LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DE

LAS MATEMÁTICAS

Jaime Eduardo Guzmán Moreno

432143

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS

DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA

Bogotá, Octubre de 2005.

LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DE

LAS MATEMÁTICAS

Jaime Eduardo Guzmán Moreno

432143

Director

Raúl Meléndez

Trabajo de Grado como requisito para optar al título de filosofó

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS

DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA

Bogotá, Noviembre de 2005.

LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DE

LAS MATEMÁTICAS

INDICE

CAPITULO 1: DEL ATOMISMO LÓGICO A LA GRAMÁTICA FILOSÓFICA

Pág. 1

CAPITULO 2: “ENDURECIMIENTO”: DE LA PROPOSICIÓN EMPÍRICA A LA

PROPOSICIÓN GRAMATICAL

Pág. 9

CAPITULO 3: PAPEL GRAMATICAL QUE PARA EL WITTGENSTEIN

TARDÍO JUEGAN LAS PROPOSICIONES MATEMÁTICAS

Pág. 18

CAPITULO 4: IMPLICACIONES DE SU TEORIA EN LA FILOSOFÍA DE LAS

MATEMÁTICAS

Pág. 30

INTRODUCCIÓN

El lugar privilegiado que se le ha concedido a la matemática culturalmente, y que de alguna

forma signa nuestra visión del mundo y de las ciencias de las que nos valemos para su

interpretación, no pocas veces ha sido confrontado. De hecho, la creación en la primera

mitad del siglo XIX de las geometrías no euclidianas significó en el campo de la filosofía

de las matemáticas una profunda crisis que tuvo importantes repercusiones en toda la teoría

del conocimiento humano.

La existencia de varios sistemas geométricos, aparentemente bien fundamentados desde el punto de vista de su lógica interna, hizo cuestionar lo que se entendía por “verdad” dentro del conocimiento.1

Pese a esto, en el marco del conocimiento humano en general, el ideal de la

matematización, legado de los presupuestos de la revolución científica y de la constitución

de la ciencia moderna como última fase de una ciencia que se considera plenamente

desarrollada, aun prevalece oculto bajo nociones como rigor, precisión y simplicidad.

Esto supone, que en el contorno del conocimiento científico la ciencia (cualquiera que ésta

sea) recurre a la cuantificación, al uso de conceptos cuantitativos, a la formalización o

expresión en un lenguaje formal libre de vaguedad y ambigüedad y a la axiomatización de

la teoría. Puntos estos que se orientan a la obtención de una aproximación a los hechos de la

naturaleza en términos de validez, exactitud y objetividad.

Las geometrías no-euclidianas y el descubrimiento de paradojas y contradicciones en el

seno del edificio matemático, que parecían afectar seriamente el uso de conceptos claves de

1FALK, M. introducción a la matemática contemporánea. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas y Estadística. Santafé de Bogotá, diciembre de 1992. p. 1.

esta bien autorizada ciencia suscitaron, a comienzos del siglo XX, uno de los más

importantes problemas de la filosofía de las matemáticas. La cuestión de fundamentar la

matemática sobre bases sólidas, que no dieran origen a contradicciones, dió lugar a

importantes desarrollos en lógica y en filosofía de la matemática asociados con nombres

famosos como los de Frege, Hilbert, Russell, Zermelo, Brouwer y Heyting.

La parcialmente exitosa utilización de la nueva lógica matemática en los primeros pasos de

estos proyectos fundacionistas, sirvió como inspiración y modelo para el trabajo en un

proyecto más ambicioso: el de fundar o reconstruir, haciendo uso de herramientas lógicas

de análisis, todo el conocimiento empírico a partir de lo inmediatamente dado en la

experiencia sensible.2 Sin embargo, Wittgenstein no sólo no participó de estos proyectos de

fundamentación sino que se opuso a ellos al considerarlos innecesarios y fuentes de

confusiones filosóficas, que había que aclarar y despejar:

¿Para qué necesita la matemática una fundamentación? La necesita tan poco, creo, como las proposiciones que tratan de objetos físicos o las que tratan de impresiones de los sentidos, necesitan un análisis. Aunque sí precisan, tanto las proposiciones matemáticas como las otras de una clarificación de su gramática.3

Para Wittgenstein muchos de los malentendidos filosóficos pueden solucionarse mediante

aclaraciones de tipo gramatical, en el sentido que da al termino “gramatical” en su

pensamiento tardío.

En efecto, para Wittgenstein, algunas de estas confusiones filosóficas surgen, en principio,

de atribuirle erróneamente una función descriptiva a las proposiciones matemáticas como si

ellas fuesen leyes de una realidad matemática abstracta o principios que describen

rasgos muy generales del mundo empírico.4 A estas confusiones nos podríamos ver

conducidos por las engañosas similitudes entre la gramática superficial de las proposiciones

matemáticas y la de las proposiciones empíricas o descriptivas. Estas similitudes podrían 2 Ver MELÉNDEZ, R. Gramática de las proposiciones matemáticas En: El pensamiento de L. Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 2001. p. 177. 3 WITTGESTEIN, L. Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Alianza Editorial. Madrid. 1987. VII, §, 319. 4 Ver MELÉNDEZ, R. Op. cit., p. 177.

ocultar importantes diferencias en los usos que damos a estos dos tipos de proposiciones.

La discutible asimilación de las primeras a las segundas conllevaría a extravíos en

diferentes teorías filosóficas sobre matemáticas, tal y como acaeció, según Wittgenstein,

con el platonismo o realismo matemático defendido por Frege, Gödel, Hardy, entre otros,

con el empirismo matemático representado por Mill o con el intuicionismo matemático de

Brouwer y Heyting.

Wittgenstein se opuso radicalmente la manera como estas tres teorías dan explicación del

significado y la función de las proposiciones matemáticas argumentando que la matemática

no es la descripción ni de un mundo abstracto, ni de rasgos generales del mundo, ni de las

construcciones mentales, sino que es una creación, una invención humana. El matemático

no descubre sino que inventa.

Así por ejemplo el teorema de Cantor sobre números transfinitos constituye un buen

ejemplo de una proposición matemática que puede interpretarse, y que seduce a ser

interpretada así, como un enunciado que describiría una realidad matemática diferente a la

del mundo físico, investigada mediante una actividad análoga a la de un explorador que

va descubriendo las rarezas y maravillas de una realidad abstracta, misteriosa y

difícilmente penetrable. Según Meléndez (2001), para Wittgenstein esta imagen hace parte

de la niebla metafísica, que él quiere disipar mediante sus clarificaciones gramaticales, que

impide ver claramente y lleva a interpretar erróneamente la actividad que lleva a cabo el

matemático, oscureciendo el sentido de sus pruebas y teoremas. De ahí que Wittgenstein

recomiende examinar detallada y cuidadosamente las demostraciones y lo que ellas dicen

evitando caer cautivos, debido a nuestra admiración y perplejidad, en ilusiones metafísicas.

Observando dicho propósito, y en el marco que brinda la filosofía tardía wittgensteniana en

lo referente a la naturaleza de las proposiciones matemáticas y la concepción general de

la actividad filosófica como una actividad gramatical, descriptiva y terapéutica, el

objetivo central que se desarrolla en este trabajo es la interpretación de la polémica tesis del

Wittgenstein tardío: el sentido de un teorema de la matemática está dado por su

demostración.

Presente en la discusión que celebra Wittgenstein en Observaciones acerca de los

Fundamentos de la Matemática alrededor del método de la diagonal de Cantor:

El método de la diagonal de Cantor no nos muestra un número irracional que sea diferente de todos los del sistema, pero da un sentido a la proposición matemática que dice que tal y tal número es diferente de todos los del sistema.5

Y que Meléndez (2001) interpreta como: “el sentido del teorema nos lo da su demostración

(antes o independiente de ella el teorema no tendría todavía un sentido claro) y no una

presunta referencia a, o una correspondencia con, un paraíso matemático ideal.”6

Para tal propósito se emprenden los siguientes pasos:

En primer lugar se discurre brevemente en el marco del Tractatus Logico-philosophicus y

de las Investigaciones Filosóficas, acerca de la concepción presente en cada uno de ellas

sobre la actividad filosófica, esto con el propósito de fijar y clarificar la postura de

Wittgenstein en lo concerniente a la gramática filosófica, abonando el terreno para abordar

los problemas filosóficos relacionados con la ciencia matemática.

Luego se emprende a la luz de su gramática filosófica la cuestión de la transición de la

proposición empírica a la gramatical ilustrad por Wittgenstein con la imagen de un

“endurecimiento”

Posteriormente se expone el papel gramatical que para el Wittgenstein tardío juegan las

proposiciones matemáticas en el desarrollo de una demostración y la cuestión del sentido.

5 ____________ . Op. cit. OFM II, § 29, p. 107. 6 Ver MELÉNDEZ, R. Op. cit., p. 184.

Para en ultimo lugar brindar algunas luces sobre las implicaciones de su teoría para la

filosofía de la matemática.

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1

1. DEL ATOMISMO LÓGICO A LA GRAMÁTICA FILOSÓFICA

(De la interpretación lógica del sentido a la pragmática)

En el pensamiento filosófico de Wittgenstein son claramente diferenciables dos etapas: una

primera corresponde al trabajo en las ideas del Tractatus, y una segunda que se inicia a

partir de 1929 y que descuella con las Investigaciones Filosóficas. Estas obras tienen su

correspondiente influencia posterior, la primera sobre el Circulo de Viena y la segunda

sobre la llamada filosofía del lenguaje ordinario. El Tractatus es una obra escrita en forma

de aforismos enumerados según el sistema decimal de clasificación1, que contiene siete

proposiciones fundamentales, de las cuales, las dos primeras:

1. El mundo es todo lo que acaece 1.1 Lo que acaece, el hecho, es la existencia de los hechos atómicos

2

Se refieren al mundo y a la realidad, mientras que las cuatro siguientes son el desarrollo de

su lógica y de su teoría del lenguaje, la última proposición, la conocida y oscura frase, “De

lo que no se puede hablar, mejor es callarse” 3 cierra el libro marcando el límite de lo que

se puede pensar y decir (la proposición).

En interpretación de Arregui (1984), el Tractatus es antes que nada, una obra

eminentemente crítica que tiene como una de sus nociones angulares la noción de sentido,

1“Los números decimales, en cuanto números de las proposiciones separadas, significan la importancía lógica de las proposiciones, el alcance que tienen en mi exposción. Las proposicones n.1, n.2, n.3, etc. son observaciones a la proposición are N.° n; las proposiciones n.m1, n.m2, etc. son observaciones a la proposición N.° n.m; y así susecivamante.” WITTGESTEIN, L. Tractatus Logico – Philosophicus. Introducción de Bertrand Russell. Versión española de Enrique Tieerno Galván. Alianza Editorial. Madrid. 1985. p. 35. 2 Ibid., p. 35. 3 Ibid., p. 203.

2

en tanto que ésta brinda el soporte necesario para dicha critica. Ella tiene como fin “trazar

unos límites al pensamiento, definiendo qué es lo pensable y qué lo impensable a través del

discernimiento entre lo que se puede decir y lo que no se puede decir.” 4 Precisar lo

expresable de lo inexpresable es distinguir lo impensable de lo pensable:

4. El pensamiento es la proposición con significado.5

Así, al considerar los límites del pensamiento a través de los del sentido, la filosofía

tractariana como intento por establecer los límites del pensamiento y del sentido, se

constituye en una critica del lenguaje.

Signo inequívoco de tal propósito es la composición misma del Tractatus donde la mayor

parte versa sobre lógica y lenguaje, y los párrafos iniciales que además de referirse al

mundo se refieren a una singular visión metafísica del mismo, que es común al

Wittgenstein tractariano como a Russell, a saber, la del atomismo lógico. Para éste el

mundo y el lenguaje tienen una misma estructura común o “forma lógica”. Por ser el

lenguaje el espejo del mundo, en él se refleja su naturaleza. Así, para Wittgenstein, el

mundo es la totalidad de los hechos y el lenguaje es la totalidad de las proposiciones, que

comparten una misma estructura lógica común.

