tema nc2ba 1 introduccic3b3n al control de procesos

TEMA N 1INTRODUCCIN AL CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALFRANCISCO DE MIRANDA

COMPLEJO ACADMICO EL SABINOPROGRAMA DE INGENIERA QUMICA

DEPARTAMENTO DE MECNICA Y TECNOLOGA DE LA PRODUCCINUNIDAD CURRICULAR: DINMICA Y CONTROL DE PROCESOS

TEMA N 1

INTRODUCCIN AL CONTROL DE PROCESOSINDUSTRIALES

PROFESORES:ING. ESP. CARLOS A. PREZ M.-Ing. EUMAR LEAL MSc.

PUNTO FIJO; Mayo 2015

GUA DE ESTUDIO PREPARADA POR: PROF. ING. ESP.CARLOS A. PREZ

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Introduccin general

1.1 Breve historia del control de procesos

Los primeros sistemas de control conocidos, ya en la antigedad, son mecanismosdestinados al control del caudal para regular un reloj de agua o el control de nivel de lquido en unalmpara de aceite o en un recipiente de vino, que se mantiene lleno a pesar de los muchos vasosque se sacan. De hecho, el control del caudal de fluido se reduce al control del nivel del fluido, yaque un pequeo orificio producir caudal constante si la presin es constante. El mecanismo decontrol de nivel de lquido inventado en la antigedad y todava usado para controlar nivel es lavlvula flotante, semejante a la del depsito de agua de un inodoro corriente. El flotador est hechode tal manera que, cuando el nivel baja, el caudal del depsito aumenta y cuando el nivel sube, elcaudal disminuye y, si es necesario, se corta (Figura 1.1). En este caso el sensor y el actuadorestn combinados en el mismo dispositivo, el flotador y la combinacin de tubo de alimentacin.

Figura 1.1. Un tonel que nunca se acaba. Ejemplo del control de nivel de lquido y caudal tal como se realizaba en laantigedad.

Un caso ms moderno de control por realimentacin es el control de temperatura de unhorno para calentar una incubadora, sistema que fue diseado por Drebbel (hacia 1620). El hornoconstaba de una caja que contena el fuego, con un tubo en la parte superior provisto de unregulador de tiro (Figura 1.2). Dentro de la cmara de combustin estaba la incubadora de paredesdobles y el hueco que quedaba entre las paredes se llenaba de agua. El sensor de temperatura eraun recipiente de vidrio lleno de alcohol y mercurio colocado en la cmara de agua en torno a laincubadora. A medida que el fuego calentaba la caja y el agua, el alcohol se dilataba y el vstagocon flotador se desplazaba hacia arriba, bajando el regulador de tiro sobre la boca del tubo. Si lacaja est demasiado fra, el alcohol se contrae, el regulador de tiro se abre y el fuego arde msfuertemente. La temperatura deseada est determinada por la longitud del vstago del flotador, quedetermina la apertura del regulador de tiro para una dilatacin determinada de alcohol.

La bsqueda de un medio para controlar la velocidad de rotacin de un eje fue unproblema famoso en las crnicas del control automtico. La principal motivacin era la de controlarautomticamente la velocidad de la piedra de molienda de un molino de viento harinero. De losvarios mtodos que se intentaron, el ms prometedor result ser el que usaba un pndulo cnico, oregulador de bola flotante. Este dispositivo se us para medir la velocidad del molino; las aspas delmolino de viento se hacan girar con cuerdas y poleas, casi como persianas, para mantener unavelocidad fija. Pero no fue el molino de viento es que hizo famoso el regulador de bola flotante, fue


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su adaptacin a la mquina de vapor en los laboratorios de James Watt, alrededor de 1788 (Figura1.3).

Figura 1.2. Croquis de la incubadora de Drebbel para empollar huevos de gallina.

