aei c4a4 análisis de pórticos isostáticos

anlisis de prticos isostticosP. T., Dr. Ernesto Chagoyn Mndez.AEI C4 A41AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosSUMARIO: Tema III: Equilibrio interior de los elementos. Fuerzas interiores de M, V y N. 1. Generalidades.Aplicacin del Mtodo de las Secciones.Diagramas de cuerpo libre.Condicin analtica para el equilibrio de los cuerpos rgidos en el plano.Momento de una fuerza con respecto a un punto en su plano de accin.2. Equilibrio de Prticos Isostticos. Determinacin de las Reacciones de Apoyo.Construccin de los Diagramas de Fuerzas Interiores. Relaciones diferenciales M y V.Convenios de Signos.Reglas principales en la construccin de diagramas de fuerzas interiores.3. Metodologa de clculo.4. Ejemplos de aplicacin.2AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosINTRODUCCINEn la clase anterior estudiamos una de las propiedades esenciales de los sistemas estructurales: la estabilidad, y las herramientas con que contamos para determinar si un sistema puede constituirse como una estructura o no: el anlisis cinemtico de un sistema estructural, su importancia, definiciones y la forma de realizar el mismo analtica y grficamente.Como cuestin muy importante queremos resumir lo siguiente (a travs de preguntas):Cmo se logra la invariabilidad cinemtica de dos discos?, y de tres?Posibles pasos a seguirRealice el anlisis cinemtico de las siguientes estructuras:

3AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosDESARROLLO:1. Generalidades:En el anlisis de Prticos Isostticos como hemos sealado, utilizaremos las mismas herramientas que Uds. utilizaron en Modelacin Mecnica de las Estructuras y en Resistencia de Materiales para resolver el anlisis de otros tipos de estructuras y cuerpos slidos. Previamente ser necesario comprobar que el sistema propuesto puede constituirse en una estructura para lo cual, ser necesario realizar el anlisis cinemtico de la misma. Una vez realizado esto, si el sistema estructural es estable, pasamos a realizar su anlisis, para lo cual es necesario recordar las herramientas estudiadas anteriormente, como son:4AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos1.1 Aplicacin del mtodo de las secciones: Para lo cual se efecta mentalmente un corte a la estructura analizada, quedando la misma virtualmente dividida en dos cuerpos, en cada uno de los cuales representamos las acciones interiores que surgiran en cada uno de ellos con signos respectivamente opuestos actuando sobre los mismos. En el prtico de la fig. 1, si aplicamos el mtodo de las secciones y trazamos una seccin intermedia entre C y D, tendramos los cuerpos ABC y DEFG con las acciones interiores Mi, Vi y Ni representadas en la Fig. 2 y 3.

5AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosLa cantidad de acciones interiores que surgen a cada lado de la seccin mentalmente trazada, depende de los vnculos existentes entre los elementos donde se practica esta. As si realizamos mentalmente un corte en una articulacin sencilla apareceran dos acciones, como se muestra en las Figs. 4, 5 y 6.

6AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosAs tendremos:Mi, Vi y Ni del cuerpo DEFG representan acciones adicionales a las cargas exteriores sobre el cuerpo ABC. Mi, Vi y Ni del cuerpo ABC representan acciones adicionales a las cargas exteriores sobre el cuerpo DEFG.Noten que las acciones sobre un cuerpo tienen sentido opuesto a las acciones sobre el otro, resultado de aplicar el mtodo de las secciones, lo cual es resultado de la aplicacin del principio de accin y reaccin, por lo que cualquiera de los dos cuerpos puede ser usado para calcular Mi, Vi y Ni.

Adems, al unir mentalmente de nuevo ambos cuerpos, para constituir el prtico ABCDEFG en un solo cuerpo, las acciones Mi, Vi y Ni desaparecen, denotando el carcter de fuerzas interiores que poseen.7AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos1.2 Diagramas de Cuerpo Libre: Si ahora, en cualquiera de los seis cuerpos representados en las Fig. 1, 2, 3, 4, 5 y/o 6, suprimimos los vnculos a tierra, tendremos en cada caso un diagrama de cuerpo libre, es decir un cuerpo no vinculado al disco tierra, como se muestra en las Fig. 7, 8 y 9 para los cuerpos representados en las Fig. 1, 2 y 3. Este recurso es muy importante en la determinacin de las reacciones de apoyo, ya que no siempre basta con establecer el equilibrio en el DCL general de la estructura, siendo necesario en muchas ocasiones establecer DCL adicionales, cuya cantidad depende del nmero total de reacciones a determinar.

8AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos1.3 Condicin analtica para el equilibrio de los cuerpos rgidos en el plano: la cual se presenta en tres variantes posibles, con ciertas limitantes en algunos casos como podemos apreciar en la siguiente tabla:9AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos

10AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos2. Equilibrio de Prticos Isostticos. En el anlisis de prticos planos usamos las mismas herramientas que Uds. estudiaron el MME, as como utilizamos la misma metodologa que en aquella ocasin, la cual resumimos a continuacin:2. 1. Determinacin de las reacciones de apoyo: Sobre la base del DCL General y tantos adicionales como reacciones de apoyo por encima de 3 tengamos como incgnitas, utilizamos las condiciones de equilibrio anteriormente referenciadas y formamos un SEL cuya solucin nos permite obtener los valores de las RA buscadas.2.2 Construccin de los Diagramas de Fuerzas Interiores: una vez conocidas las RA pasamos a la determinacin de los diagramas de FI. En ello, entraremos en particularidades por tipos de diagramas:

11AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos12AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosEsto se complica un poco en elementos inclinados, donde procedemos segn la Fig. 11:

13AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos14AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosLa determinacin de los cortantes utilizando este procedimiento, podr ser vista durante la solucin de los ejemplos que desarrollaremos durante el tema.En el caso del diagrama de fuerzas axiales N, adicionalmente puede usarse el procedimiento del equilibrio en los nudos para determinarlo, lo cual ser visto a travs de los ejemplos.

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16AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos2.3 Convenios de Signos.Para calcular las reacciones: puede ser cualquiera, nosotros siempre utilizaremos el siguiente:Para calcularlas solicitaciones:El momento flector se considera positivo si tracciona la fibra inferior para elementos horizontales e inclinados, y la fibra interior a la estructura para elementos verticales. Se dibuja el diagrama por la fibra traccionada y no se coloca el signo en el diagrama.El cortante es positivo si hace girar la seccin de referencia, en sentido horario y negativo cuando el giro provocado es en sentido anti horario. Se dibuja por encima o por la derecha si es positivo y viceversa, indicando el signo en el diagrama, lo cual es obligatorio.La fuerza axial se considera positiva cuando tracciona la seccin analizada y negativa cuando la comprime. Se dibuja por encima o por la derecha si es positivo y viceversa, indicando el signo en el diagrama, lo cual es obligatorio.+17AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos2.4 Reglas principales en la construccin de diagramas de fuerzas interiores y de deformadas: a continuacin comentaremos algunas de las reglas ms importantes a tener en cuenta durante la construccin de diagramas de M, V y N en los prticos y estructuras planas que en general puedan analizar:

Regla No.Contenido1La intensidad de la carga (q) en un punto = la pendiente del diagrama del V en ese mismo punto. 2El valor del diagrama de V en un punto = la pendiente del diagrama de M en ese mismo punto.3El rea entre dos puntos de la carga (q) = el CAMBIO en el valor del V entre los mismos dos puntos. 4El rea entre dos puntos en el diagrama de V = el CAMBIO en el valor del momento entre los mismos dos puntos. 5Versin corta de las cuatro relaciones anteriores para su uso mientras dibujan esos diagramas: VALOR SOBRE = LA PENDIENTE DEBAJO DE EL REA SOBRE = EL CAMBIO DEBAJO DE NOTA: usted puede aplicar aqullos a la carga, Cortante, y relaciones del momento pero no intente extender aqullos al diagrama de la deformada! 18AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosRegla No.Contenido6Si en un tramo analizado de izquierda a derecha el momento crece, el cortante ser positivo.7En el tramo en que el momento es constante, el cortante es nulo.8En la seccin en que el momento es mximo, el cortante es nulo. Esta regla tiene la excepcin del caso de la viga en voladizo.9En la seccin en donde se aplique un momento puro exterior, el diagrama de M tendr un salto igual en valor, al momento puro aplicado.10En la seccin en donde se aplique una fuerza exterior concentrada, el diagrama de V tendr un salto igual en valor, a la fuerza concentrada externa aplicada.11En los tramos en donde no exista carga externa aplicada, el diagrama de M se dibuja mediante una lnea recta.12En los tramos en donde una carga distribuida externa est aplicada, el diagrama de M se dibuja mediante una parbola, de modo que la convexidad del grfico coincida con la direccin de la carga aplicada.13En los tramos en que se aplique una fza. externa concentrada, el diagrama de M experimenta un cambio de pendiente a partir del punto en que se aplique la fuerza externa.14TRES MANERAS de determinar el valor del momento a un punto dado en una viga, Use el diagrama de carga y reas del diagrama de V,Use un corte del DCL al punto que usted quiere el momento y escriba una ecuacin de equilibrio, Use la definicin de momento. 15Nosotros normalmente dibujaremos V y M de izquierda a derecha. Si se dibuja de derecha a izquierda, note que la convencin de signos usada aparentemente se invierte.16Cuando vamos de izquierda a derecha, el diagrama de V SIEMPRE va en direccin de la carga. 17En una articulacin interior, el valor del momento = cero. Pero el V no tiene que ser el cero y de hecho normalmente no es cero (cero sera slo en un caso especial de carga). 19AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos

20AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos18Dibujar los diagramas de M y V a escala puede ayudar a que usted consiga la forma apropiada del diagrama. Dibujar sin escala puede causar los errores! 20Sobre la deformada de una estructura: este es un aspecto que conviene interiorizar, independientemente que luego ampliaremos las herramientas para determinar las deformaciones en los prticos isostticos, pues ayuda a determinar muchos aspectos del comportamiento de los mismos.La deformada es la forma del eje centroidal de la estructura DESPUS DE que las cargas han sido aplicadas. Dibuje stos con una SOLA LNEA (eso representa el eje centroidal). 21La deformada tendr que ir por los puntos de apoyo y tendr una curvatura sonriente si el momento es positivo y una curvatura "de entrecejo fruncido" cuando el momento es negativo. Si el momento es entonces el cero no hay ninguna curvatura (a menos que estuviera presente antes de aplicar la carga). Pruebe a jugar con un perchero para "formar" las deformadas. 22La deformada debe pasar por todos los apoyos, si no hay asentamiento en los apoyos (NPDA = no puede dejar el apoyo). 23En la deformada: Las articulaciones interiores (no un apoyo) pueden deformarse (es decir la deformacin en una art. interior necesariamente no es nula, asi que a menos que Ud. sepa que sea cero, NO LA DIBUJE como cero). 24La deformada en un empotramiento puede ser slo una de tres posibilidades: Todas las tres opciones tienen la MISMA tangente en el empotramiento. 25El V en cualquier seccin de una viga es igual en magnitud pero de signo contrario a la resultante de todas las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal a la seccin en cuestin, tomada a cualquier lado de esa seccin. 26El MOMENTO en cualquier seccin de una viga es igual a la magnitud pero de signo contrario a la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas a cualquiera de los dos lados de la seccin. 27La carga AXIAL en cualquier seccin de una viga es igual en magnitud pero de signo contrario a la suma algebraica de todas las fuerzas paralelas al eje longitudinal a la seccin en cuestin, tomada a cualquier lado de esa seccin. 21AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos3. Metodologa de clculo.La metodologa de clculo es la misma empleada en MME, la cual reforzaremos con la solucin de ejemplos de aplicacin, los pasos principales a dar son:Determinacin de las reacciones de apoyo, realizando los DCL que correspondan y sustituyendo las fuerzas distribuidas previamente por sus resultantes en el punto de aplicacin correspondiente y descomponiendo las cargas inclinadas en sus componentes ortogonales, para facilitar el trabajo al realizar el equilibrio. Aplicacin del mtodo de las secciones para la determinacin de las FI en todos los elementos componentes del prtico. El orden en la determinacin de las FI podr ser cualquiera y depende de la eleccin del calculista. Usualmente se realiza el diagrama de M y V o de V y M en ese orden si es que se toma el rea del diagrama de V para calcular M, y luego se calcula N por equilibrio en los nudos o por equilibrio en la seccin analizada. Dibujar los diagramas de solicitaciones a escala, considerando las reglas estudiadas y realizando las comprobaciones necesarias, a partir de las mismas.224. Ejemplos de aplicacin.EJERCICIO # 1:Realice el anlisis del siguiente prtico y dibuje los diagramas de fuerzas interiores, conociendo que H = L = 6m, P = 50 kN, P1= 30 kN, q = 30 kN/m, M = 50 kN-m (Fig. 14).

