Clculo II (Matemticas para Ingeniera II)Santiago Relos P.Universidad Mayor de San Simon26 de julio de 20062ndice General1 Vectores 71.1 Puntos en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Igualdad de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Suma y multiplicacin por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Representacin geomtrica de los vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Puntos y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5 Representacin geomtrica de la suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Representacin geomtrica del producto de un nmero por un vector . . . . . . . . . . . 141.2.7 Representacin geomtrica de la diferencia de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Norma euclidiana de un vector (longitud) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Condicin necesaria y suciente de perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 El producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.1 Propiedades del producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Proyeccin Ortogonal. Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7.1 Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.2 La denicin de proyeccin ortogonal y componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9 Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.10 La recta en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10.1Paralelismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10.2Perpendicularidad (ortogonalidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.10.3Distancia de un punto exterior a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.10.4Interseccin de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.10.5Ecuacin paramtrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.11 El producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11.1El triple producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.12 La ecuacin del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.12.1La denicin del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.12.2La ecuacin vectorial del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.12.3Interseccin de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.12.4Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.12.5Angulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.12.6Proyeccin de una recta sobre un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4934 NDICE GENERAL2 Supercies 532.1 Supercies cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.1 Problema directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.2 Problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2 Supercies cudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.1 Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.2 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.3 Hiperbolide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.4 Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.5 Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.6 Paraboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.7 Paraboloide hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 Funciones vectoriales de una variable real 653.1 Representacin grca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2 Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.1 Suma, resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2 Producto interior y producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.3 Producto por una funcin real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.4 La funcin compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3 Lmite de una funcin vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5 La derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5.1 Teoremas sobre la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5.2 La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.6 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.7 Longitud de arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.8 Recta tangente y plano normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 Funciones reales de una variable vectorial 794.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 El grco de una funcin a varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Composicin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5 Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5.1 La denicin de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5.2 Teoremas sobre lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7 Lmites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.8 Derivada, derivada direccional y derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.8.1 La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.8.2 Teoremas sobre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.8.3 La derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.8.4 La derivada parcial y gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.8.5 La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.9 Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.9.1 El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.9.2 La regla de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.9.3 Mxima variacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97NDICE GENERAL 55 Funciones vectoriales de un vector 1015.1 La derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.1 Clculo de la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.2 La segunda derivada de una funcin de Rnen R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2 La segunda diferencial de f : Df RnR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3 Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4 La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4.1 Una aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066 Mximos y Mnimos 1116.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Condicin necesaria de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Condicin suciente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4 El caso particular de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.5 Extremos locales condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5.1 Condicin necesaria de extremo condicionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5.2 Condicin suciente de extremo condicionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237 Coordenadas polares cilindricas y esfricas 1357.1 Coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.1.1 Relacin entre las coordenadas rectangulares y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.1.2 Grcas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.1.3 La Matriz jacobiana de la transformacin a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 1397.2 Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.3 Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.3.1 La Matriz jacobiana de la transformacin a coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . 1418 Integral mltiple 1438.1 La integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.1.1 Regiones acotadas en R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.1.2 Particin de una regin acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.1.3 La denicin de una integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.1.4 Clculo de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.1.5 Cambio en el orden de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.1.6 Clculo de volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.2 Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.3 Cambio a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659 Apndice 1 (Matrices denida positivas) 1679.1 Formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.2 Matrices denida positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.2.1 Algunos teoremas sobre matrices denida positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.2.2 Caracterizacin de una matriz denida positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.3 Matrices semidenidas y denida negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010 Apndice 2 (La signatura de una matriz simtrica) 17310.1 La denicin de signatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.2 Criterios para determinar la signatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.2.1Uso de las operaciones elementales de la y columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.2.2Uso exclusivo de la tercera operacin elemental de la. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17410.2.3El criterio de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756 NDICE GENERALCaptulo 1VectoresEl primer nivel de fe es aceptar larealidad, luego cambiarla.(Rafael Puente)1.1 Puntos en RnComo se sabe, un nmero, se representa en una recta que tiene una direccin y en la cual se ha elegido unaunidad de medida. Por ejemplo si x es un nmero real positivo, la representacin es como sigue: g0xTambin para representar un punto en el plano RR (o R2), se utiliza el clsico sistema de coordenadascartesianas. Si (x1, x2) es un punto de R2su representacin geomtrica se realiza siguiendo los siguientespasos.1. A partir del origen O se avanza paralelamente al eje x, la magnitud [x1[ en direccin positiva o negativadependiendo si x1 es positivo o negativo. As se encuentra P1.2. A partir del punto P1 se avanza paralelamente al eje y, la magnitud [x2[ en direccin positiva o negativadependiendo si x2 es positivo o negativo. As se encuentra P2.3. El punto P2 encontrado es la representacin geomtrica de (x1, x2) .En el siguiente grco se asume que x1, x2 son positivos78 CAPTULO 1. VECTORES`xy0=(0,0)P2=(x1,x2)x1x2gg gP1es claro que el anterior algoritmo se puede generalizar fcilmente para gracar puntos de R3.Un punto (x, y, z) en R3tiene la siguiente representacin geomtrica`

xyzg(x,y,z)xyz

(x,y,0)Denicin 1.1 Un punto X en el espacio euclidiano Rnes una n upla (x1, . . . , xn) de nmeros reales. Elnmero xi se llama i esima coordenada de X.Denicin 1.2 Dos puntos X = (x1, . . . , xn) y Y = (y1, . . . , yn) se dicen iguales sixi = yi, i = 1, . . . , nDenicin 1.3 En Rnse denen las siguientes operaciones:1. Suma. Si X = (x1, . . . , xn) y Y = (y1, . . . , yn) son puntos en Rn, la suma de X y Y, escrito X +Y esX +Y = (x1 +y1, . . . , xn +yn) .1.2. VECTORES 92. Producto por un nmero. Si X = (x1, . . . , xn) es un punto de Rny c R el producto del nmeroc y el punto X, escrito cX, es:cX = (cx1, . . . , cxn) .Es inmediato probar el siguiente teorema.Teorema 1.4 Para todos los puntos A, B Rny c, d R se verica:1. A+B = B +A2. (A+B) +C = A+ (B +C)3. c (A+B) = cA+cB4. (c +d) A = cA+dA5. (cd) A = c (dA)6. Si O = (0, . . . , 0), el punto con todas sus componentes nulas, entonces O +A = A para todo punto A.7. 1A = A. Si denotamos A por (1) A se tiene:A+ (A) = OEscribiremos, como es usual, AB en lugar de A+ (B) .Ejercicios propuestos1. Gracar P = (2, 3, 5) , Q = (2. 4. 6)2. Hallar los vrtices de un paraleleppedo cuyos vrtices opuestos diagonalmente sean(a) O = (0, 0, 0) y P = (2, 3, 4)(b) P = (2, 2, 3) y Q = (3, 5, 1) . Sol. (3, 5, 1) , (3, 2, 1) , (2, 2, 1) , (2, 5, 1) , (3, 5, 3) , (3, 2, 3) , (2, 2, 3) , (2, 5, 3(c) Generalizar el anterior problema.3. (a) Gracar, t (1, 2, 3) para t 0, 1, 2, 3, 4, 5(b) Si t varia continuamente en R, qu lugar geomtrico forman los puntos t (1, 2, 3)?4. Demostrar el teorema 1.4.1.2 VectoresSe dene el espacio vectorial Vn como el conjunto de n uplas de nmeros reales(x1, . . . , xn) .los elementos de Vn se llaman vectores.Para denotar un vector usaremos letras minsculas con una echa.As un vector representado con la letra x se denota por x. Un vector x Vn se escribir usualmente como:x = (x1, . . . , xn) ,los nmeros x1, . . . , xn se llaman coordenadas del vector x.10 CAPTULO 1. VECTORES1.2.1 Igualdad de vectoresDenicin 1.5 Dos vectores a = (a1, . . . , an) y b = (b1, . . . , bn) en Vn son iguales si ai = bi para todo i.Ejemplo 1.1 Los vectores a = (1, 0, 2) y b = (1, 0, 2) son iguales, pero a = (1, 2, 3) y b = (1, 3, 2) no lo sonPorque?.Ejercicios resueltosEjercicio 1.1 Calcular el valor de k y s de modo que los siguientes vectores sean igualesx = (k s + 1, 7, 1) , y = (2, 7, 3k + 2s) .Solucin. Si los vectores dados van a ser iguales debemos tener:k s + 1 = 27 = 71 = 3k + 2sesto origina el sistema de ecuaciones:_ 113 2__ ks_=_ 11_Cuya solucin es: _3/52/5_, as, los valores de k y s que hacen x = y son k = 35 y s = 25.Ejercicio 1.2 Calcular el valor de k y s de modo que los siguientes vectores sean igualesx = (k s + 1, k 2s, s k + 1) , y = (2, 7, 3k + 2s) .Solucin. Se debe tener:k s + 1 = 2k 2s = 7s k + 1 = 3k + 2sde donde se obtiene el sistema:k s + 1 = 2k 2s = 74k s = 1resolviendo las dos primeras ecuaciones se encuentra s = 6, k = 5, reemplazando estos valores en la terceraecuacin se encuentra: 4 (5) (6) = 1, es decir, 26 = 1, lo cual es evidentemente contradictorio, estacontradiccin muestra que el sistema no tiene solucin, es decir, los vectores x, y son distintos para todos losvalores de k y s.Ejercicios propuestos1. Encontrar, si existen, nmeros a tales que (1, 2, 3) =_a21, 2, a2+ 2_. Sol.: No existen2. Encontrar, si existen, nmeros a tales que (1, 2, 4) =_a21, 2, a2+ 2_. Sol.: 23. Encontrar nmeros a, b tales que (10, 5, a) = (a +b, a 2b, a) . Sol.: a = b = 54. Sean a,

b, c Vn, Probar que si a =

b y

b =c, entonces a =c.1.2. VECTORES 111.2.2 Suma y multiplicacin por un escalarSi a = (a1, . . . , an) y b = (b1, . . . , bn) son vectores en Rny c R las operaciones suma y multiplicacin porun escalar se denen respectivamente como:a +

b = (a1 +b1, . . . , an +bn)ca = (ca1, . . . , can) ,es claro que a +

b y ca son vectores en Rn.Tambin es inmediato vericar que con estas operaciones Vn es un espacio vectorial. El vector nulo es:

0 = (0, . . . , 0) .Ejercicios propuestos1. Probar que Vn es un espacio vectorial con las operaciones denidas en esta seccin.2. Sea a,

b, x Vn. Probar que si a +x =

b +x entonces a =

b.3. Sean a = (1, 2, 4, 0) , b = (2, 1, 5, 8) . Hallar vectores c y d tales que:a +c = d

b + 2

d =cSol.: c = 2a

b = (0, 3, 13, 8) ;

d = a

b = (1, 1, 9, 8)1.2.3 Representacin geomtrica de los vectoresSea x = (x1, x2) V2. Su representacin geomtrica se realiza en R2del siguiente modo.1. Se elige un punto arbitrario P0 R2.2. A partir de P0 se avanza paralelamente al eje X la magnitud [x1[ , en direccin positiva o negativadependiendo si x1 es positivo o negativo, as localizamos el punto P1.3. A partir de P1 se mueve paralelamente al eje Yla magnitud [x2[ , en direccin positiva o negativadependiendo si x2 es positivo o negativo, as localizamos el punto P2.4. La echa trazada desde P0 hasta P2 es la representacin geomtrica del vector x.`xy>>>>>>>>>>>>P2P0P1xEl punto P0 se llama punto inicial y el punto P2 se llama punto nal.12 CAPTULO 1. VECTORESEjemplo 1.2 Representar los vectores x = (2, 3) y y = (3, 1) .Solucin. Para representar ambos vectores, elijamos el punto P = (0, 3), entonces la representacingeomtrica de los vectores es:`xy xy2 334.... .Observacin.Debe notarse que un vector tiene innitas representaciones geomtricas, sin embargo, intuitivamente, todostienen las mismas caractersticas: Misma longitud, misma direccin, ms an los anterior muestraque los vectores tienen la capacidad de movimiento.Para representar un vector x = (x1, x2, x3) en R3seguimos los mismos pasos que se siguen para representarun vector en R2, slo aadimos el paso correspondiente a la tercera coordenada.Ejercicios propuestos1. Representar los vectores: u = (1, 3) , u,2. Representar los vectores: a = (1, 2, 1) ,

b = (2, 1, 3) , a +

b.3. Representar los vectores: a = (1, 2, 1) ,

b = (2, 1, 3) , 2a + 3

b1.2.4 Puntos y vectoresDos puntos A y B originan un vector, si el punto inicial es A y el punto nal B, tal vector, denotado porAB,tiene por coordenadas a las coordenadas del punto B A, es decir:AB = B A.Si el punto inicial es B y el punto nal es A, entonces el vector esBA = AB,claramente AB = BA.1.2. VECTORES 13Ejercicios resueltosEjercicio 1.3 Hallar los vectores que originan el par de puntos A = (3, 1, 5) y B = (2, 5, 6) .Solucin. Son:AB = (3, 1, 5) (2, 5, 6) = (1, 6, 11)BA = (2, 5, 6) (3, 1, 5) = (1, 6, 11)Ejercicio 1.4 Si A = (1, s, 2 t) es el punto inicial del vector u = (1, t s, s) , hallar los valores de s y ttal que B = (2, 2, 2) sea el punto nal.Solucin. Se tiene u = B A, es decir:(1, t s, s) = (2, 2, 2) (1, s, 2 t)esto origina el sistema:t s = 2 ss = tresolviendo: s = 2 y t = 2.Ejercicios propuestos1. Si A = (1, 2, 2) es el punto inicial de un vector v = (2, 1, 0) , hallar su punto nal. Sol.: B = (3, 3, 2)2. Si B = (2, 2 +y, x) es el punto nal de un vector u = (1, 2, 1), hallar el valor de x y el de y de maneraque A = (1, x 1, y + 1) sea su punto inicial. Sol. x = 1/2, y = 3/2.3. Encuentre AB +BC +CA, donde A = (0, 0, 0) , B = (1, 5, 5) , C = (10, 5, 2) son los vrtices de untringulo. Sol.: 0.1.2.5 Representacin geomtrica de la suma de vectoresLa representacin geomtrica de x +y se realiza del siguiente modo.1. Se representa el vector x,2. luego se representa el vector y tomando como punto inicial, el punto nal del vector x.3. El vector que va desde el punto inicial de x al punto nal de y es el vector suma x +y.

`>>>>>>>>>>>>>>x x +yy14 CAPTULO 1. VECTORES1.2.6 Representacin geomtrica del producto de un nmero por un vector -a cac > 0cac < 01.2.7 Representacin geomtrica de la diferencia de vectores

xyx y`````````La suma y resta en un paralelogramoLa suma x +y y x y se representa en un paralelogramo de la siguiente manera:

`>>>>>>>>>>>>>>xx +yy

`

x yEjercicios propuestos1. Considere la siguiente grca:

```````\\\\\ACDB(a) Si M es un punto medio de BC, Mostrar que AB +AC = 2AM.(b) Si M y N son los puntos medios de AC y BD, mostrar que AB +CD = 2MN.1.3. PARALELISMO 15(c) Si M y N son los puntos medios de AC y BD, mostrar que AB +AD +CB +CD = 4MN2. Sea ABCD un paralelogramo como se muestra en la gura. Supngase que F es el punto medio de CD,y que E est a23 del camino de A a F sobre AF. Demostrar que E est a23 del camino de B a D.

BCF```````````EDA

3. Considere el paralelogramo ABCD del problema anterior, con E a23 del camino de A a F, y F el puntomedio del segmento CD. Hallar EF en trminos de AB y AC. Sol.: EF = 13AC 16AB.4. Supongan que dos navegantes que no se pueden ver entre si, pero se pueden comunicar por radio,quieren determinar la posicin relativa de sus barcos. Explicar como pueden hacerlo si cada uno tienela capacidad de determinar su vector de desplazamiento al mismo faro.1.3 ParalelismoDos vectores x y y son paralelos si existe un nmero real c tal que:x = cy,observemos que 0x = 0, as el vector 0 es paralelo a todo vector. Por otra parte si c > 0, los vectores x yytienen la misma direccin. Si c < 0, los vectores x y y tienen direcciones contrarias.Ejercicios resueltosEjercicio 1.5 Son los siguientes vectores paralelos?:x = (1, 2, 1) , y = (3, 6, 3) .Solucin. Si los vectores dados son paralelos, debe existir un nmero c tal quex = cy,luego(1, 2, 1) = (3c, 6c, 3c) ,de esta igualdad se obtiene el sistema de ecuaciones lineales3c = 16c = 23c = 1Resolviendo encontramos c = 13, por tanto los vectores dados son paralelos.Ejercicio 1.6 Son los siguientes vectores paralelos?.x = (2, 3) , y = (2, 4) .16 CAPTULO 1. VECTORESSolucin. Si los vectores dados son paralelos, debe existir un nmero c tal quex = cy,luego:(2, 3) = (2c, 4c)as tenemos el sistema2c = 24c = 3es claro que este sistema es inconsistente, esto es, no existe c R tal que x = cy, por tanto los vectores x yyno son paralelos.Ejercicios propuestos1. Para que valores de a y b los siguientes vectores son paralelos?u = (4, a + 2b, 2b a 1) , v = (2, a b, b +a) .Sol.: a = 13, b = 1122. Para que valores de a y b los siguientes vectores son paralelos?u = (1, a, a +b) , v= (a b, 1, 1)Sol.: a = 1, b = 0.3. Prubese que si c ,=

0 y los vectores a y

b son paralelos a c, entonces los vectores a y

b son paralelos.4. Prubese que si d =

b +c y si

b es paralelo al vector a, entonces d es paralelo al vector a si y solamentesi el vector c es paralelo al vector a.5. Mostrar que si existen escalares m, n no ambos cero, tales que ma+n

b = 0, entonces a y

b son paralelos.6. Si a y

b son vectores no paralelos tales que c = (m+n 1)a+(m+n)

b, d = (m+n)a+(2mn 1)

b,hallar m, n tales que c = 3

d. Sol.: m = 19, n = 1118.7. Mostrar que las medianas de un tringulo se intersectan en un punto, y que este punto divide a cadamediana con una razn 2 : 1.8. Probar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre si.1.4 Norma euclidiana de un vector (longitud)Si a Vn, denimos la longitud de a como el nmero real no negativo:|a| =_a21 + +a2n =_n

j=1a2jLa norma satisface las siguientes propiedades:Para todos los vectores a,

b Vn y todo nmero c R:1. |a| 0, |a| = 0 si y solamente si a =

0. (no negatividad)1.4. NORMA EUCLIDIANA DE UN VECTOR (LONGITUD) 172. ___a +

b___ |a| +___

b___ (desigualdad triangular)3. |ca| = [c[ |a|Ejercicios resueltosEjercicio 1.7 Hallar la norma del vector a = (1, 2, 4)Solucin.|a| = |(1, 2, 4)|= _(1)2+ 22 + 42= 21.Ejercicio 1.8 En Rnse pueden denir las siguientes normas: Norma 1|a|1 =n

k=1[ai[ Norma p|a| =_n

k=1[ai[p_1/p Norma supremo (o innito)|a| = max [a1[ , . . . , [an[Sea x = (2, 2, 1) . Calcular |x|1, |x|2, |x|4,|x|20, |x|100, |x|Solucin.|x|1 = [2[ +[2[ +[1[ = 5|x|2 =_[2[2+[2[2+[1[2_1/2= 3|x|4 =_[2[4+[2[4+[1[4_1/4=433 2. 39678|x|20 =_[2[20+[2[20+[1[20_1/20=103 20233017 2. 07053|x|100 =_[2[100+[2[100+[1[100_1/100 2. 01391|x| = max [2[ , [2[ , [1[ = 2Ejercicios propuestos1. Sea r = (x, y, z) , r0 = (x0, y0, z0) . Describa todos los puntos (x, y, z) tales que|r r0| = 22. Sea r = (x, y) , r2 = (x2, y2) , r1 = (x1, y1) . Describa todos los puntos (x, y) tales que|r r1| +|r r2| = k, donde k > |r2r1|3. Demostrar que para cualquier a,

b V3, se verica___a +

b___ |a| +___

b___18 CAPTULO 1. VECTORES4. Demostrar que |a| ___

b___ ___a

b___ para todo a y

b Vn.5. Un cubo tiene lados de longitud k. Los centros de las seis caras del cubo son los vrtices de un octaedro.(ver gura)(a) Halle las coordenadas de todos los vrtices del octaedro.(b) Calcule la longitud de las aristas del octaedro en trminos de k.

gggg..........````gg````

