=
°−∠=−+
+= =
43.1344.919.218.91413
100150
25.1017.2666.475.251413
300400
2
1
j j
j
j j
j
I
I
5.3 ANÁLISIS DE NODOS
En la mayoría de las redes, los voltajes de los nodos constituyen una elección adecuada como variables desolución. Estas variables se definen seleccionando un nodo de la red como referencia, el cual tendrá unvoltaje nominal igual a cero, y luego se determinan los voltajes de los demás nodos con relación al voltajede referencia. Posteriormente se determinan las corrientes en los elementos a partir de los voltajes entre losnodos a los cuales están conectados (incluyendo condiciones iniciales, si las hay) y los valores de esoselementos.
El procedimiento para resolver una red por medio del análisis nodal es el siguiente:
1. Se seleccionan un nodo como referencia entre el número total de n nodos.
2. Se escriben las n− 1 ecuaciones para las corrientes de los nodos en función de los voltajes de losnodos.
3. Se resuelven las ecuaciones resultantes para obtener los voltajes de los nodos.4. Se determinan las corrientes en cada elemento con la ayuda de los voltajes de los nodos entre los
cuales está conectado el elemento, incluyendo las condiciones iniciales, y el valor del elemento.
5.3.1 ANÁLISIS NODAL EN FRECUENCIA COMPLEJA
El análisis nodal en frecuencia compleja permite determinar también la solución completa para lascorrientes y voltajes de los elementos de la red. El análisis consiste en escribir las ecuaciones de los nodosen el dominio de frecuencia compleja, resolver por los voltajes nodales en este dominio, hacer un desarrolloen fracciones parciales de las expresiones obtenidas y, por último, con la ayuda de la transformada de
Laplace inversa, hallar la solución de los voltajes nodales en el dominio del tiempo. Con estos voltajesconocidos se pueden determinar las corrientes en cada uno de los elementos de la red.
Ejemplo 6
En la red de la Fig. 5.11, determinar los voltajes en los nodos y las corrientes en cada elemento.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 9/63
181
A B C
D
E
+ _ V 10
Ω= 11 R h5.0 Ω= 22 R
F 1 V 1 V 20+
_+ _
Figura 5.11
Se seleccionan los nodos B y C como independientes y el nodo E como nodo de referencia. Los nodos A y D no seanalizan porque sus voltajes son conocidos.
Dibujando ahora la red en el dominio de frecuencia compleja se obtiene el circuito de la Fig.5.12.
+ _ + _
A B C
D
E
Ω=11 R Ω= 22 R+
s
10
s5.0
s
1
s
1s
20
V 5.0
+ _
_
Figura 5.12
De la Fig. 5.12 obtenemos:
Nodo b:
s
sV sV
s
ssV sV
s C B B B
5.0
5.0)()(
1
1)(
1
)(10
+−+
−=
−
o
ssV
ssV
s
ssC B
91)(
2)(
22
+=−++
En el nodo C :
s
sV sV sV
s BC C
5.0
5.0)()(
2
)(20
−−=
−
o
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 10/63
182
ssV
s
ssV
s C B
11)(
25.0)(
2=
++−
y en forma matricial
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−++
s
s
sV
sV
s
ss
ss
C
B
11
19
)(
)(
s
20.5s
2
2
22
Despejando ahora los voltajes V B(s) y V C (s), se obtiene
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
++=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
s
s
s
s
ss
s
ss
s
ss
s
sV
sV
C
B
11
9
2
2
2
25.0
)2)(3(
2
)(
)(
2
de donde
2
29
3
350340
)2)(3(
8013)(
2
+−
++=
++++
=ssssss
sssV B
2
58
3
3200340
)2)(3(
802622)(
2
+−
++=
++++
=ssssss
sssV C
por lo que
t t C
t t B
eet v
eet v
23
23
583
200
3
40)(
29
3
50
3
40)(
−−
−−
−+=
−+=
Las corrientes en los elementos son:
2
29
3
350310
1
2
29
3
35034010
)(1 +
++
−−=++
+−−
=sss
sssss I R
o
t t R eei
23 29
3
50
3
10
1
−− +−−=
2
29
3
3100310
2
20
2
58
3
3200340
2
)()()(
2
+−
++−=
−+
−+
+=
−=
sss
sssssV sV s I
DC R
o
t t R eet i 23 29
3
100
3
10)(
2
−− −+−=
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 11/63
183
Ejemplo 7
En la red de la Fig. 5.13 determinar los voltajes de cada nodo en función del tiempo.
+ _
A B C
E
V 10
h1 h M 1=h2
1i A2 A3
2i Ω1
Ω1
Ω1
Figura 5.13
El diagrama correspondiente en el dominio de la frecuencia se muestra en la Fig. 5.14.
+ _
A B C
E
Ω1
Ω1 Ω1s
10
s V 2 V 3 )(2 ssI s2 V 6 )(1 ssI
)(1 s I )(2 s I
V 2 _ _ _ _ _ _
+ + + + + +
Figura 5.14
Las ecuaciones nodales son:
Nodo A:
)(1
)(1
1)(15
2 sV s
sV s
s I s
B A −⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=−
Nodo B:
)(2
1)(
2
31)(
1)(
2
1)(
912 sV
ssV
ssV
ss I s I
s C B A −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−=−+−
Nodo C :
)(2
11)(
2
1)(
2
141 sV
ssV
ss I
s B B ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−=+
pero
)()( )(10
)( 21 sV s I sV s
s I C A =−=
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 12/63
184
y por lo tanto,
ssV
ssV
ssV
ssV
ssV
ssV
s
s
sV
s
sV
s
sV
s
C B A
C B A
C B A
9)(
2
11)(
2
1)(
2
1
14)(
2
11)(
2
31)(
2
11
15)(
1)(
1)(
11
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−
−=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=+−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
En forma matricial,
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
−+
s
s
s
sV
sV
sV
ss
sss
ss
C
B
A
9
14
15
)(
)(
)(
2
11
2
1
2
1
2
11
2
31
1
2
1
1 1
1
1
Despejando se obtiene
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−
+++++
−−+++
++=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
22
22
22
241 1 1
1 31 21
21 1 132
)3)(1(
1
)(
)(
)(
ssss
sssss
sssss
ssssV
sV
sV
C
B
A
de donde
3326310
)3)(1(102212)(
2
++=++ ++=sssss
sssV A
3
313
1
4310
)3)(1(
1035)(
2
+−
+−=
+++−−
=ssssss
sssV B
3
313
1
4310
)3)(1(
10213)(
2
+−
++=
++++
=ssssss
sssV C
por lo que
t A et v
3
3
26
3
10)( −+=
t t B eet v
3
3
134
3
10)( −− −−=
t t C eet v
3
3
134
3
10)( −− −+=
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 13/63
185
5.3.2 ANÁLISIS NODAL CON EXCITACIÓN SINUSOIDAL
Al igual que en casos anteriores, el análisis nodal con excitación sinusoidal se hace representando las
corrientes y voltajes como fasores y las impedancias como vectores complejos.
Ejemplo 8
En la red de la Fig. 5.15 calcular los voltajes de los nodos y las corrientes en los elementos.
R1 = 10 Ω
L4 = 0.4 H
R3 = 3 Ω
C 2 = 0.02 F
+
v
−
A B
C
Figura 5.15
V 020 srad 10 V 10cos2 °∠==ω= Vt v
Ω=×=ω=Ω−=×
=ω
= 44.010 502.010
11 j j L j jX j
jC j jX LC
En la Fig. 5.16 se muestra la red equivalente para régimen sinusoidal.
10 Ω
j4 Ω
3 Ω
− j5 Ω+
−
A B
C
V020 °∠
Figura 5.16
La ecuación para las corrientes en el nodo A es
B A B A
C
A A
j R jX RVV
VVVV
3
1
5
1
3
1
10
12
020
31
−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−++=⇒
−+=
−°∠
y para el nodo B
( ) B A B B A
j j
VVVVV
25.0333.0333.00 43
−+−=⇒=−
En forma matricial
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 14/63
186
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−+
0
2
25.0333.0 333.0
333.0 2.0433.0
B
A
j
j
V
V
y despejando, se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡°∠
°−∠=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−
°−∠=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
29.26161.7
61.10955.8
j0.20.433 333.0
333.0 25.0333.0
29.26093.0
1 j
B
A
V
V
Por lo que
( )A38.8132.1
10
61.10955.820020
11
°∠=°−∠−
=−°∠
= R
A R
VI
A7.63792.13
29.26161.761.10955.843
°−∠=°∠−°−∠
== L R II
A39.79791.1905
61.10055.8
2
2°∠=
°−∠
°−∠==
C
AC
jX
VI
5.4 FORMULACIÓN MATRICIAL DE REDES POR EL MÉTODO DE MALLAS
Los conceptos estudiados en la topología de redes pueden utilizarse para escribir las ecuaciones de mallas;este análisis resulta de mucha utilidad en el uso de computadoras para resolver problemas que involucrangrandes redes. Sea V (s) el voltaje entre dos nodos a los cuales está conectada una rama de la red. Si la ramacontiene una fuente de voltaje E (s) y un elemento resistivo, tal como se indica en la Fig.5.17, la relación para el voltaje en la rama usando la convención indicada para la corriente, es la siguiente:
)()()( s IRs E sV += (5.1)
+ _ )(s E
R
)(s I
)(sV
+
_
Figura 5.17
Si el elemento es inductivo, como se indica en la Fig. 5.18, la ecuación que relaciona el voltaje y lascorrientes es
)0()0()()()()( 2121 Mi LissMI ssLI s E sV −−++= (5.2)
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 15/63
187
sL
E (s)
I 1(s)
+
V(s)
−
Figura 5.18
En el modelo para el inductor de la Ec. (5.2) se ha incluido la posibilidad de acoplamiento magnético conotra bobina.
Finalmente, si el elemento es capacitivo, el modelo es como se indica en la Fig. 5.19. La ecuación para el
voltaje es
)0(11
)()( vssC
s E sV ++= (5.3)
1/sC
E (s)
I (s) +
V (s)
−
Figura 5.19
Observe que en todos los casos la dirección de la corriente va desde el nodo marcado positivo hacia el lado
positivo de la fuente.
5.4.1 FORMULACIÓN MATRICIAL DE REDES EN FRECUENCIA COMPLEJA
Considere la red de la Fig. 5.20. En ella, la orientación de las corrientes se ha hecho de manera que siemprese dirijan del nodo hacia la fuente y hacia el nodo de referencia, igual que en los modelos que acabamos deexplicar.
+ _ )(1 s E
1 I
1 R
2 I
2 L
3 I
3 L
4 I 4C 5 I
5 R
1 2 3
Figura 5.20
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 16/63
188
Se construye el gráfico orientado y se selecciona un árbol, tal y como se indica en la Fig. 5.21.
1
2 3
4 5
12
3
Figura 5.21
El voltaje en cada rama de la red es
)()()(1111
s I Rs E sV +=
)0()()0()()( 3322222 MissMI i Ls I sLsV −+−=
)0()()0()()( 2233333 MissMI i Ls I sLsV −+−=
)0()(1
)( 44
4
4 vs I sC
sV +=
)()( 555 s I RsV =
Estas ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)0(
)0(
)0(
)0(
)0(
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0
)0(
0
0
0
1
)(
)(
)(
)(
)(
0 0 0 0
0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
)(
5
4
3
2
1
3
2
4
5
4
3
2
1
5
4
3
2
11
5
4
3
2
1
i
i
i
i
i
L M
M L
vs
s I
s I
s I
s I
s I
R
sC
sLsM
sM sL
Rs E
sV
sV
sV
sV
sV
o en forma simplificada:
)0()0(1
)()()()( eeeeeees
ssss iLvIZEV −++= (5.4)
en donde
Ve(s) es el vector voltaje de las ramas de la red.
Ee(s) es el vector voltaje de las fuentes presentes en las ramas.
Ie(s) es el vector corriente del elemento en la rama.
Ze(s) es la matriz de impedancia de elementos o matriz de impedancia primitiva.
Ve(0) es el vector de los voltajes iniciales en los elementos capacitivos.
Ie(0) es el vector corriente inicial en los elementos inductivos.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 17/63
189
Le es la matriz de inductancia de la red.
La Ec. (5.4) puede escribirse directamente a partir de la red mediante la ayuda de unas reglas sencillas:
1. El voltaje de la fuente Ee(s) es positivo si la corriente orientada entra por el positivo de la fuente. Encaso contrario, será negativo.
2. Los valores de la diagonal principal de la matriz de impedancia de elemento Ze(s) son los valores de laimpedancia de cada elemento en el dominio de frecuencia compleja y con el orden que le fue asignado.Los valores fuera de la diagonal principal son las impedancias mutuas en el dominio de frecuenciacompleja y se colocan en la matriz en el orden correspondiente a los inductores. Estas impedanciasmutuas serán positivas si las corrientes asignadas a las bobinas entran o salen por los puntos y negativassi una de las corrientes entra por el punto y la otra sale del punto.
3. El vector del voltaje inicial ve(0) será igual a cero si el elemento no es capacitivo o si aún siéndolo nocontiene carga inicial. Sus componentes serán positivos si la corriente asignada al elemento entra por el positivo del voltaje inicial. En caso contrario, será negativo.
4. El vector de la corriente inicial ie(0) será igual a cero si el elemento no es inductivo o si aún siéndolo nocontiene corriente inicial. Sus componentes serán positivos si la corriente inicial del elemento coincidecon la corriente asignada al elemento. En caso contrario serán negativos.
5. Los valores significativos de la matriz de inductancia Le son aquellos de autoinductancias y deinductancias mutuas de las bobinas y están colocados en la misma posición y con el mismo signo con elque están colocados en la matriz Ze.
Premultiplicando la Ec. (5.4) por la matriz de circuitos fundamentales B, se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++= )0()0(1
)()()()( eeeeeees
ssss iLvIZEBBV
Pero de acuerdo con la Ec. (4.5), el producto BVe(s) = 0, por lo que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= )0()0(1
)()()( eeeeees
sss iLvEBIBZ (5.5)
Se deja para el lector demostrar que las corrientes en los elementos y las corrientes de mallas estánrelacionadas por la ecuación
)()( ssm
T e
IBI = (5.6)
donde Im(s) es el vector de las corrientes de mallas o vector de corriente de circuito fundamental y BT (s) es
la traspuesta de la matriz de circuitos fundamentales.Sustituyendo la Ec. (5.6) en la Ec. (5.5) se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= )0()0(1
)`()()( eeeemT
es
sss iLvEBIBBZ (5.7)
o
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= )0()0(1
)()()( eeeemms
sss iLvEBIZ (5.8)
donde
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 18/63
190
T em ss BBZZ )()( = (5.9)
es la matriz de impedancia de malla.
La matriz de circuitos fundamentales del gráfico de la Fig. 5.5 es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
11100
01001B
Tomando el producto
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5
4
3
421
54
3
2
1
1
0
0 1
0000
01
000
000
000
0000
11-100
01-011)(
R
sC
sLsM
sC sM sL R
RsC
sLsM
sM sL
R
seBZ
Por lo que
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
+++
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
==
4
53
4
44
21
5
4
3
4
21
11
11
10
11
10
01
01
1
0
0 1
)()(
sC RsL
sC sM
sC sM
sC sL R
RsC
sLsM
sC sM sL R
ss T
em BBZZ
Por otra parte,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−
)0(
)0(
)0(
)0(
)0(
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0
)0(
0
0
0
1
0
0
0
0
)(
11100
01011)0()0(
1)(
5
4
3
2
1
3
2
4
1
i
i
i
i
i
L M
M L
vs
s E
ss eeee iLvEB
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
++
+++−=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
−−=
)0()0()0(
)0()0()0()(
0
)0(
)0()0(
)0()0(
)(
11100
01011
4332
43221
4
332
322
1
vi L Mi
v Mii Ls E
v
i L Mi
Mii L
s E
Se concluye entonces, de acuerdo con la Ec. (5.8), que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
+++−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
+++
)0()0()0(
)0()0()0()(
)(
)(
1
1
1
1
4332
43221
2
1
4
53
4
44
21
vi L Mi
v Mii Ls E
s I
s I
sC RsL
sC sM
sC sM
sC sL R
m
m
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 19/63
191
El lector puede comprobar fácilmente lo correcto de esta última ecuación utilizando los métodosconvencionales para resolver circuitos utilizando análisis de mallas. Por último, se tiene que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
+++−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
+++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
)0()0()0(
)0()0()0()(
1
1
1 1
)(
)(
4332
43221
1
4
53
4
44
21
2
1
vi L Mi
v Mii Ls E
sC RsL
sC sM
sC sM
sC sL R
s I
s I
m
m
Ejemplo 9
Determinar las corrientes de mallas en función del tiempo para la red de la Fig. 5.22a.
