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10/12/2013 Tema VI. Rotación 1
Tema VI Rotación
Hemos tratado el movimiento de cuerpos fijándonos en cómo se mueve su CM.
Ahora estudiaremos rotación de sólidos rígidos (objetos extensos) alrededor de un eje fijo en un sistema inercial.
La rotación se encuentra en todas las escalas del Universo, desde los electrones en los átomos hasta galaxias enteras.
Necesitamos describir el movimiento de un cuerpo en rotación.
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Contenido
Recordatorio de las variables cinemáticas del movimiento circular de una masa puntual.
Momento de inercia: obtención. Teorema de Steiner. Momento de una fuerza (torque) Momento angular. Conservación Ecuación dinámica de rotación Cuerpos rodantes. Ejemplos de aplicación.
10/12/2013 Tema VI. Rotación 2
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Ejemplos de mov. rotacionales
10/12/2013 Tema VI. Rotación 3
Los púlsares son estrellas de neutrones que giran sobre sí mismas a una enorme velocidad y, a menudo, emitiendo ondas de radio y hasta rayos gamma al espacio. Las estrellas de neutrones son el resultado de un colosal aplastamiento de la materia por acción de la gravedad, y alcanzan densidades de más de un billón de veces la del plomo. Se conocen hoy más de 600 pulsares con períodos de rotación diversos que van desde el milisegundo a unos pocos segundos con un período promedio de rotación de 0,65 segundos
La cestilla de una noria
Fotografía, de varias horas de exposición, del cielo nocturno
Púlsar
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 4
Rotación de objetos extensos no sólidos
Galaxia Andrómeda Huracán
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 5
Recordatorio de la cinemática del movimiento circular
Magnitudes físicas para describir el movimiento circular • Angular displacement
• Angular velocity
• Angular acceleration
ω =dθdt
α =dωdt
=d 2θdt 2
θ
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10/12/2013 6
Movimiento lineal y circular
Relaciones entre las magnitudes cinemáticas lineales (s, v, a) y angulares (θ,ω,α):
• Displacement, velocity, and acceleration • Energía cinética para el mov. de traslación (masa puntual) • Energía cinética para el mov. circular (masa puntual)
s = rθv = rωa = rα
K = 12 mv2
K = 12 mv2 = 1
2 m(rω )2 = 12 mr2ω 2
Tema VI. Rotación
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Cálculo de ω y α
10/12/2013 Tema VI. Rotación 7
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 8
Sistema de varias partículas
La energía cinética de varias masas puntuales i=1…n
Si asumimos que estas partículas mantienen fijas sus mutuas distancias (sólido rígido), todas las partículas tienen igual velocidad angular y podemos escribir
Donde I es el momento de inercia dado por Mov. traslación CM y mov. rotación (eje fijo)
K = Kii=1
n
∑ = 12 mivi
2
i=1
n
∑ = 12 mi
i=1
n
∑ ri2ω i
2
K = 12 mi
i=1
n
∑ ri2ω 2 = 1
2 mii=1
n
∑ ri2
ω 2 = 1
2 Iω 2
I = mii=1
n
∑ ri2
Compare Klinear =12
mv2 ⇔ Kcircular =12
Iω 2
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 9
Momento de inercia de objetos continuos
Consideramos los objetos extensos como una colección de pequeños cubos de idéntico tamaño de volumen dV y densidad ρ
2 ( )V
I r r dVρ⊥= ∫
( )V
M r dVρ= ∫
Compare to
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 10
Algunos momentos de inercia
Cilindro macizo rotando respecto de su eje de simetría (también para un disco macizo)
Cilindro hueco rotando respecto de su eje de simetría (también para una rueda)
Cilindro macizo rotando respecto de un eje de simetría perpendicular
for R << h : I for thin rodrotating about center
I = 112
Mh2
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 11
Cálculo de I para un cilindro hueco (1)
