capitulo 6 - cuadripolos

8/17/2019 Capitulo 6 - Cuadripolos

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ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS I I RED DE DOS PUERTOS CUADRIPOLOS

TEMA VII

RED DE DOS PUERTOS - CUADRIPOLOS

7.1. INTRODUCCIÓN.

En Temas precedentes se ha puesto el énfasis en el análisis del funcionamiento ‘interno’ deredes, es decir, el aspecto fundamental del análisis era la determinación de magnitudes deinterés en distintos puntos, sin embargo, en numerosos casos prácticos lo que se tiene mayorimportancia es caracterizar el circuito desde un punto de vista ‘eterno’, es decir, con respectoa su relación con elementos a!enos al propio circuito" Es esta segunda perspectiva la que seaborda en este Tema, de acuerdo con ella, el circuito es tratado como un cuadripolo que seinserta entre un generador y una carga" #or lo que, el circuito de cuadripolo es tratado comouna ca!a negra con dos puertas $cuatro terminales% de coneión al eterior, cuyocomportamiento eléctrico del circuito, es descrito en función de las tensiones y corrientes enlas puertas, que se relacionan entre s& mediante un !uego de parámetros caracter&sticos paraconocer que ocurre cuando se alimenta con una se'al un par de terminales $puerto de entrada%y luego de recorrer el circuito se le etrae por otro par de terminales $puerto de salida%"

El interés del estudio de la teor&a de cuadripolos, redes bipuerta, estriba en el hecho de quecualquier red eléctrica bilateral lineal, activa o pasiva, se puede representar por una red decuatro terminales y estando esta teor&a totalmente desarrollada, pueden aplicarse susresultados al estudio de los componentes de circuitos electrónicos, especialmente a lostransistores" Todos los dispositivos electrónicos, tales como ()T, *ET y +iodos semiconductoresson no lineales, sin embargo, ba!o condiciones de se'ales de peque'a amplitud, estosdispositivos no lineales pueden ser aproimados adecuadamente a dispositivos lineales" En la *ig" , se muestra el cuadripolo básico, compuesto por +os #uertos, Entrada y -alida, debornes hacia afuera, se puede traba!ar sin conocer la estructura interior, mediante dosecuaciones $una por puerta%, importante el convenio de signos. variables circuitales de lospuertos positivos tal y como se de/nen en la /gura , en el que se indican los sentidos dereferencia de las tensiones y corrientes"

Figura 1En este parte, se describen algunos de los aspectos más relevantes del formalismo matemáticoadecuado para el tratamiento de cuadripolos que satisfagan las condiciones que se indican acontinuación0

El 1uadripolo no contiene fuentes independientes de energ&a $1uadripolo pasivo%, peropuede contener fuentes dependientes $como en los circuitos equivalentes dedispositivos electrónicos%"

En ausencia de ecitación eterna no hay energ&a almacenada en el 1uadripolo" 2a corriente que sale por una puerta es igual a la que entra en la misma" 2as coneiones eternas deben hacerse al puerto de entrada o al puerto de salida" 3o

se permiten coneiones eternas entre los puertos"

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4n 1uadripolo puede analizarse en 5eg&menes #ermanentes -enoidales, generalizableal dominio de 2aplace, continuo, o caracterizadas por ecuaciones 6ntegro7diferencialeslineales de coe/cientes constantes"

7.2. PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE CUADRIPOLOS.

4n cuadripolo queda de/nido por un con!unto de cuatro parámetros, denominados parámetroscaracter&sticos, que relacionan las corrientes y tensiones de entrada y salida, las más utilizadasson las mostradas en la tabla de la /gura 8"

DENOMINACIÓN

ECUACIONES NOTACIÓN MATRICIAL

69#E+:316:

V 1=Z

11 I

1+Z

12 I

2

V 2=Z

21 I

1+Z

22 I

2

[ V 1¿V 2] ;¿

Z 11

Z 12

¿Z 21 Z 22¿¿

[ I 1¿ I

2]

:+96T:316:

I 1=Y 11V 1+Y 12 V 2

I 2=Y

21V

1+Y

22V

2

[ I 1¿ I 2] ;

¿Y

11Y

12

¿Y 21Y 22¿¿

[ V 1¿V 2]

- ‘ h ‘

V 1=h

11 I

1+h

12V

2

I 2=h

21 I

1+h

22V

2

[ V 1¿ I 2] ;

¿h11

h12

¿h21 h22¿¿

[ I 1¿V 2]

- ‘ g ‘

I 1=g

11V

1+g

12 I

2

V 2=g

21V

1+g

22 I

2

[ I

1

¿V 2] ;

¿g

11g

12

¿g21 g22¿¿

[ V 1¿ I 2]

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T5:3-96-6?3+65E1T>-

V 1= A V

2−B I

2

I 1=C V 2− D I 2

[ V 1¿ I 1] ;

¿ A B¿C D¿¿

[ V 2¿− I 2]

T5:3-96-6?363@E5->-

V 2=a V

1−b I

1

I 2=c V 1−d I 1

[ V 2¿ I 2] ;

¿a b¿c d¿¿

[

V 1

¿− I 1

]Figura 2>bsérvese que se ha utilizado una nomenclatura que engloba los casos de régimenpermanente continuo o senoidal. es decir, cuando se trata de caracterizar el cuadripolo encontinua, las corrientes y tensiones indicadas son las reales ó instantáneas. en régimensenoidal permanente, los mismos s&mbolos denotan fasores" :nálogamente, en continua losparámetros de/nen ganancias, resistencias o conductancias, mientras que en régimen senoidalpermanente, los mismos parámetros corresponden a ganancias, impedancias o admitancias"

7.3. SINIFICADO CIRCUITAL DE LOS PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS.

2os parámetros caracter&sticos de un cuadripolo poseen un claro signi/cado circuital como se

deduce a partir del teorema de -uperposición" @er tabla en *igura A0

PARÁMETRO

CONDICIÓNMATEMÁTICA

SINIFICADO EL!CTRICO CIRCUITAL

Z 11

Z i( V 1 I

1) I

2=0

6mpedancia de entrada con salida en circuito abierto$i de input%

Z 12

Z r( V 1 I

2) I

1=0

6mpedancia de transferencia inversa con entrada encircuito abierto$r de reversa%

Z 21

Z f ( V 2 I

1) I

2=0

6mpedancia de transferencia directa con salida encircuito abierto$f de forBard%

Z 22

Z o( V 2 I

2) I

1=0

6mpedancia de salida con la entrada en circuitoabierto $o de output%

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Y 11

Y i( I 1V

1)

V 2=0

:dmitancia de entrada con salida en corto circuito $ide input%

Y 12

Y r ( I

1

V 2 )V 1=0

:dmitancia de transferencia inversa con entrada en

corto circuito$r de reversa%

Y 21

Y f ( I 2V

1)

V 2=0

:dmitancia de transferencia directa con salida encorto circuito$f de forBard%

Y 22

Y o( I 2V

2)

V 1=0

:dmitancia de salida con la entrada en corto circuito$ o de output%

h11

hi (V 1 I

1 )V 2=06mpedancia de entrada con salida en cortocircuito $i

de input%

h12

hr( V 1V

2) I

1=0

Canancia inversa de Tensión con entrada en circuitoabierto $r de reversa%

h21

hf ( I 2 I

1)

V 2=0

Canancia directa de corriente con salida en cortocircuito $f de forBard%

h22

ho ( I 2

V 2 ) I 1=0 :dmitancia de salida con la entrada en circuitoabierto $o de output%

g11

gi( I 1V

1) I

2=0

:dmitancia de entrada con salida en circuito abierto$i de input%

g12

gr( I 1 I

2)

V 1=0

Canancia inversa de corriente con la entrada encortocircuito $r de reversa%

g21

gf (

V 2

V 1) I

2=0

Canancia directa de volta!e con la salida en circuitoabierto$f de forBard%

g22

go( V 2 I

2)

