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Tema I (Capiacutetulo 1 de Fiacutesica Tipler-Mosca BAUER Laboratorio de Fiacutesica Hidalgo et al)
Investigacioacuten y Ciencia Feb 2007 pg 58 Un nuevo kilogramo Nov 2002 El tiempo
Introduccioacuten La naturaleza experimental de la Fiacutesica
FIacuteSICA ciencia experimental que busca describir y entender la Naturaleza de forma objetiva ensayando la teoriacutea en un laboratorio Para progresar en el conocimiento constantemente hay que experimentar
Tema I
Introduccioacuten
La medida en fiacutesica
Sistemas de unidades Conversioacuten de unidades
Incertidumbre y cifras significativas
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Anaacutelisis dimensional
Estimacioacuten Oacuterdenes de magnitud
Registro de medidas experimentales tablas y graacuteficos
Determinacioacuten y propagacioacuten de errores
Elaboracioacuten de un informe sobre un trabajo experimental
Meacutetodo cientiacutefico
Observacioacuten y medida
Teoriacutea
Prediccioacuten
Teoriacutea y experimento
Una buena teoriacutea sobre un suceso natural nos sirve para comprenderlo y
utilizarlo seguacuten nuestras necesidades Ademaacutes tiene capacidad de
prediccioacuten Ejemplo Cuando se ha entendido coacutemo funciona una onda
electromagneacutetica hemos podido utilizar la energiacutea eleacutectrica para atender
nuestras necesidades
Pero buena teoriacutea no es sinoacutenimo de verdad el conocimiento siempre es
parcial No parece que podamos encontrar una razoacuten definitiva que no
requiera ulterior explicacioacuten
Elaborar una buena teoriacutea requiere la experimentacioacuten En el laboratorio
ponemos a prueba la naturaleza y controlamos las condiciones en las que
la dejamos actuar De la observacioacuten de su respuesta inferimos su
comportamiento sistemaacutetico y extraemos leyes de conducta que
conforman la teoriacutea
Confiamos en la FISICA porque nos acerca a describir y predecir la
actuacioacuten de la Naturaleza con unas cuantas ideas fundamentales
EJEMPLO El pasado 4 de Julio los fiacutesicos del CERN laboratorio europeo
de fiacutesica de partiacuteculas anunciaron el descubrimiento de una nueva
partiacutecula que bien podriacutea ser el boson de Higgs una perturbacioacuten del
campo de Higss el uacuteltimo requerimiento del modelo estaacutendar que
reproduciacutea sin explicar casi todos los fenoacutemenos que ocurren en torno de
las partiacuteculas elementales Casi 50 antildeos ha costado dar con esta esquiva
partiacutecula desde que se postuloacute como mecanismo generador de la masa
Numerosos experimentos en diversos aceleradores la han buscado De
esos 50 antildeos 30 se han dedicado a disentildear desarrollar y construir el
Nos acerca a describir y predecir la conducta de la naturaleza con unas cuantas ideas fundamentales
Consistencia con el experimento
Utilidad VERDAD buena teoriacutea
dispositivo experimental LHC y los grandes detectores que operados por
maacutes de 5000 cientiacuteficos han hecho posible este descubrimiento
En este curso La experimentacioacuten es la mejor ilustracioacuten de las teoriacuteas
que estudiamos Ademaacutes en el ejercicio de la experimentacioacuten
entrenamos nuestras capacidades intelectuales auacuten cuando nuestro
trabajo futuro no llegue a desarrollarse en un laboratorio
Crear un experimento es crear una situacioacuten ideal que exige un disentildeo
minucioso de un dispositivo experimental y de su utilizacioacuten para resaltar
lo que interesa excluir lo que enmascara y asiacute simplificar el estudio del
problema planteado del cual se tiene un modelo previo
Idealizacioacuten y realidad Modelos
Experimento Lanzamos un objeto al aire
Objetivo descripcioacuten del movimiento que resulta y(t) MODELO
La posicioacuten y el tiempo estaacuten relacionadas entre siacute mediante ecuaciones matemaacuteticas sumi-nistradas por la teoriacutea (si existe) En este caso las ecua-ciones cinemaacuteticas del MUA
Preparamos una regla y un reloj para medirlas y verificar si las medidas cumplen dichas ecua-ciones (consistencia teoriacutea-experimento) Imponemos condiciones inicia-les posicioacuten y velocidad
Las MATEMAacuteTICAS constituyen el lenguaje adecuado para des-cribir los MODELOS de la fiacutesica
La medicioacuten
Lo maacutes importante en la toma de medidas es la incertidumbre en
la medicioacuten Cualquier medida que se haga sin ninguacuten conoci-
miento del ERROR no tiene significado La medida tiene que estar
acotada
MEDIDA
Patroacuten de medida
Comparacioacuten entre dos cantidades de la misma magnitud
Cantidad de referencia estaacutendar
Error de medida Imprescindible para contrastar la teoriacutea
Una cantidad fiacutesica medida estaacute ACOTADA dentro de un
intervalo de incertidumbreel error Para no perder informacioacuten
de la medida ni retener informacioacuten falsa la medida se escribe
justamente con sus cifras significativas Ejemplos
NO es posible conocer el valor exacto a de una magnitud fiacutesica
A es su mejor estimacioacuten y A son los liacutemites dentro de los
cuales es ldquomuyrdquo probable que se encuentre a a (A- A A+ A)
MEDIDA A A unidad
Observacioacuten
fenoacutemeno natural
Medida de magnitudes fiacutesicas
que estaacuten relacionadas entre siacute
Modelos
(abstraccioacuten)
Movimiento de la
bola en el aire
Medidas de
posicioacuten y tiempo
Ecuaciones cinemaacute-
ticas del MUA
El sistema internacional de unidades (SI)
httpphysicsnistgovcuuunits Unidades SI fundamentales
Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente
eleacutectrica
ampere A
Temperatura termodinaacutemica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Unidad de longitud
metro (m)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por
la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo
internacional del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de
la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos
niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de
cesio 133
Unidad de intensidad de
corriente eleacutectrica
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante
que mantenieacutendose en dos conductores paralelos
rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular
despreciable y situados a una distancia de un metro uno de
otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7
newton
por metro de longitud
Magnitudes derivadas sin dimensioacuten
Magnitud Nombre Siacutembolo Expresioacuten en
unidades SI
Aacutengulo plano Radiaacuten rad mm-1= 1
Aacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr m2m-2= 1
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades fundamentales
Magnitud Nombre Siacutembolo
Fuerza Newton = kgms2 N
Volumen metro cuacutebico m3
Velocidad metro por segundo ms
Energiacutea Joule = Nm J
Densidad kilogramo por metro cuacutebico kgm3
Potencia Watio =Js W
Aceleracioacuten angular radiaacuten por segundo cuadrado rads2
Metrologiacutea Es la investigacioacuten sobre medidas de precisioacuten
Los relojes atoacutemicos tienen una precisioacuten de 10-15
(= 1 s en 30
millones de antildeos) La precisioacuten necesaria para el sistema de posicionamiento global (GPS) Principal instituto de investigacioacuten de EEUU Instituto Nacional de Estaacutendares y Tecnologiacutea (NIST) (fiacutesicos e ingenieros)