2.04 La totalidad de los hechos atómicos existentes es el mundo. 2.05 La totalidad de los hechos atómicos existentes determina también cuáles hechos atómicos no existen. 2.06 La existencia y no-existencia de los hechos atómicos es la realidad [...]. 2.063 La total realidad es el mundo.6 4.001 La totalidad de las proposiciones es el lenguaje.7

En el corpus tractariano los objetos o cosas son simples y forman parte de los hechos

atómicos o estados de cosas, entendiendo a éstos como la combinación o relación de

objetos o cosas. No obstante, según Wittgenstein, lo que puede conocerse de las cosas del

mundo es sólo lo que acaece, esto es, las asociaciones o relaciones de cosas y objetos: los

4 ARREGUI, J. Acción y sentido en Wittgenstein. Ediciones Universidad de Navarra, S. A. Pamplona 1984. 5 ____________ . Op. cit. TLP. p. 69. 6 Ibid., p. 43. 7 Ibid., p. 69.

3

hechos atómicos, o hechos simples y los hechos compuestos de simples, o simplemente

hechos, cuyo agregado constituye la realidad.

Según el Tractatus, el lenguaje asocia a las cosas del mundo, nombres, a los hechos

atómicos, proposiciones simples y a los hechos complejos, proposiciones compuestas,

teniendo el lenguaje la facultad de representar, como en un espejo, la realidad del mundo,

constituyéndose el lenguaje en imagen del mundo gracias a su capacidad pictórica, o

capacidad de representación o configuración (Abbildung). Cuando por medio de

proposiciones describe hechos, sus elementos “reproducen” y “representan” la misma

relación que establecen los objetos en los hechos atómicos, siendo lo que hace posible este

isomorfismo entre lenguaje y realidad, la participación en una misma figura lógica o

estructura común. La proposición -el signo con que expresamos el pensamiento- representa

un estado de cosas (un hecho atómico), si este estado de cosas se da efectivamente, la

proposición es verdadera, y el conjunto de todas ellas describe el mundo.

4. 26 La enumeración de todas las proposiciones elementales verdaderas describe el mundo completamente. El mundo está completamente descrito por la especificación de todas las proposiciones elementales más la indicación de cuáles son verdaderas y cuáles falsas. 8

Únicamente las proposiciones, y no los nombres, son significativas y revelan la forma

lógica de la realidad. De tal forma, mientras que los nombres tienen significado o referencia

(Bedeutung), las proposiciones tiene sentido (Sinn).

4. 121 [...] La proposición muestra la forma lógica de la realidad. La exhibe. 9

Para Wittgenstein, el sentido se da en las proposiciones, por ser éstas como flechas

orientadas a las cosas 10, éstas tienen sentido, aun en el caso de que sean falsas, dado que es

8 Ibid., p. 101. 9 Ibid., p. 87. 10 “El sentido es, pues, una relación de proposición a la realidad, distinta a la de la verdad.” ARREGUI, J. Op. cit., p. 31.

4

posible en el mundo y sólo describiendo lo que es posible puede una proposición tener

sentido.11

4.26 [...] El mundo está completamente descrito por la especificación de todas las proposiciones elementales más la indicación de cuáles son verdaderas y cuáles falsas.

4.27 Con relación a la existencia de n hechos atómicos hay

n

vn v

nK

0

posibilidades.

Es posible para todas las combinaciones de hechos atómicos existir, y a las otras no existir. 4.28 A estas combinaciones corresponde el mismo número de posibilidades de verdad - y de falsedad – de n proposiciones elementales. 4.3 La posibilidad de verdad de las proposiciones elementales significa las posibilidades y de no existencia de los hechos atómicos.12

Las proposiciones que no describen estados de cosas posibles, carecen de sentido,

dividiéndose ellas en dos clases: la primera comprende las tautologías13, que nada dicen

respecto del mundo, y sus negaciones, las contradicciones; las segundas comprenden

aquellas proposiciones que no comparten la figura lógica con la realidad que pretenden

representar. Y esto a su vez sucede de dos maneras: en razón de que esta mal construidas y

no figuran una combinación posible de objetos o en razón de que no se da a un signo un

sentido, erigiendo enunciados que contienen signos carentes de significado, porque apuntan

a objetos que trascienden el mundo, queriendo expresar lo inexpresable, como pasa con las

proposiciones sobre ética, con las metafísicas y aquellas que quieren esclarecer el sentido

del mundo.

6. 41 El sentido del mundo debe quedar fuera del mundo. En el mundo todo es como es y sucede como sucede: en él no hay ningún valor, y aunque lo hubiese no tendría ningún valor.

11 “La proposición tiene sentido, pues, en cuanto es verdadera o falsa, pero el sentido es independiente de la verdad o falsedad de hecho. Lo esencial para la proposición con sentido es poder ser verdadera y poder ser falsa. El sentido se encuentra en el ámbito de la posibilidad.” Ibid., p. 29. 12 ____________ . Op. cit. TLP. p. 101. 13 “Toda proposición significativa es necesariamente verdadera o falsa. Por ello, si una proposición es siempre verdadera, carecerá de sentido. [ ... ] Una proposición significativa ha de poder ser verdadera y ha de poder ser falsa (condición que como ya se ha dicho, que no cumplen las tautologías).” ARREGUI, J. Op. cit., p. 29 -30.

5

Si hay un valor que tenga valor, debe quedar fuera de todo lo que ocurre y de todo ser – así. Pues todo lo que ocurre y todo ser – así son casuales. Lo que lo hace no casual no puede quedar en el mundo, pues de otro modo sería a su vez casual. Debe quedar fuera del mundo. 6. 42 Por lo tanto, tampoco puede haber proposiciones de ética [...] 6. 421 Es claro que la ética no se puede expresar. La ética es trascendental. (Ética y estética son lo mismo).14

Justamente para el Wittgenstein de (TLP) sólo las proposiciones de las ciencias empíricas

tienen sentido, la lógica consta únicamente de tautologías y todas las proposiciones sobre

ética o metafísica son carentes de sentido. Así, el papel que tiene el análisis filosófico en

el primer Wittgenstein es el ejercicio que ayuda a esclarecer el sentido de las proposiciones

del lenguaje ordinario. Al punto que Wittgenstein declara a las proposiciones del lenguaje

filosófico como carentes de sentido, incluso las del propio TLP, las cuales una vez

comprendidas y aplicadas, deben descartarse como carentes de sentido. La cuestión del

sentido es retrotraída a la cuestión de la proposición significativa.15

La segunda etapa filosófica, aquella que permite hablar de un Wittgenstein tardío, se

polariza en torno a Investigaciones Filosóficas y algunos apuntes de obras que las preparan,

como Los cuadernos azul y marrón, donde Wittgenstein abandona la teoría especular del

lenguaje. De esta suerte, el lenguaje no refleja el mundo ni tiene como único objetivo

describir el mundo, sino que es una forma de conducta entre otras, con pluralidad de

funciones: describir, informar, ordenar, hacer conjeturas, contar historias, hacer teatro,

contar chistes, adivinar enigmas, etc., cada una de las cuales puede definirse como un juego

14 ____________ . Op. cit. TLP. p. 197. 15 “Si el sentido de la proposición no es su valor de verdad, sino la posibilidad de tenerlo, cabe mantener también que el sentido viene determinado por las condiciones de verdad, pues <<para poder decir: ‘p es verdadero (o falso)’ debo haber determinado en qué condiciones llamo verdadero a ‘p’ y con ello, apostilla Wittgenstein, determino el sentido de la proposición>> (t, 4 . 063).” ARREGUI, J. Op. cit., p. 30.

6

de lenguaje16 (Sprachspiel; language game). Para el Wittgenstein de las Investigaciones,

las proposiciones son significativas no porque sean figuras de la realidad, sino porque son

expresiones de estos juegos de lenguaje: los diversos y variados usos a que sirve el

lenguaje, que igual como pasa con los juegos, manifiestan como característica común un

cierto aire de familia que los asemeja, a saber, se someten a reglas, pero cada cual a las

suyas propias. Por esto, el significado hay que buscarlo, no en la verificabilidad de lo que

se dice, sino en el uso que se hace de las palabras, en la praxis vital humana:

El significado de una palabra es su uso en el lenguaje17 la proposición sólo tiene sentido a través del uso. 18

En definitiva, para Wittgenstein, es el contexto y el uso en tal contexto lo que da sentido a

las palabras. La mayoría de errores filosóficos provienen de confundir los contextos o de

juzgar un contexto por las reglas de otro (como en los juegos, las reglas se respetan;

cambiarlas es cambiar de juego). Todo el lenguaje consiste en multitud de juegos de

lenguaje, y el lenguaje correcto es aquel que observa el recto uso de las reglas. Pero toda

palabra tiene sentido, si es empleada correctamente en su contexto. El sentido lo dan las

reglas de uso, tal como, en el ajedrez, el sentido de cada una de las piezas lo dan las reglas

que describen sus movimientos.

En los escritos correspondientes a esta etapa Wittgenstein abandona la posición del

Tractatus, que enfoca el lenguaje como representación de la realidad, entendida desde la

perspectiva metafísica del atomismo lógico, para explicarlo ahora como un producto de la

conducta humana que debe interpretarse gramaticalmente, es decir, desde la perspectiva del

lenguaje en uso, desde la pragmática. De ahí que para este Wittgenstein los juegos de

lenguaje sean parte de una actividad humana o de una forma de vida.

16 "La palabra 'juego de lenguaje' debe (...) poner de relieve que el hablar un lenguaje es una actividad, una forma de vida" WITTGESTEIN, L. Investigaciones filosóficas. Colección Critica. Editorial Grijalbo. Barcelona. 1988. § 122. 17 Ibid., § 43. p. 61. 18 WITTGESTEIN, L. Sobre la certeza, trad. Joseph Lluís Prades y Vicent Raga, Gedisa, Barcelona, 1988. § 10. p. 13.

7

En el análisis del lenguaje y en la formación de conceptos de las Investigaciones Filosóficas, Wittgenstein utiliza la analogía o comparación: el lenguaje es como una "caja de herramientas", no hay un lenguaje sino "juegos" de lenguaje; la relación de semejanza de los juegos entre sí es como los "parecidos de familia” ... Los juegos de lenguaje (y sus reglas) son "ciegamente aceptados" y se fundan en "formas de vida aprobadas socialmente. 19

Con respecto al nuevo criterio de sentido, -el sentido de la proposición está dado por el

uso-, Arregui (1984) interpreta que lo que liga al lenguaje con la realidad, es su uso, y no ya

la figura lógica de la filosofía tractariana. Así “El lenguaje adquiere su significado en

cuanto que la actividad lingüística se entrelaza con la praxis vital humana. <<Una

expresión sólo tiene significado (Bedeutung) en medio del flujo de la vida>>, o como

escribe en Über Gewissheit, <<nuestro hablar adquiere su sentido (Sinn) a partir del resto

de nuestra conducta>> (ÜG, 229), e incluso afirma que <<la praxis da su sentido (Sinn) a

las palabras>> (CV, p. 85)” 20.

Muchos autores, entre ellos, Arregui y los citados por él,21 juzgan que no se interrumpe

una continuidad de base entre el primero y segundo Wittgenstein. La primera etapa

insistiría en la clarificación del lenguaje mediante el análisis de la estructura lógica oculta

de las frases del lenguaje ordinario; y la segunda, en descubrir y describir cuáles son los

juegos de lenguaje, esto es, los contextos, que suponen las diversas proposiciones, en lo que

Arregui interpreta apoyado en Pears: “como la vuelta sobre sí misma de la critica del

lenguaje que se había emprendido en el Tractatus contra la metafísica.”22 En ambos

casos, en opinión propia, desaparecen los problemas filosóficos; en la primera como

resultado de una actividad que consiste en aclarar las proposiciones a través de un lenguaje

19 VEGA, A. “Saber lo que pasa: lo particular. Apuntes sobre la semejanza entre las investigaciones filosóficas y las investigaciones estéticas desde Wittgenstein”. En: Textos, N.° 4 Revista de la Maestría de Historia y Teoría del Arte y la Arquitectura. Bogotá, 2000. p. 165. 20 ARREGUI, J. Op. cit., p. 128. 21 “En efecto, quien se acerca por primera vez a las distintas monografías existentes sobre Wittgenstein tiene la impresión de que se habla en ellas de autores distintos. Y no se trata sólo de la aparentemente profunda ruptura entre el Tractatus y las Philosophische Untersuchungen, que ha permitido que, durante cierto tiempo, se hablara de la existencia de dos filosofías en Wittgenstein, de las que la segunda hundiría sus raíces en la negación de la primera. La cuestión es mucho más de fondo; porque si la publicación de sus escritos del amplio interregno que media entre el Tractatus y las Investigaciones Filosóficas ha permitido revisar esa pretendida ruptura entre esas dos obras, descubriendo una continuidad tanto en el concepto de filosofía como en sus temas fundamentales, la disparidad de interpretaciones continúa.” Ibid., p. 17. 22 Ibid., p. 19.

