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Bloque I. Números y medidas. Tema 4: Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA

–1–

IES LA ASUNCIÓN http://w w w.ieslaasuncion.org MATEMÁTICAS 2º ESO

1. POTENCIAS

* Una potencia es una multiplicación de factores iguales. Se escribe

!

an e indica que el número “a” se

multiplica por si mismo “n” veces. El número “a” se llama base y el número natural “n” se llama exponente.

Si el exponente es 2, se lee al cuadrado; si es 3, al cubo; si es 4, a la cuarta; si es 5, a la quinta; etc.

* Cuando la base “a” es un número negativo hay que encerrarlo entre paréntesis. Por ejemplo ( )42! significa que el número 2! se multiplica por si mismo cuatro veces y por tanto su valor es 16. En

cambio en la potencia 42! la base es 2 y por tanto su valor es 16! al tener un menos delante.

Observa que (nº negativo)par = positivo , en cambio, (nº negativo)impar = negativo

* La base de la potencia puede ser cualquier número real. Por ejemplo 3

2

3

2

3

22

!="#

$%&

' , es decir, es 9

4

Ejemplos:

Ejemplos:

!

"5( )2

= ("5) # ("5) = 25 però " 52 = "5 # 5 = "25

"5( )3

= ("5) # ("5) # ("5) = "125 i " 53 = "5 # 5 # 5 = "125

2. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO O CERO. LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

* Se define

!

a0

=1 para cualquier base “a” distinto de cero, por ejemplo: 170=

* Se define las potencias de exponente negativo así:

!

a"n

=1

an

. Por ejemplo,

!

2"3

=1

23

, es decir,

!

2"3

=1

8.

* Se verifica

!

a

b

"

# $ %

& '

(n

=b

a

"

# $ %

& '

n

. Por ejemplo

!

3

2

"

# $ %

& '

(2

=2

3

"

# $ %

& '

2

=4

9

* Observa que una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente si éste es positivo o anteponiendo tantos ceros (será un decimal) como indique el exponente si

éste es negativo. Observa los ejemplos:

!

103

=1000 ,

!

10"3

=1

103

=1

1000= 0,001


–2–


* Escribir un número en notación científica es expresarlo de la forma

!

a "10n siendo

!

"a" un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10 y

!

"n" un número entero. La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Observa los ejemplos donde pasamos un número a notación científica o viceversa:

!

4205 = 4,205 "103; 0,0009503 = 9,503 "10

#4; 325,12 = 3,2512 "10

2; 7 "10

6= 7000000; 2,1"10

#2= 0,021

ERV: 1, 2, 3 i 4

3. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS * Para multiplicar dos potencias de igual base, se suman los exponentes:

* Para dividir dos potencias de igual base, se restan los exponentes:

* La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores:

* La potencia de un cociente es igual al cociente entre las potencias del dividendo y del divisor:

* Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes:

!

am" a

n= a

m+n

!

am: a

n= a

m"n

!

am

an

= am"n

!

(a " b)n

= an" b

n

!

a : b( )n

= an: b

n

!

a

b

"

# $

%

& '

n

=an

bn

!

am( )

n

= am "n


–3–


Ejemplos: Ejemplos:

!

a) 24 " 34 = (2 " 3)4 = 64 = 6 " 6 " 6 " 6 =1296

b)63

23

=6

3

#

$ % &

' (

3

= (6 : 2)3 = 33 = 3 " 3 " 3 = 27

c) 25 " 23 = 25+3 = 28 = 256

d) 25 " 2)3 = 25+()3) = 25)3 = 22 = 4

e) 2)5 " 2)3 = 2)5+()3) = 2)5)3 = 2)8 =

1

28

=1

256

f ) 25: 2

3 = 25)3 = 22 = 4

g) 25: 2

)3 = 25)()3) = 25+3 = 28 = 256

h) 2)5: 2

3 = 2)5)3 = 2)8 =1

28

=1

256

i) 2)5: 2

)3 = 2)5)()3) = 2)5+3 = 2)2 =1

22

=1

4

j) 22( )3

= 22"3 = 26 = 64

k) 22( ))3

= 22"()3) = 2)6 =1

26

=1

64

l) 2)2( )

)3= 2()2)"()3) = 26 = 64

!