+ _
A B C
E
V 10
1 i A 2 A 3
2 i 1
2
3
4
5
(a) b
1 Ω
1 Ω 1 H 2 H M = 1 H
1 Ω
Figura 5.22
El gráfico y el árbol seleccionados se muestran en la Fig. 5.22b. De esta figura tenemos:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
1 0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 0 1
)( 11100
00111
ss
ss
seZB
Por lo tanto,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
++=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
22 1
1 2
10
10
11
01
01
1 0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 0 1
11100
00111)(
ss
ss
ss
ss
s T
e BBZ
También
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 20/63
192
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=−+
0
8
0
5
10
0
30
2
0
0 0 0 0 0
0 2 0 1 00 0 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0
00
0
0
1
0
0
0
0
10
)0()0(1
)(
s
s
s
ss eeee iLvE
y
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ +−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−8
510
0
8
0
5
10
11100
00111)0()0(
1)( s
s
ss eeee iLvEB
Por lo que
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ +−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
++
8
510
)(
)(
22 1
1 2
4
2s
s I
s I
ss
ss
m
m
De la relación anterior se obtiene
⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
++−−
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ +−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−
+−+
++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
)3)(1(
10213
)3)(1(
20182
8
510
2s )1(
)1( 22
)3)(1(
1
)(
)(
2
2
4
2
sss
ss
sss
ss
ss
ss
sss I
s I
m
m
de donde
3
32.4
1
433.3
)3)(1(
10213)(
3
66.866.6
)3)(1(
20182)(
2
4
2
2
+−
++=
++++
=
++−=
++−−
=
ssssss
sss I
sssss
sss I
m
m
y tomando la transformada inversa, se obtiene
t t m
t m
eet i
et i
34
32
33.4433.3)(
66.866.6)(
−−
−
−+=
+−=
Ejemplo 10
En la red de la Fig. 5.23a, se quiere determinar la corriente en cada elemento en función del tiempo.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 21/63
193
1 F10 V
M = 0.5 H
A B1
2
3
4
0.5 H 1 H
2 Ω
2 A 1 A +
2 V
−
(a) (b)
Figura 5.23
El gráfico orientado correspondiente y el árbol seleccionado se muestran en la Fig. 5.23b. De ésta y la red se obtienenlas siguientes relaciones:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−=
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 5.0
0 0 5.0 5.0
)(
10
01
10
11
1011
0101
s
ss
ss
seT ZBB
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
2
0
0
)0(
0
0
1
2
)0(
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0.5
0 0 5.0 5.0
0
0
0
10
)( eeee
s
s viLE
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−=
10
01
10
11
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 5.0
0 0 5.0 5.0
1011
0101
s
ss
ss
T eBBZ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=
s
ss
5.02 0
0 1
5.0
0
2
0
5.010
0 0
1
2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0.5
0 0 5.0 5.0
02
0
0
1
0 0
0
10
)0()0(1
)(
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡ +
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=−+
s
s
s
s
s
s eeee iLvE
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−5.0
10
5.08
0
2
0
5.010
1011
0101)0()0(
1)(
s
s
s
s
ss eeee iLvEB
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 22/63
194
De las ecuaciones anteriores se obtiene
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+
5.010
5.08
)(
)(
5.02 0
0 1
5.0
23
s
ss I
s I
ss
s
mm
y despejando
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
5.010
5.08
824
4
)(
)(
232
3
s
s
sss
s
s I
s I
m
m
De esta última ecuación se obtienen las expresiones para las corrientes de mallas en el dominio de frecuencia compleja:
( ) 2
8558.5
2
8568.5
2)4(
6420)(
2
2
3 js jsss
sss I m
+
°∠+
−
°−∠=
++
++=
( ) 4
45
)4(
20
2)4(
40220)(
2
23
2 +−=
+
+=
++
+++=
ssss
s
sss
ssss I m
y las corrientes en cada elemento son:
( )
( ) ⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+++
++
++
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
==
2)4(
40220
2)4(
6420
10
01
10
11
)()(
2
23
2
2
sss
sss
ss
ss
ss mT
e IBI
de donde
( ) 2
9568.5
2
9568.5
4
45
2)4(
4066402)(
2
23
1 js jssssss
ssss I
+
°−∠+
−
°∠+
++−=
++
−−−−=
4
45
)4(
20)()( 42 +
−=+
+=−=
ssss
ss I s I
( )2
8568.5
2
8568.5
2)4(
6420)(
2
2
3 js jsss
sss I
+
°∠+
−
°−∠=
++
++=
y por último, las expresiones correspondientes en el dominio del tiempo son:
( ) t mm et it t i
423 45)( 52sen36.11)( −−=°+=
( )°+−+−= − 52sen36.1145)( 41 t et i
t
t et it i
442 45)()( −−=−=
( )°+= 52sen36.11)(3 t t i
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 23/63
195
5.4.2 FORMULACIÓN MATRICIAL DEL ANÁLISIS DE MALLAS CON EXCITACIÓN
SINUSOIDALSi la excitación es sinusoidal, el análisis sigue los mismos pasos que el anterior con la diferencia de que losvoltajes y corrientes se representan como fasores y las impedancias como vectores complejos.Adicionalmente, las condiciones iniciales son iguales a cero.
EJEMPLO 11
En la red de la Fig. 5.24a, determine la corriente en cada elemento.
+ _ V 050 °∠
Ω5 j
Ω− 4 j
Ω10 j
Ω5
Ω3
Ω= 6 j jX M
1
2 3
41
2
3
4
5
2 3
(a) (b)
Figura 5.24
El gráfico orientado y el árbol seleccionado se muestran en la Fig. 5.24b. De la figura obtenemos
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−=
40000
03000
00500
000106
00065
)(
11
11
10
10
01
11110
11001
j
j j
j j
seT ZBB
y
11
11
10
10
01
4 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 10 6
0 0 0 6 5
1-1-110
1-1-001)()(
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ω=ω
j
j j
j j
j j T em BBZZ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++=
68 23
23 13
j j
j j
También
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 24/63
196
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ °∠−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ °∠
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
−=ω−
0
050
0
0
0
0
050
11110
11001)( jeBE
De las relaciones anteriores, se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ °∠−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
ω
ω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++
0
050
)(
)(
68 23
23 13
2
1
j I
j I
j j
j j
m
m
y despejando
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ °∠−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++−
+−+
+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
ω
ω
0
050
13 )23(
)23( 68
1413
1
)(
)(
2
1
j j
j j
j j I
j I
m
m
Por lo tanto,
°−∠=ω°∠=ω 43.1344.9)( 75.16917.26)( 21 j I j I mm
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
°−∠
°−∠
°−∠
°−∠
°∠
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
°−∠
°∠
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=ω=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=ω
A46.876.16
A46.876.16
A43.1344.9
A43.1344.9
A75.16917.26
43.1344.9
75.16917.26
11
11
10
10
01
)()(
5
4
3
2
1
j
I
I
I
I
I
j mT
e IBI
5.5 FORMULACIÓN MATRICIAL DEL ANÁLISIS DE REDES POR EL MÉTODO NODAL
En una forma similar al análisis de mallas mediante el uso de matrices, se pueden derivar fórmulasmatriciales para el análisis nodal de redes eléctricas.
5.5.1 FORMULACIÓN MATRICIAL EN FRECUENCIA COMPLEJA
En la Ec. (5.4) se obtuvo que
)0()0(1)()()()( eeeeeees
ssss iLvIZEV −++= (5.9)
Despejando a I e(s), se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= − )0(1
)0()()()()( 1eeeeeee
sssss viLEVZI (5.10)
Premultiplicando ambos lados de esta ecuación por la matriz de incidencia A, se obtiene
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−= − )0(
1)0()()()()( 1
eeeeeees
ssss viLEVAZAI (5.11)
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 25/63
197
Pero de acuerdo con la Ec. (4.24), 0)( =seAI , por lo que
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+−=
−−
)0(
1
)0()()()()(
11
eeeeeee sssss viLEAZVAZ
(5.12)
Ahora bien, los voltajes de los elementos están relacionados con los voltajes de los nodos por la relación
)()( ss nT
e VAV = (5.13)
donde Vn(s) es el vector correspondiente a los voltajes nodales. Sustituyendo la relación (5.13) en la Ec.(5.14), se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= −− )0(1
)0()()()()( 11eeeeen
T e
sssss viLEAZVAAZ (5.14)
Definiendo
T en ss AAZY )()( 1−= (5.15)
se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= − )0(1
)0()()()()( 1eeeeenn
sssss viLEAZVY (5.16)
o
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= −− )0(1
)0()()()()( 11eeeeenn
sssss viLEAZYV (5.17)
o también
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= − )0(1
)0()()()()( 1eeeeenn
sssss viLEAZZV (5.18)
donde
Yn(s) es la admitancia de nodo, admitancia de barra o admitancia de BUS .
Zn(s) = )(sn1Y− es la impedancia de nodo, impedancia de barra o de BUS .
El problema consiste entonces en encontrar la matriz de incidencia A, la inversa de la matriz de impedancia
primitiva y los vectores correspondientes a las excitaciones y las condiciones iniciales presentes en la Ec.(5.16). De la Ec. (5.15) se obtiene la matriz admitancia de nodo y de la Ec. (5.18) se obtienen los voltajes delos nodos. De la Ec. (5.13) se obtienen los voltajes de los elementos y con la Ec. (5.10) se obtienen lascorrientes en los elementos. También, con la Ec. (5.6) se pueden obtener las corrientes de mallas.
Ejemplo 12
En la red de la Fig. 5.25a, calcular las corrientes en cada elemento.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 26/63
198
+ _ V 10 F 1 V 2
h1
A1
Ω2
h5.0
A2 h M 5.0=
+ _
A B A B
1
2
3 4
(a) (b)
Figura 5.25
Del gráfico correspondiente al circuito en la Fig. 5.25b, se obtiene
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=
2 0 0 0
0 1
0 0
0 0 5.0
0 0 5.0 5.0
)(
10
01
11
01
1010
0111
s
ss
ss
seT ZAA
Para facilitar la inversión de la matriz Ze(s) es conveniente enumerar las bobinas acopladas magnéticamente con los primeros o con los últimos números, de manera que la matriz Ze(s) quede llena alrededor de la esquina superiorizquierda o alrededor de la esquina inferior derecha. Haciendo la partición de la matriz Ze(s) alrededor de la partecorrespondiente a las bobinas acopladas magnéticamente, se tiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=22
11
2221
1211
2000
02
100
005.0
005.05.0
)(A0
0A
AA
AAZ
ss
ss
se
Invirtiendo,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
2221
1211
22
11
II
III
XX
XX
A0
0A
De donde
0
2112
12222
11111
==
== −−
XX
AXAX
I es la matriz identidad igual que las particiones I11 e I22. I12 = I21 = 0.
