tarea1 modelo
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tres gradosTRANSCRIPT
Centro de Investigación de Estudios Avanzados
del Instituto Politécnico Nacional
Departamento de Ingeniería Eléctrica.
Sección Mecatrónica.
Modelado de sistemas dinámicos.
Dr. Alejandro Rodríguez Ángeles.
Tarea 1: Sistema mecánico con tres grados de libertad.
Posgrado de Maestría en Mecatrónica.
Generación 2015-2017.
Ing. Leonardo Rodríguez Carbajal.
28 de septiembre de 2015
MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS
1
INTRODUCCIÓN
Dado un sistema físico dinámico, en este caso un sistema mecánico, se puede hacer una
predicción del funcionamiento del sistema empleando leyes físicas, obteniendo el modelo
matemático que caracteriza la dinámica del sistema.
Uno de los métodos más empleados debido a su versatilidad son las ecuaciones de
movimiento de Lagrage, para poder obtener dichas ecuaciones es necesario conocer las
energías potenciales y cinéticas del sistema, así como las coordenadas generalizadas. El
número de coordenadas generalizadas es igual número de grados de libertad.
Teniendo el conocimiento de las energías y coordenadas se puede obtener el lagrangiano
que esta da por la siguiente ecuación.
𝐿 = 𝑇 − 𝑈
Donde 𝑇 es la energía cinética y 𝑃es la energía potencial.
Una vez que se obtiene el lagrangiano se puede obtener las ecuaciones de movimiento de
Lagrage para sistemas conservativos.
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞1̇−
𝜕𝐿
𝜕𝑞1= 0
El número de ecuaciones de movimiento de Lagrage es igual al número de coordenadas
generalizadas o el número de velocidades generalizadas.
En este caso de estudio, se supone un sistema conservativo, esto quiere decir que el sistema
no disipa energía, por lo que solo se presentan energías cinéticas y potenciales del sistema,
así como las energías externas que afectan al sistema dejándolas en el miembro izquierdo
de la ecuación.
Una vez obtenido el modelo matemático de la dinámica del sistema se puede realizar su
simulación en una computadora para probar el comportamiento del sistema resultante.
MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS
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DESARROLLO
Considere el sistema de la figura. Determine las ecuaciones que modelan la dinámica del
sistema y simule el sistema para los valores dados.
Coordenadas generalizadas del sistema x1, x2, ϴ;
Ecuación del Lagrangiano.
𝑳 = 𝑻 − 𝑼
Donde:
𝑻= Energía cinética, 𝑷= Energía potencial.
Del diagrama esquemático del sistema y considerando que se trata de un sistema
conservativo, se concluye lo siguiente:
𝑳 = 𝑻𝒎𝟏 + 𝑻𝒎𝟐 + 𝑼𝒎𝟏 + 𝑼𝒎𝟐 + 𝑼𝒌𝟏 + 𝑼𝒌𝟐
Donde:
𝑻𝒎𝟏 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 1.
𝑻𝒎𝟐 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝é𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜.
𝑼𝒎𝟏 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 1.
𝑼𝒎𝟐 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝é𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜.
𝑼𝒌𝟏 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 1.
𝑼𝒌𝟐 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 2.
MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS
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Ecuaciones de energías cinéticas y potenciales en el sistema.
