tema 9: cálculo de primitivas. integrales definidas e ......integral de nida y sus aplicaciones....

Integral definida y sus aplicaciones. Integrales impropias.

Tema 9: Calculo de primitivas. Integrales definidase impropias.

Jose M. Salazar

Noviembre de 2016


Tema 9: Calculo de primitivas. Integrales definidas eimpropias.

Leccion 11. Calculo de primitivas.

Leccion 12. Integral de Riemann y sus aplicaciones.


Indice

1 Integral definida y sus aplicaciones.Introduccion y primeras definiciones.Funciones integrables y teorema del valor medio integral.Sumas de RiemannPropiedades.Teorema fundamental del calculointegracion por susitucion y por partes.Calculo de areas entre curvas.VolumenesLongitudes de arco.Areas de superficies de revolucion.

2 Integrales impropias.Tipos de integral impropia.Criterios de convergencia.


Introduccion. Integral de Riemann

Introduccion

Sea y = f (x) definida para todo x ∈ I = [a, b] y acotada.Consideremos una particion P de I

P ≡ {x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b}Sean

sP =n∑

i=1

mi (xi − xi−1), SP =n∑

i=1

Mi (xi − xi−1)

con mi y Mi el ınfimo y el supremo de f en [xi−1, xi ].


Introduccion. Integral de Riemann

Introduccion

Para toda P, sP ≤ SP . Se dice que la particion Q es mas fina queP si contiene a todos los puntos de P. En ese caso,

sP ≤ sQ y SQ ≤ SP

Para cualesquiera particiones P, Q, ocurre sP ≤ SQ.Sea s el supremo de los sP y sea S el ınfimo de los SP . Se tienes ≤ S .

Definicion

Si s = S , se dice que f es integrable en I . A este numero se lellama integral definida de Riemann de f en I y se denota por∫ b

af (x) dx


Funciones integrables. Teorema del valor medio integral

Teorema

Sea f acotada en I = [a, b]. Entonces f es integrable en I si y solosi para todo ε > 0 existe una particion P tal que SP − sP < ε.

Teorema

Si f es acotada en [a, b] y continua en [a, b] salvo, quiza, en unconjunto finito de puntos, entonces f es integrable en [a, b].

Teorema

Si f es monotona en [a, b], entonces f es integrable en [a, b].

Teorema (Teorema del valor medio integral)

Sea f : [a, b]→ R continua en [a, b]. Entonces existe α ∈ [a, b] tal

que∫ ba f (x) dx = f (α)(b − a)


Sumas de Riemann

Definicion

La particion Pn ≡ {a = x0 < · · · < xn = b} es regular sixi+1 − xi = b−a

n .

Teorema

Dada f acotada en I = [a, b] y dada la sucesion de particionesregulares Pn, f es integrable en I si y solo si existe el lımite

limn→∞

n∑i=1

αi∈[xi−1,xi ]

f (αi )(xi − xi−1)

independientemente de los αi elegidos. Dicho lımite es∫ ba f (x) dx .

A las sumas definidas se las llama sumas de Riemann asociadas alas particiones Pn.


Propiedades

Propiedades

Sean f , g : I = [a, b]→ R integrables. Entonces:

1.∫ ba f (x) + g(x) dx =

∫ ba f (x) dx +

∫ ba g(x) dx .

2.∫ ba kf (x) dx = k

∫ ba f (x) dx .

3.∫ ba f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx .

4.∫ ba f (x) dx =

∫ ca f (x) dx +

∫ bc f (x) dx ∀ c ∈ [a, b].

5.∫ aa f (x) dx = 0.

6. Si f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b],∫ ba f (x) dx ≥ 0.

7. Si f ≤ g en [a, b],∫ ba f (x) dx ≤

∫ ba g(x) dx .

8.∫ ba |f (x)| dx ≥

∣∣∣∫ ba f (x) dx

∣∣∣.