Obtención del momento de inercia de un cilindro hueco, uniforme, girando alrededor de su eje de simetría (que pasa por el CM) • Densidad constante ρ • Radio exteriorR1 • Radio interior R2 • Altura h
• We will see that h cancels out • A wheel, a hollow cylinder, or a hollow disk will have the same form
for their moment of inertia
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 12
Cálculo de I para un cilindro hueco(2)
Elegimos coordenadas cilíndricas: r, φ, h (eje z) El elemento diferencial de volumen viene dado por
Calculamos la masa del cilindro hueco:
dV = rdrdφdh
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 13
Cálculo de I para un cilindro hueco(3) Obtenemos (dm= ρdV)
ρ=cte= Masa/Volumen:
M = ρ dVV∫ = ρ dh
−h /2
h /2
∫
dφ
0
2π
∫
r dr
R2
R1
∫
= ρh dφ0
2π
∫
r dr
R2
R1
∫
= ρh2π r drR2
R1
∫
= ρh2π 12 R1
2 − 12 R2
2( )= π R1
2 − R22( )hρ
M = π R12 − R2
2( )hρ ⇔ ρ =M
π R12 − R2
2( )h
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 14
Cálculo de I para un cilindro hueco(4)
Calculamos I
Insertamos la expresión de la densidad,
Finalmente ,
(anillo, tubo…)
I = ρ r2 dVV∫ = ρ dh
−h /2
h /2
∫
dφ
0
2π
∫
r3 dr
R2
R1
∫ = ρh dφ0
2π
∫
r3 dr
R2
R1
∫
I = ρh2π r3 drR2
R1
∫ = ρh2π 14 R1
4 − 14 R2
4( )
I = 12 ρhπ R1
4 − R24( )= M
π R12 − R2
2( )h12 hπ R1
4 − R24( )
( )4 4 2 2 2 2
2 211 22
1 22
(since: ( )( ))
Note that for ,
a b a b a b
I M
I
R R
R R R MR
− = + −
= +
≈ = =
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 15
Momento de inercia para otras geometrías
Prisma rectangular
Rotating around axis though the center
Esfera sólida
Rotating around axis through the center
Capa esférica delgada
Rotating around axis through the center
I = 23 MR2
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 16
Ejemplo: Energía cinética rotacional de la Tierra
Question: ¿Cuál es la energía cinética rotacional de la Tierra?
Answer:
( )( ) ( )
2
2
24
6
5
2 224 6 5
12
Take the Earth as a sphere with constant density255.98 10 kg
6.37 10 m2 2 1hour 7.29 10 Hz
24 hours 3600 s1 2 5.98 10 kg 6.37 10 m 7.29 10 Hz2 5
2.6
K I
I MR
MR
T
K
K
ω
π πω −
−
=
=
= ⋅
= ⋅
= = = ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ 29 3310 J (compare with 2.6 10 J translational K)⋅
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 17
Teorema de los ejes paralelos [Steiner] (1)
Ahora que se ha obtenido el momento de inercia de un cuerpo en rotación alrededor de un eje z que pasa por el CM, vamos a obtener el momento de inercia respecto de otro eje de rotación z’ paralelo al eje z y que no pasa por el CM.
Elegimos los ejes de coor- denadas como en la figura: el origen en el CM, siendo el eje z, el eje respecto del cual conocemos Icm .
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 18
Teorema de los ejes paralelos(2)
Relación entre viejas y nuevas coordenadas
Distancia perpendicular en las nuevas coordenadas
Momento de inercia alrededor de z’
x ' = x − dx; y ' = y − dy; z ' = z
r '⊥2 = x '2+ y '2 = (x − dx )2 + (y − dy )2 =
= x2 − 2xdx + dx2 + y2 − 2ydy + dy
2
= (x2 + y2 ) + (dx2 + dy
2 ) − 2xdx − 2ydy
= r⊥2 + d 2 − 2xdx − 2ydy
IP= r '⊥2 ρdV
V∫
= r⊥2ρdV
V∫ + d 2 ρdV
V∫ − 2dx xρdV
V∫ − 2dy yρdV
V∫
CM
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 19
Teorema de los ejes paralelos(3)
Evaluamos las integrales individualmente
La 1ª es I alrededor de z: Icm La 2ª es d2M La 3ª y la 4ª: coordenadas xcm e ycm
del c.m. => por construcción el CM está en el origen y esas integrales son 0. Resultado final:
2 2 2 2x yV V V V
I r dV d dV d x dV d y dVρ ρ ρ ρ⊥= + − −∫ ∫ ∫ ∫
2cmI I Md= +
CM
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 20
Producto vectorial (1)
Multiplicación de vectores hasta ahora: • Un vector por un escalar es un vector:
• Un vector producto escalar por otro vector es un escalar:
• Question: Se pueden multiplicar dos vectores de manera que resulte otro vector?