𝑻𝒎𝟏 =𝟏
𝟐𝒎𝟏𝒙�̇�
𝟐;
𝑻𝒎𝟐 =𝟏
𝟐𝒎𝟐[𝒙�̇�
𝟐 + 𝒙�̇�𝟐 + 𝒙𝟐
𝟐�̇�𝟐 + 𝟐𝒙�̇�𝒙�̇� 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝟐𝒙𝟐𝒙�̇��̇� 𝐜𝐨𝐬 𝜽];
𝑼𝒎𝟏 = 𝟎;
𝑼𝒎𝟐 = −𝒈𝒎𝟐𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽;
𝑼𝒌𝟏 =𝟏
𝟐𝒌𝟏(𝒙𝟏 − 𝒍𝟏)𝟐
𝑼𝒌𝟐 =𝟏
𝟐𝒌𝟐(𝒙𝟐 − 𝒍𝟐)𝟐
Lagangriano obtenido:
𝑳 =𝟏
𝟐𝒎𝟏𝒙�̇�
𝟐 +𝟏
𝟐𝒎𝟐𝒙�̇�
𝟐 +𝟏
𝟐𝒎𝟐𝒙�̇�
𝟐 +𝟏
𝟐𝒎𝟐𝒙𝟐
𝟐�̇�𝟐 + 𝒎𝟐 𝒙�̇�𝒙�̇�𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝒎𝟐𝒙�̇��̇�𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽
+ 𝒈𝒎𝟐𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 −𝟏
𝟐𝒌𝟏(𝒙𝟏 − 𝒍𝟏)𝟐 −
𝟏
𝟐𝒌𝟐(𝒙𝟐 − 𝒍𝟐)𝟐
Obteniendo las tres ecuaciones de movimiento que describen el sistema.
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑳
𝝏𝒙�̇�−
𝝏𝑳
𝝏𝒙𝟏= (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐)𝒙�̈� + 𝒎𝟐 𝒙�̈�𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝟐𝒎𝟐𝒙�̇��̇� 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒎𝟐𝒙𝟐�̈� 𝐜𝐨𝐬 𝜽
− 𝒎𝟐𝒙𝟐𝜽�̇� 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝒌𝟏(𝒙𝟏 − 𝒍𝟏) = 𝑭
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑳
𝝏𝒙�̇�−
𝝏𝑳
𝝏𝒙𝟐= 𝒎𝟐𝒙�̈� + 𝒎𝟐𝒙�̈� 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝒎𝟐𝒙𝟐�̇�𝟐 − 𝒎𝟐𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒌𝟐(𝒙𝟐 − 𝒍𝟐) = 𝟎
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑳
𝝏�̇�−
𝝏𝑳
𝝏𝜽= 𝒎𝟐𝒙𝟐
𝟐�̈� + 𝒎𝟐𝒙�̈�𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟐𝒎𝟐𝒙𝟐𝒙�̇��̇� + 𝒎𝟐𝒈𝒙𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = −𝝉
MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS
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SIMULACIÓN
En la figura 1 se muestra en diagrama desarrollado en simulink el cual es desarrollado en
base a las tres ecuaciones de movimiento del sistema estudiado.
Figura 1. Diagrama a bloques.
En la figura 2 se muestra la dinámica de la coordenada generalizada x1 del sistema.
Figura 2. Grafica dinámica de X1.
MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS
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La posición de x1 comienza en 1 desde el tiempo=0 debido a la longitud inicial del resorte 1
y posteriormente oscila.
En la figura 3 se muestra la dinámica de la coordenada generalizada x2 del sistema.
Figura 3. Grafica dinámica de X2.
La posición de x2 comienza en 1 desde el tiempo=0 debido a la longitud inicial del resorte 2
y posteriormente oscila. En la figura 3 se muestra la dinámica de la coordenada generalizada
ϴ(teta)que es la posición del péndulo, en base al ángulo formado entre este y el marco de
referencia tomado en cuenta.
Figura 3. Grafica dinámica de ϴ(teta).
MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS
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En la figura 4 se observan las dinámicas de las tres coordenadas generalizadas.
Figura 4. Grafica Dinámica de las coordenadas generalizadas.
CONCLUSIÓN
Se obtuvo el modelo matemático de un sistema mecánico con tres grados de libertad usando las
ecuaciones de movimiento de Lagrage para sistemas conservativos. Partiendo del modelo
matemático del sistema, se desarrolló la simulación y se observó de una forma virtual el
comportamiento del sistema en base a las condiciones que el problema planteaba.
MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS
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ANEXO.- GRAFICAS DE SIMULACIÓN
.
Grafica dinámica de X1.
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8
. Grafica dinámica de X2.
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Grafica dinámica de ϴ(teta).
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Grafica Dinámica de las coordenadas generalizadas