tema 1 - sistemas isostáticos

Análisis Estructural I

Tema 1 - Estructuras. Sistemas Isostáticos. Ing. Raúl Kaufmann

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1 . CONCEPTO DE ESTRUCTURA

Llamamos estructura a todo conjunto de elementos resistentes organizados en un sistema apto para transmitir fuerzas. Dicho sistema debe ser estable, o sea debe conservar su configuración y sus características a través del tiempo, aún cuando varíen las fuerzas que actúan sobre él: el concepto de estructura encierra la idea de continuidad y permanencia. Con frecuencia, las fuerzas actuantes son cargas de naturaleza gravitatoria o inercial que deben ser transportadas desde su punto de aplicación hasta las zonas consideradas fijas, o sea hasta donde se ejercen las fuerzas reactivas que las equilibran. En el caso de un edificio, esa zona es el terreno: allí se desarrollarán las reacciones. En el caso de una maquinaria, es el piso o la losa de hormigón en donde asientan los apoyos de su bastidor. Al hablar de estructuras no se debe pensar solamente en construcciones fijas, como son los edificios, los puentes, los silos, etc. Cualquier vehículo (barco, avión, ... ) posee también una estructura que debe ser diseñada y calculada atendiendo a los requerimientos de cada caso. El estudio de estos sistemas estructurales móviles suele ser más complejo que el de las estructuras fijas, por los efectos dinámicos que pueden desarrollarse; pero en todos los casos el análisis se basa en los mismos principios fundamentales de equilibrio y resistencia. En nuestro curso haremos referencia, preponderantemente, a las estructuras fijas, que analizaremos bajo la acción de diversos tipos de cargas.

2. ATRIBUTOS DE UNA ESTRUCTURA

Podemos enunciar seis cualidades fundamentales como características de una buena estructura : a) Resistencia ; b) Estabilidad ; c) Rigidez ; d) Funcionalidad ; e) Economía ; f) Estética. Consideraremos brevemente cada una de ellas.

a) Resistencia.

Es la capacidad de absorber las solicitaciones internas que producen los distintos estados de carga actuantes sobre la estructura. Cada una de las partes de la misma debe estar dimensionada de modo que se asegure la integridad propia y del conjunto. Para ello es necesario considerar todos las situaciones de carga que pueden producirse, incluso las poco frecuentes. En un edificio de viviendas, por ejemplo, las fuerzas a tener en cuenta son: el peso propio de la estructura, el peso de paredes, contrapisos y demás elementos que actúan en forma permanente, y además las sobrecargas de servicio (personas, muebles) que tienen el carácter de variables, es decir no permanentes. Las fuerzas debidas a fenómenos naturales (viento, nieve, movimientos sísmicos) son siempre de índole aleatoria, y deberán ser consideradas si hay probabilidad de que se produzcan durante la vida útil de la construcción. Para estudiar la resistencia de los diversos miembros de la estructura a todas estas acciones, se analizan los esfuerzos internos (momento flector, corte, normal, torsión), y se dimensionan las secciones en forma adecuada siguiendo los lineamientos de la Resistencia de Materiales. Si la pieza en estudio ya ha sido predimensionada, se hace la verificación correspondiente, y si es necesario se redimensiona.

b) Estabilidad.

Es la capacidad de mantener el equilibrio como un conjunto, aunque se modifiquen los estados de carga. Un sistema estructural puede llegar al colapso no solamente por falta de resistencia adecuada en sus elementos, sino también por carecer de estabilidad, produciéndose entonces vuelcos, deslizamientos, etc. Consideremos por ejemplo el depósito elevado de agua que muestra la figura 1. El viento actúa sobre él en forma de carga repartida no uniforme. Llamemos V a la resultante de las fuerzas de viento, y P al peso propio del depósito vacío. La acción del viento tiende a hacer girar la estructura en torno al borde A de la base :

Momento de vuelco = Mv = V.h

Figura 1



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La carga P se opone a este movimiento, generando un momento de signo contrario :

Momento estabilizador = Me = P.d

La estructura es estable si resulta siempre Me > Mv .

La relación entre ambos momentos es el coeficiente de seguridad al vuelco sv , el cual deberá ser por lo menos

igual a 1,5 para que la estabilidad esté razonablemente asegurada:

Me

Mv

Observemos que cuando el depósito se encuentra lleno de agua, la fuerza vertical se incrementa, aumentando el momento estabilizador. La situación se mejora, en lo concerniente a la estabilidad. Es un ejemplo de que un aumento de carga no implica necesariamente peores condiciones. Aunque la resistencia se ve más comprometida si el tanque se encuentra lleno, y no vacío, en lo que respecta a la estabilidad se tiene una situación más favorable.

Hemos analizado la estabilidad de esta estructura, sin mencionar la resistencia que debe tener. Son conceptos independientes; una estructura puede ser muy resistente pero poco estable, y también puede darse el caso inverso. La estabilidad se relaciona con los vínculos exteriores del sistema; la resistencia, con los vínculos interiores. En el caso del depósito visto, podemos aumentar la estabilidad ampliando la base de sustentación, o sea

incrementando la distancia d . Esto significa modificar los vínculos externos de la estructura.

Tenemos otro ejemplo en el sistema que se muestra en la figura 2 : una viga constituida por un perfil doble Te apoyado en dos pilares de mampostería. Los pilares pueden desarrollar fuerzas reactivas dirigidas hacia arriba, solamente; son entonces vínculos unilaterales. P son las cargas exteriores y G es el peso propio del perfil.

Con el momento flector máximo, en valor absoluto, se dimensiona el perfil:

Mmáx Wnecesario

IPN adoptado

Con esta sección, la resistencia del sistema está asegurada, pero su estabilidad no. La misma depende de la posición de la resultante R de las fuerzas P y G : si se encuentra a la izquierda del apoyo B hay equilibrio estable, pero si está a la derecha hay vuelco. Esto es independiente de las dimensiones de la sección y su capacidad para absorber el momento. Puede suceder que la resultante pase a la izquierda, pero muy cerca de B. En tal caso, un pequeño aumento de la carga P2 bastará para que R se desplace hacia la derecha y se produzca el vuelco. Tal situación no puede ser aceptada; el equilibrio debe ser estable con un margen de seguridad aceptable. Debe garantizarse la estabilidad frente a cualquiera de las posibles variaciones de carga que puedan producirse durante la vida útil de la estructura.

c) Rigidez.

Es la oposición que ofrece la estructura a ser deformada. Todos los materiales experimentan deformación al ser sometidos a esfuerzos, aunque muchas veces esto no pueda apreciarse a simple vista. De manera que toda estructura se deforma al ser cargada. En general se busca que las deformaciones sean mínimas, que no haya variaciones en la configuración geométrica del sistema. Por esa razón se prefieren los materiales que presentan poca deformación aún con grandes solicitaciones, como el acero, por ejemplo, cuyo módulo de elasticidad E es elevado. Hay casos en que el dimensionamiento de una pieza está condicionado por las deformaciones, y no por las tensiones. Así, puede ser que en un voladizo se aumente la sección, aunque la tensión máxima en ella no alcance valores importantes, para que la flecha no sobrepase un determinado valor.

