folleto 1 unidad i introduccic3b3n a las op mec

Unidad I: Introducción a las operaciones mecánicas

Ingeniería Agroindustrial

M. Sc. Sandra Lorena Blandón Navarro

Sandra Blandón N. Operaciones Mecánicas 2012

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Contenido 1.1 Introducción .............................................................................................................. 2

Objetivo ............................................................................................................................ 2

1.2 Procesos de separación, reducción de tamaño y mezclado. ......................... 3

1.2.1 Fundamentos y definiciones. ......................................................................... 3

Reducción de tamaño ........................................................................................... 5

Mezclado ................................................................................................................. 7

Bibliografía ...................................................................................................................... 7

1.3 Características de las partículas. Propiedades de los sólidos granulares..... 8

Densidad ................................................................................................................. 8

Densidad absoluta o real (ρp) .............................................................................. 8

Densidad Aparente ................................................................................................ 9

Porosidad ................................................................................................................ 9

1.3.1 Características geométricas de las partículas, diámetro equivalente, esfericidad ................................................................................................................... 9

Dimensiones de las partículas ............................................................................... 10

Esfericidad ................................................................................................................ 11

1.3.2 Técnicas y aparatos de medición granulométrica ................................ 13

Bibliografía .................................................................................................................... 14


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Unidad I: Introducción a las operaciones mecánicas

1.1 Introducción Las operaciones que se llevan a cabo en la industria y que conllevan cambios

físicos de los materiales manipulados se consideran como operaciones

unitarias.

Las características de estas operaciones se citan a continuación:

Son de naturaleza física

Son comunes a todo tipo de industrias (sin cambio en el concepto, se

limita a cambios en el estado).

Las operaciones individuales tienen técnicas comunes y están

fundamentadas en los mismos principios científicos,

independientemente de los materiales a procesar.

Los métodos prácticos de ejecución de las mismas pueden ser más o

menos diferentes en la variedad de industrias.

Las operaciones que implican un cambio físico se denominan como

operaciones unitarias para indicar que cada operación es individual, por

ejemplo la destilación, se utiliza en una amplia gama de industrias y,

normalmente, las condiciones de funcionamiento son diferentes (temperatura,

presión).

Una rama de las operaciones unitarias son las operaciones mecánicas, por

ejemplo, la reducción de tamaño, almacenamiento, filtración, etc.

Las operaciones mecánicas que involucran a las partículas sólidas son:

Reducción de tamaño por corte y molienda.

Mezclado sólido-sólido y sólido-líquido

Tamizado, flotación, separación magnética y separación electrostática.

La clasificación comprende las técnicas de separación de mezclas de

sólidos en fracciones y la clasificación en húmedo.

Separaciones sólido fluido: filtración, sedimentación y separación

centrífuga.

Separación gas sólido: colección de polvos, filtración, precipitación

electrostática.

Manejo de sólidos -almacenamiento, transporte y alimentación.

Ampliación de tamaño: peletización, aglomeración, granulación y

extrusión (Gavhane, 2009).

Objetivo: Diferenciar los fundamentos y leyes que rigen los procesos

operativos mecánicos en los procesos de separación, reducción de tamaño y

mezclado, para aplicarlo en el ejercicio profesional.


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1.2 Procesos de separación, reducción de tamaño y mezclado.

1.2.1 Fundamentos y definiciones. La separación puede ser acompañada del uso de fuerza física-mecánica y no

necesariamente por las fuerzas moleculares, químicas y la difusión. Estas

operaciones requieren de fuerza física-mecánica actuando sobre las partículas,

líquidos y mezclas de partículas y no necesariamente sobre las moléculas

individuales. Las fuerzas física mecánica incluyen la gravitacional y la

centrífuga, las fuerzas mecánicas y cinéticas derivadas del flujo. Las partículas

y/o fluidos son separados por los efectos producidos por la fuerza aplicada.

La separación de los componentes de una mezcla de sólidos se realiza en

función de las diferencias que puedan existir en las propiedades físicas de los

mismos. Las técnicas de separación empleadas más empleadas con más

frecuencia para efectuar las separaciones son las siguientes:

1- Diferencias de tamaño: Los componentes se separan por medio de filtros o

tamices a través de los cuales pasan solamente aquellas partículas cuyo

tamaño de grano sea menor que el de los poros del filtro o de los orificios del

tamiz utilizado.