`````..........

``` `6. En R2Describir los siguientes conjuntos:(a) A =_x R2: |x|1 1_(b) B =_x R2: |x|2 1_(c) C =_x R2: |x|5 1_(d) D =_x R2: |x| 1_1.5 OrtogonalidadLa ortogonalidad de vectores tiene la siguiente motivacin geomtrica. Sean a, b vectores, como se sabe, losvectores a +

b y a

b, se representan de la siguiente manera

`>>>>>>>>>>>>>>xx +yy

`

x ydel grco parece razonable asumir que a y

b sern ortogonales si___a +

b___ =___a

b___,esta observacin motiva la siguiente denicin de ortogonalidad.1.5. ORTOGONALIDAD 19Denicin 1.6 (Ortogonalidad) Dos vectores a y

b son ortogonales si___a +

b___ =___a

b___.Ejemplo 1.3 Los vectores a = (2, 1, 1) y

b = (1, 1, 3) son ortogonales, en efecto tenemosa +

b = (3, 2, 2) ya

b = (1, 0, 4)por tanto ___a +

b___ =___a

b___ =17.Ejemplo 1.4 Los vectores a = (2, 1) y b = (1, 0) no son ortogonales, porque?.1.5.1 Condicin necesaria y suciente de perpendicularidadSean a = (a1, a2) y b = (b1, b2) , realizemos los siguientes clculos___a +

b___2=_a21 +a22 +b21 +b22_+ 2 (a1b1 +a2b2)por otra parte___a +

b___2=_a21 +a22 +b21 +b22_2 (a1b1 +a2b2) .Si a y

b son ortogonales se debe tener ___a +

b___2=___a

b___2, simplicando se encuentra:2 (a1b1 +a2b2) = 2 (a1b1 +a2b2) ,de donde:4 (a1b1 +a2b2) = 0por tanto:a1b1 +a2b2 = 0 .Lo anterior prueba que si los vectores a y

b son perpendiculares, se verica a1b1 +a2b2 = 0 . Recprocamente,si a1b1 +a2b2 = 0 es inmediato vericar que a y

b son perpendiculares. As hemos encontrado una condicinnecesaria y suciente de perpendicularidad.Generalizamos este resultado en el siguiente teorema.Teorema 1.7 Sean a = (a1, . . . , an) , b = (b1, . . . , bn) vectores en Vn, entonces a es perpendicular a b si ysolamente sin

i=1aibi = 0.Demostracin. Ejercicio.Ejemplo 1.5 Los vectores a = (1, 1, 2) y

b = (1, 1, 1) son perpendiculares pues(1) (1) + (1) (1) + (2) (1) = 0.Ejemplo 1.6 Los vectores a = (1, 1, 1) y

b = (1, 1, 2) no son perpendiculares pues(1) (1) + (1) (1) + (1) (2) = 2 ,= 0.20 CAPTULO 1. VECTORES1.6 El producto interiorMotivados por los resultados de la seccin anterior denimos:Denicin 1.8 (producto interior) Sean a = (a1, . . . , an) , b = (b1, . . . , bn) vectores en Vn. El productointerior de a y

b, escrito a

b, es el nmeroa

b = a1b1 + +anbnEl siguiente teorema es de prueba inmediata.Teorema 1.9 Dos vectores a y

b en Vn son ortogonales si y solamente si a

b = 0.1.6.1 Propiedades del producto interiorEl producto interior satisface muchas propiedades, a continuacin se enuncian las ms usuales.Teorema 1.10 Si a,

b, c son vectores en Vn, entonces:11. a

b =

ba2. (ra)

b = r_a

b_, r R3. a _

b +c_=a

b +ac4. aa 0, aa = 0 si y solamente si a =

0.5. |a|2=aa.6. a es perpendicular a

b si y solamente si ___a +

b___2= |a|2+___

b___2.Demostracin. Los primeros cinco resultados son inmediatos. Probaremos la ltima armacin.a es ortogonal a

b, si y solamente si a

b = 0, por tanto:___a +

b___2= _a +

b_

_a +

b_= aa + 2_a

b_+

b

b= |a|2+___

b___2. {note que a

b = 0}

Ejercicios propuestos1. Para que valor de , el vector (7, , 4) es ortogonal al vector (4, 6, 2) . Dibujar tales vectores. Sol.: = 2.2. Para que valor de , el vector (3, , 4) es ortogonal al vector (3, 0, 1) . Dibujar tales vectores. Sol.:Ninguno.3. (a) Sean u = (1, 3, 2), v= (3, 2, 1). Hallar el valor de k tal que v kusea ortogonal a u . Sol.:k =514.(b) Generalizar el anterior resultado. Sol. k =uvu2.1Aqu, signica norma euclidiana1.7. PROYECCIN ORTOGONAL. COMPONENTES 214. Para que valores de a, b y c los siguientes vectores son perpendiculares? u = (1, a, a +b) , v =(a b, c, 1) . Sol.: a = 0, c = 2, b arbitrario.5. Probar que dos vectores x, y son ortogonales si y solamente si|x y| = |x +y|para todo escalar .6. Probar: Si v1, v2, v3 son vectores en V3 mutuamente ortogonales, entonces cualquier vector v V3 puedeescribirse comov = c1v1 + c2v2 +c3v3,donde ci = (vvi) / |vi|2, i = 1, 2, 3.7. Si no se toma en cuenta paralelismo:(a) Dado un vector en a V2, cuntos vectores perpendiculares a a existen?. Sol. solucin nica.(b) Con referencia a lo anterior que sucede en V3?. Sol. Innitas.8. Demustrese que a +

b y a

b son ortogonales ssi |a| =___

b___9. Demostrar que para cualesquiera vectores u y v , los vectores |v|u + |u|v y |v|u |u|v sonortogonales.10. Demostrar que _a +

b_

_a

b_= |a|2___

b___211. En cada uno de los siguientes problemas determinar la relacin entre g y h de modo que gu +hvseaortogonal aw :(a) u = (3, 2, 1) , v = (1, 2, 3) ,w = (1, 1, 2) . Sol.: 3g + 5h = 0(b) u = (1, 2, 3) , v = (3, 1, 1) ,w = (4, 1, 2) .Sol. 4g + 9h = 012. En los siguientes problemas determinar, si es posible, el nmero a de modo que satisfaga la condicindada para u y v.(a) u = (1, 2, a) , v = (2a, 1, 1) ortogonales. Sol.: a = 23(b) u = (1, 2, a) , v = (2a, 1, 1) paralelos. Sol.: No existen.(c) u = (a, 5, 2) , v = (a, a, 2) ortogonales. Sol. a = 1, a = 413. Encuentre todos vectores en el espacio V3 de norma 1 que son ortogonales al vector (1, 1, 0) . Sol.:_x, x, 1 2x2_, x _22 , 22_.1.7 Proyeccin Ortogonal. ComponentesLa proyeccin ortogonal est motivado por el problema que se plantea a continuacin.22 CAPTULO 1. VECTORES1.7.1 MotivacinDados dos vectores u y v, construir un tringulo rectngulo de hipotenusa u y base paralela al vector v.La solucin puede ilustrarse usando los siguientes grcos: `````````

u uv v(a) (b)para cada caso, el tringulo rectngulo es `````````

u uv v`` A BCA BC(a) (b)observemos que en cada caso la base del trangulo es AB = cv, el problema estar resuelto si se conoce elvalor de c. Sin prdida de generalidad consideremos el caso (b) (En este caso esagudo). La altura en estetringulo esBC = u AB= u cv.Por otra parte es claro que el vector BC debe ser perpendicular al vector v, luego debemos tener:BCv = 0,de donde sucesivamente se tiene:(u cv)v = 0,uv cvv = 0c = uvvv = uv|v|2,as los vectores que forman el tringulo son:Base:AB =_uv|v|2_vAltura:BC = u _uv|v|2_v1.7. PROYECCIN ORTOGONAL. COMPONENTES 23Hipotenusa :AC = u.Con la anterior motivacin denimos el siguiente importante concepto.1.7.2 La denicin de proyeccin ortogonal y componenteDenicin 1.11 (Proyeccin ortogonal) Sean u, v vectores de Vn. La proyeccin ortogonal de u sobrev es el vector denotado por Proyv u denido porProyvu =_uv|v|2_vEjemplo 1.7 Calcular el vector Proyvu si u = (3, 1) y v = (1, 1) .Solucin. uv = 4, |v|2= 2, luegoProyv u =_uv|v|2_v = 42 (1, 1) = (2, 2)` ..................

uvProyv uxy1 2 311,Denicin 1.12 (Componente) El nmeroCompvu = uv|v|se llama componente de u en direccin del vector v.Se prueba inmediatamente queProyvu = (Compv u)v|v|.Ntese que la norma del vector proyeccin es:|Proyvu| = [Compvu[ = [uv[|v|Teorema 1.13 Si u y v son vectores en Vn, entoncesuv = |u| |v| cos ,donde es el ngulo entre u y v.24 CAPTULO 1. VECTORESDemostracin. EjercicioCorolario 1.14 Si u y v son vectores en Vn, entoncesuv |u| |v| .Demostracin. Se sigue del teorema usando el resultado: [cos [ 1 para todo .Ejercicios propuestos1. Demostrar: Si u y v son vectores en Vn, entoncesuv = |u| |v| cos ,donde es el ngulo entre u y v.2. Halle el ngulo entre el vector (2, 3, 4) y el vector (1, 2, 3) . Sol.142. 570.3. Demostrar que si u y v son vectores no nulos, entonces u y v forman ngulos iguales conw si w =_|v||u| +|v|_u +_|u||u| +|v|_v4. Sean u y v vectores no nulos. Pruebe que w = |v| u +|u|v,biseca el ngulo entre u y v.5. Con referencia al cubo que aparece en la gura se pide: (a) Halle el coseno del ngulo entre AC y BD.(b) Halle el coseno entre AF y BD, (c) Halle el coseno del ngulo entre AC y AM, (d) Halle el cosenodel ngulo entre MD y MF, (e) Halle el coseno del ngulo entre EF y BD.>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>A BFC DEN MSol.: (a) 0, (b) 12, (c) 63 ,(d) 0,(e) 22 .6. Hallar el valor de a tal que u = (2, 2a, 1) y v = (a, 0, a) forman un ngulo de 450. Sol. a = 1.7. Hallar el valor de a tal que u = (1, 2, a) y v = (2, 1, 9a) forman un ngulo de 450. Sol. Las soluciones de81a4266a2+ 7 = 0.8. Demustrese que si a y

b son vectores paralelos no nulos, entoncesPr oyau = Pr oy

bu1.8. VECTORES UNITARIOS 259. Sean a = (2, 5, 2, 4) ,

b = (4, 1, 2, 2) vectores en V4 Calcular(a) |a| , ___

b___ .Sol.: 7, 5(b) a

b. Sol. 25(c) Compa

b, Pr oya

b. Sol.257 , 2549 (2, 5, 2, 4) .(d) 2a + 3___

b___

b. Sol.: (64, 25, 34, 38)(e) Es posible calcular a +___

b___?. Sol.: No.10. Sea a un vector no nulo Para cuales vectores b, el vector proy

ba es igual al vector a? (Sug.Elaboraruna grca). Sol. Paralelos.11. Sea a un vector no nulo Para cuales vectores

b, el vector proy

ba es igual a 0?. Sol.: Perpendiculares12. Sea

b un vector no nulo Para cuales vectores a, __proy