Unidad de aacutengulo plano El radiaacuten (rad) es el aacutengulo plano comprendido entre dos
radios de un ciacuterculo que sobre la circunferencia de dicho
ciacuterculo interceptan un arco de longitud igual a la del
radio
Unidad de aacutengulo soacutelido El estereorradiaacuten (sr) es el aacutengulo soacutelido que teniendo
su veacutertice en el centro de una esfera intercepta sobre la
superficie de dicha esfera un aacuterea igual a la de un
cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera
Factores de conversioacuten de unidades
Densidad voluacutemica = 025 gcm3
= 025 gcm3 g
kg
1000
1 3
36
1
10
m
cm = 250 kgm3
Ejercicio Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in = 254 cm
W (nms) = fc (132) (indiacutea) W ~ 9 nms fc = (124) (160) (160) (2541) (1100) (1091)[(nms)(in diacutea)] Exercise To convert a quantity from ms to kmh you must
A) multiply by 1000 and divide by 60 D) multiply by 3600 and divide by 1000
B) multiply by 1000 and divide by 3600 E) None of these is correct
C) multiply by 60 and divide by 1000
X unidades ldquoardquo) Y unidades ldquobrdquo 025 gcm3 250 kgm
3
025 gcm3 fc1 fc2 = 250 kgm3
fc es un factor de conversioacuten adimensional
fc1 = 1 kg 1000 g fc2 = 106 cm3 1 m3
X fc1 fc2 = Y X = fc Y = [fc1 fc2 ]-1 Y
fc = fc1-1 fc2
-1
250 kgm3 1000 g 1 kg 1 m3 106 cm3 = 025 gcm3
8
Incertidumbre en la medida
Instrumento de medida sensibilidad ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes
pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide
Error de medida debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del
meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no
constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es
desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con
una cifra significativa
Estatura de una persona L= 187 m 186 m L 188 m L= ( 187 001 ) m
(se utiliza una regla en cms una sola medida precisioacuten de la regla es la cota de error)
Con maacutes rigor se toman varias medidas y se elige el valor medio
En este caso una estimacioacuten del error toma la discrepancia maacutex = maacutex ndash min entre las
medida centrada en el valor medio como cota de error (soacutelo si es mayor que la
precisioacuten del instrumento de medida)
Ejemplo Tiempo (segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con
cronoacutemetro en deacutecimas de segundo
585 586 584 584 585 Media 5848 s discrepancia max 2= (586 ndash 584)2 =01 s
Resultado 58 48 01 s (585 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas
Cifras significativas comenzando por la izquierda son todas las cifras que escribimos
a partir de la primera que no es cero El error nos indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra de
la medida que tiene significado
01 es el error absoluto de la medida y nos da idea del intervalo de incertidumbre
Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo menor incertidumbre
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se
llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten
La precisioacuten es el error relativo expresado en er = (01585) x 100 = 017
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
Teoriacutea y experimento
Una buena teoriacutea sobre un suceso natural nos sirve para comprenderlo y
utilizarlo seguacuten nuestras necesidades Ademaacutes tiene capacidad de
prediccioacuten Ejemplo Cuando se ha entendido coacutemo funciona una onda
electromagneacutetica hemos podido utilizar la energiacutea eleacutectrica para atender
nuestras necesidades
Pero buena teoriacutea no es sinoacutenimo de verdad el conocimiento siempre es
parcial No parece que podamos encontrar una razoacuten definitiva que no
requiera ulterior explicacioacuten
Elaborar una buena teoriacutea requiere la experimentacioacuten En el laboratorio
ponemos a prueba la naturaleza y controlamos las condiciones en las que
la dejamos actuar De la observacioacuten de su respuesta inferimos su
comportamiento sistemaacutetico y extraemos leyes de conducta que
conforman la teoriacutea
Confiamos en la FISICA porque nos acerca a describir y predecir la
actuacioacuten de la Naturaleza con unas cuantas ideas fundamentales
EJEMPLO El pasado 4 de Julio los fiacutesicos del CERN laboratorio europeo
de fiacutesica de partiacuteculas anunciaron el descubrimiento de una nueva
partiacutecula que bien podriacutea ser el boson de Higgs una perturbacioacuten del
campo de Higss el uacuteltimo requerimiento del modelo estaacutendar que
reproduciacutea sin explicar casi todos los fenoacutemenos que ocurren en torno de
las partiacuteculas elementales Casi 50 antildeos ha costado dar con esta esquiva
partiacutecula desde que se postuloacute como mecanismo generador de la masa
Numerosos experimentos en diversos aceleradores la han buscado De
esos 50 antildeos 30 se han dedicado a disentildear desarrollar y construir el
Nos acerca a describir y predecir la conducta de la naturaleza con unas cuantas ideas fundamentales
Consistencia con el experimento
Utilidad VERDAD buena teoriacutea
dispositivo experimental LHC y los grandes detectores que operados por
maacutes de 5000 cientiacuteficos han hecho posible este descubrimiento
En este curso La experimentacioacuten es la mejor ilustracioacuten de las teoriacuteas
que estudiamos Ademaacutes en el ejercicio de la experimentacioacuten
entrenamos nuestras capacidades intelectuales auacuten cuando nuestro
trabajo futuro no llegue a desarrollarse en un laboratorio
Crear un experimento es crear una situacioacuten ideal que exige un disentildeo
minucioso de un dispositivo experimental y de su utilizacioacuten para resaltar
lo que interesa excluir lo que enmascara y asiacute simplificar el estudio del
problema planteado del cual se tiene un modelo previo
Idealizacioacuten y realidad Modelos
Experimento Lanzamos un objeto al aire
Objetivo descripcioacuten del movimiento que resulta y(t) MODELO
La posicioacuten y el tiempo estaacuten relacionadas entre siacute mediante ecuaciones matemaacuteticas sumi-nistradas por la teoriacutea (si existe) En este caso las ecua-ciones cinemaacuteticas del MUA
Preparamos una regla y un reloj para medirlas y verificar si las medidas cumplen dichas ecua-ciones (consistencia teoriacutea-experimento) Imponemos condiciones inicia-les posicioacuten y velocidad
Las MATEMAacuteTICAS constituyen el lenguaje adecuado para des-cribir los MODELOS de la fiacutesica
La medicioacuten
Lo maacutes importante en la toma de medidas es la incertidumbre en
la medicioacuten Cualquier medida que se haga sin ninguacuten conoci-
miento del ERROR no tiene significado La medida tiene que estar
acotada
MEDIDA
Patroacuten de medida
Comparacioacuten entre dos cantidades de la misma magnitud
Cantidad de referencia estaacutendar
Error de medida Imprescindible para contrastar la teoriacutea
Una cantidad fiacutesica medida estaacute ACOTADA dentro de un
intervalo de incertidumbreel error Para no perder informacioacuten
de la medida ni retener informacioacuten falsa la medida se escribe
justamente con sus cifras significativas Ejemplos
NO es posible conocer el valor exacto a de una magnitud fiacutesica
A es su mejor estimacioacuten y A son los liacutemites dentro de los
cuales es ldquomuyrdquo probable que se encuentre a a (A- A A+ A)
MEDIDA A A unidad
Observacioacuten
fenoacutemeno natural
Medida de magnitudes fiacutesicas
