Teoría de Falla Solicitaciones combinadas

Problema de AplicaciónResolución del Ejercicio N° 8

Curso de Estabilidad IIb

Ing. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Veamos el siguiente ejemplo:

Hallar las tensiones máximas en el empotramiento A y el giro alrededor del eje x, de la sección E (X). Trazar los diagramas de momentos torsores, los diagramas de tensiones y los diagramas de esfuerzos actuantes. Verificar las tensiones máximas para la fibra más solicitada y calcular el coeficiente de seguridad () aplicando el criterio de Von Mises. Nota: El momento torsor de M está aplicado en la sección B.

Enunciadoy

xz

AB

CD

E

F

4 Tn

10 Tn

5 Tn

M = 8 Tn . m

X

2 m

1 m1 m

1 m1 m

Datos:AC = 40 cm CE= 10 cm DF= 10 cmMaterial: aluminio (6061), G = 2,7x105 kgf/cm2

Veamos los datos del material:

Para el aluminio 6061se tiene:

Resolución

FL= 150 N/mm2

FL= 1530 kgf/cm2

por lo tanto:

Veamos las características geométricas de la sección:

Siendo la sección del empotramiento A una sección circular maciza será:

2264,256.1

4cmA E

3333,333.5

12

1cmS Ex

4471,663.125

64cmJ E

44

0 42,327.25132

cmJ E

Resolución

x

y

z

A

Calculemos las solicitaciones actuantes en el empotramiento A:

Solicitación axil:

Resolución

kgfTnN X 50005 tracción (+)

NX = 5000 kgf

Solicitaciones por corte:

kgfTnTY 1000010

kgfTnTZ 40004

TY = -10000 kgf

TZ = -4000 kgf

Solicitación por momentos flexores:

cmkgfmTnmTnMY 510222234

cmkgfmTnmTnM Z 5103030310

MY = 22x105 kgf.cm

MZ = -30x105 kgf.cm

Solicitación por momento torsor:

cmkgfmTnmTnmTnM X 51012122108

MX = 12x105 kgf.cm

Calculemos las tensiones debidas al esfuerzo axil:

La tensión normal será:

222

40

50004

4

cm

kgfkgfN

cmA

kgfN XXX

y

z

297,3

cm

kgfX

X = 3,97 kgf/cm2

Resolución

y

z MZ

MY

MF

Calculemos las tensiones debidas a los momentos

flexores:

El momento flexor actuante será:

Resolución

cmkgfMMM ZYF

52222

103022

… y el ángulo que forma con el eje z resulta:

75,14330

22arctan

Z

Y

M

M

cmkgfM F 51020,37

Por su parte, la distribución de tensiones normales será:

2

J

My

J

M FMAX

FX MAX

24

5

5922

40

71,125663

1020,37

cm

kgfcm

cm

cmkgfMAXX

z

yMF

P

Xmax ≈ 592 kgf/cm2

donde:

25,36

75,143180

…y las tensiones normales totales serán…

…, por el principio de superposición de efectos, la suma de las tensiones debidas a la solicitación axil y las debidas al momento flexor:

Resolución

z

yMF

P

MAX ≈ 596 kgf/cm2

MAX

FXFlexiónAxilMAX y

cmJ

cmkgfM

cmA

kgfN

42

2259297,3

cm

kgf

cm

kgfFlexiónAxilMAX

2596

cm

kgfMAX

donde: 25,36

TY

TZ

T

y

z

Q

Calculemos las tensiones debidas a los esfuerzos

cortantes:

El esfuerzo cortante actuante será:

Resolución

kgfTTT ZY

3222210410

… y el ángulo que forma con el eje z resulta:

20,68

4

10arctan

Z

Y

T

T

kgfT 31077,10

Por su parte, la distribución de tensiones corte será parabólica con una MAX1:

22

3

230,114

2

40

1077,10

3

4

2

3

4

3

411 cm

kgf

cm

kgfT

A

TMAXMAX

MAX1

Calculemos las tensiones debidas al momento

torsor:

Las tensiones tangenciales debidas al momento torsor tendrán distribución radial con un valor máximo MAX2 :