ba__= |a|?. Sol. Paralelos1.8 Vectores unitariosUn vector u en Vn no nulo es unitario si tiene norma igual a la unidad, esto es, |u| = 1. Dado un vectorv no nulo siempre es posible obtener un vector u no nulo unitario paralelo al vector v, para este propsitodenimosu =1|v|v,claramente |u| = 1.En el sistema cartesiano R3, Los vectores unitarios en direccin de los ejes x, y, z tienen respectivamentela siguiente notacin:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)con esta notacin, cualquier vector v = (a, b, c) V3 se puede escribir como:v = a

i +b

j +c

k.1.9 Cosenos directoresSea v un vector no nulo en V3. Si u =1|v|v, entonces |u| = 1. Sean , , los ngulos que forma el vector ucon los vectores

i, j y k respectivamente, por tanto

iu = ___

i___|u| cos

ju = ___

j___|u| cos

ku = ___

k___|u| cos considerando que la norma de un vector unitario es la unidad y iu = u1, ju = u2, ku = u3 dondeu = (u1, u2, u3) se tiene:u1= cos u2= cos u3= cos 26 CAPTULO 1. VECTORESlos nmeros cos , cos , cos se llaman cosenos directores del vector unitario u, fcilmente se prueba quecos2 + cos2 + cos2 = 1.Ejercicios propuestos1. Demustrese que los vectores unitarios

i,

j,

k satisfacen:(a) i

i =

j

j = k

k = 1(b) i

j =

j

k = k

i = 02. Determinar un vector para el cual cos = 23, cos = 13. Sol. Una solucin es (2, 1, 2)3. Determinar un vector del plano xy para el cual cos = 45. Sol. Una solucin es (4, 3, 0)1.10 La recta en RnLa recta en Rnque pasa por un punto P0 en direccin del vector v es el subconjunto de Rndenido por/ = P0 +tv : t R ,aqu, el vector v se llama vector direccional de la recta.

.`

P0ZXY/>>>>>>>

vP0 +tv1.10.1 ParalelismoDos rectas /1 y /2 son paralelas si lo son sus vectores direccionales.Ejemplo 1.8 Las rectas/1= (1, 2, 1) +t (2, 6, 4) : t R/2= (3, 1, 0) +s (3, 9, 6) : s Rson paralelas. (ntese que (2, 6, 4) = 23 (3, 9, 6)).Ejemplo 1.9 Los vectores v1 = (1, 2, 0) y v2 = (2, 0, 1) no son paralelos, luego las rectas/1= P1 +t (1, 2, 0) : t R/2= P2 +s (2, 0, 1) : s Rno son paralelas.1.10. LA RECTA EN RN271.10.2 Perpendicularidad (ortogonalidad)Dos rectas /1 y /2 son perpendiculares (ortogonales) si lo son sus vectores direccionales.Ejemplo 1.10 Las rectas/1= (1, 2, 1) +t (2, 3, 1) : t R/2= (3, 1, 0) +s (1, 1, 5) : s Rson perpendiculares pues (2, 3, 1)(1, 1, 5) = 0.1.10.3 Distancia de un punto exterior a una rectaSea / = P0 +tv : t R y Q un punto fuera de / se desea hallar la distancia de Q a /. Gracamente lasituacin se presenta a continuacin.

`P0QAP0Q/vSe tieneP0A = ProyvP0Q = (QP0)v|v|2vasAQ = P0QP0A= (QP0) (QP0)v|v|2vluego la distancia del punto Q a la recta / es:d (Q, /) = ___AQ___=___(QP0) |v|2((QP0)v) v___|v|2Observacin. La distancia tambin puede calcularse con la siguiente frmula:d (Q, /) =_|QP0|2 [(QP0)v[2|v|228 CAPTULO 1. VECTORES1.10.4 Interseccin de rectasDadas las rectas /1 y /2 se pueden tener las siguientes situaciones.(i) /1 /2 = (No existe interseccin)(ii) /1 /2 = A0 (La interseccin es un punto)(iii) /1 /2 = /1 = /2(La interseccin es toda una recta)Sean/1= P1 +tv : t R/2= P2 +su : s RSea P /1 /2, entonces para cierto t y cierto s se debe tener: P = P1 +tvy P = P2 +su , de donde sesigue:P1 +tv = P2 +su,esta ecuacin representa un sistema de n ecuaciones con 2 incgnitas, dependiendo de las soluciones se tienenlos casos (i), (ii), (iii); concretamente se da el caso:(i) cuando el sistema no tiene soluciones.(ii) cuando el sistema tiene exactamente una solucin.(iii) cuando el sistema tiene innitas soluciones.Ejemplo 1.11 Calcular la interseccin de/1= (1, 2, 1) +t (0, 2, 1)/2= (0, 1, 0) +s (1, 1, 1) .Solucin. Igualando:(1, 2, 1) +t (0, 2, 1) = (0, 1, 0) +s (1, 1, 1)igualando componente a componente obtenemos el siguiente sistema:1 = s2 + 2t = 1 +s1 +t = sresolviendo se encuentra la solucin t = 0 y s = 1. Reemplazando t = 0 en /1 se encuentra que el punto deinterseccin es/1 /2 = (1, 2, 1) + 0 (0, 2, 1) = (1, 2, 1) .Observacin. La interseccin se puede encontrar tambin como:/1 /2 = (0, 1, 0) + 1 (1, 1, 1) = (1, 2, 1) ,aqu se ha usado la recta /2 con s = 1.Ejemplo 1.12 Calcular /1 /2 si/1= (1, 2, 1) +t (1, 0, 1)/2= (1, 0, 1) +s (1, 2, 2)1.10. LA RECTA EN RN29Solucin. Igualando(1, 2, 1) +t (1, 0, 1) = (1, 0, 1) +s (1, 2, 2)simplicando se obtiene el siguiente sistema:1 +t = 1 +s2 = 2s1 +t = 1 + 2sde la segunda ecuacin s = 1, de la primera t = s, luego t = 1, reemplazando estos valores en la terceraecuacin se tiene 2 = 3 que es un absurdo; as el sistema no tiene soluciones, esto muestra que /1 /2 = .1.10.5 Ecuacin paramtrica de la rectaSi:/ = (x0, y0, z0) +t (v1, v2, v3) : t Ry (x, y, z) se encuentra en /, entoncesx = x0 +tv1, y = y0 +tv2, z = z0 +tv3,las anteriores ecuaciones se llaman ecuaciones paramtricas de la recta. Si todos los vi son no nulos, podemosescribir:t = x x0v1= y y0v2= z z0v3.Ejemplo 1.13 Las ecuaciones paramtricas de la recta/ = (2, 1, 1) +t (2, 0, 1) : t Rson:x = 2 2t, y = 1, z = 1 +tEjercicios propuestos1. Hallar la recta que pasa por P0 = (2, 1, 3) y es simultneamente perpendicular a los vectores u =(1, 2, 3) y v = (3, 1, 1) . Sol.: / = (2, 1, 3) +t (5, 8, 7) .2. Hallar un punto sobre la recta / = (1, 2, 3) +t (2, 1, 2) : t R que se encuentre a 7 unidades delpunto A = (1, 2, 3) . Sol. Dos soluciones, una solucin es: P = 13 (17, 1, 5) .3. Encuentre la distancia del punto (1, 2, 3), a la recta / = (1, 2, 0) +t (1, 1, 1).4. Los puntos (2, 2, 2, 2) y (2, 4, 0, 10) son los vrtices opuestos de un rectngulo, el tercer vrtice se encuen-tra sobre la recta / = (2, 2, 2, 2) +t (2, 2, 10, 6) : t R . Hallar tal vrtice, hallar tambin el cuartovrtice y la longitud de los lados.Sol.: (3, 3, 3, 5), (1, 3, 5, 7) , 6.5. Determnese:(a) las rectas que pasan por el origen con ngulos directores = 600, = 450; Sol.: Vector direccionalv =_1,2, 1_(b) las rectas que pasan por el punto (2, 7, 13) con ngulos directores = = 450; Sol.: Vectordireccional v =_22 , 22 , 0_(c) las rectas que pasan por el origen con lgulos directores = = . Sol.: Vector direccionalv = (1, 1, 1)30 CAPTULO 1. VECTORES6. Halle el ngulo entre la recta que pasa por (1, 2, 1), (0, 1, 1) y la recta que pasa por (0, 1, 1), (2, 1, 2) .Sol.: 129. 2307. Dados los vrtices de un tringulo A = (3, 6, 7) , B = (5, 2, 3) , C = (4, 7, 2) , hallar las ecuacionesparamtricas de su mediana trazada desde C. Sol.: x = 5t + 4, y = 11t 7, z = 2.8. Dados los vrtices de un tringulo A = (3, 1, 1) , B = (1, 2, 7) , C = (5, 14, 3) , hallar la ecuacinde la recta bisectriz del ngulo interno del vrtice B. Sol.: x = t + 1, y = 3t + 2, z = 8t 7.9. Dados los vrtices de un tringulo A = (1, 0, 2) , B = (8, 4, 6) , C = (7, 3, 4) , hallar la ecuacin de larecta bisectriz del ngulo interno del vrtice A. Sol.: x = 1 + 103t, y = 55t, z = 2 + 46t.10. Dados los vrtices de un tringulo A = (2, 1, 3) , B = (5, 2, 7) , C = (7, 11, 6) , hallar las ecuacionesde la bisectriz del ngulo externo del vrtice A. Sol.: x = 6t + 2, y = t 1, z = 7t 3.11. Dados los vrtices de un tringulo A = (1, 2, 4) , B = (3, 1, 3) , C = (5, 1, 7) , hallar la ecuacinde la recta que corresponde a la altura bajada desde el vrtice B al lado opuesto. (Sug.La recta quepasa por A y vector direccional AC debe cortarse con la recta buscada, que pasa por B perpendiculara AC, encontrando este punto se tiene el vector direccional de la recta buscada) Sol.: x = 3t + 3,y = 15t + 1, z = 19t 3.12. Considere la recta / = (1, 1, 1) +t (2, 1, 2) : t R Hallar una recta paralela a / y a una distanciade 6 unidades.Sol. (existen innitas soluciones) una solucin es/1 = (1, 5, 5) +s (2, 1, 2) : s R13. (a) Hallar la recta /0 que pasa por P0 perpendicular a un vector dadow y que se corta con la recta/1 = P1 +sv1 : s R .(Sug. Si la recta buscada es /0 = P0 +t v0 : t R , debemos tenerP0 +t v0 = P1 +sv1de donde se encuentra que un punto de /0 esP1 + (P0P1) wv1wv1,as se puede tomar v0 = (P1P0) + (P0P1) wv1wv1. )(b) Resolver el anterior problema con P0 = (1, 2, 3) ,w = (6, 2, 3) y/1 = (1, 1, 3) +s (3, 2, 5) : s R(c) Resolver (a) con P0 = (2, 1, 1) ,w = (2, 1, 2) y/1 = (2, 3, 2) +s (1, 0, 2) : s RSol.: (b) /0 = (1, 2, 3) +t (2, 3, 6) : t R , (c) /0 = (2, 1, 1) +t (2, 2, 3) : t R1.11 El producto vectorialLa denicin del producto vectorial est motivado por el siguiente1.11. EL PRODUCTO VECTORIAL 31ProblemaConsidere a = (a1, a2, a3) , b = (b1, b2, b3) dos vectores no paralelos en V3. Se plantea el siguiente problema:Hallar un vector u tal que sea ortogonal a los vectores a y b.Sea (x, y, z) el vector ortogonal a los vectores a y

b, entonces se debe tener:a1x +a2y + a3z = 0b1x +b2y +b3z = 0,como los vectores a y b no son paralelos, podemos asignar un valor arbitrario a alguna variable y resolver elsistema para las otras dos, si z = 1, el sistema queda como:a1x +a2y = a3b1x +b2y = b3,en este sistema debemos tener = a1b2 a2b1 ,= 0, si esto no se da, se asignar un valor arbitrario a otravariable. Un clculo inmediato da:x =1 (a2b3a3b2)y =1 (a1b3 +a3b1) ,as el vector buscado es:(x, y, z) = 1 (a2b3a3b2, a1b3 +a3b1, a1b2a2b1) ,nalmente, puesto que cualquier vector paralelo al anterior tambin satisface los requerimientos, podemostomar:u = (a2b3a3b2, a1b3 +a3b1, a1b2a2b1) ,lo anterior motiva la siguiente denicin.La denicin de producto vectorialDenicin 1.15 Sean a = (a1, a2, a3) y