2- Diferencias de densidad: Se vierte la mezcla sobre un líquido adecuado

(agua, aceite, mercurio, Etc.) en el que solamente flotarán aquellos

componentes menos densos que el líquido utilizado.

3- Diferencias de solubilidad: Se vierte sobre la mezcla un líquido en el cual

solamente sean solubles algunos de los componentes. Los restantes quedarán

en el fondo del recipiente, pudiendo separarse por filtración o por simple

decantación.

4- Diferencia en las propiedades magnéticas: Algunas sustancias como el

hierro, son atraídas por los imanes, por lo que con uno de éstos, se pueden

separar de la mezcla.

Existen una gran variedad de equipos disponibles para las separaciones sólido

líquido a nivel industrial. La pregunta más frecuente es: ¿Cuál resulta ser la

mejor elección para mi empresa? Podemos tomar en cuenta las guías técnicas

que se han publicado para ayudar en la toma de decisiones, pero esto se

complementa con los conocimientos adquiridos sobre las operaciones

mecánicas.

Existen cuatro pasos para la separación sólido-líquido. No todos los pasos

están presentes en todos los procesos.


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Los pasos son:

Pretratamiento

Concentración de sólidos

Separación de sólidos

Postratamiento

Pretratamiento Para incrementar el tamaño de las partículas y reducir la

viscosidad

Químico Físico

Coagulación Cristalización

Floculación Reposo

Refrigeración/Calenta

miento

Filtración del aditivo

auxiliar

Concentración

de sólidos

Para reducir el volumen de material a procesar

Clarificación Espesamiento

Sedimentación

gravitatoria

Sedimentación

gravitatoria

Filtración de flujo

cruzado

Ciclones

Filtros de presión

periódica

Separación de

sólidos

Para separar sólidos de líquidos; para formar tortas

conformadas por sólidos secos o para producir partículas

libres de líquidos

Clarificación Filtración Centrifugación

Lechos granulados Vacío Sedimentación

centrífuga

Tambores de capas Gravedad Filtración

centrífuga

Presión Ciclones

Postratamiento Para remover sustancias solubles, remover humedad,

reducir la porosidad de la torta o para preparar materiales

para procesos posteriores

Físicos

Lavado

Secado

Rechazo


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El costo de las separaciones sólido-líquido está asociado al volumen de

material que se procesa. Equipos presurizados como los filtros de presión son

más caros para operar que los espesadores.

Reducción de tamaño La reducción de tamaño se refiere a una operación en la cual las partículas

sólidas son cortadas o trituradas en equipos de molienda.

La reducción de tamaño es un proceso mecánico de ruptura de sólidos para

convertirlos en partículas más pequeñas sin alterar el estado de agregación.

Esto también se llama conminación.

Algunos materiales sólidos existen en medidas muy grandes que no pueden

ser usados directamente.

La reducción de tamaño se efectúa en la industria por alguna de las siguientes

razones:

Para incrementar la superficie de contacto de manera que se logre

incrementar la eficiencia de los procesos físicos o químicos. En muchas

reacciones y operaciones unitarias (ejemplo, lixiviación) que involucran

partículas sólidas, la tasa se incrementa al incrementar la superficie de

contacto entre el sólido y el solvente.

En la lixiviación, la tasa de extracción se incrementa porque se

incrementa el área de contacto entre el sólido y el solvente.

Para efectuar la separación de dos constituyentes en caso donde uno

está disperso en paquetes pequeños y aislados. Ejemplo: El maíz y la

extracción de almidón.

Para satisfacer las especificaciones estrictas en cuanto a las medidas de

los productos comerciales. (El café molido, la cocoa)

Para llevar a cabo mezclas de sólidos en operaciones sólido-sólido

donde el mezclado se optimiza cuando las partículas son más pequeñas

(sopas en polvo y sus aditivos).

Para mejorar la tasa de disolución, solubilidad, fuerza vinculante y

propiedades de dispersión. (Elaboración de chocolate, el azúcar se

refina para lograr un producto homogéneo, de manera que el

consumidor no perciba irregularidades en la textura del alimento)

Los equipos de reducción de tamaño de sólidos funcionan por:

Compresión

Impacto

Desgaste o rozamiento

Corte

En general, la compresión es usada para la reducción de materiales gruesos y

duros (para producir relativamente pocos finos), el impacto da productos

gruesos, medios y finos, el rozamiento da productos muy finos de materiales

suaves, no abrasivos y el corte produce partículas de un tamaño definido y

algunas veces de formas de formas definidas con pocos o ningún fino.


