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Inicio
A partir de una situación relacionada con la confección de una falda (presentación en el
primer reto) se van planteando situaciones que nos hacen descubrir un número muy
especial que aparece siempre que se trabaja con formas "redondas". Las situaciones se van
complicando y van conformando los sucesivos retos, en el último buscaremos
aproximaciones del número:
Reto 1: Se plantea la necesidad de buscar un número que relacione la circunferencia y su
diámetro.
Una falda con vuelo
Vamos a medir
En busca del diámetro perdido
Lee y reflexiona: Un poco de historia.
Reto 2: Se verá como el número que buscamos tiene que ver con las figuras planas
"redondas"
Como demostró Arquímedes
Un número muy útil
Reto 3: También tiene que ver con las figuras espaciales "redondas"
Construyendo y destruyendo cilindros
Forrar el cilindro
Construyendo y destruyendo conos
El gorro de fiesta
Aplastando esferas
Reto 4: Así que tendremos que buscar un valor aproximado para trabajar
¿Cuál es la expresión decimal de Pi?
Una aproximación egipcia de Pi
Con ayuda del azar
Al final se indican las herramientas matemáticas para resolver las mismas y enlaces para
conocer dichas herramientas. Acude a ellas si no sabes resolver las tareas o después de
haberlas resuelto. Quizás descubras que lo que has hecho es utilizarlas.
Descarga en pdf las tareas, trabaja con tu grupo y recoge toda la documentación en tu
portafolio. Al final haz un resumen de los contenidos matemáticos que has trabajado (ve
anotando según los utilizáis).
UN NÚMERO ENTRE FORMAS REDONDAS
Reto 1
Observa la siguiente presentación (pulsa sobre la ventana de la presentación para avanzar):
¿Cuál es el problema que tenemos que resolver?
Para hallar la relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia vamos a medir distintosobjetos circulares. El procedimiento es el siguiente:
Se toma un objeto"redondo", un calibre y un
metro flexible
Se mide el diámetro con uncalibre (en la parte más ancha
del círculo)
Se mide la longitud de lacircunferencia con un
metro
Una falda con vuelo
Vamos a medir
Rellena la siguiente tabla en la que se han anotado las medidas de algunos objetos (si tienes queaproximar redondea a cuatro cifras decimales):
Objeto Diámetro (cms) Longitud (cms) Longitud:Diámetro
7'4 23'8 23'8:7'4≈
2'9 9'6 9'6: ≈
9'05 28'7 : ≈
Si tenemos un objeto circular, como los que hemos considerado en el ejercicio anterior, en el queel centro es desconocido, vamos a ver cómo medir un diámetro únicamente con regla, escuadray/o cartabón.
Explica por qué la mediatriz de cualquier cuerda pasa por el centro de la circunferencia.Observa la siguiente animación y explica cómo encontrarías un diámetro en la práctica:
En busca del diámetro perdido
En la práctica del reto 1 se comenten muchos errores de medida (al medir el diámetro éste selocaliza "a ojo", es difícil sujetar el metro a lo largo de la circunferencia, ...) y además, la precisiónde la medida depende de la precisión de los instrumentos (tanto en el metro como en el calibresólo apreciamos hasta los milímetros). Por ello, el valor obtenido no es siempre el mismo, aunquesí coincide el primer dígito, las unidades, que resultan ser iguales a 3. Podría tener razón nuestramadre al dividir por 3 la longitud para obtener el diámetro ... hagamos un poco de historia:En realidad, los matemáticos demostraronhace mucho tiempo que el cociente entre lalongitud de una circunferencia y su diámetroes siempre el mismo, es un número muyparticular al que bautizaron con el nombrede la letra griega p (PI), que viene de lapalabra perímetro en griego, y que serepresenta con el símbolo π.
Y el número π tiene su propia historia.Aunque desde la antigüedad se sospechabaque había un número que relacionaba elperímetro y el radio de una circunferencia yse había intentado calcular dicho número(como has hecho tú en la experienciaanterior), en realidad, fue un matemáticogriego, Euclides, quién en su libro Los
Elementos demostró que el área del círculoera proporcional al cuadrado de su diámetro,y por tanto, al cuadrado del radio, lo quesignificaba que ambas cantidades estabanrelacionadas a través de un número, ¿quénúmero sería ese?
Los Elementos de Euclides es todo un bestseller, ya que es uno de loslibros más leídos y utilizados en la enseñanza a lo largo de los siglos,
razón por la cuál la geometría que estudiamos en las escuelas sellama geometría Euclídea.
Arquímedes encontró una relación entre elárea del círculo y la longitud de lacircunferencia a través de un triángulorectángulo, y dedujo así que también esconstante la relación entre la longitud de lacircunferencia y su diámetro, como lo era larelación entre el área del círculo y elcuadrado del radio, ambos cocientes danlugar al mismo número, el NÚMERO PI.
Seguro que te suena el Principio de Arquímedes y la historia de lacorona de oro del Rey (aquí puedes leer la historia), pero ademásdescubrió la ley de la palanca (decía "dadme un punto de apoyo y
moveré el mundo") y la utilizó para demostrar resultadosmatemáticos, también son famosas su espiral, y su tornillo para
elevar agua.
Responde a las siguientes cuestiones:
¿El número pi toma su nombre de la inicial de qué palabra?¿Qué libro escribió Euclides?, ¿qué demostró en él sobre las áreas de los círculos?Según el texto, ¿qué relación hay entre el área del círculo y la longitud de la circunferencia?
Lee y reflexiona: Un poco de historia
Reto 2
Revisa la animación que tienes más abajo (sigue las instrucciones) y rellena los huecos para encontrar larelación entre el área del círculo y la longitud de la circunferencia.
Como se ve en la animación el área del círculo es igual al área del triángulo cuya base tiene como longitud la de la
, y cuya altura es el de la misma. Como el área del triángulo es igual a la
longitud de la por la altura dividido entre , dicho área será igual a la de la
circunferencia por su dividido entre y, por tanto, el área del círculo también será igual a dicha
cantidad, si llamamos´A al área del círculo, L a la longitud de la circunferencia y r al radio, el área del círculo es:
y dividiendo por el cuadrado del :
Como 2·r es igual al de la circunferencia, se deduce que la relación entre el área del círculo y el
cuadrado del radio es la misma que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Esa relación es un
número, el número .
Como demostró Arquímedes
Lee atentamente el texto y completa los espacios en blanco.
Como hemos relatado en el texto anterior, Arquímedes demostró que el número que se obtiene al dividir
la longitud de la circunferencia entre su diámetro era el mismo que el que se obtiene de dividir el áreade un círculo entre el cuadrado de su radio. Dicho número es el número "pi", π, que nos permite deducir
fórmulas para calcular longitudes y áreas como:
LA LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA de radio r
L = ·π·
(En el ejemplo de la falda del reto 1, dada
teníamos que calcular )
LA LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIAde radio r correspondiente a un ángulo α (piensaque la longitud del arco debe ser proporcional al
ángulo y que una circunferencia completa es un
arco de ángulo 360º)
L = ·π· · α /
(Imagina el problema de la falda si la forma de latela es como la de la imagen, entonces a partir de
, que es igual a los 67 cm que mide la cintura,
tendríamos que calcular para cortar el patrón)
EL ÁREA DE UN CÍRCULO de radio r:
A = π· 2
(Imagina que quieres teñir la falda y para calcular
la cantidad de tinte tienes que calcular los metros
cuadrados de tejido que lleva la falda, para eso
necesitas la medida de , ya calculada a través de
)
EL ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR de radio r y
ángulo α (Piensa que el área del sector debe ser
proporcional al ángulo y que el círculo es un sector
de 360º):
A = π· 2· α /
Un número muy útil
(Imagina ahora el cálculo del tinte si la falda es la
de la imagen, como antes necesitas la medida de
, ya calculada a través de )
También se puede demostrar que el área A delsector equivale al de un triángulo cuya base es la
longitud de su arco L y cuya altura es el radio r del
círculo al que pertenece (mira la animación que
tienes más abajo:
A:L=(π· 2· / 360):(2 ·π· · / 360)= /
Reto 3
Las siguientes figuras pueden servir para construir un cilindro (fíjate en la animación que tienes más abajo).
Selecciona verdadero si efectivamente se puede construir y falso si no es así. Puedes utilizar un cordel para
comprobar que las medidas adecuadas coinciden. Imagina cómo sería el cilindro.
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Construyendo y destruyendo cilindros
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
1. Quiero forrar un bote cilíndrico para convertirlo en un portalápices, sin que sobre ni falte nada. He medidosu perímetro y su altura.
