sesion de aprendizaje nc2ba 071

Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com

SESIN DE APRENDIZAJE N 07

FACULTAD DE :

ESCUELA PROFESIONAL DE :

DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I

ASIGNATURA : Lgico Matemtica FECHA:

TEMAS: Ecuaciones cuadrticas, discriminante, relacin entre los coeficientes y races de una ecuacin de segundo

grado. Ecuaciones de grado mayor que 2, ecuaciones Bicuadradas, ecuaciones recprocas, ecuaciones racionales y ecuaciones irracionales

TIEMPO: 08 horas acadmicas.

COMPETENCIA:

Resuelve y aplica operaciones matemticas, relacionadas a ecuaciones cuadrticas as como su aplicacin en el campo prctico de la vida cotidiana.

CAPACIDADES:

Diferencia una ecuacin de una inecuacin. Calcula el discriminante de una ecuacin Plantea y resuelve problemas de su especialidad, que requieren de las ecuaciones cuadrticas. Grafica e interpreta una funcin cuadrtica y de grado superior.

ACTITUDES:

RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificacin en su trabajo acadmico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los dems y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIN: Muestra disposicin a enfrentarse a situaciones problemticas novedosas. Participa activamente

en el desarrollo de las clases.

E

V

A

L

U

A

C

I

N

MOMENTOS O FASES

DESCRIPCIN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGA

MEDIOS Y MATERIALES

TIEMPO

EVALUACIN

INDICADORES

INSTRUMENTO

Motivacin y exploracin

MOTIVACION:

(ANEXO N 01)

EXPLORACION: El docente presenta en la pizarra una lista de ejercicios relacionadas a operaciones con ecuaciones de segundo grado (Lluvia de ideas, Tcnica interrogativa) El uso para seguir la

secuencia.

(ANEXO N 01)

Material Impreso.

Pizarra

Plumones

acrlicos

Mota

Palabra hablada.

50 min.

Inters por el tema, participacin individual y en

grupo.

Observacin espontnea. Intervencin oral

Problematizacin

Se plantea las siguientes

interrogantes:

Serias capaz de

plantear ejercicios

con ecuaciones de

segundo grado?

Qu clase de

ecuaciones

observan en los

ejercicios

planteados?

Qu es un

Exposicin oral

45 min.

Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan con ecuaciones de segundo grado, desarrollan los ejercicios

planteados. Participacin activa

Ficha de evaluacin (ANEXO N 05) Ficha de autoevaluacin (ANEXO N 06)


discriminante?

Existe relacin

entre los

coeficientes y las

races de la

ecuacin de

segundo grado?

Construccin del conocimiento

Se forma 7 grupos.

Modulo de lgica

matemtica

- (ANEXO N 03)

- Los estudiantes

plantean sus

ejemplos con

ecuaciones

cuadrticas,

bicuadradas,

racionales e

irracionales.

Se realizan

indicaciones en la

pizarra sobre

conceptos bsicos,

dadas en la hoja

tcnica.

(ANEXO N 04)

Se realiza la

sistematizacin de

lo aprendido.

Los estudiantes

plantean y

desarrollan un

laboratorio con

ejercicios.

(ANEXO N 05)

Papelgrafo. Mdulo lgico matemtico (ANEXO N03) Textos auxiliares. cinta adhesiva

185 min.

Aplicacin de la teora en la solucin de problemas especficos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera. Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten

Ficha de evaluacin (ANEXO N 05) Ficha de autoevaluacin (ANEXO N 06)

Transferencia del conocimiento

L

Los estudiantes

resuelven los

ejercicios

planteados en su

mdulo de trabajo.

Los estudiantes

participan

Hoja impresa Folder de trabajo.

120 min.

Aplica estrategias metacognitivas para representar la solucin de los

Ficha de evaluacin (ANEXO N 05) Folder de trabajo.


anotando sus

respuestas en la

pizarra

Los estudiantes

elaboran

ejercicios referidos

a operaciones con

los diferentes tipos

de ecuaciones de

segundo grado

(Hoja de

informacin ,Grupo

de estudio ,

trabajo en equipo;

exposicin del

problema

planteado.(ANEXO

N04)

Los alumnos

resuelven en

grupo una ficha de

trabajo:Leo,

analizo y resuelvo

( ANEXO N 03 )

que les permitir

descubrir

procedimientos

para reconocer e

interpretar a las

proposiciones.

El docente destaca

los resultados a

travs de la

evaluacin del

trabajo realizado..

Los alumnos

desarrollan

ejercicios

propuestos del

modulo

correspondiente

Ecuaciones de

segundo grado.

ejercicios planteados. Presentacin de trabajo individual o grupal


BIBLIOGRAFA Gonzales Caicedo, Walter Orlando y Otros. (2009). Modulo de Lgico Matemtica. Lambayeque Per. Moiss, Lzaro. (2007). Matemtica Bsica Tomos I y II. Editorial Moshera. Per. Venero Baldeon, Armando. Matemtica Bsica. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemtica Bsica. Editorial Servicios Grficos JJ. Per.

ANEXO N 01

Si usted quiere exportar productos agrarios y desea saber que dimensiones debe tener una caja cuyo volumen es 1500cm3, sabiendo que debe tener 5 cm de altura y de ancho cinco cm. ms que de largo. Calcular la longitud y la anchura.

SOLUCION:

Sabemos que el volumen se representa por:

V= a.b.c

1500 = 5.x. (x + 5)

Pues, aqu se plantea una ecuacin de segundo grado, es decir: Desarrollando queda 5x2 + 20x - 1500 = 0. Resolviendo la ecuacin obtenemos x1 = -20 y x2 = 15. La primera solucin (-20) no vale, por lo tanto la solucin es x = 15 cm de largo. La caja mide: 5 x 15 x 20

ANEXO N 02

Recuerda: Cuanto menos habla el hombre de sus virtudes, ms lo apreciamos. Emerson Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.

ANEXO N 03

USS. MODULO DE LGICO MATEMTICA

ECUACINES DE SEGUNDO GRADO

1. CONCEPTO: Denominada tambin ECUACIN CUADRTICA, es aquella ecuacin polinomial de una incgnita de la forma general:


ax2 + bx + c = 0; a 0

2. RESOLUCIN DE LA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO:

Sea: ax2 + bx + c = 0; a 0 ...... (1)

Multiplicando por 4a la ecuacin (1), tenemos:

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx = -4ac

Sumando b2 en ambos miembros, para formar en el primero un trinomio cuadrado perfecto:

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac Luego:

(2ax + b)2 = b2 4ac Extrayendo raz cuadrada, se tiene:

ac4bbax2 2

2ax + b = ac4b2

Despejando la incgnita x, resulta:

a2

ac4bbx

2

Que viene a ser la solucin general de la ecuacin cuadrtica (1). Establecida por FRANCOISE VIETE en el siglo XVI.

3. DISCRIMINANTE O VARIANTE Se denomina as a la cantidad subradical de la solucin general: b2 4ac, y se le simboliza por la letra griega mayscula ; es decir:

ac4b2

4. RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA De la solucin general, se obtienen:

a2

bx1

a2

bx2

Para conocer los valores de estas races, a partir de la ecuacin polinomial:

ax2 + bx + c = 0; a 0 Se reemplazan directamente los valores de los parmetros a, b y c. Pero. Si el polinomio cuadrtico se puede factorizar fcilmente, entonces se realiza este procedimiento, obtenindose dos factores lineales; para luego igualar a cero cada uno de stos.

5. DISCUSIN DE LAS RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA CON COEFICIENTES REALES Tenemos: ax2 + bx + c = 0 La naturaleza de las races de la ecuacin:

ax2 + bc + c; a, b, c R y a 0

Viene caracterizada por el valor que asume el discriminante , es decir:


CASO 1:

Si > 0, las races sern reales y diferentes. Ejemplo: Resolver: 3x2 5x +1 = 0

Solucin: Clculo del discriminante:

= (-5)2 4(3)(1) = 13 donde: > 0 Luego, reemplazando en la solucin general:

X = )3(2

13)5(

De aqu: x1 = 6

135 x2 =

6

135

Las races son reales y diferentes.

CASO 2:

Si > 0, las races sern reales e iguales; esto es, una raz real doble.

