ESCUELA:

PONENTE:

BIMESTRE:

CÁLCULO II

CICLO:

CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

I BIMESTRE

Ing. Pablo Ramón

ABRIL – AGOSTO 2007

OBJETIVO GENERAL

Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el Cálculo Integral, las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y las Series Infinitas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Caracterizar las primitivas de una fucnión• Resolver EDOs básicas• Conocer e Interpretar geométricamente la integral definida• Aplicar la regla de sustitución para resolver integrales

compuestas• Aproximar integrales mediante métodos numéricos• Caracterizar las principales funciones trascendentes: log.,

exp. y trigonométricas

…

• Realizar integración de funciones trascendentes• Aplicar las integrales en el cálculo de áreas entre dos

curvas• Calcular volúmenes de sólidos de revolución• Utilizar las integrales para el cálculo de áreas de

superficies y longitudes de curvas• Relacionar conocimientos entre el Cálculo y la Física

METODOLOGÍA

-Lectura de los temas desarrollados en la guía didáctica y en el texto básico.-EVA (www.utpl.edu.ec/ )

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CONTENIDOS

1. ANTIDERIVADAS E INTEGRALES INDEFINIDAS1.1 Primitivas 1.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias1.3 Áreas mediante sumas

2. INTEGRAL DEFINIDA2.1 Teorema fundamental del Cálculo2.2 Integración Numérica

3. FUNCIONES TRASCENDENTES3.1 Características3.2 Derivación e integración

4. APLICACIONES4.1 Área entre dos funciones4.2 Volúmenes de sólidos de revolución4.3 Longitud de una curva4.4 Trabajo, momentos y centro de masa4.5 Presión y Fuerza

Cap. 1ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA

Resolver el problema:Determinar una función a partir de su razón de cambio conocida.F es antiderivada de f si: F’(x) = f(x)

ANTIDERIVADA = PRIMITIVA

∫ = )x(Fdx)x(f

C)x(Fdx)x(f +=∫

Si F es primitiva de f, entonces G también es primitiva si y sólo sí tiene la forma:G(x) = F(x) + C FAMILIA DE PRIMITIVAS

C > 0C > 0

C < 0C < 0

INTEGRAL INDEFINIDA

Integración: Operación inversa a la derivación

∫ dx)x(fSigno de integral

Signo de integral

IntegrandoIntegrando

Variable de integración

Variable de integración

∫ += C)x(Fdx)x('F [ ] )x(fC)x(Fdx

d=+

Proceso de Integración

Integral Original

Reescribir

Integrar

Simplificar

C2/3

x

dxx

dxx

2/3

2/1

+

=

=

∫∫

Cx3

2 2/3 +

Ecuaciones Diferenciales

)x(fdx

dy=

dx)x(fdy =

∫ +== C)x(Fdx)x(fy

Infinitas soluciones(infinitas Primitivas)Infinitas soluciones(infinitas Primitivas)

Ecuación diferencial ordinaria(primer orden)

Ecuación diferencial ordinaria(primer orden)

Separación de variablesSeparación de variables

2xCey:Ejm =

Problema de Valor Inicial

Gráficamente:Gráficamente:

Método de solución: Variables Separables

EDO admite separación de variables si tiene la forma:

Dividiendo por h(y): Dividiendo por h(y): p(y)=1/h(y)p(y)=1/h(y)

Ejemplo 1

€

Re solver :dy

dx= −x

y,y(4) = 3

Ecuación de la forma:Ecuación de la forma:

Ejemplo 2xy'y)4x(:solverRe 2 =+

Solución generalSolución general

Modelamiento con EDEjemplo 1: Crecimiento

poblacional

Modelo de MalthusModelo de Malthus

Modelamiento con EDEjemplo 2: Ley de Newton

Modelamiento con EDEjemplo 3: Vaciado de un

estanque

Modelamiento con EDEjemplo 4: Caída Libre

REGLA DE SUSTITUCIÓN

Permite resolver integrales de la forma:

Ejemplos:

∫ += c))x(g(Fdx)x('g))x(g(f

MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSolución Ejemplo 1

MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSolución Ejemplo 2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSolución Ejemplo 3

MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSolución Ejemplo 4

Cap. 2 INTEGRAL DEFINIDA (Limitada)

NOCIÓN INTUITIVA E HISTÓRICA

AREA REGIÓN R AREA REGIÓN R’