que estaacuten relacionadas entre siacute
Modelos
(abstraccioacuten)
Movimiento de la
bola en el aire
Medidas de
posicioacuten y tiempo
Ecuaciones cinemaacute-
ticas del MUA
El sistema internacional de unidades (SI)
httpphysicsnistgovcuuunits Unidades SI fundamentales
Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente
eleacutectrica
ampere A
Temperatura termodinaacutemica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Unidad de longitud
metro (m)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por
la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo
internacional del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de
la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos
niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de
cesio 133
Unidad de intensidad de
corriente eleacutectrica
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante
que mantenieacutendose en dos conductores paralelos
rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular
despreciable y situados a una distancia de un metro uno de
otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7
newton
por metro de longitud
Magnitudes derivadas sin dimensioacuten
Magnitud Nombre Siacutembolo Expresioacuten en
unidades SI
Aacutengulo plano Radiaacuten rad mm-1= 1
Aacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr m2m-2= 1
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades fundamentales
Magnitud Nombre Siacutembolo
Fuerza Newton = kgms2 N
Volumen metro cuacutebico m3
Velocidad metro por segundo ms
Energiacutea Joule = Nm J
Densidad kilogramo por metro cuacutebico kgm3
Potencia Watio =Js W
Aceleracioacuten angular radiaacuten por segundo cuadrado rads2
Metrologiacutea Es la investigacioacuten sobre medidas de precisioacuten
Los relojes atoacutemicos tienen una precisioacuten de 10-15
(= 1 s en 30
millones de antildeos) La precisioacuten necesaria para el sistema de posicionamiento global (GPS) Principal instituto de investigacioacuten de EEUU Instituto Nacional de Estaacutendares y Tecnologiacutea (NIST) (fiacutesicos e ingenieros)
Unidad de aacutengulo plano El radiaacuten (rad) es el aacutengulo plano comprendido entre dos
radios de un ciacuterculo que sobre la circunferencia de dicho
ciacuterculo interceptan un arco de longitud igual a la del
radio
Unidad de aacutengulo soacutelido El estereorradiaacuten (sr) es el aacutengulo soacutelido que teniendo
su veacutertice en el centro de una esfera intercepta sobre la
superficie de dicha esfera un aacuterea igual a la de un
cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera
Factores de conversioacuten de unidades
Densidad voluacutemica = 025 gcm3
= 025 gcm3 g
kg
1000
1 3
36
1
10
m
cm = 250 kgm3
Ejercicio Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in = 254 cm
W (nms) = fc (132) (indiacutea) W ~ 9 nms fc = (124) (160) (160) (2541) (1100) (1091)[(nms)(in diacutea)] Exercise To convert a quantity from ms to kmh you must
A) multiply by 1000 and divide by 60 D) multiply by 3600 and divide by 1000
B) multiply by 1000 and divide by 3600 E) None of these is correct
C) multiply by 60 and divide by 1000
X unidades ldquoardquo) Y unidades ldquobrdquo 025 gcm3 250 kgm
3
025 gcm3 fc1 fc2 = 250 kgm3
fc es un factor de conversioacuten adimensional
fc1 = 1 kg 1000 g fc2 = 106 cm3 1 m3
X fc1 fc2 = Y X = fc Y = [fc1 fc2 ]-1 Y
fc = fc1-1 fc2
-1
250 kgm3 1000 g 1 kg 1 m3 106 cm3 = 025 gcm3
8
Incertidumbre en la medida
Instrumento de medida sensibilidad ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes
pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide
Error de medida debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del
meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no
constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es
desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con
una cifra significativa
Estatura de una persona L= 187 m 186 m L 188 m L= ( 187 001 ) m
(se utiliza una regla en cms una sola medida precisioacuten de la regla es la cota de error)
Con maacutes rigor se toman varias medidas y se elige el valor medio
En este caso una estimacioacuten del error toma la discrepancia maacutex = maacutex ndash min entre las
medida centrada en el valor medio como cota de error (soacutelo si es mayor que la
precisioacuten del instrumento de medida)
Ejemplo Tiempo (segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con
cronoacutemetro en deacutecimas de segundo
585 586 584 584 585 Media 5848 s discrepancia max 2= (586 ndash 584)2 =01 s
Resultado 58 48 01 s (585 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas
Cifras significativas comenzando por la izquierda son todas las cifras que escribimos
a partir de la primera que no es cero El error nos indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra de
la medida que tiene significado
01 es el error absoluto de la medida y nos da idea del intervalo de incertidumbre
Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo menor incertidumbre
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se
llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten
La precisioacuten es el error relativo expresado en er = (01585) x 100 = 017
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
dispositivo experimental LHC y los grandes detectores que operados por
maacutes de 5000 cientiacuteficos han hecho posible este descubrimiento
En este curso La experimentacioacuten es la mejor ilustracioacuten de las teoriacuteas
que estudiamos Ademaacutes en el ejercicio de la experimentacioacuten
entrenamos nuestras capacidades intelectuales auacuten cuando nuestro
trabajo futuro no llegue a desarrollarse en un laboratorio
Crear un experimento es crear una situacioacuten ideal que exige un disentildeo
minucioso de un dispositivo experimental y de su utilizacioacuten para resaltar
lo que interesa excluir lo que enmascara y asiacute simplificar el estudio del
problema planteado del cual se tiene un modelo previo
Idealizacioacuten y realidad Modelos
Experimento Lanzamos un objeto al aire
Objetivo descripcioacuten del movimiento que resulta y(t) MODELO
La posicioacuten y el tiempo estaacuten relacionadas entre siacute mediante ecuaciones matemaacuteticas sumi-nistradas por la teoriacutea (si existe) En este caso las ecua-ciones cinemaacuteticas del MUA
Preparamos una regla y un reloj para medirlas y verificar si las medidas cumplen dichas ecua-ciones (consistencia teoriacutea-experimento) Imponemos condiciones inicia-les posicioacuten y velocidad
Las MATEMAacuteTICAS constituyen el lenguaje adecuado para des-cribir los MODELOS de la fiacutesica
La medicioacuten
Lo maacutes importante en la toma de medidas es la incertidumbre en
la medicioacuten Cualquier medida que se haga sin ninguacuten conoci-
miento del ERROR no tiene significado La medida tiene que estar
acotada
MEDIDA
Patroacuten de medida
Comparacioacuten entre dos cantidades de la misma magnitud
Cantidad de referencia estaacutendar
Error de medida Imprescindible para contrastar la teoriacutea
Una cantidad fiacutesica medida estaacute ACOTADA dentro de un
intervalo de incertidumbreel error Para no perder informacioacuten
de la medida ni retener informacioacuten falsa la medida se escribe
justamente con sus cifras significativas Ejemplos
NO es posible conocer el valor exacto a de una magnitud fiacutesica
