VECTORES EN EL ESPACIO

MATEMÁTICAS II

2º Bachillerato

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I.- INTRODUCCIÓN.

El bloque que ahora comenzamos es el correspondiente a Geometría, aunque en realidad

corresponde a una pequeñísima parte de la geometría: la Geometría analítica del espacio

tridimensional. La Geometría constituye, sin duda, una de las ramas más importantes de las

Matemáticas y han estado presentes, de una forma u otra, desde la existencia del ser humano.

Uno de los principales creadores de lo que hoy conocemos como Geometría y quizás el más

importante de la historia fue Euclides de Alejandría (330 – 275 a.C.) que estudió Matemáticas,

Música, Óptica,… aunque su obra más importante la forman 13 pequeños libros con un total de 465

proposiciones llamados “Los Elementos de Euclides” y que han sido los pilares básicos de la

Geometría durante siglos. Posteriormente, con el paso de los siglos, la Geometría se ha ido

desarrollando, estudiándose desde las Geometrías no euclídeas, hasta la moderna Geometría

fractal, pasando, entre otras por la Geometría esférica.

Centrándonos en la Geometría Analítica que nos ocupa, fueron los matemáticos franceses Pierre

de Fermat (1601-1665) y sobre todo René Descartes (1596-1650) los que crearon esta nueva

disciplina matemática, también denominada geometría con coordenadas, cuya idea central fue

asociar ecuaciones algebraicas a las curvas y superficies. De esta manera, consiguieron unir los

elementos geométricos con los números a través de los sistemas de referencia. Esta creación

surgió dentro de la búsqueda de métodos generales para el estudio de curvas junto con las nuevas

aportaciones del Álgebra. Lo que haremos es identificar los conceptos geométricos (puntos, rectas,

planos, etc) con números o ecuaciones de modo que, por ejemplo, estudiar dónde se cortan dos

rectas se convierte en estudiar un sistema de ecuaciones.

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II.- DEFINICIONES.

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Observación: la orientación del triedro x,y,z no es arbitraria; las 3 posibilidades válidas son las

siguientes, pero la más frecuente es la primera.

III.- OPERACIONES.

III.I. SUMA DE VECTORES

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III.II. RESTA DE VECTORES

III.III. PRODUCTO POR UN ESCALAR.

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III.IV. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Proposición 1: Dado un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, el número de vectores

linealmente independiente de ellos es el rango de la matriz cuyas filas (o columnas) son las

coordenadas de los vectores respecto a una base cualquiera de V.

Nota: A partir de lo anterior, es evidente que:

Tres vectores en el espacio son base El determinante de la matriz que forman sus

coordenadas respecto de una base es no nulo.

El número máximo de vectores linealmente independientes en V3 es tres.

Definición. Dos vectores son paralelos si son linealmente dependientes, es decir cuando sus

coordenadas son proporcionales. vu

significa que los vectores u

y v

son paralelos.

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Así pues, 321 ,, uuuu

es paralelo a 321 ,, vvvv

cuando 3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u .

Tres puntos A, B y C están alineados si AB y AC son dependientes.

Veamos, en la siguiente tabla resumen, todas las posibilidades de dependencia lineal en función del

número de vectores y de su posición:

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IV. PRODUCTO ESCALAR

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Para cada valor de a tal que 10 a , existen dos ángulos cuyo coseno vale a: acos y

aº360cos . Consideraremos que el ángulo entre los dos vectores es el menor de estos.

El signo del producto escalar de dos vectores es el mismo que el signo del coseno del ángulo que

forman.

Si el producto escalar es positivo, el ángulo que forman es agudo.

Si el producto es cero, el ángulo que forman es recto, y son perpendiculares.

Si el producto es negativo, el ángulo que forman es obtuso.

Definición. Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es 0.

vu

significa que los vectores u

y v

son perpendiculares (u ortogonales).

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V. PRODUCTO VECTORIAL

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VI. PRODUCTO MIXTO

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