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Tema 2. Divisibilidad 1º de Educación Secundaria Obligatoria

Contenidos 1. Múltiplos y divisores 1.1. Múltiplos y divisores 1.2. Propiedades de múltiplos y divisores 2. Números primos y compuestos 2.1. Números primos y compuestos 2.2. Criterios de divisibilidad 2.3. Descomposición factorial 3. Máximo común divisor 3.1. Máximo común divisor 3.2. Cálculo del máximo común divisor 4. Mínimo común múltiplo 4.1. Mínimo común múltiplo 4.2. Cálculo del mínimo común múltiplo Bibliografía:

ARIAS y MAZA (2002). Matemáticas, 1º ESO. Sevilla. Algaida Editores (Grupo Anaya-Madrid). ISBN 84-8433-231-4

ARIAS y MAZA (2002). Matemáticas, 1º ESO. Propuesta didáctica. Sevilla. Algaida Edi-tores (Grupo Anaya-Madrid). ISBN 84-8433-239-X

1º ESO 2. Divisibilidad

2

Introducción

a divisibilidad es una relación en los números naturales que tiene múltiples aplicaciones. La principal aplicación se da al utilizar las fracciones y en la resolución de numerosos problemas aritméticos.

En este tema se estudia en primer lugar el concepto de múltiplo y divisor y sus propiedades. Se aborda a continuación la clasificación de números en primos y compuestos y los criterios de divisibilidad. El tema termina con el estudio del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. El concepto de múltiplo y divisor se utiliza con frecuencia. Por ejemplo, es frecuente comprar botes de refresco en envases de 6 unidades. Al comprar estos envases se compran 6, 12, 18, … botes, es decir en múltiplos de 6 Organiza tus ideas

L

Divisibilidad

es una

relación de números

para calcular

divisor múltiplo

M.C.D. m.c.m.

para calcular

en la que aparecen

primos compuesto

se clasifica en

Mapa conceptual


3

1. Múltiplos y divisores Piensa y calcula Calcula mentalmente e indica, de las siguientes divisiones, cuáles son exactas o enteras: a) 125 : 5 b) 28 : 6 c) 140 : 7 d) 23 400 : 100

1.1. Múltiplos y divisores

Un número a es múltiplo de otro número b si al dividir a entre b la división es exacta. Un número b es divisor de otro número a si al dividir a entre b la di-visión es exacta. Decir que el número a es múltiplo de b, es lo mismo que b es divisor de a.

Es lo mismo que a = b · c Si a es múltiplo de b es que a se puede escribir como a = b · c. Fíjate que c es el cociente de la división a : b Tenemos que a es múltiplo de b y de c y al mismo tiempo b y c son divisores de a.

Ejemplo La división 12 : 3 es exacta:

Es lo mismo que 12 = 3 · 4 Tenemos que 12 es múltiplo de 3 y de 4 y al mismo tiempo 3 y 4 son divisores de 12

Cuando queremos expresar que un número a es múltiplo de un núme-ro b lo podemos escribir así:

o

ba = y se lee: “a es múltiplo de b” o

312 = y se lee: “12 es múltiplo de 2” Ejemplo Las 24 onzas de una tableta de chocolate se pueden dividir entre 2, 4 y 6 24 : 2 = 12 ⇔ 24 =

�

2 24 : 4 = 6 ⇔ 24 =

�

4 24 : 6 = 4 ⇔ 24 =

�

6

a b0 c

12 30 4


4

1.2. Propiedades de múltiplos y divisores

Múltiplos Divisores a) Todo número es múltiplo de sí mismo. Ejemplo 5 es múltiplo de 5 porque 5 · 1 = 5

a) Todo número es divisor de sí mismo. Ejemplo 5 es divisor de 5 porque 5 : 5 = 1

b) Todo número es múltiplo de 1 Ejemplo 7 es múltiplo de 1 porque 7 · 1 = 7

b) El 1 es divisor de cualquier número. Ejemplo El 1 es divisor de 7 porque 7 : 1 = 7

c) El cero es múltiplo de cualquier número. Ejemplo El 0 es múltiplo de 2 porque 0 · 2 = 0

c) El cero no es divisor de ningún número. Ejemplo El cero no es divisor de 2 porque no se puede dividir 2 entre 0

d) Todo número tiene infinitos múltiplos. Ejemplo Escribimos el conjunto de múltiplos de 3 Vamos multiplicando el 3 por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, ...