V 1=0

6mpedancia de salida con la entrada en corto circuito$o de output%

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: ( V 1V 2) I

2=0

Canancia inversa de tensión con salida en circuitoabierto $i de input%

(

(

−V 1

I 2

)V 2=0

6mpedancia de transferencia inversa con salida en

corto circuito $r de reversa%

1 ( I 1V 2) I

2=0

:dmitancia de transferencia directa con salida encircuito abierto $f de foBard%

+ (− I 1 I 2

)V

2=0

Canancia de inversa de corriente con la salida encorto circuito $o de output%

a ( V 2V 1) I

1=0

Canancia directa de tensión con la entrada encircuito abierto $i de input%

b ( V 2 I 1)

V 1=0

6mpedancia de transferencia inversa con la entradaen corto circuito $r de reversa%

c (− I 2V 1) I

1=0

:dmitancia de transferencia directa con la entradaen circuito abierto $ f de forBard%

d (− I 2 I 1

)V 1=0

Canancia directa de corriente con la entrada en cortocircuito $o de output%

Figura 37.". REPRESENTACIÓN CIRCUITAL DE LOS PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS.

2os parámetros caracter&sticos, también pueden obtenerse realizando medidas reales sobre elcircuito, con se'ales alternas su/cientemente peque'as" El procedimiento es montar elcircuito, ecitándolo con las fuentes independientes y midiendo las variables dependientes, dela forma que se indica en las siguientes /guras $circuitos de de/nición y medición de losdiferentes parámetros%0

7.".1. PARÁMETROS EN CIRCUITO A#IERTO$ %&'.Eligiendo como variables independientes a 6 e 68, esto es, circuitos ecitados por fuentes decorriente independientes, los circuitos del cuadripolo podr&an epresarse de la siguiente forma0



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Figura "2a ecuación matricial caracter&stica de este parámetro, *igura 8, puede representarse medianteel teorema de Thevenin, con dos fuentes de tensión, denominado circuito ‘@’, de la siguienteforma0

Figura (V

1=Z

11 I

1+Z

12 I

2 """""""""""""" $%

V 2=Z

21 I

1+Z

22 I

2 """""""""""""""" $8%

En ecuación $8%, sumamos y restamos Z 12 I 1 $ vale decir0

V 2=Z

21 I

1+Z

22 I

2+( Z 12−Z 12 ) I 1

V 2=Z

12 I

1+Z

22 I

2+( Z 21−Z 12 ) I 1 """"""""""" $A%

2a ecuación $A%, nos permite representar el circuito de la /gura , por el siguiente circuitoequivalente, denominado equivalente ‘T’ con una sola fuente tensión dependiente, ver *igura

F0

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I 2=Y

12V

1+Y

22V

2+(Y 21−Y 12 )V 1 """"""""""""""""""" $F%

2a ecuación $F%, nos permite representar el circuito de la /gura H, por el siguiente circuito

equivalente, denominado equivalente ‘ π ’ con una sola fuente de corriente dependiente, ver

*igura I0

Figura ,7.".3. PARÁMETROS Í#RIDOS %'/

Eligiendo como variables dependientes la tensión de entrada, @, en el puerto de entrada y la

corriente, 68, en el puerto de salida, es decir, el puerto de entrada es ecitado por una fuente decorriente independiente y el puerto de salida es ecitado por una fuente de volta!eindependiente, los circuitos del cuadripolo para este parámetro, podr&an epresarse de lasiguiente forma0

Figura 102a ecuación matricial caracter&stica de este parámetro, *igura 8, puede representarse por lacombinación de los teoremas de Thevenin y 3orton, es decir, el puerto de entrada, por elteorema de thevenin y el puerto de salida, por el teorema de 3orton, con dos fuentes, una detensión y otra de corriente, se obtiene el modelo h&brido cuyo circuito equivalente es elsiguiente, ver *igura0

Figura 117.".". PARÁMETROS Í#RIDOS %g'/

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Eligiendo como variables dependientes la corriente de entrada, 6, en el puerto de entrada y latensión, @8, en el puerto de salida, es decir, el puerto de entrada es ecitado por una fuente detensión independiente y el puerto de salida es ecitado por una fuente de corrienteindependiente, los circuitos del cuadripolo para este parámetro, podr&an epresarse de lasiguiente forma, ver *igura 80

Figura 122a ecuación matricial caracter&stica de este parámetro, *igura 8, puede representarse por lacombinación de los teoremas de 3orton y Thevenin, es decir, el puerto de entrada, por elteorema de 3orton y el puerto de salida, por el teorema de Thevenin, con dos fuentes, una decorriente y otra de tensión, se obtiene el modelo h&brido cuyo circuito equivalente es elsiguiente, ver *igura A0

Figura 137.(. CLASIFICACIÓN DE CUADRIPOLOS.

2os cuadripolos pueden clasi/carse en dos grupos0

7.(.1. CUADRIPOLOS ACTIVOS/Son aquellos cuadripolos, que incluyen elementos tales que la potencia entregada a la carga puede ser mayor que la

excitación entregada a la entrada, es decir, poseen fuentes dependientes ( las fuentes independientes, supondrían

nuevas variables a tener en consideración ).

7.(.2. CUADRIPOLOS PASIVOS/Son aquellos cuadripolos, que incluyen elementos tales que la potencia entregada a la carga puede ser menor o igual

que la excitación entregada a la entrada. No incluyen generadores dependientes, sólo parámetros resistivos,capacitivos e inductivos.

7.). RECIPROCIDAD * SIMETRÍA EN CUADRIPOLOS.7.).1. CUADRIPOLO RECÍPROCO.

4n cuadripolo es rec&proco cuando, conectado a sus puertos un generador de tensión y unamper&metro ideales $con resistencias internas despreciables%, el intercambio de las posicionesdel generador y del amper&metro, no producen ninguna alteración en el valor de la corrienteque marca este Jltimo" 2a condición de reciprocidad puede ser de/nida también, de formaanáloga, haciendo referencia a un generador de corriente y un volt&metro ideales"

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En un cuadripolo rec&proco, los diferentes parámetros caracter&sticos $K, L, h, g y transmisión%,veri/can o cumplen ciertas relaciones, es decir0

Z 12=Z

21

Y 12

=Y 21 ........................... ()

h12=−h

21

g12=−g

21

AD−BC =1

En conclusión, su/ciente es encontrar tres parámetros en un cuadripolo rec&proco"

7.).2. CUADRIPOLO SIM!TRICO.En un cuadripolo simétrico, es indiferente conectar el generador y la carga en cualquiera desus puertos y los diferentes parámetros caracter&sticos $K, L, h, g y transmisión%, veri/can o

cumplen ciertas relaciones, es decir0

Z 11=Z

22

Y 11=Y

22 """"""""""""""""""""""""" $H%

h11

h22−h

12h21=1

g11

g22−g

12g21=1

a=d

!or consiguiente, en un cuadripolo sim"trico, es suficiente determinar dos parámetros.

Se puede concluir, que un cuadripolo recíproco, es sim"trico cuando el intercambio de las posiciones de sus puertos,entrada y salida, no producen ninguna alteración en las corrientes y tensiones de las mismas.

7.7. INSERCIÓN DE UN CUADRIPOLO EN UN CIRCUITO.El comportamiento de un cuadripolo en un circuito queda completamente caracterizado por unsistema de cuatro ecuaciones, a partir del cual es posible obtener cualquier función que sedesee" @er circuito *igura D0

Figura 1"#as ecuaciones adicionales a cualquier tipo de parámetros de cuadripolo son las siguientes$

V g=Z g I 1+V 1 ............ (%)

V 1=V g−Z g I 1 ...........(&')

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V 2=− I

2Z L ............ (&&)

!ara referirnos a la figura &, es abitual utili*ar determinadas figuras de m"rito del circuito completo, cuadripolo

insertado en un circuito. (+enerador, mpedancia de -ntrada, uadripolo y arga). !or e/emplo, si el cuadripolo estádefinido para los parámetros de mpedancia, 0, (podría estar definido para cualquier otro tipo de parámetro), podemos

puntuali*ar los siguientes parámetros el"ctricos involucrados$-scribiendo las anteriores ecuaciones de parámetro a circuito abierto$

V 1=Z 11 I 1+Z 12 I 2 """""""""""""" $%

V 2=Z 21 I 1+Z 22 I 2 """""""""""""""" $8%

1eempla*ando ecuación (&&) en (2)$

− I 2

Z L=Z 21 I 1+Z 22 I 2 """"""""""""""""""""" $8%

I 2=(

−Z 21

Z 22+Z L) I 1 .................. (&3)

-cuación (&3) en (&)$

V 1=Z

11 I

1+Z

12 I

2=¿ Z 11 I 1+Z 12(

−Z 21

Z 22+Z L) I 1

La I4a56ia 4 E5ra4a/

Z i=V

1

I 1=¿ Z 11−

Z 12

Z 21

Z 22+Z L ......................... (&)

-cuación (&') en (&)$

V g−Z g I 1=Z 11 I 1+Z 12 I 2

I 1=V

g− I

2

Z 12

Z 11+Z g .................................... (&4)

1eempla*ando ecuación (&4) en (&2)$

− I 2

Z L=Z 21V g− I 2 Z 12

Z 11+Z g+Z

22 I

2

V g Z 21Z 11+Z g

− I

2Z

21Z

12

Z 11+Z g +Z

22 I

2 + I 2Z L=0

Z 21Z 12

Z 11+Z gV g Z 21

Z 11+Z g

=¿ +

Z 22

+Z L¿ I 2

La C8rri5 4 Sa9i4a/



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I 2=

V g Z 21Z 12Z 21−(Z 22+Z L)(Z 11+Z g) """"""""""""""""""""""""" $F%

5e ecuación (&2)$

− I 2

Z L=Z 21 I 1+Z 22 I 2

Z (¿¿22+Z L) I 2

0=Z 21

I 1+Z

22 I

2+ I

2Z L=Z 21 I 1+¿

La a5a56ia 4 C8rri5/Z ¿¿¿

I 2

I 1=−Z

21

¿

"""""""""""""""""""""""""""""""" $G%

+e ecuación $8%0− I

2Z L=Z 21 I 1+Z 22 I 2

0=Z 21

I 1+Z

22 I

2+ I

2Z L=Z 21 I 1+( Z 22+Z L) I 2

I 2= −Z

21

Z 22+Z L I

1 """"""""""""""""""""" $H%

5eemplazando ecuación $H% en ecuación $%0

V 1=Z

11 I

1+Z

12( −Z 21

Z 22+Z L I

1)

V 1=Z

11 I

1−

Z 12

Z 21

Z 22+Z L I

1→ {( Z 22+Z L ) Z 11−Z 12 Z 21} I 1=(Z 22+Z L)V 1

I 1=

(Z 22+Z L)V 1( Z 22+Z L ) Z 11−Z 12 Z 21 ...................... (&%)

Ecuación $I% en $H%0 I

2= −Z 21Z

22+Z L

(Z 22+Z L)V 1( Z 22+Z L ) Z 11−Z 12 Z 21

I 2=

−Z 21

V 1

( Z 22+Z L )Z 11−Z 12 Z 21 """"""""""""""""""""""" $8M%



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5eemplazando ecuaciones $I% y $8M%, en ecuación $8%0

V 2=

(Z 22+Z L)Z 21V 1(Z 22+Z L) Z 11−Z 12 Z 21

− Z 22Z 21V 1

( Z 22+Z L )Z 11−Z 12 Z 21

V 2=

(Z 22 Z 21V 1+Z 21 V 1 Z L)−Z 22 Z 21V 1(Z 22+Z L) Z 11−Z 12 Z 21

V 2=

Z 21

V 1

Z L

(Z 22+Z L) Z 11−Z 12 Z 21

La a5a56ia 4 T5:i;5/V

2

V 1=

Z 21

Z L

( Z 22+Z L) Z 11−Z 12Z 21 """"""""""""""""""""" $8%

#ara la tensión de Thévenin en el puerto de salida, analizamos ecuaciones $8% y $8%, haciendo68 ; M0

V 1=Z 11 I 1+Z 12 I 2 """""""""""""""""" $%

V 2=Z 21 I 1+Z 22 I 2 """""""""""""""" $8%

5eemplazando ecuación $M% en ecuación $%0V

1=Z

11 I

1+Z

12∗0 < V g−Z g I 1→ Z 11 I 1−¿ V g+Z g I 1=0

I 1= V gZ 11+Z g """""""""""""""""" $88%

5eemplazando ecuación $88% en ecuación $8%, previamente haciendo I 2 < 0/

V 2=Z

21 I

1+Z

22∗0=Z

21 I

1=¿ Z 21

V gZ 11+Z g

2a Tensión de Thevenin0

V 2=V th=

Z 21

V g

Z 11+Z g =V>""""""""""""""""""""""""""""" $8A%

2a 1orriente de 3orton, para V 2=0, según ecuación (2 ) y (1) 0

V 2=Z

21 I

1+Z

22 I

2=0

I 1=−Z

22

Z 21 I

2



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V 1=Z

11 I

1+Z

12 I

2=¿

−Z 11

Z 22

Z 21 I

2+Z

12 I

2=¿ V g+Z g

Z 22

Z 21 I

2

−Z 11Z 22 I 2+Z 12 Z 21 I 2=Z 21V g+Z g Z 22 I 2

Z 12 Z 21−Z ¿

(¿11Z ¿¿ 22) I 2+ I 2=Z 21V g+Z g Z 22 I 2¿¿

Z 12

Z 21−Z

¿(¿11Z ¿¿22−Z g Z 22) I 2=Z 21V g

¿¿

I 2=

−Z 21V gZ 12Z 21−Z 11Z 22−Z g Z 22

2a corriente en el puerto de salida, tomando en cuenta que I N =− I 2

I N = Z

21V g

Z 11Z 22−Z 12 Z 21+Z g Z 22 """"""""""""""""""""""""""" $8D%

2a impedancia de Thévenin0

Z th=V th I N

=

Z 21

V gZ 11+Z gZ

21V g

Z 11Z 22−Z 12Z 21+Z g Z 22

Z th=V th

I N =

Z 11

Z 22−Z

12Z

21+Z g Z 22

Z 11+Z g """"""""""""""""""" $8%

7.8. CONEXIÓN DE CUADRIPOLOS.uando dos cuadripolos se conectan entre sí, los parámetros del circuito combinado se obtienen al sumar directamente

los parámetros de dos puertos de los circuitos originales (0i /, 6i/, i/, gi/ y 7ransmisión), siempre que la variable

independiente sea com8n a los dos puertos y que la interconexión no cambie los con/untos de parámetros. -n otras

palabras, la adición directa de los parámetros correspondientes se permite, si la corriente que entra a un terminal por un puerto tiene el mismo valor que la corriente que sale del terminal del mismo puerto.