m)5

6

"

# $ %

& '

3

(3

5

"

# $ %

& '

3

=5

6(3

5

"

# $

%

& '

3

=15

30

"

# $

%

& '

3

=1

2

"

# $ %

& '

3

=1

8

n)3

10

"

# $

%

& '

2

:6

5

"

# $ %

& '

2

=3

10:6

5

"

# $

%

& '

2

=15

60

"

# $

%

& '

2

=1

4

"

# $ %

& '

2

=1

16

o)2

5

"

# $ %

& '

3

(2

5

"

# $ %

& '

4

=2

5

"

# $ %

& '

3+4

=2

5

"

# $ %

& '

7

p)2

5

"

# $ %

& '

3

(2

5

"

# $ %

& '

)5

=2

5

"

# $ %

& '

3+()5)

=2

5

"

# $ %

& '

3)5

=2

5

"

# $ %

& '

)2

=

=5

2

"

# $ %

& '

2

=25

4

q)2 ( 24 ( (23))2

2)3 ( 25

=2 ( 24 ( 23(()2)

2)3+5

=2 ( 24 ( 2)6

22

=

=21+4)6

22

=2)1

22

= 2)1)2

= 2)3

=1

23

=1

8

r)24 ( (32))5 ( 62

2)2 ( 35

=24 ( 3)10 ( (2 ( 3)2

2)2 ( 35

=

=24 ( 3)10 ( 22 ( 32

2)2 ( 35

=24+2 ( 3)10+2

2)2 ( 35

=26 ( 3)8

2)2 ( 35

=

= 26+2 ( 3)8)5 = 2

8 ( 3)13 =28

313

4. ERRORES HABITUALES

* No es igual

!

an que

!

a " n . Por ejemplo, estaría mal decir que

!

35 es igual a

!

3 " 5 ya que

!

35

= 3 " 3 " 3 " 3 " 3 = 243 y en cambio

!

3 " 5 =15.

* No es igual

!

("a)n que

!

"an . Por ejemplo, estaría mal decir que

!

"3( )2 es igual a

!

"32 ya que

!

"3( )2

= ("3) # ("3) = 9 y en cambio

!

"32

= "3 # 3 = "9 .

* No es igual

!

(a + b)n que

!

an

+ bn . Por ejemplo, estaría mal decir que

!

2 + 3( )2 es igual a

!

22

+ 32 ya

que

!

2 + 3( )2

= 52 = 25 y en cambio

!

22

+ 32

= 4 + 9 =13.

* No es igual

!

a"n que

!

"an . Por ejemplo, estaría mal decir que

!

2"3 es igual a

!

"23 ya que

!

2"3

=1

23

=1

8 y

en cambio

!

"23

= "2 # 2 # 2 = "8.

ERV 5, 6, 7, 8, 9 y 10


–4–


5. RAÍCES

* La raíz de índice "n" del número "a" (radicando) es el número "b" tal que abn= , es decir:

* Cuando el índice es 2 se llama raíz cuadrada, cuando el índice es 3 se llama raíz cúbica.

* Se llaman cuadrados perfectos a los cuadrados de los números enteros. Se llaman cubos perfectos a los cubos de los números enteros.

* Observa que: – Si el radicando es positivo y el índice es par entonces hay dos raíces.

– Si el radicando es negativo y el índice es par entonces no hay raíces.

– Cuando el índice es impar siempre hay una única raíz sea cual sea el radicando.

Ejemplos:

Ejemplos:

!

49 = 7 ya que 72

= 49

Pero 30 no es exacta, entonces calculamos la raiz entera :

52

= 25 < 30

62

= 36 > 30

" # $ % 5 < 30 < 6% 30 & 5

ERV 11, 12, 13, 14, 15 y 16

6. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES * De forma similar a las potencias, las raíces tienen propiedades que nos permiten simplificar expresiones. Durante este curso estudiamos solamente dos:

1)

!

a " bn = an " b

n

2)

!

a

b

n =a

n

bn


–5–


Ejemplos:

Ejemplos:

!