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12..}

d) El conjunto de los divisores de un número es finito.

Ejemplo Para calcular los divisores de 6 se hacen todas las divisiones entre el divisor más pequeño, que es 1, y el divisor mayor, que es 6

D(6) = {1, 2, 3, 6} Aplica la teoría 1. Escribe:

a) Cinco múltiplos de 2 b) Cinco múltiplos de 5 c) Cinco múltiplos de 6 d) Cinco múltiplos de 3

2. Añade 3 términos a cada una de las si-guientes series: a) 4, 8, 12, 16… b) 8, 16, 24, 32… c) 12, 24, 36, 48… d) 31, 62, 93, 124…

3. De los siguientes números indica cuáles son múltiplos de 12: 72, 324, 482, 948, 1060

4. Calcula todos los múltiplos de 25 com-

prendidos entre 150 y 375 5. ¿Es 1 024 divisible por 8? ¿Y por 15? ¿Y

por 32? 6. Encuentra un número que sea múltiplo de

2, 3 y 5 7. Escribe un número que sólo tenga dos

divisores. 8. Escribe todos los divisores de:

a) 12 b) 20 c)35 d) 40


5

2. Números primos y compuestos Piensa y calcula Fíjate en el ejemplo y escribe los siguientes números como productos de factores:

60 = 6 · 10 = 2 · 3 · 5 · 2 = 22 · 3 · 5 a) 15 b) 81

2.1. Números primos y compuestos

Un número es primo si tiene exactamente dos divisores: el 1 y el mismo.

Ejemplo El 7 es un número primo. Tiene dos divisores, el 1 y el propio 7

Un número natural a es compuesto si tiene varios divisores además del número 1 y él mismo.

Ejemplo El número 35 es un número compuesto. Además del 1 y del 35 tie-ne otros divisores, el 5 y el 7

2.2. Criterios de divisibilidad

¿Cómo sabemos que un número es divisible por 2?

Criterio

a) Un número es divisible entre 2 si acaba en cero o cifra par. Ejemplo Los números 20, 42, 54, 76, 98 son divisibles por 2. Son núme-ros pares


Criterio

b) Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3

Ejemplo Los números 36, 57, 456 son divisibles por 3

=++⇒

=+⇒

=+⇒

15 6 5 4 45612 7 5 57

9 6 3 36La suma de las cifras es múltiplo de 3


Criterio

c) Un número es divisible por 5 si acaba en cero o en cinco. Ejemplo Los números 20, 145 son divisibles por 5

7 1 7 7 7 = 1 · 7 � 0 7 y también 0 1

35 1 35 5 35 7 35 35 0 35 0 7 0 5 0 1


6

2.3. Descomposición factorial

Un número compuesto se puede expresar como un producto de núme-ros primos. La descomposición factorial de un número consiste en expresar di-cho número como producto de números primos elevados a los expo-nentes correspondientes. Casos sencillos Se hace la descomposición mentalmente.

Ejemplo 4 = 22 6 = 2 · 3 8 = 23 9 = 32 12 = 22 · 3

Procedimiento para números grandes a) Se escribe el número y, a su derecha, se pone una raya vertical. b) Si el número termina en ceros, se puede dividir pro 10 = 2 · 5. A la

derecha de la raya vertical, se pone 2 · 5 elevado, cada uno de ellos, al número de ceros que tenga el número.

c) Se sigue dividiendo cada cociente obtenido por el menor número primo, 2, 3, 5…, que sea divisor, tantas veces como se pueda.

d) Se termina cuando se obtenga de cociente 1

Ejemplo Haz la descomposición factorial de 120

Cocientes Factores primos Factorización ↓ ↓ ↓ 120 10 120 2 · 5 120 = 23 · 3 · 5 0 12 2 12 2 0 6 2 6 2 0 3 3 3 3 0 1 1

Aplica la teoría 9. Señala los números primos y compuestos

de la siguiente lista: 7, 12, 13, 25, 31, 43 10. Entre los números 24, 30, 65, 72, 81, se-