¿Qué forma tiene la pieza que he de cortar para forrar el lateral?, ¿cómo calcularía las medidas?
¿Qué forma tiene la pieza que he de cortar para forrar la base?, ¿cómo calcularía sus dimensiones?
2. Observa las medidas del cilindro y coloca las correspondientes letras o fórmulas para calcular las medidasde los segmentos marcados en el desarrollo:
Forrar el cilindro
3. Deduce la fórmula del área lateral y del área total del cilindro, conocidos su radio y su altura. Observa que
en ambas aparece el número Pi.
Las siguientes figuras pueden servir para construir un cono (fíjate en la animación que tienes más abajo,
extraída del Proyecto Gauss).
Selecciona verdadero si efectivamente se puede construir y falso si no es así. Puedes utilizar un cordel para
comprobar que las medidas adecuadas coinciden. Imagina cómo sería el cono.
Verdadero Falso
Construyendo y destruyendo conos
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Para la fiesta de su cumpleaños, Luis quiere hacer gorros con forma de cono. Se
ha medido el perímetro de su cabeza y ha decidido la altura de los mismos.Sabe que debe dibujar un círculo y quedarse con una parte en forma de sector
circular, pero no tiene ni idea de lo grande que debe ser el círculo ni qué partedel mismo debe tomar para que se sujete perfectamente en la cabeza. Tú le vas
a ayudar indicando el procedimiento a seguir.
Comienza completando la figura con las medidas o
fórmulas adecuadas, te ayudará a resolver elproblema:
El gorro de fiesta
¿Cómo calcularías el radio tiene que tener la circunferencia de la base del cono para que el gorro se ajuste a la
cabeza?
¿Cómo calcularías la generatriz del cono? Piensa en cómo se relaciona con las medidas que ya tienes.
El sector circular que está buscando Luis (el desarrollo del cono) forma parte de un círculo ¿cuál es el radio dedicho círculo? No tienes que calcular nada, busca entre los datos que ya tienes.
¿Cómo calcularías el área lateral del cono utilizando los datos que tienes (recuerda que en el reto 2 viste una
forma de calcular el área de un sector sin conocer el ángulo)?
¿Cómo calcularías el ángulo que necesita medir en el círculo para obtener el sector circular?
Deduce cuál es la fórmula del área lateral y del área total del cono.
La esfera, a diferencia del cono y del cilindro, no se puede "aplastar", no es desarrollable, por lo que no existe
una figura plana con la que se pueda construir (de ahí el problema de dibujar mapas) y, por tanto, el cálculo desu superficie es más complicado, es necesario buscar otros métodos. Contesta a las siguientes preguntas
después de buscar la información en la web que se te propociona:
a. Busca la relación que existe entre el área de la esfera y el área lateral del cilindro circunscrito (la esferaestá ajustada al cilindro, por lo que el radio es el mismo y la altura del cilindro es el diámetro de la esfera) en
la siguiente web:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/redondos/arquime1.htm
b. Busca la relación que existe entre el área de la esfera y el del círculo máximo (el que se obtiene cortando laesfera por un plano que pasa por un diámetro de la misma) en la siguiente web:
http://www.aulafacil.com/matematicas-areas-cuerpos-geometricos/curso/Lecc-6.htm
Aplastando la esfera
Reto 4
Lee atentamente la siguiente poesía de Manuel Golmayo:
Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.
El poema es similar a una adivinanza cuya solución es el número Pi. Explica por qué.
Cuenta las letras de cada palabra y anótalas. Compara los números con los decimales de Pi que puedes
obtener con la calculadora:
Primero pulsa la tecla donde está el número Pi, te aparecen en pantalla algunos decimales, siendo
el último un valor redondeado (por lo tanto puede ser esa cifra o una unidad menor)
Para que te muestre más cifras resta las unidades (queda 0 coma ...) y el resultado lo multiplicas
por 10 (mueves la coma hacia laderecha y te deja ver el siguiente decimal). Repite el proceso hasta
que no muestre más cifras.
Entra en http://www.wolframalpha.com/, escribe Pi y pulsa en el símbolo de igualdad, entre la
información que aparece tienes más cifras de Pi.
Entra en http://www.angio.net/pi/piquery, una página donde se almacenan 200 millones de cifras de Pi.
