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Gravedad

Un poco de historia• Movimientos planetarios complejos• Movimientos retrogrados

Un poco de historia• Ya en el 400 a.C. Eudoxo desarrolla un modelo para explicar el movimiento planetario, con esferas concénctricas girando en ejes inclinados entre sí (hasta 27 esferas).

Un poco de historia• Aristarco de Samos (310-230 a.C.) mide el tamaño del Sol, resultando ser mucho mayor que la Tierra. Propuso el primer modelo heliocéntrico del Universo... pero fue acusado de alterar el equilibrio del Universo. Hasta 18 siglos después no se volvió a hablar de heliocentrismo.

• Se siguen explicando los movimientos planetarios con circunferencias perfectas (p. ej. Hiparco) con ejes excéntricos, deferentes y epiciclos.

• Sistema de Ptolomeo (85 - 165 d.C.)

Un poco de historia• Nicolas Copérnico: en 1543 se publica la obra en donde expone su modelo heliocéntrico• El Sol es el centro del Universo y los planetas giran alrededor de él• La Tierra gira sobre si misma y la Luna gira alrededor de la Tierra• Explica los movimientos retrógrados de los planetas

Un poco de historia• Tycho Brahe (1546-1601): se dedicó a medir posiciones de estrellas y planetas, catalogando cerca de 1000 estrellas.• Ideó un sistema geocéntrico, con el Sol girando alrededor de la Tierra, pero el resto de los planetas, girando alrededor del Sol.

Un poco de historia• Tycho Brahe legó sus datos a su discípulo Johannes Kepler (1571-1630).• En 1609 publica sus tres leyes.• Galileo (1564-1642) realiza sus descubrimientos (fases de Venus, lunas de Júpiter, manchas solares, estructuras lunares, apariencia extraña de Saturno, más estrellas,...)• Isaac Newton (1642-1727): leyes del movimiento y ley de la gravitación universal.

Gravedad y Kepler• Leyes de Kepler

1.- Todos los planetas se mueven por órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos de la elipse.

2.- El radio vector de cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

3.- Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas alrdedor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes de sus órbitas elípticas.

• Las leyes de Kepler se deducen de la ley de gravitación de Newton. • La fuerza gravitatoria que ejerce la masa m1 sobre la masa m2 es:

F12 = −

Gm1m2

r122

u12

u12 =r12r12

r12 =r2 −r1

F21 = −

Gm2m1

r212

u21

u21 =r21r21

r21 =r1 −r2

Gravedad y Kepler

Por lo tanto:

que no es más que la tercera ley de Newton.

F12 = −

F21

Gravedad y Kepler

Ecuaciones del movimiento:

m1r1 =F12

m2r2 =F21 = −

F12

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ m1

r1 + m2r2 = 0⇒ m1

r1 + m2r2 =p1 +p2 =

P = cte

Centro de masas y posición relativa:

R =

m1r1 + m2

r2m1 + m2

r = r1 −r2

(m1 + m2 )R = 0

r = r1 −r2 =F12

m1

+F12

m2

=F12

m1 + m2

m1m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µr =F12

µ =m1m2

m1 + m2

≡ masa reducida

Gravedad y Kepler

El movimiento de dos cuerpos (aislados) corresponde al de un cuerpo libre situado en el CDMcuya masa es la total

+

El de un cuerpo de masa la masa reducida, sometido a la fuerza gravitatoria entre los dos cuerpos

Gravedad y Kepler

Así, sólo hemos de resolver:

µr =

F12 = −

Gm1m2

r122

u12

r = −G(m1 + m2 )

r2u

Caso práctico (una masa mucho mayor que la otra - Sistema Solar):Si m1>>m2

µ =m1m2

m1 + m2

=m2

1+ m2

m1

m2

m1 + m2 m1

r = −Gm1

r2u

Gravedad y Kepler

Este es un problema de fuerzas centrales, por tanto, la energía mecánica y elmomento angular de la partícula se conservan:

1. Potencial gravitatorio:

2. Energía de m2:

3. Momento angular:

F(r ) = −

∇V (r )

F(r ) = −F(r)u

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ F(r) = −

∂V (r)∂r

⇒V (r) = −Gm1m2

r

E =

12m2r 2 − Gm1m2

r

L = m2

r × r

Gravedad y Kepler

Momento angular constante:

El plano de la órbita es constante, es decir, el movimiento siempre es en el mismo plano.