Figura 1.3. Mquina de vapor con un regulador centrfugo o de bola flotante, que aparece en la parte derecha de la imagen

La accin del regulador centrfugo es fcil de describir. Supongamos que la mquina estoperando en equilibrio y aplicamos de pronto una carga. En ese momento disminuir la velocidadde la mquina y las bolas del regulador caern a un cono ms pequeo. De este modo, el ngulode las bolas se usa como sensor de salida. Esta accin, a travs de palancas, abrir la vlvulaprincipal al ncleo de vapor (que es el actuador) y admitir ms vapor a la mquina, recuperando latotalidad de la velocidad perdida. Para mantener la vlvula de vapor en una nueva posicin esnecesario que las bolas giren a un ngulo diferente, lo que implica que la velocidad con una cargano es exactamente la misma que la anterior. Para recobrar la misma velocidad en este sistema,sera necesario reponer la velocidad deseada cambiando la longitud de la barra de la palanca a lavlvula. Otros inventores introdujeron mecanismos que integraron el error de velocidad y as


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proporcionaron unas reposiciones automticas. Estos sistemas tienen error estacionario cero aperturbaciones constantes.

Watt fue un hombre prctico, como el constructor de molinos anterior a l, y no se ocup deanlisis tericos del regulador. En este sentido son de gran importancia las contribuciones de G.B.Airy, que fue profesor de matemticas y astronoma de la Universidad de Cambridge desde 1826 a1835 y Astrnomo Real en el Observatorio de Greenwich desde 1835 a 1881. Airy se interes porel control de la velocidad; si sus telescopios hubieran podido girar en sentido contrario a la Tierra,se habra podido observar una estrella fija durante largos perodos de tiempo. l utiliz el reguladorcentrfugo de pndulo y descubri que era capaz de movimiento inestable. Airy realiz la primeraexposicin histrica de la inestabilidad en un sistema de control, el anlisis de un sistema a travsde ecuaciones diferenciales y, por tanto, los comienzos del estudio de la dinmica de control conretroalimentacin.

El primer estudio sistemtico de la estabilidad del control realimentado apareci en eltrabajo On Governors de J.C. Maxwell (1868). En este trabajo, Maxwell desarrolla las ecuacionesdiferenciales del regulador, linealizndolas en torno al equilibrio, y estableci que laestabilidaddepende de que las races de una cierta ecuacin (caracterstica) tengan partes realesnegativas.

Lo consigui solamente para los casos de segundo y tercer orden. El problema de ladeterminacin de criterios de estabilidad sirvi para el premio Adams de 1877, que fue ganado porE.J. Routh. Su criterio, desarrollado en el ensayo que obtuvo el premio, tiene el inters suficientecomo para que los ingenieros de control sigan aprendiendo a aplicar su sencilla tcnica. El anlisisde la ecuacin caracterstica sigui siendo el fundamento de la teora de control hasta la invencindel amplificador realimentado electrnico por H.S. Black en 1927 en los laboratorios de la BellTelephone. Despus de la publicacin del trabajo de Routh, el matemtico ruso A.M. Lyapunovcomenz a estudiar la cuestin de la estabilidad del movimiento; en 1892 utiliz las ecuaciones nolineales de movimiento e incluy resultados equivalentes al criterio de Routh.Su trabajo fue fundamental, pero no se introdujo en la literatura de control hasta 1958.

Con la introduccin de los amplificadores electrnicos, las llamadas a larga distanciallegaron a ser posibles en las dcadas posteriores a la Primera Guerra Mundial. Sin embargo,conforme la distancia aumenta, lo hace la prdida de energa elctrica, a pesar del uso del alambrede gran dimetro, y se requieren ms y ms amplificadores para reemplazar las prdidas.Lamentablemente, con tantos amplificadores haba mucha distorsin ya que las pequeas nolinealidades de los tubos de vaco se multiplicaban una y otra vez. Como solucin a este problema,Black propuso el amplificador retroalimentado. Para reducir la distorsin hay que aumentar laretroalimentacin, es decir, la ganancia del lazo del actuador debe aumentarse mucho. Todos losque han tratado de subir el volumen en un sistema de amplificacin pblico mal ubicado hanexperimentado lo descubierto por Black; con altas ganancias el lazo de retroalimentacin comienzaa pitar y es inestable.