ñala: a) Los divisibles por 2 b) Los divisibles por 3 c) Los divisibles por 5

11. Calcula qué cifra debe valer la letra x en el número 35x para que dicho número sea divisible: a) Por 2 b) Por 2 y por 5 c) Por 3 d) Por 2 y por 3

12. Haz la criba de Eratóstenes: copia en tu

cuaderno los 100 primeros números natu-rales. Tacha los múltiplos de 2, excepto el 2 a partir de 22 = 4, tacha los múltiplos de 3 excepto el 3 a partir de 32 = 9, sigue con el 5 y el 7. Los números que quedan sin tachar son los primos menores que 100

13. Descompón en factores primos los núme-

ros de cada apartado: a) 28, 30, 56, 75, 96 b) 120, 200, 475, 540, 625


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Máximo común divisor Piensa y calcula Tenemos 8 litros de naranjada y 12 litros de cola para hacer una fiesta, y queremos llevarlo en recipientes que tengan el mismo número de litros y que sean lo más grandes que sea posible. ¿De cuántos litros tienen que ser los recipientes? ¿Es posible llevarlo en recipientes de 1 litro? ¿Y de 2 litros? ¿Es posible en recipientes de 3 litros? ¿Y de 4 litros?

3.1. Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números a, b, c, d… es el mayor de los divisores comunes a dichos números. Lo representamos por M.C.D. (a, b, c, d…) Según esta definición, para encontrar el máximo común divisor de va-rios números se debe: a) Hallar los divisores de cada número. b) Seleccionar los divisores comunes de los números y tomar el divi-

sor mayor.

Ejemplo Calcula el máximo común divisor de 12 y 18 Divisores de 12 son: {1, 2, 3, 4, 6, 12} Divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} Los divisores comunes son {1, 2, 3, 6} El mayor divisor es el 6. Se escribe: M.C.D. (12, 18) = 6

Dos números a y b son primos entre sí si el M.C.D. (a, b) = 1 Cuando dos números son primos entre sí, sólo tienen al 1 como divisor común.

Ejemplo Averigua si los siguientes pares de números son primos entre si: a) 8 y 15 b) 9 y 12 a) Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8} Divisores de 15 = {1, 3, 5, 15} El M.C.D. (8, 15) = 1, los números 8 y 15 son primos entre sí.

4

12

1 2 3 6

9

18

D(12)D(18)


8

b) Divisores de 9 = {1, 3, 9} Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} El M.C.D. (9, 12) = 3 Los números no son primos entre sí. Ade-más del 1 tienen al 3 como divisor común.

Fíjate que para que dos números sean primos entre sí no tienen por que ser primos. En el ejemplo anterior los números 8 y 15 son compuestos.

3.2. Cálculo del máximo común divisor

Casos sencillos Cuando los números son sencillos el M.C.D. se calcula mentalmente.

M.C.D.(6, 8) = 2 M.C.D.(12, 18) = 6 M.C.D.(6, 9, 15) = 3 Procedimiento para números grandes a) Se hace la descomposición de los números en factores primos. b) Se eligen todos los factores primos comunes con el menor expo-

nente con el que aparecen, y se multiplican.

Ejemplo Calcula el máximo común divisor de los números 40 y 70 a) Se hace la descomposición en factores primos:

40 2 · 5 70 2 · 5

4 2 7 7 2 2 1 1

b) Se eligen los factores comunes:

1052)70,40.(D.C.M75270

5240 3

=⋅=⇒

⋅⋅=⋅=

Fíjate: el M.C.D. es el número más grande que divide a 40 y a 70 a la vez.

��

522240

⋅⋅⋅ y ��

7·5·270

El máximo número de factores comunes que se puede tomar en la descomposición de los dos números son un 2 y un 5