Coordenadas polares (r, θ)

L =L = m2r

2 θ

E =12m2 r

2 +12m2r

2 θ 2 − Gm1m2

r=12m2 r

2 +L2

2m2r2 −

Gm1m2

r

Gravedad y Kepler

Segunda ley de Kepler (ley de las áreas):

Cuando el ángulo cambia en dθ el radio vector r barreun área

de manera que la velocidad aerolar o ritmo al que se barren áreas es

dA =12r2dθ

dAdt

=12r2 dθdt

=12Lm2

= cte

La segunda ley de Kepler es la conservación del momento angular.

Gravedad y Kepler

Primera ley de Kepler (órbitas):

Renombremos

Se define un potencial efectivo:

m2 = m m1 = M

L = mr2 θ

E =12mr2 + L2

2mr2−GMmr

k = −GMm

Vef =L2

2mr2+kr

E = T +Vef

Gravedad y Kepler


Si L=0 la partícula cae en línea recta alorigen. Caida libre.

Si L≠0 el potencial tiene un mínimo en

r0 = −L2

mk y Vef (r0 ) = −

mk2

2L2

Gravedad y Kepler


a) E>0: partícula cuasi-libre, cuanta más energía, más puede acercarse al centro, pero nunca llega.Se aleja indefinidamente.

b) E=0: como (a). Máximo acercamiento en

c) E<0: Partícula ligada, atrapada gravitacionalmente.Su distancia al centro cambia entre dos valoresmientras gira alrededor del mismo.

d) E=Emin=

Su distancia al centro es constante = r0. Órbitascirculares cerradas.

rmax = −L2

2mk=

L2

2m2MG

−mk2

2L2

Gravedad y Kepler


Gravedad y Kepler


r = −GMr2u =

kmr2u

Solución:

- resolvemos r(θ)=r(θ(t)):

mr = mr θ 2 + kr2

mr2 θ = L

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ r = L2

m2r3+

kmr2

u = 1r

⇒ dudθ

= −1r2

drdθ

r = drdθθ = −r2 θ du

dθ= −

Lmdudθ

r = d rdθθ = −

Lmd 2udθ 2θ

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⇒d 2udθ 2 + u = −

mkL2

Gravedad y Kepler

d 2udθ 2

+ u = −mkL2

u(θ) = 1r= −

mkL2

+ Acos(θ −θ0 )

Que puede escribirse:

Y que es la ecuación de una CÓNICA.

2α se llama latus rectum

ε se llama excentricidad

αr= 1+ ε cos(θ −θ0 )


Gravedad y Kepler


Gravedad y Kepler


α = −L2

mk

ε = 1+ 2EL2

mk2

Demostrarlo

Distancia mínima, rmin cuando θ=0: PERICENTRO. - Para un planeta alrededor del Sol, se llama PERIHELIO - Para un satélite alrededor de la Tierra, se llama PERIGEO

rmin =α1+ ε

Distancia máxim, rmax cuando θ=180: APOCENTRO. - Para un planeta alrededor del Sol, se llama AFELIO - Para un satélite alrededor de la Tierra, se llama APOGEO

rmax =α1− ε

Gravedad y Kepler


CASOS:Los valores de la excentricidad, y por tanto de la energía, determinan el tipo de órbita.

ε > 1 E > 0 hipérbolaε = 1 E = 0 parábola

0 < ε < 1 Vmin < E < 0 elipse KEPLERε = 0 E = Vmin circunferencia

Gravedad y Kepler


Gravedad y Kepler

Para movimiento planetario y satélites: ELIPSES

Semieje mayor:

Semieje menor:

Excentricidad:

a = α1− ε 2

=k2E

= −GMm2E

b = α1− ε 2

=L2m E

ε = 1− b2 / a2

Gravedad y Kepler

dAdt

=12r2 dθdt

=12Lm

= cte

Tercera ley de Kepler: periodo orbital

Sea τ el periodo orbital, es decir, el tiempo que tarda m en recorrer la órbita una vez. IntegrandodA/dt en un periodo debemos obtener el área de la elipse %ab:

dAdtdt

o

τ

∫ =12Lmτ = πab = πa a −L

2

mk

τ = 2πa3/2 −mk

=2πGM

a3/2

τ 2 = 4π2

GMa3

Gravedad y Kepler

Sistema SolarEl Sistema Solar está compuesto de:

• El Sol (99.85% de la masa)• Ocho planetas (0.135% de la masa)• Cometas• Satélites de los planetas• Planetas enanos • Objetos Kuiper 0.015% de la masa• Asteroides• Meteoroides• Medio interplanetario

http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf1-1.php

Sistema Solar

Sistema SolarDatos planetarios

http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/

Sistema Solar

http://asa.usno.navy.mil/SecF/2012/Satellite_orbital_data_2012.txt

Datos satélites naturales:

Datos planetas enanos:Hay 5 planetas enanos: Ceres, Plutón, Haumea, Makemake, Eris.

http://www.windows2universe.org/our_solar_system/planets_table.html&lang=sp

Gravedad terrestre

En la superficie de la Tierra, la fuerza gravitatoria sobre una masa m es:

y corresponde al peso, es decir:

Por tanto,

así, puede obtenerse la masa de la Tierra, MT=M⊕ = 5.96 × 1024 kg tomando el radio mediode la Tierra 6371 km. ¿Qué otra forma hay de estimar la masa de la Tierra?

F =GMTmRT2

F = mg

g =GMT

RT2

Gravedad terrestre

Energía potencial en la superficie terrestre:

Una partícula de masa m a una altura h sobre la superficie de la Tierra, tiene una energía potencial:

Así, la diferencia de potencial del cuerpo respecto del suelo es:

F =GMTmRT2

V (h) = −GMTmRT + h

= −GMT

RTm 1(1+ h / RT )

−GMT

RTm(1− h / RT )

−gmRT + gmh

V (h) −V (0) = gmh

Gravedad terrestre

Velocidad de escape:

Es la velocidad necesaria para escapar indefinidamente de un campo gravitatorio.

Desde la superficie terrestre (r=RT):

E =12mv2 −

GMTmRT

= 0 (mínima energía para escapar)

→ v = 2GMT

RT= 2gRT = 11.2 km/s

Campo gravitatorio

Veamos como se pueden obtener las fuerzas gravitatorias que ejercen los cuerpos masivos encualquier punto del espacio.

Si tenemos un conjunto de partículas mj situadas cada una en , la energía potencial de una masa m, en , debido a todas las masas (j=1,N) será:

ya que la masa m aparece como un factor común siempre, podemos definir el potencial gravitatorio (o energía potencial por unidad de masa)

rj

r

V (r ) = −

Gmmjr − rjj=1

N

∑

Φ(r )

V (r ) = mΦ(r )

Φ(r ) = −Gmjr − rjj=1

N

∑

Campo gravitatorio

La aceleración de la partícula es:

como es independiente de la masa se puede definir el campo gravitatorio :

mr = −

∇V (r ) = −m

∇Φ(r )⇒

r = −

∇Φ(r )

g(r )

g(r ) = −

∇Φ(r )

Si la distribución de masa es continua, caracterizada por una densidad entonces ρ(r )

Φ(r ) = −Gρ(r ')r − r 'V

∫ dr '

g(r ) = (r '− r )Gr − r ' 3V

∫ ρ(r ')dr '

Campo gravitatorio

Veamos un ejemplo sencillo con simetría esférica, es decir,

Calculemos el potencial gravitatorio generado por una capa esférica de radio a y masa M en cualquier punto del espacio P.

ρ(r ) = ρ(r)

El punto P situado a una distancia r0 del centro de lacapa esférica, “ve” que todos los puntos de un anillo centrado en el eje OP están a la misma distancia, r. Por tanto, el potencial gravitatorio en P debido a ese anillo será:

dΦ = −Gr

(masa del anillo) = −Gr

(densidad superficial de masa × área del anillo)

= −Gr

M4πa2 2πasinθ × adθ = −

GM2

sinθr

dθ

Poniendo r en función de r0 y : θ r = (r02 + a2 − 2r0acosθ)

1/2

dΦ = −GM2

sinθ(r02 + a2 − 2ar0 cosθ)

1/2 dθ

Φ(r0 ) = −GM2

sinθ(r02 + a2 − 2ar0 cosθ)

1/2 dθ0

π

∫

= −GM2ar0

(r0 + a) − r0 − a⎡⎣ ⎤⎦

Hay dos casos, cuando P está dentro de la esfera y cuando está fuera:

El primero demuestra que el potencial gravitatorio de una distribución esférica de masa en un punto fuera del objeto es el mismo que el generado por una masa puntual situada en el centro del objeto.

El segundo demuestra que, dentro de una capa esférica, el potencial gravitatorio es constante, es decir, no hay fuerza gravitatoria.

Estos son los dos teoremas de Newton para capas esféricas de materia.

Campo gravitatorio

• r0 ≥ a Φ(r0 ) = −GMr0

• r0 ≤ a Φ(r0 ) = −GMa 2 4 6 8 10

r

a

�1.0

�0.5

0.0

0.5

�

Campo gravitatorio

Para sistemas con simetría esférica:

Φ(r) = −4πG 1r

ρ(r ')r '2 dr '+ ρ(r ')r 'dr 'r

∞

∫0

r

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

F(r) = −

dΦdru = −

GM (r)r2

u

M (r) = 4π ρ(r ')r '2 dr '0

r

∫

Supongamos partículas en órbitas circulares. En este caso puede calcularse la velocidad circularo de rotacion,

vc2 (r) = r dΦ

dr= rF =

GM (r)r

Y la velocidad de escape ve(r) = 2 Φ(r)

Campo gravitatorio

EJEMPLOS:

1.- MASA PUNTUAL:

2.- ESFERA HOMOGÉNEA:

Φ(r) = −GMr

; vc (r) =GMr

; ve =2GMr

M (r) = 43πr3ρ; vc (r) =

4πGρ3

r; ve(r) = CALCÚLESE

0 2 4 6 8 10r

0.5

1.0

1.5

2.0vc

CONCLUSIÓN:

MIDIENDO VELOCIDADESSABREMOS LA DISTRIBUCIÓNDE MASA

Medir velocidades: efecto Doppler

En astronomía se obtienen velocidades utilizando el efecto Doppler.


Hace falta una frecuencia conocida de referencia: líneas del hidrógeno, oxígeno, etc.


TRANSICIONES ATÓMICAS

Pesando galaxias

Pesando galaxias

Distribución de estrellas en el disco plano.

Φ(R) NO ES ESFÉRICO

Pesando galaxias

Φ(R)

Tiene simetría cilíndrica y aún puede calcularse las velocidades circulares esperadas deestrellas rotando en el disco.

Pesando galaxiasMuy útil es una línea del hidrógeno neutro (HI) que emite a 21 cm (ondas de radio). Esemitida por hidrógeno frío en galaxias espirales. Es muy abundante en el Universo (~80%).

Curvas de rotación de galaxias

Usando entonces la línea de 21cm pueden obtenerse las curvas de rotación (velocidadescirculares en función del radio de la galaxia) con mucha precisión (mejor que 3 km/s).


Se obtienen masas de entre 109 y 1012 masas solares (Via Láctea tiene 61011 masas solares). Pero....

?

Falta algo en el modelo.


estrellas

gas

MATERIA OSCURA

La materia oscura en una galaxia representa entre un 50 y un 90% de la masatotal.


• Los halos de materia oscura son esféricamente simétricos con una densidad de masa.

• Las curvas de rotación proporcionaron la primera indicación de la existencia demateria oscura en el Universo.

• Hay muchas más. Hoy en día se admite que en el Universo hay un 23% de materia oscura.

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