teoria 5 - pdh [modo de compatibilidad]

7/25/2019 Teoria 5 - PdH [Modo de Compatibilidad]

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BIOESTADSTICA

Universidad Nacional del Comahue

Facultad de Ciencias del Ambiente y la Salud

1er cuatrimestre 2016

CONTENIDOS

UNIDAD 5: Pruebas de Hiptesis. Teora general de las

pruebas de hiptesis. Tipos de errores. Dcimas relativas a la

media, a la variancia y a una proporcin. Comparacin de dos

medias, dos varianzas y dos proporciones, en muestras

independientes. Comparacin de medias en muestras apareadas.

Pruebas de hiptesis no-paramtricas. Comparacin de una series

de frecuencias empricas con una serie terica. Estadstico de

Pearson. Requerimientos de aplicacin del estadstico. Pruebas deindependencia de variables y de bondad de ajustes de modelos de

probabilidad.


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Pruebas de Hiptesis

Estimacin de Parmetros Pruebas de Hiptesis

INFERENCIA ESTADSTICA

Qu es una hiptesis estadstica ?

Es una proposicin o afirmacin sobre la distribucin deprobabilidad de una variable aleatoria.

Parmetros de la distribucin

Asociadas a una o ms poblaciones

Forma de la distribucin

Ejemplos:

La edad media de los alumnos del curso es de 22 aos.

Con la aplicacin de un determinado nutriente se obtendrn rendimientos

medios superiores a 2.000 kg/ha, que es la produccin usual de la zona.

El peso promedio al nacimiento de ovejas hembras es menor al de los

machos

La altura de almos sigue una distribucin normal

El nmero de semillas germinadas por placa responde a una distribucin

binomial


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Hiptesis acerca de los parmetros de una poblacin:

Caso 1

H0: = 1

H1: =2

Caso 3

H0: = 0

H1: 0

Hiptesis nula

Hiptesis alternativa

Hiptesis

puntualeso simples

Caso 2

H0: = 0

H1: 0 Hiptesis compuestas

Consideraciones importantes:

Las hiptesis son siempre afirmaciones relativas a la poblacin odistribucin bajo estudio, no en torno a la muestra

La hiptesis nula siempre contiene a la hiptesis =0

Hay una estrecha relacin entre la prueba de hiptesis en tornoa un parmetroy el intervalo de confianza de

Puedan combinarse otros casos de Hiptesis nulas e Hiptesis alternativas

Caso 5

H0: 0

H1: 0


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Estadstico de prueba y Regla de Decisin

Ho: = 15

H1: 15X1

X2...

Xi...

XN

Poblacin

Muestra

X1...

Xn

Prueba de hiptesis:

Es un procedimiento (o experiencia) que conduce a una toma dedecisin en cuanto a optar por una u otra hiptesis, a la luz de lainformacin proporcionada por una muestra aleatoria extrada

de la poblacin bajo estudio

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Variable

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x

NO RECHAZORECHAZO RECHAZO

obsx obsxobsx

Conclusin sujeta a error

Pruebas

Bilaterales

Unilaterales


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Ho es Verdadera Ho es Falsa

Error Decisin correcta

Tipos de error:

DECISIN Rechazo H0

No Rechazo H0 Decisin correcta Error

Error de Tipo I

Error de Tipo II

P(Error Tipo I) = P(Rechazar H0 | H0 es Verdadera) =

P(Error Tipo II) = P(No Rechazar H0 | H0 es Falsa) =

Potencia = 1 - = P(Rechazar H0 | H0 es Falsa)

1

2critx

Zona de rechazo de H0Zona de no rechazo de H0

Representacin esquemtica de tipos de errores

Ho: = 1

H1: = 2


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= VEREDICTO =

PRESUNCION

JUICIO

DECISION 2 DECISION 1

H0 H1

Procedimieno general para una prueba de hiptesis:

Del contexto del problema identificar el parmetro de inters

Plantear H0y H1

Planificar una experiencia para la extraccin de la muestra

Establecer el nivel de significacin de la prueba

Seleccionar un estadstico de prueba e identificar su distribucinbajo H0

Establecer regiones de rechazo y no rechazo para el estadsticode prueba

Calcular de la muestra el valor del estadstico

Decidir si debe o no rechazarse H0 e interpretar esto en elcontexto del problema


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A. Pruebas sobre una sola muestra

A1. Pruebas de hiptesis acerca de la media de unadistribucin normal con variancia conocida

Problema: A un productor se le ofrece un nutriente con el que obtendrrendimientos medios superiores a 2.000 kg/ha, que es la produccin usual de la

zona. Se sabe que en esa poblacin los rendimientos tienen un desvo estndar

de 210 kg/ha. El productor decide realizar una prueba sobre 9 parcelas, en las

que pretende observar los rendimientos, promediarlos y de acuerdo al resultado

optar o no por el nuevo producto.

DATOS: 2150 1950 2170 1860 2050 2120 1920 1850 2230

a. El parmetro de inters es, redimiento promedio con aplicacin denutriente.

b. Informacin: 2, VA distribucin normal, redimiento promedio sinaplicacin de nutriente,n=9.

c. Planteo H0y H1

H0: 2.000

H1: 2.000

H0: 2.000

H1: 2.000

d. Se acuerda correr un riesgo de rechazar el nutriente cuando enrealidad ste cumple con las especificaciones promocionales, fijandopara ello una probabilidad de error de 5% ( = 0,05)

e. Dado que se conoce 2, el estadstico de prueba es:

Con Z0 ~ N(0;1)

n

xZ


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1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 -3 -2 -1 0 1 2 3

f. Regiones de rechazo:

Rechazo H0 si > 2.115,15 kgs/haobsx

Rechazo H0 si zobs > 1,645

g. Clculo del estadstico observado:

2.033,33obsx Zobs = 0,476

h. Conclusin:

No se rechaza H0, es decir, no existe suficiente evidencia como para decir

que efectivamente el nutriente aumenta los rendimientos.

Comentarios:

* P-value de un estadstico de prueba observado es la probabilidad de que

la VA estadstico de prueba tome un valor al menos tan extremo como el

observado dado que la hiptesis nula es verdadera.

En nuestro ejemplo: P-value = P(Z> zobs/ H0 es Verdadera)

* Si la VA bajo estudio no se distribuye normalmente debernconsiderarse las condiciones para la aplicacin del Teorema Central del

Lmite


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A2. Pruebas de hiptesis acerca de la media de una distribucinnormal con variancia desconocida

A3. Pruebas de hiptesis sobre la variancia de una distribucinnormal

H0: 2 = 02

H1: 2 02H0: 2 = 02

H1: 2 >02H0: 2 = 02

H1: 2


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B. Pruebas sobre dos muestras

B1. Pruebas de hiptesis para la igualdad de dos variancias

Esta prueba es un paso intermedio necesario en las pruebas decomparaciones de medias cuando se desconocen las varianzas poblacionales

:H0

:H0

s

s0F

:H1

Con F0 ~ F(n1-1;n2-1)

Las pruebas unilaterales son muy usadas y constituyen la base de las pruebas

asociadas a la tcnica ANOVA

:H1

Algunas caractersticas

de Distribucin F-Snedecor:

Emprica: F(n1-1;n2-1)

Terica: si Uy V son dos variables aleatorias independientes con

distribucin chi-cuadrado conn1-1 yn2-1 grados de libertad, entonces:

F(n1-1;n2-1)

s

s

F(5,5)

F(12,12)

F(50,50)0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

n

V

n

W

Mo (F) = (n2-1)(n1-3) / (n1-1)(n2-3)

V(F) = 2(n2 -1)2(n1+n2)/(n1-1)(n2-3)2(n2-5)

E(F) = (n2 1)/ (n2 3)


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B2. Pruebas de hiptesis sobre las medias de dosdistribuciones normales con variancias conocidas (muestrasindependientes)

Ho: 1 = 2

H1: 1

2

Ho: 1 -2 = 0

H1: 1

-2

0

1 ?