El problema se reduce entonces a invertir dos matrices: una matriz diagonal y una matriz completamente llena. Lainversa de la matriz diagonal se consigue invirtiendo cada uno de los valores de la diagonal. Es relativamente fácilinvertir la matriz completamente llena puesto que su dimensión será la del número de bobinas acopladasmagnéticamente.
De esta manera,
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 27/63
199
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=−
0.5 0 0 0
0 0 0
0 0
2
2
0 0 2
4
1
s
ss
ss
eZ
Además
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
2
0
0
)0(
0
0
1
2
)0(
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0.5
0 0 5.0 5.0
0
0
0
10
)( eeee
s
s viLE
De la Ec. (5.15),
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
== −
10
01
11
01
0.5 0 0 0
0 0 0
0 0 2
2
0 0 2
4
1010
0111)()( 1
s
ss
ss
ss T en AAZY
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=
5.0s
2 0
0 2
ss
y
0
2
0
5.010
0
0
1
2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0.5
0 0 5.0 5.0
0
2
0
0
1
0
0
0
10
)0()0(1
)(
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−+
s
s
s
s
ss eeee iLvE
Además,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−
ss
ss
s
s
ss
ss
sss eeeee
120
2120
0
2
0
5.010
5.0 0 2
2
0 0 2
)0(1
)0()()(
2
21 viLEAZ
De la Ec. (5.16) se obtiene
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 28/63
200
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
ss
ss
sV
sV ss
B
A
120
2120
)(
)(
5.0s
2
0
0 2
2
2
por lo que
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
+++
+++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
sss
sss
ssssV
sV
B
A
40220
40125.4
824
2
)(
)(
2
2
23
de donde
( )2)4(
802492)(
2
23
++
+++=
sss
ssssV A
( )2)4(
804402)(
2
23
++
+++=
sss
ssssV B
Ahora, de la Ec. (5.13), se tiene que
( )
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
++
+−
+++
++=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+++
++
+++
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−==
804402
802492
2031
802492
2)4(
1
2)4(
804402
2)4(
802492
10
91
11
01
)()(
23
23
2
23
2
2
23
2
23
sss
sss
ss
sss
sss
sss
sss
sss
sss
ss nT
e VAV
y de la Ec. (5.10),
( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
++
+++
−−−−
++=
40220
6420
40220
4066402
2)4(
1)(
23
23
23
23
2
sss
sss
sss
sss
sssse I
por lo que
( )°+−+−= − 52sen36.1145)( 41 t et i
t
t et it i 442 45)()( −−=−=
( )°+= 52sen36.11)(3 t t i
Ejemplo 13
En la red de la Fig. 5.26a, determinar la corriente en cada elemento en función del tiempo.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 29/63
201
+ _
A B C
D
V 10
Ω1 h1 h M 1= h2
A2 A3
Ω1 Ω1 1
4
2
5
3
(a) (b)
A B C
D
Figura 5.26
Del gráfico orientado y el árbol definido en la Fig. 5.26b, se obtiene
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
ss
ss
T
2 0 0 0
0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
0 1 0 0 1
ZAA
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=−
0
0
0
0
0
)0(
0
0
0
0
10
)(
2 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
s1 1 0 0 0
1 s2 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1eeee
s
s
s
s
vELZ
Entonces
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0 0 0
1 2 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
0 1 0 0 1
)(
ss
ss
snY
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
−−+
=
ss
ss
sss
11 0
1
0 1
1 1
1
1
2
1
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 30/63
202
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
8
5
0
0
10
0
0
0
0
0
s
1
3
2
0
0
0
2 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
10
(0)1
)0()(
ss
s
s eeee viLE
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−
s
s
s
s
s
s
ss eeeee
3
5
12
8
5
0
0
10
1 s1 1 0 0
0 s1 0 1 0
s1 2 0 0 1
)0(1
)0()(1 viLEAZ
por lo que
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
−−+
s
s
s
sV
sV
sV
ss
ss
sss
C
B
A
3
5
12
)(
)(
)(
11 0
1
0 1
1 1
1
1
21
y despejando, se obtiene
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
+++−−
++++
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)3)(1(
10213
)3)(1(
1035
)3)(1(
102212
)(
)(
)(
2
2
2
sss
ss
sss
ss
sss
ss
sV
sV
sV
C
B
A
El vector de los voltajes en los elementos es
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
+++−−
++
++=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
++
++
++
+−−
++
++
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
==
ss
ss
ssss
ss
sss
sss
ss
sss
ss
sss
ss
ss nT
e
248
2517
102131035
102212
)3)(1(
1
)10)(1(
10213
)3)(1(
1035
)3)(1(
102212
110
011
100010
001
)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
VAV
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 31/63
203
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−
++−−
++++
++ +−−
++++
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
3
2
0
0
0
2 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
10
)3)(1(
248
)3)(1(
2517
)3)(1(
10213
)3)(1(1035
)3)(1(
102212
s1 1 0 0 0
1 s2 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
)(
2
2
2
2
s
sss
ss
sss
s
sss
ss
sssss
sss
ss
s
s
seI
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
++
++−
+−
++
+−
+−
++−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
++
−−
++
++
++
+−− ++
−−
=
3
313
1
4310
3
326320
3
313
1
4310
3
313
1
4310
3
326320
)3)(1(
10213
)3)(1(
20182
)3)(1(
10213
)3)(1(
1035)3)(1(
20182
2
2
2
2
2
sss
ss
sss
sss
ss
sss
ss
sss
ss
sss
ss
sss
ss
sss
ss
y finalmente,
t et it i
341
3
26
3
20)()( −+−==
t t eet i
32
3
134
3
10)( −− −−=
t t eet it i
353
3
134
3
10)()( −− −+==
5.5.2
FORMULACIÓN MATRICIAL DEL ANÁLISIS NODAL CON EXCITACIÓNSINUSOIDAL
En el régimen sinusoidal permanente, el análisis es similar al realizado con la variable de frecuenciacompleja s, excepto que ahora se trabaja con fasores para los voltajes y corrientes y con vectores complejos para las impedancias y admitancias. También se simplifican las ecuaciones en que las condiciones inicialesen los elementos que almacenan energía son todas iguales a cero.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 32/63
204
Ejemplo 14
Para la red de la Fig. 5.27a, calcular las corrientes en cada elemento.
j5 Ω jX
M = j6 Ω
j10 Ω
1
2
3
4
5
23
(a) (b)
1
4
− j4 Ω
3 Ω
5 ΩV050 °∠
1
32
Figura 5.27
El gráfico y el árbol correspondientes se muestran en la Fig. 5.27b. De allí obtenemos:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=ω
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
4 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 10 6
0 0 0 6 5
)(
110
101
010
011
001
11000
00110
01011
j
j j
j j
je
T ZAA
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ °∠
=ω
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=ω−
0
0
0
0
050
)(
0.250000
00.3333000
000.200
0000.35710.4286
0000.42860.7143
)(1 j
j
j j
j j
j ee EZ
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−
−−
=ω=ω −
2500.03333.0 0 0.3333
0 3571.02000.0 0714.0
0.3333 0714.0 2143.03333.0
)()( 1
j
j j
j j
j j T
enAAZY
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−−
+−++−
−+−+
=ω=ω −
5.35944.6921 7671.07126.0 8402.17103.5
7671.07126.0 9681.13697.1 2236.02881.1
8402.17103.5 2236.02881.1 4429.20911.7
)()( 1
j j j
j j j
j j j
j j nn YZ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡°−∠
°−∠
=ωω−
0
904285.21
902860.14
)()(1 j j ee EAZ
Por lo que
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 33/63
205
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
°−∠
°−∠
°−∠
=ωωω=ω −
V
V
V
j j j j eenn
4494.980355.63
4193.131855.47
5832.618015.83
)()()()( 1 EAZZV
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+−
−
+
−
=ω=ω
V j
V j
V j
V j
V j
j j nT
e
66.30809.8500
3963.77296.49
9506.108972.45
7536.620176.6
7042.738796.39
)()( VAV
[ ]
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
°−∠ °∠
°−∠
°∠
°∠
=
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
−
+−
+−
=ω−ωω=ω −
A
A
A
A
A
j
j
j
j
j
j j j j eeee
460.8759.16 540.171759.16
413.13433.9
587.166433.9
764.169168.26
462.2577.16 465.2577.16
188.2179.9
188.2179.9
645.4751.25
)()()()( 1 EVZI
5.6 ANÁLISIS CON VARIABLES DE ESTADO
La última formulación de las ecuaciones de redes propuesta al comienzo de este capítulo se basa en el usode las variables de estado. Las variables de estado que se seleccionan en este análisis son las quecorresponden a los elementos que almacenan energía, esto es, las corrientes en los inductores y los voltajesen los capacitores. Estas variables sustituyen a las corrientes de mallas en el análisis de mallas y a los
voltajes de los nodos en el análisis nodal. Al determinar las variables de estado correspondientes a losvoltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores, se pueden determinar todos los demás voltajesy corrientes de la red bajo estudio.