8

lógico ideal; y en la segunda, aclarando el significado recurriendo al uso y al contexto. En

el Tractatus desaparecen, porque el metafísico ha de percibir que usa palabras sin sentido

determinado y en las Investigaciones, porque se obliga al metafísico a usar sus palabras de

acuerdo con los contextos originarios del lenguaje común:

Cuando los filósofos usan una palabra - «conocimiento», «ser», «objeto», «yo», «proposición», «nombre»- y tratan de captar la esencia de la cosa, siempre se ha de preguntar: ¿Se usa efectivamente esta palabra de este modo en el lenguaje que tiene su tierra natal? 23

23 ____________ . Investigaciones filosóficas. Op. cit., § 116.

9

2. “ENDURECIMIENTO”: DE LA PROPOSICIÓN EMPÍRICA A LA PROPOSICIÓN GRAMATICAL

El hombre siempre ha buscado trascender lo dado, repercutiendo lo que tiene ante sí, al

imponer un orden a las cosas que forzosamente lo aleja de lo puramente empírico, al hacer

devenir la realidad en conceptos. De hecho la empresa humana de la ciencia recrea esto en

el paso que al interior de ella se da de los hechos sintéticos de la naturaleza a las

afirmaciones analíticas de la razón.

4.11 La totalidad de las proposiciones verdaderas es la ciencia natural total (o la totalidad de las ciencias naturales).24

Barajas (1993) identifica en relación a este pasaje del TLP el inconveniente de la perdida

del punto de partida, que trae consigo la dificultad posterior para explicar de manera

coherente el sentido y la naturaleza de dichas formaciones conceptuales.25 En declaraciones

a cerca de la ciencia y la filosofía Wittgenstein sostiene:

4.111 La filosofía no es una de las ciencias naturales. (La palabra <<filosofía>> debe significar algo que esté sobre o bajo, pero no junto a las ciencias naturales). 4.112 El objeto de la filosofía es la aclaración lógica del pensamiento. Filosofía no es una teoría, sino una actividad. Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones. El resultado de la filosofía no son <<proposiciones filosóficas>>, sino el esclarecer de las proposiciones. La filosofía debe esclarecer y delimitar con precisión los pensamientos que de otro modo serían, por así decirlo, opacos y confusos. 26

Que, de alguna forma, podría decirse, resumen la actitud de Wittgenstein frente al lenguaje

y la filosofía, erigiéndose en los inicios de su posterior empresa de clarificación gramatical.

24 ____________ . Op. cit. TLP. p. 85. 25 Ver BARAJAS, N. Monografía. Naturaleza y sentido de la proposición matemática en Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 1993. p. 5-6. 26 ____________ . Op. cit. TLP. p. 85.

10

Los problemas que surgen de una mal interpretación de nuestras formas lingüísticas tiene el carácter de lo profundo. Son profundas inquietudes; se enraízan tan profundamente en nosotros como las formas de nuestro lenguaje y su significado es tan grande como la importancia de nuestro lenguaje.- Preguntémonos: ¿Por qué sentimos como profundo un chiste gramatical? (Y ésta es por cierto la profundidad filosófica).27

En el marco que proporciona el pensamiento tardío de Wittgenstein la clásica distinción

entre proposiciones gramaticales y proposiciones empíricas, o si se quiere, entre

proposiciones de experiencia y esencia, que esta a la base del problema de la perdida del

punto de partida, mora en la distinción entre la naturaleza de los objetos a las que ellas

refieren, y en el uso que de ellas se hace, o lo que es lo mismo, en la función que ellas

desempeñan en el lenguaje.

Las normas de descripción son identificadas por Wittgenstein bajo el rótulo de

proposiciones gramaticales, diferenciándose éstas de las proposiciones descriptivas en

cuanto las segundas dan cuenta de lo descrito, mientras que una proposición gramatical da

cuenta del significado o uso de conceptos. En contraste las proposiciones empíricas refieren

al mundo y los fenómenos. Adoptando tanto una como la otra su carácter en virtud de la

función que desempeñe en el juego de lenguaje en el que opere, y no -como comúnmente

suele creerse- por su forma sintáctica o por razones de necesidad o contingencia.

En OFM la distinción entre proposiciones empíricas y gramaticales reposa en que las

primeras son aquellas que tienen como cometido una creencia, en concordancia con el leve

giro que da el pensamiento wittgensteiniano de las IF a Sobre la Certeza (SC) donde

introduce el concepto de creencias para denominar a las certezas prácticas, que configuran

un sistema 28, brindando un telón de fondo para nuestras prácticas 29. Así, mientras en IF

sobresale una distinción fuerte entre reglas y prácticas (y entre proposiciones empíricas y

proposiciones gramaticales), en SC esta distinción se hace menos transparente, al tenerse un

continuo con una cantidad de puntos intermedios, haciéndose la frontera o delimitación

entre proposiciones empíricas y gramaticales borrosa y fluctuante en el tiempo. 27 ____________ . Op. cit. IF. § 111. p.121. 28 ____________ . Op. cit. SC §§105, 108, 126, 140, 141, 142, 410. 29 Ibid., § 94.

11

Wittgenstein desde IF ha instado, con la introducción del concepto de juego de lenguaje, a

que se debe ver el lenguaje como una actividad humana sumida en un conjunto de

prácticas, las cuales constituyen lo que él llamó una forma de vida, sostiene por un lado,

que hay reglas que rigen nuestras prácticas, y por otro, que estas reglas están sustentadas

por las prácticas mismas, con lo cual se hace claro que no tiene sentido hablar de una regla

sin referirnos a su aplicación, más aun, cuando se concibe el seguir la regla como una

actividad que remite a un uso estable, a una costumbre. En consecuencia desde el punto de

vista de las IF carece de sentido preguntar por el fundamento de la regla, dado que todo uso

significativo del lenguaje presupone el seguimiento de una regla.

Para Wittgenstein sobre las proposiciones gramaticales, se asienta el sentido, la verdad y

la falsedad de las proposiciones empíricas, en tanto con éstas se formulan las reglas de los

juegos de lenguaje. Y en tanto esa es su función, éstas no pueden ser verdaderas ni falsas,

puesto que expresan reglas que son el fundamento de toda verdad y falsedad (SC). Por

esto, y de forma sucinta, se puede decir: el sentido, la verdad y la falsedad de las

proposiciones empíricas reposa sobre las reglas que rigen su uso.

Ahora bien, por más que las proposiciones gramaticales no puedan ser ni verdaderas ni

falsas, ya que: 1° expresan reglas que son el fundamento de toda verdad y falsedad, y 2°

dado que su contraria carece de sentido, es decir, no es verdadera ni falsa, esto no implica

que ellas al carecer de sentido, sean vacías. Un claro ejemplo de ello lo proporciona la

proposición gramatical <<Hay objetos físicos>>, que carece de sentido, pero que está

supuesta en todas las proposiciones que hablan acerca de objetos físicos. 30

Para Wittgenstein las proposiciones gramaticales no forman parte del juego, no son

movidas en él, sino que están en el inicio, son reglas del juego. Adolecen de sentido porque

este se da en el uso del lenguaje, es decir, en el juego, en lo que se dice. En SC la distinción

entre proposiciones empíricas y proposiciones gramaticales, como ya antes se mencionó,

30 Ibid. §§ 35, 36.

12

se vuelve borrosa y fluctuante en el tiempo, así se da el caso de proposiciones empíricas

que se solidifican, que se endurecen entrando a funcionar como un canal para las

proposiciones empíricas que no están solidificadas haciéndolas fluir, dicha relación cambia

con el tiempo, de modo que las proposiciones que fluyen se solidifican y las sólidas se

fluidifican. 31

Metáfora que Wittgenstein emplea en relación al concepto de creencia, que es introducido

en su acepción técnica en SC, y del cual se sirve para designar certezas prácticas que

funcionan como reglas y que rigen nuestro actuar, cumpliendo el mismo papel que las

reglas. De hecho para Wittgenstein al igual que las reglas no son ningún tipo de estado

psicológico subjetivo, - discusión con Moore-, las creencias tampoco lo son, y en tanto es

así, coinciden con las reglas en el ser algo compartido y en el suponer una conducta regular.

Asimismo, éstas no tienen porque ser explícitas, pueden ser sencillamente algo que se

asiente como obvio, que nunca se cuestiona, y que quizá nunca siquiera se formula. 32

Carácter este que está estrechamente relacionado con el hecho de que en realidad no se las

aprende explícitamente. Con todo, para Wittgenstein las creencias adquiridas ciegamente

pueden ser descubiertas con posterioridad, 33 ya que las creencias, explícitas o no, se

muestran en nuestro actuar.

Que la creencia y su símil la regla configuren un sistema, se debe a que sirven como un

telón de fondo para nuestras prácticas:

Mis convicciones constituyen un sistema, un edificio.34 Cuando empezarnos a creer algo, lo que creemos no es una única proposición sino todo un sistema de proposiciones. (Se hace la luz poco a poco sobre el conjunto.)35 No me aferro a una proposición, sino a una red de proposiciones.36

31 Ibid. § 96. 32 Ibid. § 87. 33 Ibid. § 152. 34 Ibid. § 102. 35 Ibid. § 141. 36 Ibid. § 225.

13

Como se ya indicó antes, este sistema de creencias forma una especie de mitología que

Wittgenstein denominó "imagen de mundo". Wittgenstein nos dice que no tenemos nuestra

"imagen de mundo" porque estemos convencidos de su corrección. Por el contrario, la

"imagen de mundo" es el trasfondo que nos viene dado, y sobre el cual distinguimos entre

lo verdadero y lo falso. 37 La concepción wittgesteiniana de la naturaleza y función de la

imagen de mundo parece revelarse resumida en el siguiente parágrafo de SC:

Las proposiciones que describen esta imagen del mundo podrían pertenecer a una suerte de mitología. Su función es semejante a la de las reglas del juego, y el juego también puede aprenderse de un modo puramente práctico, sin necesidad de reglas explícitas.38

Es de anotar, en relación con el punto anterior, que Wittgenstein compara nuestro sistema

de creencias con un río, cuyo cauce está formado por arena y roca sólida. La arena

corresponde a las creencias menos firmes, y la roca a las certezas inamovibles. Con esta

analogía se revela claro el hecho antes mencionado, que la distinción entre las creencias

más firmes y las menos firmes es borrosa y varía con el tiempo. Lo que en un momento era

roca sólida, se puede socavar con el tiempo, y lo que era arena, potencialmente puede

asentarse y solidificarse. Así mismo, se revela a nuestros ojos una de las característica más

básicas de las creencias como es el carecer de fundamentos, ya que no tienen otras

creencias anteriores (o más básicas) en las que asentarse.

En el fundamento de la creencia bien fundada se encuentra la creencia sin fundamentos. 39

Relacionando esto ultimo con la empresa terapéutica de esclarecimiento filosófico que

Wittgenstein abre entorno a la pregunta por naturaleza de las proposiciones matemáticas, se

facilita el entendimiento de las razones por las que Wittgenstein opta por marginarse de los

planteamientos propios a las escuelas de fundamentación:

¡¿Para qué necesita la matemática una fundamentación?!

37 Ibid. § 94. 38 Ibid. § 95. 39 Ibid. § 153.

14

La necesita tan poco, creo, como las proposiciones que tratan de objetos físicos o las que tratan de impresiones de los sentidos, necesitan un análisis. Aunque sí precisan, tanto las proposiciones matemáticas como las otras, de una clarificación de su gramática.40

A esta segunda época de su pensamiento corresponde la tesis de que los problemas de la

filosofía tradicional no sólo derivan del mal uso del lenguaje, tal como conceptuaba en el

TLP, sino que más bien se deben a un “prejuicio contemplativo”, que lleva a considerar al

lenguaje en vez de utilizarlo.