Aplica la teoría 14. Calcula mentalmente el máximo común

divisor de los siguientes números: a) 4 y 6 b) 3 y 6 c) 4 y 7 d) 15 y 21

15. Halla mentalmente: a) M.C.D. (12, 15) b) M.C.D. (20, 30) c) M.C.D. (10, 15) d) M.C.D. (4, 21)

16. Calcula mentalmente: a) M.C.D. (12, 7) b) M.C.D. (14, 21) c) M.C.D. (4, 16) d) M.C.D. (9, 12)

17. Calcula: a) M.C.D. (250, 60) b) M.C.D. (105, 75) c) M.C.D. (72, 108) d) M.C.D. (126, 147)

18. Halla: a) M.C.D. (4, 6, 8) b) M.C.D. (4, 10, 20) c) M.C.D. (5, 10, 12)d) M.C.D. (6, 12, 20)

19. Calcula: a) M.C.D. (20, 35, 45) b) M.C.D. (98, 126, 140)


9

4. Mínimo común múltiplo Piensa y calcula Óscar y Sonia están montando en unos coches eléctricos en un parque de atracciones. Sonia tarda 4 minutos en dar una vuelta a la pista y Oscar 6 minutos. Si salen los dos juntos de la meta, ¿cuántos minutos tardarán, en volver a coincidir en la meta? Completa la tabla para dar la respuesta: 1ª vuelta 2ª vuelta 3ª vuelta 4ª vuelta 5ª vuelta 6ª vueltaMinutos que tarda Sonia 4 8 Minutos que tarda Oscar 6 12

4.1. Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números a, b, c, d… es el menor de los múltiplos comunes a dichos números, se representa por m.c.m. (a, b, c, d…) Según esta definición, para encontrar el mínimo común múltiplo de varios números se debe: a) Hallar los múltiplos de cada número. b) Seleccionar los múltiplos comunes de los números y tomar el múl-tiplo menor distinto de cero.

Ejemplo Calcula el mínimo común múltiplo de 4 y 6 Los múltiplos de 4 son: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36…} Los múltiplos de 6 son: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42…} Los múltiplos comunes son {0, 12, 24, 36…} De estos múltiplos comunes, el menor distinto de cero es el 12. Se escribe: m.c.m. (4, 6) = 12

4 8 16 20

…

0 12 24 36

…

6 18 30 42

…

M(4)M(6)


10

4.2. Cálculo del mínimo común múltiplo

Casos sencillos Cuando los números son sencillos, se calcula el m.c.m. mentalmente:

m.c.m. (2, 5) = 10 m.c.m. (6, 9) = 18 m.c.m.(3, 4, 6) = 12 Procedimiento para números grandes a) Se hace la descomposición de los números en factores primos. b) Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el

mayor exponente con el que aparecen, y se multiplican.

Ejemplo Calcula el máximo común divisor de los números 45 y 60 a) Se hace la descomposición en factores primos:

45 3 60 2 · 515 3 6 2 5 5 3 3 1 1

b) Se eligen los factores comunes y no comunes:

180532)60,45.(m.c.m53260

5345 22

2

2

=⋅⋅=⇒

⋅⋅=⋅=

Fíjate: el m.c.m. es el número más pequeño distinto de cero entre los múltiplos comunes de 45 y 60

��

5·3·345 y ��

5·3·2·260

El menor número de factores comunes que se deben tomar en la descomposición de los dos números son 3 · 3 y un 5, y factores no comunes el 2 · 2

Aplica la teoría 20. Calcula mentalmente el mínimo común

múltiplo de los siguientes números: a) 6 y 8 b) 6 y 9 b) 3 y 5 d) 3 y 6

21. Calcula mentalmente: a) m.c.m. (20, 40) b) m.c.m. (6, 15) b) m.c.m. (4, 9) d) m.c.m. (14, 21)

22. Calcula: a) m.c.m. (5, 12) b) m.c.m. (18, 27) c) m.c.m. (16, 20) d) m.c.m. (15, 45)

23. Halla:

a) m.c.m. (64, 80) b) m.c.m. (10, 130) c) m.c.m. (130, 150) d) m.c.m. (140, 220) e) m.c.m. (135, 225)

24. Calcula a) m.c.m. (2, 3, 5) b) m.c.m. (2, 5, 10) c) m.c.m. (5, 15, 20) d) m.c.m. (4, 6, 25) e) m.c.m. (3, 8, 18)


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Ejercicios y problemas 1. Múltiplos y divisores 25. Completa con la palabra múltiplo o

divisor: a) 4 es …………... de 28 b) 15 es …………. de 3 c) 5 es ……… …. de 15 d) 32 es …………. de 4 26. Calcula mentalmente: a) Cuatro múltiplos de 7 b) Cuatro múltiplos de 12 c) Cuatro múltiplos de 25 d) Cuatro múltiplos de 4 27. De los números siguientes:

72, 108, 209, 585, 770 a) ¿Cuáles son múltiplos de 9? b) ¿Cuáles son múltiplos de 2? c) ¿Cuáles son múltiplos de 5? d) ¿Cuáles son múltiplos de 7? 28. De los siguientes números:

3, 7, 8 12, 15 a) ¿Cuáles son divisores de 21? b) ¿Cuáles son divisores de 24? c) ¿Cuáles son divisores de 32? d) ¿Cuáles son divisores de 105? 29. Calcula todos los múltiplos de 12 com-

prendidos entre 100 y 150 30. Encuentra un número que sea múltiplo

de: a) 3 y 4 b) 7 y 9 c) 2, 5 y 7 d) 5, 8, y 11 31. Encuentra un número que tenga como

divisores a 2, 3, 6 y 12 32. Escribe todos los divisores de: a) 15 b) 18 c) 25 d) 30 2. Números primos y compues-tos 33. De los siguientes números, indica los

números primos y los compuestos: 34 161 13 60 48 73 202 33 34. Señala los números compuestos y ex-

présalos como producto de dos factores: 24 11 38 61 54 7 105 44

35. Escribe los números primos compren-didos entre 60 y 75

36. Indica si son primos entre sí los núme-

ros: a) 3 y 5 b) 6 y 15 c) 4 y 6 d) 7 y 20 37. Escribe dos números primos entre sí

que sean compuestos. 38. Indica cuáles de los siguientes números

son divisibles por tres:

47 66 135 326 537 39. Señala cuáles de los siguientes números

son divisibles por cinco:

12 50 60 105 401 40. 16. Escribe cuáles de los siguientes

números son divisibles por 2:

16 232 267 400 515 41. Descompón en factores primos men-

talmente: a) 8 b) 16 c) 32 d) 64

42. Halla mentalmente la descomposición

factorial de: a) 20 b) 30 c) 36 d) 60

43. Haz la descomposición factorial:

a) 120 b) 256 c) 504 d) 900 3. Máximo común divisor 44. Calcula mentalmente el M.C.D. de: a) 6 y 8 b) 6 y 15 c) 5 y 12 d) 7 y 21 45. Halla el M.C.D. de: a) 24 y 32 b) 70 y 105 c) 54 y 120 d) 75 y 150 46. Calcula el M.C.D. de: a) 96 y 270 b) 264 y 525 c) 420 y 720 d) 450 y 6750


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4. Mínimo común múltiplo 47. Calcula mentalmente el m.c.m. de: a) 6 y 8

b) 5 y 15 c) 4 y 6

c) 8 y 12 d) 20 y 30

48. Halla el m.c.m. de: a) 16 y 20

b) 18 y 21 c) 45 y 54 d) 150 y 180 e) 200 y 350

49. Calcula el m.c.m. de: a) 96 y 132

b) 90 y 250 c) 450 y 700

d) 360 y 400 e) 330 y 550 50. Calcula el m.c.m. de: a) 17, 40 y 60 b) 12, 18 y 30 c) 200, 400 y 500 d) 60, 100 y 120 e) 45, 80 y 90

Para ampliar

51. Completa en tu cuaderno las siguientes

expresiones con “es divisor” o “no es divisor”:

a) 18 …………….. de 54 c) 30 …………….. de 210 c) 45 …………….. de 90 d) 80 …………….. de 242 52. Completa en tu cuaderno las siguientes

expresiones con “es múltiplo” o “no es múltiplo”:

a) 60 …………….. de 12 b) 135 …………….. de 45 c) 200 …………….. de 49 d) 300 …………….. de 60 53. Escribe todos los divisores de: a) 24

b) 40 c) 45

d) 70 54. Encuentra todos los múltiplos de 24

comprendidos entre 240 y 384 55. Halla mentalmente la descomposición

factorial de: a) 10

b) 15 c) 18

d) 24

56. Calcula la descomposición factorial de: a) 252

b) 450 c) 600

d) 1 512 57. De los números: 320 63 75 420 35 33 840 señala los números que son divisibles:

a) Por 2 y por 3 b) Por 2 y por 5 c) Por 3 y por 5

58. Escribe un número que sea divisible por dos y por tres.

59. Halla el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 240 y 1 100

b) 675 y 792 c) 300 y 1 200

d) 1 260 y 1350 60. Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 8, 12 y 20

b) 32, 54 y 90 c) 60, 80 y 120

d) 98, 392 y 441


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Problemas 61. Dos barcos salen de un puerto un de-

terminado día. El primero vuelve cada 24 días y el segundo cada 36. ¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez?