A es su mejor estimacioacuten y A son los liacutemites dentro de los
cuales es ldquomuyrdquo probable que se encuentre a a (A- A A+ A)
MEDIDA A A unidad
Observacioacuten
fenoacutemeno natural
Medida de magnitudes fiacutesicas
que estaacuten relacionadas entre siacute
Modelos
(abstraccioacuten)
Movimiento de la
bola en el aire
Medidas de
posicioacuten y tiempo
Ecuaciones cinemaacute-
ticas del MUA
El sistema internacional de unidades (SI)
httpphysicsnistgovcuuunits Unidades SI fundamentales
Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente
eleacutectrica
ampere A
Temperatura termodinaacutemica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Unidad de longitud
metro (m)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por
la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo
internacional del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de
la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos
niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de
cesio 133
Unidad de intensidad de
corriente eleacutectrica
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante
que mantenieacutendose en dos conductores paralelos
rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular
despreciable y situados a una distancia de un metro uno de
otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7
newton
por metro de longitud
Magnitudes derivadas sin dimensioacuten
Magnitud Nombre Siacutembolo Expresioacuten en
unidades SI
Aacutengulo plano Radiaacuten rad mm-1= 1
Aacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr m2m-2= 1
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades fundamentales
Magnitud Nombre Siacutembolo
Fuerza Newton = kgms2 N
Volumen metro cuacutebico m3
Velocidad metro por segundo ms
Energiacutea Joule = Nm J
Densidad kilogramo por metro cuacutebico kgm3
Potencia Watio =Js W
Aceleracioacuten angular radiaacuten por segundo cuadrado rads2
Metrologiacutea Es la investigacioacuten sobre medidas de precisioacuten
Los relojes atoacutemicos tienen una precisioacuten de 10-15
(= 1 s en 30
millones de antildeos) La precisioacuten necesaria para el sistema de posicionamiento global (GPS) Principal instituto de investigacioacuten de EEUU Instituto Nacional de Estaacutendares y Tecnologiacutea (NIST) (fiacutesicos e ingenieros)
Unidad de aacutengulo plano El radiaacuten (rad) es el aacutengulo plano comprendido entre dos
radios de un ciacuterculo que sobre la circunferencia de dicho
ciacuterculo interceptan un arco de longitud igual a la del
radio
Unidad de aacutengulo soacutelido El estereorradiaacuten (sr) es el aacutengulo soacutelido que teniendo
su veacutertice en el centro de una esfera intercepta sobre la
superficie de dicha esfera un aacuterea igual a la de un
cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera
Factores de conversioacuten de unidades
Densidad voluacutemica = 025 gcm3
= 025 gcm3 g
kg
1000
1 3
36
1
10
m
cm = 250 kgm3
Ejercicio Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in = 254 cm
W (nms) = fc (132) (indiacutea) W ~ 9 nms fc = (124) (160) (160) (2541) (1100) (1091)[(nms)(in diacutea)] Exercise To convert a quantity from ms to kmh you must
A) multiply by 1000 and divide by 60 D) multiply by 3600 and divide by 1000
B) multiply by 1000 and divide by 3600 E) None of these is correct
C) multiply by 60 and divide by 1000
X unidades ldquoardquo) Y unidades ldquobrdquo 025 gcm3 250 kgm
3
025 gcm3 fc1 fc2 = 250 kgm3
fc es un factor de conversioacuten adimensional
fc1 = 1 kg 1000 g fc2 = 106 cm3 1 m3
X fc1 fc2 = Y X = fc Y = [fc1 fc2 ]-1 Y
fc = fc1-1 fc2
-1
250 kgm3 1000 g 1 kg 1 m3 106 cm3 = 025 gcm3
8
Incertidumbre en la medida
Instrumento de medida sensibilidad ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes
pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide
Error de medida debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del
meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no
constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es
desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con
una cifra significativa
Estatura de una persona L= 187 m 186 m L 188 m L= ( 187 001 ) m
(se utiliza una regla en cms una sola medida precisioacuten de la regla es la cota de error)
Con maacutes rigor se toman varias medidas y se elige el valor medio
En este caso una estimacioacuten del error toma la discrepancia maacutex = maacutex ndash min entre las
medida centrada en el valor medio como cota de error (soacutelo si es mayor que la
precisioacuten del instrumento de medida)
Ejemplo Tiempo (segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con
cronoacutemetro en deacutecimas de segundo
585 586 584 584 585 Media 5848 s discrepancia max 2= (586 ndash 584)2 =01 s
Resultado 58 48 01 s (585 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas
Cifras significativas comenzando por la izquierda son todas las cifras que escribimos
a partir de la primera que no es cero El error nos indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra de
la medida que tiene significado
01 es el error absoluto de la medida y nos da idea del intervalo de incertidumbre
Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo menor incertidumbre
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se
llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten
La precisioacuten es el error relativo expresado en er = (01585) x 100 = 017
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
La medicioacuten
Lo maacutes importante en la toma de medidas es la incertidumbre en
la medicioacuten Cualquier medida que se haga sin ninguacuten conoci-
miento del ERROR no tiene significado La medida tiene que estar
acotada
MEDIDA
Patroacuten de medida
Comparacioacuten entre dos cantidades de la misma magnitud
Cantidad de referencia estaacutendar
Error de medida Imprescindible para contrastar la teoriacutea
Una cantidad fiacutesica medida estaacute ACOTADA dentro de un
intervalo de incertidumbreel error Para no perder informacioacuten
de la medida ni retener informacioacuten falsa la medida se escribe
justamente con sus cifras significativas Ejemplos
NO es posible conocer el valor exacto a de una magnitud fiacutesica
A es su mejor estimacioacuten y A son los liacutemites dentro de los
cuales es ldquomuyrdquo probable que se encuentre a a (A- A A+ A)
MEDIDA A A unidad
Observacioacuten
fenoacutemeno natural
Medida de magnitudes fiacutesicas
que estaacuten relacionadas entre siacute
Modelos
(abstraccioacuten)
Movimiento de la
bola en el aire
Medidas de
posicioacuten y tiempo
Ecuaciones cinemaacute-
ticas del MUA
El sistema internacional de unidades (SI)
httpphysicsnistgovcuuunits Unidades SI fundamentales
Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente
eleacutectrica
ampere A
Temperatura termodinaacutemica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Unidad de longitud
metro (m)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por
la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo
internacional del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de
la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos
niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de
cesio 133
Unidad de intensidad de
corriente eleacutectrica
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante
que mantenieacutendose en dos conductores paralelos
rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular
despreciable y situados a una distancia de un metro uno de
otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7
newton
por metro de longitud
Magnitudes derivadas sin dimensioacuten
Magnitud Nombre Siacutembolo Expresioacuten en
unidades SI
Aacutengulo plano Radiaacuten rad mm-1= 1
Aacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr m2m-2= 1
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades fundamentales
Magnitud Nombre Siacutembolo
Fuerza Newton = kgms2 N
Volumen metro cuacutebico m3
Velocidad metro por segundo ms
Energiacutea Joule = Nm J
Densidad kilogramo por metro cuacutebico kgm3
Potencia Watio =Js W
Aceleracioacuten angular radiaacuten por segundo cuadrado rads2
Metrologiacutea Es la investigacioacuten sobre medidas de precisioacuten
Los relojes atoacutemicos tienen una precisioacuten de 10-15
(= 1 s en 30
millones de antildeos) La precisioacuten necesaria para el sistema de posicionamiento global (GPS) Principal instituto de investigacioacuten de EEUU Instituto Nacional de Estaacutendares y Tecnologiacutea (NIST) (fiacutesicos e ingenieros)
Unidad de aacutengulo plano El radiaacuten (rad) es el aacutengulo plano comprendido entre dos
radios de un ciacuterculo que sobre la circunferencia de dicho
ciacuterculo interceptan un arco de longitud igual a la del
radio
Unidad de aacutengulo soacutelido El estereorradiaacuten (sr) es el aacutengulo soacutelido que teniendo
su veacutertice en el centro de una esfera intercepta sobre la
superficie de dicha esfera un aacuterea igual a la de un
cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera
Factores de conversioacuten de unidades
Densidad voluacutemica = 025 gcm3
= 025 gcm3 g
kg
1000
1 3
36
1
10
m
cm = 250 kgm3
Ejercicio Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in = 254 cm
W (nms) = fc (132) (indiacutea) W ~ 9 nms fc = (124) (160) (160) (2541) (1100) (1091)[(nms)(in diacutea)] Exercise To convert a quantity from ms to kmh you must
A) multiply by 1000 and divide by 60 D) multiply by 3600 and divide by 1000
B) multiply by 1000 and divide by 3600 E) None of these is correct
C) multiply by 60 and divide by 1000
X unidades ldquoardquo) Y unidades ldquobrdquo 025 gcm3 250 kgm
3
025 gcm3 fc1 fc2 = 250 kgm3
fc es un factor de conversioacuten adimensional
fc1 = 1 kg 1000 g fc2 = 106 cm3 1 m3
X fc1 fc2 = Y X = fc Y = [fc1 fc2 ]-1 Y
fc = fc1-1 fc2
-1
250 kgm3 1000 g 1 kg 1 m3 106 cm3 = 025 gcm3
8
Incertidumbre en la medida
Instrumento de medida sensibilidad ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes
pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide
Error de medida debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del
meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no
constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es
desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con
una cifra significativa
Estatura de una persona L= 187 m 186 m L 188 m L= ( 187 001 ) m
(se utiliza una regla en cms una sola medida precisioacuten de la regla es la cota de error)
Con maacutes rigor se toman varias medidas y se elige el valor medio
En este caso una estimacioacuten del error toma la discrepancia maacutex = maacutex ndash min entre las
medida centrada en el valor medio como cota de error (soacutelo si es mayor que la
precisioacuten del instrumento de medida)
Ejemplo Tiempo (segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con
cronoacutemetro en deacutecimas de segundo
585 586 584 584 585 Media 5848 s discrepancia max 2= (586 ndash 584)2 =01 s
Resultado 58 48 01 s (585 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas
Cifras significativas comenzando por la izquierda son todas las cifras que escribimos
a partir de la primera que no es cero El error nos indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra de
la medida que tiene significado
01 es el error absoluto de la medida y nos da idea del intervalo de incertidumbre
Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo menor incertidumbre
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se
llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten
La precisioacuten es el error relativo expresado en er = (01585) x 100 = 017
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
El sistema internacional de unidades (SI)
httpphysicsnistgovcuuunits Unidades SI fundamentales
Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente
eleacutectrica
ampere A
Temperatura termodinaacutemica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Unidad de longitud
metro (m)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por
la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo
internacional del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de
la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos
niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de
cesio 133
Unidad de intensidad de
corriente eleacutectrica
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante
que mantenieacutendose en dos conductores paralelos
rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular
despreciable y situados a una distancia de un metro uno de
otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7
newton
por metro de longitud
Magnitudes derivadas sin dimensioacuten
Magnitud Nombre Siacutembolo Expresioacuten en
unidades SI
Aacutengulo plano Radiaacuten rad mm-1= 1
Aacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr m2m-2= 1
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades fundamentales
Magnitud Nombre Siacutembolo
Fuerza Newton = kgms2 N
Volumen metro cuacutebico m3
Velocidad metro por segundo ms
Energiacutea Joule = Nm J
Densidad kilogramo por metro cuacutebico kgm3
Potencia Watio =Js W
Aceleracioacuten angular radiaacuten por segundo cuadrado rads2
Metrologiacutea Es la investigacioacuten sobre medidas de precisioacuten
Los relojes atoacutemicos tienen una precisioacuten de 10-15
(= 1 s en 30
millones de antildeos) La precisioacuten necesaria para el sistema de posicionamiento global (GPS) Principal instituto de investigacioacuten de EEUU Instituto Nacional de Estaacutendares y Tecnologiacutea (NIST) (fiacutesicos e ingenieros)
Unidad de aacutengulo plano El radiaacuten (rad) es el aacutengulo plano comprendido entre dos
radios de un ciacuterculo que sobre la circunferencia de dicho
ciacuterculo interceptan un arco de longitud igual a la del
radio
Unidad de aacutengulo soacutelido El estereorradiaacuten (sr) es el aacutengulo soacutelido que teniendo
su veacutertice en el centro de una esfera intercepta sobre la
superficie de dicha esfera un aacuterea igual a la de un
cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera
Factores de conversioacuten de unidades
Densidad voluacutemica = 025 gcm3
= 025 gcm3 g
kg
1000
1 3
36
1
10
m
cm = 250 kgm3
Ejercicio Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in = 254 cm
W (nms) = fc (132) (indiacutea) W ~ 9 nms fc = (124) (160) (160) (2541) (1100) (1091)[(nms)(in diacutea)] Exercise To convert a quantity from ms to kmh you must
A) multiply by 1000 and divide by 60 D) multiply by 3600 and divide by 1000
B) multiply by 1000 and divide by 3600 E) None of these is correct
C) multiply by 60 and divide by 1000
X unidades ldquoardquo) Y unidades ldquobrdquo 025 gcm3 250 kgm