• Answer: Sí, via el producto vectorial.
( , , ) ( , , )x y z x y zE sA s A A A sA sA sA= = =
( , , ) ( , , )x y z x y z x x y y z zA B A A A B B B A B A B A B• = • = + +
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 21
Producto vectorial (2) Dos vectores y Definición de producto vectorial:
Dirección: regla de la mano derecha Magnitud Anticommuta:
A = (Ax , Ay , Az )
B = (Bx , By , Bz )
x y z z y
y z x x z
z x y y x
C A BC A B A BC A B A BC A B A B
= ×= −
= −
= −
sinC A B θ=
B A A B× = − ×
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 22
Momento de una fuerza (Torque)
Definición (respecto de un punto O): τ = r x F • Magnitud
• Comunica aceleración angular • Par de fuerzas
τ = rF sinθ
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 23
Dirección del Torque
Atornillar un tornillo en una tabla: • Giro horario=> momento hacia adentro • Giro antihorario=> momento hacia afuera
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Aplicación
10/12/2013 Tema VI. Rotación 24
La llave de tuercas mide 0.80 m. La dirección de la fuerza aplicada de 300 N forma un ángulo de 71º con el mango. ¿Cuál es el momento de torsión aplicado? El origen es el punto de apoyo.
τ = 0.80 x 300 x sen(180º-71º) N.m τ ≈ 227 N.m La dirección es horizontal (la de la tubería)
y el sentido es horario(a la izquierda en la foto).
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 25
Momento Angular
Momento lineal de una masa puntual m Magnitud equivalente en el movimiento de rotación:
El momento angular • Usamos el símbolo L para nombrar el momento angular Momento angular de una masa puntual
Magnitud del vector momento angular
p mv=
L r p= ×
L = rpsinθ
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 26
Dirección del momento angular
Regla de la mano derecha
( )
El momento angular es siempre perpendicular al momento lineal y al vector de posición.
(El origen se toma sobre el eje de giro)
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 27
Derivada temporal de L
Dado que
Y recordando la definición de
Obtenemos
( ) ( )( )d d d dL r p r p r p v p r Fdt dt dt dt
= × = × + × = × + ×
( )0 ||v p v p× =
r F τ× =
d Ldt
τ=
reminds you of dp Fdt
=
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 28
L para un sistema de partículas
Generalizamos los resultados para una partícula a un sistema de n partículas
Tomamos la derivada temporal 1 1 1
n n n
i i i i i ii i i
L L r p m r v= = =
= = × = ×∑ ∑ ∑
1
1 1 1( )
n
i ii
n n n
i i i i i neti i i
d dL r pdt dt
d r p r Fdt
τ τ
=
= = =
= ×
= × = × = =
∑
∑ ∑ ∑
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 29
L para sólidos rígidos (1)
Partiendo de la definición de momento angular para un conjunto de partículas y tomando el módulo
Sólido rígido: todas las partículas giran con la misma velocidad angular alrededor del eje de rotación (eje z): ωi = ω para todo i
Relación entre las velocidades lineal y angular: vector: vi = (ω x ri) magnitud:
L Iω=
1 1
n n
i i i i i ii i
L L m r v m r v= =
= = × = ×∑ ∑
vi =ωri⊥
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|ri x vi | = | ri x (ω x ri) | = ri vi = ri (ω ri senθi) Liz = mi |ri x vi |cos(90º- θi) =mi ri (ω ri senθi) senθi = mi ω (ri sen θi )2 = (mi ri┴
2) ω Lz=Σ Liz = Σ (mi ri┴
2) ω =Iω Lz=Iω (ω es un vector en el eje z)
10/12/2013 Tema VI. Rotación 30
vi =ωri⊥
Si el eje z de rotación es eje de simetría del sistema, entonces L = Lz
(ri┴ es Ri en la figura) =ωri senθi
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 31
2
1 1 1 1( )
n n n n
i i i i i i i i i i ii i i i
L m r v m r v m r r m rω ω⊥ ⊥ ⊥ ⊥= = = =
= × = = =∑ ∑ ∑ ∑
= I ⇒ L = Iω q.e.d.