62. En un taller tienen que hacer piezas de

metal con forma de rectángulo de 12 cm2 de superficie. El largo y el ancho deben ser unidades enteras. ¿Cuántas piezas distintas se pueden hacer?

63. Alba y Sonia va a ver a su abuela un

determinado día; a partir de ese día Al-ba vuelve cada 18 días y Sonia cada 30. ¿Cuántos días tardarán en volver a en-contrarse por primera vez?

64. El equipo de fútbol del centro entrena una de cada 3 tardes y el de balonmano lo hace una de cada 2. Coinciden en el centro un martes. ¿Cuándo volverán a coincidir si no contamos sábados y do-mingos?

65. Un frutero tiene 360 kg de manzanas y

455 kg de peras, y las quiere colocar en bolsas de un número entero de kilos e igual peso. ¿Con cuántos kilos, como máximo, puede llenar cada bolsa?

66. ¿Se podrían dividir tres varillas de 20

cm, 24 cm y 30 cm, en trozos de 4 cm de longitud, sin que sobre ni falte nada entre cada varilla? ¿Cuál es la mayor longitud en la que podríamos dividir las varillas?

Para profundizar 67. Leemos un libro de 12 en 12 páginas, y

sobra 1 página; si lo leemos de 15 en 15, también sobra 1 página. Calcula el menor número de páginas que puede tener dicho libro.

68. Si un número es múltiplo de 15, ¿tam-bién lo es de 5? Intenta encontrar una regla general.

69. Si un número divide a 24, ¿también

dividirá a 12? Intenta encontrar una re-gla general.

70. Reemplaza la letra A en el número 2A8

para que sea divisible por 3. Busca to-das las soluciones.

71. Tenemos tres rollos de tela de 22 m, 32

m y 44 m, para hacer vestidos. Quere-mos cortarlos en trozos que tengan un número entero de metros e igual longi-tud. ¿Cuál es la mayor longitud en que los podemos cortar?

72. Busca el valor de la letra B en el núme-

ro B6 para que sea divisible por 2. Bus-ca todas las soluciones.

73. Halla el valor de la letra C para que el

número 75C sea divisible: a) por 2 y por 3 b) por 3 y por 5 c) por 2, 3 y 5 74. Un cometa aparece en la Tierra cada

160 años, y otro cada 210 años. Si apa-recieron juntos en 1988, ¿cuándo volve-rán a hacerlo al mismo tiempo por pri-mera vez?

75. ¿Cuánto pueden valer las letras A y B

para que el número A3B sea divisible entre 2

76. Busca todos los posibles valores de A

para que el número 2A sea múltiplo de: a) 2 y 3 b) 2 y 5 c) 3 y 5


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Matemáticas aplicadas 77. Debemos recorrer una distancia de 1 750 km, y el vehículo que usamos puede recorrer tra-

mos de 450 km sin repostar combustible. ¿Podemos hacer el recorrido en un número exacto de tramos?

78. ¿Puedo comprar con un billete de 20 € un número exacto de garrafas de 2 € cada una? Comprueba lo que sabes Teoría (1 punto) 1. Escribe el criterio de divisibilidad para saber cuando un número es divisible por 3 y pon un

ejemplo. Ejercicios (1 punto cada uno) 2. Calcula los cuatro primeros múltiplos de 15 3. Calcula los divisores de 45 4. Escribe los números primos comprendidos entre 10 y 30 5. Haz la descomposición factorial de 540 6. Calcula el M.C.D.(140, 210) Problemas (2 puntos cada uno) 7. Por la avenida de la ilustración pasa el autobús A cada 30 minutos y el autobús B cada 45

minutos. Si a las 9 de la mañana han coincidido, ¿a qué hora volverán a coincidir? 8. En una tienda disponen de 12 figuritas de cristal y 15 de metal. Desean hacer paquetes para

regalar a los clientes con el mismo número de figuras y con la mayor cantidad posible. ¿Cuántos paquetes harán y con cuántas figuritas?