Según interpreta Meléndez (2001) de Wittgenstein, a la base de muchos de los problemas

filosóficos que suscita la matemática se encuentra la extensión arbitraria de una analogía

que sólo puede funcionar al nivel de las proposiciones descriptivas, que a llevado: 1° a la

formulación de objetos ideales, y 2° a la búsqueda de contenidos de significación que

revistan el carácter de verdades necesarias, que a su vez engendro las diferentes escuelas

de fundamentación de la matemática.

De acuerdo con el platonismo matemático, las proposiciones matemáticas, así como las proposiciones empíricas, tendrían un carácter descriptivo, pero las primeras no describirían el mundo físico, como las segundas, sino un mundo matemático, abstracto e ideal 41

Más aún, en opinión de este mismo autor, Wittgenstein asume en relación al problema de

la fundamentación de la matemática, una posición original anti-platonica y anti-realista, que

lo lleva a investigar la naturaleza de los objetos sobre los que las proposiciones

gramaticales o de esencia y las empíricas o de experiencia dicen tratar. Esto bajo el

principio:

la matemática no es la descripción de nuestro presunto conocimiento de un mundo abstracto, independiente, sino que es una creación, una invención humana. El matemático no descubre, como afirma Hardy, sino inventa. 42

40 ____________ . Op. cit. OFM VII, § 16, p. 319. 41 MELÉNDEZ, R. Gramática de las proposiciones matemáticas En: El pensamiento de L. Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 2001. p. 180 42 Ibid. p. 181.

15

Esto lo lleva a concebir al lenguaje, en el que se confinan las proposiciones empíricas, las

gramaticales y las matemáticas como una parte importante de las proposiciones

gramaticales, a modo de una praxis y no como un proceso extraordinario del tipo que sea.

El lenguaje, quiero decir, remite a un modo de vida. Para definir el fenómeno del lenguaje hay que describir una praxis, no un proceso extraordinario del tipo que sea.43

Así, para el Wittgenstein de OFM, en relación a las proposiciones matemáticas, dirá que a

éstas les corresponde la determinación del sentido en oposición a una aplicación del

sentido.

Haga lo que haga, parece que hay que resaltar la diferencia entre determinación del sentido y aplicación del sentido.44

Y al rigor que tradicionalmente ha sido asociado a las construcciones matemáticas le

corresponde no más que el carácter de una aproximación a un ideal, que está dado por el

estilo de una matemática que se quiere seguir o que se pretende aplicar. Con lo que

Wittgenstein proscribe el halo sacro a la proposición matemática y, a cambio, con la mayor

crudeza identifica lo verdadero con el uso.

Lo que llamamos “inferencia lógica” es una transformación de una expresión. [...] existe también lo correcto y lo falso en el paso de una medida a otra, pero ¿con qué realidad concuerda aquí lo correcto? Seguramente con una conversión, o con un uso, o acaso con las necesidades prácticas.45

Más aun, para Wittgenstein, como ya antes se ha dicho, la distinción entre proposiciones

gramaticales y descriptivas recae en el uso que de ellas se hace, o dicho de forma general,

en la función que desempeñan en el lenguaje:

La proposición matemática posee la dignidad de una regla. Esto es verdadero por razón de que la matemática es lógica: se mueve en las reglas de nuestro lenguaje. Y eso es lo que le proporciona su peculiar solidez, su lugar privilegiado e inexpugnable.46

43 ____________ . Op. cit. OFM VI, § 34, p. 282. 44 Ibid. III, § 37, p. 138. 45 Ibid. I, § 9, p. 20. 46 Ibid. I, § 165, p. 74.

16

Así la cuestión del papel que juegan las proposiciones matemáticas como instrumentos para

ordenar, configurar y entender la realidad está más allá de la simple instauración de

conexiones ideales que luego se nos escabullen al momento de pretender explicarlas,

centrándose ahora la cuestión en el uso que hacemos de las proposiciones de nuestro

lenguaje, y en el uso que dimana de su significado. 47

En las proposiciones descriptivas, su referirse a objetos, representar estados de cosas,

determina su naturaleza y función, función en la que el vínculo entre lenguaje y realidad se

instaura al nivel de la aplicación del sentido, o lo que es lo mismo, en la aplicación de los

contenidos que la proposición es capaz de expresar. Por otro lado, las proposiciones

conceptuales (las reglas gramaticales y las proposiciones matemáticas) al establecer las

pautas sobre las que accionan las proposiciones descriptivas, recalcando lo anteriormente

dicho, operan al nivel de la constitución o determinación del sentido, lo cual hace que ellas

sean, en lo esencial estipulaciones concernientes a la representación y expresión de hechos

de la naturaleza. La regla impone un uso y un ser.

<<El significado que pretende darse a la fórmula determina los pasos a seguir.>>48

Para Wittgenstein la proposición matemática cumple una función igual a la que tiene en el

lenguaje la proposición gramatical, no sin antes reconocer que las proposiciones de la

matemática son proposiciones de experiencia que han sido “inmovilizadas”en razón a unos

intereses teóricos.

Cualquier proposición de experiencia puede servir como regla si –como a una pieza de una máquina- se la verifica, inmoviliza, de modo que toda la representación gire ahora en torno a ella y ella se convierta en una parte del sistema de coordenadas e independiente de los hechos.49 Es como si hubiésemos endurecido la proposición de experiencia hasta convertirla en regla. Y lo que nos queda entonces no es una hipótesis verificable por la experiencia, sino un paradigma con el que se confronta y enjuicia la experiencia. O sea, un nuevo tipo de juicio.50

47 Ibid. I, § 13, p. 22. 48 Ibid. I, § 2, p. 16. 49 Ibid. VII, § 74, p. 370. 50 Ibid. VI, § 22, p. 273.

17

El teorema nos proporciona nos proporciona a grandes rasgos un método para proceder con intenciones. Dice algo así como: ‘así es como tiene que ser’.51

La identificación de la proposición matemática con una regla hace que ésta sea

necesariamente estudiada en términos de su uso, o de su funcionamiento:

Las proposiciones ‘a=a’, ‘p q’, “La palabra ‘Bismarck’ tiene ocho letras”, “No existe el verde rosáceo”, son todas evidentes y proposiciones sobre la esencia: ¿qué tienen en común?. Cada una, obviamente, es de un tipo diferente y tiene un uso diferente.52

No obstante, el funcionamiento de la proposición matemática en modo alguno corresponde

a la descripción de hechos empíricos, aunque por su forma se esté invitado a creer que es

así:

Hay que reconocer que en la naturaleza no hay rectas, ni curvas continuas y diferenciables en todos sus puntos, ni cuerpos rígidos, ni gases ideales, ni colores o sonidos puros, ni péndulos, ni sistemas solares de masas puntuales con trayectorias sin rozamientos... Los objetos y los sistemas de los que trata la fisis transformada, la Física, los objetos y sistemas que son materia apta para el hacer matemático, se encuentran en una naturaleza transformada, se encuentran en el laboratorio, en la industria, en los aceleradores de partículas, en la ciudad. Una ley física que enlaza conceptos como presión, volumen, densidad, sólo es factible cuando se manejan gases ideales en un primer momento y números reales : gases ideales, números reales, elementos de una naturaleza transformada por la especie humana que se ponen en interrelación en ese enlazamiento y no por sumar G+P como indicaran Einstein y los empiristas y neo positivistas, sino en una interrelación conceptual, interrelación sólo factible por una transformación en la que interviene de modo sustancial la Matemática porque en ella muestra, por una parte, su carácter de imprescindible; por otra, su instrumentalización efectiva.53

Y el que la proposición matemática sea identificada con una regla hace que esta posea la

dignidad de una regla, y en tanto es así, es la expresión, según Peña (1993), resultado del

convencimiento que generan las proposiciones matemáticas en tanto actúan como

proposiciones gramaticales de los juegos de lenguaje matemáticos.

51 Ibid. V, § 39, p. 245. 52 Ibid. IV, § 39, p. 204. 53 DE LORENZO, J. Aportes epistemológicos del hacer matemático En: Revista Ideas y Valores. IV Coloquio internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia. Santafé de Bogotá, Agosto de 1993. p.82-83.

18

3. PAPEL GRAMATICAL QUE PARA EL WITTGENSTEIN TARDÍO JUEGAN LAS PROPOSICIONES MATEMÁTICAS

Partiendo de los supuestos: 1° que no se interrumpe una continuidad de base entre la

primera y segunda filosofía de Wittgenstein y 2° que la primera etapa insistiría en la

clarificación del lenguaje mediante el análisis de la estructura lógica oculta de las frases del

lenguaje ordinario; y la segunda, en describir cuáles son los juegos de lenguaje y cómo se

comunican en ellos los conceptos. Es pertinente, con miras ha esclarecer el papel

gramatical que para el Wittgenstein tardío juegan las proposiciones matemáticas, iniciar

con la celebre afirmación tractariana: “La matemática es un método lógico.” 54, en tanto

ella revela de forma temprana un proyecto que Wittgenstein sólo consolida después de la

escritura de OFM, en donde aborda el problema de la inferencia y el del método de la

lógica. En interpretación de Peña (1993), dicha afirmación en manera alguna apunta a

sugerir que la matemática se derive de un conjunto de principios lógicos a la manera de

Frege o Russell, o de proposiciones lógicas. Más bien con esto se indica que es esencial en

ella un aspecto de la operación lógica fundamental, según la cual una proposición se deriva

de otra. Idea esta que explora Wittgenstein en OFM al preguntarse qué es el inferir.

Hay que clarificar en qué consiste propiamente el inferir. Se dirá, quizá, que consiste en la transición de un aserto a otro. [...] es una derivación de una sentencia a partir de otra de acuerdo a una regla; una comparación de ambas con un paradigma cualquiera que represente para nosotros el esquema del transito; o algo parecido. Esto puede suceder sobre el papel, oralmente o ‘en la cabeza’. –Pero la conclusión puede sacarse también expresando una proposición tras otra, sin transición alguna; o bien la transición consiste sólo en que decimos <<por tanto>>, o <<de ahí se sigue>>, o cosas parecidas... Hablamos de <<conclusión>> cuando la proposición inferida puede derivarse efectivamente de las premisas.55

Para Barajas (1993), en relación a lo que es el inferir, el énfasis puesto en OFM sobre el

carácter constructivo de la proposición matemática, más allá de ser un recurso

puramente explicativo, muestra un cambio de orientación respecto a la deducción

lógica y por ende a la demostración matemática, entendiendo a éstos como 54 ____________ . Op. cit., TLP. § (6. 2). p. 181. 55 ____________ . Op. cit., OFM. I, § 6. p. 19.

19

procedimientos conceptuales que son resultado de una construcción que determina y

establece el sentido de la proposición a partir de la práctica, de la elaboración y de la

regularidad de los procesos en que ella se ve inmersa; dicho en términos de Bouveresse

citado por Barajas:

Como el de los intuicionistas, el concepto de demostración que interviene en las consideraciones de Wittgenstein sobre lo que da a la proposición matemática su sentido y su importancia matemática no es el concepto exacto del lógico sino un concepto mucho más próximo a la práctica real del matemático y afectado del mismo género de indeterminación relativa.56

Asimismo, afirmaciones del Tractatus como: “Las proposiciones de la lógica son

tautologías” 57, “ Por consiguiente, las proposiciones de la lógica no dicen nada.” 58, “Las

proposiciones de la lógicas describen la armazón del mundo o, mejor, la representan. No

<<tratan >> de nada, presuponen que los nombres tienen significado, y las proposiciones

elementales, sentido; y ésta es su conexión con el mundo.” 59, “La matemática es un

método lógico. Las proposiciones de la matemática son ecuaciones, y, por consiguiente,

pseudo-proposiciones.” 60 y “La lógica del mundo, que en las proposiciones de la lógica

aparece en tautologías, aparece en matemáticas en ecuaciones.” 61, antes bien que ser

preludio de afirmaciones categóricas como: “El teorema nos proporciona a grandes

rasgos un método para proceder con intenciones. Dice algo así como: ‘así es como tiene

que ser’.” 62, o “El problema de hallar una solución matemática a un teorema podría

llamarse, con cierta justicia, el problema de dar sentido matemático a una fórmula” 63,

que encarnan la visión pragmática del sentido subyacente al segundo Wittgenstein,

descubren uno de los temas perennes de la segunda filosofía wittgensteniana, la profunda

56 BARAJAS, N. Monografía. Naturaleza y sentido de la proposición matemática en Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 1993. p. 21. 57 ____________ . Op. cit., TLP. § (6. 1). p. 169. 58 Ibid., § (6. 11). p. 169. 59 Ibid., § (6. 124). p. 177. 60 Ibid., § (6. 2). p. 181 -183. 61 Ibid., § (6. 22). p. 65. 62 ____________ . Op. cit., OFM. V, § 39. p. 245. 63 Ibid., V, § 42. p. 247.

