Cálculo II

Preparado por:

Prof. Yariela Y. Hernández C.

MÓDULO 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I. Área de una región:

Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el

cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de una región entre dos

curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos

interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo

de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 2.1.

Si bien en la figura 1.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede

usar el mismo integrando [f(x) – g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) f(x) en el intervalo

[a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente:

II. Sólido de revolución:

Definición de Sólido de Revolución: Al girar una región del plano alrededor de una recta, el sólido que

resulta se conoce como sólido de revolución, y la recta como eje de revolución. Se utiliza los siguientes

métodos para encontrar su volumen:

Figura 1.1:

ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) f(x) para todo x en [a, b] entonces el área de la

región limitada por las gráficas de f y g y las líneas verticales

x =a y x = b es

A = b

a[f(x) – g(x)] dx

Cálculo II

Preparado por:

Prof. Yariela Y. Hernández C.

1. Método de discos: Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, se

usan las siguientes fórmulas:

a). Eje de revolución horizontal: dxxRV

b

a

2

b). Eje de revolución vertical: dyyRV

d

c

2

donde a,b está definido sobre el eje x (limita la región) y c,d lo está sobre el eje y (limita la región).

2. Método del anillo: Se utiliza cuando el eje de revolución no es una frontera de la región que se está

haciendo girar: dxxgxfV

b

a

22

, donde a,b está definido sobre el eje x (limita la región).

Cuando el eje de revolución es el eje y o cualquier recta paralela a los ejes x o y, se aplica fórmula

similar.

3. Método de capas cilíndricas o de la cubierta:

a). Eje de revolución horizontal: dyyyfV

d

c

2

b). Eje de revolución vertical: dxxfxV

b

a

2

donde x = y = radio medio, f (y) = f (x) = altura, dy = dx = espesor.