Ejemplo: Resolver: 4x2 12x + 9 = 0 Solucin:

Anlogamente: = (-12)2 4(4)(9)=0

En la solucin general: x = )4(2

0)12(

De aqu: x1 = x2 = 2

3

CASO 3:

Si


y = g(x) = 0

Si: f(x) = g(x)...... ( ) Se obtiene la ecuacin cuadrtica:

ax2 + bx + c = 0; a 0

De la igualdad de funciones ( ), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir, geomtricamente, hallar los puntos de interseccin de las grficas de estas funciones, como se muestra en la figura:

Donde y1 = y2 = 0 y x1 x2 Siendo las abcisas de los puntos de interseccin (x1; 0) y (x2, 0) de las grficas

de f y g, las races de la ecuacin cuadrtica: ax2 + bx + c = 0; a 0 Ejemplo Resolver grficamente: 2x2 x 15 = 0 Solucin: Tenemos la grfica de la funcin cuadrtica

y = f(x) = 2x2 x 15

Las abcisas de los puntos P y Q de interseccin de la grfica de F y el eje horizontal, nos representan las races o soluciones de la ecuacin. Observar que; para:

Y

y =f(x)

y = g(x)

X

(x1,y1) (x2,y2)

Y

y =f(x)

F

P Q X

(-5/2,0) (3,0)


)0;3(Q

0;2

5P

:puntoslosgeneranSe

0Fy3x

02

5y

2

5x

)3(

7. INTERPRETACION GEOMTRICA DE LA DISCUSIN DE LAS RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA DE COEFICIENTES REALES.

En la ecuacin cuadrtica: ax2 + bx + c = 0; a 0 sabemos que la naturaleza de

sus races viene dada por el valor del discriminante . Segn esto, geomtricamente, se obtienen grficamente lo siguiente:

CARACTERISTICAS DEL DESCRIMINANTE

COEFICIENTE PRINCIPAL

REPRESENTACIN GEOMETRICA

NATURALEZA DE LAS RAICES

> 0

a > 0 X1 X2 LOS RACES SON

REALES Y DIFERENTES

X1 X2

a < 0 X1 X2

= 0

a > 0 X1 = X 2 LAS RACES SON

REALES E IGUALES X1 = X2 O UNA RAZ

REAL DOBLE a < 0

X1 = X2

< 0

a > 0 LAS RACES SON

IMAGINARIAS Y CONJUGADAS

a < 0

OBSERVACION: Dada la ecuacin cuadrtica con coeficientes racionales:

ax2 + bx + c = 0; a 0

Si su discriminante es un nmero cuadrado perfecto, las races de dicha ecuacin siempre sern racionales. Si no es as, sern irracionales y conjugados. Ejemplo: Resolver: 2x2 x 6 = 0 Clculo del discriminante:

= (-1)2 4(2)(-6)= 49 (cuadrado perfecto) Luego reemplazando en la solucin general:

X = ;)2(2

49)1( de la cual se obtienen:

X1 = 2 x2 = -3/2 Las cuales son nmeros racionales.


8. PROPIEDADES DE LAS RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA (Teoremas de Vite) Si x1 y x2 son races de la ecuacin cuadrtica:

ax2 + bx + c = 0; a 0 Entonces, se verifica las siguientes propiedades: TEOREMA 1: Suma de Races

x1 + x2 = -a

b

TEOREMA 2: Producto de Races

x1 x2 = a

c

TEOREMA 3: Diferencia de Races

X1 x2 = a

Las anteriores propiedades se verifican en una ecuacin cuadrtica con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos). Ejemplo: Si x1 y x2 son races de la ecuacin cuadrtica: 2x

2 + 6x + 3 = 0 Se cumplen las relaciones de Vite:

x1 + x2 = 2

6= 3

x1 x2 = 2

3

Tenemos: = (6)2 4(2)(3)=12; entonces:

x1 x2 = 32

32

2

12

OBSERVACION: Propiedades auxiliares.

TEOREMA 4: (X1 + X2)2 + (X1 X2)

2 = 2(X12 + X2

2) TEOREMA 5: (X1 + X2)

2 (X1 X2)2 = 4X1X2

9. FORMACIN DE UNA ECUACIN CUADRTICA A PARTIR DE SUS

RACES (Teorema Recproco de Vite). Demostracin Inductiva: Sean x1 y x2 las races de cierta ecuacin cuadrtica de incgnita x; es decir:

x = x1 x = x2 Por transposicin de trminos, se tienen:

x x1 = 0 x x2 = 0 Los cuales se obtienen a partir de:

(x x1) (x x2) =0 Efectuando: x2 (x1 + x2)x +x1 x2 = 0 Llamando

a: x1 + x2 = S y: x1 x2 = P

Se obtiene: x2 Sx + P = 0 ....... ( )


(A esta ecuacin se le denomina cannica, normalizada u ordinaria, debido a que su coeficiente principal es la unidad). Ejemplo:

Formar una ecuacin de segundo grado, cuyas races sean 10

293

10

293

Solucin: Tenemos: Asumiendo que dichos valores son x1 y x2 respectivamente. Calculemos S y

P por separado:

S = 5

3

10

6

10

293

10

293

P = 5

1

100

20

100

293

10

293

10

29322

Aplicando la frmula , se tiene:

X2 - 05

1x

5

3

Que expresa con coeficientes enteros, resulta: 5x2 3x 1 = 0

Ejemplo:

Construir una ecuacin cuadrtica que acepte como races a:

2

i3 (-1 + 2i)

Solucin: Calculando S y P se tienen:

S = 2

i3+(-1+2i)=

2

i51

P = 2

i3(-1 + 2i) =

2

i55

La ecuacin formada, ser:

x2 - 02

i55x

2

i51

La cual reduce a: 2x2 (1 + 5i)x 5 + 5i = 0

Siendo: i = 1 , la unidad imaginaria.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Siendo x1 y x2 las races de la ecuacin:

x2 3x + 1 = 0 Calcular el valor de:

Q = x1 (x12 + 1) +x2 (x2

2 + 1) SOLUCIN: En la Ecuacin: x2 3x + 1 = 0 Por propiedades: (I) x1 + x2 = 3 (II) x1 . x2 = 1


Elevando (I) al cubo

(x1+x2)3=33 x1

3+x23+3(x1 . x2)(x1+x2)=27

x13 + x2

3+3(1)(3) = 27 x1

3 + x23 = 18

En: Q = x1 (x1

2 + 1) +x2 (x22 + 1)

Q = (x13 + x1) + (x2

3 + x2) Q = (x1

3 + x23) + (x1+ x2)

Q = 18 +3 Q = 21

2. Calcular las races de: 33 x16x72 =2

SOLUCIN: Elevando al cubo:

333 x16x72 =23

72x16+x-3 3333 x16x72x16x72 =8

56 - 3 3 )x16)(x72( 2 = 8

48 = 6 3 2xx881152

Elevando al cubo: 512 = 1152 88x + x2 0 = x2 88x + 640

Luego:(x - 80) (x - 8) = 08x

80x

2

1

3. Resolver x en la ecuacin:

cbax

1

c

1

ba

1

x

1

SOLUCIN: Transponiendo se tiene:

x

1

cbax

1

c

1

ba

1

Efectuando miembro a miembro:

)cbax(x

cbaxx

)ba(c

bac

)cbax(x

)cba(

)ba(c

cba

Simplificando:

)cbax(x

1

)ba(c

1

Entonces: x(x+a+b+c) = -c(a+b) x2 + (a+b+c)x + c(a+b)=0 Factorizando: (x+a+b)(x+c)=0 Luego:

x + a + b = 0 v x +c = 0

x1 = -a b x2 = -c


ANEXO N04

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N07

I. RESOLVER CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PROBLEMAS:

1. Resolver la ecuacin: 2235x12x27x12x 22 . Indicando una raz.

2. Calcular m, si las races de la ecuacin: (m+1)x2 2mx + (m-3) = 0. Son iguales.

3. En la ecuacin: bc

a1

b

xa

c

xa

bc

)a2x(x 2Una de las races es.

4. Formar la ecuacin de 2do. Grado cuyas races son:

m33

33x;