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 32
L Iω=
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 33
Resumen: Momento angular
Momento angular de una partícula
Magnitud del momento angular
Momento angular y momento de una fuerza:
Sólidos rígidos:
L r p= ×
L = rpsinθ
d Ldt
τ=
L Iω=
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 34
Ecuación de la dinámica de rotación
Utilizando y (sólido rígido)
Analogía de este resultado (ec. dinámica de rotación)
con la segunda ley de Newton (ec. dinámica de traslación)
( )d d dL I I Idt dt dt
ω ω α τ= = = =
Iτ α=
F ma=
d Ldt
τ= L Iω=
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 35
Ejemplo: Momento de una fuerza, τ (1)
Un bloque de 1,50 kg está suspendido por un cuerda sin masa que se enrolla alrededor de una polea como se muestra en la figura. La polea puede ser considerada como un disco sólido con la masa de 0,750 kg y el radio de 0,250 m que gira alrededor de su centro. La masa se libera y comienza a moverse hacia abajo.
Question: ¿Cuál es la magnitud de la aceleración lineal de la masa?
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 36
Ejemplo: Momento de una fuerza(2)
T − mbg = −mba ⇒ T = mb g − a( )
Diagrama de cuerpo libre
T
Answer: Comenzamos con la masa (ec. mov. traslación)
Fg=− mb g j
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 37
Ejemplo: Momento de una fuerza(3) Ahora la polea (ec. mov. rotación)
τ = Iα I = 12 mpR2 α =
aR
τ = TR
T
R
Diagrama de cuerpo libre
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 38
Ejemplo: Momento de una fuerza(4)
putting these equations together we getTR = Iα
mb g − a( )( )R = 12 mpR2( ) a
R
now cancel factors of R :mb g − a( )= 1
2 mpa(result independent of R!)Sort terms with and without a :a( 1
2 mp + mb ) = mbg
a =mbg
( 12 mp + mb )
=1.50 kg ⋅9.81 m/s2
12 0.750 kg +1.50 kg( )= 7.85 m/s2
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 39
Cuerpo rodante
De radio R que rueda sin deslizar El eje de rotación se traslada paralelamente a sí mismo
Relaciones especiales entre las magnitudes lineales y angulares
• Displacement s= Rφ • Velocity
• Acceleration
v = Rωa = Rα
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Cuerpo rodante
10/12/2013 Tema VI. Rotación 40
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 41
Energía cinética de un cuerpo rodante Traslación del CM y rotación alrededor de un eje
que pasa por el CM Ejemplos:pelota que rueda cuesta abajo rollo de papel que se desenrolla
es la velocidad del CM
K = Ktrans + Krot =12 mv2 + 1
2 Iω 2
v = Rω
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mgh=1/2mv2+1/2Iω2; v= ωr; I=2/5mr2
10/12/2013 Tema VI. Rotación 42
v=5.42 m/s
Ejercicio (10.1B). Una esfera sólida de masa 5.15 kg y radio 0.340 m rueda desde el reposo por un plano inclinado desde una altura de 2.10 m sin deslizar bajo la influencia de la gravedad. ¿Cuál es la velocidad lineal del CM de la esfera justo cuando llega a la base del plano inclinado?
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Ejercicio propuesto
Se suelta una esfera sólida desde el reposo y rueda hacia abajo por un plano inclinado y luego recorre un bucle circular de radio R. ¿Cuál es la altura mínima h desde la cual se debe soltar la esfera para que no abandone el bucle? Condición: ac ≥ g
10/12/2013 Tema VI. Rotación 43
h
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 44
“La carrera” de cuerpos rodantes
La aceleración de un objeto bajo la acción de la gravedad es independiente de la masa del objeto (caída libre)
En el caso de un cuerpo rodante (se traslada y gira), importa la masa y cómo se distribuye
importa el radio Sean tres objetos con la misma masa, el mismo radio, pero
diferente distribución de la masa , rodando por un plano inclinado • Una esfera sólida • Un cilindro sólido • Un cilindro hueco
Comienzan a la misma altura y sin velocidad inicial ¿Cuál ganará?
