leyleyde gaussley de gauss -...

LeyLeyLeyLeyLeyLeyLeyLey de Gaussde Gaussde Gaussde Gaussde Gaussde Gaussde Gaussde GaussLeyLeyLeyLeyLeyLeyLeyLey de Gaussde Gaussde Gaussde Gaussde Gaussde Gaussde Gaussde Gauss� Objetivo:

• Hasta ahora, hemos considerado cargas puntuales¿Cómo podemos tratar distribuciones más complicadas, por ejemplo, el campo de un alambre cargado, una esfera cargada, o un anillo cargado?

• Hay dos métodos:Método 1: Divide la distribución en elementos infinitesimales dE e intégralos para obtener el campo eléctrico total

Método 2: Si hay alguna simetría especial de la distribución, utiliza la ley de Gauss para obtener el campo

17-ene-13 Tema VIII. Electrostática 41

Método 2: Si hay alguna simetría especial de la distribución, utiliza la ley de Gauss para obtener el campo

Ley de GaussEl flujo eléctrico a través deuna superficie cerrada esproporcional a la carga netaencerrada por la superficie

Ley de GaussEl flujo eléctrico a través deuna superficie cerrada esproporcional a la carga netaencerrada por la superficie

Primero definimos el concepto de flujo

FlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo de de de de de de de de aguaaguaaguaaguaaguaaguaaguaaguaFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo de de de de de de de de aguaaguaaguaaguaaguaaguaaguaagua

� Imaginemos que ponemos un anillo de área A perpendicular a una corriente de agua que mana con velocidad v

� El producto del área por la velocidad, Av, da el volumen de agua que pasa a travésdel anillo por unidad de tiempo• Las unidades son m3/s


• Las unidades son m /s

� Si se inclina el anillo un ángulo θ, entonces el área proyectada es Acos θ, y el volumen de agua por unidad de tiempo que fluye a través del anillo es Av cos θ.

FlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo eléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctrico (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)FlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo eléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctrico (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

� A la cantidad de agua que fluye a través del anillo, la llamamos flujo de agua

� Podemos hacer una analogía con las líneas de un campo eléctrico constante y una corriente fluida de agua

Flux Φ = Avcosθ

rE

θ


� El flujo eléctrico es la densidad de líneas de campo que atraviesan un área A

Eθ

A

FlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo eléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctrico (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)FlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo eléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctrico (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)

� Consideremos un campoeléctrico constante E quepasa a través de un áreadada dA:

dΦ=E•dA=EdAcos θ

El ángulo θ es el ánguloentre el vector de campo


entre el vector de campoeléctrico y el vector áreaLa densidad de vectores decampo eléctrico que pasan através de un área dada A sellama flujo eléctrico

Φ = EAcosθ = E• A

Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors Surfaces and Normal Vectors

For a given surface, we define

the normal vector , which points

normal to the surface and has length

A

A

r


FlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo eléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctrico paraparaparaparaparaparaparapara

unaunaunaunaunaunaunauna superficiesuperficiesuperficiesuperficiesuperficiesuperficiesuperficiesuperficie cerradacerradacerradacerradacerradacerradacerradacerrada

FlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo eléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctricoeléctrico paraparaparaparaparaparaparapara

unaunaunaunaunaunaunauna superficiesuperficiesuperficiesuperficiesuperficiesuperficiesuperficiesuperficie cerradacerradacerradacerradacerradacerradacerradacerrada� Supongamos un campo eléctrico y una superficie cerrada, en

lugar de la superficie abierta asociada con nuestra analogía del anillo

En este caso de superficie cerrada, el flujo total eléctrico a través de la superficie viene dado por una integral sobre la superficie cerrada

E dAΦ = ⋅∫∫rr

�


superficie cerrada

Los vectores dA siempre señalan hacia

afuera de la superficie cerrada

E dAΦ = ⋅∫∫�

LeyLeyLeyLeyLeyLeyLeyLey de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)LeyLeyLeyLeyLeyLeyLeyLey de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)de Gauss (1)

� (named for German mathematician and scientist Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) states

� Vamos a imaginar que tenemos una caja en forma de cubo

Se supone que esta caja se construye de un material que no afecta a los campos eléctricos


Si llevamos una carga positiva a cualquier superficie de la caja, la carga no siente fuerza


� Ahora ponemos una carga positiva dentro de la caja y llevamos una carga de prueba positiva hasta la superficie de la cajaLa carga de prueba positiva siente una fuerza hacia fuera debido a la carga positiva dentro del cuboAhora ponemos una carga negativa dentro de la caja y llevamos la carga de prueba


de la caja y llevamos la carga de prueba positiva hasta la superficie de la cajaLa carga de prueba positiva siente una fuerza hacia dentro debido a la carga negativa dentro del cuboLas líneas de campo eléctrico parecen salir de la caja que contiene la carga positiva y entrar en la caja que contiene la carga negativa


