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TEMA 6: LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán
1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 1
2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS ............................................................ 2
3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES ................................................................ 3
4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS .................................................................. 5
5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS ........................................................... 7
6. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................. 8
1. INTRODUCCIÓN
Dedicamos este tema al estudio de los polígonos más sencillos: los triángulos (polígonos de
tres lados). Estos polígonos son siempre convexos y son los polígonos básicos, ya que el
resto de polígonos se pueden formar componiendo triángulos y varias de las propiedades
que cumplen éstos se deducen utilizando otras ya establecidas en los triángulos.
Además, el triángulo es el único polígono rígido, es decir, que no se
deforma al presionar sobre sus vértices o sus lados, lo que tiene
importantes aplicaciones en la construcción de estructuras.
En este tema se establecerá la clasificación de estos polígonos y los
teoremas más importantes, aunque ya damos por sentado, puesto
que se ha probado en temas anteriores, que los alumnos conocen
dos teoremas importantes:
• El ángulo exterior de cualquier triángulo es la suma de
los dos interiores no adyacentes (δ=α+β).
• La suma de los ángulos interiores de cualquier
triángulo es un ángulo llano (180º ó π radianes)
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2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Es evidente que la forma de los triángulos varía según sean sus lados y sus ángulos y,
atendiendo a la relación de unos u otros surgen dos clasificaciones diferentes:
Atendiendo a sus lados:
• Un triángulo con los tres lados iguales se denomina triángulo equilátero .
• Un triángulo con dos lados iguales y el tercero desigual se denomina triángulo
isósceles .
• Un triángulo con los tres lados desiguales se denomina triángulo escaleno .
Atendiendo a sus ángulos:
• Un triángulo con los tres ángulos agudos (menor que un recto) se denomina
triángulo acutángulo .
• Un triángulo con un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo .
• Un triángulo con un ángulo obtuso (mayor que un recto) se denomina triángulo
obtusángulo .
Propiedades:
• Un triángulo equilátero forzosamente es acutángulo y sus ángulos miden 60º
• Un triángulo isósceles puede ser acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
• Un triángulo escaleno forzosamente debe de tener los tres ángulos desiguales.
• Un triángulo acutángulo puede ser equilátero, isósceles o escaleno.
• Un triángulo rectángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno.
• Un triángulo obtusángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno.
Tarea 1: Dibuja en las casillas de la tabla siguiente, si es posible, ejemplos de triángulos
que cumplan con la condición de la fila y de la columna correspondiente, una vez
construidos en el geoplano.
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Acutángulo Rectángulo Obtusángulo
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Tarea 2: Descomponer la siguiente figura en
triángulos. ¿Cuál es el mínimo número de
triángulos necesarios?
3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES
• Mediatriz de un lado es la recta perpendicular al lado por
su punto medio. Un triángulo cualquiera tiene tres
mediatrices que se cortan en un punto común. Este
punto es el centro de una circunferencia circunscrita al
triángulo (pasa por los vértices) y se llama circuncentro .
• Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que
divide al ángulo en dos ángulos iguales. Un
triángulo cualquiera tiene tres bisectrices que se
cortan en un punto común. Este punto es el
centro de una circunferencia inscrita al triángulo
(es tangente a los lados) y se llama incentro .
Hay que hacer notar que para dibujar dicha circunferencia es necesario trazar la
perpendicular a uno de los lados que pasa por el incentro, I, y tomar como radio la
distancia de I al punto de corte con el lado, H.
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• Cada lado de un triángulo se puede considerar que es una
base del mismo y la altura sobre una de sus bases es la
distancia del vértice opuesto a la base. Esa distancia es la
distancia mínima y se mide sobre la perpendicular a la
base (a la recta que contiene a la base) que pasa por el
vértice opuesto. También se considera que la altura es el
segmento determinado por el vértice y la intersección de la
perpendicular a la recta que contiene a la base y esta recta. Las tres rectas que
contienen a las alturas se cortan en un punto que se denomina ortocentro .
• Mediana de un lado: es el segmento que une el
punto medio del lado con el vértice opuesto. Un
triángulo cualquiera tiene tres medianas que se
cortan en un punto común, que se llama
baricentro, B. Cada mediana divide al triángulo en
dos triángulos congruentes (que tienen igual área,
ya que la base, por ejemplo, PQ se divide en dos,
PH y HQ, y la altura relativa a estas bases es la misma). Por esta razón, su baricentro
es el centro de gravedad de una lámina triangular uniforme. La distancia del baricentro
al vértice es el doble de la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto.
Tarea 3: Recorta cuatro triángulos de papel. En el primero traza, plegando adecuadamente
el papel, las mediatrices y señala su punto de corte, en el segundo las bisectrices y su
punto de corte, en el tercero las rectas que contienen a las alturas y su punto de corte y en
el último las medianas y su punto de corte. Dibuja las circunferencias inscrita y circunscrita
donde proceda con ayuda del compás.
A partir de cualquier triángulo se puede construir una circunferencia que pasa por los tres
pies de las alturas (intersecciones de las rectas que contienen a las alturas con las rectas
que contienen a los lados), por los tres puntos medios de los lados y por los tres puntos
medios del ortocentro y cada uno de los vértices. El centro de esta circunferencia es el
punto medio entre el circuncentro y el ortocentro. A esta circunferencia se la conoce como
circunferencia de los nueve puntos, de Euler y de Feuerbach.
Tarea 4: Dibujar la circunferencia de Euler con Geogebra y ver que sigue pasando por los
nueve puntos referidos aunque el triángulo se modifique de forma dinámica.
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4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para el estudio de la semejanza de triángulos es necesario clarificar previamente qué
significa la proporcionalidad en el ámbito geométrico. La razón de dos segmentos es la
relación entre sus longitudes, medidas respecto a un segmento unidad, expresada en forma
de cociente:
uentecon
teantecenden
b
a
sec←←
Una proporción es una igualdad de razones:
d
c
b
a =
Las longitudes a y d se llaman extremos y las longitudes b y c se llaman medios. Dos
segmentos son proporcionales a otros dos si sus longitudes forman una proporción.
Teorema de Tales. Si a dos rectas r y r’ se les corta por un
sistema de rectas paralelas, los segmentos determinados por los
puntos de intersección sobre r son proporcionales a los segmentos
determinados por los puntos correspondientes sobre r’. Se
entiende que dos puntos son correspondientes si pertenecen a la
misma recta del sistema de paralelas.
Demostración: Se considera que el alumno conoce que el área del
triángulo es la mitad de la base por la altura.
Ahora se van a comparar las dos razones de la izquierda. Por una parte, los antecedentes
de ambas son iguales, ya que se trata del mismo triángulo y, por otra, los consecuentes
también son iguales ya que el área del triángulo ACC’ es igual a la suma de las áreas de los
triángulos ACB’ y CC’B´ o bien ABC’ y BCC’; pero, además, el área de BCC’ es igual que el
área de CC´B’ porque tienen la misma base CC’ y la misma altura (la distancia entre las dos
rectas paralelas). En consecuencia:
Se puede demostrar que también se verifican otras proporcionalidades, por ejemplo:
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Consecuencia: El teorema de Tales permite multiplicar y dividir segmentos (longitudes), ya
que si en la proporción
se supone AB=1, entonces se obtiene AC=A´C´/A´B´ (AC es el cociente de A´C´y A´B´) y
A´C´=AC·A´B´ (A´C´ es el producto de AC y A´B´).
Tarea 5: Dibuja, con ayuda del compás, la escuadra y el cartabón, el producto y el cociente
de los siguientes segmentos, dado el segmento unidad u.
Triángulos semejantes: Son aquellos que tienen sus ángulos iguales y sus lados
correspondientes proporcionales (la misma forma aunque tengan distinto tamaño). La razón
de semejanza es el valor común de los cocientes entre las
longitudes de lados proporcionales.
Posición de Tales: Si dos triángulos tienen un ángulo común
(el ángulo mide los mismo y los lados de uno de los triángulos
contienen a los del otro) y los lados opuestos a dichos ángulos
son paralelos se dice que los triángulos están en posición de
Tales.
Teorema: Dos triángulos son semejantes si, y sólo
si, pueden colocarse en posición de Tales.
Demostración: Si son semejantes tienen los
ángulos iguales y se puede encajar un triángulo en
otro, como muestra la figura adjunta, sin más que
trasladar el triángulo de manera que coincida uno
de los ángulos (B´A´C´ se traslada a B´´A´´C´´ que
coincide con BAC) de manera que c y c´´ están
sobre la misma recta al igual que b y b´´. Además, el segmento a´´ es paralelo al segmento
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a por tener los ángulos correspondientes C´´B´´A´´ y CBA iguales. De la misma manera, si
los triángulos están en “encaje de Tales” los ángulos son iguales por ser o bien el mismo
ángulo o ángulos correspondientes. Además, aplicando al encaje el Teorema de Tales se
obtiene que
´´´´ c
c
b
b = ó ´´ c
c
b
b =
Si el encaje se realiza trasladando otro ángulo (se ha visto que todos son iguales), por
ejemplo el ángulo A´C´B´, se obtiene:
´´´´ a
a
b
b = ó ´´ a
a
b
b =
Por lo que finalmente se obtiene que los lados son proporcionales:
´´´ a
a
b
b
c
c ==
De esta manera está probado que la posición de Tales equivale a la semejanza.
Criterios de semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si se cumple una
de las siguientes condiciones:
a) Tienen dos ángulos iguales.
b) Tienen los tres lados proporcionales.
c) Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
En todo triángulo se cumple que la suma de dos
lados es mayor que el tercero y la diferencia entre
dos lados es menor que el tercero: a+b>c; a+c>b;
b+c>a; a-b<c; a-c>b y b-c>a (suponiendo a≥b≥c)
Un triángulo queda determinado y, por tanto, se
puede construir conociendo: Los tres lados; dos
lados y un ángulo, comprendido entre sus lados o
no, dos ángulos y un lado, comprendido entre los
lados o no. Dependiendo de los datos dados,
puede haber una única solución, dos o ninguna. Sin embargo, los tres ángulos no
determinan un único triángulo porque no queda fijado el tamaño.
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Tarea 6: Construir, con geogebra un triángulos conocidos: a) los tres lados; b) dos lados y
el ángulo comprendido; c) dos lados y uno de los ángulos no comprendidos entre los dos.
Mover las figuras y establecer cuándo se pueden construir y cuándo no.
6. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Teorema del cateto. En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la
hipotenusa y la proyección de aquel sobre ésta.
q
b
b
a
p
c
c
a ==
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Demostración: A partir del triángulo
rectángulo de partida, ABC, de catetos b y c
e hipotenusa a, se han construido otros dos
trazando por el vértice A del ángulo recto la
perpendicular a la hipotenusa: BHA, de
lados p, h y c, y AHC de lados q, b y h (p es
la proyección de c sobre a y q es la
proyección de b sobre a). Estos dos triángulos vuelven a ser rectángulos porque AH es
perpendicular a BC y, además son semejantes al triángulo de partida por tener los tres
ángulos iguales. BHA es semejante a ABC porque ambos son rectángulos y tienen un
ángulo común, el que tiene por vértice B. Por tanto, el tercer ángulo también debe ser igual
y, en suma son semejantes. Por consiguiente:
Con el triángulo de la derecha, AHC, se procede igual y se obtiene:
Teorema de la altura: En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es media
proporcional entre los dos segmentos en que aquella divide a ésta.