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 45
Explicación de la carrera
La energía arriba y abajo del plano inclinado para cada objeto es la misma
mgh =1/2 (mv2+Iω2) mgh =1/2 mv2 [1+I/(mR2) ] v=Rω I(esfera)=2/5 mR2 menor que I(cilindro)=1/2 mR2 menor que I(tubo)= mR2
a menor I, mayor v
E = K +U = K0 +U0
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 46
Ejercicio (10.3B). Intentando poner un rollo de papel higiénico en su portarrollos, se te cae y logras sujetar la primera hoja de manera que el papel se desenrolla al caer como se ve en la figura. ¿Cuánto tarda el papel en llegar al suelo si cayó de una altura de 0.73 m? El rollo tiene una masa de 274 g, R1= 2.7 cm R2= 6.1 cm
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 47
Ejemplo: Máquina Atwood (1)
Dos masas diferentes cuelgan de los extremos de una cuerda guiada por una polea.
¿Cuál es la aceleración?
m2 m1
a a
mp
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 48
Ejemplo: Máquina Atwood(2)
Caso de la polea sin masa: mp∼0 Diagrama de cuerpo libre
Sumando ecs.: m2 m1
a a
mp
m2g
T T
m1g
T − m2g = m2a
−T + m1g = m1a
(m1 − m2 )g = (m1 + m2 )a ⇒
a = g m1 − m2
m1 + m2
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 49
Ejemplo: Máquina Atwood(3) La polea tiene masa Fuerza neta sobre la polea es cero porque su CM permanece en reposo Nota: las tensiones ahora son diferentes! m2
m1
a a
mp
T2 − m2g = m2a
−T1 + m1g = m1a
T1
mpg
T2
m2g
T2
T1
m1g
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 50
Ejemplo: Máquina Atwood(4) La polea gira Momentos respecto del eje de rot.
Momento de inercia (disco)
Aceleración angular
Combinando esto:
m2 m1
a a
mp τ net = Iα
τ net = R(T1 −T2 )
I = 12 mpR2
α = a / R
R(T1 − T2 ) = 12 mpR2 a
R⇒
T1 − T2 =12 mpa
T1 T2
R
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 51
Ejemplo: Máquina Atwood(5) Tres ecs. para tres incógnitas
Lo más fácil: sumar las ecs. m2
m1
a a
mp
T1 − T2 =12 mpa
T2 − m2g = m2a
−T1 + m1g = m1a
(m1 − m2 )g = (m1 + m2 +12 mp )a ⇒
a = g m1 − m2
m1 + m2 +12 mp
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Varilla horizontal en caída
Una varilla delgada de longi-tud L= 2.50 m y masa M = 3.50 kg está suspendida horizontalmente por un par de cuerdas verticales fijadas a los extremos A y B. La cuerda del extremo B se corta. ¿Cuál es la aceleración lineal del extremo B de la varilla inme-diatamente después de cortar la cuerda?
10/12/2013 Tema VI. Rotación 52
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solución
IA = (1/12) ML2+ M(L/2)2= (1/3) ML2
τA= r F=(L/2)Mg ; τA = IA α= (1/3) ML2 α a=L α ; (L/2)Mg = (1/3) ML2 (a/ L)
g/2=a/3 a=1.5 g
10/12/2013 Tema VI. Rotación 53
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 54
Conservation of L
If the net torque is zero, then
Angular momentum is conserved Las fuerzas centrales conservan L The conservation of angular momentum has many
interesting consequences • Gyroscopes • Dancers • Ice-skaters…
0 0if 0 constant ( ) ( )net L L t L t Lτ = ⇒ = ⇒ = ≡
0 0I Iω ω=
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10/12/2013 Tema VI. Rotación 55
Example: Death of a Star simulación, densidad creciente hacia el interior
Question: Si el núcleo de hierro de una estrella (m>5M ) moribunda gira inicialmente a 9.00 rev por día y si el radio del núcleo disminuye durante el colapso por un factor de 700 ¿cuál es la velocidad angular del núcleo de hierro al final del colapso(assuming, actually not justified, that the iron core is a uniform sphere before and after collapse)?
Answer: Angular momentum is conserved
Iω = I0ω0
ωω0
=I0
I=
25 mcoreR0
2
25 mcoreR
2 =R0
2
R2 = 22.72 = 515
ω = 515 ⋅ω0 = 515 ⋅ 3.20 rad/s = 1650 rad/s = 15,700 rpm
7002 ; ω0 =2π9/(24x3600)=6.55 10-4 s-1
321 rad/s = 51.1 rps = 4.4 x 106 rev por día