El proyectista debe dotar a la estructura de dimensiones adecuadas para conferirle una rigidez conveniente. Por ejemplo, una viga que presente una curvatura excesiva puede afectar a los elementos que cargan sobre ella (entrepisos, paredes), provocando fisuras y daños similares, aparte de dar una sensación desagradable de

= sv ≥ 1.5

Figura 2



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inseguridad. Esto es independiente de la resistencia del sistema, y requiere una evaluación ad hoc, diferente del análisis de tensiones. La rigidez es, pues, una cualidad deseable en la mayoría de las estructuras. Como excepción, ciertos sistemas basan su comportamiento en la carencia de rigidez, o sea en una gran flexibilidad, lo que les permite variar su configuración geométrica para resistir mejor las cargas actuantes. Es el caso de los cables y estructuras colgantes en general. Un cable tiene resistencia prácticamente nula a flexión y a compresión, pero actúa bien a tracción pura. Cuando incide una carga sobre é1 modifica su posición tanto como sea necesario para poder desarrollar exclusivamente esfuerzos de tracción (figura 3). Su gran flexibilidad se pone en juego para permitirle resistir cargas en forma óptima.

Es importante distinguir bien la rigidez de la resistencia, puesto que se trata de dos propiedades diferentes que no deben ser confundidas. Un tablón de madera apoyado en sus extremos, por ejemplo, puede resistir sin inconvenientes el peso de dos o tres personas paradas sobre él. Pero se va a deformar apreciablemente, notándose a simple vista la curvatura y la flecha. Ese tablón actúa entonces, para esa carga, como una viga con buena resistencia pero poca rigidez.

d) Funcionalidad.

Cuando se erige una construcción se persiguen objetivos concretos: cubrir un recinto, soportar cargas fijas o móviles, salvar un vano permitiendo el paso de personas o vehículos, contener líquidos, resistir empujes de tierra, etc. En cada caso, la estructura deberá proyectarse respetando la finalidad que se persigue, sin menoscabar el aprovechamiento integral de la construcción. Esta consideración obliga a veces a adoptar soluciones que no son las mejores desde el punto de vista puramente estructural. Por ejemplo, al proyectar un edificio se busca siempre que las columnas no queden muy separadas entre sí, para que las vigas que apoyan en ellas no sean de luces grandes y resulten con esfuerzos internos poco importantes. Pero esta regla no siempre puede ser seguida; depende del destino de la construcción. Así, si se trata de un edificio de departamentos, se pueden disponer las columnas en correspondencia con las paredes divisorias de ambientes, quedando entonces convenientemente cercanas. En cambio, si se trata de un edificio destinado a cocheras, las columnas deben separarse mucho más para permitir el movimiento de los vehículos en forma adecuada. En consecuencia, las vigas serán más largas, con mayores solicitaciones; pero esto resulta inevitable, atendiendo al destino de la estructura.

Otro ejemplo: Los edificios destinados a oficinas suelen proyectarse con plantas totalmente libres de columnas y vigas interiores. Esto permite dividir más tarde el espacio interno con total libertad, disponiendo tabiques en cualquier posición según las necesidades del usuario; o bien puede quedar el espacio sin fraccionar, resultando una gran oficina que abarque toda la planta, sin columnas que molesten. Este planteo obliga a situar las columnas en el perímetro de la planta, bordeando una gran losa. Resulta así una solución algo forzada, desde el punto de vista estructural; pero que se justifica por las ventajas funcionales que proporciona.

e) Economía.

Es necesario cuidar que la solución estructural adoptada resulte lo más económica posible. Algunas veces el presupuesto para realizar una obra está fijado en forma muy ajustada, y solamente una estructura bien pensada y calculada, que permita ahorrar mano de obra y materiales, nos permite ejecutar la obra. Cuando se efectúa una licitación, y entra en juego la competencia de precios, la importancia de un proyecto estructural económico resulta obvia. Pero al hablar de economía queremos indicar algo más que reducir la inversión de dinero. Economía significa aquí aprovechar al máximo materiales y equipos; lograr el mayor rendimiento de los elementos disponibles. Implica entonces eliminar de la estructura lo que sea superfluo o prescindible, y evitar sobredimensionamientos.

f) Estética.

Una estructura bien diseñada se presenta siempre al observador con un valor estético propio. Este efecto se acentúa cuando la transmisión de los esfuerzos se realiza en forma clara y definida, a través de pocos elementos resistentes, de manera que cualquier persona puede comprender o al menos intuir cómo funciona el sistema estructural, y lo puede visualizar como un conjunto armónico.

Figura 3



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El factor estético es particularmente importante en aquellas estructuras que quedan a la vista, que no se recubren o disimulan con revestimientos. Es el caso de puentes, viaductos, tanques elevados, edificios comunes con estructura exenta, etc. El tratado sobre la construcción más antiguo que se conoce se debe a Vitruvio, ingeniero y arquitecto romano del siglo I antes de Cristo. En él se establece que los tres pilares en que descansa la construcción son:

Belleza (Venustas)

Firmeza (Firmitas) Marco Vitruvio - Tratado “De Architectura”, circa 25 AC

Utilidad (Utilitas)

Además del valor estético de la construcción misma, no debe descuidarse su integración visual con el entorno, es decir su correcta inserción en el medio físico circundante (el terreno y sus accidentes, otras construcciones, etc).

. . . . . . . . . . . . . . .

Una buena estructura debe presentar las seis características mencionadas, conjugándolas de la mejor manera posible. A veces se otorga preponderancia a alguna de ellas sobre las restantes; pero de cualquier modo ninguna puede ser ignorada al abordar el proyecto de una estructura.

3. CLASIFICACIÓN Atendiendo a su configuración geométrica, podemos clasificar a las estructuras en tres grupos:

a) Lineales, o de barras b) Laminares, o de superficie c) Macizas, o de volumen

a) Estructuras lineales, o de barras. Son aquéllas constituidas por elementos rectos o curvos, llamados genéricamente barras, en los cuales una dimensión predomina sobre las otras dos:

Ejemplos: vigas, arcos, pórticos, sistemas reticulados.

En cada elemento se puede definir un eje mecánico (línea constituida por los baricentros de las secciones rectas de la pieza). El análisis de la estructura se realiza sobre un esquema constituido por los ejes mecánicos de los distintos elementos:

Estructura Esquema real

b) Estructuras laminares, o de superficie. Sus elementos constitutivos presentan dos dimensiones que pre-dominan sobre la tercera. Estas estructuras se desarrollan según una superficie, plana o curva, y no pueden ser descompuestas en elementos lineales:



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Algunos ejemplos de estructuras laminares:

Losa de un edificio Cubierta en bóveda Silo cilíndrico

c) Estructuras macizas, o de volumen. En ellas las tres dimensiones son del mismo orden de magnitud; no es posible identificar ni ejes mecánicos ni superficies directrices.

Base de una columna Losa de fundación para una maquinaria

En nuestro curso nos ocuparemos solamente de las estructuras lineales.

4. ETAPAS EN LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA ESTRUCTURAL Pueden distinguirse tres etapas sucesivas:

I - ANTEPROYECTO

a) Planteo de los requerimientos funcionales y de las posibilidades constructivas. Se recaba información sobre la finalidad de la estructura, las cargas que debe resistir, los materiales disponibles, los posibles procesos constructivos a seguir, las exigencias estéticas, las posibilidades económicas, etc.

b) En base a esa información se plantean distintas soluciones, que luego serán cotejadas y discutidas. Se descartan algunas de las variantes propuestas, se corrigen otras, hasta definir cuál es la solución más acertada.

II - PROYECTO

a) Contando ya con el diseño previo, se efectúa el análisis de cargas permanentes y accidentales. Luego se determinan los esfuerzos internos ( M , Q , N , T ), con los cuales se realiza el dimensionamiento de los distintos elementos estructurales, o bien se reajusta el predimensionamiento ya existente.

b) Se realiza el estudio de detalles : uniones, empalmes, refuerzos, doblados de hierro, etc. Se confeccionan los planos de obra, generales y de detalle.

c) Se planifica la ejecución, definiendo el proceso constructivo a seguir, el equipo a emplear, los plazos para las distintas etapas de la obra, la ubicación del obrador, el acopio de materiales, etc.

III - CONSTRUCCION

Se controla el cumplimiento correcto del plan de obra preestablecido, y se efectúan los ajustes necesarios si la marcha de la obra lo requiere. Se fiscaliza la ejecución cuidando que se respeten los planos realizados, y controlando la calidad de los materiales y su correcta utilización. A veces un cambio en los métodos constructivos o en los materiales hace necesario retornar a la etapa de Proyecto para tener en cuenta las modificaciones correspondientes. En las dos primeras etapas el ingeniero actúa como Proyectista; en la última, como Director de obra. No es necesario que ambas tareas sean realizadas por el mismo profesional, aunque eso es lo más recomendable; pero con frecuencia un ingeniero hace el proyecto, y otro tiene a su cargo la dirección.



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Cuando la estructura adquiere cierta importancia, los trabajos son efectuados por un equipo, no por una sola persona.

En ocasiones el proyectista presta demasiada atención al cálculo y descuida la etapa de Anteproyecto, subestimando su importancia. Esta actitud es equivocada, y puede conducir a errores graves. La elección acertada del diseño más conveniente es fundamental, y requiere experiencia y conocimiento. Una estructura podrá estar muy bien calculada y construida; pero si su diseño es inadecuado, si el planteo no ha sido bien pensado, nunca podrá ser calificada como una buena solución.

5. VINCULOS REALES Como sabemos, un vínculo tiene por misión impedir o limitar el movimiento del punto en el cual está aplicado. Para ello desarrolla fuerzas o cuplas (las reacciones), que adquieren la intensidad necesaria para controlar ese movimiento con eficacia. Estamos ya familiarizados con los tipos más comunes de vinculación: el empotramiento, el apoyo fijo y el apoyo móvil (figura 1). Los hemos empleado frecuentemente al considerar la sustentación de vigas, pórticos, etc.

Todos ellos se denominan vínculos perfectos, porque cuando restringen la posibilidad de un movimiento lo hacen en forma completa: el grado de libertad correspondiente queda totalmente anulado. Pero lo mostrado en la figura 1 son sólo representaciones ideales, esquemáticas, de los vínculos que suelen disponerse en la realidad. En la mayoría de los casos las estructuras presentan vínculos que no actúan como perfectos, debido a que están formados por piezas de un material y una geometría que limitan el movimiento en forma parcial, sin suprimirlo del todo. Por lo tanto, su comportamiento difiere del que tendría un vínculo ideal. Con frecuencia esa diferencia no es importante; pero otras veces puede ser apreciable.

Es necesario, entonces, tener presente la existencia de vínculos no perfectos, además de los mostrados en la figura 1. Por ejemplo, empotramientos que no anulan totalmente el giro del extremo de la barra, sino que permiten una cierta rotación; o apoyos que no llegan a impedir del todo el descenso del punto en que están aplicados, ya que éste puede experimentar un pequeño movimiento. Consideremos, por ejemplo, la viga representada en la fi-

gura 2. En su extremo B se ha dispuesto un resorte, en vez de un apoyo móvil.

Al actuar la carga sobre la viga, el punto B desciende y comprime el resorte, el cual genera entonces la fuerza reactiva que equilibra el sistema.

Este resorte constituye un vínculo no perfecto: controla sólo en forma parcial el movimiento del punto en el cual se halla fijado, permitiéndole un cierto descenso. Desde el punto de vista estático resulta una vinculación eficaz, pues suministra la reacción que se necesita para el equilibrio del conjunto. Pero lo hace sin impedir totalmente el desplazamiento vertical del punto; por lo tanto no actúa como el apoyo móvil representado en la figura 1.

Si se retira la carga P, el resorte vuelve a su configuración original, y el punto B asciende otra vez hasta su posición primitiva. El comportamiento del vínculo es entonces de tipo elástico. En los casos en que no se produce este retorno a las condiciones iniciales, al ser descargado el sistema, se dice que el vínculo presenta un comportamiento anelástico, o plástico. Ello puede deberse, por ejemplo, a que parte del material de la pieza que actúa como apoyo ingresa en el período de fluencia, y se tiene entonces un proceso de plastificación localizado. Teniendo en cuenta todas estas posibilidades, podemos hacer esta clasificación:

Elásticos

Anelásticos

Perfectos

No perfectos

Vínculos

Figura 1

Figura 2



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Todo esto debe ser considerado al plantear el esquema para analizar la estructura, porque si hay incoherencias entre los vínculos propuestos y lo que después se hace realmente en la obra, el análisis previo no describirá correctamente el funcionamiento de la estructura verdadera, y los resultados obtenidos del cálculo no serán, en consecuencia, enteramente válidos. Por lo tanto, el proyectista debe cuidar siempre que los vínculos planteados en el modelo representen con la mayor corrección posible las verdaderas condiciones de vinculación que ha de tener la estructura que va a ejecutar. Es usual utilizar solamente vínculos perfectos (los de la figura 1) al completar el esquema de una estructura. Esto es válido, si la diferencia con los vínculos reales no es significativa; pero debe tenerse presente que ello puede implicar un error, más o menos importante según el caso. Veremos a continuación algunos ejemplos tomados de situaciones reales. En la figura 3 se ha representado un dintel constituido por un perfil doble Te sustentado en dos pilares de mampostería apoyando en una cierta longitud a . Estos pilares pueden tomarse como apoyos fijos, pues prácticamente anulan los desplazamientos vertical y horizontal de los extremos del dintel. No pueden funcionar como empotramientos, porque carecen de capacidad para impedir la rotación de los extremos cuando actúa la carga (figura 4). En consecuencia, se plantea como esquema de cálculo una barra con apoyos fijos en sus extremos. Por cierto, hay bastante diferencia entre los pilares reales y el apoyo teórico representado por el pequeño triángulo que toca a la barra en un solo punto; pero su comportamiento es muy semejante. La longitud a no es pequeña, o despreciable, como exigiría el vínculo ideal; por el contrario, puede ser una fracción relativamente importante del largo total del perfil. (Su valor se determina a partir de la reacción vertical que se desarrolla: la tensión en la superficie de apoyo no debe superar a la admisible para la mampostería, y en consecuencia, la distancia a no puede ser inferior a una cierta medida). La figura 5 muestra al mismo perfil en una situación diferente: la longitud a de penetración es ahora considerablemente mayor que antes, y además actúa una fuerza estabilizadora W producida por la mampostería situada por encima y por otras cargas que están actuando más arriba. Si esa fuerza W es importante, la rotación del extremo izquierdo se encuentra impedida; lo que se tiene allí es un extremo empotrado. Al actuar la carga P , el extremo izquierdo de la viga tiende a girar, como sucedía en el caso anterior (fig. 4). Pero ahora se desarrollan, en las superficies de contacto entre perfil y muro, presiones q1 , q2 , cuyas resultantes respectivas R1 y R2 son fuerzas no colineales. Estas dos fuerzas pueden ser sustituidas por el sistema equivalente constituido por la cupla MR (momento de empotramiento) y la reacción vertical R = R2 - R1 . La presencia de la fuerza W es lo que posibilita la aparición de R1, necesaria para generar la cupla reactiva MR; y el aumento de a produjo el brazo de palanca adecuado para la cupla. Si el valor de W es realmente grande, el giro del extremo del perfil resultará prácticamente nulo, y el esquema empleado, con un empotramiento perfecto en ese lugar, será aceptable.