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1º ESO - 2. Divisibilidad Derive PASO A PASO Ajusta la configuración: en la barra de menús elige

Definir/Restablecer todas las Preferencias 79. Haz la descomposición factorial de:

120 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: 120 Pulsa Introducir Expresión. En la barra de menús elige: Simplificar/Factorizar…/Factorizar 23 · 3 · 5 80. Halla todos los divisores de:

18 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: divisors(18) Pulsa Introducir y Simplificar. [1, 2, 3, 6, 9, 18] 81. Clasifica en primos y compuestos los

siguientes números: a) 391 b) 503 Solución:

Para ver si un número es primo o com-puesto se hallan todos sus divisores; si el resultado es el 1 y el mismo número, es primo; si además hay más divisores, es compuesto.

a) En la Entrada de Expresiones escribe: divisors(391) Pulsa Introducir y Simplificar. [1, 17, 23, 391] Por tanto, 391 es compuesto. b) En la Entrada de Expresiones escribe: divisors(503) Pulsa Introducir y Simplificar. [1, 503] Por tanto, 503 es primo.

82. Halla el M.C.D. de: 40 y 70

Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: gcd(40, 70) Pulsa Introducir y Simplificar. 10 83. Halla el m.c.m. de:

45 y 60 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: lcm(45, 60) Pulsa Introducir y Simplificar. 180 Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda del DERIVE: 6. Dos barcos salen de un puerto un deter-minado día. El primero vuelve cada 24 días y el segundo cada 36. ¿Cuántos días tarda-rán en volver a encontrarse por primera vez? Solución: Planteamiento: m.c.m.(24, 36) En la Entrada de Expresiones escribe: lcm(24, 36) Pulsa Introducir y Simplificar. 72 Los barcos se encuentran cada 72 días.


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ASÍ FUNCIONA

Introducir Expresión Escribe en la Ventana Álgebra la expresión, se puede operar posteriormente con ella.

Introducir y Simplificar Escribe en la Ventana Álgebra la expresión y la simplifica, es decir, la opera. Funciones de divisibilidad divisors(a) Calcula todos los divisores de a gcd(a, b, …) Calcula el M.C.D. de a, b… lcm(a, b, …) Calcula el m.c.m. de a, b… (Observación: en lcm, la primera letra es una ele) PRACTICA 84. Haz la descomposición factorial de:

a) 600 b) 1 072 c) 888 d) 756

85. Halla todos los divisores de:

a) 36 b) 48 c) 64 d) 96

86. Clasifica en primos y compuestos los

siguientes números: a) 827 b) 2 231 c) 2 431 d) 3 457

87. Halla:

a) M.C.D. (390, 900) b) M.C.D. (504, 792) c) M.C.D. (180, 276, 444) d) M.C.D. (1 440, 1 536, 2 016)

88. Halla: a) m.c.m.(120, 260) b) m.c.m.(450, 850) c) m.c.m.(230, 322, 368) d) m.c.m.(240, 600, 960)

Plantea los siguientes problemas y resuél-velos con ayuda del DERIVE: 89. Alba y Sonia van a ver a su abuela un

determinado día; a partir de ese día Al-ba va vuelve cada 18 días y Sonia, cada 30.¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez?

90. Un frutero tiene 360 kg de manzanas y

455 kg de peras, y las quiere distribuir en bolsas de un número entero de kilos e igual peso. ¿Con cuantos kilos, como máximo, puede llenar cada bolsa?

91. Leemos un libro de 12 en 12 páginas y

sobra 1 página; si lo leemos de 15 en 15 también sobra 1 página. Calcula el me-nor número de páginas que puede tener dicho libro.

92. Tenemos tres rollos de tela de 22 m,

32 m y 44 m, para hacer vestidos. Que-remos cortarlos en trozos que tengan un número entero de metros e igual longi-tud. ¿Cuál es la mayor longitud en que los podemos cortar?

93. Un cometa aparece en la Tierra cada

160 años, y otro cada 210 años. Si apa-recieron juntos en 1988, ¿cuándo volve-rán a hacerlo al mismo tiempo por pri-mera vez?