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Las operaciones de reducción de tamaño son llevadas a cabo en industrias de

procesamiento tales como la industria química, pinturas, cemento y procesos

alimenticios. En la industria de alimentos –azúcar, especias, granos, etc. En la

industria del cemento – cal, alúmina, arena y clinker, en la pinturas -pigmentos.

En la industria de fertilizantes – rocas de fosfato se reducen de tamaño.

Los equipos de reducción de tamaño se dividen en cuatro tipos principales, los

cuales se presentan a continuación. Las trituradoras se emplean en la ruptura

de grandes piezas de materiales sólidos dentro de pequeños bultos. Se puede

contar con trituradoras en serie y la trituradora primaria es capaz de producir

partículas de 150 a 250 mm. Una trituradora secundaria reduce las partículas

procedentes de la trituradora primaria y el producto puede tener medidas de

alrededor de 6 mm. Los molinos se pueden emplear para reducir de tamaño el

producto procedente de las trituradoras. Un molido intermedio puede producir

partículas de malla 40. Un molino de finos da un producto de aproximadamente

malla 200. Los molinos ultrafinos son máquinas que se alimentan con

partículas menores de 6 mm y producen tamaño de 1 a 6 µm. Las cortadoras

por tener tamaño y forma definidas, pueden lograr productos entre 2 a 10 mm

de longitud.

Trituradoras (Gruesos y finos)

Trituradora de mandíbula: constan de una placa fija y otra móvil oscilante.

Trituradoras rotatorias.

Trituradoras de rodillos lisos.

Trituradoras de rodillos dentados.

Molinos ( intermedios y finos)

Los molinos son aparatos que reducen el tamaño de los trozos de material por

fricción e impacto con elementos móviles del interior del molino. Consiguen

tamaños de partícula del orden de 1mm. Los principales modelos son:

Molinos de bolas: Contienen una cierta cantidad de bolas de un material muy

duro –cerámica, acero- que trituran el material al girar el cuerpo del molino. Son

de uso muy general.

Molino de barras. Son largos cilindros horizontales con rotación axial, que

contienen barras de acero de longitud igual a la del molino. Dan una fracción de

partículas finas muy baja.

Molinos de martillos. Contienen en su interior martillos oscilantes que golpean

el material al girar el molino.

Molinos de chorro. No contienen rellenos: la molienda se lleva a cabo al

introducir las partículas en una fuerte corriente de aire y chocar entre sí. Se

usan para obtener una elevada proporción de partículas finas sin contaminar el

material con restos de elementos trituradores de relleno. (Ibarz & Barbosa-

Cánovas, 2005)

Molinos para ultrafinos

Molinos de martillos con clasificación interna

Molinos con flujo de energía

Molinos agitados


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Máquinas para el cortado

Cortadoras de cuchillas (cutter), rebañadoras

Las trituradoras emplean la fuerza de compresión, los molinos emplean el

impacto y el rozamiento. Los molinos ultrafinos operan por rozamiento y las

cortadoras emplean cuchillas para el corte.

Mezclado El mezclado es la dispersión de los componentes, uno en otro. Se presenta en

innumerables ejemplos en la industria alimentaria.

CARACTERÍSTICAS DE MEZCLAS

Idealmente, el proceso de mezclado comienza con los componentes,

agrupados en algunos contenedores, pero separado como componentes puros.

Así, si se toman pequeñas muestras en todo el recipiente, casi todas las

muestras se compondrán de un componente puro.

Luego se procede a mezclar, logran que las muestras cada vez contengan más

proporciones de los componentes que la constituyen, y que esto sea así en

todo el recipiente. La mezcla completa podría definirse como el estado en el

que se comprueba que todas las muestras tienen la presencia de los

componentes en las mismas proporciones que en toda la mezcla.

En realidad, esta situación sólo se alcanza con la agrupación ordenada de los

componentes y sería un resultado más improbable de cualquier proceso de

mezcla práctica.

Otro enfoque es la definición de la mezcla perfecta como aquella en la que los

componentes en las muestras se presentan en proporciones cuya probabilidad

de ocurrencia estadística es la misma que la de una dispersión estadística

aleatoria de los componentes originales. Tal dispersión representa lo mejor que

los procesos de mezcla al azar puede hacer.

En el mezclado se pueden distinguir tres tipos de mecanismos de mezcla:

Mezclado por difusión: las partículas ruedan por una superficie inclinada.

