tarea1 pde

8/18/2019 Tarea1 PDE

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Curso: Introducción a la Dinámica de Fluidos

Computacional.

Tarea del Tema: Solución Numérica de PDEsEjercicio 1 Utilice el método de diferencias nitas (aproximación por diferenciacentral) para aproximar la solución del problema de valores en la frontera

Utilice como tamaño de la malla h = 1!"

Con los parámetros y condiciones de frontera especicadosanteriormente se procedió a reali!ar la discreti!ación de la ecuación de"aplace mediante el método de diferencia central. Tomando en cuenta#ue:

f ' ( x )=

1

h[ f ( x+h )−f ( x )] $$$$.$$$$$$$$$$$. %&'

f ' ' ( x )= 1

h2 [ f ( x+h )−2 f ( x )+f ( x−h)] $$$$$...$$$$$.. %('

f ( x )=u( x , t ) $$.$$$$$$$$$.$$$$$$$$. %)'

∆ x=∆ y=h

"a ecuación en diferencias resulta:

∂2u

∂ x2+

∂2

u

∂ y2= 1

h2 [u( x+h , t )−2u( x ,t )+u( x−h , t )]+

1

h2 [u( x , t +h)−2u( x , t )+u( x ,t −h) ]=0… … … … …

Simplicando:

u ( x+h ,t )+u ( x−h , t )+u ( x ,t +h )+u ( x , t −h )−4 u ( x , t )=0… … … … … … … .(5)


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*esol+iendo para u( x ,t ) :

u ( x , t )=1

4 [ u ( x+h , t )+u ( x−h ,t )+u ( x , t +h )+u ( x , t −h ) ] … … … … … … … … .(6)

"a ecuación ) es aplica,le para todos los nodos interiores con lascondiciones de frontera especicadas anteriormente. De acuerdo con eltama-o de malla de .(/0 se o,tienen (/ nodos en total0 de los cuales 1son nodos interiores.

"as ecuaciones resultantes para los nodos interiores son las si2uientes:

Nodo 3: u (7 )=1

4 [ u (8 )+u (6)+u (12)+u (2) ]=0

Simplicando:u (2 )+u (6 )−4u (7 )+u (8 )+u (12 )=0 $$$$$$$$$$$$..$$$$$ %3'

Nodo 4:u (3)+u (7 )−4u (8 )+u (9 )+u (13 )=0 $$$$$$$$$$$$$$$...$... %4'

Nodo 1:u (4 )+u (8 )−4u (9 )+u (10 )+u (14 )=0 $$$$$..$$$$$$$$$$..... %1'

Nodo &(:u (7 )+u (11)−4u (12)+u (13 )+u (17 )=0 $$$$$$$$..$$$$$...$ %&'

Nodo &):u (8 )+u (12 )−4 u (13 )+u (14 )+u (18 )=0 $$$.$$$$$$$$$.....$.. %&&'

Nodo &5:u (9)+u (13)−4u (14)+u (15)+u (19)=0 $$$$$$$$$$$$$........ %&('

Nodo &3:u (12 )+u (16 )−4 u (17 )+u (18 )+u (22 )=0 $$$$$$$$$$$$.$..... %&)'

Nodo &4:u (13)+u (17 )−4u (18)+u (19)+u (23 )=0 $$$$$$$$$$$$$...$ %&5'


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Nodo &1:u (14 )+u (18)−4u (19)+u (20 )+u (24)=0 $$$$$$$$$$$$$...$ %&/'

6 continuación se muestra el códi2o de 7atla, para resol+er el sistemade ecuaciones:

%Ejercicio 1 tarea PDE

LX=1; %longitud en el eje XLY=1; %longitud en el eje Yhx=1/4; %tamaño de la discretiaci!n en Xh"=1/4; %tamaño de la discretiaci!n en Y#X=$LX/hx&1; %numero de modos en X#Y=$LY/h"&1; %numero de modos en Y

%'ondiciones de (rontera

% u$)*"=);% u$1*"=1))"; %)+"+1% u$x*)=);% u$x*1=1))x; %)+x+1

%,atri --=.1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 1 ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 0 ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 4 ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 2 ) ) ) ) ) ) 34 1 ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo ) ) ) ) ) ) 1 34 1 ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 5 ) ) ) ) ) ) ) 1 34 ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 11 ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) 34 1 ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 1 ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) 1 34 1 ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) );%nodo 10 ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) 1 34 ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) );%nodo 14 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) );%nodo 12 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) 34 1 ) ) ) ) ) ) );%nodo 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) 1 34 1 ) ) ) ) ) );%nodo 15 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) 1 34 ) ) ) ) ) );%nodo 16 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) ) );%nodo )

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) ) );%nodo 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) ) );%nodo ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ) );%nodo 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 );%nodo 4 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 17;%nodo

%,atri 89=.) ) ) ) ) ) ) ) 31)):h" 1)):h" ) ) ) 31))::h" 1))::h" ) 31)):hx31))::hx 31)):0:h"31)):0:hx 1)):0:h" ) 1)):hx 1))::hx 1)):0:hx1)):4:h"7;


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%resuelh">LY;sur($X*Y*;shading inter?color9ar

"os +alores de u( x ,t ) son los si2uientes:

8 9 (/. /. 3/. &.