Ejemplo 15
Determinar la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.28.
L2
R4
R1
C 3v(t )
i1
i L
iC
+
vC
−
Figura 5.28
La ecuación de estado debe quedar en la forma BuAxx +=& ; por tanto, se deben determinar las matrices A y B. Las
variables de estado para el circuito de la figura son la corriente en el inductor, i L, y el voltaje en el capacitor, vC , por loque la ecuación de estado será
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 34/63
206
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
2221
1211
b
b
v
i
aa
aa
dt
dv
dt
di
C
L
C
L
Aplicando las leyes de Kirchhoff para el voltaje en el inductor ( )dt di L L2 y para la corriente en el capacitor
( )dt dvC C en función de las variables de estado (i L y vC ), se obtiene
LC L
R LC i Rvdt
di Lvvv 42 o
4−=+=
de donde
C L L v
Li
L
R
dt
di
22
4 1+−=
También,
dt
dvC i
R
vviii C
LC
C L 31
1 o +=−
+=
Por lo que
vC R
vC R
iC dt
dvC L
C
11
111+−−=
Escribiendo ahora las dos ecuaciones resultantes en la forma de la ecuación de estado, se obtiene
v
C Rv
i
C RC
L L
R
dt
dv
dt
di
C
L
C
L
1
0
1
1
1
31313
22
4
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ejemplo 16
Determine la ecuación de estado de la red en la Fig. 5.29.
v1(t )
i2 i
4
i3
L2
C 4
R3 v
5(t )
Figura 5.29
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 35/63
207
Las variables de estado son la corriente en el inductor, i2, y el voltaje en el capacitor, v4. Del circuito se obtiene:
542
21 vv
dt
di Lv ++=
o
42
12
52
2 111v
Lv
Lv
Ldt
di−+−=
También,
43
53
44
3
44432
111v
Rv
Rdt
dvC v
Rdt
dvC iii B ++=+=+=
de donde
543
443
24
4 111v
C Rv
C Ri
C dt
dv−−=
Por lo que
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5
1
43
22
4
2
434
2
4
2
1 0
1
1
1
1
1 0
v
v
C R
L L
v
i
C RC
L
dt
dv
dt
di
Ejemplo 17
Determinar la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.30
.
v1(t )
i2
i4
i3
R2
L3
C 5
L4
i5
Figura 5.30
Las variables de estado para el circuito son i3, i4 y v5. Del circuito, se obtiene
dt
di Li Ri R
dt
di Li Rv 3
342323
3221 ++=+=
o
13
43
23
3
23 1v
Li
L
Ri
L
R
dt
di+−−=
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 36/63
208
54
4423254
4221 vdt
di Li Ri Rv
dt
di Li Rv +++=++=
o
14
54
44
23
4
24 11v
Lv
Li
L
Ri
L
R
dt
di+−−−=
e
dt
dvC ii 5
554 ==
o
4
5
5 1i
C dt
dv=
y la ecuación de estado es
14
3
5
4
3
5
44
2
4
2
3
2
3
2
5
4
3
0
1
1
0 1
0
1
0
v L
L
v
i
i
C
L L
R
L
R
L
R
L
R
dt
dv
dt
di
dt
di
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ejemplo 18
Determine la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.31.
v1(t )
i2
i4
i3
R2
L3
C 5
L4
i5
M
Figura 5.31
dt
di M
dt
di Li Ri Rv 43
342321 +++=
o
1423243
3 vi Ri Rdt
di M
dt
di L +−−=+
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 37/63
209
y
0435
44
33 =−+++−
dt
di M
dt
di M v
dt
di L
dt
di L
o
54
43
3 )()( vdt
di M L
dt
di M L =−−−
Finalmente,
54 ii =
o
45
5 idt
dvC =
En forma matricial,
1
5
4
322
5
4
3
5
43
3
0
0
1
0 1 0
1 0 0
0
C 0 0
0
0
v
v
i
i R R
dt
dv
dt
di
dt di
M L M L
M L
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
y la ecuación de estado para el circuito es
1
1
5
43
3
5
4
3221
5
43
3
5
4
3
0
0
1
C 0 0
0
0
0 1 0
1 0 0
0
C 0 0
0
0
v M L M L
M L
v
i
i R R
M L M L
M L
dt
dv
dt
di
dt
di
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−−+
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡ −−
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−−=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
Ejemplo 19
Determinar la ecuación de estado para el circuito de la Fig. 5.32.
1 H
0.5 F 2 F
2 Ω
1 V
4 Ω 1 Ω
i2
i5
i1
i3
i4
i6
1
A B C
D
Figura 5.32
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 38/63
210
Las variables de estado son i3, v2 y v5.
En la malla 1:
523 vvv += → 523 vv
dt
di +=
En el nodo B:
452 iii += odt
dvv
dt
dv B
52 24
15.0 += y 2121 viv B −−=
dt
dvii 231 5.0+= por lo que 2
2321 v
dt
dviv B −−−=
dt
dvv
dt
dvi
dt
dv 52
23
2 2214
15.0 +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−= → 23
52 2183 vidt
dv
dt
dv−−=−
En el nodo C:
635 iii =+ o C vidt
dv=+ 3
52
Pero
522
35 21 vvdt
dvivvv BC −−−−=−=
y reemplazando
52
2
33
5 212 vvdt
dvii
dt
dv−−−−=+ →
523
52 312 vvidt
dv
dt
dv−−−=+
Matricialmente,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
1
0
1 1 3
0 1 2
1 1 0
2 1 0
8 3 0
0 0 1
5
2
3
5
2
3
v
v
i
dt
dv
dt
dv
dt
di
y, finalmente, la ecuación de estado es
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
71
75
0
7/1 7/1 21
74 75 2
1 3 0
5
2
3
5
2
3
v
v
i
dt
dv
dt
dv
dt
di
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 39/63
211
Ejemplo 20
Determine la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.33.
1 Ω
v1
2 Ω
2 Ωi2
i4
i1
i3
i6
i5
A B
C
D
2 H 4 H
v5
1 F
1
Figura 5.33
Las variables de estado son i2, i4 y v3.
En la malla 1:
423 vvv += → 342 42 v
dt
di
dt
di=+
En el nodo B:
Bviiii2
14642 +=+= , pero
dt
di
dt
dvivv B
2321 2−−−=
Por lo que
423
212 22
1i
dt
di
dt
dvivi +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−= → 421
32
2
3
2
1
2
1iiv
dt
dv
dt
di+−=+
En el nodo C:
2
5543
vviii
C −==+
Por lo que
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−−−=
−=+ 5
42321
54
3 422
1
2v
dt
di
dt
di
dt
dviv
vvi
dt
dv C
y
4521342
2
1
2
1
2
1
2
32 iviv
dt
dv
dt
di
dt
di−−−=++
En forma matricial,
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 40/63
212
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
+
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
5
1
3
4
2
3
4
2
21 21
0 21
0 0
0 1 21
0 1 23
1 0 0
23 2 1
21 0 1
0 4 2
v
v
v
i
i
dt
dv
dt
di
dt
di
y la ecuación de estado para la red es
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5
1
3
4
2
3
4
2
3
1
3
1
12
1
6
1
6
1
3
1
31 32 31
61 32 32
61 34 34
v
v
v
i
i
dt
dv
dt
di
dt
di
Ejemplo 21
En la red de la Fig. 5-34, calcular las corrientes de cada elemento en función del tiempo usando ecuaciones de estado.
0.5 Ω
2 V
i L
1 A
+
2 V−
1 F
i1
1 H
iC
Figura 5-34
En el circuito de la figura, las variables de estado son iL y vC. De allí se obtienen las ecuaciones
C C
LC vdt
dvivi +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=+= 5.05.02 1 → C L
C vi
dt
dv24 −−=
Por otra parte
C L v
dt
di=
Por lo tanto, la ecuación de estado es
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
)0(
)0( ,
4
0
2 1
1 0
C
L
C
L
C
L
v
i
v
i
v
i
&
&
Utilizando el método de diagonalización para resolver la ecuación, se obtiene
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 41/63
213
0 012 02 1
1 21
2 =λ=λ⇒=+λ+λ⇒=+λ
−λ=−λ AI
Para λ 1 = 1:
0 0
0
1 1
1 12111
21
11 =+⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−uu
u
u
Seleccionar
1 ,1 2111 −== uu
Puesto que la raíz es repetida, la ecuación para el otro vector característico es
1 1
1
1 1
1 12212
22
12 =+⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−uu
u
u
y
1 ,0 2221 == uu
Por consiguiente,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1 1
0 1 S y ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
1 1
0 11S
Procediendo ahora a diagonalizar (forma canónica de Jordan), se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡
4
0
1 1
0 1
1 1
0 1
2 1
1 0
1 1
0 1
2
1
2
1
z
z
z
z
&
&
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
4
0
10
11
2
1
z
z
con condiciones iniciales
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3
1
2
1
11
01)0(z
Resolviendo el sistema anterior, se obtiene
t t
t t
t
t t
eeeed eet z −τ−−τ−−−
−=+=τ+= ∫ 44343)( 0
0
)(2
( ) ( ) t t t
t t
t
t t t et eeeed eeet z
−−τ−−τ−−−− −−=τ−+=τ−+= ∫ 3444)(0
0
)(1
Utilizando ahora la transformación inversa, se obtiene
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−
−
−−
t t
t t
t
t t
C
L
tee
tee
e
tee
t v
t i
2
34
4
34
11
01
)(
)(
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 42/63
214
y a partir de este resultado se obtienen los otros valores buscados:
t t C C
t t C et e
dt
dvt iet e
vt i
−−−− −−==−−== )( ,244
5.0
2)(1
Ejemplo 22
En la red de la Fig. 5.35, calcular las corrientes de cada elemento en función del tiempo usando ecuaciones de estado.