Aqu, en una tecnologa diferente estaba el problema de estabilidad de Maxwell y Routh, yla dinmica era tan compleja (las ecuaciones diferenciales de orden 50 son muy comunes) que elcriterio de Routh no sirvi de mucho. Los ingenieros de comunicaciones estaban familiarizados conla idea de respuesta de frecuencia y con matemticas de variable compleja desarrollada porCauchy y otros, as que los trabajos en los laboratorios de la Bell se orientaron al anlisis complejo.


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En 1932, H. Nyquist public un artculo describiendo como determinar la estabilidad desde ungrfico de la respuesta de frecuencia del lazo. A partir de esta teora se desarroll una extensametodologa de diseo de amplificadores retroalimetados, descrita en el libro de Bode (1945).

Simultneamente al desarrollo del amplificador realimentado, el control retroalimentado deprocesos industriales empez a ser la norma. En este campo, caracterizado por procesos que nosolamente son muy complejos sino tambin no lineales y sujetos a retrasos de tiemporelativamente largos entre actuador y sensor, se desarroll la prctica del control proporcional, msintegral y ms diferencial, el control PID descrito por Callender, Hartree y Porter (1936). Estatecnologa, basada en un amplio trabajo experimental y aproximaciones linealizadas simples alsistema dinmico, llev a experimentos estndar apropiados para la aplicacin en el campo yfinalmente a una satisfactoria sintona de los coeficientes del controlador PID. Tambin sedesarrollaron en esta poca los dispositivos para gua y control de aviones; especialmenteimportante fue el desarrollo de sensores adecuados para medicin de altura y velocidad de losaviones.

Se dio un enorme impulso al control realimentado durante la Segunda Guerra Mundial. EnEstados Unidos, ingenieros y matemticos del Laboratorio de Radiacin del MIT combinaron susconocimientos para aportar juntos no solamente la teora de los amplificadores realimentados deBode y el control PID de los procesos, sino tambin de procesos estocsticos desarrollados por N.Wiener (1930). El resultado fue el desarrollo de un conjunto completo de tcnicas para el diseo demecanismos de control, o servomecanismos, como tambin han sido llamados.

Otro enfoque al diseo de sistemas de control se introdujo en 1948 por W.R. Evans, quetrabajaba en el campo de gua y control de aviones. Muchos de estos problemas tiene estadosdinmicos inestables o neutralmente estables, y l sugiri un retorno al estudio de la ecuacincaracterstica que haba sido la base del trabajo de Maxwell y Routh 70 aos antes. Sin embargoEvans desarroll tcnicas y reglas que permiten seguir grficamente los pasos de los lugaresgeomtricos de las races de la ecuacin caracterstica cuando se cambiaba un parmetro. Sumtodo, el lugar geomtrico de las races, es adecuado para el diseo y anlisis de estabilidad ycontina siendo hoy da una tcnica importante.

1.2 Contexto de la disciplina y su relacin con la industriaalimentaria

Una industria alimentaria es una serie de operaciones bsicas (bombas, intercambiadoresde calor, evaporadores, etc.) integradas de una manera sistemtica y racional. El proceso, entreotros requerimientos, debe cumplir con las exigencias de:

1. Seguridad.2. Especificaciones de produccin: La planta debe producir la cantidad y la calidad de productosfinales requeridos.3. Regulaciones medioambientales.4. Restricciones de proceso: Las bombas no pueden trabajar si no tienen una succin netapositiva en cabeza, los tanques no pueden rebosar o vaciarse completamente, etc.5. Economa: El proceso debe trabajar en los niveles ptimos de mnimo gasto econmico ymximo beneficio.


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Para cumplir estos objetivos se debe constituir el sistema de control, que est formado porpersonas (diseadores de planta, operadores de planta) y equipo (dispositivos de medida, vlvulas,controladores, ordenadores). El sistema de control para cumplir estos objetivos debe:1. Suprimir la influencia de perturbaciones externas.2. Asegurar la estabilidad del proceso.3. Optimizar el rendimiento del proceso.