Resolución

24

5

0

49,9541,251327

2

401012

22 cm

kgf

cm

cmcmkgf

J

M X

MAX

y

z

A

B

MAX2

Las tensiones tangenciales máxima total será la suma de las tensiones debidas al esfuerzo de corte (MAX1) y al momento torsor (MAX2). Esta tensión se verificará en un punto tal como el A:

2279,20949,9530,114

21 cm

kgf

cm

kgfMAXMAXMAXAMAX … y por su parte:

249,95

2 cm

kgfMAXPMAXBMAX

… en el punto P la tensión 1

no es nula por ser P ≠ Q ya que ≠ , pero al 1 ser muy cercana a 0 (cero) puede despreciarse.

Veamos los diagramas:

Resolución

P

Q

Q

T

P

Graficamos las tensiones normales

Graficamos las tensiones tangenciales debidas al corte

Graficamos las tensiones tangenciales debidas a la torsión

Definimos P

Trazamos el diagrama

Definimos Q

Trazamos el diagrama Q

Luego analizaremos la tensión P

correspondiente al punto P

El diagrama resultará independiente del ángulo

Analicemos el valor de P:

Resolución

P

Q

Q

PLa expresión de las tensiones tangencialesP debidas al esfuerzo de corte tendrán una distribución cuadrática según la siguiente expresión:

4

22

13

4

R

yRT

donde y resulta ser:

y

cosRy

24

22

4

22

1 2,3cos1

3

4

3

4

cm

kgf

R

RT

R

yRT

249,95

2 cm

kgfMAX

por lo tanto, P puede despreciarse

Calculemos las tensiones principales para la fibra más solicitada (P)

Resolución El estado tensional del punto P será el siguiente:

y el tensor de tensiones: MPaT

zyzxz

zyyxy

zxyxx

T

049,950

49,9500

00596

…será el correspondiente a un estado espacial de tensiones. Calculamos sus invariantes:

3

2

222

2

2

222

2

70,54345302

34,9118

596

cmkgf

J

cmkgf

J

cmkgf

J

xyzyxzzxyyzxzxyzyx

yzxzxyxzzyyx

zyx

070,543453034,911859602323

iiiiii JJJ

…y aplicando Ruffini:

Resolución

034,911801

70,54345300596596

70,543453034,91185961

23,2

212

34,9118

596

034,9118596

cmkgf

cmkgf

ii

23

22

21

49,95

49,95

596

cmkgf

cmkgf

cmkgf

Los centros y radios de las familias de circunferencias son:

Resolución

22321

3

22231

2

2132

1

75,3452

49,95596

2

26,2502

49,95596

2

02

49,9549,95

2

cmkgf

cmkgf

CC

cmkgf

cmkgf

CC

cmkgf

CC

22321

3

22231

2

22132

1

26,2502

49,95596

2

75,3452

49,95596

2

49,952

49,9549,95

2

cmkgf

cmkgf

rr

cmkgf

cmkgf

rr

cmkgf

cmkgf

rr

Tracemos ahora las circunferencias de Mohr:

Resolución

[kgf/cm2]

[kgf/cm2]

R1 (≈95)R3 (≈250)

R2 (≈345)

C1 (0)

C2 (≈250)

C3 (≈345) 1 (596)2 (95,49)3 (-95,49)

Apliquemos ahora el criterio de Von Mises:

Resolución“La falla se producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen debida a los

esfuerzos máximos absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de una probeta en el ensayo de tracción en el momento de producirse la fluencia”

2

2222

313221

2

3

2

2

2

1

52,618

46,9559646,9546,9559646,9546,95596

cmkgf

Adm

Adm

FlAdm

Para el aluminio (6061) resulta:

21530 cmkgfFl 47,2

52,618

1530

2

2

cmkgf

cmkgf

Adm

FlFlAdm

… y el diagrama de Momentos Torsores es:

Resolución

Bibliografía

Estabilidad II - E. FliessIntroducción a la estática y resistencia de materiales - C. RaffoMecánica de materiales - F. Beer y otrosResistencia de materiales - R. Abril / C. BenítezResistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana SantanaResistencia de materiales - V. FeodosievResistencia de materiales - A. Pytel / F. SingerResistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias