1

Tema II (Capítulos: 1,2,3 Física, Tipler/Mosca ;

1.6, 2 y 3 Física, Bauer /Westfall; 2 Laboratorio de Física, Hidalgo et al.)

Vectores Escalares magnitud numérica y unidades (presión y temperatura del aula)

Vectores módulo y unidades, dirección, sentido ( símbolo ) (desplazamiento de un móvil, empuje sobre un objeto sumergido en agua)

Vector de posición. El sistema de referencia. Coordenadas cartesianas y polares

en el plano.

Tema II

Vectores.

Movimiento en una dimensión:

Vectores desplazamiento, velocidad y aceleración.

Movimiento con aceleración constante. Ecuaciones cinemáticas.

Movimiento en dos dimensiones:

Movimiento de proyectiles. Movimiento circular.

Interpretación de gráficos de posición y velocidad en función del tiempo.

Movimiento relativo.

Principio de relatividad de Galileo: Sistemas inerciales. Sistemas no inerciales.

(79o=1.38 rad)

r

(x, y)

2.5;

2

Componentes de un vector. Vector unitario. Ejemplo.

Vector desplazamiento (cambio de posición de un objeto).

Un móvil recorre una trayectoria mientras transcurre el tiempo. (marco de ref. fijo: la Tierra)

Examples: 1 A particle moves from x1 =30 cm to x2 = -40 cm. The displacement of this particles is A) 30 cm B) 40 cm C) 70 cm D) -70 cm E) -40 cm

Vector desplazamiento: origen en el punto de

partida, extremo en el punto de llegada x =xB-xA Longitud de la trayectoria: trayecto recorrido (línea

de puntos)

A

B

ixxxxx )( 1212

Un deportista da tres vueltas

completas a la pista, el vector

desplazamiento es CERO

3

2 Four successive displacements of 3 km, 4 km, 5 km, and 4

km are at right angles to each other as shown in the

diagram. The magnitude of the resultant displacement is

A) 2 km B) 16 km C) 3 km D) 5 km E) None of

these is correct

3 El desplazamiento de un coche que hace un viaje de ida y

vuelta entre dos ciudades

A) is always greater than zero. B) is always less than zero. C) is zero. D) can be greater than or less than but not equal to zero. E) can have any value.

Movimiento en 1 dimensión

Velocidad media

durante el intervalo t

4 A particle moves from x0 = 30 cm to x = –40 cm in 5 s. The average velocity of the particle

during this time interval is A) 2 cm/s B) –2 cm/s C) 14 cm/s D) –14 cm/s E) –140 cm/s

Celeridad (rapidez) media (no es un vector)

longitud de la trayectoria / intervalo de tiempo (siempre +)

5 En el ejemplo 2, ¿cuál es la longitud de la trayectoria, después de los 4 desplazamientos? 16 km ¿Cuál es la velocidad media, si en total se emplearon 4 horas? -2j km / 4h = -0.5 km/h j ¿Cuál es la celeridad media? 16 km / 4 h = 4 km/h

12tt

xx

vt

xv

if

mm

tvx m

4

Gráficos: x(t) en 1 dim

6 El gráfico muestra cómo

depende la posición de una

partícula con el tiempo ¿cuál

es la velocidad media al cabo

de 8 s?

x

5

Velocidad instantánea

en t0, siendo t= t t0

y t t0

Aceleración media

7 En el ejemplo 6, ¿cuál es la velocidad instantánea en t= 3 s?

tgladependienteΔt

xΔlimv

0Δt

t

txttx

dt

dxv

t

)()(lim

0dtvxd

12 tt

vv

módulot

va

if

m

tav m

6

Aceleración instantánea

Interpretación de gráficos: x(t), v(t). Ejemplos

Hoja 2, nº10. La posición como función del tiempo. Obtén v y a

t

tvttv

dt

dva

t

)()(lim

0

dtavd

a=0

v=cte

Hoja 2,nº9: ¿cuál es la velocidad media en los cuatro intervalos?

( 0, 1/3, 2, 1 ) m/s ¿cuál es la velocidad instantánea en t= 10 s?

7

Movimiento con aceleración constante. Ecuaciones cinemáticas. Integración

xva

¿Qué gráfico describe un mov. con v + y a ?

¿Qué representa el área?

x

vf

(vi + vf)/2

vi

Cuando a=cte: la velocidad media…

2

00

2

0

2

0000

0

00000

00

2)(

)(2

)()()()(

)()(:)0(

)()()(

)(

0 00

00

ta

tvxtx

tta

ttvtxtxdttavdtvxd

tavdt

xdv

xtxyvtvtinicialesscondicioneDos

definidaintegralttatvtvdtavd

indefinidaintegralctetatvdtavd

dt

vdctea

t

t

t

t

x

x

t

t

v

v

8

8 The graph shows the velocity of a particle as a function of

time. In the 12 s shown, the particle travels

A) 0 m B) 1200 m C) 640 m D) 440 m E) 200 m

9¿Qué función se está representando en el eje y de (b)?