Demostración: Siguiendo la discusión sobre la figura anterior, como BHA y AHC son
semejantes a ABC, son semejantes entre sí y, por tanto:
Comentario: Este teorema permite efectuar raíces cuadradas de forma gráfica (h2=p·q, por
lo que h es la raíz de p·q). Para ello se escribe el radicando como producto de dos factores,
p y q, y se dibuja el triángulo rectángulo correspondiente de hipotenusa p+q, trazando la
semicircunferencia con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la
longitud de la misma, se traza la perpendicular que
pasa por el punto que divide a la hipotenusa en p y q
y la altura buscada es la distancia de este punto al
punto de corte de la perpendicular y la
semicircunferencia.
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Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.
Demostración: De las innumerables demostraciones que existen de este teorema, aquí
vamos a establecer dos: una aplicando el teorema del cateto y otra combinando el
cuadrado de un binomio con cuadrados encajados.
Primera prueba:
Del teorema del cateto:
c2=ap y b2=aq.
Sumando ambas igualdades:
c2+b2= ap+aq=a(p+q)=a·a=a2.
Segunda prueba:
El cuadrado del binomio b+c, (b+c)2=b2+c2+2bc también expresa el área de un cuadrado de
lado b+c.
Por otra parte el área de este cuadrado también es igual al
área del cuadrado de lado a más el área de los cuatro
triángulos rectángulos de catetos b y c. Por tanto,
b2+c2+2bc=a2+4b·c/2=a2+2bc.
Por tanto, a2=b2+c2.
Tarea 7: Buscar en la siguiente dirección web un puzzle pitagórico (las piezas de los
cuadrados sobre los catetos deben encajar en el cuadrado sobre la hipotenusa) y
construirlo en cartulina, cartón o goma EVA, dibujando previamente el modelo con regla y
compás (puedes mover los vértices del triángulos para ver cómo se hace la construcción):
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm
Teorema de Pitágoras generalizado: En un triángulo cualquiera, el cuadrado de uno de
sus lados es la suma de los cuadrados de los otros dos lados más (menos) el doble
producto de uno de estos lados multiplicado por la proyección del otro sobre el cuando el
ángulo opuesto al primer lado es obtuso (es agudo). En las figuras adjuntas,
a2=b2+c2+2b·proyb(c) (a2=b2+c2-2b·proyb(c).)
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Demostración: Trazando la altura CH sobre el lado b, se tiene:
Para el ángulo obtuso:
a2 = AH2+CH2 = (b+BH)2+CH2 = b2+2bBH+BH2+CH2 =
= b2+2bBH+BH2+CH2 = b2+2bBH+BC2 = b2 +2bBH + c2 =
= b2 +2bBH + c2 = b2+c2+2b·proyb(c)
Para el ángulo agudo:
a2 = AH2+CH2 = (b-BH)2+CH2 = b2-2bBH+BH2+CH2 =
= b2-2bBH+BH2+CH2 = b2 -2bBH+ c2 =
= b2 -2bBH+ c2 = b2+c2-2b·proyb(c)
Consecuencia: Si a2=b2+c2 entonces el triángulo es rectángulo (y el ángulo recto es el
opuesto al lado a) ya que la igualdad implica que necesariamente proyb(c)=0 y eso ocurre
sólo si el segmento c es perpendicular a b, es decir, si b y c son los catetos de un triángulo
rectángulo.
Tarea: Resolver individualmente los siguientes problemas.
1. En un triángulo, el menor de sus ángulos es la tercera parte del mayor y el mediano es la
semisuma de los otros dos. Halla los ángulos del mismo.
2. Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que ˆ ˆ3A B= y ˆ 45ºC = .
3. En una circunferencia de 7 cm de radio dibujamos una cuerda de 7 cm. ¿Qué ángulo
central corresponde a dicha cuerda?
4. En el cuadrado de la derecha se construyen 4 triángulos, uno
equilátero y los otros tres isósceles, tal y como se indica en la figura.