X12 ?

X2

n1 n2

x x

B2. Pruebas de hiptesis sobre las medias de dosdistribuciones normales con variancias conocidas (muestrasindependientes)

Ho: 1 = 2

H1: 1 2

Ho: 1 -2 = 0

H1: 1 -2 0

1 2 1 2

12


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Estadstico de prueba se basa en la distribucin de una diferencia de medias:

Bajo H0:

nnXX ;N~

nn

XXZ Con Z0 ~ N(0;1)

Se rechazar H0

si:

Z0 > Z/2 o Z0 < -Z/2

B3. Pruebas de hiptesis sobre las medias de dosdistribuciones normales con variancias desconocidas

Situacin 1:

Dado que las varianzas se estiman de las muestras, antes de calcular el

estadstico de prueba para las medias, debemos verificar mediante una

Prueba F la igualdad de las varianzas poblacionales

Si la conclusin es que las varianzas no son distintas, ambas variancias

muestrales estiman la variancia comn 2, entonces podemos combinarlas

para producir una sola estimacin, digamos:

Este caso, al igual que el visto sobre hiptesis para una media con

varianza desconocida, es el que usualmente debemos resolver.

nn

snsnsp

)()(


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El estadstico de prueba ser:

Con t0 ~ t(n1+n2-2)

nns

xxt

p

Se rechazar H0si:

t0 > t

/2 ; n1+n2-2 o t0 < - t

/2 ; n1+n2-2

Ho: 1 = 2

H1: 1 2

Si las hiptesis son de la forma:

Tambin pueden plantearse pruebas unilaterales y todas las combinaciones entre H0y

H1vistas anteriormente:Ho: 1 = 2

H1: 1


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B4. Pruebas de hiptesis para muestras apareadas

Se dicen muestras apareadas cuando las obervaciones en las dospoblaciones de inters se recaban de a pares, con la premisa que cada parse toma en condiciones homogeneas, aunque estas condiciones pueden

cambiar de un par a otro.

Ejemplo: considere que estamos interesados en comparar dos tipos de alimentospara cerdos (A y B). Para ello se planea una experiencia donde se suministrar

cada alimento a 10 cerdos para luego comparar el peso ganado al cabo de cierto

tiempo. Pero no contamos con un lote homogeneo de 20 cerdos en cuanto a su

tamao y pensamos que el peso inicial de los animales es un factor que podra

incidir en los aumentos de peso. Para evitar que este efecto peso inicial se pueda

confundir con el efecto alimento se seleccionan parejas de cerdos de igual peso,

y en cada una de ellas se asignan ambos alimentos al azar. Se han obtenido 20

observaciones pero estas estnapareadas.

H0: d = 0

H1: d 0

Para que la hiptesis contemple el efecto de apareo, se calcula una nuevavariabledque consiste en las diferencias observadas en cada par. La hiptesis

nula a probar es que la media de las diferencias es cero

El estadstico asociado a la prueba es:

n

s

dt

d

Con t0 ~ t(n-1)

La comparacin de medias dependientes surge de un muestreo que se realiz

con restricciones en la aleatorizacin, esto constituye el paso elemental en undiseo experimental en el que las unidades experimentales no son homogneas

(DBCA)


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B5. Pruebas de hiptesis sobre dos proporciones

H0: P1 = P2

H1: P1 P2

H0: P1 - P2 = 0

H1: P1 - P2 0

nnpp

Z

)..(

p-p 21

nn

xxp

Las pruebas conocidas como chi-cuadrado utilizan el estadstico que dise Karl Pearson

en 1899. Es un ndice que mide la desviacin de las frecuencias observadas en una

muestra respecto a las esperadas bajo una hiptesis.

Frmula de clculo

i fobservado fesperado

1

2

3

.

.

.

.k

f1

f2

f3

.

.

.

.fk

f

1

f

2

f

3

.

.

.