� Ahora imaginemos una caja vacía en un campo eléctrico uniformeSi llevamos la carga de prueba positiva hasta el lado 1 lado, siente una fuerza hacia dentro ysi llevamos la carga de prueba positiva hasta el lado 2,siente una fuerza hacia fueraEl campo eléctrico es paralelo a los otros cuatro lados,por lo que la carga de prueba positiva no siente


por lo que la carga de prueba positiva no sienteninguna fuerza cuando es llevado hasta esos ladosCuando había una carga dentro de la caja, las líneas decampo eléctrico parecían fluir hacia dentro o haciaafuera de la cajaCuando no hay ninguna carga en la caja, el flujo netode campo eléctrico entrando en la caja es el mismoque el flujo neto saliendo de la caja


� Formulación: el flujo del campo eléctrico a través de S es proporcional a la carga neta encerrada por S

� Φ es el flujo eléctrico neto y

q es la carga dentro de una superficie cerrada S

Φ =q

ε0 0

qE dA

ε⋅ =∫∫rr

�


� q es la carga dentro de una superficie cerrada S• Llamamos a esta superficie superficie Gaussiana

• Esta superficie puede ser nuestra caja

• Esta superficie puede ser cualquier superficie cerrada

� Por lo general, elegimos una superficie cerrada que posee simetrías relacionadas con el problema que estamos tratando de estudiar

La La La La La La La La leyleyleyleyleyleyleyley de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la leyleyleyleyleyleyleyley de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb

son son son son son son son son equivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentes (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

La La La La La La La La leyleyleyleyleyleyleyley de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la leyleyleyleyleyleyleyley de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb de Coulomb

son son son son son son son son equivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentes (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

� Vamos a obtener la ley de Coulomb a partir de la Ley de GaussPartimos de una carga puntual qConstruimos una superficie esférica con radio r alrededor de esta carga

� Esta es nuestra superficiesuperficie GaussianaGaussiana


La La La La La La La La leyleyleyleyleyleyleyley de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la leyleyleyleyleyleyleyley de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)La La La La La La La La leyleyleyleyleyleyleyley de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la leyleyleyleyleyleyleyley de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)de Coulomb (2)

� El campo eléctrico de una carga puntual es radial y, por lo tanto, es perpendicular a la superficie gaussiana en todo punto

� El campo eléctrico tiene la misma magnitud en cualquier punto de la superficie


� El campo eléctrico tiene la misma magnitud en cualquier punto de la superficie

E dA EdA dA⋅ = =∫∫ ∫∫ ∫∫rr

� � �

0E dA qε⋅ =∫∫rr

�

E ∫∫dA = ε0 q

La La La La La La La La leyleyleyleyleyleyleyley de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la leyleyleyleyleyleyleyley de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)La La La La La La La La leyleyleyleyleyleyleyley de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la de Gauss y la leyleyleyleyleyleyleyley de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)de Coulomb(3)

� Ahora nos queda una integral simple en una superficie esférica

� Según la ley de Gauss

24A dA rπ= =∫∫�

( )


� Lo cual daε0E 4πr2( )= q

2 2 2

0 0

1

4 4

q q qE E k

r r rπε πε= = ⇒ =

ApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamiento ((((((((blindajeblindajeblindajeblindajeblindajeblindajeblindajeblindaje))))))))ApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamiento ((((((((blindajeblindajeblindajeblindajeblindajeblindajeblindajeblindaje))))))))

� Una interesante aplicación de la ley de Gauss:

� El campo eléctrico en el interior de un conductor cargado es cero

� Piensa en ello físicamente ...Los electrones de conducción se mueven en respuesta a cualquier campo eléctricoAsí, el exceso de carga se moverá a la superficie del


Así, el exceso de carga se moverá a la superficie del conductorAsí que para cualquier superficie gaussiana en el interior del conductor – que no encierra ninguna carga - el flujo es 0Esto implica que el campo eléctrico es cero dentro del conductor

ApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamiento: : : : : : : : IlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamientoApantallamiento: : : : : : : : IlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustraciónIlustración

� Sea un conductor hueco.Añadimos carga al conductorLa carga se moverá hacia lasuperficie externa.Podemos definir una superfi-cie gaussiana que encierracarga cero


�

El flujo es 0�

El campo eléctrico dentro del conductor es cero!