Calcula la medida del ángulo x.
5. ¿Cuánto mide el menor de los ángulos formados por las bisectrices de los ángulos
agudos de un triángulo rectángulo al cortarse?
6. En un pueblo hay tres colegios no alineados. El Ayuntamiento ha decidido construir un
centro cultural a igual distancia de los tres. Esquematiza la situación y explica al
Ayuntamiento dónde debe ubicar el centro cultural para que se cumpla el requisito pedido.
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7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 50 cm y la diferencia de las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa es de 14cm. ¿Cuánto miden los catetos?
8. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 50 cm y uno de los catetos 30 cm.
Calcula el perímetro de los dos triángulos obtenidos al trazar la altura sobre la hipotenusa.
9. En el hexágono regular de la figura, calcula la longitud del lado del
triángulo equilátero sombreado.
10. Dos circunferencias cuyos centros distan 15 m tienen radios de
medida 8m y 3m respectivamente. ¿Cuál es la posición de esas dos circunferencias? Se
traza una tangente común de dichas circunferencias. Halla la distancia entre los puntos de
tangencia.
11. En un triángulo escaleno ABC se traza una de las medianas, dividiendo el triángulo de
partida en otros dos triángulos. Contesta de manera razonada a las siguientes cuestiones:
a) ¿Queda dividido ABC en dos triángulos iguales?
b) ¿Existe alguna relación entre los perímetros de los dos triángulos obtenidos?
c) ¿Queda dividido ABC en dos triángulos semejantes?
12. Halla la altura de un triángulo equilátero
sabiendo que la suma de sus lados es 15 cm.
13. Calcula la medida de los lados de los triángulos
que aparecen en el cuadrado de la derecha. ¿Qué
tipo de triángulos son según sus ángulos?
14. En la figura de la derecha, se
conocen los siguientes datos: OA = 2
cm, AB = 3 cm y OC = 3´5 cm. Calcula
la longitud del segmento OD.
15. Una vara de 80 cm proyecta una sombra de 1,4 m. ¿Qué sombra proyectará a la misma
hora un poste de telefonía de 3,4 m?
16. Divide gráficamente un segmento de veinte unidades en partes proporcionales a 4 y 5
unidades.
17. Resuelve gráficamente las siguientes ecuaciones:
10 cm.
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4
2;
12
5
2 x
xx
========
18. Averigua el valor de x e y en la
siguiente figura.
19. Calcula el diámetro del Sol sabiendo que en una cámara oscura el rayo debe recorrer
1,8 m para producir una mancha de 1,7 cm, y que el rayo recorre una unidad astronómica
desde cada extremo del diámetro del Sol hasta la abertura de la cámara oscura. Dato: 1
UA = 149597870 Km.
20. Comprueba que los dos triángulos siguientes son semejantes y calcula las medidas
desconocidas:
21. Construye un triángulo del que se conocen el lado a=8cm y los ángulos A=70º y C=80º.
22. Utilizando únicamente como instrumentos de dibujo la regla y el compás y explicando
los pasos que se vayan realizando en la construcción, dibuja un triángulo ABC tal que el
lado AB mida 8cm, el ángulo A mida 60º y la altura sobre el lado AB mida 5cm.
23. Utilizando únicamente como instrumentos de dibujo la regla y el compás (no
transportador) y explicando los pasos que se vayan realizando en la construcción, dibuja un
triángulo rectángulo ABC que tenga un ángulo de 30º y cuya hipotenusa mida 8cm.
1,8 m
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24. Dibuja a tamaño real (suponiendo que pueda hacerse), utilizando únicamente regla y
compás y explicando los pasos que se vayan siguiendo un triángulo rectángulo e isósceles
cuya hipotenusa mida 11cm.
25. Dibuja un triángulo tal que el lado a = 7cm, el ángulo B valga π/9 radianes y la
mediana correspondiente al lado a mida 6 cm.