Figura 3

Esquema

Figura 4

Figura 5

Esquema



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Diagrama M Diagrama M Diagrama M

En cambio, si la fuerza W no es muy importante, la rotación del extremo no estará anulada totalmente, aunque tampoco será libre como en la viga de la figura 3. Se tendrá una situación intermedia entre un apoyo fijo y un empotramiento perfecto; y por supuesto todos los efectos en la estructura serán diferentes. En la figura 6 se muestra cómo es el diagrama de momentos de la viga cuando se tiene como vínculo en su extremo izquierdo un apoyo fijo, o un empotramiento perfecto, o un empotramiento parcial:

En el último de los diagramas se han representado también, en línea de trazos, los otros dos. Se puede así apreciar cuál es el error que se comete cuando, teniendo un empotramiento parcial en la realidad, se emplea un esquema con vínculos perfectos como los de la figura 1 para efectuar el análisis. Veamos ahora otro ejemplo con una estructura similar, esta vez de hormigón armado. En la figura 7 se ha representado, en vista, una viga AB solidariamente unida a un tabique de hormigón en su extremo izquierdo, mientras que su extremo derecho apoya en un pilar de mampostería. El esquema de cálculo correspondiente se indica en la misma figura. En este caso se ha planteado un apoyo móvil, no fijo, en el extremo derecho de la viga, porque el pilar de mampostería carece de la rigidez necesaria para impedir un posible movimiento horizontal del punto B. El tabique de hormigón armado podría ser, por ejemplo, uno de los que forman la caja de ascensores de un edificio elevado. Constituye un empotramiento perfecto para la viga, porque posee una rigidez tan grande en su plano que puede considerarse completamente indeformable, al ser comparado con la viga. Por lo tanto, no habrá ni descenso ni giro para el extremo A. El eje de la viga permanecerá horizontal en ese punto, al actuar la carga, dado que existe continuidad entre viga y tabique, como muestra la figura 8. Imaginar una rotación allí equivaldría a suponer que la esquina del tabique se deforma (figura 9), lo que se halla en contradicción con lo puntualizado anteriormente.

El tabique está actuando, entonces, como un empotramiento perfecto para la viga, y resulta válido el esquema propuesto para realizar el análisis de la misma. Estudiemos ahora la variante que muestra la figura 10 : en ella el tabique presenta una dimensión b menor que la considerada anteriormente, siendo del mismo orden de magnitud que la altura h de la viga. Lo que se tiene, en realidad, no es un tabique sino una columna. En este caso ya no es válido hablar de indeformabilidad del sector al que llega la viga, y por lo tanto de un empotramiento perfecto que suprime totalmente la rotación.

Figura 7

Figura 8 Figura 9

Figura 6



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El comportamiento del vínculo es el siguiente: la deformación provocada en la viga por la carga P tiende a hacer girar el extremo A, y aparece una curvatura en la columna debido a su unión solidaria con la viga. Se pone entonces en juego la rigidez flexional de la pieza AC, es decir su oposición a ser curvada, y se genera en la unión de ambas

piezas una cupla de interacción MA .

En el extremo de la viga aparece entonces, además de la reacción

vertical, un momento MA cuyo valor será proporcional a la rigidez

a flexión de la barra vertical. A menor dimensión b, menor momento en A (y mayor rotación de la tangente). El tabique se comporta como un empotramiento elástico para la viga: restringe el giro del extremo, sin llegar a anularlo del todo. Sería un error proponer un esquema con vínculos perfectos como los representados en la figura 1; lo que corresponde acá es un tipo de vinculación intermedia entre empotramiento y apoyo. Consideremos ahora otra posibilidad. Si la dimensión b fuera muy pequeña, la rigidez a flexión de la pieza AC sería muy baja, y

el momento MA, poco significativo. El vínculo se comportaría en forma muy parecida a un apoyo perfecto, y sería

entonces aceptable proponer un esquema con vinculaciones de esa clase. Esta situación suele darse con frecuencia en los edificios con estructura de hormigón armado, cuando se disponen vigas apoyadas (no empotradas) en columnas de sección relativamente pequeña. En la figura 11 se ha representado, en vista, un sector de una estructura de hormigón como las mencionadas. Al actuar cargas sobre el dintel, los momentos que suministran las columnas a los extremos de la viga son tan bajos que pueden ser ignorados al hacer el análisis. En la realidad la estructura resultante será monolítica, porque el hormigonado se realiza en conjunto, de modo que la viga quedará solidariamente unida a las columnas; pero a los efectos del cálculo se considera apoyada en ellas, sin empotramiento elástico. El observador no apreciará ninguna diferencia aparente con respecto al caso de la viga empotrada total o parcialmente; no se materializa ningún vínculo como los representados en la figura 1, sino que se da continuidad a la masa de hormigón. El esquema de cálculo utilizado, mostrado en la figura 11, indica que en los extremos del dintel no hay momentos flectores, de modo que no sería necesario disponer armaduras en esos puntos. Sin embargo, siempre se deben colocar hierros adicionales en el borde convexo, como indica la figura 12, a fin de evitar la aparición de fisuras. Ello se debe a que, al curvarse bajo la acción de las cargas, la viga genera esfuerzos de tracción en ese borde, los que no podrían ser absorbidos por el hormigón sin armar, produciéndose entonces fisuras en ciertos lugares (figura 13). El esquema empleado para el cálculo (giro libre en los extremos de la viga) no refleja exactamente la realidad; y entonces deben tomarse los recaudos necesarios para evitar los problemas que ello puede traer aparejado. Concretamente, debe disponerse la armadura adicional mencionada, para controlar la aparición de fisuras. El cálculo de la viga, hecho con el esquema con apoyos en sus extremos, no se ocupa de esos hierros; pero el proyectista debe agregarlos recordando que el esquema empleado es solamente una aproximación de la situación real de la estructura.