20

oposición al realismo matemático de Russell. Al considerar que al igual que las

proposiciones lógicas no dicen nada, las proposiciones matemáticas tampoco dicen nada,

nada acerca del mundo, como tampoco representan objetos ni estados de cosas, como creía

Russell.

Así pues, para el joven Wittgenstein las proposiciones matemáticas no son enunciados

sobre objetos matemáticos, ni es interés de la matemática investigarlos. Antes bien, y muy

a pesar de carecer de contenido cognoscitivo, las proposiciones matemáticas son

susceptibles de ser usadas para diferenciar estados de cosas en el mundo, dado que estas,

según interpreta Peña (1993), expresan normas y reglas eventualmente susceptibles de ser

aplicadas en la descripción de la realidad.

Lo que, visto desde la óptica de OFM, se traduce en que la proposición matemática más que

ser una descriptora de la realidad, análogamente a las proposiciones empíricas, es y se

fundamenta en una técnica, aunque no la describe, desempeñando el papel de la regla al

proporcionar el entramado para una posible descripción.

La proposición se basa en una técnica. Y, si quieres, en los hechos físicos y psicológicos que hacen posible esa técnica. Pero no por eso su sentido consiste en expresar esas condiciones. Lo contrario de aquella proposición, ‘12 pulgadas = 1 pie’, no dice que los instrumentos con los que medimos no sen suficientemente rígidos, o que todos nosotros no contemos y calculemos del mismo modo. La proposición se basa en una técnica, pero no la describe.64 La proposición desempeña el típico (pero no por ello simple) papel de la regla. ... Quien conoce una proposición matemática no por ello conoce algo ya. ... Quien conoce una proposición matemática, no por ello conoce algo ya. O sea, la proposición matemática sólo ha de proporcionar el entramado para una descripción.65

Y en tanto regla es, en primer lugar, fruto de un modo de uso, que en principio estuvo al

nivel de las proposiciones empíricas, y fue endurecida en regla a través de su tránsito por

otras reglas y, en segundo lugar, es la encargada de determinar y fijar un camino, resultado

del convencimiento que generan las proposiciones matemáticas, en virtud de actuar como

proposiciones gramaticales en ciertos juegos de lenguaje. 64Ibid. VII, § 1. p. 299 – 300. 65Ibid. VII, § 1. p. 300 - 301.

21

La proposición matemática es una regla –producida según reglas- que determina y fija un camino. La proposición matemática viene a ser, entonces, una proposición de la gramática, referente a las transformaciones de signos; muestra las conexiones que consideramos rígidas. La regla así considerada no expresa una entidad preexistente a la gramática a la cual pertenece. ...al contrario que las proposiciones descriptivas, las proposiciones matemáticas desempeñan en determinados juegos de lenguaje el papel de reglas de representación. ... El pedestal, sobre el que para nosotros está la matemática, lo ha conseguido ésta gracias al papel concreto que sus proposiciones desempeñan en nuestros juegos de lenguaje.66

Que Wittgenstein permita a las proposiciones matemáticas la actuación de reglas

gramaticales aboga por el reconocimiento de algunas formas de autoridad que configuran

los lineamientos generales para de una manera u otra poder juzgar o hablar con sentido

acerca de los hechos de la realidad. Esto no es más que otra forma de plantear que aquello

a partir de lo cual se determina lo que es verdadero o falso no puede ser en modo alguno ni

verdadero, ni falso. Tesis esta (también expuesta en SC) que constituye un claro

cuestionamiento al intuicionismo matemático, en cuanto riñe con la tradicionalmente

indiscutida afirmación, de que la matemática se cimentaban en alguna clase de intuición.

¿No sucede que mientras se piensa que no puede ser de otro modo, se sacan conclusiones lógicas’

Esto significa ciertamente: mientras esto y esto no se pone en absoluto en cuestión.

Los pasos que no se ponen en cuestión son conclusiones lógicas. Pero no es que no se les ponga en cuestión porque ‘corresponden con certeza a la verdad’ –o por cosas semejantes-, sino que esto es precisamente lo que se llama ‘pensar’, ‘hablar’, ‘inferir’, ‘argumentar’. No se trata aquí en absoluto de una correspondencia cualquiera de lo dicho con la realidad; más bien la lógica está antes de una correspondencia así, a saber, en el sentido en el que la determinación del método de medida está antes de la correlación o falsedad de una medida dada.67

Igual que la proposición: esta habitación tiene 16 pies de larga, no se volvería falsa si surgiera la confusión en los patrones de medida y en el medir. Su sentido, no su verdad, se basa en el proceso regular de las mediciones.68

Si bien esta discusión se encuentra a la raíz de las críticas de Wittgenstein a Russell, en

tanto el punto central de esta discusión está, según cita Barajas (1993) de Bouveresse, en

66Ibid. VII, § 6. p. 306. 67 Ibid. I, § 156. p. 71-72. 68 Ibid. III, § 75. p. 165.

22

que: “una proposición debe tener un sentido antes de que sepamos si ella es verdadera o

falsa. (WLC 1932 -1935. p. 195)”69 , evoca uno de los planteamientos más fuertes de

Wittgenstein en filosofía de las matemáticas: las proposiciones gramaticales y las

proposiciones matemáticas al establecer las pautas sobre las que accionan las proposiciones

descriptivas o de experiencia, operan al nivel de la constitución o determinación del

sentido, lo cual hace que ellas sean en lo esencial estipulaciones concernientes a la

representación y expresión de hechos de la naturaleza. De ahí, según Barajas (1993), que

“El problema del sentido de la proposición matemática es algo que de cualquier modo esta

resuelto, pero esto es así, solo en tanto que no depende de la proposición en cuestión.”70, ya

que ella no tiene contenido proposicional, lo cual se constituye en razón suficiente para

poder diferenciar la validez de las proposiciones de la ciencia con respecto a las de la

matemática. Hecho este ultimo que denuncia la fidelidad de Wittgenstein desde TLP a

OFM a la idea que las propiedades estructurales comunes al lenguaje y a la realidad no

pueden en todo rigor ser descritas en las proposiciones, sino solamente mostradas en el uso

o en la practica del lenguaje.

En lo que se refiere a la proposición matemática demostrada, en OFM ésta es el producto

de la aceptación incondicional de una cadena, de una figura urdida a partir de definiciones,

proposiciones axiomáticas y otras proposiciones matemáticas demostradas, que en los

juegos matemáticos son llamadas más comúnmente teoremas.

La demostración -podríamos decir- es una figura en uno de cuyos extremos hay ciertas proposiciones y en el otro una proposición (a la que llamamos ‘demostrada’).

Podría decirse, como descripción de una figura así: que en ella la proposición ... se sigue de ... Esta es una forma de describir un patrón, ...71

Decir <<Esta proposición se sigue de aquélla>> es aceptar una regla. La aceptación se produce sobre la base de la demostración. Es decir, considero aceptable esta cadena (esta

69 BOUVERESSE. Le pays des Possibles. Wittgenstein, les mathématiques et le monde réel. Citado por : BARAJAS, N., Op. cit. p. 22. 70 Ver BARAJAS, N. Ibid., p. 22 – 23. 71 ____________ . Op. cit., OFM. I, § 28. p. 28.

23

figura) como demostración. ... esto no es más que la expresión de una aceptación incondicional. ...72

¿Y cómo se manifiesta, entonces, que la demostración me obliga? Precisamente en que prosigo de tal y tal modo, en que me niego a seguir otro camino.73

Acerca de las proposiciones axiomáticas, en la tradición intuicionista de la matemática,

éstas tiene el rol de ser proposiciones matemáticas que no necesitan ser demostradas para

convencer, dado que son evidentes y gracias a que se encuentran a la base del edificio

matemático. Concepción esta que Wittgenstein critica puesto que cuando se propone una de

ellas, aún no está determinado en general el modo de aplicación de esa proposición, ni su

sentido, aunque, si se dice de ella que es evidente, ya se ha elegido, sin saberlo, un modo

especifico de aplicación de la proposición. Sobre este punto ya habrá tiempo de volver

cuando se discurra alrededor de lo qué es el inferir y la lógica.

En cuanto a los teoremas de la matemáticas, éstos vienen a ser una especie particular de

proposiciones matemáticas que se encuentran ocultas bajo la difusa segmentación realizada

por Wittgenstein entre proposiciones gramaticales y matemáticas, mostrándose sólo en

cuanto tales en el procedimiento de demostración. El papel gramatical que tiene para

Wittgenstein la proposición demostrada consiste en que “La proposición demostrada por la

demostración sirve como regla, o sea, como paradigma.” 74. Asimismo la demostración no

sólo induce a dirigirnos por esa regla, sino que muestra cómo hemos de dirigirnos por ella.

Según palabras de Wittgenstein esto es: “la proposición matemática ha de mostrarnos lo

que tiene SENTIDO que se diga.” 75 De lo cual se tiene que la pregunta por el sentido de

un teorema de la matemática remite ineludiblemente al concepto de demostración.

la demostración no investiga la esencia de ambas figuras, sino que manifiesta aquello que, a partir de ahora, voy a considerar perteneciente a la esencia de las figuras. –Lo que pertenece a la esencia lo deposito entre los paradigmas del lenguaje.

El matemático produce esencia.76

72 Ibid. I, § 33. p. 29. 73 Ibid. I, § 34. p. 29. 74 Ibid. III, § 28. p. 134. 75 Ibid. III, § 28. p. 135. 76 Ibid. I, § 32. p. 29.

24

En OFM el tema de la demostración se establece en uno de sus tópicos medulares, en tanto

procedimiento esencial al servicio de la matemática. De hecho en esta obra son explícitas

las alusiones a la importancia de tal procedimiento en cuanto es la figura que nos

convence 77 de la legitimidad de un determinado procedimiento, o del resultado de una

determinada inferencia. Esto pone de manifiesto el doble carácter que para Wittgenstein

sintetiza la demostración matemática: el de una instrucción para el uso de una regla, y el de

justificación de su uso al ofrecer el cómo y porqué puede ser usada, es decir, tiene la

función de fijar el significado. Igualmente, la demostración muestra una nueva conexión

que proporciona un nuevo concepto, en cuanto crea o es un nuevo signo.

¿Cómo muestra alguien que comprende una proposición matemática? Aplicándola, por ejemplo, ¿Y no lo muestra también demostrándola?

Quiero decir: la demostración me muestra una nueva conexión, por ello me proporciona también un nuevo concepto.78

Dicho de otra manera la demostración es parte de una institución79, haciendo parte del

sistema de practicas, del juego en el que se usan las proposiciones que la dotan de

sentido. Luego la demostración es un distingo de la proposición. Viniendo a ser un

pliegue a un determinado uso de los signos.

La equiparación de 252 y 625 me proporciona, podría decirse, un nuevo concepto. Y la demostración muestra cómo se explica esa igualdad. <<Proporcionar un nuevo concepto>> sólo puede significar introducir un nuevo uso conceptual, una nueva praxis.80

En el mismo sentido, la demostración más que ser sus fundamentos más las reglas de

inferencia, es una nueva construcción, un nuevo modelo. Con esta concepción de la

demostración matemática lo que ansía Wittgenstein es realzar la idea de que el matemático

produce siempre nuevas reglas cuando mediante el uso de las ecuaciones y transiciones

inferenciales construye nuevas vías conceptuales y amplía el conjunto de las antiguas.

77 Ibid. I, § 63. p. 39. 78 Ibid. V, § 48. p. 248. 79 Ibid. II, § 36. p. 138. 80 Ibid. IV, § 70. p. 362.

25

Justamente el concepto que crea la demostración puede ser un nuevo concepto de inferencia

o del adecuado inferir.