3 " 12 = 3 "12 = 36 = 6

243

33

=24

3

3 = 83 = 2

ERV: 17

7. JERARQUIA DE LAS OPERACIONES Y USO DEL PARÉNTESIS * La jerarquía de las operaciones y el uso del paréntesis dice que cuando se tienen distintas operaciones combinadas se ha de seguir el orden:

a) Paréntesis.

b) Potencias y raíces.

c) Multiplicaciones y divisiones.

d) Sumas y restas.

e) Si las operaciones tienen el mismo nivel, se empieza por la izquierda.

Ejemplos: Exemples:

!

164 " (2 " 3)5" 3

2# 49 =

= 2 " ("1)5" 9 # 7 =

= 2 " ("1) " 63 =

= 2 +1" 63 =

= 3" 63 =

= "60

ERV 18


–6–


8. USO DE LA CALCULADORA * Mediante varios ejemplos estudiamos el uso de la calculadora marca CASIO más común.

Nota: La tecla en y son equivalentes, pero se utiliza la segunda cuando operamos con fracciones.

1) 4232 !="! 2 3 2

2) 5)2(:)37( !=!+ 7 3 2 o 7 3 2

3) 3)1(4 !=!!! 4 1

4) 15)1)13(32(2 =!!!"+!" 2 2 3 3 1 1 5

5) 2123

28=

!"

+ 8 2 3 2 1

6) L2831,712 =+!" 2 1

7) Simplifica 9

6 (fracción propia) 6 9

8) Simplifica 6

9 (fracción impropia) 9 6

9) 2

1

6

1

3

2=! 2 3 1 6

10) 3

11

6

25

5

22 =!+ 2 2 5 25 6

11) 15

26

5

3

5

3:

5

22 =!"

#

$%&

'! 2 2 5 3 5 3 5

12) 45352=! 5 3

13) 13253=+ 5 2

14) 11)2(3 3!=!+! 3 2

15) 3225= 2 5

16) 16

81

2

34

=!"

#$%

& 3 2 4


–7–


17) 16

3

2

3

4= 3 2 4

18) 5,021=

! 2 1

19) 13131210533,31001,31023,5 !=!+! 5 23 12 3 01 13

20) 57423,11001,31023,51312=!!!

" 5 23 12 3 01 13

21) 13851005,51001,1105

!!!"=""" 5 5 1 01 8

22) 4

5

5)710(

32

2

1324

!=!!

"!

+ 3 1 2 4 2 3

10 7 5

23) 39 = 9

24) 283 !=! 8

25) 2164 = 4 16

26) L036,2355 !=! 5 35

27) ( )11

2

52332

=!!"+ 3 3 2 5 2

1

28) 132

)2()2315(3 322

!=!

!+"! 15 3 2 2

2 3

ERV 19 , 20 y 21

9. PROBLEMAS CON POTENCIAS Y RAÍCES

ERV del 22 al 38

Bloque I. Números y medidas. Tema 4: Potencias y raíces. Uso de la calculadora. Ejercicios resueltos en http://www.josejaime.com/videosdematematicas

–8–


Potencias

1. (1º ESO) a) Calcula 32 , 5

1 , 23,0 ,

3

3

5!"

#$%

& , 07 , 4

0 , ( )42! , 42! , ( )51! , 4

10 , 105

(el último con la calculadora o con wiris) b) Halla los cuadrados y los cubos perfectos menores de 200. c) Pasa a notación científica los números 570400000 y 0,000021 d) Pasa a notación decimal los números 3

107,2!

" y 5101402,3 !

e) Tenemos una finca cuadrada cuyo lado mide 23 m. ¿Cuál es el precio de venta si cada 2m vale 20 €?

f) Calcula el volumen de un cubo de 4 m de arista. 2. Calcula paso a paso:

a) 32 4)715(2 !!" b) 54 )532(23 !"!" c) 7:)5253( 32!"!

d) 22 6:)52(8 ! e) 32:)]35(2[1 23!! f) 42 2])7(3[ !!!!

3. a) Escribe como fracción:

a1) 23! ; a2) 3

2! ; a3) 3)2( !

! ; a4) 2)3( !! ; a5) 2

10! ; a6)

3

3

2!"

#$%

& ; a7) 3

3

2!"

#$%

&' ; a8)

3

3

2!

"#

$%&

' ; a9) 3

3

2!