Figura 10

Esquema

Figura 11

Figura 12 Figura 13



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En el ejemplo anterior habíamos considerado que las cargas eran verticales y que actuaban sobre la viga. Diferente es el caso del edificio que debe resistir fuerzas horizontales, como las originadas por viento o por sismo. Aquí las vigas y columnas deben tener una vinculación más completa, para poder constituir un pórtico, sistema estructural que resulta eficaz para absorber ese tipo de solicitación (figura 14). El dintel debe quedar, necesariamente, empotrado en forma elástica en los postes, con trasmisión de momentos, corte y normal en los puntos de unión de las barras. En tal caso, los hierros que se disponen en las esquinas son de sección importante, y se calculan para resistir los momentos que se producen; ya no se trata de colocar una simple armadura auxiliar para prevenir posibles fisuraciones. La apariencia exterior de la estructura resultará similar a la representada en la figura 11; sólo que las dimensiones de las columnas serán mayores.

Vamos a referirnos ahora a los vínculos que unen una estructura al terreno. En el caso de un empotramiento, puede proponerse un bloque de hormigón, de forma prismática o cilíndrica, que penetre en el suelo hasta una profundidad suficiente como para eliminar todo desplazamiento, tanto lineal como angular (figura 15). El terreno

cumple aquí una función parecida a la de la mampostería de la figura 5, envolviendo totalmente el extremo de la pieza a empotrar: se generan presiones en la superficie de contacto, y el movimiento queda impedido. Otra solución consiste en diseñar una base de hormigón armado que apoye en el suelo en una superficie horizontal, como la representada en vista, en la figura 16. Hemos visto ya una base de este tipo, como ejemplo de estructura maciza, en la página 5. La superficie de apoyo debe ser lo suficientemente grande

como para asegurar que la tensión máxima en el terreno sea inferior a la admisible. (Se trata de una sección sometida a flexión compuesta con materiales que no absorben tracción. Debe trabajarse con la sección eficaz, y emplear un método de cálculo apropiado para obtener las tensiones.) Definida la superficie de apoyo, se procede al dimensionamiento de la base en sí, adoptando las secciones de hormigón y las armaduras a colocar en su interior. Con frecuencia, al abordar el proyecto de una fundación, se comete el error de considerar que las tensiones en los distintos materiales (suelo, hormigón, acero) son lo único que realmente interesa; y no se presta la debida atención a las deformaciones que se producen. Es decir, se considera que proyectar un empotramiento es solamente un problema de fuerzas y tensiones, sin controlar si la fundación está realmente capacitada para im-pedir determinados movimientos, como debe hacerlo el vínculo que se propone. Esta postura puede dar lugar a errores apreciables. Si el suelo es muy deformable, por ejemplo, la base tendrá una rotación importante, aunque las tensiones resulten moderadas. El vínculo, pensado como empotramiento perfecto, no funcionará como tal, y el comportamiento real de la estructura diferirá de lo previsto. Como consecuencia, los momentos reactivos que se desarrollarán en la realidad no serán los obtenidos en el cálculo, sino otros menores; y los esfuerzos internos calculados para los distintos puntos de la estructura no representarán tampoco la verdadera situación de los mismos. Por lo tanto, al proyectar una fundación empotrada resulta imprescindible prestar la debida atención a los desplazamientos que pueden producirse, además de controlar los valores de fuerzas y tensiones. Nos referiremos ahora a los apoyos fijos. Por definición, este tipo de vínculo debe impedir los desplazamientos lineales y a la vez permitir la rotación. Existen diversas formas de materializar un apoyo fijo, para que los movimientos respondan a estas premisas. Debe asegurarse la trasmisión de los esfuerzos normal N y de corte Q desde la estructura a la parte fija (no así la de momentos flectores, que queda eliminada al permitirse el giro relativo entre ambas partes). Si la estructura es de hormigón armado, y por sus dimensiones y cargas se esperan rotaciones importantes, puede emplearse la solución representada en la figura 17. En ella, el estrechamiento de la sección favorece la posibilidad de giro. La armadura se concentra en el eje de la pieza, de modo que no hay absorción de momento flector en ese

Figura 14

Figura 15

Figura 16



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lugar, al no poder generarse una cupla resistiva por falta de brazo de palanca. La trasmisión de Q y N, por el contrario, puede ser asegurada con el haz de barras de acero dispuesto según el eje de la columna.

La concentración de tensiones que provoca el estrechamiento de la pieza debe ser tenida en cuenta, al efectuar el diseño. Existen distintas variantes de este tipo de apoyo; la figura 17 muestra sólo una de ellas. En otras, se modifica la disposición de la armadura, o la forma de la escotadura. Distinto es el caso del apoyo representado en la figura 18, donde la articulación se materializa mediante

piezas especiales de acero unidas a la masa de hormigón. Por tratarse de una solución costosa, esta variante es empleada solamente en los casos de estructuras muy pesadas. Si las dimensiones de la estructura y las cargas actuantes no son grandes, el giro que tiende a producirse no es

importante, y entonces suele utilizarse la solución mostrada en la figura 19: el poste se hormigona directamente sobre la base, sin recurrir a ningún elemento intermedio. En la unión se dispone una armadura de escasa sección,, que rebaja la capacidad de absorber momentos y permite así acercarse al comportamiento deseado (deformación angular libre y momento flector nulo).

La baja rigidez flexional de la sección, en ese lugar, contribuye a que la unión actúe en la forma esperada. Como sucedía en el nudo de la figura

12, acá también debe disponerse una armadura auxiliar, de escasa sección, para controlar la posibilidad de fisuras. Consideremos por último el caso de los apoyos móviles. Si el movimiento que se ha de producir según el plano de deslizamiento es importante, e interesa que se desarrolle libremente, sin ser coartado, se puede disponer un rodillo de acero entre placas metálicas, como se representa en la figura 20. Pero la solución más ventajosa, y también más utilizada en la actualidad, consiste en emplear una plancha de material elastomérico (neopreno), que por su gran deformabilidad trasversal frente a solicitaciones de cizallamiento desempeña perfectamente el papel de apoyo móvil (figura 21). A diferencia del rodillo mencionado anteriormente, este tipo de vínculo no está sujeto a deterioro a través del tiempo por oxidación o acumulación de suciedad, ni experimenta desgaste. Las placas de neopreno se utilizan corrientemente en estructuras importantes: puentes o cubiertas de grandes luces, por ejemplo. En el caso de estructuras comunes, donde el desplazamiento del apoyo móvil es de pequeña magnitud, o bien donde resulta indistinto que el comportamiento sea el de un apoyo fijo o de uno móvil, es posible efectuar una sustentación directamente sobre la parte fija, sin ningún tipo de dispositivo o elemento intermedio (figura 22). El movimiento en el plano del apoyo queda restringido, de hecho, por las fuerzas de rozamiento. Si éstas son superadas, se produce el movimiento, y se tiene un comportamiento de apoyo móvil; de lo contrario, el funcionamiento es el de un apoyo fijo. Muchas veces (en vigas con cargas verticales, exclusivamente, por ejemplo), carece de importancia que el deslizamiento sea libre o esté impedido. En otros casos, puede resultar necesario algún tratamiento adecuado en la superficie de contacto (alisado, etc.) para disminuir el rozamiento y tener un comportamiento más cercano al de un apoyo móvil. Como resumen de todo lo expuesto hasta aquí, podemos destacar dos conceptos muy importantes: 1. Al proyectar un vínculo, o al verificar el comportamiento de uno existente, debe enfocarse la atención en su

eficacia para controlar los movimientos, porque ésa es la verdadera función de un vínculo; sólo en segundo término

se evaluarán las fuerzas y tensiones desarrolladas.

2. El proyectista debe tener especial cuidado en lograr la mayor coincidencia posible entre los vínculos que

propone en su esquema de cálculo y los que en realidad tendrá la estructura. Aunque este concepto es

completamente obvio, no siempre es respetado adecuadamente.

Figura 17

Figura 18

Figura 19

Figura 20

Figura 21

Figura 22



12

Imágenes de estructuras existentes y detalles de sus vínculos. 1. Apoyos fijos en una estructura metálica Cubierta de un depósito - Rosario

Estos arcos reticulados, de gran luz, apoyan en sus bases de hormigón mediante un conjunto de pìezas metálicas que permite la rotación pero no la traslación:

Una pieza cilíndrica de acero actúa como eje de giro de la articulación, haciendo que la unión funcione realmente como un apoyo fijo.



13

2. Apoyos fijos en una estructura de madera

Paso Puyehue, provincia del Neuquén – Ruta entre Argentina y Chile

Los arcos, de madera laminada, apoyan en las bases de hormigón mediante pìezas metálicas similares a las del ejemplo anterior.



14

3. Apoyos fijos en una estructura de hormigón Viaducto sobre Av. Puccio – Rosario

El tablero apoya sobre arcos triarticulados de hormigón armado.

En el arranque de los arcos se observan las

escotaduras típicas de las articulaciones logradas reduciendo la sección de hormigón al mínimo, como se mostró en la figura 17:

Y otro tanto sucede en el punto superior de los arcos, donde se sitúa la tercera articulación:



15

4. Apoyos fijos en una viga metálica Usina de Sorrento – Rosario

La viga apoya en una serie de columnas cortas de hormigón armado. En el extremo superior de cada una de esas columnas se dispone, antes de hormigonar, una placa metálica con hierros soldados que quedan anclados en la masa de hormigón:

La viga metálica se suelda a esa placa, quedando así concretada la unión con la columna.. Aquí el vínculo no presenta ningún dispositivo que permita la libre rotación relativa entre las partes que une, es decir que lo habilite para comportarse como una articulación. Pero en este caso ello no tiene mayor importancia, porque la geometría y las dimensiones de la estructura no hacen prever rotaciones significativas en los puntos de apoyo. No se justifica, entonces, complicar la vinculación para garantizar esas rotaciones. Distinto es el caso de los arcos mostrados en los ejemplos anteriores, todos de grandes dimensiones y con desplazamientos angulares que no pueden ser tomados como despreciables. Si esas estructuras son diseñadas como apoyadas, en vez de empotradas, en necesario asegurar que el comportamiento del vínculo sea realmente el de un apoyo fijo, permitiendo la rotación. De lo contrario el vínculo actuaría en la realidad como un empotramiento, total o parcial, y los esfuerzos internos y las deformaciones serían diferentes a las calculadas.



16

5. Apoyos móviles en una estructura de hormigón armado Puente carretero - Provincia de Entre Ríos

El apoyo móvil está materializado con rodillos de acero que permiten el movimiento en la dirección del eje del puente. En el extremo opuesto, el apoyo fijo está hecho también con piezas metálicas, pero sin rodillos.

Esta solución puede verse en todos los puentes carreteros ejecutados en las décadas de 1930 y siguientes, época a la cual pertenece el de estas imágenes. En la actualidad se utilizan, en su reemplazo, apoyos más simples y más económicos formados por placas de neopreno.



17

6. Apoyos móviles en una estructura de hormigón armado

Complejo ferrovial Zárate-Brazo Largo, sobre el río Paraná - Provincias de Buenos Aires y Entre Ríos

En esta obra, ejecutada muchos años después que la vista anteriormente, se utilizó una tecnología más avanzada, pero se empleó el mismo tipo de apoyo. Las fotos, del año 1974, muestran una etapa del montaje de las vigas premoldeadas del puente carretero. Esas vigas apoyan en los extremos de las ménsulas dispuestas en el extremo superior de las pilas, y el apoyo se materializa con rodillos metálicos, como se puede apreciar en la imagen ampliada del punto de encuentro:



18

7. Apoyos móviles en una estructura de hormigón armado Viaducto de acceso al Puente Rosario-Victoria

Las vigas apoyan sobre placas de neopreno situadas en el borde superior de los travesaños de los pórticos.

Cuando la carga a trasmitir es importante, estas placas están reforzadas con chapas de acero dispuestas en su interior. La figura de la derecha muestra una placa de este tipo a la cual se le ha recortado una esquina, pudiendo verse las chapas de acero incluidas en la masa de neopreno.



19

d

PLANTA

8. Empotramientos en una estructura metálica Nave industrial en las cercanías de Rosario

La estructura principal consiste en una serie de pórticos empotrados en la fundación. Las columnas de esos pórticos finalizan, en su extremo inferior, en una placa horizontal de acero con perforaciones por donde pasan pernos previamente anclados en el hormigón del fuste de la base.

La foto de la izquierda, tomada durante la ejecución de la obra, permite ver la vinculación de los perfiles doble Te que forman la columna con la placa de apoyo, y la de ésta con los pernos que sobresalen del fuste.

Una vez ajustadas las roscas, esta unión se cubre con hormigón, continuando el fuste, viéndose entonces como se muestra en la foto principal.

Los pernos son los encargados de trasmitir a la fundación los esfuerzos provenientes del pórtico. El flujo de tensiones que baja por los perfiles que forman la columna debe canalizarse hacia los vástagos de los pernos, y de allí pasar a la masa de hormigón situada debajo. La separación d entre los pernos, en el plano del pórtico, es lo que permite controlar la rotación del extremo de la columna, dotando a la unión de una buena rigidez angular. Esa distancia es el brazo de palanca que tienen las fuerzas axiales desarrolladas en los pernos para trasmitir el correspondiente momento flector.



20

6 . TIPOS ESTRUCTURALES ISOSTATICOS

A continuación se describen los tipos estructurales más comunes, pertenecientes al conjunto de los sistemas isostáticos.

a) VIGA SIMPLE Barra única vinculada con un apoyo fijo en un extremo y uno móvil en el otro, destinada a resistir cargas normales a su eje. Actúa a flexión y corte.

b) MENSULA O VOLADIZO Barra única vinculada en un extremo con un empotramiento, y libre en el otro, destinada a resistir cargas normales a su eje. Actúa a flexión y corte.

c) VIGA CON VOLADIZO Barra única vinculada con un apoyo fijo y uno móvil, uno de ellos apartado del extremo generando una porción en ménsula. Destinada a resistir cargas normales a su eje. Actúa a flexión y corte.

d) VIGA GERBER Sistema de barras colineales yuxtapuestas, vinculadas entre sí por rótulas y a la parte fija mediante apoyos. Uno solo de esos apoyos es fijo; los demás son móviles. También: en vez de un apoyo fijo se tiene un extremo vinculado con un empotramiento. Para cargas normales al eje.

e) PÓRTICO SIMPLE

Sistema constituido por una pieza única de eje quebrado, que salva el vano AB permitiendo la utilización del espacio existente debajo del travesaño CD.

