teorÍa de circuitos ii teoría de los cuadripolos un...
TRANSCRIPT
Ing. Oscar Galvez Página 1
TEORÍA DE CIRCUITOS II
4 Año – Ingeniería Electrónica – F.R.T. U.T.N.
Teoría de los Cuadripolos
(Colaboración del alumno Juan Carlos Tolaba)
Definición: Un cuadripolo es una configuración arbitraria de elementos de circuitos, que
tiene 2 pares de terminales, debiendo cumplirse como condición adicional que los
terminales de entrada estén vinculados con los de salida solo a través del interior del
cuadripolo.
Configuraciones Típicas
1
-suponemos todo lo interior pasivo.
2 1
T L
H O
Escalera
Celosía
T puenteada
Ing. Oscar Galvez Página 2
Clasificación:
Según el tipo de elementos que se incluyan
Pasivos: no tienen generadores independientes.
Activos: tienen generadores independientes.
Según las características de los elementos incluidos
Lineales (L, C, R)
Alineales (semiconductores)
Según el sentido de transferencia de la energía
Bilaterales: permiten transferencia de energía en ambos sentidos en igual facilidad.
Unilaterales: permiten transferencia de energía en un solo sentido.
Según el tipo de configuración
Balanceadas: poseen un eje de simetría horizontal. Por ej.: Configuración H
Simétrico: posee un eje de simetría vertical. Por ej.: configuración T
Asimétricos: son aquellos que no poseen ningún ejemplo de simetría.
Ing. Oscar Galvez Página 3
Ecuaciones, Parámetros y matrices características
Las propiedades de un cuadripolo pueden ser descriptas por la siguiente función
implícita de cuatro variable s = 0 .
De esta ecuación en base a todos los pares de combinaciones posibles pueden
formarse las siguientes familias.
Familia 1
Familia 2
Familia 3
Familia 4
Análisis de la familia 1: Parámetro de impedancia en circuito abierto.
Tensiones en funciones de la corriente
Supongamos:
Impedancia en circuito abierto
Admitancias en cortocircuito
Hibrido
Transmisión
R
L C
2 1
Ing. Oscar Galvez Página 4
Generalizando todas las familias adquieren la misma forma. Ahora podemos hallar las
constantes:
Impedancia de entrada, con la salida a circuito abierto.
Impedancia de transferencia inversa con la entrada a
circuito abierto.
Impedancia de transferencia directa, con la salida a
circuito abierto.
Impedancia de salida, con la entrada a circuito abierto.
Reemplazando estos parámetros nos queda:
En forma matricial
Matriz impedancia del cuadripolo
Ing. Oscar Galvez Página 5
Análisis para la familia 2: Parámetro de admitancia en cortocircuito
De donde se desprende:
Admitancia de entrada con salida en corto circuito.
Admitancia de transferencia inversa con la entrada en c.c.
Admitancia de transferencia directa con salida en c.c.
Admitancia de salida con la entrada en c.c.
Reemplazando estos nuevos parámetros en el sistema de ecuaciones
Circuito equivalente
Ing. Oscar Galvez Página 6
Análisis de la Familia 4: Parámetros de Transmisión
(Colaboración del alumno Ezequiel Medina)
V1(s) = K10(s) V2(s) + K11(s) I2(s)
I1(s) = K12(s) V2(s) + K12(s) I2(s)
Debido a que esta familia se emplea normalmente para el análisis de cuadripolos en los
cuales la salida de uno se conecta con la entrada de otro, conocida como conexión en
cascada, es necesario invertir el sentido de la corriente en el par de terminales de
salida llamando -I2 = I’2
)()(
)( 0)('
2
)(1
10 2sA
sV
VsK sI
S
Transmitancia de tensión inversa con
salida a c. a.
)()('
)( 0)(
2
)(1
11 2sB
sI
VsK sV
S
Impedancia de transf. inversa con salida
en c. c.
)()(
)( 0)('
2
)(1
12 2sC
sV
IsK sI
S
Admitancia de transf. inversa con salida a
c. a.
)()('
)( 0)(
2
)(1
13 2sD
sI
IsK sV
S
Transmitancia de corr. inversa en salida a
c. a.
Ing. Oscar Galvez Página 7
V1(s) = A(s) V2(s) + B(s) I’2(s)
I1(s) = C(s) V2(s) + D(s) I’2(s)
B(s)
A(s) V2(s) D(s) I’2(s) C(s)
Impedancia de entrada en condiciones normales de funcionamiento
Zg(s) I1(s) I2(s)
Vg(s) Zc(s)
Cálculo de la impedancia de entrada Ze(S)
Ecuación correspondiente a la familia de parámetros de Tx.
V1(s) = A(s) V2(s) + B(s) I’2(s)
I1(s) = C(s) V2(s) + D(s) I’2(s) Ze(s) => Zc(s)
De las dos ecuaciones
)(').()().(
)(').()().(
)()(
22
22
1
)(1
sIsDsVsC
sIsBsVsA
sI
VsZe
s
Ing. Oscar Galvez Página 8
Dividimos numerador y denominador por I’2, teniendo en cuenta que )('
)()(
2
2
sI
sVsZe
)()().(
)()().(
)()('
)()(
)()('
)()(
)(
2
2
2
2
sDsZcsC
sBsZcsA
sDsI
sVsC
sBsI
sVsA
sZe
Podemos observar como se refleja la impedancia de carga sobre los bornes de entrada
del cuadripolo.
Cálculo de la impedancia de salida Zs(s)
La impedancia de salida se calcula, conn el generador excitador conectado a la entrada
desactivado, o sea, la impedancia que presenta el cuadripolo a la carga. Aplicando
matriz tx.
Zg(s) I2(s)
V1(s) <= Zs(s)
Impedancia interna del general ideal Zg(s)=0
)('
)(.
)()(
)()(
)(
)(
2
2
1
1
sI
sV
sDsC
sBsA
sI
sV
)().()().(
)().()().(
)()(
)()(
)()(
)()(
)( 111
1
2sBsCsDsA
sBsIsDsV
sDsC
sBsA
sDsI
sBsV
sV
Ing. Oscar Galvez Página 9
)().()().(
)().()().(
)()(
)()(
)()(
)()(
)(' 111
1
2sBsCsDsA
sCsVsAsI
sDsC
sBsA
sIsC
sVsA
sI
Dado que )('
)(
)(
)()(
2
2
2
2
sI
sV
sI
sVsZs
)().()().(
)().()().()(
11
11
sCsVsAsI
sBsIsDsVsZs
Dividimos num. y den. por I1(s), teniendo en cuenta que )()(
)(
1
1 sZgsI
sV
)().()(
)()().(
)(
)().(
)(
)().(
)(
)().(
)(
)().(
)(
1
1
1
1
1
1
1
1
sCsZgsA
sBsDsZg
sI
sCsV
sI
sAsI
sI
sBsI
sI
sDsV
sZs
)().()(
)()().()(
sCsZgsA
sBsDsZgsZs
Impedancia iterativa: es la impedancia que, conectada en un par de terminales,
produce una impedancia igual en el otro par. En otras palabras, es el valor de la
impedancia que debe conectarse en los terminales de salida, para que refleje en los
terminales de entrada, ese mismo valor de impedancia:
)()()( sZcsZsZe iI de entrada
Utilizando la expresión de la impedancia de
entrada:
Ing. Oscar Galvez Página 10
)()().(
)()().()(
sDsZsC
sBsZsAsZ
iI
iI
iI
)()().()()().().( sBsZsAsDsZsCsZ iIiIiI
0)()().()().()().(2 sBsZsAsDsZsCsZ iIiIiI
0)()(.)()()().(2 sBsZsAsDsCsZ iIiI
0)(
)()(.
)(
)()()(2
sC
sBsZ
sC
sAsDsZ iIiI
)(
)(
)(
)()(
)(
)()()(
2
sC
sB
sC
sAsD
sC
sAsDsZ iI
Impedancia de salida: impedancia que debe conectarse en los terminales de entrada,
para que se refleje en los terminales de salida, ese mismo valor de impedancia.
Zg(s) Zs(s)= Zi2(s) = Zg(s)
reemplazamos en la ecuación de impedancia de salida
)()().(
)()().()(
2
2
2sAsCsZ
sBsDsZsZ
i
i
i
)(
)(
)(
)()(
)(
)()()(
2
2sC
sB
sC
sAsD
sC
sAsDsZ i
Ing. Oscar Galvez Página 11
Impedancia imagen: se denominan impedancias imágenes ZI1(s) y ZI2(s) a dos valores
de impedancias tales que si el extremo 1 se carga con ZI1(s) la impedancia de entrada
en el extremo 2 es ZI2(s) ; mientras que si en el extremo 2 se carga con ZI2(s) la
impedancia de entrada en el extremo 1 es ZI1(s).
Aplicando las ecuaciones de impedancia de entrada y salida
)()().(
)()().()(
2
21
sDsZsC
sBsZsAsZ
I
II y
)()().(
)()().()(
1
12
sAsZsC
sBsZsDsZ
I
II
operando
)().(
)().()(2
sAsC
sDsBsZ I de salida
)().(
)().()(1
sDsC
sAsBsZ I de entrada
Impedancia característica: cuando se conectan varios cuadripolos en cascada. Con el
objeto de lograr la máxima transferencia de energía se impone la igualación de
impedancias entre la salida de uno y la entrada de otro. Para esto, generalmente se
utilizan cuadripolos lineales y pasivos, bilaterales y simétricos.
Ing. Oscar Galvez Página 12
Si el cuadripolo es bilateral debe cumplirse que:
1)()()( 2112 ssZsZ ya que )(
)()(
21
12
sZ
sZs
Impedancia de transferencia directa
Impedancia de transferencia inversa
Si es simétrico debe cumplirse que:
Z11(s) = Z22(s) => por lo tanto A(s) =D(s)
Impedancia de salida
Impedancia de entrada
Por lo tanto si el cuadripolo es pasivo bilateral y simétrico las impedancias iterativas e
imaginarias son iguales y reciben la denominación especial de impedancia
característica Zo(s)
Zo(s) =Zc(s) = Zg(s)=Ze(s) =Zs(s) =Zi(s) =ZI(s)
)(
)()(
sC
sBsZo en función de los parámetros de tx.
)(').()().(
)(').()().(
)(
)()(
22
22
1
1
sIsDsVsC
sIsBsVsA
sI
sVsZe
Cuando V2(s)=0 => se obtiene la impedancia de entrada con salida en corto circuito.
)(
)()(
sD
sBsZecc
Cuando I’2(s)=0, se obtiene la impedancia de entrada en salida a circuito abierto
)(
)()(
sC
sAsZeca
Ing. Oscar Galvez Página 13
si se multiplican ambas impedancias, teniendo en cuenta que A(s)=D(s)
)(
)()().(
sC
sBsZecasZecc
reemplazando
)().()( sZecasZeccsZo
Constantes de propagación, Atenuación y Fase
Es muy común en sistemas telefónicos conectar cuadripolos en cascadas que
resultan ser pasivos y simétricos. En estos casos interesa frecuentemente determinar la
transferencia de tensión inversa es:
Si se reemplaza V1(s) en función de los parámetros de trasmisión, toma el aspecto de:
Como
Ing. Oscar Galvez Página 14
Al ser bilateral se cumple que A(s)D(s)-B(s)C(s)=1 ; y por ser simétrico : A(s)D(s)
operando obtenemos :
Esta ecuación indica que la transferencia de tensión inversa en condiciones
normales de funcionamiento para un cuadripolo pasivo, bilateral y simétrico terminado
en su impedancia característica, es solo función de la transmitancia de tensión inversa
con salida a circuito abierto para los incrementos de señal. Esta propiedad es muy útil
para diseños de filtros, y para ello nos interesa trabajar en régimen senoidal
permanente por lo que se pasara del dominio de s al jω.
Generalmente es un número complejo, que naturalmente depende de la
configuración circuital, y que puede expresarse arbitrariamente como:
= еγ donde γ = α + jβ
Si se desdobla en modulo y fase :
Como vemos solo afecta al módulo de la transferencia de tensión, por lo que
se la denomina constante de atenuación. Si es negativo, cuanto mayor es su valor
más grande será la atenuación, es decir que mayor es la pérdida de la señal en el
cuadripolo.
Ing. Oscar Galvez Página 15
La constante de solo puede ser nula en algunas redes puramente reactivas
que se estudian en el diseño de filtros.
Por otra parte afecta solamente a la fase de la transferencia de tensión, por lo
que se denomina constante de fase. Cuanto mayor es más grande es el desfasaje
entre las señales de entrada y salida. Naturalmente que puede ser nula si el
cuadripolo se comporta como resistivo puro.
Por último, recibe el nombre de constante de propagación. Esta constante
también puede calcularse en función de los parámetros medibles desde los terminales
del cuadripolo, para evaluar de una forma más rápida el valor de .
Además
A+
A = cosh
Como :
Tgh =
Tgh = como A = D
Tgh =
Esta se aplica a cuadripolos que terminan en su impedancia característica y es común emplearla en el diseño del filtro