1.3 Descripcin cualitativa de un ejemplo de proceso alimentarioy sus sistemas de control

Una planta de pasteurizacin es un buen ejemplo de procesos alimentario.

Cumple los requerimientos de todo proceso:

1. Seguridad: Se deben minimizar los riegos del proceso. Para el ejemplo, trabajar con fluidoscalientes, riesgos de contaminacin, etc.2. Especificaciones de produccin: Las comentadas en el apartado anterior.3. Regulaciones medioambientales: Si no lo estn en el proceso s que lo estn, por ejemplo, enlas calderas que calientan el agua para la obtencin de vapor.4. Restricciones de proceso: Las comentadas en el apartado anterior.5. Economa: Las comentadas en el apartado anterior.

Como ejemplos de magnitudes a controlar en el proceso se encuentra el nivel de losdepsitos, caudales, porcentaje de la materia grasa de la leche, temperaturas de salida de losintercambiadores de calor.

El sistema de control debe cumplir los objetivos propuestos:

1. Suprimir la influencia de perturbaciones (cambios en las variables de proceso no deseados)externas: P.ej., variaciones en la temperatura de los servicios vapor, agua caliente o fluidorefrigerante en los intercambiadores de calor de placas.2. Asegurar la estabilidad del proceso.3. Optimizacin del rendimiento.

No es sencillo justificar las mejoras en el sistema de control de un proceso debido, entreotras, a las siguientes razones:

1. Pequeos mrgenes de beneficio.2. Disponibilidad de los productos agrcolas por temporadas.

Las razones ms normales para mejorar el sistema de control son:1. Aumentar la produccin.2. Reducir la mano de obra que normalmente no son adecuadas para la industria agroalimentaria.

Los procesos alimentarios son generalmente complejos de automatizar. Las materiasprimas de este tipo de indstrias presentan una mayor variabilidad frente a otro tipo de materiasprimas de otras indstrias. En muchos casos, adems, esta variabilidad es difcil o imposible demedir. Es el caso de productos con mal aspecto, olor o sabor. Mientras que el color puede sermedido de manera sencilla, no exiten sistemas de medicin in-line para las magnitudes anteriores.

Este panorama lentamente va cambiando a medida que la indstria de los alimentos vaadoptando soluciones tecnolgicas desarrolladas para otro tipo de indstrias. Tambin va


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desarrollando nuevas soluciones que se adapten a sus caractersticas, como puede ser sensoresadecuados.

1.3 Descripcin cualitativa de un ejemplo de proceso alimentario y sus sistemas de control

Figura 1.4. 1. Depsito regulador. 2. Pasteurizador de la leche. 3. Depsito de retencin. 4. Centrfuga desnatadora. 5.Vlvula modulante. 6. Homogeneizador. 7. Densmetro. 8. Pasteurizador de la nata. 9. Panel de estandarizacin.

Figura 1.5. Esquema del sistema de control de temperatura de un pasteurizador de leche.


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1.4 Conceptos generales1. Dinmica: Comportamiento de un proceso dependiente del tiempo. En la teora del control seestudia bsicamente la dinmica de dos tipos de sistema:

a) Sistema de lazo abierto: Respuesta del sistema sin controladores o con un control enadelanto (feedforward).

b) Sistema de lazo cerrado: Comportamiento del sistema incluido un control porretroalimentacin (feedback ).

2. Variables: A continuacin se definen los diferentes tipos de variables implicados en la dinmica ycontrol de sistemas:

a) Variables manipulables: Elementos del proceso que se pueden modificar para controlar laplanta. Normalmente se trata de caudales.b) Variables controladas: Parmetros de proceso caudales, niveles, temperaturas, presiones,etc. que se quieren controlar, ya sea para mantenerlos constantes o para seguir una ciertaevolucin con el tiempo.c) Variables no controladas: Variables del proceso que no son controladas aunque pueden sermedidas.d) Perturbaciones: Entradas al proceso que no pueden ser controladas pero que deben tener unvalor fijo en el proceso.