...la matemática es una ABIGARRADA mezcal de técnicas demostrativas . –Y en ello se basa su múltiple aplicabilidad y su importancia.81

...el matemático inventa siempre nuevas formas de representación . Unas estimuladas por necesidades prácticas; otras, por necesidades estéticas, y varias otras aún.82

El matemático es un inventor, no un descubridor.83

Ahora bien, dado que comúnmente se ha sugerido la posibilidad de que la demostración

matemática se encuentre cimentada en la evidencia de las proposiciones que le sirven de

punto de partida y en el rigor lógico, resulta conveniente explorar en aras de la temática que

nos ocupa, algunas de las observaciones wittgenstenianas relativas a la evidencia y

esencialmente a la lógica. Para empezar, Wittgenstein se interesa por el fenómeno de la

captación inmediata, no como fenómeno psíquico particular, sino como fenómeno de la

acción humana. Por ello registra que el hecho de aceptar una proposición como evidente, a

la manera de una noción común o un axioma, podría equivaler a eximirla de toda

responsabilidad frente a la experiencia y a adoptar su carácter de regla:

Los axiomas de la geometría tiene también el carácter de convencionalismos sobre el lenguaje en que queremos descubrir los objetos espaciales. Son reglas de sintaxis. Las reglas de sintaxis no tratan de nada, sino que solamente son formularios.84

Asimismo dice, como ya se planteó antes, acerca de las proposiciones axiomáticas, que

cuando se propone una de ellas, aún no está determinado en general el modo de aplicación

de esa proposición, ni su sentido, aunque si se indica de ella que es evidente, ya se ha

favorecido sin saberlo un modo específico de aplicación de la proposición. En esta

orientación, lo que transforma a una proposición en proposición matemática no es el que

nos resulte evidente, sino el que se deje valer su evidencia.

81 Ibid. III, § 46. p. 145. 82 Ibid. I, § 167. p. 74. 83 Ibid. I, § 167. p. 74. 84 WAISSMAN, F. Ludwig Wittgenstein y el Circulo de Viena. México: Fondo de Cultura Económica, 1973. p. 56

26

La naturaleza y el sentido de los enunciados de la matemática dependen, mucho más de lo que estemos dispuestos a aceptar en un primer momento, de esa función, pues sólo a través suyo podemos evaluar y con ello acceder a una comprensión de la matemática y de la lógica que va mucho más allá de la fijación de una estructura -formal- capaz de representar el orden esencial e inmanente de los hechos de la naturaleza. 85

En cuanto a la demostración matemática entendida como procedimiento de inferencia,

Wittgenstein señala que existe la inclinación a creer que la demostración lógica posee una

fuerza probatoria especial, absoluta, que emana de la certidumbre de las leyes lógicas

fundamentales y de las leyes lógicas de inferencia. No obstante, según apunta él, las

proposiciones demostradas no son más ciertas que lo que es la correcta aplicación de las

leyes de inferencia. Lo cual tiene profundas implicaciones en el campo de la lógica,

máxime si se tiene en cuenta que lo que ha de ser estimado como prueba suficiente de un

enunciado está en la esfera de la lógica, así como de hecho pertenece a ésta todo lo que

describe un juego del lenguaje.

Aceptar la demostración: puede aceptársela como paradigma de la figura que surge cuando estas reglas se aplican correctamente a determinadas figuras. Puede aceptársela como correcta derivación de una regla de inferencia. O como una correcta derivación de una correcta proposición empírica; o como correcta derivación de una proposición empírica de la que no se sabe si es verdadera o falsa.86

Asimismo, anota Wittgenstein, con frecuencia se cree que inferir es una actividad peculiar,

una práctica en el medio del entendimiento, un develar, de donde surge después la

deducción, sin embargo no hay nada oculto en esta práctica, es sencillamente el desenlace

de una sentencia a partir de otra de acuerdo con una regla, la comparación de ambas con un

modelo cualquiera que esté fijado como el esquema de tránsito.

en qué consiste propiamente el inferir. ... consiste en la transición de un aserto a otro. ... es una derivación de una sentencia a partir de otra de acuerdo a una regla; una comparación de ambas con un paradigma cualquiera que represente para nosotros el esquema del tránsito; o algo parecido. Esto puede suceder sobre el papel, oralmente o ‘en la cabeza’.87

La demostración es un modelo de un determinado resultar, que sirve de objeto de comparación (patrón) para transformaciones reales.88

85 BARAJAS, N. Op. cit., p. 7 - 8. 86 ____________ . Op. cit., OFM. III, § 37. p. 138. 87 Ibid. I, § 6. p. 19. 88 Ibid. III, § 24. p. 132.

27

Lo que se llama inferencia lógica no es más que una transformación de una expresión,

como lo es la conversión de una patrón de medida a otro, pudiendo darse en este paso lo

correcto y lo falso, aunque la realidad con la que armoniza, en este caso, lo correcto, es una

conversión, un uso, o una necesidad práctica. Mientras se conciba que no puede ser de otra

forma, se infieren conclusiones lógicas. A ellas, no se les pone reparo pues son

conclusiones lógicas; sin embargo, el que no se les ponga reparo no se debe a que

correspondan con certeza a la realidad, sino porque esto es precisamente lo que se llama

pensar, inferir, argumentar.

Lo que llamamos ‘inferencia lógica’ es una transformación de una expresión. ...

existe también lo correcto y lo falso en el paso de una medida a otra; pero ¿con qué realidad concuerda aquí lo correcto? Seguramente con una conversión, o con un uso, o acaso con las necesidades practicas. 89

<<Pero ¿no debe seguirse, por ejemplo, ‘fa’ de ‘(x). fx’, cuando ‘(x). fx’ se entiende tal como nosotros lo entendemos?>> -Y ¿cómo se manifiesta ese como nosotros lo entendemos? ¿No mediante la práctica habitual de su uso? Y quizá también mediante ciertos gestos – y cosas similares. Pero es como si la palabra <<todos>>, cuando nosotros la pronunciamos, tuviera aún algo adherido; algo con lo que un uso diferente resultara incompatible; a saber, el significado. <<¡‘Todos’ quiere decir: todos!>>, ...

Se aprende el significado de <<todos>> aprendiendo que ‘fa’ se sigue de ‘(x).f(x)’. –Las prácticas que ejercitan el uso de esta palabra, que enseñan su significado, se orientan siempre a impedir que pueda producirse una excepción.90

Con respecto a las leyes lógicas, según Wittgenstein, éstas pueden tomarse como expresión

de rutinas de pensar, pero también del hábito de pensar, al reflejar ellas cómo piensan los

seres humanos y a qué llaman ellos pensar. Sin embargo, la coincidencia de los seres

humanos, que es supuesto en el suceso de la lógica, no es una coincidencia de opiniones y

mucho menos aún sobre cuestiones de lógica.

Las leyes lógicas son ciertamente expresiones de ‘hábitos de pensar’, pero también del hábito de pensar. Esto es, puede decirse que muestran: cómo piensan los seres humanos y a qué llaman los seres humanos <<pensar>>.91

Las proposiciones de la lógica son ‘leyes del pensamiento’, ‘ya que expresan la esencia del pensar humano’, pero más correctamente: ya que expresan, o muestran, la esencia, la técnica del pensar. Muestran lo que es el pensar, o también modos del pensar.92

89 Ibid. I, § 9. p. 20. 90 Ibid. I, § 10. p. 21. 91 Ibid. I, § 131. p. 65. 92 Ibid. I, § 133. p. 66.

28

Puede decirse que la lógica muestra lo que nosotros entendemos por <<proposición>> y por <<lenguaje>>.93

Luego, tanto las proposiciones de la lógica como las de la matemática son convalidadas en

los juegos y acuerdos que les son propios, en tanto que se les aplican técnicas de

transformación enunciativa, en concordancia con el conjunto de reglas que constituyen el

respectivo método de cálculo y no gracias a una estructura del pensar común a toda la

humanidad.

La coincidencia de los seres humanos al calcular no es una coincidencia de opiniones o convicciones. ¿Podría decirse: <<Al calcular, las reglas te parecen inexorables; sientes que sólo puedes hacer eso y no otra cosa, si quieres seguir la regla>>? <<Tal como yo veo la regla, lo que ella reclama es esto. >> No depende de mi estado de ánimo.94

Ahora bien puesto que la matemática está constituida por una gran variedad de técnicas,

para Wittgenstein no tiene sentido privilegiar una de ellas, como lo es la lógica, pues con

ello sólo se consigue una inadecuada estandarización de métodos.

Así pues y en definitiva, 1° no es de extrañar que Wittgenstein se hubiese sustraído del

debate relativo a la fundamentación de las matemáticas. 2° las proposiciones matemáticas

en cuanto funcionan como proposiciones gramaticales operan en la determinación del

sentido de las proposiciones empíricas que contienen conceptos matemáticos, careciendo

las primeras de sentido empírico por razón de estar al inicio de los juegos matemáticos. 3°

El teorema o la proposición matemática demostrada adopta su sentido de la aceptación que

proporciona el ser inferido a partir de reglas, la proposición matemática muestra lo que

tiene sentido que se diga. Y 4° la proposición demostrada sirve ahora como un nuevo

paradigma para enjuiciar la realidad, en tanto ella ha sido endurecida hasta convertirse en

regla.

93 Ibid. I, § 131. p. 66. 94Ibid. IV, § 30. p. 279- 280.

29

30

4. IMPLICACIONES DE SU TEORÍA EN LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS

El estudio de los problemas epistemológicos que han suscitado las matemáticas a lo largo

de su devenir histórico, pueden ser compendiados básicamente en: 1) el estudio del razonar

matemático, 2) la fundamentación de la ciencia matemática y 3) la cuestión de qué tipo de

entidad son los objetos matemáticos. En relación al primero, debe decirse, que desde sus

orígenes el razonamiento matemático ha guardado cierta distancia con el clásico

razonamiento de la lógica aristotélica. Descartes y J. Stuart Mil, y antes Bacon 95, pusieron

de relieve en su momento la esterilidad científica del razonamiento silogístico frente a la

riqueza y rigor del razonamiento matemático. Kant también reconoció el atasco de la

lógica, para él cerrada y acabada, en comparación con el conocimiento que aportaban las

matemáticas y en particular su método. Los epistemologos aprenden de los matemáticos,

que existen otras formas de razonamiento distintas a las de la lógica aristotélica, verbo y

gracia, el razonamiento por recursividad o inducción matemática. No obstante, lo que más

ha favorecido la reflexión filosófica sobre las matemáticas ha sido el estudio de sus propios

fundamentos, en la llamada “crisis de fundamentos de las matemáticas”.

95 “Bacon anuncia un nuevo modo de encarar la realidad, lo que no significa romper en todo con el pasado. Al contrario: busca con éxito aquí y allá el aprovechar lo aprovechable del pretérito. El tono polémico de su filosofar, la proclamada ruptura, concéntrase en torno de la doctrina de Aristóteles, quien a la sazón era reconocido como modelo, en el llamado renacimiento aristotélico. Para Bacon, el pensador de Estagira es la mejor y máxima expresión de los errores que alientan en la filosofía de la época. Ya en sus años de juventud, rememora, según testimonio de su secretario privado W. Rawley: “Mientras residía en la Universidad, a los dieciséis años aproximadamente, como su señoría tuvo a bien comunicarme, empezó primero a desagradarle la filosofía de Aristóteles: no por la falta de méritos del autor, a quien siempre asignaría grandes cualidades, sino por lo infructuoso de su método, ya que era una filosofía (como solía decir su señoría) sólo buena para debates y disputas, pero estéril para producir obras en provecho de la vida humana, idea con la que continuó hasta el día de su muerte” BACON, F. Instauratio magna * Novun organum * Nueva Atlántida. Estudio introductivo y análisis de las obras por: Francisco Larroyo. Editorial Porrúa, S. A. México. 1991. p. XVII – XVIII.

31

Antes de esta mencionada época –como ya se dijo antes- tradicionalmente se tenía como

afirmación indiscutida que las matemáticas se cimentaban en alguna clase de intuición.

Ejerciendo tal intuición matemática la tarea fundamental de captación básica del objeto, sea

el número, o el punto, la línea o la figura: dado que los objetos matemáticos se presentan

como tales a un entendimiento humano que es capaz de conocerlos y estudiarlos, como si se

tratara, de algún modo, de formas platónicas preexistentes e independientes. Estas

intuiciones se concretaban deductivamente en axiomas, postulados, definiciones y

teoremas.