LeyLeyLeyLeyLeyLeyLeyLey de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss paraparaparaparaparaparaparapara diferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentes

distribucionesdistribucionesdistribucionesdistribucionesdistribucionesdistribucionesdistribucionesdistribuciones de de de de de de de de cargacargacargacargacargacargacargacarga

LeyLeyLeyLeyLeyLeyLeyLey de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss de Gauss paraparaparaparaparaparaparapara diferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentes

distribucionesdistribucionesdistribucionesdistribucionesdistribucionesdistribucionesdistribucionesdistribuciones de de de de de de de de cargacargacargacargacargacargacargacarga� Hemos aplicado la ley de Gauss a una carga puntual y

obtuvimos la ley de CoulombAhora echemos un vistazo a distribuciones más complicadas de carga pero con alguna simetría y calculemos el campo eléctrico resultanteVamos a utilizar una "densidad de carga" para describir la distribución de la carga


distribución de la cargaEsta densidad de carga será diferente dependiendo de la geometría

Symbol Name Unit

λ Charge per length C/m σ Charge per area C/m2

ρ Charge per volume C/m3

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría cilíndricacilíndricacilíndricacilíndricacilíndricacilíndricacilíndricacilíndrica (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría cilíndricacilíndricacilíndricacilíndricacilíndricacilíndricacilíndricacilíndrica (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

� Calculamos el campo eléctricocreado por unun hilohilo conductorconductorlargolargo concon densidaddensidad lineallineal dedecargacarga λλ utilizando la Ley deGauss

qE dA

ε⋅ =∫∫rr

�


� Comenzamos suponiendo unasuperficie gaussiana enforma de cilindro recto conun radio r y longitud L. Eleje del cilindro se superponeal alambre.

0

E dAε

⋅ =∫∫�


� Por simetría podemos ver que el campo eléctrico, se extiende radialmente desde el alambre

� Cómo?• Si rotamos el alambre a lo largo de su eje,

el campo eléctrico debería verse igual • Simetría cilíndrica

• Si imaginamos un alambre muy largo,


• Si imaginamos un alambre muy largo,

El campo eléctrico no puede ser diferente

en un punto si se desliza el alambre, según su eje

Simetría traslacional

� Así, nuestra suposición de un cilindro recto como una superficie gaussiana es perfectamente adecuada para el cálculo del campo eléctrico usando la ley de Gauss


� El flujo eléctrico a través de los extremos del cilindro es cero debido a que el campo eléctrico es siempre paralelo a los extremos

� El campo eléctrico es siempre perpendicular a la pared del cilindro, de manera que

( )2

/ / (Gauss)

E dA EA E rL

q L

π

ε λ ε

Φ = ⋅ = =

= =

∫∫rr

�


� … y el campo es

� En cualquier punto de la superficie lateral del cilindro (que constituye la superficie gaussiana)

E =λ

2πε0r=2kλ

r

0 0/ / (Gauss)q Lε λ ε= =

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría planaplanaplanaplanaplanaplanaplanaplana (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría planaplanaplanaplanaplanaplanaplanaplana (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

� Supongamos que tenemos una hoja infinita no conductora de carga positiva

σ


� La densidad de carga es, en este caso, la carga por unidad de área, σ

� De la simetría, podemos ver que el campo eléctrico será perpendicular a la superficie de la lámina

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría planaplanaplanaplanaplanaplanaplanaplana (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría planaplanaplanaplanaplanaplanaplanaplana (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)

Para calcular el campo eléctrico usando la ley deGauss, se asume una superficie Gaussiana en laforma de un cilindro recto con sección transversalA y altura 2r, que corta la superficie cargada consu eje colocado normal a ella

Debido a que E es perpendicular al plano en todopunto, el campo eléctrico será paralelo a la pared


punto, el campo eléctrico será paralelo a la paredlateral del cilindro y perpendicular a las bases delcilindro.Usando la ley de Gauss

…así para un plano infinito no conductor cargadouniformemente con densidad de carga σ es E =

σ

2ε0

0 0/ / (Gauss)

E dA EA EA

q Aε σ ε

Φ = ⋅ = +

= =

∫∫rr

�

� Sea una placa fina conductora infinita (placa de metal) con carga positiva

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría planaplanaplanaplanaplanaplanaplanaplana, Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1)SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría planaplanaplanaplanaplanaplanaplanaplana, Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1), Conductor (1)


� La "densidad de carga", en este caso también es la carga por unidad de área, σσσσ, pero en ambas superficies;

� Hay igual densidad de carga a ambos lados� De la simetría, podemos ver que el campo eléctrico será

perpendicular a la superficie de la lámina� Dentro el campo es nulo.