AC, BD: postes o pies derechos CD: regla o travesaño

f) ARCO DE TRES ARTICULACIONES Sistema formado por dos barras articuladas entre sí en un punto ( C ), y apoyadas cada una de ellas en la parte fija mediante otra rótula ( A , B ) : Las tres articulaciones no deben estar alineadas; de lo contrario se tendría un sistema inestable. Si bien al hablar de arco se piensa en una estructura de eje curvo, por extensión se asigna también este nombre a sistemas de eje poligonal, no curvo, como muestra la figura de la derecha.



21

g) ARCO ATIRANTADO Tipo estructural derivado del anterior por permutación de vínculos: el apoyo fijo B se ha convertido en móvil (supresión de un vínculo externo), y se ha adicionado un tensor (vínculo interno).

h) RETICULADO Sistema constituido por barras rectas articuladas entre sí en sus extremos, que actúan solamente con esfuerzo normal (tracción o compresión)

Formas de uso frecuente:

Viga Warren Viga Pratt Cercha Polonceau

i) VIGA ATIRANTADA

Sistema mixto (constituido en parte por barras de alma llena, que pueden absorber M, Q y N, y el resto por barras que sólo actúan con esfuerzo axial, como las de un reticulado).

Destinada a recibir cargas en las barras horizontales, AC y CB, que son de alma llena. Las restantes forman un reticulado.

j) PÓRTICO MIXTO

Los postes AC y BD son de alma llena, y pueden absorber M, Q y N.

El travesaño, en cambio, es un sistema reticulado, con barras que sólo trabajan con esfuerzo axial.



22

k) ARCO TRIARTICULADO MIXTO

Los postes son de alma llena, y pueden absorber M, Q y N. El resto es un sistema reticulado, con barras que sólo trabajan con esfuerzo axial.

Los sistemas mencionados hasta acá presentan una característica común: todas sus piezas están contenidas en un mismo plano, es decir se trata de estructuras planas. Si, por el contrario, el sistema presenta elementos no coplanares, se tiene una estructura espacial. Cuando la estructura está contenida en un plano, pero recibe cargas no coplanares, debe ser considerada también como espacial. Es el caso de la ménsula que se muestra a continuación:

l) MÉNSULA ESPACIAL

m) PÓRTICO ESPACIAL

n) RETICULADO ESPACIAL

Debe señalarse que estos dos últimos tipos estructurales isostáticos se utilizan muy pocas veces. Ello se debe a que, por lo general, cuando se proyectan pórticos y reticulados espaciales se prefiere vincularlos en forma hiperestática, no isostática.



23

7 . ANALISIS DE LA VIGA ATIRANTADA La figura 1 muestra, en vista, una estructura constituida por los siguientes elementos:

a) dos piezas de perfil doble Te dispuestas horizontalmente, AC y CB. b) varias barras verticales, de distinta longitud, soldadas en su extremo superior a las anteriores. Estas barras,

que reciben el nombre genérico de montantes, pueden estar constituidas, por ejemplo, por tubos de acero de sección cuadrada o circular; o bien por trozos de perfil doble Te.

c) una barra de acero que partiendo del extremo izquierdo A pasa por los puntos inferiores de los montantes y finaliza en el apoyo derecho B, configurando una poligonal que se denomina cordón inferior.

Todo el conjunto se sustenta en los puntos A y B, y está destinado a resistir cargas verticales, es decir a funcionar como viga de luz AB. La unión de las dos piezas horizontales, en el punto C, se realiza mediante dos chapas soldadas a cada lado del alma de los perfiles. Las alas respectivas quedan entonces sin conexión, lo que impide que en C se pueda absorber un momento flector (debe recordarse que en un perfil doble Te las tensiones de flexión están a cargo de las alas, preponderantemente; al interrumpirse la continuidad, no se desarrolla la cupla interna). En cambio, la trasmisión de los esfuerzos de corte y normal puede realizarse sin inconvenientes a través de las piezas soldadas al alma de ambos perfiles. Por lo tanto, esta unión se va a comportar prácticamente como una rótula.

La estructura descripta responde, por su configuración, al tipo estructural denominado "viga atirantada", ya mencionado en el punto anterior como ejemplo de sistema mixto.

En la figura 2 se ha representado el esquema correspondiente. Se ha propuesto en este caso, como acción exterior, una carga q

uniformemente repartida a todo lo largo de la viga. Las barras horizontales aparecen con mayor grosor que las inferiores, para destacar que son de alma llena y que, a diferencia de éstas, han de absorber los tres esfuerzos internos M, Q y N.

Para efectuar el análisis de esta viga atirantada, ordenaremos el trabajo en pasos sucesivos:

a) Vinculación. Veamos si la cantidad de vínculos internos y externos es la que corresponde a una estructura isostática. Recordemos que la condición necesaria (pero no suficiente) para que un sistema plano compuesto por varias chapas resulte isostático está expresada por la siguiente igualdad:

3.c = re + 2 (n1 + 2 n2 + 3 n3 + ... ) , donde: c = cantidad de chapas que integran el conjunto

re = “ de vínculos exteriores

nk = “ de articulaciones que unen ( k+1 ) chapas

En este caso: c = 13 ; re = 2+1 = 3 ; n1 = 6 ; n2 = 6 ; n3 = n4 = ... = 0

Reemplazando en la igualdad anterior, el primer miembro resulta 3 . 13 = 39 Y el segundo: 3 + 2 ( 6 + 2 . 6 ) = 39

Por lo tanto, al cumplirse la igualdad se verifica que la cantidad de vínculos existentes es la que corresponde a un sistema isostático.

b) Estabilidad. Sabemos que la igualdad anterior constituye una condición no suficiente de isostaticidad, porque al comparar el número de grados de libertad con la cantldad total de vínculos, realiza solamente un control cuantitativo, sin tener en cuenta si existe o no algún vínculo mal dispuesto que produzca una forma crítica de sustentación. En consecuencia, se hace necesario estudiar la estabilidad del sistema. Para ello recurriremos al método de generación, que suele ser el más conveniente para conjuntos constituidos por muchos elementos. El procedimiento consiste en ir generando paso o paso la estructura, a partir de una pieza inicial, adicionando cada vez un nuevo elemento en forma estable. Si es factible completar de esta manera el sistema, el conjunto resultante será sin duda estable.

Figura 1

Figura 2



24

Comenzamos eligiendo a la barra AC como elemento de partida. Le fijamos el nudo 1 con dos barras no alineadas (fig. 3 a). Puesto que un punto material requiere dos bielas que no tengan la misma dirección para ser fijado en forma estable, podemos asegurar que el nudo 1 ha quedado correctamente vinculado a la barra AC. Con otras dos barras no colineales fijamos el nudo 2 a lo que ya se tiene hasta este momento (fig. 3 b). Por último hacemos lo propio con el nudo siguiente (fig. 3 c). Queda así un conjunto solidario que puede ser tratado como una chapa única. No podemos seguir avanzando en la misma forma, porque el nudo siguiente del cordón inferior está unido con una sola barra a la chapa ya formada.

Entonces tomamos a C′B como nueva pieza de partida, y le fijamos primero el nudo 4, y luego el 5, respetando siempre la regla de emplear en cada caso dos barras no colineales. Queda así formada una nueva chapa (fig. 3 d).

Vinculamos ahora los dos conjuntos con una articulación en C y una biela (la barra 3-5). La rótula une ambas chapas dejando como único movimiento posible el giro relativo entre ambas; y la biela 3-5, por tener su eje no concurrente al punto C, se encarga de eliminar ese giro. Por lo tanto, el conjunto actúa como una única chapa (fig. 3 e).

Disponemos ahora vínculos exteriores, colocando un apoyo fijo en A y uno móvil en B (fig. 3 f). Puesto que la normal al plano de deslizamiento de este último no pasa por A, podemos asegurar que la sustentación del conjunto es correcta. Concluimos entonces que el sistema es estable. c) Reacciones exteriores. Planteando el esquema de cuerpo libre de la estructura (figura 4) , obtenemos los valores de las reacciones mediante ecuaciones de equilibrio apropiadas:

(La reacción HA es nula, al no haber cargas

exteriores en dirección horizontal). Como verificación podemos emplear

d) Esfuerzos internos en las barras inferiores. Hagamos el esquema de cuerpo libre de un sector cualquiera del cordón inferior, afectando a uno o más nudos del mismo, como indica la figura 5. Las fuerzas incógnitas S aparecen con su sentido real (tracción en las barras inclinadas,

compresión en los montantes). Llamemos αααα al ángulo que forma el eje de una barra con la horizontal. Al plantear el equilibrio de fuerzas horizontales se obtiene:

Sa . cos αααα a = Sc . cos αααα c

Por lo tanto, en ambas barras inclinadas la componente horizontal de la respectiva fuerza S es la misma. Como este análisis puede realizarse con cualquier sector del cordón, concluimos que la componente horizontal es constante en todas las barras inclinadas del sistema:

Si . cos αααα i = H (constante)

Figura 3

Figura 4

Figura 5



25

Diagrama M

Diagrama Q

Diagrama N

AC

B

B

D

12P 3P

A

C

P

El valor de la fuerza H puede obtenerse haciendo en la estructura un corte que pase por la rótula C, y estudiando el esquema de cuerpo libre de uno de los dos sectores que resultan (figura 6). En él aparecen cuatro fuerzas incógnitas:

VC y HC , que representan la acción de la barra

horizontal quitada V y H , que representan las componentes del esfuerzo S en la barra del cordón inferior que llegaba a ese nudo.

Planteando, en este esquema, equilibrio de momentos respecto del punto C, se tiene:

VA . d – q . d2/ 2 – H . f = 0

De esta ecuación obtendremos el valor de H, que es la única incógnita que aparece: H = ...

Una vez determinada esta fuerza, estamos en condiciones de calcular la solicitación S en cada una de las barras del cordón inferior:

Calculados estos valores, determinamos los esfuerzos en cada montante equilibrando el nudo inferior respectivo (fig. 7).

e) Esfuerzos internos en las barras de alma llena. Planteamos ahora el esquema de cuerpo libre de las dos barras horizontales (figura 8). Todas las fuerzas actuantes en él son ahora conocidas, de manera que pueden determinarse fácilmente las solicitaciones M, Q y N en cualquier punto de esas barras, y trazar los diagramas correspondientes:

De esta manera queda completado el análisis de la viga atirantada.

8 . ANALISIS DEL PORTICO MIXTO Estudiemos ahora la siguiente estructura, siguiendo el mismo procedimiento utilizado en el punto anterior.

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 1



26

A

1P

C

HA

AV

aS

cS

Sb

J

a) Vinculación. Condición necesaria, pero no suficiente, para que un sistema compuesto por varias chapas resulte isostático:

3.c = re + 2 (n1 + 2 n2 + 3 n3 + ... ) , donde: c = cantidad de chapas que integran el conjunto

re = “ de vínculos exteriores

nk = “ de articulaciones que unen ( k+1 ) chapas

En este caso: c = 25 ; re = 2+1 = 3 ; n1 = 2 ; n2 = 3 ; n3 = 8 ; n4 =1

Reemplazando en la igualdad anterior, el primer miembro resulta 3 . 25 = 75 Y el segundo: 3 + 2 ( 2 + 2 . 3 + 3 . 8 + 4 . 1) = 75 Por lo tanto, al cumplirse la igualdad se verifica que la cantidad de vínculos existentes es la que corresponde a un sistema isostático. b) Estabilidad. Análisis por generación (figura 2): comenzamos vinculando el nudo 1 a la barra AC mediante dos bielas no colineales. Luego el nudo 2, también con un par de bielas no colineales, al extremo C y al nudo 1.

A

C D

A

C D

B

1

2

A

C

A

C

A

C D

B

Repetimos este paso hasta llegar al nudo D. La chapa ACD que resulta se une al poste derecho con una articulación (D) y una biela que no pasa por la misma. Queda así constituida una chapa única. Por último agregamos un apoyo fijo en A y uno móvil en B, este último dispuesto de manera que su reacción no pase por A. El resultado es una estructura estable. c) Reacciones exteriores. Planteando el esquema de cuerpo libre de la estructura obtenemos los valores de las reacciones mediante ecuaciones de equilibrio apropiadas:

Verificación:

d) Esfuerzos internos en los postes. Planteamos el esquema de cuerpo libre del poste izquierdo (figura 3). Las fuerzas S son incógnitas, y se plantean con sentido positivo, es decir, produciendo tracción en las barras respectivas.

Verificación:

Figura 2

Figura 3

(sentidos positivos

para las incógnitas S )

Aplicando ecuaciones de equilibrio apropiadas, se obtienen rápidamente las incógnitas S :



27

Diagr. M Diagr. Q Diagr. N

C

P1

A

Sb

Sc

Sa

HA

AV

B

P3

D

BV

St

vS

uS

K

v

t

Su

S

S

B

BV

P3

D

Diagr. M Diagr. Q Diagr. N

Una vez hallados los valores de las fuerzas S se determinan los esfuerzos internos en la barra. Suponiendo que Sa y Sc hubiesen resultado negativas: Ahora hacemos un estudio similar en el poste derecho, partiendo del esquema de cuerpo libre correspondiente: Una vez hallados los valores de las fuerzas S determinamos los esfuerzos internos en la barra. Suponiendo que St y Sv hubiesen resultado negativas:

e) Esfuerzos internos en el sector reticulado. Reemplazando las acciones S ya calculadas, con su sentido correcto, se plantea el esquema de cuerpo libre del resto del reticulado (figura 7).

P2v

t

Su

S

S

Sb

Sc

Sa

Los esfuerzos axiales en las distintas barras se hallan aplicando cualquier procedimiento de análisis de reticulados (el método de los nudos, o el de las secciones, por ejemplo).

FIN DEL TEMA 1

Figura 4

(sentidos correctos

para las fuerzas S )

Figura 5

(sentidos positivos

para las incógnitas S )

Ecuaciones de equilibrio :

Verificación:

Figura 6

(sentidos correctos

para las fuerzas S )

Figura 7

tema 1 - sistemas isostáticos

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