Con el arribo del s. XIX, se logran grandes desarrollos en el campo de las matemáticas, la

lógica y la filosofía de las mismas, traducidos en los aportes de Cantor con su teoría de

conjuntos, los trabajos de Boole y de De Morgan, y el inicio de la empresa de Frege de

fundamentación de la lógica en la aritmética. No obstante, por esta época la aparición,

hacia 1825, de las llamadas geometrías no- euclídeas en manos de insignes matemáticos

como Lobachevsky, Gauss, Riemann, entre otros, exigieron un cambio de visión

matemática, desde la cual ahora se hace más adecuado pensar que las teorías matemáticas y

los objetos matemáticos son obra de la mente. Surge así la concepción moderna de las

matemáticas.

La existencia de varios sistemas geométricos, aparentemente bien fundamentados desde el punto de vista de su lógica interna, hizo cuestionar lo que se entendía por “verdad” dentro del conocimiento.96

A consecuencia de esto, la importancia dada a los sistemas deductivos basados en la

intuición de primeros principios, da espacio a la necesidad de justificar por qué se opta por

ciertos axiomas en vez de otros. Sobreviene a la noción de objeto matemático, como

fundamental, la de estructuras matemáticas con propiedades formales. Por esta misma

época los axiomas fueron organizados en sistemas y se buscó un lenguaje que los expresara

con todo rigor, lo cual inauguró toda una serie de intentos de formalización y

axiomatización de todas las teorías matemáticas fundamentales.

96 FALK, M. Op. cit., p. 1.

32

Ahora en lugar de la intuición y la evidencia, características tradicionales de los axiomas,

en la usanza matemática anterior, se cambia la mirada hacia considerar fundamentales las

nuevas propiedades de los sistemas formales axiomáticos: consistencia, independencia,

completud, decidibilidad y satisfacibilidad. El estudio y la búsqueda de los nuevos

fundamentos de la matemática da lugar a la lógica matemática, fruto del enorme esfuerzo

que supusieron, para el desarrollo de la nueva matemática, los trabajos sobre teoría de

conjuntos, en la que se basaba la fundamentación de la matemáticas. La teoría de conjuntos

amenazada por la denominada <<crisis de los fundamentos>>, engendrada por la

aparición de contradicciones en el seno de la misma teoría.

Las geometrías no-euclidianas, la paradoja de Burali-Forti (1897) y la formulada por

Russell (1901) pusieron de manifiesto la relatividad del conocimiento, la inconsistencia de

la teoría de conjuntos de Cantor y la de las clases de Frege, respectivamente.

Carta de Frege a Russell (22 de junio de 1902) [...] <<Su descubrimiento de la contradicción [paradoja] me produjo la mayor sorpresa, incluso, yo diría, la mayor consternación, porque ha hecho tambalear los cimientos sobre los que yo intentaba construir la aritmética. [...] Tengo que reflexionar nuevamente sobre la cuestión. Es una cuestión muy seria desde que, con la pérdida de mi Regla V, parece desvanecerse no sólo la fundamentación de mi aritmética, sino también la única fundamentación posible de la aritmética. [...] El segundo volumen de mis Grundgesetze está próximo a aparecer. No cabe duda de que tendré que añadir un apéndice en donde su descubrimiento se tenga en cuenta.97

Estos hechos parecían afectar seriamente el uso de conceptos claves de esta bien autorizada

ciencia, instaurándose a comienzos del siglo XX en uno de los más importantes problemas

de la filosofía de las matemáticas. Es así como la duda acerca de la solidez de los

fundamentos matemáticos motivó tres vías de investigación: el logicismo, el intuicionismo

y el formalismo.

97 BETH, E. W. Las paradojas de la lógica, Cuadernos Teorema, Universidad de Valencia, Valencia 1975, p. 71.

33

En interpretación de Meléndez (2001), la en parte exitosa utilización de la nueva lógica

matemática proveniente de los primeros pasos de estos proyectos fundacionistas, sirvió

como inspiración y modelo para el trabajo en un proyecto más ambicioso: el de fundar o

reconstruir haciendo uso de herramientas lógicas de análisis, todo el conocimiento empírico

a partir de lo inmediatamente dado en la experiencia sensible. No obstante, advierte este

mismo autor, Wittgenstein no sólo no participó de estos proyectos de fundamentación sino

que se opuso a ellos al considerarlos innecesarios y fuentes de confusiones filosóficas, que

había que aclarar y despejar. Así pues para el Wittgenstein tardío la matemática demanda

tan poco de una fundamentación como las proposiciones que versan sobre objetos físicos o

las que versan acerca de impresiones sensoriales; más bien lo que ellas necesitan es una

clarificación de su gramática.

Pese a haberse interesado en su juventud por el problema de los fundamentos, tal y como lo

muestra su trashumar por el atomismo lógico, en el que la metáfora de la "imagen" designa

la función que desempeña el lenguaje en el conocimiento del mundo, la evolución de su

pensamiento prontamente lo llevó a su concepción tardía acerca de los fundamentos,

derivada de la concepción pragmática del lenguaje donde la metáfora del "juego de

lenguaje" se realiza como representación icónica de una "forma de vida". No obstante, si

bien pueden considerarse el TLP y las IF como definitorias de dos épocas distintas en el

pensamiento de Wittgenstein, éstas desde el punto de vista de su enfoque y en relación al

lenguaje, connotan una continuidad que distingue a la segunda época con un concepto clave

como es el de juego de lenguaje.

En relación con este concepto que Wittgenstein introdujo y que manejó en sus lecciones de

los años treinta, inicialmente en conexión a la idea de "cálculo"98 , él hace recaer la

98 “Pero cuando aprendemos el significado de una palabra, con frecuencia se nos da únicamente una regla, la definición ostensiva. ¿Cómo es que comprendemos entonces la palabra con esta definición? ¿Adivinamos las otras reglas?. Pensemos en el caso de un niños que aprende palabras de la manera siguiente: le mostramos objetos y decimos al mismo tiempo palabras. –Pero. ¿Cuál es aquí el criterio de la comprensión?. Por su puesto, que las aplique correctamente. ¿Adivina las reglas?. En realidad nos preguntaremos si debemos llamar en absoluto”definiciones” a este señalamiento y pronunciación de palabras. Pero el juego del lenguaje es todavía muy sencillo y la definición ostensiva tiene en él un papel diferente al que tiene en

34

posibilidad de hablar de las diferentes conformaciones de estos juegos de lenguaje, que a su

vez utiliza para distinguir los distintos modos gramaticales (el llamado nivel de la

gramática superficial y de la profunda). Esto le permite advertir la existencia, a nivel de la

gramática profunda, de innumerables tipos de proposiciones.99 Las reglas de esa gramática

profunda no deben ser malentendidas como si ellas regularan el curso mismo de esos

juegos, sino comprendidas en el sentido de articular sólo la operación del comprender que

sigue al hacer y que ha sido entrenado, ejercitado. No regulan pues comportamientos.

Wittgenstein emplea el concepto de juego de lenguaje para aclarar además los fenómenos

de la comunicación verbal en referencia a un modelo simplificado de juego de lenguaje que

le sirve de esquema para establecer comparaciones. Gracias a este peculiar método de

análisis de esos fenómenos verbales, Wittgenstein puede trascender y rechazar la actitud

filosófica general y tradicional sobre el lenguaje, que considera al fenómeno del lenguaje

escuetamente como un objeto de estudio e instrumento o medio de comunicación. Es lo que

se ha dado en llamar el “giro lingüístico” 100 o el “cambio de marcha”101 en filosofía, que

ha hecho del lenguaje, no meramente un objeto de estudio como instrumento o medio de

comunicación, sino el medio mismo en que ocurre el conocimiento.

De manera similar a como la gramática de un lenguaje se registra y comienza a existir cuando los hombres ya han hablado ese lenguaje durante mucho tiempo, los juegos primitivos se juegan sin que sus reglas se hayan codificado y aun sin que una sola de sus reglas haya sido formulada. Consideremos los juegos y el lenguaje desde el punto de vista de un juego que procede acuerdo con reglas. Es decir, comparamos al lenguaje con un procedimiento de ese tipo. 102

Es un aspecto muy importante de esta nueva concepción, la función que asigna a esos

juegos de lenguaje: funcionan como objetos de comparación o como esquemas 103, tanto

juegos lingüísticos más desarrollados. [...] ” ____________ . Op. cit.,Gramática Filosófica I, § 26. p. 115-117. 99 “En el uso de una palabra se podría distinguir una ‘gramtica superficial’ de una ‘gramatica profunda’”. ____________ . Op. cit., IF. § 664. p. 397. 100 RORTY, R. El giro lingüístico. Paidos / ICE UAB. Barcelona 1990. 101 FERRATER, J. Cambio de marcha en filosofía. Alianza. Madrid. 1984. 102 ____________ . Op. cit.,Gramática Filosófica I, § 26. p. 117-119. 103 ____________ . Op. cit., IF. § 73 p. 93 – 95.

35

en lo que concierne a los modos de ver el mundo como a los modos de vida en él. Pero para

ello es preciso que el lenguaje usado sea comprendido mediante una reconstrucción de su

praxis vital. Esto es, se trata de observar el fenómeno del uso del lenguaje en referencia a

los elementos vitales de un interacción sujeta a ciertas reglas y no en una visión abstracta en

la que sólo se atiende a los signos empleados y su sintaxis (como en el TLP).

Nuestros claros y simples juegos de lenguaje no son estudios preparatorios para una futura reglamentación del lenguaje –como si fueran primeras aproximaciones, sin consideración de la fricción y de la resistencia del aire. Los juegos del lenguaje están más bien ahí como objetos de comparación que deben arrojar luz sobre las condiciones de nuestro lenguaje por vía de semejanza y desemejanza. 104

Esa meta-observación no seguirá ya el programa logicista dictado en el TLP, tampoco

busca explicar causalmente los fenómenos del uso del lenguaje, sino sencillamente quiere

describir. 105 Incluso sería un obstáculo a la crítica filosófica del lenguaje ese querer lograr

una explicación, es decir, intentar comprender la realidad a partir de presupuestos lógico-

teóricos como se hace en ese modelo causal. Por eso afirmaba: “Cuando creemos que

hemos de encontrar en el lenguaje real ese orden, el ideal, quedamos descontentos con

lo que en la vida ordinaria se llama <<proposición>>, <<palabra>>, <<signo>>.” 106

En lugar de una observación sujeta al esquema de explicación jerarquizada en inferencias

deductivas, lo que Wittgenstein propugna aquí es un total giro epistemológico. Abandonar

todo el esquema o modelo tradicional basado en el potencial analítico y deductivo de la

mente y buscar un modo de acercamiento a la comprensión de la realidad muy similar al

programa husserliano: "A las cosas mismas". Es decir, se renuncia totalmente a las

pretensiones de reconstrucción lógica, elaborando una sintaxis de lenguajes exactos o

formalizados, así como también a utilizar tal reconstrucción con la finalidad terapéutica de

eliminar los falsos problemas de la metafísica, ética o religión.

104 Ibid., IF. § 130. p. 131. 105 “Hay que dejar de lado toda explicación, y en su lugar debe estar sólo la descripción.” Ibid., IF. § 105. p. 121. 106 Ibid., IF. § 105. p.121.

36

Así, el Wittgenstein tardío no se dedica, al examen o fundamentación de la matemática

como había hecho en su juventud, siguiendo el sendero trazado por su antiguo maestro

Russell, sino que sigue la ruta abierta por Moore, de quien fuera alumno y al que había

sucedido en Cambridge, bajo la destina volver a los fenómenos vistos sencillamente, sin

más prejuicios y filtros lógicos. Rechazando el esquema de explicación seguido en la

matemática y en la ciencia natural como esquema universal.

Signo inequívoco de este propósito es ofrecido por Wittgenstein en sus Lectures on the

foundations of mathematics (Cambridge 1939) donde, como objetivo primordial esta el

responder a las distintas escuelas de fundamentación de la matemática, y sobre todo a la

corriente logicista, en cabeza de Frege y Russell. Si bien, es menester tener siempre

presente que este texto es una compilación de las notas de clase tomadas por sus estudiantes

de Cambridge en el año de 1939, este texto y en especial la Lecture I brinda una clara

síntesis y articulación de las ideas y planteamientos directrices del pensamiento de

Wittgenstein en lo concerniente a la filosofía de las matemáticas, y su posición acerca de

los intentos de fundamentación de la misma.