9amos a reali*ar este proceso, en las cinco posibilidades que tenemos, es decir, parámetros 0 i/, 6i/, i/, gi/ y 7ransmisión,

ver tabla figura &4$



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#as ecuaciones de cada cuadripolo$

V 1a=Z 11a I 1a+Z 12a I 2a """"""""""""""""" $D%

V 2a=Z 21a I 1a+Z 22a I 2a """"""""""""""" $%

V 1b=Z 11b I 1b+Z 12b I 2b """"""""""""""""" $F%

V 2b=Z 21b I 1b+Z 22b I 2b """"""""""""""" $G%

1eempla*ando ecuaciones (&) y (&;) en ecuación (&2)$

V 1=V 1a+V 1b

V 1=Z 11a I 1a+Z 12a I 2a+Z 11b I 1b+Z 12b I 2b """"""""""""""""""" $H%

5el circuito serie de la :igura &;, para la corriente, podemos escribir$ I

1a= I 1b=¿ I 1 ............ (&%)

I 2a= I 2b= I 2 ............. (2')

1eempla*ando ecuaciones (&%) y (2') en ecuación (&


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Z 11=Z

11a+Z 11b

Z 12=Z

12a+Z 12b

Z 21=Z

21a+Z 21b

Z 22=Z

22a+Z 22b

#a impedancia generali*ada, la podemos escribir del siguiente modo$

[ Z e ]=[ Z a ]+ [ Z b ] (=)

7.8.2. CONEXIÓN PARALELO.

Figura 17

5el circuito paralelo de la :igura &, podemos escribir$

I 1= I

1a+ I 1b ................. (2)

I 2= I 2a+ I 2b ................. (24)

V 1a=V 1b=¿ V 1 ............. (2;)

V 2a=V 2b=V 2 ............. (2)

#a ecuación matricial de cada cuadripolo de la :igura &$

[

I 1a

¿ I 2a] ;

¿Y

11aY 12a¿Y 21aY 22a

¿¿

[

V 1a

¿V 2a] """"""""""""""""" $8H%

G FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


18/55


[ I 1b¿ I 2b

] ;¿

Y 11bY 12b

¿Y 21b Y 22b¿¿

[ V 1b¿V 2b

] """""""""""""""""" $8I%

#a ecuación matricial generali*ada de los !arámetros a cortocircuito >6?$

[ I 1¿ I 2] ;

¿Y 11Y 12¿Y 21Y 22

¿¿

[ V 1¿V 2] """""""""""""""""""""""" $AM%

5eemplazando ecuaciones $8D%, $8% y ecuaciones $8H% y $8I% en ecuación generalizada $AM%0

¿Y 11a Y 12a¿Y 21a Y 22a

¿

[ I 1¿ I 2]=[ I

1a

¿ I 2a]+[ I

1b

¿ I 2b]=¿

¿Y 11bY 12b¿Y 21b Y 22 b

¿

[ V 1a¿V 2a]+¿ [ V 1b¿V 2b] """""""""""""""" $A%

5eemplazando ecuaciones $8F% y $8G% en ecuación $A%0¿

Y 11aY 12a

¿Y 21a Y 22a¿

[ I 1

¿ I 2]=[ I 1a

¿ I 2a]+[ I 1b

¿ I 2b]=¿

¿Y

11bY 12b¿Y 21b Y 22 b

¿

[ V 1

¿V 2]+¿ [ V 1¿V

2]

¿¿

Y 11aY 12a

¿Y 21aY 22a¿

+[ Y

11b Y 12b¿Y

21bY 22b¿

]¿

[ I 1¿ I 2]=¿

[ V 1¿V 2]

[ I 1¿ I 2] =

(Y 11a+Y 11b )(Y 12a+Y 12b)Y

[(¿¿21a+Y 21b)(Y 22a+Y 22b)¿ ¿ ] [ V 1¿V

2] ................... (32)

gualando ecuación (32) con la ecuación generali*ada de parámetros >6?, ecuación (3')$

H FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


19/55


¿(Y 11a+Y 11b ) (Y 12a+Y 12b)

Y Y

11Y

12

¿Y 21

Y 22

¿

=

[(¿¿21a+Y 21b)(Y 22a+Y 22b)

¿¿ ]¿!or lo que podemos escribir$

Y 11=Y

11a+Y 11b

Y 12=Y

12a+Y 12b

Y 21=Y

21a+Y 21b

Y 22=Y

22a+Y 22b

#a admitancia generali*ada, la podemos escribir del siguiente modo$

[ Y e ]=[ Y a ]+[ Y b ] (@)7.8.3. CONEXIÓN SERIE PARALELO.

Figura 185el circuito serie A paralelo de la :igura &


20/55


V 1a=h11a I 1a+h12a V 2a """"""""""""""""$AI%

I 2a=h21a I 1a+h22 aV 2a ................ (')

V 1b=h11b I 1b+h12b V 2b """"""""""""""""$D%

I 2b=h21b I 1b+h22 bV 2b ................ (2)

1eempla*ando ecuaciones (3%) y (&), en ecuación (33)$

V 1=V

1a+V 1b=h11a I 1a+h12a V 2a+h11b I 1b+h12b V 2b ............... (3)

1eempla*ando ecuaciones (3) y (3;), en ecuación (3), luego$

h11b

h

¿h11a+¿ I 1+(¿12a+h12b¿)V 2

V 1=V

1a+V 1b=¿

h11b

h¿

h11a+¿ I 1+(¿12a+h12b¿)V 2

V 1=¿

................................. ()

1eempla*ando ecuaciones (') y (2), en ecuación (34)$

I 2= I

2a+ I 2b = h21a I 1a+h22aV 2a C h21b I 1b+h22b V 2b .............. (4)

1eempla*ando ecuaciones (3) y (3;), en ecuación (4), luego$

I 2= I

2a+ I 2b =

hh22a

(¿¿21a+h21b) I 1+¿¿

Ch22b ¿ V 2

I 2=¿

h

h22a

(¿¿21a+h21b) I 1+¿¿

C h22 b¿ V 2 ........................ (;)

omparando ecuaciones () con (3) y (;) con (3


21/55


h12=h

12a+h12b

h21=h

21a+h21b

h22=h

22a+h22b

#a ecuación matricial generali*ada de parámetros íbridos >?, la podemos escribir del siguiente modo$

[ he ]=[ ha ]+ [ hb ] ()

7.8.!. CONEXIÓN PARALELO SERIE.

Figura 1,5el circuito paralelo A serie de la :igura &%, podemos escribir$

V 1a=V 1b=V 1 ............... $DG%

I 1= I

1a+ I 1b ..... .............. $DH%

I 2a= I 2b= I 2

.................. $DI%

V 2=V

2a+V 2b .................. $M%

I 1=g

11V

1+g

12 I

2 """""""""$%

V 2=g

21V

1+g

22 I

2 """"""""$8%

#a ecuación matricial generali*ada de los !arámetros Díbridos >g?$

[ I

1

¿V 2] ;

¿g

11g

12

¿g21 g22¿¿

[ V

1

¿ I 2] """""""""""" $A%

#a ecuación matricial de cada cuadripolo de la :igura &%$



22/55


[ I 1a¿V 2a

] ;¿

g11a g12a

¿g21a g22a¿¿

[ V 1a¿ I 2a

] """""""""""" $D%

[ I 1b¿V 2b] ;¿

g11b g12b

¿g21b g22b¿¿

[ V 1b¿ I 2b

] """""""""""" $%Ecuación matricial $DH%, $M%, $D% y $% en ecuación matricial $A%0

[ I 1¿V 2]=[ I 1a¿V

2a]+[ I 1b¿V

2b] ;

¿g

11a g12a¿g21a g22a

¿¿

¿g11b g12b¿g21b g22 b

¿

[ V 1a¿ I

2a]+¿ [ V 1b¿ I

2b] """"""""" $F%

Ecuación matricial $DG% y $DI%, en ecuación matricial $F%0¿

g11a g12a¿g21a g22a

¿

[ I 1¿V 2]=¿

¿g

11b g12b¿g21b g22b

¿

[ V 1¿ I 2]+¿

[ V 1¿ I 2]

¿¿

g11a g12a

¿g21a g22a¿

+[ g

11b g12b¿ g

21b g22b¿ }

¿

[ I 1¿V 2]=¿

[ V 1¿ I 2]

