calculo ii integrales

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ESCUEL A: PONENTE: CÁLCULO II APLICACIONES DE LAS INTEGRALES CICLO: Ing. María del Carmen Cabrera L. Octubre 2009 – Febrero 2010 1 CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN I Bimestre BIMESTRE

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Aplicacio de las Integrales Ponente: Ing. María del Carmen Cabrera

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Page 1: Calculo II Integrales

ESCUELA:

PONENTE:

CÁLCULO II APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

CICLO:

Ing. María del Carmen Cabrera L.

Octubre 2009 – Febrero 2010

1

CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

I BimestreBIMESTRE

Page 2: Calculo II Integrales

Área de una función y el eje de abscisas

La función es positivaSi la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: Se calculan los puntos de corte con el eje 0X, haciendo

f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. El área es igual a la integral definida de la función

que tiene como límites de integración los puntos de corte.

b

a

dxxfA )(

Page 3: Calculo II Integrales

Ejercicio

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

puntos de corte con los ejes

0 = 4x – x2 x=0 x=4

Page 4: Calculo II Integrales

Ejercicio (2)

3

)4()4(2

3

)0()0(2

32

32

3

32

4

0

2 )4( dxxxA4

0

32

32

xx

tom

ado

de

: in

eto

r

Page 5: Calculo II Integrales

G

g

Área de una función y el eje de abscisas (2)

La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

b

a

dxxfA )( b

a

dxxfA )(

Page 6: Calculo II Integrales

Ejercicio

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

0 = x2 - 4x

x=0

x=4

tom

ado

de

: in

eto

r

Page 7: Calculo II Integrales

Ejercicio (2)

2

32

3

)4(23

)4()0(2

3

)0(

3

32

4

0

2 )4( dxxxA4

0

23

23

x

x

3

32A

Page 8: Calculo II Integrales

Área de una función y el eje de abscisas

La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1. Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2. Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3. El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Page 9: Calculo II Integrales

Ejercicio

1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

puntos de corte con los ejes

x3 − 6x2 + 8x =0 x(x2 - 6x + 8) = 0

x=0 x=2 x=4

Page 10: Calculo II Integrales

Ejercicio (2)

4

2

232

0

23 )86()86( dxxxxdxxxxA

2

0

234

2

0

23 424

2)86(2

xx

xdxxxxA

el área por razones de simetría se puede escribir así:

8A

tom

ado

de

: in

eto

r

Page 11: Calculo II Integrales

Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

b

adxxfxgA )()(

Page 12: Calculo II Integrales

Ejercicio

1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

x1=1 x2=6

xy

xxy

2

652

Page 13: Calculo II Integrales

Ejercicio (2)

1

6

2 )652( dxxxxA

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

6

1

2 )67( dxxx

6

1

23

62

7

3

x

xx

6

896

2

7

3

136

2

67

3

6 23

tom

ado

de

: in

eto

r

Page 14: Calculo II Integrales

Volumen de una función

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

b

adxxfV 2)(

Page 15: Calculo II Integrales

Ejercicio

1. Calcular el volumen de la esfera de radio r.

Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.to

mad

o d

e:

inet

or

Page 16: Calculo II Integrales

Ejercicio (2)

r

r

r

r

dxxrdxxrV 2222

Resolviendo en base a la fórmula:

333

2

3

4

3

2

3

2

3

3r

rrxxr

r

r

Page 17: Calculo II Integrales

GRACIAS

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Contactos:E-mail: [email protected]

skype: ma.krmitaTeléfono: 072570275 ext. 2222

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