b = (b1, b2, b3) . El producto vectorial de a y

b es el vector denotadopor a

b denido pora

b = (a2b3a3b2)

i (a1b3a3b1)

j + (a1b2a2b1)

k(Observemos que a

b = (a2b3a3b2, a1b3 +a3b1, a1b2a2b1))Para recordar fcilmente esta frmula se suele escribir el producto vectorial usando la notacin de deter-minante como se muestra a continuacin.a

b =

i

j

ka1a2a3b1b2b3=

i a2a3b2b3

j a1a3b1b3+

k a1a2b1b2= (a2b3a3b2)

i (a1b3a3b1)

j + (a1b2a2b1)

kEjemplo 1.14 Si a = (1, 1, 1) ,

b = (2, 1, 1) , entonces:a

b = (1, 1, 1) (2, 1, 1)=

i

j

k1 112 1 1= (2, 1, 3)32 CAPTULO 1. VECTORESun clculo inmediato muestra que:a _a

b_= (1, 1, 1)(2, 1, 3) = 0

b _a

b_= (2, 1, 1)(2, 1, 3) = 0Propiedades del producto vectorialTeorema 1.16 Sean a, b, c vectores en V3 y r R. Entonces1. a

b = _

b a_2. a _a

b_=

0,

b _a

b_=

03. (ra)

b = r_a

b_4. a _

b +c_=_a

b_+ (a c)5. ___a

b___2= |a|2___

b___2_a

b_2Este resultado junto con _a

b_2= |a|2___

b___2cos2, donde es el ngulo formado por a y b, se tiene6. ___a

b___ = |a|___

b___sin, 0 Demostracin. Ejercicio.Teorema 1.17 Dos vectores son paralelos si y solamente si a

b =

0.Demostracin. Si a y b son paralelos y no nulos, entonces existe un nmero k tal que ka =

b, entoncesbi = kai, i = 1, 2, 3, pero entonces:a

b =

i

j

ka1a2a3b1b2b3=

i

j

ka1a2a3ka1ka2ka3=

i0

j0 +

k0 =

0.Recprocamente, si a

b = 0, entonces:___a

b___ = |a|___

b___sin = 0,de donde = 0 o = 2, as a y

b son paralelos.Ejercicios propuestos1. Demostrar: Sean a, b, c vectores en V3 y r R. Entonces(a) a

b = _

b a_(b) a _a

b_=

0,

b _a

b_=

0(c) (ra)

b = r_a

b_1.11. EL PRODUCTO VECTORIAL 33(d) a _

b +c_=_a

b_+ (a c)(e) ___a

b___2= |a|2___

b___2_a

b_2De este resultado junto con _a

b_2= |a|2___

b___2cos2, donde es el ngulo formado por a y

b, setiene(f) ___a

b___ = |a|___

b___sin, 0 2. Encuentre, si es posible, un vector unitario ortogonal a uy v :(a) u = (1, 1, 1) , v= (1, 1, 1) . Sol.12 (1, 0, 1)(b) u = (1, 2, 1) , v= (2, 4, 2) . Sol. no existe3. Calcular a _b c _ si a = (1, 2, 1) , b= (1, 0, 1) , c= (1, 1, 1) . Sol. 04. Sea /1 la recta que pasa por (1, 0, 1) y (2, 1, 2) . Sea /2 la recta que pasa por el origen y es paralela alvector (1, 0, 1) . Determine la recta / que pasa por el punto (2, 0, 3) ortogonal tanto a /1 como a /2.Sol. / = (2, 0, 3) +t (1, 0, 1) : t R5. Dos rectas se cruzan si no son paralelas y no se cortan. Encontrar una frmula para la distancia mnimaentre dos rectas /1 y /2 que se cruzan.Sol.Si /1 = P0 +ta +t R , /2 = _Q0 +s

b : s R_, ladistancia mnima es:d =(Q0P0) _a

b____a

b___6. Demustrese que si P1 ,= P2, entonces P : (P P1) (P2P1) = 0 es la recta que pasa por P1 yP2. (Sug.Dena /1 = P1 +t (P2P1) : t R y /2 = _P R3: (P P1) (P2P1) = 0_, luegopruebe que /1 = /2)7. Demustrese que P1, P2, P3 colineales es equivalente a:(P2P1) (P3P1) = 01.11.1 El triple producto escalarDenicin 1.18 Dados tres vectores a,

b, c V3, el triple producto escalar de a,

b y c, denotado por _a

bc_,se dene por:_a

bc_=a _

b c_Ejemplo 1.15 Si a = (1, 1, 0) , b = (1, 1, 1) , c = (1, 1, 1) :

b c = (2, 2, 0)luego:_a

bc_= a _

b c_= (1, 1, 0)(2, 2, 0)= 434 CAPTULO 1. VECTORESTeorema 1.19 Si a = (a1, a2, a2) , b = (b1, b2, b3) , c = (c1, c2, c3) , entonces:_a

bc_=a1a2a3b1b2b3c1c2c3Demostracin. Ejercicio.Una consecuencia inmediata de este teorema es el siguiente corolario.Corolario 1.20 Si a _

b c_= 0, entonces los vectores a, b y c son linealmente dependientes.Teorema 1.21_a

bc_=_

bca_=_ca

b_Demostracin. Ejercicio.Ternas positivamente orientadasEl triple producto escalar puede usarse para describir la orientacin de R3. Tres vectores a,

b, c se dirnpositivamente orientadas si _a

bc_> 0.Ejemplo 1.16 Los vectores

i,

j,

k estn positivamente orientadas pues:_

i

j

k_=

i _

j

k_=

i

i = 1 > 0Volumen de un paraleleppedoTeorema 1.22 Si la terna de vectores a,

b, c est positivamente orientada, entonces _a

bc_ es el volumen delparaleleppedo de lados a,

b y c. ......... ...........................`

..

b ca

bcDemostracin. El volumen del paraleleppedo es el rea de la base por la altura.Si la base tiene porlados

b y c su rea es ___

b c___. Por otra parte la altura es la norma del vectorProy

bca = a _

b c____

b c___2_

b c_1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 35puesto que a,

b, c est positivamente orientada se tiene a _

b c_> 0, luego___Proy

bca___ = a _

b c____

b c___por tanto:V olumen =___

b c___a _

b c____

b c___=a _

b c_=_a

bc_

Ejercicios propuestos1. Probar: Si a = (a1, a2, a3) , b = (b1, b2, b3) , c = (c1, c2, c3) , entonces:_a

bc_=a1a2a3b1b2b3c1c2c32. Hallar el volumen del paraleleppedo generado por los vectores:a = (1, 2, 3) ,

b = (0, 1, 2) , c = (1, 2, 1)Sol.: 43. Probar_a

bc_=_ca

b_=_

bca_1.12 La ecuacin del plano1.12.1 La denicin del planoSean P0 R3, u, v V3. Denimos el plano que pasa por P0 generado por los vectores u y v como el conjuntoT = P0 +tu +sv : t, s R .Ntese que T R3. El plano que pasa por P0 y generado por u y v ser:

,P0uvDenicin 1.23 (Vector normal) Considrese el plano T = P0 +tu +sv : t, s R . Cualquier vectorque simultneamente es ortogonal a u y v es llamado vector normal al plano.36 CAPTULO 1. VECTORESClaramente n = u v es un vector normal al plano T = P0 +tu +sv : t, s R . Adems si n es unvector normal a un plano, entonces cualquier vector paralelo a n es tambin normal al plano.

,P0uv`n = u v

1.12.2 La ecuacin vectorial del planoIniciamos esta seccin con los siguientes lemas.Lema 1.1 Sea P1 T = P0 +tu +sv : s, t R y n un vector normal al plano T, entonces el vectorP0P1 = P1P0 es ortogonal a n.Demostracin. Si P1 T, existen t, s R tal queP1 = P0 +tu +sv,por otra parte como n es un vector normal a T debemos tener nu = 0 y nv = 0, por tanton(P1P0) = n(tu +sv)= t (nu) +s (nv)= 0,as P1P0 es ortogonal a n.Lema 1.2 Si n es un vector normal al plano =P0 +tu +sv : s, t R y (P1P0)n = 0, entonces P1 T.Demostracin. Debemos encontrar dos nmeros s, t tales que P1 = P0 + tu + sv. Sin prdida degeneralidad supongamos que n = u v, as(P1P0)u v = 0,pero entonces los vectores P1P0, u, v son linealmente dependientes (Vase corolario 1.20, Pg. 34), esto es,existen constantes t, s tales queP1P0 = tu +sv,de donde,P1 = P0 +tu +sv.

A la luz de los anteriores lemas podemos enunciar el siguiente teorema.Teorema 1.24 Sea T =P0 +tu +sv : s, t R , n = u v, entonces P T si y solamente si(P P0)n = 0,esto es, T =_P R3: (P P0)n = 0_.Denicin 1.25 La ecuacin(P P0)n = 0se llama ecuacin vectorial del plano que pasa por P0 y tiene a n como vector normal.1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 37Notacin. Un plano T que pasa por P0 y tiene a n como vector normal se describe como:T : n(P P0) = 0.Ms an, si n = (a, b, c) , P = (x, y, z) y P0 = (x0, y0, z0) se tienenP = ax +by +cznP0= ax0 +by0 +cz0por tanto la ecuacin vectorial del plano se escribe como:T : ax +by +cz +d = 0,donde d = (ax0 +by0 +cz0).Teorema 1.26 Toda ecuacin vectorial Pn+d = 0, (d R) es la ecuacin de un plano que tiene a n comovector normal.Demostracin. Sean P y P0 puntos tal que Pn +d = 0 y P0 n +d = 0, entonces:(P P0)n = Pn P0 n = d (d) = 0,as la ecuacin Pn d = 0, es la ecuacin de un plano que pasa por P0 y tiene a n como vector normal.Ejemplo 1.17 Considrese la ecuacin(x, y, z)(1, 1, 1) = 5,es claro que el punto P0 = (5, 0, 0) satisface la anterior ecuacin, as la ecuacin que se est considerando esla ecuacin vectorial del plano que pasa por P0 = (5, 0, 0) con vector normal n = (1, 1, 1) .1.12.3 Interseccin de planosConsidrese los siguientes planos:T1= _P R3: (P P1)n1 = 0_T2= _P R3: (P P2)n2 = 0_Si P T1 T2, debe cumplirse:_ (P P1)n1 = 0(P P2)n2 = 0con P = (x, y, z) , las anteriores ecuaciones forman un conjunto de dosecuacionescon tres incgnitas x, y, z,dependiendo de las soluciones tendremos los siguientes casos:1. T1 T2 = si el sistema no tiene solucin.2. T1 T2 = A , un punto, si el sistema tiene solucin nica.3. T1 T2 = T1, si el sistema tiene innitas soluciones.38 CAPTULO 1. VECTORES1.12.4 Distancia de un punto a un planoSea T =P : (P P0)n = 0 , Q / T, se desea calcular la distancia del punto Q al plano T. Esta distancia,que la denotaremos con d (Q, T) , es:d (Q, T) = inf d (Q, P) : P T= d (Q, A)= ___AQ___tal distancia ocurre cuando A T es un punto tal que el vector AQ es ortogonal al plano, esto es, paralelo an tal como se ilustra en el siguiente grco.

`nAP0BproynP0Q