¿g11a+g11b g12a+g12b

¿g21a+g21b g22a+g22b¿

[ I 1¿V 2]=¿

[ V 1¿ I 2] """"""""""" $G%

6gualando ecuaciones matriciales $A% y $G%, podemos concluir, que los parámetrosequivalentes son0



23/55


g11=g

11a+g11b

g12=g

12a+g12b

g21=g21a+g21b

g22=g

22a+g22b

#a ecuación matricial generali*ada de parámetros íbridos >g?, la podemos escribir del siguiente modo$

[ ge ]=[ ga ]+ [ gb ] (5)

7.8.5. CONEXIÓN CASCADA.

Figura 2"

5el circuito en cascada de la :igura 2', podemos escribir$

V 1b=V 1 ................... $H%

I 1= I 1b ..... .............. $I%

I 1a=− I 2b ................. $FM%

V 1a=V 2b ................... $F%

I 2= I

2a ..... .............. $F8%

V 2a=V 2 ........................ (;3)

#a ecuación generali*ada de parámetros de transmisión directos$

V 1= A V 2−B I 2 """""""""$FD%

I 1=C V 2− D I 2 """"""""""$F%

#a ecuación generali*ada de parámetros de transmisión directos de cada cuadripolo de la figura 2' es la siguiente$

V 1a= AaV 2a−Ba I 2a """""""""$FF%

8A FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


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I 1a=C a V 2a− Da I 2a """"""""""$FG%

V 1b= Ab V 2b−Bb I 2b """""""""$FH%

I 1b=C b V 2b− Db I 2b """"""""""$FI%

5e ecuaciones (4


25/55


D=−(C b Ba+ Db D a)

En forma general la equivalencia de parámetros de transmisión directos será0[ ABCD ]e= [ ABCD]a x [ ABCD ]b $E%

7.+.). TEST DE %#RUNE %.2a prueba ‘(rune ‘se realizará para cada coneión con criterios caracter&sticos a la coneión decuadripolos, a saber0

7.+.).1. CONE?IÓN SERIE.

Figura 21El Test de (rune, consiste en superar dos pruebas01ra. PRUE#A.+e!ar abierto el puerto 8 y al puerto interconectar en serie una fuente de corriente, tal cualse indica en la *igura 8 $a%, ahora, si la tensión entre : y ( es cero $@;M%, entonces hasuperado la primera prueba"

2ra. PRUE#A.+e!ar abierto el puerto y al puerto 8 interconectar en serie una fuente de corriente, tal cualse indica en la *igura 8 $b%, ahora, si la tensión entre :’ y (’ es cero $@;M%, entonces se hasuperado la segunda prueba"-i superan ambas pruebas, entonces se puede asegurar que 6c, es cero"

7.+.).2. CONE?IÓN PARALELO.

Figura 22El Test de (rune, consiste en superar dos pruebas01ra. PRUE#A.1ortocircuitar el puerto 8, en forma independiente, ver *igura 88 $a%, y al puerto interconectar en paralelo una fuente de tensión, tal cual se indica en la *igura 88 $a%, ahora, sila tensión @8 ; M, entonces se ha superado la primera prueba"

2ra. PRUE#A.



26/55


27/55


7.,. RELACIÓN ENTRE PARÁMETROS.

2os seis tipos de parámetros $6mpedancia, :dmitancia,


28/55


¿h11V 1¿h21 I 2¿¿¿

h11h12¿h

21h22

¿¿¿¿

V 2=¿

V 2=

h11

I 2

h−

h21

V 1

h

h11 I 2h =V

2+h21h V

1=V 2+h21h (

hh22 I

1+h12h22 I

2)

0=V 2+

h21

h ( h

h22

I 1+

h12

h22

I 2)−¿ h11h I 2

−V 2=( h21h

22

I 1+

h12

h21

h h22 I

2)−¿ h11h I 2

−V 2=h21

h22 I

1+ h12h21

h h22 I

2−¿

h11

h I

2

−V 2=

h21

h22

I 1+( h12 h21−h11h22h h22 ) I 2

−V 2=

h21

h22

I 1+( −hh h22) I 2

V 2=−h21

h22 I

1+ 1

h22 I

2

"""""""""""""""""""""""" $GI%

2a ecuación generalizada de los parámetros ‘K’0V 1=Z 11 I 1+Z 12 I 2 """""""""""""""""" $%

V 2=Z 21 I 1+Z 22 I 2 """""""""""""""" $8%

6gualando ecuaciones $GH% con $% y $GI% con $8% concluimos que los parámetros ‘K’ en funciónde ‘h’ son0

8H FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


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Z 11=

hh22

Z 12=

h12

h22 Z

21=−h

21

h22Z

22=

1

h22

7.,.2. RELACIÓN ENTRE PARÁMETROS %*' EN FUNCIÓN DE % &'.2a ecuación generalizada de parámetros ‘K’0V 1=Z 11 I 1+Z 12 I 2 """""""""""""""""" $%

V 2=Z 21 I 1+Z 22 I 2 """""""""""""""" $8%

+e ecuaciones $% y $8%, despe!amos I 1 e I 2 /

¿V

1Z

12

¿V 2 Z 22

¿¿¿

Z 11Z 12¿Z

21Z

22

¿¿¿¿

I 1=¿

I 1=

Z 22h

V 1−

Z 12h

V 2 """""""""""""""""""""""""" $HM%

¿Z

11V

1

¿ Z 21V 2¿¿¿

Z 11Z 12¿Z

21Z

22

¿¿¿¿

I 2=¿

I 2=

Z 11

hV

2−

Z 21

hV

1

8I FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


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I 2=−Z

21

hV

1+

Z 11

hV

2 """""""""""""""""""""""""" $H%

2a ecuación generalizada de los parámetros ‘L’0

I 1=Y 11V 1+Y 12 V 2 """"""""""""""" $D% I 2=Y 21V 1+Y 22V 2 """"""""""""""" $%

6gualando ecuaciones $HM% con $D% y $H% con $%, concluimos que los parámetros ‘L’ en funciónde ‘K’ son0

Y 11=

Z 22

h Y

12=−Z

12

h Y

21=−Z

21

h Y

22=

Z 11

h

7.,.3. RELACIÓN ENTRE PARÁMETROS %g' EN FUNCIÓN DE %*'.2a ecuación generalizada de parámetros ‘L’0

I 1=Y

11V

1+Y

12V

2 """"""""""""""" $D%

I 2=Y 21V 1+Y 22V 2 """"""""""""""" $%

+e ecuaciones $D% y $%, despe!amos V 1 y V 2 /

¿ I 1Y 12¿ I 2 Y 22

¿¿¿

Y 11Y 12¿Y

21Y

22

¿¿¿¿

V 1=¿

V 1=

Y 22

I 1

Y −

Y 12

I 2

Y

Y 22

I 1

Y =V

1+

Y 12

I 2

Y

AM FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


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I 1=

Y Y 22

V 1+

Y 12

Y 22 I

2 """"""""""""""""""""""""""""" $H8%

¿

Y 11 I 1¿Y 21 I 2

¿¿¿

Y 11

Y 12

¿Y 21

Y 22

¿¿¿¿

V 2=¿

V 2=Y 11 I 2

Y −Y 21 I 1

Y

V 2=

Y 11

Y I

2−

Y 21

Y I

1 """"""""""""""""""" $HA%

5eemplazando ecuación $H8% en $HA%0

V 2=Y

11

Y I 2−

Y 21

Y ( Y Y 22

V 1+Y

12

Y 22 I 2)

V 2=Y 11

Y I

2−Y 21

Y 22V

1−Y 21Y 12

hY 22 I

2

V 2=

Y 22

Y 11−Y

21Y

12

Y Y 22 I

2−

Y 21

Y 22V

1

V 2=−Y

21

Y 22V

1+ 1

Y 22 I

2 """"""""""""""""""""""""""""""""" $HD%

2a ecuación generalizada de parámetros ‘L’0

I 1=g11V 1+g12 I 2 """"""""""""""""" $H%V

2=g

21V

1+g

22 I

2 """""""""""""""""" $HF%

6gualando ecuaciones $H8% con $HD% y $HD% con $HF%, concluimos que los parámetros ‘g’ enfunción de ‘L’ son0



32/55


g11=

yY 22

g12=

Y 12

Y 22 g21=−Y

21

Y 22g22=

1

Y 22

7.,.". RELACIÓN ENTRE PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN DIRECTA EN FUNCIÓN DE % '.