Si escribes la fecha de tu cumpleaños después de Search for el buscador te dirá en que parte de laexpresión decimal de Pi se encuentra esa cadena de 8 dígitos.
La búsqueda anterior se puede hacer con cualquier combinación de números, aunque no siempre se
obtendrá un resultado ya que "sólo" se han almacenado unas cuantas cifras de Pi. Resulta que Pi es un
número con infinitas cifras decimales y no existe un grupo de ellas que se repita (periodo), tiene unaexpresión decimal no periódica (lo que se llama un número irracional). Lee el artículo de El País de este
enlace y explica qué tiene que ver Pi con los ordenadores.
EL PAPIRO DE RHIND
¿Cuál es la expresión decimal de Pi?
Una aproximación egipcia de Pi
En el problema 50 del papiro de Rhind, su autor, el escriba Ahmes, quiereresolver el problema del área de un campo circular de 9 jets de diámetro, para
lo cual considera que dicho área es igual al área de un cuadrado de lado 8 jets,con lo que los egipcios habrían conseguido "cuadrar el círculo".
Las unidades egipcias eran los
jet, que equivalen a unos 52'5metro
El problema 48 del mismo papiro, en el que compara el área de un círculo con el del
cuadrado circunscrito, nos da una pista de cómo llegaron a dicha “receta”: si se construye
un octógono a partir de un cuadrado de lado nueve unidades, dividiendo cada lado en tres
partes iguales, y suprimiendo los cuatro triángulos que quedan en las esquinas, el área de
este octógono es muy similar a la del círculo inscrito en el cuadrado original, y también es
muy similar a la de un cuadrado de lado 8.
Contesta a las siguientes preguntas:
¿En qué cultura se sitúa este problema?
¿A través de qué documentos han llegado hasta nuestra época sus conocimientos matemáticos?
¿Es cierto que el área de un círculo de diámetro 9 es igual al área de un cuadrado de lado 8?
Busca en la red en qué consiste el problema de la cuadratura del círculo.
Calcula, teniendo en cuenta que el lado del cuadrado es 9 unidades:
El área de los triángulos formados en las esquinas del cuadrado.
El área del octógono.
El área del círculo inscrito en el cuadrado original.
La diferencia entre el área del octógono y la del círculo anterior.
La diferencia entre el área del octógono y la de un cuadrado de lado 8.
Compara el círculo y el octógono, ¿el círculo está inscrito o circunscrito al octógono?, ¿podrían tener el
mismo área?
Los egipcios consideraban que el círculo y el octógono tienen áreas muy parecidas, y también son
parecidas las del octógono y el cuadrado de lado 8, así que asumían que el círculo de diámetro 9 y elcuadrado de lado 8 tenían el mismo área. Explica por qué se deduce de lo anterior que en el Papiro se
toma como aproximación del número Pi (П) el número 4·(8/9)2.
Halla con tu calculadora los primeros decimales del número anterior, ¿cuántos coinciden con la expresión
decimal de pi?
Lee el texto atentamente. Completa las palabras o los datos numéricos que faltan. Para escribir el número π,
escribe Pi.
Para hallar una aproximación de Pi podemos ayudarnos de un experimento aleatorio, que vamos a simular enla animación que tienes más abajo.
1) Se inscribe un círculo en un cuadrado de lado 2. El radio del circulo será y su área, por tanto,
será igual a . Como el cuadrado tiene área , la relación entre las áreas es de / .
2) Se elige al azar un punto del cuadrado (eligiendo para las coordenadas números aleatorios entre
0 y ) y se observa si este punto pertenece o no al círculo (se calcula la distancia al centro y se
comprueba si es o igual que el radio).
3) El número de veces que aparece el punto en el círculo (el número de puntos que están en el
de la circunferencia en la simulación), dividido por el número de veces que se
repite la simulación (número de puntos totales, 170 en la animación) tiene que ser similar a la
relación entre las áreas, partido por .
4) Así, ,multiplicando por la frecuencia obtenida se tiene una aproximación de Pi.
Con ayuda del azar
Herramientas matemáticas
Circunferencia, círculo y sus elementos.
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Vídeo sobre Pi (sobre todo del minuto 9:30 al 14:30)
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Áreas y longitudes de figuras redondas
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Áreas y volúmenes de cuerpos de revolución
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Herramientas matemáticas