Prof. Pedro Eche Querevalú

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5to de Secundaria

2012

Contenido Temático

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Evaluación

Bibliografía

Créditos

Presentación

Inicio

La circunferencia y parábolas son curvas que tienen una

gran importancia en la Física y se ajustan a la

descripción y a la representación matemática de

muchos fenómenos naturales.

Estas curvas tienen presencia e importancia en nuestra

vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o

no seamos conscientes de ello, tenemos muchas

circunferencias y parábolas a nuestro alrededor.

Hace poco se inauguró el parque de “Las aguas”, en el

parque de la reserva de nuestra ciudad de Lima, aquí

podemos observar como el agua producto de la

aplicación de una fuerza ejercida sobre ella, y la fuerza

gravitatoria forman hermosas figuras geométricas, entre

ellas apreciamos hermosas parábolas.

Presentación

Inicio

MOVIMIENTO PARABÓLICO

PARABÓLA

CARACTERISTICAS

MOVIMIENTO CIRCULAR

RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES

ELEMENTOS MOVIMIENTO CIRCULAR

EJERCICIOS Y PROBLEMA

Contenido Temático

Inicio

MOVIMIENTO PARABÓLICO

La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un

movimiento cuya trayectoria es una parábola.

Un MRU horizontal de velocidad VOx constante.

Un MRUA vertical con velocidad inicial VOy hacia arriba.

Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más

antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.

Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la

aceleración de la gravedad.

Ejemplos:

Cuando una pelota es lanzada horizontalmente sobre una mesa y sale fuera de está, el

movimiento que describe en el aire es curvilíneo.

Si lanzamos una pelota en forma oblicua (con determinado ángulo) por el aire, la

trayectoria que describe también es curvilínea, un estudio detallado nos llevará a la

conclusión que estas trayectorias corresponden a parábolas.

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Inicio

Composición del movimiento parabólico

Galileo demostró que este tipo de movimiento se puede considerar compuesto de:

1°) Un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección horizontal.

2°) Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección vertical, similar a un lanzamiento vertical con aceleración de gravedad "g".

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Inicio

MOVIMIENTO PARABÓLICO

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y = altura máxima

Vfymax = 0

VOy=VO.sen

v1x

v1y

VOx=VO.cos

vO

v1

vx

v2x

v2y v2

vOy

vOx

vR

Distancia horizontal recorrida

R = Vxtvuelo

y

x

-g

O

Inicio

MOVIMIENTO PARABÓLICO

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Inicio

MOVIMIENTO PARABÓLICO

CONTINUA>>

La existencia de la fuerza de la gravedad modifica la trayectoria.

Supongamos que disparamos con distintas inclinaciones respecto a la

horizontal. La citada fuerza actúa verticalmente hacia el centro de la tierra y

produce una aceleración constante de 9,81 m/s2. El resultado de la

composición de ambos movimientos es una trayectoria parabólica como la de

la imagen.

Inicio

También conocido como movimiento Semi-parabólico.

Imaginemos que lanzamos una pelota horizontalmente desde el borde de un edificio.

Observemos que la pelota se mueve simultáneamente en línea vertical y en línea

horizontal. Podemos estudiar este movimiento como la composición de dos

movimientos rectilíneos.

<<REGRESAR

X

V

0

h 0

Y

alcance

r

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Inicio

El cuerpo se mueve horizontalmente porque fue lanzado en esa dirección. Si

despreciamos los efectos del aire, la velocidad del lanzamiento horizontalmente no

tiene por qué alterarse, por lo tanto permanece constante.

Se concluye que:

“En la horizontal la pelota recorre distancias iguales en intervalos de tiempos

iguales”

En el eje X el movimiento cumple las ecuaciones del MRU.

Oxx

x

vv

donde

tvx

1............. Donde:

x= desplazamiento

V =velocidad o rapidez

t = tiempo

Alcance.

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Inicio

En esta dirección, el cuerpo está en caída libre a partir del reposo; esto significa que:

“en la vertical la pelota cada segundo que cae recorre distancias cada vez más

grande”. Estas distancias siguen la serie propuesta por Galileo: 5 m, 15 m, 25 m …

En el eje Y el movimiento cumple las ecuaciones de la caída libre.

2

2

/8,9

:

2.........2

1

smg

donde

tgy

Donde:

g= aceleración de la gravedad

t = tiempo

Si combinamos estas dos ecuaciones (1 y 2) encontramos la ecuación de la

trayectoria, que corresponde a un segmento de parábola.

2

2.

2x

V

gy

x

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Inicio

Propiamente el movimiento parabólico, llamado también tiro parabólico.

Imaginemos que lanzamos una pelota hacia arriba en forma oblicua. La trayectoria

que describe la pelota es una curva. Vamos a estudiar este movimiento como la

composición de dos movimientos rectilíneos, como lo hemos visto en el lanzamiento

horizontal.