............`Q`............,Del grco, asumiendo que AQ =P0B, es claro queP0B = proynP0Q=_n(QP0)|n|2_nde donde:d (Q, T) =___AQ___ =______n(QP0)|n|2_n_____por tanto:d (Q, T) = [n(QP0)[|n|.Un caso particular. Considere el planoT : ax +by +cz +d = 0,el vector n = (a, b, c) es normal al plano. Es claro que n no puede ser cero luego alguno de los nmeros a, b, ces distinto de cero, si por ejemplo c ,= 0, el punto P0 = (0, 0, d/c) es un punto del plano. Si Q = (x1, y1, z1)la distancia del punto Q al plano T es:d (Q, T) = [(a, b, c)((x, y, z) (0, 0, d/c))[a2 +b2 +c2simplicando:d (Q, T) = [ax +by +cz +d[a2 +b2 +c2(1.1)Ejemplo 1.18 Hallar la distancia del punto Q = (1, 3, 4) al planoT1 : 2x y + 2z 6 = 0Solucin. La distancia es:d = [(2) (1) + (1) (3) + (2) (4) 6[22 + 12 + 22= 13.1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 391.12.5 Angulo entre dos planosDenicin 1.27 El ngulo entre dos planos es el ngulo entre sus normales.Ejemplo 1.19 El ngulo entre los planosT1: x +y + 4z 6 = 0T2: 8x + 13y + 3z 24 = 0es el ngulo que forman sus vectores normales n1 = (1, 1, 4) y n2 = (8, 13, 3). Si es el ngulo entre entre lasnormales se tiene: = arccos_(1, 1, 4)(8, 13, 3)|(1, 1, 4)| |(8, 13, 3)|_= arccos_12_=13Ejercicios resueltosEjercicio 1.9 Probar que el planoT : 5x 2y + 3z 1 = 0contiene las rectas:/1= (1, 3, 4) +t (1, 2, 3) : t R/2= (1, 3, 4) +s (0, 3, 2)Solucin. Si (x, y, z) /1, para algn t se tiene:x = 1 +ty = 3 + 2tz = 4 + 3treemplazando en la ecuacin del plano:5 (1 +t) 2 (3 + 2t) + 3 (4 + 3t) 1 = (5 6 + 12 1) +t (5 4 + 9)= 0lo anterior prueba que cada punto de la recta /1 est en el plano T, eso naturalmente prueba que /1 seencuentra en el plano T. De manera similar si (x, y, z) /2 se debe tener:x = 1y = 3 3sz = 4 2s,reemplazando en el plano:5 (1) 2 (3 3s) + 3 (4 2s) 1 = (5 6 + 12 1) +s (6 6)= 0.as /2 tambin est en el plano T.40 CAPTULO 1. VECTORESEjercicio 1.10 Considere el planoT : x 2y + 2z 1 = 0y los puntos A = (3, 3, 1) , B = (5, 5, 2) sobre este plano:(a) Si A y B son puntos consecutivos de un cuadrado en T, hallar los otros dos puntos.(b) Si A y B son puntos extremos de la diagonal de un cuadrado en T, hallar los otros dos puntos.Solucin. (a) El vector normal del plano es n = (1, 2, 2) . Para resolver el problema se contruye el siguiente grco:

A=(3,3,1)B=(5,5,2)` nvDCT El vector que va del punto A al punto B, es AB = B A = (2, 2, 1) , y su norma es ___AB___ = 3.Por otra parte el vector v =AB n = (6, 3, 6) es claramente un vector situado en el plano dado, msan los dos puntos buscados se encuentran en esta direccin.. El vector unitario en direccin del vector v es:u =v|v| =_23, 13, 23_, Por tanto los otros puntos son:D = A+ 3u = (3, 3, 1) + 3_23, 13, 23_= (5, 2, 1)C = B + 3u = (5, 5, 2) + 3_23, 13, 23_= (7, 4, 0) Ntese que son tambien soluciones:D

= A3u = (3, 3, 1) 3_23, 13, 23_= (1, 4, 3)C

= B 3u = (5, 5, 2) 3_23, 13, 23_= (3, 6, 4)Solucin (b)1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 41 El vector normal del plano es n = (1, 2, 2) . Para resolver el problema se contruye el siguiente grco:

///////// /////////```````````

'''''''''''''''`A=(3,3,1)B=(5,5,2)nCDM=(4,4,3/2)Tv El vector que va del punto A al punto B, es AB = B A = (2, 2, 1) , y su norma es ___AB___ = 3. En el grco, M =_4, 4, 32_ es el punto medio entre A y B. Como se sabe, en un cuadrado las diagonales se cortan en su punto medio y perpendicularmente, msan sus magnitudes son iguales. Un vector paralelo al vector DC esv =AB n = (6, 3, 6) ,y un vector unitario en esta direccin es u =_23, 13, 23_. De lo anterior se deduce que los puntos buscados son:C = M + 32u =_4, 4, 32_+ 32_23, 13, 23_=_5, 72, 12_D = M 32u =_4, 4, 32_ 32_23, 13, 23_=_3, 92, 52_Ejercicio 1.11 Hallar un plano que pase por Q = (1, 0, 2) que contenga la recta/ = P0 +tv : t Rdonde P0 = (1, 3, 4) y v = (1, 2, 3) .Solucin.

`P0n uvQ42 CAPTULO 1. VECTORESTomando u =P0Q = QP0 = (0, 3, 2) , yn = u v =

i

j

k0321 2 3= (5, 2, 3)se construye el planoT1 : (5, 2, 3)((x, y, z) (1, 3, 4)) = 0simplicando se encuentra:T1 : 5x 2y + 3z 1 = 0,es la ecuacin vectorial del plano que cumple las exigencias.Ejercicio 1.12 Dado el planoT : ax +by +cz +d = 0como puede hallarse un plano paralelo a T y ubicado a p unidades?Solucin. Sin prdida de generalidad supngase que el vector normal n = (a, b, c) es unitario, si eso noes as, dividimos ambos lados de la ecuacin por a2 +b2 +c2.Mtodo 1. Sea Q = (x, y, z) un punto del plano que se encuentra a p unidades. Usando la frmula 1.1(pgina 38) se tiene:[ax +by +cz +d[ = peliminando el smbolo de valor absoluto se encuentra dos soluciones:T1: ax +by +cz +d p = 0T2: ax +by +cz +d +p = 0(nuevamente se recuerda que estamos suponiendo que n es un vector unitario)Mtodo 2. Si c ,= 0, un punto del plano es P0 = (0, 0, d/c) . Un punto a p unidades del plano T esQ0= P0 +pn= (0, 0, d/c) +p (a, b, c)as, un plano a p unidades de T es(a, b, c)((x, y, z) (0, 0, d/c) p (a, b, c)) = 0simplicando y recordando que a2+b2+c2= 1 se tiene:T1 : ax +by +zc +d p = 0Otro punto a p unidades del plano T esQ1= P0pn= (0, 0, d/c) p (a, b, c)luego otro plano a p unidades de T es(a, b, c)((x, y, z) (0, 0, d/c) +p (a, b, c)) = 0simplicando se tiene:T2 : ax +by +cz +d +p = 0,como se puede advertir se tienen los mismos resultados que en el mtodo 1.1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 43Ejercicio 1.13 Hallar un plano que pase por los puntos A = (1, 0, 2) y B = (1, 3, 4) y sea ortogonal al planoT : x y + 2z 11 = 0Solucin. El vector n = (1, 1, 2) es un vector normal al plano T. Seav =AB = (0, 3, 2)el vectorn1= n v= (8, 2, 3)es claramente un vector normal al plano pedido, luego el plano:T1 : (8, 2, 3)((x, y, z) (1, 0, 2)) = 0es el plano que cumple con las exigencias. Simplicando:T1 : 8x 2y + 3z + 2 = 0.

`nAnBn v

`Plano T1Plano TEjercicio 1.14 Dado el planoT : x +y + 4z 6 = 0y los puntos A = (1, 1, 1) , B =_545 , 245 , 0_ que se encuentran en el plano, hallar un plano que pase por Ay B y forme un ngulo de 600con el plano dado.Solucin. El vector normal al plano T es n = (1, 1, 4). Sea n1 = (a, b, c) el vector normal del planopedido. Sin prdida de generalidad supngase que n1 es unitario.Por las condiciones del problema se tiene:nn1= |n| |n1| cos 600n1

AB = 0,es decir:a +b + 4c = 181249a 29b 5c = 044 CAPTULO 1. VECTORESresolviendo para a y b se encuentra:a = 3726c + 29522b = 6726c + 49522por otra parte a2+b2+c2= 1, luego:_3726c + 29522_2+_6726c + 49522_2+c2= 1desarrollando se encuentra:3267338 c2 1089169 c2 + 945676 = 0cuyas soluciones son:c =3222 yc =65662 Si c =3222 se encuentraa =4112b =13222por tanton1 =222 (8, 13, 3) Si c = 35662a = 13662b = 14332por tanton1 =266 (13, 28, 35)Conclusin. Los planos que se piden son:T1: (8, 13, 3)((x, y, z) (1, 1, 1)) = 0T2: (13, 28, 35)((x, y, z) (1, 1, 1)) = 0que simplicadas quedan como:T1: 8x + 13y + 3z 24 = 0T2:13x 28y + 35z + 6 = 0Ejercicio 1.15 Considere el planoT : x y +z 1 = 0y en este plano la recta:/ = (1, 1, 1) +t (1, 1, 2)Hallar una recta contenida en T ortogonal a /.1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 45Solucin. Sea n = (1, 1, 1) y v = (1, 1, 2) , n es el vector normal de T y v el vector direccional de /.Es claro queu = n v=

i

j

k11 1112= 3 (1, 1, 0)es un vector ortogonal a v. La recta/1 = (1, 1, 1) +s (1, 1, 0) : s Res la recta buscada, en efecto: si (x, y, z) /1 se tiene:x = 1 +sy = 1 +sz = 1entonces reemplazando en la ecuacin de plano se tiene:(1 +s) (1 +s) + (1) 1 = 0lo que prueba que /1 est en el plano T.Ejercicios propuestos1. Sea 2x2y +z 3 = 0 la ecuacin de un plano T. (a) Encuentre un vector unitario ortogonal al plano.(b) Encuentre un plano situado a 9 unidades del plano dado.Sol.: (a) u =_23, 23, 13_ (b) 2x 2y +z 30 = 0, 2x 2y +z + 24 = 0.2. Determinar si los puntos P0 = (1, 1, 1) , P1 = (0, 1, 2) , P2 = (2, 0, 3) y P3 = (0, 0, 5) se encuentranen un mismo plano, en caso armativo determinar tal plano. Sol. Los cuatro puntos se encuentran enun mismo plano, el plano es: x + 3y z 5 = 0.3. Considere el plano T que pasa por los puntos A = (1, 1, 1) , B = (2, 3, 1) , C = (3, 3, 2) .(a) Determinar el plano que pasa por A, perpendicular a T y contiene la recta bisectriz de las rectas quepasan por A y tienen vectores direccionales a los vectoresAB yAC. Sol. 19x18y +11z 12 = 0.Sol. x 2y + 5z 6 = 0.(b) Determinar el plano que es perpendicular a T y al cortar con el plano dado determina un tringuloissceles de vrtice A y lados iguales de longitud 2 unidades sobre las rectas que pasan por A ytienen vectores direccionales a los vectores AB y AC. Sol.4. Considere el planoT : x 2y + 2z 1 = 0y los puntos A = (1, 1, 1) , B = (3, 3, 2) sobre este plano.(a) Si A y B son puntos consecutivos de un cuadrado en T, hallar los otros dos puntos. (dos soluciones)Sol. Una solucin es (1, 2, 3) , (1, 4, 4).