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Muestreo de señales de tiempo continuo
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Contenido
Muestreo de Señales continuas Reconstruccion de señales muestreadas La frecuencia de Nyquist Normalizacion de la frecuencia de señales
muestreadas
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MUESTREO DE SEÑALES CONTINUAS
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Señales de tiempo discreto
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]0[x
axisn
]1[x
]2[x]3[x
]1[x
]2[x
]3[x
]4[x
Las señales de tiempo discreto son simplemente una secuencia de números
Muestreo periodico de una señal continua El proceso de muestreo es la transformacion de
una señal continua a una señal discreta
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sampling
Analogsignal
Discrete-timesequence
)(tx )(][ snTxnx
El sistema que implementa esta operacion es llamado un conversor
ideal
¿Tiempo discreto a continuo?
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n– x[n] = n2 – 5n + 3, for n 0produce las muestras{3, -1, -3, -3, -1, 3, ...}
No es posible saber como se ve la secuencia en el tiempo continuo porque no tiene un muestreo asociado con ella
Señales de datos muestreados y señales de tiempo discreto Las señales de tiempo discreto son simplemente
una secuencia de números
Las señales de datos muestreados se refieren a la situación híbrida donde interactúan señales de tiempo continuo y señales de tiempo discreto
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¿Por qué es importante el muestreo?
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Reloj
Algoritmo
A / D
D / A
Proceso Continuo
Computadora
Salida Continua
y(t) y(k) u(k) u(t) y(t)
Principalmente por el gran desarrollo de la tecnologia digital, que hace posible sistemas de tiempo discreto eficientes, programables, reproducibles, livianos y baratos.
¿Por qué es importante el muestreo? Sistemas de procesamiento digital de señales y
sistemas continuos mas eficientes
Algoritmos de control Filtrado y tratamiento digital Almacenamiento de voz, musica y video en forma digital Transmision de informacion sobre canales de
comunicacion digitales
Luego del procesamiento, se reconstruye la señal continua
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RECONSTRUCCION DE SEÑALES MUESTREADAS
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El problema de la ambiguedad
En general, una señal de tiempo discreto puede ser generada por infinito numero de señales continuas
¿Es posible reconstruir de manera univoca la señal continua original de la señal muestreada?
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x1(t), x2(t), x3(t),x[n]
t = nT
El problema de la ambiguedad
Claramente, el incremento del periodo de muestreo mejora la resolucion
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t
x(t)
t
x(t)
¿Que tan rapido muestrear? ¿Cual es el periodo de muestreo critico?
Muestreo de una onda senoidal Considere el muestreo de una onda senoidal
simple
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700Hz
300Hz
Sampling rate: 1000Hz
No es posible distinguir la onda de 700 Hz de la de 300 Hz
Frecuencia aparente
Consideremos el problema analiticamente,
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0sin 2 *s sx nT f nT
0sin 2 * 2 *sf nT m
0sin 2 *s sf m nT nT
cos(x) = cos(x + 2pm)
Frecuencia aparente
Si m es un multiplo entero de n, m = k*n
Las frecuencias f0 +kfs aparentemente parecen ser f0 < fs / 2
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0sin 2 *s s sx nT f kf nT
f0 +kfs son las frecuencias de “solapamiento” de f0
“alias”
Frecuencia aparente
En general,
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0true sf kf f
ActualFrequency
ApparentFrequency
fs / 2 fs 2 fs3 fs / 2
fs / 2
0 2sff
Para evitar solapamiento En general, el error por solapamiento (aliasing) resulta
de no tener suficientes muestras para señales de cambios rapidos
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700Hz
Sampling rate increases to: 1400Hz
Para evitar el aliasing, muestrear lo suficiente mente rapido!
Antialiasing Para prevenir el aliasing son posibles dos vias:
Hacer el muestreo lo suficientemente rapido, es decir, fs > 2fMAX
Usar un filtro para quitar las frecuencias de la señal por encima de fs /2
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Amplifier Low-passFilter
Input
Signal
LA FRECUENCIA DE NYQUIST
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Claude Elwood Shannon Harry Nyquist
Señal de banda limitada
Definicion: Una señal es de banda limitada a fMAX hertz si
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U(f) = [u(tℑ )] = 0 for |f| ≥ fMAX
|U(j)|
MAX
Frecuencia de Nyquist
El teorema del muestreo (Nyquist, Shannon):
Frecuencia de Nyquist
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Para que una señal de banda limitada pueda ser reconstruida completamente, la frecuecia de muestreo debe cumplir,
max2sf f
maxmin2nyquistf fsf
NORMALIZACION DE LA FRECUENCIA DE SEÑALES MUESTREADAS
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El Concepto de frecuencia para una señal continua Para una señal senoidal
El incremento de f da como resultado mas oscilaciones por unidad de tiempo (más períodos en la unidad de tiempo)
Dos señales senoidales con frecuencias distintas f 1 y f 2 son distintas.
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x t T x t 1f T
El Concepto de frecuencia para una señal de tiempo discreto Sea la señal senoidal de tiempo discreto
Para periodicidad debe cumplirse
Esta relación es verdadadera si y sólo si existe un entero k tal que
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cos 2x n A fn
x n N x n
2 2fN k kf N
El Concepto de frecuencia para una señal de tiempo discreto Sea la señal senoidal de tiempo discreto
Para periodicidad, f debe ser un numero racional
Si k y N son primos entre si entonces N se denomina el
periodo fundamental de x[n]
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cos 2x n A fn
kf N
El periodo de una señal de tiempo discreto Sean dos señales senoidales de tiempo discreto
Un pequeño cambio en la frecuencia
da como resultado un cambio grande en el periodo
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1 1cos 2x n A f n
1 31 60f
2 2cos 2x n A f n
2 30 60f
1 60N 2 2N
Frecuencia maxima de una señal de tiempo discreto La maxima oscilacion de una señal senoidal de
tiempo discreto se obtiene cuando
La frecuencia radial w maxima es entonces
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1 2f 1 2f
Frecuencia discreta de una señal continua Considerese que la señal x(t) produce x[n]
Definamos la frecuencia digital
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cos sx n A nT cosx t A t
cos dx n A nd sT
Las unidades de wd es radianes, no rads/seg
Frecuencia discreta de una señal continua Cuando wd varia entre 0 y 2p, entonces f varia de
0 a la frecuencia de muestreo
La frecuencia digital esta normalizada
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2d s
s
fT
f
Normalizacion de la frecuencia
En la mayoría de las situaciones del análisis de señales muestreadas,
la conección con un mecanismo de muestreo simplemente se descarta
Introduciendo la transformación de variables
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Asumiendo Ts = 1. 2 * 2sf T f
Normalizacion de la frecuencia
Las señales se interpretan como señales de tiempo discreto (secuencias de números)
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max 2sf f
sin 2 *sx nT x n f n
La frecuencia radial se normaliza en el intervalo [0, p]
Normalizacion de la frecuencia
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max 50 f kHz 50kHz
3
1 3
20 10 2 0.4
50 10 5
x
x
3
2 3
25 10 0.5
50 10 2
x
x
100 sf kHz
1 20f kHz
2 25f kHz
Ejemplo:
RECONSTRUCCION DE LA SEÑAL CONTINUA
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Muestreo periodico de una señal continua El proceso de muestreo toma el valor instantaneo
de la continua cada periodo de muestreo
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ud(k) = u(kTs) es una secuencia discreta definida
para valores enteros k∈Z.
Ts es el periodo
de muestreo
Muestreo periodico impulsivo
Necesitamos una forma conveniente para representar el muestreo periodico de una señal continua
Una manera de hacerlo es a traves del uso de un tren de impulsos
Se asume que se toma el valor de la señal en un instante infinitesimal de tiempo
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Toma de la muestra mediante la señal impulso
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1
1/2
2
1/4
4
3
5
1/8
Voltage pulse of strength 11=1
Pulse of strength 20.5=1
More pulses of strength 1
As width 0, & height with strength remaining at 1 we get ‘unit impulse’
1
Volts
t
Muestreo con un tren de impulsos periodico
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Converter C/D
Conversion fromimpulse trainto discrete-timesequence
n
nTtts
txc
txs
nTxnx c][
Conversor C/D ideal
Muestreo con un tren de impulsos periodico
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Aliasing Effect
Efecto en el dominio de la frecuencia
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CSPLabCSPLabHTTP:/ / AMCS.SSU.AC.KR
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Aliasing Effect
Sistema de reconstruccion ideal
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IdealReconstructionFilter][nx
txs
txr
Convert fromsequence toimpulse train jH r
T period Sampling
Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback
Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class
Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.
University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics.
School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.
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