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Inicio

El cuerpo se mueve horizontalmente porque la velocidad de lanzamiento tiene un

componente horizontal. Si despreciamos los efectos del aire, el componente

horizontal de la velocidad permanece constante, por lo tanto:

“En la componente horizontal la pelota recorre distancias iguales en tiempos

iguales”

En el eje X el movimiento cumple las ecuaciones del MRU.

)1.......(.tvx xDonde:

Vx = VOx .cos (velocidad

horizontal) es el componente

horizontal de la velocidad inicial de

lanzamiento.

Alcance.

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Inicio

En esta dirección, el componente vertical de la velocidad está afectado por la

aceleración gravitatoria, por lo tanto:

En la componente vertical la pelota realiza un MRUV retardado en la subida y

un MRUV acelerado en la caída, independientemente de su avance horizontal.

En el eje Y el movimiento cumple las ecuaciones del MRUV.

...

/8,9

:

)2.......(.2

1.

2

2

senVV

smg

donde

tgtVy

OyOy

Oy

(velocidad vertical) es el componente vertical de la velocidad

inicial del lanzamiento

Si combinamos estas dos ecuaciones (1 y 2) encontramos la ecuación de la

trayectoria, que corresponde a una parábola completa.

2

22.

cos2.tan x

V

gxy

O

Inicio

En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante

de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una

recta (llamada eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.

Partes:

Inicio

1.- Una pelota es pateada desde el suelo lanzándola con una velocidad de 20 m/s formando 53° con respecto a la horizontal. Calcula su posición y velocidad luego de 3s.

RESOLUCIÓN:

EJEMPLO:

1.- Calculamos los componentes de la velocidad inicial.

smsensmV

smsmV

iy

ix

/16)5

4).(20(53)/20(

/12)5

3).(20(53cos)/20(

2.- Calculamos la posición luego de 3 s.

my

ssmssmy

tgtVy

mssmtVx

iy

ix

9,3

)3)(/8,9(2

1)3)(/16(

2

1.

36)3)(/12(.

22

2

3.- Calculamos los componentes de la velocidad inicial luego de 3 s.

smV

ssmsmV

tgVV

smVV

y

y

iyy

ixx

/4,13

)3)(/8.9()/16(

.

/12

3

23

3

3

4.- Calculamos el valor de la velocidad resultante luego de 3 s.

smV

V

/18

)4,13()12(

3

223

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Inicio

2.- Desde una mesa de 1,6 m de alto se lanza una moneda con una velocidad horizontal de 7 m/s. Calcula el tiempo que demora en caer y la distancia horizontal que recorre desde el filo de la mesa.

RESOLUCIÓN

Datos

2/8,9

/7

6,1

smg

smV

my

x

sttsmmtgy7

4)/8,9(

2

16,1.

2

1 222

1.- Calculamos el tiempo de caída 2.- Calculamos la distancia horizontal

mxssmxtVxx

4)7

4)(/7(.

Rpta.- El tiempo que demora em caer es 4/7 s y la distancia que recorre (alcance) la moneda es +4m

EJEMPLO:

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Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR En la figura se muestra el movimiento giratorio de la rueda de Chicago. Si tomamos un punto cualquiera de la rueda, observamos que describe una trayectoria circunferencial, por lo que decimos que realiza un movimiento circular. En nuestra vida diaria muchos objetos se mueven circularmente: las aspas de un ventilador, las manecillas del reloj, un CD Rom, las ruedas de los autos, de las bicicletas, y muchos otros objetos.

Entonces definimos Movimiento circular como aquél realizado en un plano por un móvil cuya trayectoria es una circunferencia.

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Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS

“Es todo cuerpo que describe el movimiento”

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Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS

Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.

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Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS

“Es la porción de la trayectoria circular generada por el movimiento del móvil en un intervalo de tiempo”

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Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS

“Es el ángulo central generado por el movimiento del móvil en un cierto intervalo de tiempo”

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Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) “Es aquel movimiento realizado en un plano donde el móvil describe una circunferencia pero su rapidez permanece constante”

Cuando un móvil gira con una rapidez angular constante, decimos que el movimiento que describe es circular uniforme. En este movimiento la rapidez angular media es igual que la rapidez angular instantánea , por lo tanto se cumple:

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m

t

Donde:

Posición angular

Velocidad angular

Tiempo t

Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME(MCU)

Se denomina rapidez angular media al cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo (t) empleado en su giro.

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo . El móvil se habrá desplazado en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

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En el SI de unidades la rapidez angular se mide en radianes por segundo (rad/s)

m

tm

'

Inicio

RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES

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rat

r

t

vrv

mmmm.

..

rvt

r

t

LrL

mm.

..