(b) Si A y B son los puntos extremos de las diagonales de un cuadrado en T, hallar los otros dos puntos.Sol. (3, 3/2, 1/2) , (1, 5/2, 5/2) .5. Hallar la recta / que pasa que pasa por P0 = (2, 1, 3) que es perpendicular al plano determinado porlos vectores a = (1, 2, 3) y b= (3, 1, 1) .Sol.: x 2y z 3 = 0.46 CAPTULO 1. VECTORES6. Hallar la recta que pasa por P0 = (1, 2, 3) , es perpendicular al vector v = (6, 2, 3) y se corta conla recta:x 13= y + 12= z 35 .Sol.: x + 12= y 23= z + 36. (Sug. la recta es la interseccin de dos planos.)7. (Este problema generaliza el anterior ejercicio) Hallar la recta que pasa por P0 = (x0, y0, z0) dado, esperpendicular a un vector dado v = (v1, v2, v3) y se corta con la recta:x x1a= y y1b= z z1c.Siempre existe tal recta?8. Halle la distancia del punto (2, 5, 1) al plano 2x + 4y 4z = 6.Sol.: 19. La recta/ = (1, 1, 1) +t (0, 1, 2) : t Rse encuentra en el plano T cuya ecuacin vectorial es5x 4y 2z + 1 = 0Hallar una recta en el plano T que se encuentre a 9 unidades de distancia de /.Sol.: Existen dos soluciones, /1 = (5, 5, 2) +r (0, 1, 2) : r R , /2 = (7, 7, 4) +r (0, 1, 2) : r R .10. Halle el ngulo entre los planos 2x + 3y + 4z = 11 y 3x y + 2z = 13.Sol.: 56.910.11. Determnese el plano que contiene las rectas que pasan por (1, 1, 1) , (2, 1, 0) y (0, 1, 2) , (2, 2, 0) .Sol.: T : x +z 2 = 0.12. Encuentre la interseccin del plano T= (2, 3, 2) +s (1, 0, 2) +t (1, 1, 1) : s, t R y la recta / =(1, 1, 1) +t (2, 1, 0) : t R .Sol.: _13, 23, 1_.13. Encontrar la distancia de P = (1, 3, 1) al planoT1 = (0, 1, 1) +s (2, 11, 1) +t (1, 1, 1) : s, t RSol. 40/31414. Encontrar la interseccin de los planosT1= (0, 1, 2) +s (1, 1, 1) +t (2, 1, 0) : s, t RT2= (1, 1, 2) +s (1, 0, 2) +t (0, 1, 1) : s, t RSol.: La recta que pasa por (0, 3, 6) con vector direccional v = (1, 3, 5) .15. Calcular la distancia entre dos planos paralelosT1= _P R3: P =n (P P1)_T2= _P R3: P =n (P P2)_Sol.: d = |(P2P1)n|n.1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 4716. Determnese el punto del plano T en donde la recta / que pasa por (1, 2, 1) es ortogonal al plano dado.T = (1, 1, 2) +s (1, 0, 2) +t (0, 1, 1) : s, t RSol.: _13, 53, 43_.17. (a) Halle un plano T que pase por (3, 6, 1) que sea perpendicular a la recta que pasa por los puntos(3, 6, 1) y (2, 7, 2) y tambin a la recta que pasa por (2, 1, 4) y (2, 1, 1) .(b) Halle un plano T que pase por (1, 2, 3) que sea perpendicular a la recta que pasa por los puntos(1, 2, 3) y (2, 1, 2) y tambin a la recta que pasa por (4, 3, 4) y (7, 4, 5) .Sol. (a) No existe. (b) 3x +y +z = 8.18. Halle un plano T que pase por los puntos (1, 0, 2) y (2, 3, 6) que adems sea paralela a la recta que pasapor (2, 3, 4) y (1, 6, 5) . Sol. 3x y 3 = 0.19. Halle la ecuacin del plano que pasa por (1, 1, 1) y que contiene la recta___x = 2 +ty = 3 tz = 4 + 2tSol.: 7x y + 3z + 5 = 0.20. Hallar una recta que se encuentre a 5 unidades del plano:T = (1, 0, 1) +s (1, 1, 2) +t (1, 1, 1) : s, t Ry en direccin del vector v = (1, 0, 2) .Sol.: P1 +tv, P2 +tv, donde: P1 =114_14 15, 5,14 + 10_ y P2 =114_14 + 15, 5,14 10_.21. Hallar un plano que pase por el punto:___x y +z = 12x y z = 02x +y z = 2y la recta:/ = (1, 1, 1) + t (1, 1, 1) : t RSol. Innitas.22. Hallar un plano que pase por el punto:___x +y +z = 8x y +z = 2x + 2y 3z = 3y contenga la recta:/ = (1, 1, 1) + t (1, 1, 1) : t RSol. x + 3y 4z + 2 = 0.23. Hallar en el Haz2x 3y +z 3 +(x + 3y + 2z + 1) = 0un plano que: (1) Pase por M1 = (1, 2, 3) ; (2) Sea paralelo al eje OX (3) Paralelo al eje OY, (4)Paralelo al eje OZ.Sol.: (1) 2x + 15y + 7z + 7 = 0, (2) 9y + 3z + 5 = 0, (3) 3x + 3z 2 = 0, (4) 3x 9y 7 = 0.48 CAPTULO 1. VECTORES24. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la recta de interseccin de los planos3x y + 2z + 9 = 0x +z 3 = 0y(i) por M = (4, 2, 3) ;(ii) es paralelo al vector

i.Sol.: (i) 23x 2y + 21z 33 = 0 (ii) y +z 18 = 0.25. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la recta de interseccin de los planos2x y + 3z 5 = 0x + 2y z + 2 = 0y es paralelo al vector v = (2, 1, 2) .Sol.: 5x + 5z 8 = 026. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la recta de interseccin de los planos3x 2y +z 3 = 0x 2z = 0y es perpendicular al plano x 2y +z + 5 = 0.Sol.: 11x 2y 15z 3 = 0.27. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la recta de interseccin de los planos5x y 2z 3 = 03x 2y 5z + 2 = 0y es perpendicular al plano x + 19y 7z 11 = 0.Sol.: 5x y 2z 3 + (3x 2y 5z + 2) = 0, para todo .28. Hallar la ecuacin del plano que pertenece al haz de planos(10x 8y 15z + 56) + (4x +y + 3z 1) = 0cuya distancia al punto C = (3, 2, 3) es igual a d = 7.Sol.: 2x 3y 6z +19 = 0, 6x 2y 3z +18 = 0. (Sug. Para simplicar clculos puede hacer = )29. Hallar la ecuacin del plano que pertenece al haz de planos(4x + 13y 2z 60) + (4x + 3y + 3z 30) = 0y recorta del ngulo coordenado Oxy un tringulo de rea igual a 6 unidades cuadrades.Sol.: 4x3y +6z 12 = 0, 12x49y +38z +84 = 0. (Sug. Para simplicar clculos puede hacer = ,encontrar = 83 y = 4429, tambin tome en cuenta que el tringulo no necesariamente debe estaren el primer cuadrante).1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 491.12.6 Proyeccin de una recta sobre un planoDenicin 1.28 Considrese una recta/ =P0 +tv : t Ry un planoT =_P R3: n(P P0) = 0_tal que / T =P0 . La recta proyeccin /p de la recta / sobre el plano T, es la recta que se encuentra enT y est en el mismo plano que n y v, tal como se muestra en el siguiente grco.

`Recta /Recta proyecci n /pnvP0wTEn el grco la recta proyeccin es/p = P0 +sw : s RClculo de la recta proyeccinPara este propsito, considrese el siguiente grco.

`Recta /Recta proyecci n /pnvP0wTA`Bel problema estar resuelto si se encuentra el vectorw o un vector paralelo a el. Puesto que /p se encuentraen el plano, el vectorw debe ortogonal al vector n, ms an si los vectores n, v yw se encuentran en unmismo plano el vector AB debe ser paralelo aw, (ver grco). As el vector P0A es la proyeccin ortogonalde v sobre n, esto es,P0A = vn|n|2n,luegoAB = v vn|n|2n50 CAPTULO 1. VECTORESpor tanto la recta proyeccin es:/p =_P0 +s_v vn|n|2n_: s R_Ejemplo 1.20 Considere el planoT : 2x y + 3z = 1y la recta: / = (1, 4, 1) +t (1, 2, 3) : t R . Hallar la recta proyeccin de / sobre T.Solucin. Con v = (1, 2, 3) , n = (2, 1, 3) :v vn|n|2n = (1, 2, 3) (1, 2, 3)(2, 1, 3)|(2, 1, 3)|2(2, 1, 3)=114 (4, 37, 15) .Del resultado anterior se puede tomarw = (4, 37, 15) y entonces la recta proyeccin es:/p = (1, 4, 1) +s (4, 37, 15) : s R ,se deja al lector probar que /p T.Angulo entre una recta y un planoEl ngulo entre una recta y un plano es el ngulo formado entre la recta y su recta proyeccin. En elsiguiente grco, el ngulo entre T y / es . Por la seccion anterior = arccos_v w|v| | w|_

`Recta /Recta proyecci n /pnvP0wTA`BSi el ngulo entre v y n es , un ngulo agudo, entonces por una parte:cos =vn|v| |n|,por otra parte, = /2 , luego:sin = sin(/2 ) = cos =nv|n| |v|,1.12. LA ECUACIN DEL PLANO 51luego el ngulo entre la recta y el plano se encuentra de:sin =nv|n| |v|(i)Si el ngulo entre v y n es , no es un ngulo agudo, se aplica lo anterior a n y entonces, el ngulo entrela recta y el plano se encuentra de:sin = nv|n| |v|(ii)De (i) y (ii) se sigue quesin = [nv[|n| |v|Ejemplo 1.21 Considere el planoT : 2x y + 3z = 1y la recta: / = (1, 4, 1) +t (1, 2, 3) : t R . Hallar el ngulo entre / y T.Solucin. Usando la frmula anterior se tiene:sin = [(2, 1, 3)(1, 2, 3)[|(2, 1, 3)| |(1, 2, 3)| =914por tanto: = sin1(9/14) = 0. 69822 247 radianes 400.Observacin. La recta proyeccin es:/p = (1, 4, 1) +s (4, 37, 15) : s Ry el ngulo entre las rectas / y /p se encuentra de:cos =(1, 2, 3)(4, 37, 15)|(1, 2, 3)| |(4, 37, 15)| =11522540por tanto = cos1_11522540_= 0.69822 247 radianes 400, claro est, el mismo resultado anterior.Ejercicios propuestos1. Hallar el ngulo que forman la recta:/ : x 12= 2 y1= 3 +z3y el plano:T : x +y +z = 1.Sol. = 17. 9802. Hallar el ngulo que forman la recta:/ : x y +z = 1, x +y +z = 2con el plano:T = (1, 1, 0) +t (1, 2, 1) +s (1, 2, 1) : s, t RSol. = 900.52 CAPTULO 1. VECTORESCaptulo 2SuperciesQue cada piedra que encuentres en tu caminosirva para demostrar cuanto vales.(de una tarjeta sin autor)Denicin 2.1 Una supercie en R3es un conjunto de la forma:S = (x, y, z) : F (x, y, z) = 0 ,donde F es una expresin algebraica en las variables reales x, y, z.Observacin. No toda ecuacin de la forma anterior representa una supercie, por ejemplo la ecuacinx2+y2+z2+ 1 = 0,no se satisface para ninguna terna (x, y, z) .Ejemplo 2.1 La esfera de radio 1 centrada en (0, 0, 0) es el conjuntoS =_(x, y, z) : x2+y2+z2= 1_

`111xyzEjemplo 2.2 La supercie:C =_(x, y, z) : x2+y2= 1_5354 CAPTULO 2. SUPERFICIESse llama cilindro. Esta supercie puede considerarse como engendrada por una recta paralela al eje z querecorre por la circunferencia x2+y2= 1.

`11xyz2.1 Supercies cilndricasDenicin 2.2 Una supercie es cilndrica si F (x, y, z) no contempla explcitamente una de las tres variables.SeaF (x, y) = 0la ecuacin de una curva en el plano XY y / una recta que no se encuentra en el plano. Al recorrer la recta/ por toda la curva genera una supercie, tal supercie se llama supercie cilndrica con directriz la curvadada y generatriz /.`