(horizontalmente se produce segregación)

Mezclado por esfuerzos de corte: ocurre cuando se generan zonas de

deslizamiento (quiebre) en una mezcla de polvos.

Mezclado por convección: se producen trayectos especiales (modelos) de

circulación en una masa de polvos.

Bibliografía Bolaños Murillo, P. (2002). Agroindustria, II Parte, Aspectos Tecnológicos. San

José, Costa Rica: EUNED.

Costa López, L., Cervera March, S., Curnill García, F., Esplugas Vidal, S.,

Mans Teixidó, C., & Mata Alvarez, F. (1991). Curso de Ingeniería Química.

Barcelona, España: Editorial Reverté, reimpresión 2004.


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Gavhane, K. (2009). Operations Unit I, Fluids Flow and Mechanical Operations .

Pune, Maharashtra, India: Niraly Prakashan.

Ibarz, A., & Barbosa-Cánovas, G. (2005). Operaciones Unitarias en la

Ingeniería de Alimentos. Barcelona, España: Ediciones Mundi Prensa.

1.3 Características de las partículas. Propiedades de los sólidos granulares Los sólidos granulares, al estar compuestos por un conglomerado de

partículas, granos o pedazos, presentan propiedades que son inherentes a las

sustancias de que están compuestas, como la densidad de las partículas, la

dureza, el esfuerzo último de ruptura por compresión, el módulo de elasticidad,

la friabilidad. Por otra parte también presentan propiedades que son debidas a

su estado de agregación granular, como la densidad aparente, la porosidad, el

coeficiente de frotamiento, la granulometría o distribución de tamaños, la

superficie específica.

A continuación se detallan una serie de propiedades que son de importancia en

el estudio de las propiedades reológicas de los productos alimenticios y otros

materiales.

Densidad

En física el término densidad ( ) es una magnitud referida a la cantidad de

masa contenida en un determinado volumen, y puede utilizarse en términos

absolutos o relativos. En términos sencillos, un objeto pequeño y pesado, como

una piedra o un trozo de plomo, es más denso que un objeto grande y liviano,

como un corcho o un poco de espuma. Según sea la manera como se calcula,

se clasifica en densidad absoluta o real y densidad aparente.

Densidad absoluta o real (ρp)

La densidad absoluta o densidad normal, también llamada densidad real,

expresa la masa por unidad de volumen. Cuando no se hace ninguna

aclaración al respecto, el término «densidad» suele entenderse en el sentido de

densidad absoluta.

Donde Vp es el volumen propio de la partícula.


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Densidad Aparente

La densidad aparente de un material granular (ρa) es la masa de un material

correspondiente a la unidad de volumen ocupado por el mismo. La densidad

aparente siempre es menor que la densidad real, debido a los espacios huecos

existentes entre las partículas que forman el conglomerado.

Si m es la masa de las partículas de una muestra y V es el volumen ocupado

por ella:

Pero el volumen ocupado por el sólido granular es igual al volumen del sólido

más el volumen hueco,

V=Vp + Vh

Porosidad Indica el porcentaje de espacios vacíos que dejan los productos entre sí

cuando están almacenados a granel o empacados. La porosidad guarda

relación con la densidad aparente y la densidad real.

Porosidad = 1 - Densidad aparente x 100%

Densidad real

1.3.1 Características geométricas de las partículas, diámetro equivalente, esfericidad

Las dimensiones, forma y área son las características geométricas más

importantes de los sistemas particulados. Las propiedades de los sólidos

homogéneos tienen la misma densidad como el material disperso (Patil, 2008).

Ecuaciones para las esferas

D


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Dimensiones de las partículas En general, los diámetros pueden ser especificados para una partícula

equidimensional, por ejemplo, si son más largas en una dirección que en otra,

son caracterizadas con frecuencia por la segunda dimensión mayor, así Dp

podría referirse al grosor de una partícula y no a su longitud. Por convención,

las dimensiones de las partículas son expresadas en diferentes unidades en

dependencia del rango de tamaños involucrados. Las partículas gruesas se

miden en pulgadas o milímetros, las partículas finas en términos del tamaño de

la malla, las partículas muy finas se miden en micrómetros. Las partículas

ultrafinas son algunas veces descritas en términos del área por unidad de

masa, usualmente en m2/g.

Muchos materiales poseen formas irregulares, como se muestra en la figura.