Teorema fundamental del calculo


Sea f : [a, b]→ R continua en [a, b]. Entonces, F (x) =∫ xa f (u) du,

con x ∈ [a, b], es derivable en (a, b) y F ′(x) = f (x) (F es unaprimitiva de f , esto es, F (x) + C =

∫f (x) dx).

a x

y

u

y = f(u)

F (x)

b



Corolario (Regla de Barrow)

Sea f : [a, b]→ R continua y sea F (x) una primitiva de f (x)(F ′(x) = f (x) o F (x) + C =

∫f (x) dx). Entonces∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a)


Integracion por sustitucion y por partes

Teorema (Integracion por sustitucion)

Si x = g(t) con g , g ′ continuas en [a, b], , y tal quef : g([a, b])→ R es continua, entonces∫ b

af (g(t))g ′(t) dt =

∫ g(b)

g(a)f (x) dx

Teorema (Integracion por partes)

Dadas f , g derivables y con derivadas continuas en I = [a, b],entonces∫ b

af (x)g ′(x) dx = f (b)g(b)− f (a)g(a)−

∫ b

af ′(x)g(x) dx


Areas de regiones entre dos curvas

Aplicacion (Calculo de areas entre curvas)

Areas entre dos curvas de funciones continuas en I = [a, b]. Seutiliza la definicion de integral de Riemann, separando la integralen intervalos donde se mantiene el signo del integrando.

A =

∫ b

a(f (x)− g(x))dx




A = A1 + A2 + A3

=∫ c

a(f (x)− g(x)) dx +

∫ d

c(g(x)− f (x)) dx +

∫ b

d(f (x)− g(x)) dx

=∫ b

a|f (x)− g(x)| dx


Ejemplo

Ejemplo

Calculese el area encerrada entre las graficas de las funcionesf (x) = 3x3 − x2 − 10x y g(x) = −x2 + 2x .

Se igualan f (x) y g(x) obteniendose los cortes en x = −2, 0, 2. Secomprueba que f − g toma valores positivos en (−2, 0) y negativosen (0, 2), de manera que el area es

A =

∫ 0

−2f (x)− g(x) dx +

∫ 2

0g(x)− f (x) dx = 24




Si la curva y = f (x), con f (x) ≥ 0 y continua en [a, b], viene dadaen forma parametrica (x = u(t), y = v(t)), con u(t), u′(t)continuas, entonces el area acotada por la curva y el eje OX entrea = u(t1) y b = u(t2) es

A =

∫ b

af (x) dx =

∫ t2

t1

v(t)u′(t) dt


Ejemplo

Ejemplo

Calculese el area encerrada por la elipse de ecuacion x2

a2 + y2

b2 = 1sabiendo que x = a cos t y que y = b sin t.

Se tiene que el area es

A = 4

∫ 0

π/2(b sin t)(−a sin t) dt = πab


Volumenes

Definicion (Volumen)

Sea S un solido entre x = a y x = b. Si las areas de las seccionesplanas de S perpendiculares al eje x determinan una funcioncontinua A(x), el volumen de S es

V = limn→∞

n∑i=1

αi∈[xi−1,xi ]

A(αi )(xi − xi−1) =

∫ b

aA(x) dx

donde las sumas de la igualdad son sumas de Riemann asociadas aparticiones regulares Pn.


Volumenes

Aplicacion (Volumen de un solido de revolucion)

El volumen del solido de revolucion que genera, al girar sobre el ejeOX , el recinto encerrado por y = f (x), el eje 0X y las rectas x = ay x = b, viene dado por la formula

Vx = π

∫ b

a(f (x))2dx

a b

y = f(x)


Volumenes

Aplicacion (Volumen de un solido de revolucion)

El volumen del solido de revolucion que genera al girar sobre el ejeOY el recinto encerrado por x = f (y), el eje 0Y y las rectas y = cy y = d viene dado por la formula

Vy = π

∫ d

c(f (y))2 dy

x = f(y)

d

c


Longitudes de arco

Aplicacion (Longitud de arco)

Longitudes de arco. La longitud de un arco de la curva y = f (x)entre x = a y x = b, con f derivable y f ′ continua en [a, b], es

Lf =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx

a b

y = f(x)

L


Ejemplo

Ejemplo

Un cable electrico cuelga de dos torres distantes entre sı 100metros, adoptando la forma de una catenaria de ecuaciony = 75(ex/150 + e−x/150) = 150 cosh(x/150). Calculese la longituddel cable entre dichas torres.

Dado que y ′ = 12 (ex/150 − e−x/150), se tiene que

(y ′)2 =1

4(ex/75 − 2 + e−x/75)

Entonces

1 + (y ′)2 =1

4(ex/75 + 2 + e−x/75) =

[1

2(ex/150 + e−x/150)

]2

Al integrar, queda

Lf = 12

∫ 50−50(ex/150 + e−x/150) dx = 75

[ex/150 − e−x/150

]50

−50

= 150(e1/3 − e−1/3)


Longitudes de arco

Aplicacion (Longitud de arco)

Si la funcion esta dada en forma parametrica x = u(t) e y = v(t),entre t = t1 y t = t2, con u y v derivables y con derivada continuaen [t1, t2], entonces

Lf =

∫ t2

t1

√(u′(t))2 + (v ′(t))2 dt


Areas de superficies de revolucion.

Aplicacion (Areas de superficies de revolucion)

La superficie de revolucion del solido que genera la curva y = f (x)con f derivable y con derivada continua en [a, b], al girar sobre losejes OX y OY , tiene un area que viene dada por las formulas

Sx = 2π

∫ b

af (x)

√1 + (f ′(x))2 dx

Sy = 2π

∫ b

ax√

1 + (f ′(x))2 dx


Areas de superficies de revolucion.

Aplicacion (Areas de superficies de revolucion)

Si la funcion esta dada en forma parametrica x = u(t) e y = v(t)desde t = t1 hasta t = t2, con u′ y v ′ continuas en [t1, t2], lasareas de las superficies vienen dadas por las formulas

Sx = 2π

∫ t2

t1

v(t)√

(u′(t))2 + (v ′(t))2 dt

Sy = 2π

∫ t2

t1

u(t)√

(u′(t))2 + (v ′(t))2 dt


Integrales impropias de primera especie

Definicion (Integrales impropias de primera especie)

Se definen como integrales impropias de intervalos no acotados, ode primera especie, a las siguientes integrales:

a) Sea f : (−∞, b]→ R continua. Entonces∫ b

−∞f (x)dx = lim

a→−∞

∫ b

af (x)dx = lim

a→−∞(F (b)− F (a))

f(x)

a b




b) Sea f : [a,∞)→ R continua. Entonces∫ ∞a

f (x)dx = limb→∞

∫ b

af (x)dx = lim

b→∞(F (b)− F (a))

f(x)

ba

Si existen y son finitos los lımites, se dice que la integral impropiaconverge y tiene como valor dicho lımite. En caso contrario,diverge.




c) Si tanto∫∞c f (x) dx como

∫ c−∞ f (x) dx son convergentes,

entonces definimos∫ ∞−∞

f (x) dx =

∫ c

−∞f (x) dx +

∫ ∞c

f (x) dx

= lima→−∞

∫ c

af (x) dx + lim

b→∞

∫ b

cf (x) dx

donde c es cualquier numero real.

a bc

f (x)


Ejemplo

Ejemplo

Veamos que la integral impropia de primera especie

∫ ∞1

1

xcdx

converge si y solo si c > 1.

Estudiemos primero el caso en que c 6= 1,∫∞1

1xc dx = limb→∞

∫ b1 x−c dx = limb→∞

[x−c+1

−c+1

]b1

= limb→∞1

1−c[

1bc−1 − 1

]Entonces, si c > 1, tenemos que c − 1 > 0, con lo que 1/bc−1 → 0cuando b →∞. Esto implica que∫ ∞

1

1

xcdx =

1

c − 1si c > 1,

con lo que la integral converge.


Ejemplo

Si c < 1, tenemos que c − 1 < 0, con lo que 1/bc−1 →∞ cuandob →∞. Esto implica que∫ ∞

1

1

xcdx =∞ si c < 1,

por lo que la integral diverge.Unicamente queda estudiar el caso c = 1. Entonces∫ ∞

1

1

xdx = lim

b→∞[ln x ]b1 = lim

b→∞[ln b − ln 1] =∞,

de modo que la integral diverge.


Integrales impropias de segunda especie

Definicion (Integrales impropias de segunda especie)

Estudiemos el caso en que la funcion no esta acotada en elintervalo de integracion o integral de segunda especie.

a) Integrando infinito en un extremo del intervalo. Sea f (x)continua en [a, b) y tal que lim

x→b−|f (x)| =∞. Entonces se

define la integral impropia∫ b

af (x)dx = lim

t→b−

∫ t

af (x)dx

Si dicho lımite existe y es finito, se dice que la integral esconvergente y, en caso contrario, que es divergente.

b) Analogamente se define la integral impropia de segundaespecie en el otro extremo del intervalo, esto es, si f (x) escontinua en (a, b] y tal que lim

x→a+|f (x)| =∞.




a t b

f (x)

bta

f (x)




c) Integrando infinito en un punto del interior del intervalo.Sea f (x) continua en [a, b], excepto en c ∈ (a, b) y tal quelim

x→c+|f (x)| =∞ (resp. lim

x→c−|f (x)| =∞). Entonces se define∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx

a t c

f (x)

bt

f (x)

Diremos que∫ ba f (x)dx converge en el caso de que estas dos

ultimas integrales converjan. En caso contrario, tendremosdivergencia.


Ejemplo

Ejemplo

Estudiemos la convergencia de la integral impropia de segundaespecie

∫ 10

1xc dx .

Estudiemos primero el caso en que c 6= 1:∫ 1

0

1

xcdx = lim

a→0+

∫ 1

ax−c dx = lima→0+

[x−c+1

−c+1

]1

a

= lima→0+1

−c+1

[1− a−c+1

]Entonces, si c > 1, tenemos que −c+1 < 0, con lo que a−c+1 →∞cuando a→ 0+. Esto implica que∫ 1

0

1

xcdx =∞ si c > 1,

con lo que la integral diverge.


Ejemplo

Si c < 1, −c + 1 > 0 y a−c+1 → 0 cuando a → 0+. Esto implicaque ∫ 1

0

1

xcdx =

1

1− csi c < 1,

con lo que la integral converge.En el caso en que c = 1, se tiene∫ 1

0

1

xdx = lim

a→0+[ln x ]1a = lim

a→0+[ln 1− ln a] =∞,

de modo que la integral diverge.


Integrales impropias de tercera especie

Definicion (Integrales impropias de tercera especie)

Existe tambien la integral impropia de tercera especie, que es lasuma de los dos casos anteriores (primera especie + segundaespecie).


Criterios de convergencia

Teorema (Criterio de comparacion)

Sean f y g continuas con f (x) ≥ g(x) ≥ 0 para x ≥ a. Se tiene:

a) Si∫∞a f (x) dx es convergente, entonces

∫∞a g(x) dx tambien

lo es.

b) Si∫∞a g(x) dx diverge, entonces

∫∞a f (x) dx tambien diverge.

Este criterio tambien es valido para integrales impropias desegunda especie.


Ejemplo

Ejemplo

La integral impropia de segunda especie

∫ 1

0

1√x + 4x3

dx es

convergente.

Basta comparar con la funcion 1x1/2 . Se tiene que para todo x ∈ (0, 1]

1√x + 4x3

<1

x1/2

Dado que

∫ 1

0

1

x1/2dx =

1

1/2= 2 es convergente, la del ejemplo lo

sera.

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