3
025 gcm3 fc1 fc2 = 250 kgm3
fc es un factor de conversioacuten adimensional
fc1 = 1 kg 1000 g fc2 = 106 cm3 1 m3
X fc1 fc2 = Y X = fc Y = [fc1 fc2 ]-1 Y
fc = fc1-1 fc2
-1
250 kgm3 1000 g 1 kg 1 m3 106 cm3 = 025 gcm3
8
Incertidumbre en la medida
Instrumento de medida sensibilidad ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes
pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide
Error de medida debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del
meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no
constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es
desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con
una cifra significativa
Estatura de una persona L= 187 m 186 m L 188 m L= ( 187 001 ) m
(se utiliza una regla en cms una sola medida precisioacuten de la regla es la cota de error)
Con maacutes rigor se toman varias medidas y se elige el valor medio
En este caso una estimacioacuten del error toma la discrepancia maacutex = maacutex ndash min entre las
medida centrada en el valor medio como cota de error (soacutelo si es mayor que la
precisioacuten del instrumento de medida)
Ejemplo Tiempo (segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con
cronoacutemetro en deacutecimas de segundo
585 586 584 584 585 Media 5848 s discrepancia max 2= (586 ndash 584)2 =01 s
Resultado 58 48 01 s (585 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas
Cifras significativas comenzando por la izquierda son todas las cifras que escribimos
a partir de la primera que no es cero El error nos indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra de
la medida que tiene significado
01 es el error absoluto de la medida y nos da idea del intervalo de incertidumbre
Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo menor incertidumbre
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se
llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten
La precisioacuten es el error relativo expresado en er = (01585) x 100 = 017
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
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Formato de informe
17
18
Magnitudes derivadas sin dimensioacuten
Magnitud Nombre Siacutembolo Expresioacuten en
unidades SI
Aacutengulo plano Radiaacuten rad mm-1= 1
Aacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr m2m-2= 1
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades fundamentales
Magnitud Nombre Siacutembolo
Fuerza Newton = kgms2 N
Volumen metro cuacutebico m3
Velocidad metro por segundo ms
Energiacutea Joule = Nm J
Densidad kilogramo por metro cuacutebico kgm3
Potencia Watio =Js W
Aceleracioacuten angular radiaacuten por segundo cuadrado rads2
Metrologiacutea Es la investigacioacuten sobre medidas de precisioacuten
Los relojes atoacutemicos tienen una precisioacuten de 10-15
(= 1 s en 30
millones de antildeos) La precisioacuten necesaria para el sistema de posicionamiento global (GPS) Principal instituto de investigacioacuten de EEUU Instituto Nacional de Estaacutendares y Tecnologiacutea (NIST) (fiacutesicos e ingenieros)
Unidad de aacutengulo plano El radiaacuten (rad) es el aacutengulo plano comprendido entre dos
radios de un ciacuterculo que sobre la circunferencia de dicho
ciacuterculo interceptan un arco de longitud igual a la del
radio
Unidad de aacutengulo soacutelido El estereorradiaacuten (sr) es el aacutengulo soacutelido que teniendo
su veacutertice en el centro de una esfera intercepta sobre la
superficie de dicha esfera un aacuterea igual a la de un
cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera
Factores de conversioacuten de unidades
Densidad voluacutemica = 025 gcm3
= 025 gcm3 g
kg
1000
1 3
36
1
10
m
cm = 250 kgm3
Ejercicio Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in = 254 cm
W (nms) = fc (132) (indiacutea) W ~ 9 nms fc = (124) (160) (160) (2541) (1100) (1091)[(nms)(in diacutea)] Exercise To convert a quantity from ms to kmh you must
A) multiply by 1000 and divide by 60 D) multiply by 3600 and divide by 1000
B) multiply by 1000 and divide by 3600 E) None of these is correct
C) multiply by 60 and divide by 1000
X unidades ldquoardquo) Y unidades ldquobrdquo 025 gcm3 250 kgm
3
025 gcm3 fc1 fc2 = 250 kgm3
fc es un factor de conversioacuten adimensional
fc1 = 1 kg 1000 g fc2 = 106 cm3 1 m3
X fc1 fc2 = Y X = fc Y = [fc1 fc2 ]-1 Y
fc = fc1-1 fc2
-1
250 kgm3 1000 g 1 kg 1 m3 106 cm3 = 025 gcm3
8
Incertidumbre en la medida
Instrumento de medida sensibilidad ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes
pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide
Error de medida debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del
meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no
constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es
desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con
una cifra significativa
Estatura de una persona L= 187 m 186 m L 188 m L= ( 187 001 ) m
(se utiliza una regla en cms una sola medida precisioacuten de la regla es la cota de error)
Con maacutes rigor se toman varias medidas y se elige el valor medio
En este caso una estimacioacuten del error toma la discrepancia maacutex = maacutex ndash min entre las
medida centrada en el valor medio como cota de error (soacutelo si es mayor que la
precisioacuten del instrumento de medida)
Ejemplo Tiempo (segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con
cronoacutemetro en deacutecimas de segundo
585 586 584 584 585 Media 5848 s discrepancia max 2= (586 ndash 584)2 =01 s
Resultado 58 48 01 s (585 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas
Cifras significativas comenzando por la izquierda son todas las cifras que escribimos
a partir de la primera que no es cero El error nos indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra de
la medida que tiene significado
01 es el error absoluto de la medida y nos da idea del intervalo de incertidumbre
Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo menor incertidumbre
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se
llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten
La precisioacuten es el error relativo expresado en er = (01585) x 100 = 017
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
Factores de conversioacuten de unidades
Densidad voluacutemica = 025 gcm3
= 025 gcm3 g
kg
1000
1 3
36
1
10
m
cm = 250 kgm3
Ejercicio Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in = 254 cm
W (nms) = fc (132) (indiacutea) W ~ 9 nms fc = (124) (160) (160) (2541) (1100) (1091)[(nms)(in diacutea)] Exercise To convert a quantity from ms to kmh you must
A) multiply by 1000 and divide by 60 D) multiply by 3600 and divide by 1000
B) multiply by 1000 and divide by 3600 E) None of these is correct
C) multiply by 60 and divide by 1000
X unidades ldquoardquo) Y unidades ldquobrdquo 025 gcm3 250 kgm
3
025 gcm3 fc1 fc2 = 250 kgm3
fc es un factor de conversioacuten adimensional
fc1 = 1 kg 1000 g fc2 = 106 cm3 1 m3
X fc1 fc2 = Y X = fc Y = [fc1 fc2 ]-1 Y
fc = fc1-1 fc2
-1
250 kgm3 1000 g 1 kg 1 m3 106 cm3 = 025 gcm3
8
Incertidumbre en la medida
Instrumento de medida sensibilidad ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes
pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide
Error de medida debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del
meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no
constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es
desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con
una cifra significativa
Estatura de una persona L= 187 m 186 m L 188 m L= ( 187 001 ) m
(se utiliza una regla en cms una sola medida precisioacuten de la regla es la cota de error)
Con maacutes rigor se toman varias medidas y se elige el valor medio
En este caso una estimacioacuten del error toma la discrepancia maacutex = maacutex ndash min entre las
medida centrada en el valor medio como cota de error (soacutelo si es mayor que la
precisioacuten del instrumento de medida)
Ejemplo Tiempo (segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con
cronoacutemetro en deacutecimas de segundo
585 586 584 584 585 Media 5848 s discrepancia max 2= (586 ndash 584)2 =01 s
Resultado 58 48 01 s (585 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas
Cifras significativas comenzando por la izquierda son todas las cifras que escribimos
a partir de la primera que no es cero El error nos indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra de
la medida que tiene significado
01 es el error absoluto de la medida y nos da idea del intervalo de incertidumbre
Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo menor incertidumbre
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se
llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten
La precisioacuten es el error relativo expresado en er = (01585) x 100 = 017
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
8
Incertidumbre en la medida
Instrumento de medida sensibilidad ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes
pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide
Error de medida debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del
meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no
constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es
desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con
una cifra significativa
Estatura de una persona L= 187 m 186 m L 188 m L= ( 187 001 ) m
(se utiliza una regla en cms una sola medida precisioacuten de la regla es la cota de error)
Con maacutes rigor se toman varias medidas y se elige el valor medio
En este caso una estimacioacuten del error toma la discrepancia maacutex = maacutex ndash min entre las
medida centrada en el valor medio como cota de error (soacutelo si es mayor que la
precisioacuten del instrumento de medida)
Ejemplo Tiempo (segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con
cronoacutemetro en deacutecimas de segundo
585 586 584 584 585 Media 5848 s discrepancia max 2= (586 ndash 584)2 =01 s
Resultado 58 48 01 s (585 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas
Cifras significativas comenzando por la izquierda son todas las cifras que escribimos
a partir de la primera que no es cero El error nos indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra de
la medida que tiene significado
01 es el error absoluto de la medida y nos da idea del intervalo de incertidumbre
Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo menor incertidumbre
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se
llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten
La precisioacuten es el error relativo expresado en er = (01585) x 100 = 017
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
9
Cifras significativas (ejemplo)
Tabla 1 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior del solenoide en
funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es 003 A y el de B
de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto
Ejercicio Rehacemos la tabla escribiendo los errores absolutos y las cifras significativas solamente
Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto
[siendo 1 a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero
positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas]
Esta notacioacuten se utiliza para poder expresar y operar faacutecilmente nuacutemeros muy grandes o
muy pequentildeos 45000 m 45 x 104 m 000000 450 m 450 x 10
6 m
Escala de longitudes
Escala de masas
Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada
en notacioacuten cientiacutefica es 10n o simplemente n n puede ser n
I A B mT
0 0
0040000 113
020100 435
036400 79
052900 113
086600 181
a times10n
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
10
Ejercicio
El nuacutemero A = 106 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como hellip
iquestcuaacutentas cs tiene A si no utilizamos not cient no estaacute claro
y el nuacutemero B = 0000 000 000 023 4
puede ser escrito como hellip
iquesten cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren A y B si estaacuten escritos en
las mismas unidades
(Por ejemplo se dice que dos nuacutemeros difieren en 3 oacuterdenes de
magnitud si uno es 103 veces maacutes grandepequentildeo que el otro)
Ejemplos
34456087 = 34456087 times 10 7
00004 508 421 = 4508 421 times 10-4
-5200000000 = - 52 times 109
-61 = -61 times 100
la masa de un protoacuten (aprox 167times10-27 kg) la distancia a los confines observables del universo (aprox 46times1026 m)
Exercise The number of seconds in a month is of the order of
A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106
La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) porque permite considerar por
separado los diacutegitos significativos y el orden de magnitud (ademaacutes del signo)
Ejemplos
4times10-5 multiplicado por 3times10-6
(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 = 12 times 10-10
5times108 dividido por (3 times 105)
(53) times 10(8-5) = 133 times 103
41 times 1012 + 8 times 1010 = 41 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
150
200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
11
16 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (16 ndash 88) times 10-16 = 72 times 10-16
Exercise The density of an object equals its mass divided by its volume The mass of the Earth
is 6 1024 kg and its radius is 4 103 miles The mass of the Sun is 2 1033 g and its radius is 7
105 km Calculate the Earths density divided by that of the Sun
A) 4 10 1 B) 4 102 C) 4 100 D) 4 101 E) none of the above
Resuelve utilizando notacioacuten cientiacutefica
1- Un antildeo luz es la distancia que viaja la luz en un antildeo es decir aproximadamente 5869713600 millas Se estima que la Viacutea Laacutectea
tiene un diaacutemetro de aproximadamente 200000 antildeos luz iquestCuaacutentas millas tiene la Viacutea Laacutectea de diaacutemetro 118 x1015 millas
2- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 antildeos Sin
embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol iquestCuaacutel es la edad de estos cuerpos 2x1010 antildeos
3-Se calcula que en la Viacutea Laacutectea hay aproximadamente 12 x 1011 estrellas iquestCuaacutentos antildeos le tomariacutea a una persona contar las estrellas
si cuenta una por segundo 38x 103 antildeos
Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas
Dimensioacuten derivada
La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada
V = St [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1
Dimensiones fundamentales
[tiempo]equiv T
[longitud]equiv L
[masa]equiv M
Anaacutelisis dimensional
Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta
[1er miembro] = [2ordm miembro]