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Matemáticas 1º E.S.O. Apellidos: Nº de lista: Nombre: Grupo: Calificación:

Prueba del tema 2. Divisibilidad Teoría 1. Ejercicio (Puntuación: 1 punto) Define la relación “ser divisor de” y pon un ejemplo. Ejercicios 2. Ejercicio (Puntuación: 1 punto) Calcula los divisores de 40 3. Ejercicio (Puntuación: 1 punto) Escribe los números primos y los números compuestos que hay comprendidos entre 17 y 25 4. Ejercicio (Puntuación: 1 punto) De los números 24, 50, 32, 45 y 201 indica los que son divisibles por dos, por tres, por cinco, y por dos y cinco a la vez. 5. Ejercicio (Puntuación 1 punto) Calcula el M.C.D. (96, 270) 6. Ejercicio (Puntuación 1 punto) Calcula el m.c.m. (64, 80) Problemas 7. Problema (Puntuación 2 puntos) Un frutero tiene 360 kg de manzanas y 455 kg de peras y las quiere colocar en bolsas de un número entero de kilos y todas de igual peso. ¿Con cuántos kilos como máximo puede llenar cada bolsa? 8. Ejercicio (Puntuación: 2 puntos) Dos barcos llegan a un puerto cada 14 días y cada 21 días respectivamente. Si coinciden el 1 de abril, en que día volverán a coincidir?


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Prueba del tema 2. Divisibilidad (Soluciones) Teoría 1. Ejercicio (Puntuación: 1 punto) Un número b es divisor de otro número a si al dividir a entre b la división es exacta. Ejemplo: 3 es divisor de 15 porque 15 : 3 = 5 Ejercicios 2. Ejercicio (Puntuación: 1 punto) Div(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} 3. Ejercicio (Puntuación: 1 punto) Números primos: 17, 19, 23 Números compuestos: 18, 20, 21, 22, 24, 25 4. Ejercicio (Puntuación: 1 punto) Divisibles por 2: 24, 50, 32 Divisibles por 3: 24, 45, 201 Divisibles por 5: 50, 45 Divisibles por 2 y 5: 50 5. Ejercicio (Puntuación 1 punto) M.C.D. (96, 270) = 6 6. Ejercicio (Puntuación 1 punto) m.c.m. (64, 80) = 320 Problemas 7. Problema (Puntuación 2 puntos) M.C.D. (360, 455) = 65 kg 8. Ejercicio (Puntuación: 2 punto) m.c.m. (14, 21) = 42 Coinciden el 13 de mayo


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Matemáticas 1º E.S.O.

Apellidos: Nº de lista: Nombre: Grupo: Calificación:

Examen de Matemáticas con Derive

(20 minutos)

Prueba del tema 2. Divisibilidad 1. Ejercicio (Puntuación: 2,5 puntos) Haz la descomposición factorial de 88200: 540 = 2. Ejercicio (Puntuación: 2,5 puntos) Halla el M.C.D. y el m.c.m. de 882 y de 450 M.C.D.(882, 450) = m.c.m.(882, 450) = 3. Problema (Puntuación: 5 puntos) Juan y María son primos, Juan va a ver a su abuela los domingos cada 24 semanas y María cada 36 semanas, si se encuentran un determinado día, ¿cuántas semanas tardarán en volver a encon-trase? Planteamiento: Solución:


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Examen de Matemáticas con Derive

Prueba del tema 2. Divisibilidad (Soluciones) 1. Ejercicio (Puntuación: 2,5 puntos) Haz la descomposición factorial de 88200: 540 = 22 · 33 · 5

2. Ejercicio (Puntuación: 2,5 puntos) Halla el M.C.D. y el m.c.m. de 882 y de 450 M.C.D.(882, 450) = 18 gcd(882, 450) m.c.m.(882, 450) = 22050 lcm (882, 450) 3. Problema (Puntuación: 5 puntos) Juan y María son primos, Juan va a ver a su abuela los domingos cada 24 semanas y María cada 36 semanas, si se encuentran un determinado día, ¿cuántas semanas tardarán en volver a encon-trase? Planteamiento: m.c.m.(24, 36) = 72 lcm(24, 36) Solución: a las 72 semanas.

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