2a ecuación generalizada de los parámetros


33/55


I 1=h

22

hV 1−

h12

h I 2 """"""""""""""""""""" $HH%

5eemplazando ecuación $HG% en $HH%0

I 1=h

22

h(−hh21

V 2+h11

h21 I 2)−

h12

h I 2

I 1=−h

22

h21V

2+

h22

h11

h h21 I

2−

h12

h I

2

I 1=−h

22

h21V

2+

h22

h11−h

12h21

hh21 I

2

I 1=−h22

h21V

2+ 1

h21 I

2 """"""""""""""""""""""""" $HI%

6gualando ecuaciones $HH% con $FD% y $HI% con $F%, concluimos que los parámetros detransmisión directos ’:(1+’ en función de ‘h’ son0

V 1= A V

2−B I

2 """""""""$FD%

I 1=C V

2− D I

2 """"""""""$F%

A=−hh21 B=

−h11

h21 C =−h

22

h21 D=−1

h21

2a Tabla de conversión de parámetros de dos puertos, se muestra en la *igura 8

& & * * g A# CD A'#' C'D'

& Z 11

Z 12

Y 22

Y

−Y 1

Y

h

h22

h12

h22

1

g11

−g12

g11

A

C

!

C

dc

1

c

& Z 21

Z 22

−Y 2

Y

Y 11

Y

−h21

h22

1

h22

g21

g11

g

g11

1

C

D

C

! "

c

a

c

* Z 22

Z

Z 12

Z

Y 11

Y 12

1

h11

−h12

h11

gg22

g12

g22

D

B

−

B

ab

−1b

* Z 12Z

Z 11Z

Y 21 Y 22 h21h11

hh11

−g21g22

1

g22

−1B

A

B

−! b

db

AA FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


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Z Z 22

Z 12

Z 22

1

Y 11

−Y 1

Y 11

h11

h12

g22

g

−g12

g

B

D

!

D

ba

1

a

−Z 2

Z 22

1

Z 22

−Y 2

Y 11

Y Y 11

h21

h22

−g21

g

g11

g

−1 D

C

D

! " a

c

a

g 1Z

11

−Z 1

Z 11

Y Y 22

Y 12

Y 22

h22

h

−h12

h

g11

g12

C

A

−

A

cd

−1d

g Z 21

Z 11

Z Z 11

−Y 2

Y 21

1

Y 22

−h21

h

h11

h

g21

g22

1

A

B

A

! " d

bd

A#CD Z 11

Z 21

Z

Z 21

−Y 2Y 21

−1Y

21

h

h21

−h11h21

1

g21

g22g21

: ( d! "

b! "

A#CD 1Z

21

Z 22

Z 21

−

Y 21

−Y 1

Y 21

−h22

h21

−1h21

g11

g21

g

g21

1 + c! "

a! "

A'#'C'D'

Z 22

Z 12

Z Z 12

−Y 1

Y 12

−1Y

12

1

h12

h11h12

−gg12

−g22

g12

D

!

B

!

:’ (’

A'#'C'D'

1

Z 12

Z 11

Z 12

−

Y 12

−Y 2

Y 12

h22

h12

hh12

−g11

g12

−1g12

C

!

A

!

1’ +’

Figura 2(

EBEMPLO 1.

En la red de celos&a simétrica de la *igura E7, determinar los parámetros de Transmisióndirectos"

Figura E-1.1

2a ecuación caracter&stica de los parámetros de Transmisión directos0

V 1= A V

2−B I

2 """""""""$FD%

I 1=C V

2− D I

2 """"""""""$F%

AD FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


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36/55


V C =−V

1

2=− $ 2 I

1

2

V C =− $ I 1 """""""""""""""""""""""$"A%

V L=( $6 ) V

1

( $ 6− $2 )

V L=3V

1

2=

$2∗3 I 1

2

V L= $3 I 1 """""""""""""""""""""""$"D%

+e la malla ‘i’, ‘a7c7d’, de la *igura se puede escribir0

Figura E-1.3

− $ I 1+V 2= $3 I 1

V 2= $3 I

1+ $ I

1

V 2= $4 I

1 """"""""""""""""""""""" $"%

En el 1ircuito de la *igura E7"A, podemos concluir, que al ser las dos ramas en paralelo, iguales

, entonces la corriente circulante por cada rama es1

2 I 1 , luego, en base a la malla ‘i’,

podemos escribir0

(− $2 ) I

1

2+V

2=( $6)

I 1

2

AF FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA E INGENIERÍA ELECTRÓNICA


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V 2= $3 I

1+ $ I

1

V 2= $4 I

1 """"""""""""""""""""""" $"F%

+ividiendo, ecuaciones $"8% y $"% o $"F%, obtenemos el parámetro ‘:’0

A=( V 1V 2) I 2=0

= $ 2 I 1 $ 4 I

1

A=1

2 """"""""""""""""""""""""""""""" $"G%

En el circuito de la /gura E78 $b%, podemos encontrar la relación de :dmitancia de transferencia

directa, 1, con sólo reemplazar $"D% o $"% en $"%0

C =( I 1V 2)

I 2=0

= I

1

$ 4 I 1

<1

$ 4 $-%NNNNNN" $"H%

2os parámetros a corto circuito del puerto secundario son0

−B=( V 1 I 2)

V 2=0

− D=( I 1 I 2)

V 2=0

""""""""""""""""" $"I%

Figura E-1."

2a corriente 68, *igura E7"D, se puede encontrar aplicando divisor de corriente, del siguientemodo0

#or +ivisor de 1orriente, la corriente, primero, en el condensador y segundo, en la bobina,obtendremos0

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I C =( $ 6 ) I

1

( $6− $ 2 )

I C =

3 I 1

2 """""""""""""""""""""""$"M%

I L=(− $2 ) I

1

( $ 6− $2 )

I L=− I

1

2 """""""""""""""""""""""$"%

Escribiendo la ecuación de corrientes en el nodo ‘c’, tendremos0

I L+ I 2= I C

I 2=

3 I 12

& (− I 12

)

I 2=3 I

1

2+

I 1

2=2 I

1 """"""""""""""""""" $"8%

+e ecuaciones $"I% y $"8%, la Canancia de 1orriente, parámetro ‘+’, será0

− D=( I 1 I 2)

V 2=0

= I

1

2 I 1

=1

2

D=−12 """"""""""""""""""" $"A%

El parámetro de impedancia de transferencia inversa, se determinará, sólo con aplicarecuaciones $"8 %, $"I% y $"8%0

−B=( V 1 I 2 )V 2=0= $ 2 I

1

2 I 1= $

B=− $ $O%""""""""""""""" $"D%

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EBEMPLO 2.