3. Consigna (Set point): Es el valor deseado de la variable a controlar. Puede ser constante ovariar con el tiempo.

4. Control en adelanto (Feedforward): Se trata de un sistema de control de lazo abierto. Sedetecta la perturbacin cuando entra en el proceso y se realiza el cambio necesario en lasvariables manipulables para que la variable controlada se mantenga constante.


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5. Control por retroalimentacin (Feedback): Se mide la variable controlada a la salida delproceso y se compara con la consigna (el valor deseado de la variable controlada). La diferencia(error) se alimenta al controlador por retroalimentacin que modifica la variable manipulable.

6. Estabilidad: Un proceso es inestable si su salida se va haciendo mayor (positiva onegativamente) con el tiempo.

La mayora de los sistemas de lazo abierto son estables. Todos los sistemas de lazo cerrado soninestables si la ganancia del controlador se hace los suficientemente grandes.


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Normalmente el rendimiento del controlador aumenta con la ganancia, pero disminuye su toleranciaa los cambios de parmetros del proceso.

7. Control analgico: En este caso los datos son medidos de manera continua en el tiempo

8. Control digital: Se da cuando los datos son medidos de manera discreta ya sea debido a lautilizacin de computadores digitales o debido a mtodos de medida muy lentos en comparacincon la dinmica del proceso. P.ej., anlisis mediante cromatografa.

9. Leyes del Control de Procesos:

a) Primera ley: El sistema de control ms simple es el que mejor funcionar.b) Segunda ley: Se debe entender el proceso antes de intentar controlarlo.

10. Elementos fsicos de un sistema de control:

a) Instrumentos de medida o sensores: Son los elementos de control encargados de medirlas perturbaciones, las variables controladas, etc. Son las principales fuentes deinformacin de cmo va el proceso. Un elemento crucial para la seleccin de un sensor essu capacidad de transmitir informacin fcilmente. P.ej., es preferible un termopar a untermmetro de mercurio.

b) Transductores: Elementos del sistema de control que convierten magnitudes fsicas queno pueden ser utilizadas para el control en otras que s lo pueden ser (una corrienteelctrica o una seal neumtica, p.ej.). P.ej., convertir una seal de presin en una sealelctrica.

c) Lneas de transmisin: Llevan la seal desde el sensor al controlador y del controlador alelemento final de control. La transmisin acostumbra a ser elctrica o neumtica.Frecuentemente se debe amplificar la seal del sensor antes de transmitirla.

d) Controlador: Recibe las seales de los sensores y decide la accin que se debe tomar.e) Elemento final de control: Es el dispositivo fsico que lleva a cabo la decisin del

controlador. Tpicamente es una vlvula aunque tambin puede ser una bomba develocidad variable, una compuerta.

f) Registradores: Proveen de un soporte visual y registro histrico del funcionamiento delsistema.

2.2 Algo de instrumentacin

2.2.1 Dispositivos de medida (sensores)

Para el correcto funcionamiento de un sistema de control es imprescindible una buenamedida de la variable controlada y unas lneas de transmisin efectivas. Existe una gran cantidadde dispositivos de medida y su nmero aumenta da a da. Difieren entre s tanto en el principiobsico de medida como en su construccin. En la tabla siguiente se muestran algunos de lossensores ms tpicos en el control de procesos junto con sus posibles aplicaciones. Para unainformacin ms detallada generalmente hay que recurrir a los fabricantes de sensores.


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A continuacin se comenta con un poco de detalle cuatro de los dispositivos de medida msutilizados en la industria de procesos.

2.2.1.1 Medidores de caudal

Los medidores de caudal ms utilizados en la indstria son aquellos que miden unadiferencia de presin en el fluido al pasar por un elemento en la lnea que crea una prdida decarga. Para calcular el caudal volumtrico que pasa por ese punto se recurre a la ecuacin deBernoulli. Los ms tpicos son la placa de orificio, ms barata, y el tubo de Venturi , ms caro perode mayor precisin.