10 On a graph that shows velocity on the vertical axis and time on the horizontal axis, the area under the curve represents

11 The relationship between the velocity of a body

moving along the x axis and time is given by v = 3t2 – 2t,

where the units are SI units. The total distance the

body travels between the times t = 2 s and t = 4 s is

A) 12 m B) 60 m C) 48 m D) 34 m E) 44 m

12 The change in velocity for some time interval can be interpreted as A) the area under the v-versus-t curve for that interval. B) the area under the x-versus-t curve for that interval. C) the area under the a-versus-t curve for that interval. D) the slope of the a-versus-t curve. E) None of these is correct.

A) average acceleration. D) average speed (rapidez). B) average velocity. E) no useful physical quantity. C) displacement.

9

Caída libre (mov. en 1 dimensión)

(cuando sólo actúa g=cte)

Caso particular de MRUA (ec. vectoriales)

h = h0 + vo·t + ½·g·t²

v= v0 + g t

Ejemplo Se lanza el birrete hacia arriba con 14.7 m/s

¿cuánto tiempo tarda en alcanzar el punto más alto? ¿ cuál es la

altura máxima alcanzada? ¿Cuánto tiempo está en el aire, si se

recoge en el mismo punto?

Ejemplo Desde un globo que está a 300 m sobre el suelo y se

eleva a 13 m/s, se deja caer una bolsa de lastre. Encuentra, para la

bolsa, la altura máxima que alcanza, su posición y velocidad 5 s

después de haberse desprendido y el tiempo que transcurre antes de

que choque contra el suelo.

Lugar Gravedad

(m/s2)

Mercurio 2,8

Venus 8,9

Tierra 9,8

Marte 3,7

Júpiter 22,9

Saturno 9,1

Urano 7,8

Neptuno 11,0

Luna 1,6

10

Movimiento en 2 dimensiones

Vectores “cinemáticos” en componentes cartesianas:

vector de posición r = rx i +ry j, Vector desplazamiento r = (r2x r1x)i+ (r2y r1y)i = rx i + ry j,

velocidad v = dr/dt = vx i +vy j, aceleración a= dv/dt = ax i +ay j

(ejemplo nº 3 de hoja 2 profundizar) Interpretación de gráficos: y(x)

dtvrd

12

12

ttt

rrr

tvr m

11

Movimiento de proyectiles

¿Dado v0 , qué orientación produce alcance máximo? ( = 45º)

Si el mono se deja caer cuando se dispara el dardo, éste siempre lo alcanza, con tal de que v0 sea suficientemente grande

12

¿Cómo resuelves? En un salto, una esquiadora abandona la nieve

a 11 m/s a 23º por debajo de la horizontal y aterriza más adelante

sobre la pendiente de 55º. ¿Dónde, cuándo y a qué velocidad

aterriza?

Movimiento relativo. Velocidad relativa

El desplazamiento de una persona (p) respecto del terreno (marco g) es la suma del

desplazamiento de la persona respecto del vagón (marco c) más el desplazamiento del

vagón respecto del terreno:

c y g son marcos inerciales si vcg = cte rpg = rpc + rcg

Rumbo dirección en la que apunta una nave en el medio en que se mueve ( aire,

agua…) (ejemplos 14, 15, hoja 2 )

¡Tomad nota!

O’

O

V1

V2

rpc rcg

Un río tiene 0.76 km de anchura. Las orillas son rectas y paralelas. La corriente tiene una velocidad de 3 km/h y es paralela a los muelles. Un barco tiene una velocidad de 5 km/h en aguas tranquilas. El piloto del barco quiere atravesar el río en línea recta perpendicular a las orillas. ¿Cuál debe ser el rumbo del barco, es decir, en qué dirección debe apuntar la proa del barco?¿Cuánto tarda en atravesar el río?

13

Movimiento circular uniforme

x = R cos

y = R sen

w = d /dt =cte = / t

ur = [cos ) i + sen( ) j]

dr / dt =

ut = [-sen( ) i + cos( ) j] y módulo módulo

r: es el vector de posición y v la velocidad de la partícula.

R: es el radio de giro.

w: es la velocidad angular, que es constante en este caso.

t: es el tiempo.

dv / dt =

¡Tomad nota! ur ut

j

i

r = x i + y j

r = R[cos( ) i + sen( ) j] = R ur

v = R w [-sen( ) i + cos( ) j] = v ut

v= Rw

= 0 + wt

aC = R w2

a = R w2[- cos( ) i - sen( ) j] = aC (-ur)

aC es la aceleración centrípeta

14

Movimiento circular uniformemente acelerado

w = d /dt ≠ cte ≠ w t ; = dw/ dt = cte(≠0)= w/ t

w = w0 + t; = 0 + w0 t +1/2 t2

, w, pueden ser positivos o negativos.

(ejemplo 7, hoja 2 )

Sistemas no inerciales: los marcos de referencia aceleran unos

respecto de otros.

El objeto que gira constituye un sistema no inercial respecto de la

Tierra. Al igual que un coche que acelera en el que vamos sentados.

En un sistema no inercial: ¿Por qué se mueve una pelota que está en

el suelo de un vagón de un tren cuando éste arranca? Nadie la

empuja….

a = R { w2 [- cos i - sen j] + [- sen i + cos j] }=

= aC (-ur) + at (ut) at es la aceleración tangencial

at = R =R dw/dt = dv/dt (¡v módulo!)