i L
20 V
1 Ω
10 V
+
2 V−
i1 i
C
0.5 H
1 F
2 Ω
1 A
Figura 5.35
Las variables de estado para este circuito son la corriente en el inductor, i L, y el voltaje en el capacitor vC . Del circuitose obtiene:
10 1
101 +−−=⇒+=
−=+= C L
C C L
C C L vi
dt
dv
dt
dvi
viii
Por otra parte,
4024 2025.0 −+−=⇒++= C L L
L L
C vidt
dii
dt
div
o en forma matricial
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
1
)0(
)0(i
10
40
1 1
2 4
C
L
C
L
C
L
vv
i
dt
dv
dt
di
Aplicando la transformación de Laplace a la ecuación anterior, se obtiene
ssV s I vssV
ssV s I issI
C LC C
C L L L
10)()()0()(
40)(2)(4)0()(
+−−=−
−+−=−
y el diagrama de transición correspondiente se muestra en la Fig. 5.36.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 43/63
215
s
1 −40 s1
−4
−1
−1
2
10
s1 s1
1 1
)(s I L)(sV C
Figura 5.36Del gráfico se obtiene
2
2
22
6542141
s
ss
ssss
++=++++=Δ
Por lo tanto,
3
3100
2
29310
)3)(2(
2037
20211
111
40
65)(
2
3222
2
++
+−−=
++−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−++
=
ssssss
ss
ssssssss
ss I L
3
350
2
29340
)3)(2(
8013
41
1141
1040
65)(
2
2232
2
++
+−=
++++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
++=
ssssss
ss
ssssssss
ssV C
Utilizando ahora la transformada inversa, se obtiene
t t L eet i
32
3
10029
3
10)( −− +−−=
t t
C eet v
32
3
50
583
40
)(
−−
+−=
y los otros valores son
t t C C ee
dt
dvC t i
32 5058)( −− −==
t t C L eet it it i
321
3
5058
3
10)()()( −− −+−=+=
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 44/63
216
Ejemplo 23
En la red de la Fig. 5.36, calcular las corrientes de cada elemento en función del tiempo usando ecuaciones de estado.
i3
2 Ω
2 V
i2
i1
2 A
1 H
1 A
0.5 H 1 Ω
Figura 5.36
Las variables de estado para este circuito son i1 e i2. De la figura se obtienen las siguientes ecuaciones:
23 22 211
211
1 ++−=⇒−++= iidt
diii
dt
dii
212
32 2 5.0 ii
dt
dii
dt
di−=⇒=
En forma matricial
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
3
)0(
)0(
0
2
)(
)(
2 2
1 3
2
1
2
1
2
1
i
i
t i
t i
dt
di
dt
di
Resolviendo por la transformada de Laplace, se tiene
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+=−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
2 2
1 3
2 2
1 3
s
ss AIA
La matriz resolvente es
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+
++
=−= −
3 2
1 2
45
1)(
2
1
s
s
ss
ss AI
y por tanto
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++
++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+
++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
4122
4103
)4)(1(
1
2
23
3 2
1 2
)4)(1(
1
)(
)(
2
2
2
1
ss
ss
sss
s
s
s
sss I
s I
de donde
4
1
1
11
)4)(1(
4103)(
2
1+
++
+=++
++=
ssssss
sss I
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 45/63
217
4
1
1
11
)4)(1(
4122)(
2
2 +−
++=
++
++=
ssssss
sss I
Tomando ahora la transformada inversa, se obtienen las corrientes en función del tiempo:
t t eet i
41 1)( −− ++=
t t eet i4
2 1)( −− −+=
t et it it i
4213 2)()()( −=−=
5.6.1 ANÁLISIS DE REDES DEGENERADAS USANDO ECUACIONES DE ESTADO
En la sección anterior se afirmó que el número de variables independientes en las ecuaciones de estado es
igual al número de inductores más el número de capacitores. Si la red es degenerada, el número de variablesde estado α es
icic K C N N −−+=α
donde
N c es el número total de capacitores en la red, N i es el número total de inductores en la red,C c es el número de circuitos que contienen sólo capacitores, yK i es el número de conjuntos cortados que contienen inductores solamente.
Ejemplo 24
Determinar la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.37
B
+
v4
− 1 Ωi R3 C 4
R5
C 2
C 6
A
+
v6
−
+ v2 −
.
Figura 5.37
De la figura se observa que hay un circuito degenerado con tres capacitores; la red no contiene inductores; por lo tanto,
20103 0 0 0 3 =−−+=⇒==== α icic K C N N
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 46/63
218
Las variables de estado seleccionadas son v4 y v6, pudiendo ser también v2 y v4 o v2 y v6 (¿por qué?).
En el nodo A:
5
64642
444
3
1
R
vv
dt
dv
dt
dvC
dt
dvC v
Ri −+⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −++=
o
( ) iv R
v R Rdt
dvC
dt
dvC C ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=−+ 6
54
53
62
442
111
En el nodo B:
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−++=
dt
dv
dt
dvC
R
vv
dt
dvC v
R
462
5
46666
7
10
o
( ) 6
75
4
5
662
42
111v
R Rv
Rdt
dvC C
dt
dvC ⎟
⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=++−
Matricialmente,
i
v
v
R R R
R R R
dt
dv
dt
dv
C C C
C C C
0
1
11
1
1
11
6
4
755
553
6
4
622
242
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+
y despejando las incógnitas dt dv4 y dt dv6 se obtiene la ecuación de estado correspondiente.
5.7 ALGORITMO PARA FORMULAR LAS ECUACIONES DE ESTADO
En la sección anterior se estudió la forma de determinar las ecuaciones de estado para una red dada. Entodos los ejemplos, las ecuaciones se obtuvieron mediante ciertas combinaciones de las leyes de Kirchhoff.En redes sencillas es muy fácil escoger las combinaciones de las ecuaciones de mallas y de nodos que permitan determinar las ecuaciones de estado. Sin embargo, cuando la red se hace más complicada alaumentar el número de inductores y capacitores, el problema se torna bastante difícil y resulta muyengorroso obtener el resultado buscado. Es por ello que resulta conveniente establecer un procedimientosistemático que permita encontrar las ecuaciones de estado paso a paso y que al mismo tiempo pueda programarse para ser asistido por computadoras. Para desarrollar las ecuaciones de estado usando losvoltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores, debemos colocar todas las fuentes de voltaje ytantos capacitores como sea posible en un árbol y todas las fuentes de corriente y tantos inductores como sea posible en un coárbol. Esto conduce a la siguiente definición: En el grafo conexo y dirigido asociado conuna red, un árbol normal es aquél que contiene todos los bordes con fuentes de voltaje independientes, elmáximo número de bordes capacitivos, el mínimo numero de bordes inductivos y ninguno de los bordes confuentes de corriente independientes. Se usa el nombre árbol normal porque es el árbol que nos permitiráobtener la ecuación de estados en la forma normal. El árbol normal puede ser único o no.
El algoritmo desarrollado para escribir las ecuaciones de estado para las redes, es el siguiente:
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 47/63
219
1. Obtenga el grafo dirigido del circuito representando cada elemento y cada fuente separadamente por un borde. Oriente el grafo de manera que la corriente que circula por las fuentes de voltaje entre por el positivo de la fuente; ahora, seleccione un árbol normal, asignándole un símbolo de voltaje a cada rama
y un símbolo de corriente a cada enlace del árbol, que contenga:a) Todas las fuentes de voltaje. b) Ninguna fuente de corriente.c) Todos los capacitores posibles.d) El menor número de inductores posible.
2. Escriba las ecuaciones que relacionan el voltaje y la corriente de los elementos pasivos (ecuacionesVCR) y sepárelas en dos grupos:
a) Las ecuaciones de los capacitores en las ramas y los inductores en las uniones. b) Las ecuaciones de los otros elementos pasivos presentes.
3. Escriba las ecuaciones para los circuitos fundamentales y para los conjuntos cortados fundamentales,excluyendo a los conjuntos cortados originados por las fuentes de voltaje y sepárelas en la misma forma
indicada en el paso 2.
4. Elimine en las ecuaciones VCR las variables que no sean variables de estado sustituyendo lasecuaciones del paso 3 en las del paso 2, trabajando con las ecuaciones de los grupos b) solamente. Lasvariables que no son de estado se defines como aquellas variables que no son ni variables de estado nifuentes conocidas. Ellas son simplemente las corrientes las ramas y los voltajes de las uniones del árbolseleccionado.