"#

$%&

'!

b) Escribe en forma de potencia siendo la base un número primo:

b1) 25

1 b2) 16

1 b3)81

1

4. Efectúa las siguientes operaciones: a) 533

052 +!" b) 30113 )1(45622052 !!!++

!!! c) 42231 )3(21 !!!"! d) 2)5,2( !

!

Propiedades de las potencias 5. (1º ESO) a) Expresa el resultado en forma de una única potencia.

a1) 2733 ! a2) 26

2:2 a3) ( )325 a4) 4423 ! a5) 55

2:6 a6) ( ) 2542: xxx !

b) ¿Qué expresiones son ciertas y cuáles son falsas? b1) 377

3!= b2) ( ) 33

55 !=! b3) ( ) 222

3232 !=! b4) ( ) 222

3232 +=+ b5) ( ) 22

532 =+

6. Escribe el resultado en forma de una sola potencia aplicando las propiedades de las potencias:

a) 4255 ! b)

3

9

5

5 c) 9

3

5

5 d) ( )235 e) 3375 ! f)

4

4

7

5 g) 9

38

5

55 !

7. Sustituye cada uno de los recuadros □ por el signo = o ! en las siguientes expresiones: a) 27 □14 b) 2)3(! □ 2

3! c) 3)3(! □ 33! d) 2)32( + □ 2

5

e) 2)35( ! □ 2235 ! f) 2)32( ! □ 22

32 ! g) 2

2

5!"

#$%

& □2

2

2

5 h) ( )323 □ 53

8. Escribe el resultado en forma de una sola potencia de base un número primo o fracción irreducible, aplicando las propiedades de las potencias:

a) 33

5

3

6

5!"

#$%

&'!

"

#$%

& b) 22

5

6:

100

3!"

#$%

&!"

#$%

& c) 3

3

4

12 d) 4

4

10

5 e) 3

3

4

3)4( !

"

#$%

&'( f) 3

4

9. Escribe como una única potencia de base un número primo: a) 33

24 ! b) 558:16 c) 64

33!

" d) 8125:5! e) 43)2( ! f) 45

7:7!! g) 4:8)2( 343 !

"


–9–


10. Simplifica y calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a) ( )25

434

22

22

!

! b) ( ) ( )22

4324

aa

aaa

!

!! c) ( )

( )322

42

baa

bbba

!!

!!!

"

"

d)2732

8142

44

235

!!

!!"

"

e) 124

25

642

3982

!!

!!

""

"""

Raíces.

11. (1º ESO) a) Calcula mentalmente 25 , 0 y 4! b) Calcula la raíz cuadrada por defecto y por exceso de 90. Hállala con la calculadora o con wiris. c) Realiza las siguientes operaciones sin calculadora

( )( ) ( ) ( )16:4164921815:507233224

!+!!"+!"""! d) Un terreno cuadrado tiene 2

625 m de área. ¿Cuál es su perímetro?

12. (1º ESO) a) Halla sin calculadora 94864 y comprueba el resultado b) Halla sin calculadora 697 . Comprueba que restoraízradicando +=

2 . Halla 697 con dos decimales. c) Un tablero de madera de forma cuadrada tiene una superficie de 2

242,9 m . Calcula lo que mide cada lado redondeando a los centímetros. ¿Y si la superficie fuera de 2

8649,0 m ?

13. Calcula, si existe, la raíz cuadrada: (en algunos casos tendrás que utilizar el algoritmo del cálculo de la raíz cuadrada que estudiaste en cursos anteriores) a) 1 b) 0 c) 25 d) 100! e) 484 f) 237 g) 3,1805

14. Calcula, si existe, la raíz cúbica. Cuando no sea un cubo perfecto debes hallar entre qué dos números enteros se encuentra la raíz cúbica. a) 3 1 b) 3 0 c) 3 8 d) 3 27! e) 3 1000 f) 3 16 g) 3 50!

15. (1º ESO) Calcula el valor de x en cada caso: a) 162 =

x b) x=23 c) 8

3!=x d) 125

3=x e) 7±=x f) x=81

g) x=0 h) 1±=x i) x1001,5501 != j) x

10202,0 != k) x42222 =!!!

16. Calcula las raíces descomponiendo previamente los números del radicando:

a) 6 64 b) 3 216 c) 6 4096 d) 5 243! e) 664

1 f) 3216

64 g) 31000

3375!