Figura. Posibles formas de partículas que pueden pasar por un tamiz con un

mismo diámetro.

¿Cómo se pueden hacer las mediciones de éstas partículas? En ingeniería, es

deseable presentar cálculos usando el diámetro; necesitamos algunas bases

simples para describir las formas irregulares de las partículas para poder hacer

los cálculos. Esto es el origen del concepto de diámetro equivalente, donde

algunas propiedades físicas de las partículas están relacionadas a las de una

esfera que podría tener las mismas propiedades, por ejemplo, el mismo

volumen (Patil, 2008).

El volumen es fácil de medir. Si una partícula es lo suficientemente grande,

puede desplazar un volumen de agua que sería igual al volumen de dicha

partícula y el volumen de la partícula es equivalente al volumen de una esfera.

Si se requiere determinar el volumen de una esfera o la longitud de un lado de

un cubo y se conocen sus áreas, no se dificultaría el cálculo. Para otras formas

se requiere más de una medida; los cilindros requieren dos, diámetro y

longitud; cubos requieren ancho, altura y longitud.

Diámetro equivalente, se define como “el diámetro de una partícula esférica que pasaría a través de un tamiz con cierta apertura x”.


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Esfericidad

La forma de las partículas sólidas está descrita con frecuencia por la

esfericidad. El valor de la esfericidad para las esferas es de 1 y para las

partículas no esféricas está definida como:

Dp es el diámetro equivalente o diámetro nominal de la partícula

as es el área de superficie de la partícula

Vp es el volumen de la partícula

Ø: esfericidad

En la siguiente tabla se dan los valores de esfericidad

Forma de la partícula Esfericidad

Esfera 1

Cubo 0.81

Cilindros

h=d 0.87

h=5d 0.70

h=10d 0.58

Discos

h= d/3 0.76

h= d/6 0.60

h= d/10 0.47

Arena de playa Tan alta como 0.86

Arena de rio Tan baja como 0.53

Distintos tipos de arena 0.75

Sólidos triturados 0.5-0.7

Partículas granulares 0.7-0.8

Trigo 0.85

Anillos rasching 0.26-0.53

Sillas Berl 0.30-0.37

Fuente: Levelspiel, 1993 citado por (Ibarz & Barbosa-Cánovas, 2005)

Ejemplo 1.

Calcule la esfericidad de un cuboide con dimensiones 1x2x3 unidades. Use

como diámetro equivalente el de una esfera con el mismo volumen.

Solución: El volumen del cuboide es de 6 unidades. El diámetro de la esfera de

volumen equivalente es,


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La esfericidad está definida como;

El área de superficie del cuboide es de 22 unidades y su esfericidad es;

En general, cuando se observa cualquier tipo de granulado en un microscopio

óptico, se denota que todas las partículas no tienen ni el mismo tamaño ni igual

forma, o sea son anisométricas y un sólo parámetro de medida no definiría el

polvo. Sin embargo, una manera de controlar el tamaño de partícula en el

momento de la conminación es utilizando un tamiz con tamaño de poro fijo. En

la práctica, la obtención de partículas de un sólo tamaño es muy costosa y

complicada. Por esta razón, se acostumbra a utilizar granulados que estén

formados por una distribución de frecuencias de tamaño estrecha, es decir que

no tengan mucha variabilidad entre los tamaños con respecto al diámetro

promedio.

Obviamente se asume un error inherente ya que sabemos que en un granulado

la mayor parte de las partículas tiene formas diferentes que resultan del

proceso de conminación. Si se observa el siguiente esquema se puede ver la

magnitud del problema.

Figura. Esquema de los diferentes tipos de diámetros

Existen muchos tipos de diámetros estadísticos dependiendo de la orientación

y forma de la partícula. Por ejemplo, el diámetro de Ferret es la distancia

promedia entre dos tangentes paralelas respecto al perímetro proyectado de la

partícula; Mientras que el diámetro de Martin es la longitud de la cuerda media

del perímetro de partícula proyectado.


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1.3.2 Técnicas y aparatos de medición granulométrica Para la determinación de estas características granulométricas se utilizan

universalmente tres métodos fundamentales:

El análisis por tamizado o cribado. Se explica a detalle en la siguiente

página.

El análisis por medio del microscopio. Las técnicas que utilizan el

microscopio se basan en el conteo visual del número de partículas de

cada tamaño, determinado según la retícula del instrumento y requiere

un tratamiento estadístico complejo. Se usa fundamentalmente para el

análisis de polvos muy finos.