En la Lecture I Wittgenstein buscando la toma de distancia de los planteamiento de Frege

y Russell, formula un tópico y dos directrices de su critica. El primero consiste en que él en

ningún momento se propone otra fundamentación, y como directrices de su critica están:

1.° que esta no se adelantará desde el punto de vista de un matemático de oficio o de

alguien con un gran conocimiento de matemáticas, sino desde el conocimiento que brindan

las matemáticas escolares, y 2.° que como filósofo lo que él podría decir serian solo

“profecías”. Que es otra de las enigmáticas y oscuras afirmaciones a las cuales Wittgenstein

ya nos tiene habituados.

I am proposing to talk about the foundations of mathematics. An important problem arises from the subject itself: How can I - or anyone who is not a mathematician - talk about this? What right has a philosopher to talk about mathematics? One might say : From what I have learned at school - my knowledge of elementary mathematics - I know something about what can be done in the higher branches of the subjects.

37

I can as a philosopher know that Professor Hardy can never get such -and- such a result or must get such-and such a result.107

No obstante, Wittgenstein parece no inclinase en desarrollo de su critica por ninguna de

estas dos directrices, sino, que más bien, basa su empresa en el estudio de las palabras de

acuerdo con los contextos originarios del lenguaje común: “Knowing our everyday

language –this is one reason why I can talk about them.”108 - Conocer el lenguaje

ordinario esta es la única razón por la que puedo hablar de ellas-. Cambiando su

tentativa a una empresa pragmática, al indagar por el uso que se hace de los términos y los

enunciados matemáticos en el contexto del lenguaje ordinario. Cuestión esta que se

constituye en sí misma en una critica a los intentos de fundamentación de la aritmética.

Para ello Wittgenstein se plantea algunas estrategias y propósitos que le habrán de servir

para tal fin: primero, no interferir con el trabajo de los matemáticos; segundo no proponer

nuevos cálculos, sino nuevas interpretaciones de aquellos; tercero no brindar una nueva

interpretación, sino tratar las interpretaciones; cuarto producir una nueva interpretación, no

para mostrar que es la correcta, sino para mostrar que ella y la anterior son igualmente

arbitrarias.

I am going to avoid it at all costs; will be not important not to interfere with the mathematicians. I must not make a calculation and say, “That’s the result; not what Turing say it is.” Suppose it ever did happen – it would have nothing to do whit the foundations of mathematics. […] I am, may occasionally produce new interpretations, not in order to suggest they are right, but in order to show that the old interpretation and the new are equally arbitrary. I will only invent a new interpretation to put side by with an old one and say, “Here, choose, take your pick.” I will only make gas to expel old gas.109

Wittgenstein rechaza el programa logicista de fundamentación de las matemáticas de

Russell, sobre el supuesto de que no se gana nada con reducir las matemáticas a la lógica,

107 Wittgenstein’s Lectures on the Foundations of Mathematics. Cambridge, 1939. From the notes of R.G. Bosanquet, Norman Malcon, Rush Rhees, and Yorick Smythies. Edited by Cora Diamond. The University of Chicago Press. Chicago and London. 1976. Lecture I. p. 13. 108 Ibid. p. 14. 109 Ibid., p. 13 – 14.

38

por muy riguroso que fuese el sistema lógico escogido, pues los reparos que se le formulan

a la verdad necesaria atribuida a las proposiciones matemáticas son extensivos a las

proposiciones de la lógica, y mas aún, cuando es perfectamente concebible una sociedad

humana en la que no exista un cálculo, en el sentido nuestro, ni un medir, en el mismo

sentido al nuestro.

“I only make gas to expel old gas” ésta es la tarea que Wittgenstein se propone. Si bien va a

intentar presentar una interpretación de los cálculos matemáticos, él no está preocupado

por ellos, sino por las interpretaciones que se han dado de los mismos. No intenta en ningún

momento creerse en la posesión de la interpretación correcta. Más que ello se ocupa de los

malentendidos (misunderstandings) y rompecabezas (puzzles) que se dan en el lenguaje

ordinario en relación a palabras y conceptos tales como: prueba, numero, series, orden,

entre otras.

I can as a philosopher talk about mathematics because I will only deal with puzzles which arise from the words of our ordinary everyday language, such as “proof”, “number”, “series”, “order”, etc.110

Pues, como es de anotar, para Wittgenstein el resultado de la filosofía no son las

proposiciones filosóficas, sino la clarificación de las proposiciones, la elucidación. Y la

filosofía es una actividad elucidante, por medio de la cual las proposiciones llegan a ser

claras:

El objeto de la filosofía es la aclaración lógica del pensamiento. Filosofía no es una teoría, sino una actividad. Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones. El resultado de la filosofía no son <<proposiciones filosóficas>>, sino el esclarecimiento de las proposiciones. Las filosofía debe esclarecer y delimitar con precisión los pensamientos que de otro modo serían, por así decirlo, opacos y confusos.111 No queremos refinar o complementar de maneras inauditas el sistema de reglas para el empleo de nuestras palabras. Pues la claridad a la que aspiramos es en verdad completa. Pero esto sólo quiere decir que los problemas filosóficos deben desaparecer completamente.112

110 Ibid., p.14 111 ____________ . Op. cit., TLP. § (4. 112), p. 85. 112 ____________ . Op. cit., IF. § 133 p. 133.

39

De ahí que para Wittgenstein todas las cuestiones que se pueden plantear, también se

pueden responder y que una cuestión que no se pueda responder, en rigor no puede ni

siquiera ser planteada y si se formula es una pregunta ilegítima, pues esconde una

confusión lingüística que debe ser aclarada.

En lo referente a la filosofía de las matemáticas, la tarea que emprende Wittgenstein en las

Lectures, en desarrollo de su empresa de clarificación gramatical, es en primer lugar la

clasificación de los malentendidos que son objeto de estudio de esta debido a las

perplejidades que ellos generan. Distinguiendo dos tipos esenciales de malentendidos: 1°

asimilar (tomar como una sola) expresiones con distintas funciones y 2° hablar de cosas

distintas bajo el mismo esquema. Él intenta mostrar que a la raíz de la perplejidad, del

desconcierto que producen los malentendidos no se halla ningún misterio, ni ninguna razón

para desconcertarse; que el desconcierto, por lo general, vendrá de hacer una analogía

incorrecta.

I hill have to stress the differences between things, where ordinarily the similarities are stressed, […]113

La estrategia que sigue Wittgenstein en las Lectures para identificar los lugares en los que

se dan las identificaciones o las analogías injustificadas, es examinar cada uno de los

puentes que se suelen construir entre discursos diferentes intentando mostrar que estos

están quebrados. En IF Wittgenstein afronta esta misma tarea a partir de la formulación

según la cual, los problemas filosóficos no son problemas empíricos, aún cuando es un

error frecuente pensar que lo son.

La filosofía es una lucha contra el embrujo de nuestro entendimiento por medio de nuestro lenguaje. 114

Este foco de errores se explica, según Wittgenstein, por la forma en que aquellos se

expresan. “La característica de una pregunta metafísica está en que expresamos una falta de

113 Wittgenstein’s Lectures. Op. cit., p. 15. 114 ____________ . Op. cit., IF. § 109. p.123.

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claridad acerca de la gramática de las palabras en la forma de una pregunta

científica.”115 Por esta razón la primera regla de procedimiento en una investigación de

una proposición metafísica es destruir la similitud externa entre ella y una proposición de

experiencia.116 La confusión en la que incurrimos en una pregunta metafísica consiste en

considerar un problema filosófico como si concerniese a un hecho del mundo en lugar de

una cuestión de expresión (si concerniese a un hecho del mundo tendría, en principio, una

solución). Pues para Wittgenstein una declaración metafísica siempre obedece a una falta

de claridad acerca de la gramática profunda de alguna oración.

Como arriba se señalo, la forma de una expresión metafísica la hace parecer como si fuera

una proposición empírica, tratándose de una proposición gramatical o conceptual. En

terminología de Wittgenstein “lo esencial de la metafísica es que destruye la distinción

entre la investigación factual y la conceptual.”117 Pues sólo atendiendo a la gramática

profunda de una proposición podemos determinar si ella es empírica o gramatical. Así el

papel de la gramática profunda radica en la diferenciación entre sentido y sin sentido. Pues

según Wittgenstein, en una proposición de índole gramatical, como “todas las varillas

tienen longitud”, aunque, en virtud de su gramática superficial parezca ser una

generalización empírica, esta misma, vista desde su gramática profunda; más que

proporcionarnos información sobre las varillas, enuncia una regla que gobierna el uso de la

palabra varilla.

Bajo esta concepción el meollo del asunto de la clarificación gramatical está en el despejar

la niebla metafísica que confunde al metafísico haciéndole creer que existen problemas

filosóficos donde no hay más que confusión de palabras. Pues según Wittgenstein los

problemas filosóficos tienen su origen en las confusiones lingüísticas que se producen

cuando el lenguaje es desviado de su uso común. A esto refiere Wittgenstein cuando alude

115 ____________ . Cuaderno Azul, p. 65. 116 Ibid., p .88. 117 ____________ . Zettel, Ed. Univ. Nac. Autónoma de México, 1985 (segunda edición castellana), 458

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que los problemas filosóficos no deben ser resueltos, sino disueltos, lo que se consigue

“examinando el funcionamiento de nuestro lenguaje.”118

Volviendo al tema de las Lectures on the foundations of mathematics Wittgenstein

dinamiza el estudio del uso del lenguaje al distinguir entre los malentendidos relacionados

con objetos matemáticos, aquellos que considera interesantes de aquellos que no. Para

Wittgenstein los malentendidos que nos sorprenden van a ser claves, en tanto los va a

utilizar en sus explicaciones, pero según nos dice, no van a ser estos en los que centrará su

interés. Su lucha será principalmente con los casos en que el malentendido parece ser lo

único que da interés a un determinado cálculo. Wittgenstein afirma que hay cálculos que

no parecen tener sentido más allá del encanto (charm) que les da el malentendido.

Wittgenstein en las Lectures distingue los distintos tipos de malentendidos, mostrando que

a la raíz del desconcierto que producen, no hay ningún misterio, ninguna razón para

desconcertarse, y que el desconcierto, por lo general, vendrá de hacer una analogía

incorrecta. Al caer en alguna de estas dos tentaciones: 1.° Asimilar (tomar como una sola)

expresiones con distintas funciones. 2.° Hablar de cosas distintas bajo el mismo esquema.

En su intento por denunciar los lugares en los cuales se dan identificaciones injustificadas

(y como estas dan razón de los malentendidos), Wittgenstein va a señalar las diferencias

cruciales que suelen ser omitidas, intentando –como ya se dijo antes- examinar cada uno de

esos puentes que solemos construir entre conceptos, para hacernos ver que están rotos.

Volviendo al tema de los malentendidos interesantes, Wittgenstein se acoge a su estudio

para mostrar como éstos en ocasiones son iguales a los segundos (a los no interesantes),

actividad con la que espera deshacer los malentendidos y mostrar que algunos de los

problemas a los que se enfrenta la filosofía de la matemática no son tales.

The misunderstandings we are going to deal with are misunderstandings without which the calculus would never have been invented, being of no other use, where the interest is centered entirely on the words which accompany the piece of mathematics you make. 119

118 ____________ . Op. cit., IF. § 47.

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En conclusión, considero que la interpretación wittgensteniana de la filosofía sirve y

seguirá sirviendo de base para el acotamiento y auto cuestionamiento que, desde diversas

corrientes, se ha venido realizado a esta disciplina desde la segunda mitad del siglo pasado.

Así mismo, en el ámbito de la filosofía de la matemática y la discusión sobre los

fundamentos de la matemática, las aportaciones de Wittgenstein tienen igual valor que el

que tiene la demostración del teorema de Gödel sobre la lógica. Cuestionar los ensayos

fundacionistas y su pretensión de constituirse en sistemas matemáticos totales y abarcativos

es un triunfo del pensamiento procedimental sobre el exclusivamente teórico. Luego, no

hay por que molestarse en dilucidar qué es la matemática, más bien debe ser una

preocupación de la humanidad en general, el por qué existe entre nosotros una matemática,

una concepción particular de ella, y un ideal de su lugar y función. 120

119 Wittgenstein’s Lectures. Op. cit., p. 16-17. 120 ____________ . Philosophical Remarks. The University of Chicago Press. 1975. p.319, 323.