m33

33x 21

5. Indicar una de las races de x luego de resolver la ecuacin: 9mx2 + 12(m+1)x + 8 = m3

6. Indicar la suma de las races que admite la ecuacin: 2

5

x2

x6

x6

x2

7. Hallar m en: x2 + 2(m1)x + (m-1)2 = 0 m>1 Si: 11

58

x

x

x

x

1

2

2

1 (x1 y x2 races

de la ecuacin). 8. Siendo x1; x2 las races de la ecuacin: x

2 + 5x + 7 = 0. Determinar: E

= 32

21

22

31

xxxx

9. Formar la ecuacin cuadrtica cuyas races sean 5 veces las races de la ecuacin: 3x2x+1 = 0

10. Si una de las races de x2 + ax + b = 0 es el cubo de la otra hallar: b[(b-1)2+4a2]

11. Determine p+1 tal que la ecuacin en x, 2px2 +4px+5p=3x2+x+8 el producto de sus races sea igual a 2 veces su sumas.

12. Sea la ecuacin ax2 8x + 6=0 encontrar el valor de a para que su

conjunto solucin sea {00

3; rr }

13. Escr ib i r una ecuacin de segundo grado cuyas soluc iones son: 3 y 2.

14. La suma de dos nmeros es 5 y su producto es 84. Hal la dichos nmeros.

15. Dent ro de 11 aos la edad de Pedro ser la mi tad del cuadrado de la edad que tena hace 13 aos. Calcula la edad de Pedro.

II. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

16. 25x2 - 1 = 0

17. x3 + 10x2 + 25x = 0

18. x3 + x2 - 6x = 0

19. x2 + 2x - 5 = 0 (sugerencia: puede escribirse como x2+2x+1-6=0)

20. x4 + x3 -9x2 - 9x = 0 21. x2 = 81 22. 14x2 - 28 = 0 23. (x + 6)(x - 6) = 13 24. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 25. (x + 11)(x - 11) = 23


26. x2 = 7x 27. 21x2 + 100 = - 5 28. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 29. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 30. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES RACIONALES

31. Desarrollar:

Solucin:

2

1 x

12x 12x2x

Luego: La soluc in es:

A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios

32. 4x

1

2x

1

2x

12

33. 6

13x1

x

3

34. Hal la un nmero entero sabiendo que la suma con su

inverso es 26/5.

35. 09

28

4

322

2

x

x; Solucin: x1=5, x2=-5, x3= 4, x4=-4

36. 32 33

xx

x

x ; Solucin: x1= i, x2= -i,

IV. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones de cuarto grado sin trminos de grado impar: ax4 + bx 2 + c = 0 Para resolver ecuaciones bicuadradas , efectuamos el cambio x 2 = t , x 4 = t 2 ; con lo que genera una ecuacin de segundo grado con la incgni ta t : at 2 + bt + c = 0 Por cada valor posit ivo de t habr dos valores de x:

Ejemplo: Solucin:


Sea: Tenemos:

Entonces:

Luego:

OBSERVACIN: El mismo procedimiento podemos ut i l izar para resolver las ecuaciones del t ipo: ax6 + bx3 + c = 0 ax8 + bx4 + c = 0 ax1 0 + bx5 + c = 0


37. 06x7x36

38. x4 10x2 + 9 = 0

39. 036x13x34

40. x4 61x2 + 900 = 0 41. x4 25x2 + 144 = 0 42. x4 16x2 225 = 0

V. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

IRRACIONALES Para la resoluc in de ecuaciones i r rac ionales se debe tener en cuenta lo s iguiente: 1 Se as la un radical en uno de los dos miembros, pasando al ot ro miembro e l resto de los trminos, aunque tengan tambin radicales. 2 Se e levan a l cuadrado los dos miembros. 3 Se resuelve la ecuacin obtenida. 4 Se comprueba si las soluciones obtenid as ver i f ican la ecuacin inicial . Hay que tener en cuenta que a l e levar a l cuadrado una ecuacin se obt iene otra que t iene las mismas soluc iones que la dada y, adems las de la ecuacin que se obt iene cambiando e l s igno de uno de los miembros de la ecuacin. 5 Si la ecuacin t iene var ios radicales, se repi ten las dos pr imeras fases del proceso hasta e l iminar los todos.

Ejemplo: Desarro l lar 1x3x2

Solucin: 1 Ais lamos e l radical :


1x3x2

2 Elevamos al cuadrado los dos miembros:

)1()32( 2 xx

1x2x3x22

3Resolvemos la ecuacin:

04x4x2

Es decir :

0)2(x

4Comprobamos:

1232.2

Luego: La ecuacin t iene por soluc in x = 2 .


43. 24xx

44. 1x3x2

45. x214x5

46. x2111x3

47. 64x1x2

48. 21311 x ; Solucin: x= 2601

49. 11213 xx ; Solucin: x1=1, x2= 5,

50. 4

144

x

xxx

; Solucin: x= 5

sesion de aprendizaje nc2ba 071

Documents