A continuación se ilustrará el procedimiento mediante algunos ejemplos.
Ejemplo 25
Determinar la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.38 (Este ejemplo se corresponde con el Ejemplo 15).
i3
e1
R1
L2
C 3
R4
i1
i2
Figura 5.38
PASO 1: El gráfico correspondiente y el árbol seleccionado se muestran en la Fig. 5.39.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 48/63
220
1 2
3 4 5 1 e
Figura 5-39
Las variables de estado para este circuito son i2 y v3. Ahora se procederá a aplicar el algoritmo.
PASO 2:
Grupo a:dt
di Lv
dt
dvC i 2
223
33 ==
Grupo b: 444111 iV i Rv ==
PASO 3:
Grupo a: 213432 iiivvv −=−=
Grupo b: 5142311 iiiivev −==−=
PASO 4:
243443432
22 i Rvi Rvvvdt
di Lv −=−=−==
33
22
42 1v
Li
L
R
dt
di+−= (ecuación de estado)
21
3121
121
333
1i
R
veiv
Rii
dt
dvC i −
−=−=−==
131
331
23
3 111 eC R
vC R
iC dt
dv +−−= (ecuación de estado)
En forma matricial
1
313
2
313
22
4
3
2
1
0
1
1
1
e
C Rv
i
C RC
L L
R
dt
dv
dt
di
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 49/63
221
Ejemplo 26
Determinar la ecuación de estado de la red en la Fig. 5.39 (este ejemplo se corresponde con el Ejemplo 17).
i3v
1
R2
i2
i4
C 5 L
3
L4
i5
Figura 5.39
Las variables de estado para este caso son i3, i4 y v5. La aplicación del algoritmo produce:
PASO 1: El gráfico y el árbol seleccionado se muestran en la Fig. 5.40.
1
2
3
4
5
Figura 5.40
PASO 2:
Grupo a:dt
dvC i
dt
di Lv
dt
di Lv 5
553
334
44 ===
Grupo b: 222 i Rv =
PASO 3:
Grupo a: 452135214 iivvvvvvv =−=−−=
Grupo b: 432 iii +=
PASO 4:
42321221213
33 i Ri Rvi Rvvvd t
di Lv −−=−=−==
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 50/63
222
13
43
23
3
23 1v
Li
L
Ri
L
R
dt
di+−−= (primera ecuación de estado)
42325122514
44 i Ri Rvvi Rvvdt di Lv −−−=−−==
14
54
44
23
4
24 11v
Lv
Li
L
Ri
L
R
dt
di+−−−= (segunda ecuación de estado)
455
5 iidt
dvC ==
45
5 1i
C dt
dv= (tercera ecuación de estado)
En forma matricial
14
3
5
4
3
5
44
2
4
2
3
2
3
2
5
4
3
0
1
1
0 1
0
1
0
v L
L
v
i
i
C
L L
R
L
R
L
R
L
R
dt
dv
dt
di
dt
di
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ejemplo 27
Determine la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.41.
1 Ω
v1
2 Ω
2 Ωi2
i4
i1
i3
i6
i5
A B
C
D
2 H 4 H
v5
1 F
1
Figura 5.41
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 51/63
223
Las variables de estado son i2, i4 y v3.
PASO 1: Se dibujan el gráfico con el árbol seleccionado (Fig. 5.42)
1
2
3
4
5 6
1 e 2 e
Figura 5.42
PASO 2:
Grupo a:dt
dvi
dt
div
dt
div 3
34
42
2 4 2 ===
Grupo b: 556611 2 2 iviviv ===
PASO 3:
Grupo a: 453611341162 iiivevvvvevv −=+−−=++−=
Grupo b: 0 0 0 542124631125 =+−+=−+=+−−+ iiiiiiivveev
PASO 4:
1162
2 2 vevdt
div ++−==
En esta ecuación, e1 es fuente y debe permanecer en la ecuación de estado, pero v1 y v6 no son fuentes ni variables deestado, por lo que tendrán que ser sustituidas. Comenzando por sustituir a v6 con las ecuaciones de los grupos bsolamente y poniéndolo en función de i2, i4, v3, e1 y e2, se obtiene
( ) 424266 2222 iiiiiv −=−==
Continuando ahora de la misma manera con v1:
52411 iiiiv −−==
En esta última ecuación, i5 no es variable de estado y debe reemplazarse usando las relaciones de los grupos b hastaque en el lado derecho de la ecuación aparezca la variable que se está buscando, en este caso v1. Si esta variable no estácompletamente definida en función de las variables de estado y las fuentes, se continúa el proceso con las otrasvariables dentro de esta ecuación. Entonces,
( )32112452412
1
2
1veveiiviiv −−+−−=−−=
Resolviendo ahora por v1, se obtiene
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 52/63
224
3212413
1
3
1
3
1
3
2
3
2veeiiv ++−−=
Esta ecuación ha quedado en función de las variables de estado y de las fuentes. Sustituyendo ahora a v6 y v1 en laecuación original, se obtiene
321422
3
1
3
1
3
2
3
8
3
82 veeii
dt
di++++−=
y
213422
6
1
3
1
6
1
3
4
3
4eevii
dt
di++++−= (primera ecuación de estado)
Continuando el proceso:
611344 vevv
dt
di+−−=
Sustituyendo a v1 y v6, únicas variables que no son de estado en esta ecuación, por los valores ya determinados, seobtiene
213424
3
1
3
2
3
2
3
8
3
84 eevii
dt
di−−+−=
y
213424
12
1
6
1
6
1
3
2
3
2eevii
dt
di−−+−= (segunda ecuación de estado)
Finalmente,
21214214453 vviiiiiiii
dt
dv−−=−−=−−−=−=
o
213423
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1eevii
dt
dv−+−−−= (tercera ecuación de estado)
En forma matricial,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−+
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
3
4
2
3
4
2
3
1
3
1
12
1 6
1
6
1
3
1
6
1
3
2
3
1
6
1 3
2 3
2
6
1
3
4
3
4
e
e
v
i
i
dt
dv
dt
di
dt
di
Ejemplo 28
En la red de la Fig. 5.43 calcular la corriente y el voltaje en cada elemento en función del tiempo usando el método delas ecuaciones de estado.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 53/63
225
4 Ω 1/3 F3 H 4 Ω
1 H
5 V
15 V 6 V
i1
2 A
5 A
i2 i
3i5 i
4
M = 1H
+ 3V −
Figura 5.43
Las variables de estado son i2, i5 y el voltaje en el capacitor, v4. Aplicando ahora el procedimiento dado, se obtiene:
PASO 1: El grafo correspondiente y el árbol seleccionado se muestran en la Fig. 5.44.
V 15 V 5 V 6
1 2 3 4
5
Figura 5.44
PASO 2: Grupo a:
dt dvi
dt di
dt div
dt di
dt div 44255522
31 3 =−=−=
Grupo b:
3311 4 4 iviv ==
PASO 3: Grupo a:
5244351432 1 21 iiivvvvvvv −=−+=+−−−=
Grupo b:
52321 iiiii −==
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 54/63
226
PASO 4:
2148
214442144
452
24521432
+−+−=
+−−+−=+−−−=
vii
iviiiviv
21483 45252 +−+−=− vii
dt
di
dt
di (primera ecuación de estado)
144 45245 −+−+= viivv
144 45225 −+−=− vii
dt
di
dt
di (segunda ecuación de estado)
524
3
1ii
dt
dv−= (tercera ecuación de estado)
Escribiendo las tres ecuaciones indicadas en forma matricial, se obtiene
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
0
1
21
0 1 1
1 4 4
1 4 8
31 0 0
0 1 1
0 1 3
4
5
2
4
5
2
v
i
i
dt
dv
dt
di
dt
di
y finalmente, resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
5
2
)0(
)0(
)0(
,
0
9
10
0 3 3
1 4 2
0 0 2
4
5
2
4
5
2
4
5
2
v
i
i
v
i
i
dt
dv
dt
didt
di
Ahora se aplica el método de la transformada de Laplace para obtener la solución del sistema de ecuacionesdiferenciales; se obtiene entonces que
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+−
+
=−
s
s
s
s
3 3
1 4 2
0 0 2
AI
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++−+
+++
++
+++=− −
)4)(2( )2(3 )2(3
2 )2( 32
0 0 )3)(1(
)3)(2)(1(
11
ssss
ssss
ss
ssss AI
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=+
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
3
59
210
3
59
210
3
5
2
0
9
10
)0()( xBU
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 55/63
227
Por lo tanto,
2
75
)2(
210)(2
+
−=
+
−=
ssss
ss I
3
5.9
2
7
1
5.25
)3)(2)(1(
3038185)(
23
5 ++
+−
+−=
++++++
=ssssssss
ssss I
3
5.9
1
5.71
)3)(1(
393)(
2
4 ++
+−=
+++−
=ssssss
sssV
y los resultados en el dominio del tiempo son:
t et i
22 75)( −−=
t t t eeet i
3225 5.975.25)( −−− +−−=
t t eet v
34 5.95.71)( −− +−=
Las demás corrientes y voltajes en el circuito se obtienen a partir de estos valores:
i1(t ) =t
et i2
2 75)( −−=
t t eet it it it i
35243 5.95.2)()()()( −− −=−==
t et it v
211 2820)(4)( −−==
t t t eee
dt
di
dt
dit v
32522 5.28285.23)( −−− ++−=−=
t t eet it v
333 3810)(4)( −− −==
t t ee
dt
di
dt
dit v
3255 5.285.2)( −− −=−=
5.8 SOLUCIÓN DE REDES MEDIANTE EL GRÁFICO DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
Las redes también pueden resolverse mediante el gráfico de transición de estados. Es cuestión de construirel gráfico correspondiente a la red e incluir en él todas las variables de estado de interés; luego se aplica lafórmula de la ganancia de Mason para obtener las variables deseadas.