Un mtodo diferente de medir el caudal volumtrico es la utilizacin de turbinas. En estecaso se calcula el flujo a partir del nmero de vueltas de la turbina para un tiempo dado. En generallos medidores de caudal presentan dinmicas muy rpidas que normalemnte pueden sr modeladascon las siguientes ecuaciones algebrica:

Donde es una constante caracterstica del medidor de caudal y P es la diferencia de presin.


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2.2.1.2 Sensores de temperatura

Los ms comunes son aquellos que miden la temperatura como una seal elctrica. Entreellos cabe destacar los termopares. Independientemente de sus diferencias constructivas, sudinmica bsica puede ser descrita en funcin de sus perfiles de temperatura. El elemento sensorde la temperatura siempre se encuentra en el interior de una vaina de metal. Los termoparespueden ser modelados siguiendo sistemas de primer orden o sistemas de segundo ordensobreamortiguados dependiendo de cmo estn construidos y de los materiales utilizados.

2.2.2 Lneas de transmisin

En el caso de utilizar lneas de transmisin neumtica muy largas puede ser que su efectosobre la dinmica global del sistema no sea despreciable. Normalmente siguen una dinmica quepuede ser descrita con la siguiente funcin de transferencia:

Donde Po es la presin de salida de la lnea de transmisin neumtica, Pi es la presin deentrada y la relaci n de la constante de tiempo muerto con respecto a la constante de tiempo del proceso esaproximadamente igual a 0.25.

2.2.3 Elementos finales de control

El elemento final de control ms comn es la vlvula. El sistema de control cambia laposicin del mbolo ya sea utilizando aire comprimido, si es una vlvula neumtica, o corrienteelctrica. Las vlvulas neumticas se distinguen principalmente en las air-to-close o fail open, enlas que el mbolo desciende al aumentar la presin del aire. En caso contrario se trata de vlvulasdel tipo air-to-open o fail closed.

Las vlvulas puede ser modelizadas siguiendo una dinmica de segundo orden. Pero paralas vlvulas pequeas o de tamao media la dinmica es tan rpida que se puede considerar quees un proceso de primer orden. Para la mayora de productos el caudal que pasa por la vlvulapuede ser descrito por la ecuacin siguiente:

Donde P es la cada de presin del fluido al paso de la vlvula, K es una constante quedepende del tamao de la vlvula, es la densidad del fluido y f(x) es una curva caracterstica parala vlvula. Otros elementos finales de control pueden ser motores de velocidad variable paraventiladores o bombas, la puesta en marcha o apagado de equipos, sistemas electrohidrulicos,etc.


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3.2 La transformada de Laplace como herramienta tilLa transformada de Laplace f(s) de una funcin f(t) se define como:

Donde

El uso de transformadas de Laplace ofrece un mtodo simple y elegante de resolverecuaciones diferenciales como las que se obtienen en los modelos matemticos de los procesosalimentarios.

Entre las diferentes propiedades de las transformadas de Laplace cabe destacar:

1. Es un operador lineal

2. La transformada de una derivada es:

Es importante resaltar que una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden pasa a ser unaecuacin lineal de primer grado.

La transformada de la segunda derivada es:

Generalizando:

3. La transformada de Laplace de una integral es:

4. Translacin de la transformada:

Translacin de la funcin:

5. Teorema del valor final:


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3.3 La funcin de transferencia. lgebra de funciones detransferencia

Para un proceso sencillo, como el del nivel del depsito, se puede plantear un esquemasencillo que describa en cierta medida al sistema:

En el caso de trabajar utilizando las transformadas de Laplace de las funciones de entraday salida, se puede representar la dinmica del proceso mediante el uso de la funcin detransferencia.

