aplicaciones de la integral definida
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INTEGRAL DEFINIDATRANSCRIPT
Universidad Autónoma del Carmen.
Facultad de Ingeniería y Tecnología.
DES-DAIT.
Cálculo Integral.
Tarea 4: Investigación – Aplicación de la integral definida.
Cálculo de una integral definida y su aplicación.
Profesora: Olena Benavides.
Alumnos:
Danelly Anaid Cabrera Martínez.
María Karen González Castillo.
Juan José Rodríguez Díaz.
Ciudad del Carmen, Campeche; a 15 de Abril del 2015.
Definición y fórmula de la integral definida.
La integral definida es un concepto utilizado para determinar al valor de las áreas
limitadas por curvas y rectas. Dada una función 𝑓(𝑥) integrable en el intervalo
cerrado [𝑎, 𝑏], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de 𝑓(𝑥),
el eje de las abscisas, y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏.
La integral definida se representa por ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎, donde:
∫ Es el signo de integración.
𝑎 Es el límite inferior de la integración.
𝑏 Es el límite superior de la integración.
𝑓(𝑥) Es el integrando o función a integrar.
𝑑𝑥 Es el diferencial de 𝑥, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Teorema fundamental del cálculo:
La manera de solución de la integral definida es a través de la aplicación del teorema
fundamental del cálculo, que es la afirmación de que la derivación y la integración
son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se
deriva, se recupera la función original. Se representa de la siguiente forma:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
Propiedades de la integral definida:
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑎
𝑏
2. Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑎
𝑎
= 0
3. Si 𝑐 es un punto interior del intervalo [𝑎, 𝑏], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [𝑎, 𝑐] y [𝑐, 𝑏].
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de
integrales.
∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
∫ 𝑘 ∗ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Explicación: En qué áreas de la ciencia se aplica y para qué.
Las principales aplicaciones del Cálculo Integral se centran en el cálculo de áreas,
volúmenes y longitudes.
Al referirnos al cálculo de áreas nos enfocamos en hallar áreas de regiones planas
bajo una curva, entre dos curvas y entre curvas con múltiples fronteras.
Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un
sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese
mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución
generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución.
Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de
producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas
y émbolos.
Otra aplicación importante relacionada con los sólidos de revolución es el cálculo
del área de la superficie de estos sólidos, considerando la integración de la fórmula
de la superficie lateral de un tronco de cono circular recto.
En el campo de la física, la aplicación del Cálculo Integral es muy importante, ya
que conocida la función de la velocidad a la que se desplaza un cuerpo o móvil, se
puede saber la posición o distancia recorrida de este en un determinado intervalo
de tiempo, por ejemplo: para un objeto con movimiento rectilíneo uniforme, la
función posición 𝑠(𝑡) y la función velocidad 𝑣(𝑡) se relacionan por 𝑠(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡.
De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene que:
∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑠(𝑡)|𝑡1
𝑡2 = 𝑠(𝑡2) − 𝑠(𝑡1)𝑡2
𝑡1
Lo cual podemos entender como:
Otra aplicación del Cálculo Integral en el campo de la física es en el tópico del
trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo, lo cual equivale a la cantidad de
energía necesaria para desplazar este cuerpo. Para ejemplificar esto, consideremos
una fuerza 𝑓 que actúa sobre una partícula para provocar sobre esta un
desplazamiento unidimensional, de allí se define el trabajo infinitesimal que realiza
la fuerza sobre la partícula para provocar un desplazamiento 𝑑𝑥, donde:
𝑑𝑊 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑓(𝑥) es la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, por lo tanto,
para un desplazamiento finito, entre dos puntos 𝑥1 y 𝑥2, se define el trabajo como:
𝑊 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑥2
𝑥1
Los anteriores han sido algunos ejemplos de aplicación del Cálculo Integral,
enfocándonos respectivamente en las integrales definidas, siendo además, también
aplicables en otros campos científicos.
Ejemplos: Problemas de aplicación. Los siguientes ejercicios fueron tomados de las páginas 338 y 339 del libro Cálculo
diferencial e integral de los catedráticos titulares de matemáticas en la UNAM
Francisco J. de la Borbolla y Luis de la Borbolla. Al final se incluye la referencia
bibliográfica del libro.
Ejercicio 1: Número 14 de la página 339.
Ejercicio 2: Número 15 de la página 339.
Ejercicio 3: Número 16 de la página 339.
Ejercicio 4: Número 17 de la página 339.
Ejercicio 5: Número 18 de la página 339.
Ejercicio 6: Número 2 de la página 338.
Ejercicio 7: Número 6 de la página 338.
Ejercicio 8: Número 7 de la página 338.
Ejercicio 9: Número 8 de la página 338.
Ejercicio 10: Número 13 de la página 339
.
1. Hallar el área entre la curva 𝑦 = 𝑥2 y la recta 𝑦 = 2𝑥.
a) Gráfico:
b) Hallando el intervalo en el cual se determinará el área entre la
recta 𝑦 = 2𝑥 y la parábola 𝑦 = 𝑥2.
2𝑥 = 𝑥2
2𝑥 − 𝑥2 = 0
𝑥(2 − 𝑥) = 0
𝑥1 = 0
𝑥2 = 2
El intervalo será [0,2].
c) Gráfico que representa el área entre la recta 𝑦 = 2𝑥 y la parábola
𝑦 = 𝑥2.
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área entre la recta 𝑦 = 2𝑥 y la parábola 𝑦 = 𝑥2.
∫ (2𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥2
0
= 2 ∫ 𝑥2
0
𝑑𝑥 − ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 2
0
= 𝑥2| 02 −
1
3𝑥3 | 0
2
= [(2)2 − (0)2] − [1
3(2)3 −
1
3(0)3] = 4 −
8
3
= 4
3 𝑢2 = 1.33 𝑢2
El área entre la recta 𝑦 = 2𝑥 y la parábola 𝑦 = 𝑥2 es de 1.33 𝑢2.
2. Hallar el área bajo un arco de la función 𝑦 = sin 𝑥.
a) Gráfico:
b) Dado a que el enunciado nos pide hallar el área bajo un arco de
la función 𝑦 = sin 𝑥, consideraremos a éste, como el arco que se
encuentra en el intervalo [0, 𝜋].
c) Gráfica que representa el área bajo el arco de la función
𝑦 = sin 𝑥 en el intervalo [0, 𝜋].
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área bajo el arco de la función 𝑦 = sin 𝑥 en el
intervalo [0, 𝜋].
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥𝜋
0
= − cos 𝑥 | 0 𝜋 = − cos 𝜋 − (− cos 0) = 1 − (−1)
= 1 + 1 = 2 𝑢2
El área bajo el arco de la función 𝑦 = sin 𝑥 en el intervalo [0, 𝜋]
es de 2 𝑢2.
3. Hallar el área bajo un arco de la función 𝑦 = (sin 𝑥)2.
a) Gráfico:
b) Dado a que el enunciado nos pide hallar el área bajo un arco de
la función 𝑦 = (sin 𝑥)2, consideraremos a éste, como el arco que
se encuentra en el intervalo [0, 𝜋].
c) Gráfica que representa el área bajo el arco de la función
𝑦 = (sin 𝑥)2, en el intervalo [0, 𝜋].
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área bajo el arco de la función 𝑦 = (sin 𝑥)2 en el
intervalo [0, 𝜋].
∫ (sin 𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫ (1 − cos 2𝑥
2) 𝑑𝑥 =
1
2∫ 𝑑𝑥
𝜋
0
−1
2∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
=1
2𝑥 |0
𝜋 −1
4sin 2𝑥 |0
𝜋
= [1
2(𝜋) −
1
2(0)] − [
1
4sin(2𝜋) −
1
4sin(0)]
= (1
2𝜋 − 0) − [
1
4(0) −
1
4(0)] =
𝜋
2 𝑢2
El área bajo el arco de la función 𝑦 = (sin 𝑥)2 en el intervalo [0, 𝜋]
es de 𝜋
2 𝑢2.
4. Hallar el área que existe entre la parábola 𝑦 = 𝑥2 y la recta
𝑥 − 𝑦 + 2 = 0.
a) Gráfico:
b) Hallando el intervalo en el cual se determinará el área entre la
recta 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 y la parábola 𝑦 = 𝑥2.
Ecuación de la recta: 𝑦 = 𝑥 + 2
Ecuación de la parábola: 𝑦 = 𝑥2
𝑥 + 2 = 𝑥2
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0
𝑥1 = −1
𝑥2 = 2
El intervalo será [−1,2].
c) Gráfico que representa el área entre la recta 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 y la
parábola 𝑦 = 𝑥2.
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área entre la recta 𝑦 = 𝑥 + 2 y la parábola 𝑦 = 𝑥2.
∫ (𝑥 + 2 − 𝑥2)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥2
−1
− ∫ 𝑥2𝑑𝑥2
−1
2
−1
2
−1
=1
2𝑥2|−1
2 + 2𝑥|−12 −
1
3𝑥3|−1
2
= [1
2(2)2 −
1
2(−1)2] + [2(2) − 2(−1)] − [
1
3(2)3 −
1
3(−1)3]
= (2 −1
2) + (4 + 2) − (
8
3+
1
3) =
3
2+ 6 −
9
3=
9
2 𝑢2 = 4.5 𝑢2
El área entre la recta 𝑦 = 𝑥 + 2 y la parábola 𝑦 = 𝑥2 es de 4.5 𝑢2.
5. Hallar el área entre la parábola 4𝑦 = 𝑥2 + 4 y la recta 2𝑦 = 𝑥 + 14.
a) Gráfico:
b) Hallando el intervalo en el cual se determinará el área entre la
recta 2𝑦 = 𝑥 + 14 y la parábola 4𝑦 = 𝑥2 + 4.
Ecuación de la recta: 𝑦 =1
2𝑥 + 7
Ecuación de la parábola: 𝑦 =1
4𝑥2 + 1
1
2𝑥 + 7 =
1
4𝑥2 + 1
1
2𝑥 + 6 −
1
4𝑥2 = 0
2𝑥 + 24 − 𝑥2 = 0
𝑥2 − 2𝑥 − 24 = 0
(𝑥 + 4)(𝑥 − 6) = 0
𝑥1 = −4
𝑥2 = 6
El intervalo será [−4,6].
c) Gráfico que representa el área entre la recta 2𝑦 = 𝑥 + 14 y la
parábola 4𝑦 = 𝑥2 + 4.
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área entre la recta 2𝑦 = 𝑥 + 14 y la parábola
4𝑦 = 𝑥2 + 4.
∫ (1
2𝑥 + 6 −
1
4𝑥2)
6
−4
𝑑𝑥 =1
2∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 6 ∫ 𝑑𝑥
6
−4
−1
4∫ 𝑥2𝑑𝑥
6
−4
6
−4
=1
4𝑥2|−4
6 + 6𝑥|−46 −
1
12𝑥3|−4
6
= [1
4(6)2 −
1
4(−4)2] + [6(6) − 6(−4)] − [
1
12(6)3 −
1
12(−4)3]
= (9 − 4) + (36 + 24) − (18 +16
3) = 5 + 60 −
70
3=
125
3 𝑢2
= 41.66 𝑢2
El área entre la recta 2𝑦 = 𝑥 + 14 y la parábola 4𝑦 = 𝑥2 + 4 es de
41.66 𝑢2.
6. Hallar el área entre la curva 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥, el eje X’X y los
puntos de abscisa 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 3.
a) Gráfico:
b) De acuerdo al enunciado, el intervalo es: [0,3].
c) Gráfico que representa el área entre la curva 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥,
el eje X’X y los puntos de abscisa 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 3.
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área entre la curva 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥, el eje X’X y
los puntos de abscisa 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 3.
∫ (𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥3
0
= ∫ 𝑥33
0
𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 3
0
+ 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 3
0
= 𝑥4
4| 0
3 + 𝑥3 | 03 + 𝑥2 | 0
3
= [(3)4
4+ (3)3 + (3)2] − [
(0)4
4+ (0)3 + (0)2]
= [81
4+ 27 + 9] =
225
4 𝑢2 = 56.25 𝑢2
El área entre la curva 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥, el eje X’X y los puntos
de abscisa 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 3 es de 56.25 𝑢2.
7. Hallar el área entre la curva 10𝑦 = 𝑥3, el eje X’X y las rectas
𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 3.
a) Gráfico:
b) El intervalo es: [1,3].
c) Gráfico que representa el área entre la curva 10𝑦 = 𝑥3, el eje X’X
y las rectas 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 3.
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área entre la curva 10𝑦 = 𝑥3, el eje X’X y las rectas
𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 3.
∫ (𝑥3
10) 𝑑𝑥
3
1
= 1
10∫ (𝑥3)𝑑𝑥
3
1
= (1
10) (
𝑥4
4) |1
3 = 𝑥4
40| 1
3
= [(3)4
40] − [
(1)4
40] = [
81
40−
1
40] =
80
40 𝑢2 = 2𝑢2
El área entre la curva 10𝑦 = 𝑥3, el eje X’X y las rectas 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 3
es de 2𝑢2.
8. Hallar el área entre la curva 3𝑦 = 𝑥2, el eje X’X y las rectas
𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 6.
a) Gráfico:
b) El intervalo es: [3,6].
c) Gráfico que representa el área entre la curva 3𝑦 = 𝑥2, el eje X’X
y las rectas 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 6.
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área entre la curva 3𝑦 = 𝑥2, el eje X’X y las rectas
𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 6.
∫ (𝑥2
3) 𝑑𝑥
6
3
= 1
3∫ (𝑥2)𝑑𝑥
6
3
= (1
3) (
𝑥3
3) |3
6 = 𝑥3
9| 3
6
= [(6)3
9] − [
(3)3
9] = [
216
9−
27
9] =
189
9 𝑢2 = 21𝑢2
El área entre la curva 3𝑦 = 𝑥2, el eje X’X y las rectas 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 6 es
de 21𝑢2.
9. Hallar el área entre la curva 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1, el eje X’X y las
rectas 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 4.
a) Gráfico:
b) El intervalo es: [0,4].
c) Gráfico que representa el área entre la curva
𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1, el eje X’X y las rectas 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 4.
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área entre la curva 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1, el eje
X’X y las rectas 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 4.
∫ (𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1)𝑑𝑥4
0
=
= ∫ 𝑥34
0
𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 4
0
+ 9 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 4
0
+ ∫ 𝑑𝑥 4
0
= 𝑥4
4| 0
4 − 2𝑥3 | 04 +
9𝑥2
2| 0
4 + 𝑥 | 04
= [(4)4
4− 2(4)3 +
9(4)2
2+ (4)] − [
(0)4
4− 2(0)3 +
9(0)2
2+ (0)]
= [64 − 128 + 72 + 4]
= 12 𝑢2
El área entre la curva 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1, el eje X’X y las rectas
𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 4 es de 12 𝑢2.
10. Hallar el área entre 2𝑦 = 4 − 𝑥2 y el eje X’X.
a) Gráfico:
b) Hallando el intervalo en el cual se determinará el área entre
2𝑦 = 4 − 𝑥2 y el eje X’X.
Hacemos 𝑦 = 0
2𝑦 = 4 − 𝑥2
𝑦 = 2 −1
2𝑥2
2 −1
2𝑥2 = 0
4 − 𝑥2 = 0
𝑥2 = 4
𝑥1 = −√4 = −2
𝑥2 = √4 = 2
El intervalo será [−2,2].
c) Gráfico que representa el área entre 2𝑦 = 4 − 𝑥2 y el eje X’X.
d) Aplicando integral definida y teorema fundamental del cálculo
para hallar el área entre 2𝑦 = 4 − 𝑥2 y el eje X’X.
∫ (2 − 𝑥2
2) 𝑑𝑥
2
−2
= 2 ∫ 𝑑𝑥2
−2
− 1
2∫ 𝑥2 𝑑𝑥
2
−2
= 2𝑥| −22 −
𝑥3
6| −2
2
= [2(2) −(2)3
6] − [2(−2) −
(−2)3
6]
= [4 −8
6] − [−4 +
8
6] =
16
6+
16
6
= 32
6 𝑢2 = 5.33 𝑢2
El área entre 2𝑦 = 4 − 𝑥2 y el eje X’X es de 5.33 𝑢2.
Referencias:
Inetor. “Integrales definidas”. [En línea]. Recuperado el 07 de abril del 2014. Disponible:
http://www.inetor.com/definidas/integrales_definidas.html
Purcell, Edwin J.,Varberg, Dale., Rigdon, Steven E. “Cálculo diferencial e integral”.
PEARSON EDUCACIÓN, México, novena edición, 2007, págs. 235, 236 y 243.
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tecnicas/fisica-i/contenidos/temas_por_separado/3_ap_trabyener1011.pdf
De la Borbolla Francisco J. y de la Borbolla Luis. “Cálculo diferencial e integral”. Editorial
ESFINGE, México D.F. 1961, págs. 338 y 339.