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría planaplanaplanaplanaplanaplanaplanaplana, Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2)SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría planaplanaplanaplanaplanaplanaplanaplana, Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2), Conductor (2)

� Para calcular el campo eléctrico usando la ley de Gauss, se elige una superficie gaussiana en forma de cilindro recto con sección transversal A y longitud L, que corta el plano perpendicularmenteEl campo en el interior del conductor es cerode modo que la base interior del cilindrono contribuye a la integral

� Debido a que E es perpendicular al plano en A


� Debido a que E es perpendicular al plano en todo punto, E será paralelo a la superficie lateral del cilindro y perpendicular a la basedel cilindro que está fuera del conductor.

� Usando la ley de Gauss� … por lo que el campo eléctrico

de un plano conductor infinito con densidadsuperficial de carga σ es

E =σ

ε0

EA =σ A

ε0

A

Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)Comparación (1)

� Plano infinito de carga � Placa conductora

E =σ

2ε0E =

σ

ε0


Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)Comparación (2)


SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría esféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesférica: : : : : : : : capacapacapacapacapacapacapacapa (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría esféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesférica: : : : : : : : capacapacapacapacapacapacapacapa (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

� Campo eléctrico creado por unacapacapa esféricaesférica cargadacargadauniformementeuniformemente ..

� La carga total es q y el radio rS , es la capa grisácea.

� Consideramos dos regionesfuera y dentro y en cada una


fuera y dentro y en cada unadefinimos una superficieesférica gaussiana concéntricacon la que está cargada

• fuera r > rS , gaussiana azul• dentro r < rS , gaussiana roja

SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría esféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesférica : : : : : : : : capacapacapacapacapacapacapacapa (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría esféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesférica : : : : : : : : capacapacapacapacapacapacapacapa (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)

� Empezamos con la superficie gaussiana fuera de la capa esférica de carga,r > rS superficie esférica azul

� Con argumentos de simetría, conocemos que E será radial• Si rotamos la esfera, E no va a cambiar

• Simetría esférica

� Aplicando Gauss


�� … y la … y la magnitudmagnitud del campo E del campo E eses

( )2

0

Flux 4

/ (Gauss)

E dA E r

q

π

ε

= ⋅ =

=

∫∫rr

�

E =1

4πε0

q

r2


� Consideremos ahora la superficie gaussiana dentro de la capa esférica cargada r < rS superficie esférica roja

� La carga encerrada es cero, así que

� Y por tanto

en cualquier punto interior.

Flux 0EA= =

0E =


en cualquier punto interior.� Resultado:

�E, fuera, es el mismo que si la carga está en el centro y es puntual�E, dentro, es cero


� La carga que hay en S1 crea en P un campo E igual y opuesto al que crea la carga contenida en S2.

En el interior de la En el interior de la corteza el campo E=0


SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría esféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesférica : : : : : : : : esferaesferaesferaesferaesferaesferaesferaesfera (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)SimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetríaSimetría esféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesféricaesférica : : : : : : : : esferaesferaesferaesferaesferaesferaesferaesfera (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

� Campo creado por unauna distribucióndistribución uniformeuniforme de de cargacargavolúmicavolúmica en en unauna esferaesfera..

� Assume that we have a solid sphere of charge Q with radius R with constant charge density per unit volume ρ

� Consideramos dos regiones fuera y dentro y en cada unadefinimos una superficie esférica gaussiana concéntrica con la esfera cargada


la esfera cargada

• r2 > R (outside)• r1 < R (inside)

R


� Let’s start with a Gaussian surface with r1 < R� Con argumentos de simetría, conocemos que E será radial y

perpendicular a la superficie gaussiana.

� La ley de Gauss da

( )

3

12

4

34

rq

E dA E r

ρ π

π

⋅ = = =∫∫

rr

�

volume


� Y E dentro es

( )210 0

34

qE dA E rπ

ε ε ⋅ = = =∫∫�

area

Einside

=ρ r

1

3ε0

R


1rQE =

1

03inside

rE

ρ

ε=

En términos de la carga total Q…

R


1

3403

3inside

rQE

Rπ ε=

1 1

3 3

04inside

Qr kQrE

R Rπε= =


� Now consider a Gaussian surface with radius r2 > R� Otra vez, con argumentos de simetría, conocemos que E será

radial y perpendicular a la superficie gaussiana.

� La ley de Gauss datotal charge

34Rρ π


� Y E fuera es

Eoutside

=kQ

r2

2

area

R( )

3

2

2

0 0

4

34

RQ

E dA E r

ρ π

πε ε

⋅ = = =∫∫

rr

�

leyleyde gaussley de gauss -...

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