.f

k

k

ii

ii

f

ff

k

i i

ii

e

eo

ne

ok

i i

i

C. Pruebas basadas en el estadstico de Pearson


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Pearson estudi la distribucin terica bajo Ho verdadera. Algunas caractersticas son:

1. Tiene distribucin Chi-cuadrado con k-1 grados de libertad

2. Si el valor del estadstico=0 significa que no hay diferencias entre las frecuencias

observadas y esperadas. Cuanto ms se aleja de 0 mayor la discrepancia entre lasfrecuencias

3. Si las frecuencias esperadas < 5 el estadstico se aleja de la distribucin Chi-

Cuadrado por lo que se debe reagrupar intervalos o aumentar el numero de

individuos estudiados.

4. Si la frecuencia total es muy pequea (sobre todo para el caso de 1 grado de

libertad) es aconsejable introducir el factor de correccin de Yates al calcular el

estadstico.

k

i i

ii

e

eo ,

C1. Pruebas de ajuste de modelo:

Modelo gentico (distribucin de proporciones):

Ho: la segregacin de cierto poroto responde a la teora de Mendel 9:3:3:1

(Lisos Amarillos Rugosos Amarilos Lisos Verdes Rugosos Verdes)

Ho: la relacin de moscas ojos blancos respecto a moscas ojos rojos es 1 a 3

Distribucin de probabilidad:

Ho: la variable X sigue una distribucin Poisson con parmetro

Ho: la variable X sigue una distribucin Poisson

Ho: la variable X sigue una distribucin Normal


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X fob pesp fesp

x1

x2x3

.

.

.

.

xk

f1

f2f3

.

.

.

.

fk

p1

p2p3

.

.

.

.

pk

f

1

f

2f

3

.

.

.

.

f

k

Ho: X Possion

pi= P(X=xi/X Possion)

= pi. N

2Pearson

2(k-1-p)

if

En general se prueba slo forma y para verificar valor de los parmetros se

dejan las pruebas vistas anteriormente

C2. Pruebas de independencia de dos factores:

Determina si dos factores que clasifican a una poblacin o muestra son

estadsticamente independientes. Es decir, los niveles de un determinado factor no

afectan a los niveles del otro factor. Es la Hiptesis general de una tabla de

contingencia y el principio de anlisis de datos categorizados.

1. Ho:los factores A y B son independientes

2. Proponer un Nivel de significacin

3. Regla de Decisin: Hoes rechazada si y solo si, el valor chi-cuadrado es mayor que elvalor crtico para el nivel de significacin.

4. Clculo del estadstico de Pearson

5. Decisin


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Factor A

Factor B

Frecuencias observadasen cada celda porcombinacin de dosniveles de factores

Total General

Total columna

Total fila

Marginales fila

Marginales columna

A1 A2 ... Aa

B1 f11 f12 ... f1a f1.

B2 f21 f22 ... f2a f2.

... ... ... fij ... ...

Bb fb1 fb1 ... fba fb.

f.1 f.2 ... f.a f..

A1 A2 ... Aa

B1 f11 f12 ... f1a f1.

B2 f21 f22 ... f2a f2.

... ... ... ... ... ...

Bb fb1 fb1 ... fba fb.

f.1 f.2 ... f.a f..

Bajo la hiptesis nula, las frecuencias esperadas en una tabla de contingencia se puedenobtener como producto de las frecuencias marginales observadas.

Es decir que bajo independencia de factores se cumple que:

f11 f12 f1a f1.

f.1 f.2 f.a f..= = ==

11f

..

1..111

f

fff

2Pearson 2[(a-1).(b-1)]


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C3. Pruebas de homogeneidad de muestras

Equivalente a las anteriores slo que aqu se determina si k muestras son

homogeneas en cuanto a una caracterstica que tiene dos alternativas. La nica

diferencia radica en la obtencin de la informacin (muestreo).

A1 A2

Muestra 1 f11 f12 f1.

Muestra 2 f21 f22 f2.

... ... ... ...

Muestra i fi1 fi2 fi.

... ... ... ...

Muestra k fk1 fk1 fk.

f.1 f.2 f..

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