Ejemplo 28
En la red de la Fig. 5.43, determine las corrientes I 1, I 2 e I 3 usando un gráfico de transición de estados.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 56/63
228
5 Ω 4 Ω
12 V −16 V
i1
i2
i3
6 Ω
2 Ω 2 Ω
v1
v2
Figura 5.43
Para construir el diagrama se deben obtener las relaciones entre los diferentes voltajes y corrientes indicados en lafigura. Ellas son:
( )6
2 5
12 212211
11
V V I I I V
V I
−=−=−=
( )4
)16( 2 2
3322
−−=−=
V I I I V
El diagrama de transición de estados correspondiente a estas ecuaciones se muestra en la Fig. 5.44.
1251
1 I 2
51
1V 61
2
2 I
61
2 2V 41
2
3 I 4116-
-
-
---
Figura 5.44
Del gráfico se obtiene:
30
92
4
2
6
2
4
2
5
2
6
2
5
2
4
2
6
2
6
2
5
21 =×+×+×+++++=Δ
A I 2512
612
416
42
62
42
62
621
512
9230
1 =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡ ××××+⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ×++++=
A I 15
21
6
12
4
116
2
11
6
1
5
212
92
302 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×××+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +××=
A I 36
2
5
2
6
2
6
2
5
214
4
12
6
12
5
12
92
303 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+++++××××=
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 57/63
229
Ejemplo 29
En la red de la Fig. 5.45, determine las corrientes i1(t ) e i2(t ) usando el diagrama de transición de estados.
4 Ω1 H0.5 F
20 V 2 Ω 8 V
2 Ai1
i2
v2
v1
+ 3 V −
Figura 5.45
El diagrama correspondiente en el dominio de frecuencia compleja se muestra en la Fig. 5.46.
1/0.5s
20/s
I 1
I 2
V 2
V 1 s
3/s4 Ω
2 V
8 /s 2 Ω
Figura 5.46
Del diagrama de la figura se obtienen las siguientes relaciones:
[ ])()(2)( 3
)(20
5.0)( 21111 s I s I sV s
sV s
ss I −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
)(48
)( 2
)(1
)(1
)( 22212 s I
s
sV
s
sV
s
sV
s
s I +−=+−=
y el gráfico de transición de estados correspondiente se muestra en la Fig. 5.47.
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 58/63
230
1 I 2 1V
2−
2 I 2V 4
2
s
20 s5.0
s3
s5.0−
s1
s1−
1−s
8
s1s5.0
_
Figura 5.47
Del diagrama se obtienen las siguientes relaciones:
s
ss
s
ss
sss
)3)(2(654
421
2 ++=
++=++++=Δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+××+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++×
++=
ss
sss
ssss
sss
ss I
812
615.0
24215.0
20
)3)(2()(1
3
5.27
2
38
)3)(2(
595.10
+−
+=
+++
=ssss
s
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡×+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −×−×+×++×××−×××
++= s
sss
sss
sss
sss
s I 5.021
11
85.021
2125.0
3125.0
20
)3)(2(2
3
355
2
1934
)3)(2(
8272 2
+−
++=
++++
=ssssss
ss
por lo que
t t eet i
321 5.2738)( −− −=
t t e
set i
322
5519
3
4)( −− −+=
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 59/63
231
PROBLEMAS
GRUPO A:
En el siguiente grupo de problemas determine las corrientes de mallas y los voltajes nodales utilizando todoslos métodos explicados en el capítulo.
1. 2.
12 V
5 Ω 3 H
1A
Μ = 2 Η
3 A
1 A
− 2 V +
Μ = 1 Η
4 V
1 A
4 Ω
0 .1 F
1 H
+2 V
−
1 H
10 V
10 Ω
0.25 F
2 H
6 V
3. 4.
15 V
2 Ω 2 H
4A
Μ =1 Η
4 A
Μ = 1 Η
2 A
−3 V
+
3 H
15 V 1 H
0 .25 F 4 Ω
4 V
8 V
+ 2 V −
12 V
1 H
1/9 F
1 Ω
3 A
5. 6.
5 Ω 2 H
4A
Μ =1 Η
4 A
Μ = 2 Η
− 3 V +
3 H
6 V 0 .25 F
4 Ω
1 H
12 V
2 A
2 A
+2 V
−
4 V
5 Ω
16 V
0.5 F
2 H
5 V
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 60/63
232
7. 8.
3 A
Μ =1 Η
2 A
Μ = 2 Η
+3 V
−
4 H
4 A
+2 V
−
10 Ω
15 V 5 V
1 H 2 H
1/16 F
4 V
3 Ω12 V
2 H
1 A
0.1 F
8 Ω
9. 10.
15 V
2 Ω 2 H
2A
Μ = 0.5 Η
4 A
2 A
+ 2 V −
Μ = 4 Η
7 V
1 A
4 Ω
0 .1 F
0.5 H
+3 V
−
4 H
12 V
2 Ω
1 F
5 H
20 V
10. 12.
18 V
5 Ω 2 H
3 A − 2 V +
Μ = 1 Η 15 Ω
2 A
3 A
+2V
−
Μ = 0.2 Η
20 V
0 .1 F
1 H
6 Ω
5 V
7 V
1 A
1.7 H
0 .5 F
0.2 H
6 V
13. 14.
24 V
4 Ω 3 H
0 .2 F
1 H
6 Ω
15 V
2 A2 A−
3 V
+
Μ = 1 Η
18 V
12 Ω 4 H
6 V
2 A
1 A
+ 2 V −
Μ = 1 Η 0 .5 F
2 H
20 V
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 61/63
233
15. 16.
V16
3 H
6 Ω
M = 1 H
0.125 F
+
14 V
−
2 H
+
−
1 Ω
4 H
M = 2 H
1/9 F
6 Ω
+
18 V
−
3 H
− 20 V
+
−
+
V6
3 A 2 A
1 A
2 A+
−
V3
GRUPO B:
Repita el problema anterior para este grupo. Para todos los casos tome la frecuencia ω = 100 rad/s.
1. 2.
15 mH
+
−
4 Ω
V3020 °∠V050 °∠
15 mH
2 Ω10 Ω
M = 6 mH M = 5 mH
600 μF
10 Ω
10 mH
+
−5 Ω
400 μF
12 mH
− +V3050 °∠
3. 4.
5 Ω + −
800 μF 8 mH
5 mH
+
−
10 Ω2 Ω
V020 °∠
V3010 °∠
2 mH 500 μF
2 Ω5 Ω 3 mH
1 Ω
− +V020 °∠
M = 1 mH M = 2 mH
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 62/63
234
5. 6.
V1030 °∠
M = 0.1 mH
3 Ω
V020 °∠
1 mH
+
− 600 μF
5 Ω
0.5 mH +
−V020 °∠
+
−
2000 μF
2 Ω M = 1 mH
2 mH
V3010 °∠+
−1 mH
3 Ω5 Ω
7. 8.
V010 °∠
5 Ω +
−
V108 °∠
V010 °∠
M = 0.1 mH
+ −
2 Ω
2 mH 100 μF
1 Ω + −
1 mH
600 μF
5 mH
1 Ω
+
−
500 μF
2 Ω
10 mHV3010 °∠
M = 1 mH
9. 10.
+
−500 μF
10 mH
V030 °∠
5 Ω
8 mH
12 mH
+
−V020 °∠ V3010 °∠
M = 5 mH
2 Ω
+ −
200 μF
10 Ω
2 Ω
15 mH
5 Ω
7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texto-cap-5-libro-prof-maulio-rodriguezpdf 63/63
235
11. 12.
800 μF 3 mH
10 Ω−
+
− +
5 mH
500 μF
V °∠2030
V °∠010+ − − +
10 Ω
3 mH 800 μF
10 Ω
5 mH
V °∠020 V °∠010
13. 14.
+
−V030 °∠
M = 1 mH
4 Ω
+
−
2 Ω
V020 °∠ V010 °∠
M = 1 mH
2 mH
1 mH
+
−3 Ω
500 μF
6 Ω
V3020 °∠
5 Ω 2 mH
1000 μF
3 mH
+
−
15. 16.
2 Ω + −
3 mH
2 mH 2 Ω
100 μF
−
+
V025 °∠
V108 °∠ M = 1 mH
2 Ω
−
+
500 μF
3 mH
2 Ω
− +5 mH
V1015 °∠
V020 °∠
M = 2 mH