Propiedades de las raíces. 17. Aplicando las propiedades de las raíces y de las potencias, calcula:

a) 3342 ! b)

3

3

3

81 c) 5 65 4aa ! d) ( ) 77

32aa ! e) ( )

7 2

7 57235

a

aaa !!

Jerarquía de las operaciones. 18. Realiza las siguientes operaciones teniendo muy en cuenta la jerarquía y los paréntesis:

a) 232 ! b) 2)32( ! c)( ) 12:5233

2

!!"+ d) )32(:)2()2315(3 322!!+"!


–10–


Uso de la calculadora. 19. Realiza con la calculadora las operaciones siguientes. Para poder corregir la actividad debes escribir las

teclas que pulsas y el orden en que lo haces. Comprueba el resultado con wiris:

a) 52 )1(3523 !+!"+ b) ( ) 24

3523 !"+ c)32

53

!

+ d)( )

8

35232

!"+

e) 3382 !" + 4

16 f) 4

3

2

1

6

5

8

1 !+

!++

! g)

6

11

4

1

3

1

!

!

h)

14

3

2

1

110

3

5

2

4

1

7

2

!

!

!

!

20. (1º ESO) Haz las operaciones con la calculadora y redondea el resultado a dos decimales ( ) ( )43444532

23!+!"

21. Realiza con la calculadora las operaciones siguientes de números escritos en notación científica. Para poder corregir la actividad debes escribir las teclas que pulsas y el orden en que lo haces. a) 1310

1001,31023,1 !"! b) 451001,71023,2

!""" c) 47

1001,3102!!

"""!

Problemas con potencias o raíces. 22. (1º ESO) En una manzana de casas hay 6 casas, cada una tiene 6 pisos y cada piso 6 viviendas y en cada

vivienda hay una media de 6 personas. Expresa en forma de potencia el número medio de personas que viven en la manzana y halla dicho número.

23. (1º ESO) Alba ve una noticia en la televisión y, cuando llega a clase, en cinco minutos se la cuenta a 5 amigos, cada uno de estos se la cuenta cada 5 minutos a otros 5, y así sucesivamente. Si el centro donde estudia tiene 750 alumnos, ¿cuánto tiempo tardan en enterarse todos los alumnos del centro?

24. (1º ESO) Se desea vallar una finca que tiene forma cuadrangular y cuya área es de 5776 2m . Si el metro de

valla cuesta a 12 €, ¿cuánto cuesta vallarla? 25. (1º ESO) Una pared de un cuarto de baño es cuadrada y tiene en total 144 azulejos cuadrados. Si cada

azulejo mide 25 cm, ¿cuánto mide de longitud la pared? 26. (1º ESO) Escribe en forma de potencia el número de bisabuelos que tiene cada persona, y calcula el

resultado. 27. (1º ESO) Dejamos caer una pelota desde 1 m de altura. Cada bote sube de alto los 3/4 del anterior. Escribe

en forma de potencia la altura que alcanzará al tercer bote, y halla el resultado.

28. (1º ESO) Un 1ibro de matemáticas mide de grosor m2

105,1!

" y tiene 280 páginas. Calcula el grosor de cada hoja en metros y notación científica.

29. (1º ESO) Calcula en notación científica el número de segundos que tiene un año bisiesto. 30. (1º ESO) Un cine tiene igual número de filas que de columnas. Venden todas las entradas para una sesión,

obteniendo 675 €. Si han vendido cada entrada a 3 €, ¿cuántas filas tiene el cine? 31. (1º ESO) Queremos poner baldosas en el suelo de una habitación cuadrada, y en cada lado caben 12

baldosas. Si cada baldosa cuesta 1,5 €, ¿cuánto cuestan todas las baldosas que necesitamos? 32. (1º ESO) ¿En qué cifras puede terminar un cuadrado perfecto?

33. (1º ESO) Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 27 y da 15 de resto.


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34. (1º ESO) Tenemos una habitación cuadrada de 4,5 m de lado y queremos alicatarla con baldosas de 35 cm de lado. ¿Cuántas baldosas tenemos que comprar?