La funcin de transferencia G(s) liga la entada y la salida del sistema:

Donde y(s) es la transformada de Laplace de la respuesta del proceso definida utilizandovariables de desviacin y f(s) es la transformada de la funcin de desviacin de la entrada.

3.4 Transformadas de algunas funciones singulares

A continuacin se muestran las transformadas de algunas funciones con las que setrabajar frecuentemente ms adelante ya que pueden ser asimiladas como las perturbacionesms frecuentes.

Si no se dice lo contrario todas estas funciones se definen para que su valor sea nulo atiempo menor que cero.

3.4.1 Funcin escaln

Es una funcin cuyo valor para tiempos menores que cero es nulo y que alcanza el valor Mpara tiempo mayores que 0:


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Esta funcin se define como:

La transformada de Laplace de esta funcin es:

Si M es igual a 1 se tiene la funcin escaln unidad, U(t). En el caso de que la funcintenga un retraso t0:

O lo que es lo mismo:


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Por tanto, aplicando la propiedad nmero 4 (ecuacin 3.6), la transformada de Laplaceser:

3.4.2 Funcin pulso

Se trata de una funcin pulso con rea A=Mt0:

La funcin pulso se define como:

Utilizando la definicin del escaln unidad tambin se puede escribir como:

Por tanto, la transformada de Laplace ser:

3.4.3 Funcin impulso

Se trata de un pulso tal que


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La transformada de Laplace de esta funcin es:

En el caso particula de que el rea sea 1 se habla de la funcin delta de Dirac (t). Sepuede comprobar fcilmente que el impulso es la derivada de la funcin escaln.

3.4.4 Funcin rampa

Se trata de una funcin lineal de pendiente M:

Esta funcin se define como:

La transformada de Laplace es:

3.4.5 Funciones trigonomtricas

La funcin seno es:


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Se define la funcin como:

Donde M es la amplitud y w es la frecuencia angular, expresada normalmente como rad/s.La transformada de Laplace de la funcin seno es:

Y la de la funcin coseno:

3.5 Inversin de transformadas. De vuelta al tiempo real

Continuando con el ejemplo se estudiar la salida del sistema para una entrada de tipo escalnunidad:

Mediante el operador transformada inversa de Laplace (L1) se obtiene la salida en tiempo real.Para ello hay que descomponer la funcin a invertir en partes asimilables a las que se encuentranen las tablas de transformadas de Laplace

Donde a y b son dos variables a determinar. Obviamente, a=R y b=R. Por tanto,

Donde =RA es la constante de tiempo y tiene dimensiones de tiempo.

Cuanto mayor es ms lenta es la respuesta, ms tarda el sistema en alcanzar el estadoestacionario. Se comprueba que cuanto menor es la seccin del tanque ms rpida es larespuesta. Si es grande se dice que el sistema presenta una gran inercia.


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3.6 Expansin en fracciones parciales

Un mtodo de inversin de transformadas de Laplace es la expansin en fracciones parciales.

Para invertir la funcin f(s) se reordena como una suma de funciones simples:

Una vez realizada la descomposicin se realiza la inversin de transformadas:

Normalmente las funciones a invertir en control de procesos aparecen como fracciones de polinomios en s del tipo:

Donde z(s) es un polinomio de orden m y p(s) es un polinomio de orden n.Para realizar la inversin de la transformada de Laplace se factoriza el denominador:

Donde pi son las races (ceros) del polinomio p(s).Si todas las pi(s) son diferentes, se puede expresar f(s) como una suma de n trminos:

Los numeradores de la ecuacin anterior se evalan de la siguiente manera:

Si existen races del denominador de f(s) repetidas, de nuevo se expresa f(s) como un producto de fracciones simples. Por ejemplo, en el caso de que una raz se repita dos veces:

la descomposicin en fracciones simples es:


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Si la raz se repite 3 veces (orden 3) la expansin sera as:

Los numeradores de la ecuacin se calculan de la siguiente manera:

Para encontrar el numerador C de la ecuacin se debe tomar la segunda derivada. Generalizando al trmino Aj de una raz de orden N en p1:


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