3.1 Integración mediante sustituciones trigonométricas.

 

 

Las expresiones irracionales de la suma o diferencia de una cantidad variable y una constante se pueden transformar para su integración en otra expresión mediante funciones trigonométricas de una nueva variable.  Esta nueva variable que usaremos será “z” y en función de ella se harán los cambios necesarios teniendo en cuenta las relaciones pitagóricas que se pueden establecer en las expresiones:

 De la siguiente manera:

 

Problemas Propuest

3.2 Integración por partes.

Cuando se desea integrar el producto de dos funciones, siendo estas funciones diferenciales de la misma variable, es necesario recurrir a la integración por partes cuando a dicho producto no se le puede integrar de otra manera, así tenemos entonces que si:

 

    ; luego

, y entonces:

 

que se llama fórmula de integración por partes.

Para aplicar la fórmula, debe descomponerse el integrando en dos factores que son:   y   Debe aclararse que no hay una regla fija para determinar cuál de los dos factores es   y cual   , por lo que solamente cabe hacer las siguientes indicaciones:

1.- El factor  debe ser fácilmente integrable.

2.-   debe ser más sencillo que  

Problemas propuestos:

Segundo caso

En algunas funciones, al integrar por partes, el integrando de    es otra vez un producto de dos funciones, de manera que nuevamente se integrará por partes esta última expresión:

Problemas propuestos:

Tercer caso

Una de las aplicaciones más importantes de la integración por partes es el cálculo de la integral de algunas expresiones que no tienen fórmula de integración inmediata, 

especialmente aquellas que se refieren a las funciones trigonométricas inversas. Para integrar este tipo de funciones se siguen los mismos pasos que en los casos anteriores.

Una de las aplicaciones más importantes de la integración por partes es el cálculo de la integral de algunas expresiones que no tienen fórmula de integración inmediata, especialmente aquellas que se refieren a las funciones trigonométricas inversas. Para integrar este tipo de funciones se siguen los mismos pasos que en los casos anteriores.

Problemas propuestos:

3.3 Integración por sustituciones algebraicas.

Algunas integrales que no son inmediatas pueden resolverse fácilmente si se hacen algunas sustituciones algebraicas convenientes.

Problemas propuestos

3.4 Integración por fracciones parciales con denominadores lineales.

Si   y   son polinomios, entonces a la expresión  se le denomina fracción racional.

Si el grado de    es menor que el grado de   entonces a la fracción se le llama propia. Es impropia Cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado que el denominador.

Algunos ejemplos de fracciones propias:

              ;           

Algunos ejemplos de fracciones impropias:

              ;           

 

Toda fracción propia puede escribirse como la suma de fracciones elementales de la forma

                      

Problemas propuestos

Cuando se tienen n factores lineales iguales del denominador, les corresponde una suma de fracciones de la siguiente forma:

Problemas propuestos:

3.5 Integración por fracciones parciales con denominadores cuadráticos.

Cuando los denominadores de las fracciones parciales son factores cuadráticos,  los numeradores  deberán de tener la forma    , siendo     y    constantes a determinar.

Problemas propuestos: