Instituto Tecnológico de Tijuana Carpintero Carrillo Aldo Ingeniería Electrónica 10210971 Diseño con transistores 25 de Febrero del 2014

Impedancia

La resistencia es el valor de oposición al paso de la corriente (sea corriente directa o corriente alterna) que tiene el resistor o resistencia. La reactancia es el valor de la oposición al paso de la corriente alterna que tienen los condensadores (capacitores) y las bobinas (inductores).

En este caso existe la reactancia capacitiva debido a los condensadores y la reactancia inductiva debido a las bobinas. Cuando en un mismo circuito se tienen estos elementos combinados (resistencias, condensadores y bobinas) y por ellas circula corriente alterna, la oposición de este conjunto de elementos al paso de la corriente alterna se llama: impedancia.

La impedancia tiene unidades de Ohmios (Ohms). Y es la suma de una componente resistiva (debido a las resistencias) y una componente reactiva (debido a las bobinas y los condensadores) es:

Z = R + j X

La jota (j) que precede a la X, nos indica que ésta (la X) es un número imaginario. No es una suma directa, es una suma fasorial (suma de fasores)

Lo que sucede es que estos elementos (la bobina y el condensador) causan una oposición al paso de la corriente alterna (además de un desfase), pero idealmente no causa ninguna disipación de potencia, como si lo hace la resistencia (La Ley de Joule)

En La bobina y las corrientes y el condensador y la corriente alterna se vio que hay un desfase entre las corrientes y los voltajes, que en el primer caso es atrasada y en el segundo caso es adelantada.

El desfase que ofrece una bobina y un condensador es opuesto y, si estos llegaran a ser de la misma magnitud, se cancelarían y la impedancia total del circuito sería igual al valor de la resistencia.

La fórmula anterior se grafica como se muestra en la figura

Las reactancias se representan en eje Y (el eje imaginario / eje vertical) pudiendo dirigirse para arriba o para abajo, dependiendo de si es mayor la influencia de la bobina o la del condensador.

Las resistencias se muestran en el eje X. (sólo en la parte positiva del eje X / eje horizontal). El valor de la impedancia (la línea diagonal) será:

Z = (R2+ X2)1/2

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Identidad de Euler

La fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que:

Para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas. Una propiedad importante de esta fórmula de Euler es que contiene dos tipos de simetrías: la par y la impar. La forma coseno es la misma para valores positivos y negativos de la variable x, en este caso. Se dice que ella tiene simetría par. En tanto que la onda seno varía en signo con el signo de la variable x. Se dice que tiene simetría impar. Es sabido que este tipo de simetría desempeña un papel muy importante en la física moderna y aquí tenemos una función con ambos tipos de simetría, razón por la cual en la mecánica cuántica los números complejos son esenciales. La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función 𝑒𝑖𝑥 al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes. La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde.

Fasores

La corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular ω. Este vector recibe el nombre de fasor. Su longitud coincide con el valor máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que se esté representando). El ángulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad de giro ω está relacionada con la frecuencia de la señal.

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En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y corrientes presentan desfasajes entre sí (distintas fases en un determinado momento).

En los diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los fasores.

Los fasores pueden representarse mediante números complejos, teniendo una componente real y otra imaginaria. Si únicamente queremos representar una señal alterna sin importar su fase respecto de otra podemos considerarla formada únicamente por una parte real y sin parte imaginaria. En este caso el ángulo es cero. Si en cambio nos interesa el ángulo de fase (normalmente cuando lo estamos comparando con otro fasor) lo indicamos según corresponda. El igual que en los números complejos, los fasores pueden estar representados en forma binómica y polar (existen otras como la trigonométrica y la exponencial, pero utilizamos las dos primeras). En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos será más simple hacer cuentas con la otra forma. Forma polar

Los fasores suelen indicarse matemáticamente también en forma polar, es decir como un módulo y un ángulo. Por ejemplo la expresión: V = 311 sen (2π 50 t + ¼ π) Se puede representar como un fasor de la siguiente manera:

V = 311 V ω = 2π 50 (para una f = 50 Hz) Φ = 45 ° (o ¼ π) En forma polar se escribe como 311 (45°) V.

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Forma binómica Otra forma de expresar a un fasor o número complejo, es la forma binómica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte imaginaria.

Con las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, podemos calcular las componentes de la forma binómica (a y b) a partir del módulo del fasor y de su ángulo (forma polar) o bien hallar el módulo del fasor y su ángulo a partir de la forma binómica. Forma binómica a polar Si tenemos el fasor dado en forma binómica y queremos conocer el módulo, lo calculamos como la hipotenusa del triángulo. El ángulo se calcula como el arco tangente del cateto opuesto sobre el adyacente.

Forma polar a forma binómica

Forma binómica = a + j b Suma y resta de fasores Para sumar o restar dos fasores es conveniente tenerlos en forma binómica, por lo tanto se hace la suma o resta componente a componente.

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Multiplicación y división de fasores Es más simple hacerlas en forma polar. Se multiplican o dividen los módulos según corresponde y se suman los argumentos (para el caso de la multiplicación) o se los resta (para el caso de la división).

Conclusiones

1. En la investigación se puede interpretar que la impedancia son los efectos resistivos que presenta un circuito, esta se puede conformar por inductancias (por bobinas), capacitancias (capacitores) y resistencias, y dependiendo de estas se obtienen determinados resultados, donde la impedancia tiene dos partes, una real y una imaginaria.

2. La identidad de Euler establece que es posible representar un numero complejo de la forma

cos 𝑥 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑥

A la forma exponencial

𝑒𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑥

3. Básicamente un fasor es un vector que gira a una frecuencia angular constante en torno de su origen. Para representar un fasor se utilizan números complejos y puede ser en forma cartesiana o polar.

Bibliografía

Serrano, L. (2001) Teoría de Fasores. Barcelona, España.

Ubenzki, F. (2005) Circuitos Eléctricos para ingeniería Avanzada. Massachusetts, USA.

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