Donde:

Desplazamiento angular

Rapidez angular

Rapidez lineal v

Aceleración angular

Tiempo t

Longitud de arco L

Radio r

En el movimiento circular, el desplazamiento angular está relacionado con la

longitud de arco L que recorre el móvil. Entonces podemos relacionar la rapidez

angular con la rapidez lineal o tangencial “v” y la aceleración angular con la

aceleración lineal o tangencial “a”

Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

Cuando un móvil gira con una aceleración angular constante, es decir, cuando su rapidez angular cambia uniformemente con el tiempo, decimos que el movimiento que describe es circular uniformemente variado. En este movimiento la aceleración angular media es igual que la aceleración instantánea . Las ecuaciones en este movimiento son muy similares a las que hemos visto en el MRUV.

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m

t

tt

t

i

i

i

i

.2

.2

1.

.2

.

2

22

Donde:

Posición angular

Velocidad angular

Aceleración angular

Tiempo t

Inicio

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

Durante el movimiento circular del cuerpo, la rapidez angular media puede variar con el tiempo, es decir, el cuerpo puede ir incrementando o disminuyendo su rapidez de giro; este cambio se mide con la aceleración angular media.

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t' la velocidad angular del móvil es w'. La velocidad angular del móvil ha cambiado w=w' - w en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

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t

Inicio

3.-Un péndulo cónico, como muestra en la figura, tiene una esfera que gira con rapidez angular constante. Calcular la rapidez angular si se sabe que la esfera da 10 vueltas en 20 s.

Resolución:

= Posición angular

T= 20 s.

Calculamos la rapidez angular

t

EJEMPLO:

s

rad

20

)2(10

srad /14.3Rpta.- La rapidez angular es

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Inicio

4.- Una rueda de 2 m de diámetro gira con rapidez angular de 12 rad/s. ¿Cuánto ha recorrido la rueda en 10 s?

EJEMPLO:

Resolución:

El recorrido longitudinal de la rueda es igual a la longitud del arco recorrido por

un punto de su periferia.

Diámetro d = 2r 2 = 2 r r = 1 m

mL

mssradL

rtrL

120

)1)(10)(/12(

...

Rpta.- La rueda ha recorrido 120 m

rtL ..

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Inicio

5.- Un disco compacto acelera desde el reposo con una aceleración angular =6rad/s2. Calcula la longitud (en km) que habrá recorrido un punto de la periferia del disco de radio 6 cm, durante 10 minutos.

EJEMPLO:

Resolución:

1.- Calculamos el desplazamiento angular

rad

ssrad

tti

1080000

600/62

1

.2

1.

22

2

2.- Calculamos la longitud de arco L:

kmL

mL

mradL

rL

8,64

64800

)06,0)(1080000(

.

Rpta.- La longitud que ha recorrido el disco es 64,8 km.

Inicio

Actividades interactivas

Recursos

Haz clic en “Actividades interactivas” para ingresar para desarrollar las actividades educativas

lúdicas

Inicio

Créditos Concepto movimiento parabólico

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/comp_movimientos/parabo

lico.htm

Movimiento parabólico

http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/leccion6/6.1.htm

Movimiento de proyectiles

http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htm

Movimiento de proyectiles simulador aplle

http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/Tiro/Tiro.htm

Movimiento parabólico (simulador)

http://platea.pntic.mec.es/curso20//77_newton/html7/tiro_parabolico.htm

Movimiento circular

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm

Simulador Movimiento circular uniforme

http://www.walter-fendt.de/ph14s/circmotion_s.htm

Imagen de rueda

http://fotos.diariosur.es/200907/movimiento_circular-640x640x80-1.jpg

Movimiento circular: MCU – MCUV

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular/circular.xhtml

Simulador MCU

http://www.aprendebrasil.com.br/sites/secretarias/aprendeamericas.com/scorm/

CACM/popcacm_esp.asp?URL=/sites/secretarias/aprendeamericas.com/scorm

/Esp/sco010/index.htm?e=27&q=1&d=1

Ejemplo MCU: el ventilador

http://www.educ.ar/educar/site/educar/Gira,%20gira%20el%20ventilador.html?

uri=urn:kbee:4c809710-360e-11dc-81e7-00163e000024&page-

uri=urn:kbee:ff9221c0-13a9-11dc-b8c4-0013d43e5fae

Imagen paseo de aguas

http://www.miguelparedesharo.com/wp-content/uploads/2009/10/c6.jpg

Imagen de paseo de aguas 2

http://img.webdelanovia.com/wp-

content/uploads/2008/03/Circuito%20magico%20de%20las%20aguas%20Parque%20de%20la

%20Reserva%204.JPG

Pendiente

http://www.educaplus.org/movi/3_1pendiente.html

Ciencia Tecnología y Ambiente 5

Manual del docente

Editorial Santillana.