Las pruebas de sedimentación. La aplicación de las técnicas de

sedimentación requieren el conocimiento de la teoría de caída libre de

los cuerpos en el seno de fluidos.

Método de difracción láser: uno de los métodos más comunes para

determinar la medida de las partículas es el equipo de difracción laser.

El material es suspendido en un líquido: la diferencia en el índice de

refracción entre el líquido y el sólido podría ser muy grande. Un rayo

láser atraviesa a través de la suspensión. El patrón de la franja

producida por los sólidos suspendidos puede ser analizada para producir

una distribución de medidas para el material.

El análisis por tamizado consiste en la separación mecánica de las diferentes

fracciones de tamaño del material por medio de un juego de tamices, de

abertura de agujeros conocida, que se colocan uno encima de otro en

gradación de mayor a menor abertura comenzando por arriba.

La muestra de material granular cuidadosamente pesada, en cantidad que

obedece a las normas vigentes, se coloca en el tamiz superior y entonces el

conjunto de tamices es sometido a un proceso de vibraciones y golpes durante

un periodo de tiempo dado, de modo que el cernido de las partículas se efectúa

a través de todos los tamices que tengan una abertura de agujeros mayor que

el tamaño de las partículas dadas y queden retenidas sobre el tamiz que tenga

una abertura de agujeros menor que dicho tamaño. Cuando el proceso ha

terminado, se recogen separadamente los residuos que han quedado en cada

tamiz, cuidando que no queden partículas ocluyendo los agujeros (debe

limpiarse cada tamiz con una brocha suave y someter los tamices vacíos a un

nuevo proceso de vibraciones y golpes si es necesario) y se pesan los residuos

o fracciones procedentes de cada tamiz, incluyendo el residuo de la bandeja

inferior. A cada fracción se le adjudica un tamaño equivalente al promedio de

los tamaños de los agujeros o abertura del tamiz donde quedó y del

inmediatamente superior.


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Cuando el material que se somete al análisis es pegajoso, entonces se utiliza

una variante del tamizado en húmedo, durante el cual se rocía cada bandeja

con una ducha a presión. Los tamices están confeccionados con un tejido

metálico de agujeros cuadrados. El grosor de los alambres y el tamaño de los

agujeros está normado y depende del sistema utilizado. Los sistemas de

tamices más utilizados son: escala Tyler (Inglaterra), escala ASTM (EEUU) y la

escala internacional ISO. En todos estos sistemas el tamaño de los agujeros de

dos tamices consecutivos está relacionado mediante un módulo igual o

aproximadamente igual √2.

Las clases o tamaños de las partículas que se determinan en un análisis por

tamizado se designan de la siguiente manera:

Un número para especificar el tamiz por el que pasa una fracción dada y otro

para el tamiz en el que queda la fracción. A continuación se dan algunos

ejemplos de designaciones de tamaños:

-100 +150 mallas Tyler: significa que la fracción dada pasó por el tamiz de 100

mallas Tyler y fue retenida en el de 150 mallas.

100/150 mallas Tyler: equivale a la designación anterior.

-0.147 +0.104 mm: equivale a la designación anterior, pero se expresan

directamente las fracciones en mm (puede designarse

también en micrones).

0.147/0.104 mm: equivale a la designación anterior.

Bibliografía Ibarz, A., & Barbosa-Cánovas, G. (2005). Operaciones Unitarias en la

Ingeniería de Alimentos. Barcelona, España: Ediciones Mundi Prensa.

Patil, K. D. (2008). Mechanical Operations, Principles and Applications. Pune,

Maharashtra, India: Nirali, Prakashan.

Imágenes de formas de partículas en:

http://docencia.udea.edu.co/qf/farmacotecnia/02/02_diametros.html


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Anexo

Volumen y área superficial

El volumen de un ortoedro es

simplemente: Volumen = longitud × profundidad ×

altura

Y lo podemos escribir como: V = lpa

Y el área de su superficie es: A = 2lp + 2pa + 2al

Ejemplo de cálculo

Encuentra el volumen y el área superficial

de este ortoedro.

V = 4×5×10 = 200

A = 2×4×5 + 2×5×10 + 2×10×4

= 40+100+80 = 220

Tomado de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/ortoedros-

prismas-rectangulares.html

folleto 1 unidad i introduccic3b3n a las op mec

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