&4.3/ )3./ /.(/ 3/. &(./ (/. )3./ /. .(/ &(./ &4.3/ (/.

; la 2ráca resultante es la si2uiente:


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Ejercicio # Utilice el método expl$cito de diferencia nita para aproximar lasolución del problema de valores en la frontera

Use n = % (se&mentos en x) ' m = ! (se&mentos en t)" l aplicar la solución por serie de *ourier a este problema+ podemos sumar los# primeros términos para calcular los valores de u(x+t) en u("#,+-1)+ u(1+",)

' u(1",+"%). los valores /ue se obtienen son u("#,+"1) = "02!+ u(1+",) ="1%,! ' u(1",+"%) = "3#0" 4upon&a /ue estos resultados son precisos paratodos los d$&itos proporcionados" 5ompare tales valores con lasaproximaciones obtenidas" En cada caso+ determine los errores absolutos"

De acuerdo con las ecuaciones & a )0 la ecuación en diferencias para losnodos interiores es la si2uiente:

∂2u

∂ x2=

∂u

∂ t →

1

h2 [u( x+h ,t )−2u ( x , t )+u( x−h , t )]=

1

k [ u ( x ,t +k )−u ( x , t ) ] …(16)

Donde < es el tama-o de la discreti!ación en el espacio y = es el tama-ode la discreti!ación en el tiempo.

Despe>ando u ( x , t +k ) :

u ( x , t +k )= k

h2 [u( x+h ,t )−2u ( x , t )+u( x−h ,t )]+u ( x , t ) … … … … …(17)

Esta,leciendoσ =

k

h2 y simplicando:

u ( x , t +k )=σu ( x+h , t )+ (1−2σ )u ( x ,t )+σu ( x−h , t )… … … … … … … … …...(18)

Ca,e se-alar #ue para este método e?pl@cito es necesario esta,lecer un

criterio de con+er2encia k ≤ 1

2h2


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6,; (or i=>n;

$j*i=sma:$j31*i&1&$13:sma:$j31*i&sma:$j31*i31; endend

%nodos ?ara com?araci!n%$)*)1x1=$)/$L/n&1;t1=$m:)1&1;))1=$t1*x1%error a9solutoError-9soluto=a9s$))13)064/)064%$1*)x=$1/$L/n&1;t=$m:)&1;1)=$t*x%error a9solutoError-9soluto=a9s$1)3)154/)154%$1*)5x0=$1/$L/n&1;t0=$m:)5&1;1)5=$t0*x0%error a9solutoError-9soluto0=a9s$1)53))20/))20


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%gra(ica la (unci!nsur($)>h>L*)>B>@sim*;shading inter?color9ar

"os +alores resultantes de la matri! 8 son los si2uientes:8 9

&. &. &. &. . &. &. . .5 ./( .45 .45 .4 .)( .& .55 .3&( .33 . .5 .& .5 .)3(4 .(44 .4 ./15 .)45 .(&3 .34 .)(& ./51 .()3 ./5)3 .5 .((34 .&(5

.(45 .541) ./& ./&4( .)44 .(5/ .&&& .(/(/ .5)/4 ./&/( .54)/ .)4) .(515 .&(1 .((54 .)15( .534 .5/( .)11 .(/&3 .&()1 .((3 .)/3& .5)5) .5(3/ .)/3& .(531 .&(// .&4)5 .)(( .53 .5(& .)5& .(5( .&(5( .&3( .(141 .)3&/ .)33) .)(( .()54 .&(&1

.&/) .(3/( .)554 .)/5/ .)&& .((( .&&4) .&53 .(/5& .)(1 .))(1 .(15) .(& .&&5& .&(14 .()/5 .(11 .)&( .(343 .(3 .&1/ .&(& .(&4 .(31 .(1) .()/ .&1 .&5 .&&&/ .()5 .(3 .(3/3 .(544 .&4/ .11 .&) .&41/ .(5)4 .(/41 .()53 .&3 .15/