En el 1uadripolo de la *igura E78", +eterminar0

a" 2a función de transferenciaV 2V g , en función de los parámetros de :dmitancia,

Z g y Z L "

b" El valor de Z L , necesario para obtener la máima transferencia de potencia en

función de los parámetros de transmisión y Z g "

c" 2a ganancia de 1orriente I 2 I 1 en función de los parámetros h&bridos ‘h’ y

Z L "

->2416?3"

a"

Figura E-2.1

2a ecuación generalizada de los parámetros de cortocircuito, ‘L’ y las ecuaciones de cuadripoloinsertado en un circuito0

I 1=Y

11V

1+Y

12V

2 """"""""""""""" $D%

I 2=Y

21V

1+Y

22V

2 """"""""""""""" $%

V 1=

I 2−Y 22V 2Y 21 """""""""""""""""""""" $8"%

V g=Z g I 1+V 1 ............ (%)

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V 2=− I

2Z L """""""""""" $%

5eemplazando en ecuación $I%, ecuaciones $D%, $8"8% y $8"%, luego0

V g=Z g(Y 11V 1+Y 12 V 2)+ I 2−Y 22V 2

Y 21

V g=Z gY 11( I 2−Y 22V 2

Y 21)+Z g Y 12V 2+

I 2−Y 22V 2Y 21

V g=Z g Y 11 I 2−Z g Y 22Y 11V 2+Z g Y 12Y 21V 2+ I 2−Y 22V 2

Y 21

V g=Z g Y 11 I 2−Z g Y 22Y 11V 2+Z g Y 12Y 21V 2+ I 2−Y 22V 2

Y 21

V g=( Z gY 11+1Y 21

) I 2+( Z g Y 12Y 21−Z gY 22 Y 11−Y 22Y 21

)V 2

V g=( Z gY 11+1Y 21

)(−V 2Z L )+(Z g Y 12Y 21−Z g Y 22Y 11−Y 22

Y 21

)V 2

V g=( Z g Z L Y 12 Y 21−Z g Z L Y 11Y 22−Y 22 Z L−Z g Y 11−1Z L Y 21 )V 2

V g=( Z g Z L Y 12 Y 21−[Y 22 Z L ( Z g Y 11+1 ) ( Z gY 11+1 ) ]Z L Y 21 )V 2

V g=( Z g Z L Y 12 Y 21−[ ( Z gY

11+1) (Z L Y 22+1) ]Z L Y 21 )V 2

2a *unción de TransferenciaV 2V g , será0

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V 2

V g=

Z L Y 21

Z g Z L Y 12Y 21−[ ( Z g Y 11+1 ) ( Z L Y 22+1 ) ] """""""""""""""""""""""" $8"A%

b" 2os parámetros de Transmisión serán0

V 1= A V 2−B I 2 """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""$FD%

I 1=C V

2− D I

2 """""""""""""""""""""""""""""$F%

#ara encontrar la máima transferencia de potencia de la impedancia Z L $ debemos

encontrar Z th /

Z th=

V th I N """""""""""""""""""" $8"D%

2a tensión de Thévenin en terminales del puerto 8, para 68 ;M, segJn ecuaciones $FD%,$F% y $I%, será0

V 1= A V

2 < V g−Z g I 1 """""""""""""" $8"%

I 1=C V 2 """""""""""""""""""" $8"F%

5eemplazando Ecuación $8"F% en ecuación $8"%0

A V 2 < V g−Z g I 1=V g−Z gC V 2

V g=( A+Z g C ) V 2

V 2= V g

A+Z g C

V 2=V t h=¿

V g A+Z g C """""""""""""""" $8"G%

2a corriente de 3orton en terminales del puerto 8, para @8 ;M, segJn ecuaciones $FD%,$F% y $I%, será0

V 1=−B I

2 < V g−Z g I 1 """"""""""""""""" $8"H%



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I 1=− D I

2 """""""""""""""""""" $8"I%

5eemplazando ecuación $8"I% en ecuación $8"H%0

−B I 2 < V g−Z g I 1 ; V g−Z g $ − D I 2¿

I 2=

−V gB+Z g D

=− I N

I N <V g

B+Z g D """"""""""""""" $8"M%

2a 6mpedancia de Thévenin estará dad por la ecuación $8"D%, en ella reemplazamos

ecuaciones $8"G% y $8"M%, luego0

Z th=V th

I N =

V g

A+Z gC V g

B+Z g D

=B+Z g D A+Z g C

Z th=B+Z g D

A+Z g C => """"""""""""""""" $8"%

c" 2a ecuación generalizada de parámetros a cortocircuito, denominados,


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#a ganancia de corrientes

I 2

I 1 , será$

I 2

I 1=

h211+h22 Z L """"""""""""""""""""""""""""""" $8"8%

I 2=

h211+h22Z L

I 1 """""""""""""""""""""""""" $8"A%

2a ganancia también la podemos determinar del siguiente modo, reemplazando ecuación $M%y $%, en ecuación $AG%0

V 1=h

11 I

1−h

12 I

2Z L=¿ V g−Z g I 1

h11

I 1+Z g I 1−h12 I 2 Z L=¿ V g

h(¿¿11+Z g) I 1−h12 Z L I 2=¿

¿

V g """""""""""""""" $8"D%

5eemplazando ecuación $8"A%, en ecuación $8"D%0

h

(¿¿11+Z g) I 1−h12 Z L( h21

1+h22

Z L)

¿

I 1=¿ V g

h

(¿¿11+Z g)(1+h22 Z L)−h12h21Z L¿

I

1

h(¿¿11+Z g)(1+h22 Z L)−h12h21Z L

I 1=(1+h22 Z L)V g¿

""""""""""""""""""" $8"%

5eemplazando ecuación $8"% en $8"A%0

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I 2=

h21

1+h22Z L

h(¿¿11+Z g)(1+h22 Z L)−h12h21Z L

(1+h22

Z L)V g¿¿

I 2=¿

h(¿¿11+Z g)(1+h22 Z L)−h12h21Z L

h21V g¿¿

""""""""""""""""" $8"F%

2a ganancia de corriente será0

h

(¿¿11+Z g)(1+h22 Z L)−h12h21Z Lh21

V g¿¿h

(1+h22

Z L)V g(¿¿11+Z g)(1+h22 Z L)−h12h21Z L

¿ I

2

I 1

=¿

h

(¿¿11+Z g)(1+h22 Z L)−h12h21Z L¿¿h

(¿¿11+Z g)(1+h22 Z L)−h12h21Z L¿¿

(1+h22Z L) V g ¿h21

V g¿ I

2

I 1=¿

I 2

I 1=

h21

1+h22 Z L """"""""""""""""""""" $8"G%

EBEMPLO 3.

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+os cuadripolos iguales se asocian en paralelo y se cierran a la entrada con un generador de

8M @ e impedancia interna Z g=1− $(%) , a la salida con una carga de impedancia

Z L=1− $(%) " -e supone que la corriente de circulación entre los cuadripolos es nula" -i la

matr&z de parámetros de transmisión directa de cada cuadripolo es0

! =¿

¿¿5221¿¿

1alcule0

a% 2os parámetros de transmisión del cuadripolo equivalente"

b% 2a potencia recibida por

Z L"

Figura E-3.1

a" 2os cuadripolos ‘a’ y ‘b’, son iguales, vale decir que0

A a= Ab=5

B a=Bb=2

C a=C b=2

Da= D b=1

El próimo paso es transformar estos parámetros, de ambos cuadripolos, en parámetros decortocircuito, ‘L’ y aplicar las propiedades de interconeión de cuadripolos, para encontrar los



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47/55


Y 22 e#a−b=Y 22a+Y 22b=5

2+5

2=5

2a matr&z de parámetros en cortocircuito, admitancias ‘L’, son

Y e#=¿

¿¿1−1−15¿¿

""""""""""""""""" $A"%

Transformando la ecuación matricial de parámetros de cortocircuito, ‘L’, a parámetros detransmisión directos $A"%, con ayuda de la tabla de conversión de #arámetros de la /gura 80

A=−Y

22

Y 21 . B ¿−

1

Y 21 . C¿−

Y

Y 21

. D ¿−Y

11

Y 21

A = 5 ; B = 1 (Ω) ; C = 4 (S) ; D = 1

ABCDe#=¿

¿¿5141¿¿

."""""""""""""""" $A"8%

. 2a potencia recibida por Z L 0

2a ecuación caracter&stica de los parámetros de transmisión directos e insertados en uncircuito son0