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Puntox, mts.M, kN-mMmx1.55586.2968Centro de la Luz355.001D6-209.99831AEI:C4A4 Anlisis de Prticos Isostticos




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40Conclusiones:Estudiar los siguientes ejemplos resueltosque aparecen en la conferencia al final:

Orientar la CP # 2 en base a la gua.Repasar los casos notables estudiados en MME y RM. Ver tabla resumen en la Conferencia al final.

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44AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosEjemplo # 4: Construir los diagramas de M y V en la siguiente viga simplemente apoyada sometida a carga distribuida triangular.Solucin:1. Clculo de las reacciones:F X = 0 AX=0 (1)F Y = 0 AY + BY qL (2)MA = 0 -qLL + BYL = 0 (3), de donde: BY = q L Sustituyendo en (2):2. Diagrama de Momentos:Aplicamos el mtodo de las secciones trazando una seccin a X del apoyo A, como se muestra en la figura. Por simple regla de tres, obtenemos la funcin de la carga, como una funcin de la posicin de la seccin x, q(x) = f (x)q . Lq(x). X q(x) = qX/L

45AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosLa fuerza concentrada, sera el rea debajo del tringulo = R(x) = qxX = qX/LX = qX2/L Ecuacin de momento:MX = Para obtener el punto de Mmx, se deriva e iguala a cero la ecuacin de Mx: , De donde: X = Sustituyendo los valores de L = 9 m y q = 30 kN/m :X = 0,57735 (9) = 5,2 m, M =


47AEI:C4A4 Anlisis de Prticos IsostticosFIN48CDEFGMPq(x)LABCNiMiMViNiViDEFGMiPq(x)

Fig. 1Fig. 2Fig. 3

CEFGHMPq(x)LDABCNDDMVDNDVDEFGHDPq(x)

Fig. 4Fig. 5Fig. 6

CDEFGMPq(x)LABCNiMiMViNiViDEFGMiPq(x)

Fig. 1Fig. 2Fig. 3

ABCDEFGMPq(x)LAyGyGxAyABCNiMiMViNiViDEFGMiPq(x)GyGx

Fig. 7 DCL GeneralFig. 8 DCL ABCFig. 9 DCL DEFG

OrOAAFb

Fig. 10

Con carga normal al elemento inclinado (viento)Con carga gravitara:

ntAyAxAxN(x)V(x)xqR=qxR=qx

ntAyAxAxN(x)V(x)xqR=qxR

Fig. 11 Clculo de V y N en elementos inclinados.

MD < 0MC > 0Observador

MD > 0MC < 0Observador

Fig. 12

Con carga normal al elemento inclinado (viento)Con carga gravitara:

ntAyAxAxM(x)xqR=qxntAyAxM(x)xqR=qx

Fig. 13 Clculo de M en elementos inclinados.

19Muchas de estas reglas se reflejan en el siguiente esquema, al determinar los grficos de M y V para una viga simplemente apoyada, sometida a una carga distribuida:ABCDPendiente de M = 15 kN = = V en ese puntoq=10 kN/m6 m

1 m10kN30 kN30 kNrea de Carga tramo CD = Cambio en el valor de cortante de C a D.rea de V tramo CD = Cambio en el valor de momento de C a D.45 kN40 kN15kN1.5 mE

ABCDEFHMqLPP1

Fig. 14

R=qL=30kN/m6m=180kNAyFyFxABCDEFHMqLPP1

Fig. 15

VCD(x)R=qxAy= 46.667kNABCxHMqP

Fig. 16

CDVDxVC6 mVqCDC

Fig. 17

CDVDxVC6 mVqCDC

Fig. 17

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