35. (1º ESO) Para embalar calcetines, introducimos cada par en una caja pequeña de forma cúbica. A su vez, introducimos en cajas mayores, las cajas pequeñas, de forma que caben 36 cajas de calcetines en el fondo de una caja grande y 6 cajas en cada columna. Escribe en forma de potencia el número total de cajas de calcetines. Si cada caja de calcetines cuesta 5 €, ¿cuál será el valor de la caja grande que contiene las cajas pequeñas con los pares de calcetines?

36. En una ciudad hay 25 centros educativos. Cada centro educativo tiene 25 aulas, y cada aula tiene 25 alumnos. Expresa en forma de potencia de base el menor número entero posible el número total de alumnos que tiene dicha ciudad, y halla el número de alumnos.

37. El disco duro de un ordenador tiene 1000 Gb de capacidad. Si 1 Gb = 210 Mb, 1 Mb = 210 Kb y 1 Kb = 210 bytes, ¿cuál es la capacidad del disco duro en bytes y notación científica?. Nota: Es habitual considerar, por ejemplo, que un 1000 bytes es 1 Kb en lugar de 1000:1024=0.97656 Kb, ya que se redondea ( 100010242

10!= ) de ahí que en el mercado, un disco duro de 1000 Gb tiene

1.000.000.000.000 bytes en lugar del número calculado en el ejercicio.

38. Una parcela es cuadrada, y la medida de su área es 6400 m2. Halla el área de otra parcela cuyo lado sea el doble.

39. Se tiene un metro cúbico lleno de agua destilada. ¿Entre cuántas personas podrán levantarlo si cada una puede con 125 kg?


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SOLUCIONES: 1. Ver vídeo.

2. Ver vídeo. a) 64; b) 1; c) 5; d) 2; e) 2; f) 30

3. Ver vídeo. 4. Ver vídeo. a) 125/8; b) 3/8; c) 77/81; d)

4/25 5. Ver vídeo.

6. Ver vídeo. 7. Ver vídeo.

8. Ver vídeo. 9. Ver vídeo.

10. Ver vídeo. a) 29; b) a17; c) a/b7; d) 32

3! ; e) 3/2

11. Ver vídeo.

12. Ver vídeo. a) 308; b) 26,40; c) 3,04 m; 0,93 m

13. Ver vídeo. a) 1± , b) 0; c) 5± ; d) No existe; e) 22; f) 15 aprox.; g) 42,48

14. Ver vídeo. a) 1; b) 0; c) 2; d) –3; e) 10; f) 3162

3 << ; g) 35043 !<!<!

15. Ver vídeo. a) 4; b) 9; c) –2; d) 5; e) 49; f) 9± ; g) 0; h) 1; i) 2; j) –2; k) 2

16. Ver vídeo. a) 2; b) 6; c) 4; d) –3; e) 1/2; f) 2/3; g) –3/2

17. Ver vídeo. a) 2; b) 3; c) a2; d) a; e) a2

18. Ver vídeo. a) 18; b) 36; c) 1; d) –1

19. Ver vídeo. a) 3; b) 3116; c) 4/3; d) 1/2; e) –14; f) –13/24 ; g) 1/10; h) 1/4

20. Ver vídeo. –50,21

21. Ver vídeo. a) 131000877,3 !" ; b)

323,156 ; c) 111002,6

!"

22. Ver vídeo. 64; 1296 personas 23. Ver vídeo. Tardarán 20 minutos.

24. Ver vídeo. 3648 € 25. Ver vídeo. 3 m

26. Ver vídeo. 23: 8 bisabuelos 27. Ver vídeo. 0,753 ; 0,421875 m

28. Ver vídeo. 0,0000536 m; -5105,356 ! m

29. Ver vídeo. 7103,16224 ! sg

30. Ver vídeo. 15 filas 31. Ver vídeo. 216 €

32. Ver vídeo. 0, 1, 4, 5, 6, 9 33. Ver vídeo. 744

34. Ver vídeo. 169 baldosas 35. Ver vídeo. 1080 €

36. Ver vídeo. 56 ; 15625 alumnos

37. Ver vídeo. 121041,07374182 ! bytes

38. Ver vídeo. 25600 m2

39. Ver vídeo. 8 personas

tema 4 potencias y raíces - instituto de enseñanza ... · bloque i. números y medidas. tema 4:...

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