INTEGRACIÓN ∫

00

AREA BAJO LA CURVAAREA BAJO LA CURVA AREA BAJO LA CURVAAREA BAJO LA CURVA 1x)x(f 2 +=

Suma del área de los rectángulos = Área total + Error Suma del área de los rectángulos = Área total + Error

EJEMPLO

DEFINICIÓN DE INTEGRAL

∫=→

b

a

0dx dx)x(f)x(flim dx base de cada rectángulo

dx base de cada rectángulo

OBSERVACIONES:

•Si f es positiva, el área es positiva•Si f es negativa, el área es negativa

A1A1

A2A2

A3A3

AREA TOTAL= A1 – A2 + A3 AREA TOTAL= A1 – A2 + A3

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

)a(F)b(Fdx)x(fb

a

−=∫F es primitiva de fF es primitiva de f

Propiedades (2) y (3) Transf. LinealF es primitiva (integral) de f, si: F’(x) = f(x)

PROPIEDADES

∫ ∫−=b

a

a

b

dx)x(fdx)x(f

[ ] ∫ ∫∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

∫ ∫ ∈=b

a

b

a

RK.,.........dx)x(fKdx)x(Kf

∫ ∫ ∫ ∈+=b

a

c

a

b

c

]b,a[c.,.........dx)x(fdx)x(fdx)x(f

1

2

3

4

1

2

3

4

Ejemplo 1: Hallar el área bajo la curva

en el intervalo [0, 2].

1x)x(f 2 +=

Aplicando el Teo. Fundamental del cálculo:

3

1402

3

2

x3

xdxdxxdx)1x(

3

2

0

2

0

2

0

2

0

322

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=+=+∫ ∫ ∫

INTEGRACIÓN NUMÉRICAAproxima el valor de una integral definida (área limitada)

-Regla del Trapecio-Regla de Simpson

REGLA DEL TRAPECIO

Ecuación de la rectaEcuación de la recta

REGLA DEL TRAPECIO MÚLTIPLE

REGLA DE SIMPSON

REGLA DE SIMPSON (1/3): # par de intervalos

REGLA DE SIMPSON 3/8: 3 intervalos, es complemento de la regla 1/3

Utiliza un polinomio de

3er grado

Utiliza un polinomio de

3er grado

OBSERVACIONES:

•Son métodos de aproximación•El error es inversamente proporcional al número de subintervalos•El método de simpson da una solución más aproximada•Permiten elaboración de un algoritmo y codificar un programa

CAP. 3: FUNCIONES TRASCENDENTES

Aquellas que no pueden expresarse en forma polinomial. Son:•Logarítmicas

•Exponenciales

•Trigonométricas

•Hiperbólicas

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

5

10

xy cosh=

Exponenciales Vs Logarítmicas

Exponencial de base aExponencial de base a

Trigonométricas Inversas

122 =+ yx)1sincos( 22 =+ xx 1sinhcosh 22 =− xx

122 =−yx

)sin,(cos xx )sinh,(cosh xx

Trigonométricas Integrales con (1-x2)1/2

Hiperbólicas Integrales con (1+x2)1/2.

Trigonométricas Vs Hiperbólicas

Hiperbólicas

Integrales TrascendentesEjemplo 1

Integrales TrascendentesEjemplo 2

Integrales TrascendentesEjemplo 3

CAP. 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Cálculo de:

•Áreas•Volúmenes de revolución•Longitud de arco•Superficies de revolución•Aplicaciones físicas (Trabajo, presión, etc.)

Cálculo de ÁreasEjemplo 1

Graficar la región encerrada por las curvas y hallar el área respectiva.

Puntos de corte:Puntos de corte:

Cálculo de ÁreasEjemplo 2

Graficar la región encerrada por las curvas y hallar el área respectiva.

Puntos de corte:Puntos de corte:

Puntos Intersección

Puntos Intersección

Volumen de RevoluciónEjemplo

Se obtiene al hacer girar una región limitada alrededor de un eje.

1x)x(f 2 +=

La región R en el plano xy puede ser aproximada con rectángulos

dxrdisco_Volumen 2π=

)x(fr = ∫π=2

0

2 dx)x(fV

Volumen de Revolución.- Eje X

Volumen de Revolución.- Eje Y

dyrdisco_Volumen 2π=

∫π=5

1

2 dy)y(fV