V 1= A V

2−B I

2 """"""""""""""""""""""""""""""$FD%

I 1=C V

2− D I

2 """"""""""""""""""""""""""""""""$F%

V 1=V g−Z g I 1 """""""""""""""""""$M%

V 2=− I 2 Z L """"""""""""""""""""" $%

5eemplazando en ecuación $FD%, ecuaciones $F%, $M% y $%0

V g−Z g I 1= A V 2−B I 2

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V g−Z g(C V 2− D I 2)= A V 2−B I 2

V g−Z gC V 2+Z g D I 2= A V 2−B I 2

V g−Z gC (− I 2 Z L )+Z g D I 2= A (− I 2 Z L)−B I 2

V g+Z g C Z L I 2+Z g D I 2=− A I 2 Z L−B I 2

V g=(− A Z L−B−Z g D−C Z g Z L) I 2

I 2= −V g

A Z L+B+Z g D+C Z g Z L

5eemplazando sus valores0

I 2= −20

5 (1− $ )+1+ (1− $ )+4(1− $)(1− $)

I 2=1.277

P7 F"G Q $:%"""""""""""""""""""""""""""" $A"A%

5eemplazando ecuación $A"A%, en ecuación $%0

V 2=− I 2 Z L= I 2 '2 P7 D Q ; 1.277 P7 F"G Q '2 P7 D Q ; "H P7 F"G Q

$@%

V 2=¿

"H P 7 F"G Q $@% """""""""""""""""""""""" $A"D%

2a #otencia de los cuadripolos en K2 será0

(=V 2 I 2¿

; "H P 7 F"G Q 1.277 P F"G Q ; 8"8I P7 D Q $@:%

(=1.62 () )− $1.62(VA* )

+=¿ "F8 $R%

,=−1.62 $@:5%

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2a #otencia que suministra cada cuadripolo a la impedancia de carga, K2 será0

(=0.81 () )− $ 0.81(VA*)

+=¿M"H $R%

,=−0.81 $@:5%

EBEMPLO ".

El cuadripolo mostrado en la *igura E7D", se asocia con otro igual tal cual muestra la *igura E7D"

" +etermine0

a% 2a potencia disipada en K2"b% 2a potencia puesta en !uego por @g y @g8"

Figura E-".1

- L=2. - C =6 . Z L=Z g1=Z g2=9+ $ 4 . V g1=V g2=¿ 3/0°

#arámetros para V 2=0 0

Y 11=( I 1V

1)

V 2=0

Y 21=( I 2V 1)

V 2=0

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Figura E-".2


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2a admitancia de transferencia directa0

Y 21=

I 2

V 1=

3

$10 =S> NNNNNNNNNN $D"D%

2os parámetros para @ ; M0

Y 12=( I 1V

2)

V 1=0

Y 22=¿ ( I 2V 2)

V 1=0

El circuito de la *igura E7D"A, es el caracter&stico para analizar los parámetros de admitanciapropios de @ ; M0

Figura E-".3

"""""""""""""""""""" $D"%

#or +ivisor de 1orriente0

1orriente en la (obina0



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I -L= − $ - C

$ - L− $ - C I

2 """""""""""" $D"F%

I -L=− I 1 """""""""""""""""""""""""""" $D"G%

5eemplazando ecuación $D"G% y $D"%, en ecuación $D"F%0

I -L= − $ - C

$ - L− $ - C I

2=¿ − I 1

$ - C $ - L− $ - C

1

$5V

2

=¿ I 1

5eemplazando @alores0

$(−6) $2− $6

1

$ 5V

2

= I 1

2a admitancia de transferencia inversa0

Y 12=

I 1V 2

= 3

$ 10 """""""""""""""""""""""""" $D"H%

2os parámetros de admitancia caracter&sticos del circuito E7D", son0

[Y 11Y 12Y 21

Y 22]=[

1

$ 5

3

$ 10

3

$ 10

1

$ 5]=[0.2


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Figura E-"."

2as ecuaciones involucradas en el circuito de la /gura E7D"D, son0

I 1=Y 11V 1+Y 12 V 2 """"""""""""""" $D%

I 2=Y

21V

1+Y

22V

2 """"""""""""""" $%

Ecuaciones, cuyos parámetros son conocidos"

V g1=Z g1 I 1+V 1 ............ (%)

En nuestro caso debemos reemplazar I 1 8r 2 I 1 $ 8r 98 u 848: :6riir/

V g1=2Z g1 I 1+V 1 """"""""""""""""""""""""""" $D"%

V 1=V g1−2Z g1 I 1 .................. $D"8%

V 2=− I

2Z L """""""""""" $%

5eemplazando ecuaciones $D"% y $%, en $D%0

I 1=Y

11 (V g1−2 Z g1 I 1 )+Y 12(− I 2 Z L)

I 1=Y

11V g1−2Y 11Z g1 I 1−Y 12 I 2 Z L

I 1+2Y

11Z g1 I 1=Y 11V g1−Y 12 I 2 Z L



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1+2Y 11

Z g1¿ I 1=Y 11V g1−Y 12 I 2 Z L¿

I 1=

Y 11

V g1−Y 12 I 2 Z L

1+2Y 11 Z g1"""""""""""""""""""""" $D"A%

5eemplazando ecuaciones $D"% y $%, en $%0

I 2=Y 21 (V g 1−2Z g1 I 1 )+Y 22(− I 2 Z L)

I 2=Y 21V g1−2Z g1Y 21 I 1−Y 22 I 2 Z L """"""""""""""""""""$D"D%

5eemplazando ecuación $D"A% en $D"D%

I 2=Y

21V g1−Y 22 I 2 Z L−2Z g1 Y 21(

Y 11V g1−Y 12 I 2 Z L1+2Y 11 Z g1

)

I 2=Y

21V g1−Y 22Z L I 2−

2 Z g1Y 21Y 11V g1

1+2Y 11 Z g1+2Z g1 Y 21Y 12 Z L I 2

1+2Y 11 Z g1

I 2+Y

22Z L I 2−

2Z g1 Y 21Y 12 Z L I 21+2Y 11 Z g1

=Y 21

V g 1−2 Z gY 21Y 11V g11+2Y 11 Z g1

( (1+Y 22 Z L) (1+2Y 11Z g1)−2Z g1 Y 21Y 12 Z L1+2Y 11

Z g1 ) I 2=Y

21V g1(1+2Y 11 Z g1)1+2Y

11Z g1

−2Z g1 Y 21Y 11V g11+2Y

11Z g1

[ (1+Y 22 Z L ) (1+2Y 11 Z g1 )−2 Z g1Y 21Y 12Z L] I 2=Y 21V g1 (1+2Y 11Z g1 )−2Z g1 Y 21Y 11V g1

[ (1+Y 22 Z L ) (1+2Y 11 Z g1 )−2 Z g1Y 21Y 12Z L] I 2=Y 21V g1

1+¿¿ 2Y 11Z g1+Y 22 Z L+2Z g1 Z L Y ¿ I 2=Y 21V g1

I 2=

Y 21V g11+2Y 11Z g1+Y 22 Z L+2Z g1 Z L Y """""""""""""""""""""""""" $D"%

Ecuación $D"%, en ecuación $%0



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V 2=−¿

( Z L Y 21V g 1

1+2Y 11 Z g1+Y 22Z L+2Z g1 Z L Y ) """""""""""""" $D"F%

2a #otencia en la impedancia K2, será0

(=V 2∗ I

2"

+onde0 I 2 " =− I 2 , luego0

(=−¿ ( Z L Y 21V g11+2Y

11Z g1+Y 22 Z L+2 Z g1 Z L Y )∗(

−Y 21

V g1

1+2Y 11

Z g1+Y 22 Z L+2Z g1 Z L Y )

capitulo 6 - cuadripolos

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