.1/ .&31 .((4& .(5)( .((&& .&3 .41 .1& .&/( .(&) .((4) .(4) .&/33 .453 .45& .&/5/ .(( .(&55 .&1& .&543 .4 .34 .&55 .&43 .(&5 .&45/ .&5( .3//


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.3) .&)/5 .&3/1 .&41& .&3)/ .&)( .3&( .41 .&(1 .&/ .&33 .&)( .&(5) .3 .5/ .&&41 .&/54 .&4 .&/)5 .&&1 .)&

./ .&&&/ .&5/( .&/ .&55( .&& ./15 ./3 .&5 .&)) .&53& .&)// .&)5 .//1 ./)( .14& .&(31 .&)4& .&(3) .13( ./(/ .511 .1(& .&(& .&(13 .&&1 .1&5 .515 .54 .45 .&&(3 .&(&4 .&&(5 .4/1 .55 .5)1 .4&& .&/4 .&&55 .&/ .43 .5)

.5&( .3& .115 .&35 .11( .3/4 .5& .)43 .3&/ .1)) .&1 .1)& .3&( .)4/ .)) .3& .43 .154 .43/ .1 .)( .)5& .) .4() .41 .4(( .(4 .)5 .)( ./1& .33( .4) .33( ./1 .)&1 .)& ./// .3(/ .34/ .3(/ .//5 .)

.(4( ./(& .4& .3)3 .4& ./(& .(4( .(/ .51 .5 .1( .)1 .541 .(/ .(51 .5 .& ./ . .5/1 .(51 .()5 .5)( ./5 .& ./5 .5)& .())

; la 2ráca resultante es:


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6plicando la interpolación de colores de 7atla,:


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Finalmente los errores a,solutos de los +alores calculados son lossi2uientes:

u%"(/+"&' 9 .)3(4 Error a,soluto 9 .&35u%&+./' 9 .(&55 Error a,soluto 9 .&/u%&./+.4' 9 .3&( Error a,soluto 9 .&5))Ejercicio 0 6esuelva el ejercicio # mediante el método de 5ran789icholson con

n=% ' m=!" Utilice los valores de u("#,+"1) = "02!+ u(1+",) = "1%,! '

u(1",+"%) = "3#0 para calcular los errores absolutos"

Para este método de tipo impl@cito se o,tiene la ecuación en diferencias:

∂2u

∂ x2=

∂u

∂ t →

1

h2 [u( x+h ,t )−2u ( x , t )+u( x−h , t )]=

1

k [ u ( x ,t +k )−u ( x , t ) ] …(16)

Ejercicio ! 6epita el ejercicio # con n = % ' m = #+ utilice el método expl$cito

de diferencia nita" Utilice los valores de u(-#,.-1) = -02!+ u(1.-,) =-1%,! ' u(1-,.-%) = -3#0 para calcular los errores absolutos" :;or /ué sontan imprecisas las aproximaciones en este caso<

*eali!ando el cam,io de +alores de m9( y n94 se o,tienen lossi2uientes +alores de la matri! u:8 9


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&.eA/ B

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .& .. . . .& .& .& .&.

. .& .& .( .( .(.& .& .( .) .5 .5 .).( .( .5 . .3 .4 ..5 .5 .4 .&( .&/ .& .&).3 .1 .&4 .( .)& .)( .(.&/ .&1 .)4 .// ./ ./ ./)

.) .5( .4( .&& .&)/ .&)5 .&4.& .1& .&3 .(55 .(4& .(3/ .((&.&() .&1/ .)3) ./&( ./45 ./3 .5/&.(/ .5& .341 .&3( .&(&) .&&4 .1(5./&& .44& .&5 .((5/ .(/( .(5&& .&414.&5

.&4 .)511 .515 ./()3 .514& .)15.(&5 .)1& .3)5) .14/ &.44( &.)& .455.55&& .4((5 &./)4) (.5) (.(&5 (.&)(& &./1.14(

; el 2ráco resultante es el si2uiente:


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Puede o,ser+arse #ue el método no lle2ó a la con+er2encia0 esto de,ido

a #ue el criterio de esta,ilidad k ≤1

2h2

no se cumple0 puesto #ue:

k ≤

1

2 h

2

→ k ≤0.0312

; comok =

Tiempode simulación

m =

1

20=0.05→ k >

1

2h2

Por lo tanto la solución no con+er2e y los errores a,solutos aumentancomo se muestra a continuación:u%"(/+"&' 9 .4 Error a,soluto 9 .31()u%&+./' 9 &/(.&&/( Error a,soluto 9 4&1.53(u%&./+.4' 9 1.(55)eA) Error a,soluto 9 &.54)4eA/

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