12
Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
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Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
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I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
100
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200
0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
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Formato de informe
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Anaacutelisis dimensional
Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento
Quiero responder la pregunta Si dejo caer una manzana de una cierta altura y cambio la altura
iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda ahora la manzana en caer
El tiempo que toma debe ser proporcional a la altura a una potencia alfa Completamente razonable
Si hago la altura maacutes grande todos sabemos que se necesita maacutes tiempo para que la manzana
caiga Eso es algo seguro
Si la manzana tiene una masa m es probable que tambieacuten sea proporcional a la masa de esa
manzana a la potencia beta Siacute si algo es maacutes masivo probablemente tome menos tiempo No seacute
alfa no seacute beta Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la
aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es
proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma Tampoco seacute gamma
Dicho esto ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional
A la izquierda tenemos un tiempo [T]=hellipen el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo
No se puede tener cocos en un lado y naranjas en el otro No se puede tener segundos en un lado
y metros por segundo en el otro Es decir la ecuacioacuten tiene que ser homogeacutenea
Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales
[T]= [L] [M]
[g] = [L]
[M]
[L T
2]
En consecuencia concluyo que el tiempo que tarda un objeto en
caiacuteda libre es igual a una constante que no conozco -pero seacute que
no tiene dimensioacuten - multiplicada por la raiacutez cuadrada de h
dividido por g
t =cte (hg)12
t2t1 =(h2 h1)12
Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer Todo lo que estoy diciendo es que se pueden comparar dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que puedo decir es que la de ocho metros tarda el doble que la de dos metros en caer La relacioacuten entre los tiempos seraacute la raiacutez cuadrada de la relacioacuten 82 La relacioacuten seraacute de 2 a 1 iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental
Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos tener presente el error de medida y comparar con el resultado teoacuterico esperado Generalizacioacuten
unidade
s
n
nxxy 1
1
][][ 1
1n
nxxy
n
nxCxy 1
1
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Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
222)(
2
1)(
Xx
XexG
15
I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
50
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0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
17
18
13
Ejercicio La posicioacuten de una partiacutecula cuando se mueve con una
aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo transcurrido y de la
aceleracioacuten Supongamos que describimos esta posicioacuten como x= kam tn
donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis
dimensional m y n Puede este anaacutelisis proporcionar el valor de k
Estimaciones
Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor
concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la
naturaleza
Ejercicio Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se
esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de
aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el
valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos
ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas
R = 10-8 m 1015 aacutetomos
EL error de medida
Medida directa comparacioacuten con un patroacuten de medida Resultado un nuacutemero y la unidad
elegida Recordamos A A unidades
Errores sistemaacuteticos instrumentales (precisioacuten) del meacutetodo (aproximaciones) personales
Errores aleatorios accidentales (fluctuaciones incontroladas de las condiciones de medida)
Error absoluto de A A
Error relativo de A A A en porcentaje ( A A ) x 100 (precisioacuten)
iquestCoacutemo se determina A
Determinando el error A y la medida A (Convenio)
Si se descubre un error sistemaacutetico se corrige o se cuantifica de
manera que admitimos que la medida carece de error
sistemaacutetico
1ordf fuente de error
Instrumento de medida PRECISIOacuteN ea valor de la divisioacuten
maacutes pequentildea de su escala
2ordf fuente de error
14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
Sx
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I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
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0
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0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
16
Formato de informe
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14
Para evaluar el error accidental se obtiene una muestra de medidas Ai que admitimos
obedece una distribucioacuten gaussiana caracterizada por un valor medio X y una desviacioacuten tiacutepica
La media ltAgt es la mejor estimacioacuten de a y su error aleatorio es la
desviacioacuten estaacutendar de la media m
Se comparan la precisioacuten del instrumento de medida con el valor m y se elige el mayor de los
dos como error de ltAgt
A = ltAgt maacutex (ea m)
Determinando el error Z y la medida Z (Convenio)
Medida indirecta Con medidas directas A B Chellip y expresiones matemaacuteticas que las
relacionan se obtiene otra medida Z = f(A B C hellip) A B C independientes
iquestCoacutemo se determina Z Propagacioacuten de errores
La mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt) y su errorhellip Z= [ ZA 2+ ZB 2+ ZC 2]12
Ejercicio Al medir la resistencia de un resistor la lectura del voltiacutemetro era 152 02V y la
lectura del amperiacutemetro era de 26 01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R
Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos
Sltxgt = Sx N
iquestErrores
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I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
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004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
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0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
obtenieacutendose B = (2112 17) i (mTA)
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Formato de informe
17
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I A
( 003 A) B mT I A B mT
0 (teoacuterico)
0 (teoacuterico)
0 0
004 113 03 0040000 113
020 435 13 020100 435
036 79 2 036400 79
053 113 3 052900 113
087 181 5 086600 181
0
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0 02 04 06 08 1
Balanza de Lorentz
Campo magnetico en funcion
de la intensidad que circula
por las bobinas del electro iman
B
mT
i A
B= (2112 +- 17) i (mTA)
R= 099984
Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten
de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta
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16
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