xyydirectrizgeneratriz--- -- //////////////////En supercies cilndricas se tienen dos problemas a resolver: Problema directo y el problema inverso.2.1.1 Problema directoSe enuncia de la siguiente forma:Dada una curva (la curva directriz) y un vector direccional de una recta (la recta genera-triz), encontrar la ecuacin de la supercie cilndricaSin prdida de generalidad, supngase que se tiene la ecuacin F (x, y) = 0 y que esta genera una curvaen el plano XY. Sea / la recta generatriz con vector direccional v = (a, b, c) en donde c ,= 0. Para encontrarla ecuacin de la supercie cilndrica procedemos como sigue: Sea (x0, y0, 0) el punto en el que la recta generatriz corta a la curva directriz. Entonces la recta puedeescribirse como:/ = (x0, y0, 0) +t (a, b, c) : t R2.1. SUPERFICIES CILNDRICAS 55 Si (x, y, z) /, se debe tener:x = x0 +ta, (1)y = y0 +tb,z = tc,ms an, como (x0, y0, 0) se encuentra en la curva directriz, tambin se tiene:F (x0, y0) = 0 (2) De las tres ecuaciones que aparecen en (1) se eliminan x0, y0 y t, obtenindose sucesivamente:t = z/cx0= x za/cy0= y zb/creemplazando de (2),F_x acz, y bcz_= 0,esta ecuacin es la buscada.Observaciones.1. Si el vector direccional de la recta generatriz es v = (0, 0, 1) , (1) y (2) se reducen aF (x, y) = 0, z = tlo cual muestra que independientemente del valor de z, las dos primeras coordenadas de un punto (x, y, z)de la supercie satisfacen la ecuacin F (x, y) = 0. En este caso la supercie tiene el siguiente aspecto.`

xyygeneratrizdirectriz--- -- 2. Si la curva directriz es F (x, z) = 0 y v = (a, b, c) , con b ,= 0, es el vector direccional de la rectageneratriz, entonces la ecuacin de la supercie cilndrica es:F_x aby, z cby_= 03. Si la curva directriz es F (y, z) = 0 y v = (a, b, c) , con a ,= 0, es el vector direccional de la rectageneratriz, entonces la ecuacin de la supercie cilndrica es:F_y bax, z cax_= 056 CAPTULO 2. SUPERFICIESEjemplo 2.3 Hallar la ecuacin de la supercie con directriz y = x2y generatriz con vector direccionalv = (1, 2, 3) .Solucin. En este caso F (x, y) = y x2. Sea (x0, y0, 0) un punto de la curva directriz y (x, y, z) un puntode la recta generatriz/ = (x0, y0, 0) +t (1, 2, 3) : t Rentonces:x = x0 +t,y = y0 + 2t,z = 3t,de la tercera ecuacin: t = z/3, luego de las primeras dos ecuacionesx0= x t = x z/3y0= y 2t = y 2x/3Luego la ecuacin buscada es:F_x z3, y 2z3_= 0,es decir:y 2z3 _x z3_2= 0simplicando se tiene:y 23z x2+ 23xz 19z2= 0,A continuacin se muestra el grco`

`

xyzvy = x2

2.1.2 Problema inversoSe enuncia de la siguiente forma:Dada la ecuacin de una supercie cilndrica, encontrar la curva directriz que la generamas el vector direccional de la recta generatrizSeaG(x, y, z) = 0,la ecuacin de la supercie cilndrica, entonces si la curva directriz est en el plano XY, cuando z = 0, laecuacin G(x, y, 0) = 0 debe originar una curva que se encuentra en el plano XY. Sea F (x, y) = 0 la ecuacin2.1. SUPERFICIES CILNDRICAS 57de la curva. Para hallar el vector direccional v = (a, b, c) se procede a escribir la ecuacin G(x, y, z) = 0 enla forma:F_x acz, y bcz_= 0,as se identican los valores de a, b, c y el problema queda resuelto.Observacin. Si x = 0, y la curva est dada por F (y, z) = 0, el vector direccional se encuentra escribiendoG(x, y, z) = 0 en la forma:F_y bax, z cax_= 0.Similarmente si y = 0, escribiremos G(x, y, z) = 0 en la forma:F_x aby, z cby_= 0Ejemplo 2.4 Hallar la ecuacin de la directriz y el vector direccional de la recta generatriz si17x2+ 2y2+z28xy 6xz 2 = 0.Solucin. Si x = 0 se tiene:2y2+z22 = 0,as debemos escribir la ecuacin 17x2+ 2y2+z28xy 6xz 2 = 0 como2_y xba_2+_z xca_22 = 0.donde v = (a, b, c) es el vector direccional de la recta generatriz. Completando cuadrados:2y28xy = 2 (y 2x)28x2z26xz = (z 3x)29x2por tanto:17x2+ 2y2+z28xy 6xz 2 = _2y28xy_+_z26xz_+ 17x22= 2 (y 2x)28x2+ (z 3x)29x2+ 17x22= 2 (y 2x)2+ (z 3x)22por tanto:ba = 2 , ca = 3de donde:v = (a, b, c) = (a, 2a, 3a) = a (1, 2, 3)como el vector direccional es cualquier vector paralelo a v = a (1, 2, 3) , en particular podemos tomar a = 1,es decir: v = (1, 2, 3).Conclusin:Directriz: 2y2+z22 = 0,Vector direccional de la recta generatriz: v = (1, 2, 3)Problemas propuestos1. Sea C una curva en el plano Y Z dada por ecuacin F (y, z) = 0 y v un vector. Como se encuentra lasupercie cilndrica con directriz C y recta generatriz paralela al vector v?2. Lo mismo que el ejercicio anterior cuando F (x, z) = 0.58 CAPTULO 2. SUPERFICIES3. Trazar la supercie cilndrica cuya ecuacin se da.(a) x2y24 = 0(b) x2+z24z + 3 = 0(c) 4y24y 16 z2+ 8z = 0(d) ex3y = 0(e) cos x y = 04. En los siguientes ejercicios se da la ecuacin de la curva directriz y el vector direccional de la rectageneratriz. Hallar la supercie y gracar la misma.(a) y cos x = 0, v = (1, 2, 1) ; Sol.: y 2z cos xcos z sinxsinz = 0(b) y2z2= 1 = 1; v = (1, 1, 1) ; Sol.: y2+ 2xy z2+ 2xz 1 = 0(c) x2+z2= 1, v = (2, 1, 1) ; Sol.: x2+ 5y2+z24xy + 2yz 1 = 0(d) x2y2= 1, v = (0, 2, 1) ; Sol.: x2y24z24yz 1 = 0(e) x2+y 1 = 0, v = (2, 0, 1) ; Sol.: x2+ 4z24xz +y 1 = 0(f) 4x2+z2+ 4z = 0, v = (4, 1, 0) ; Sol.: 4x2+ 64y2+z232xy + 4z = 05. Gracar las siguientes supercies cilndricas. (Sug. Hallar la directriz y el vector direccional de la rectageneratriz)(a) x2+y2+ 2z2+ 2xz 2yz 1 = 0; Sol.: x2+y2= 1, z = 0, v = (1, 1, 1) .(b) x2+y2+ 5z2+ 2xz + 4yz 4 = 0; Sol.: x2+y2= 4, z = 0, v = (1, 2, 1)(c) xz + 2yz 1 = 0; Sol.: xz = 1, y = 0, v = (2, 1, 0)(d) cos (y 2x) sin(z + 2x) = 0; Sol.: x = 0, cos y sinz = 0, v = (1, 2, 2)2.2 Supercies cudricasEn esta seccin consideramos supercies originadas por polinomios de segundo grado a tres variables. Lassupercies a estudiar tienen la formaax2+by2+cz2+dxy +exz +fyz +gx +hy +iz +j = 0,para los propsitos que se persiguen nos interesan en particular las siguintes supercies: Esfera, elipsoide,hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono, paraboloide, paraboloide hiperblico.Antes de estudiar estas supercies denimos el concepto de traza.Denicin 2.3 (Traza)Dada una supercieF (x, y, z) = 0,la traza de la supercie es la curva que resulta de la interseccin de la supercie con uno de los planos paralelosa los planos x = 0 (plano yz), y = 0 (plano xz) y z = 0 (plano xy).Obsrvese que el plano z = 0 se escribe como0x + 0y + 1z = 0,2.2. SUPERFICIES CUDRICAS 59es claramente un plano que pasa por el origen con normal k = (0, 0, 1) , un plano paralelo a z = 0 es de laforma z = k (k R), es obvio que este plano tiene tambin al vector k como normal.`

z = 0z = kxyz2.2.1 Esferax2+y2+z2= r21. Cortes con z = k. En este caso la ecuacin de la supercie queda como:x2+y2= r2k2,de lo anterior es fcil observar que la traza es siempre una circunferencia de radior2k2 para r2k20, es decir para k [r, r] , obsrvese que para valores [k[ > r no se tiene interseccin, es decir no setiene traza.2. Cortes con y = k: Ejercicio.3. Cortes con x = k : Ejercicio.

`rrrxyz2.2.2 Elipsoidex2a2 + y2b2 + z2c2 = 160 CAPTULO 2. SUPERFICIES

`bcaxyz2.2.3 Hiperbolide de una hojax2+y2z2= 11. Cortes con z = k. La ecuacin queda como:x2+y2= 1 +k2,es decir, los cortes con cualquier plano paralelo a z = 0 son circunferencias de radio 1 +k2, obsrveseadems que la circunferencia de menor radio ocurre cuando k = 0.2. Cortes con y = k. En este caso se tiene:x2z2= 1 k2,que son hiprbolas, dependiendo del signo de 1 k2se tendrn hiprbolas con eje focal en el eje x o enel eje z, concrtamente: si k (1, 1) , 1 k2> 0 y entonces se tiene una hiprbola con eje focal en el eje x. si k / [1, 1] , 1 k2< 0 y entonces se tiene una hiprbola con eje focal en el eje z. si k = 1, 1 k2= 0, y entonces se tiene dos rectas.3. Cortes con x = k. En este caso se tiene:y2z2= 1 k2,que son hiprbolas, dependiendo del signo de 1 k2se tendrn hiprbolas con eje focal en el eje y o enel eje z, concrtamente: si k (1, 1) , 1 k2> 0 y entonces se tiene una hiprbola con eje focal en el eje y. si k / [1, 1] , 1 k2< 0 y entonces se tiene una hiprbola con eje focal en el eje z. si k = 1, 1 k2= 0, y entonces se tiene dos rectas.2.2. SUPERFICIES CUDRICAS 61`

xyz

2.2.4 Hiperboloide de dos hojasx2y2z2= 11. Cortes con z = k,x2y2= 1 +k2,son hiprbolas con eje focal en el eje x.2. Cortes con y = k,x2z2= 1 +k2,son hiprbolas con eje focal en el eje x3. Cortes con x = k, .y2+z2= k21,circunferencias cuando [k[ 1`

xyz62 CAPTULO 2. SUPERFICIES2.2.5 Conox2+y2z2= 0`

`````````xyz2.2.6 Paraboloidex2+y2z = 0`

xyz

2.2.7 Paraboloide hiperblicox2y2z = 01. Cortes con z = k;x2y2= k,hiprbolas: Con eje focal en el eje x si k > 0; Con eje focal en el eje y si k < 0. Son rectas si k = 0.2. Cortes con y = k,z + k2= x2,parbolas con vrtice en _0, k2_.2.2. SUPERFICIES CUDRICAS 633. Cortes con x = k,z k2= y2`

xyzProblemas propuestosGracar las siguientes supercies.1. 4x2+ 9y2= 362.x212 + y222 +125z2225z = 24253.x212 + y222 z252 = 14.x212 y222 z252 = 15.x212 + y222 = 2z6.x212 y222 = 2z7.x212 + y222 z252 = 08.125z2225z +125 +x2+y2= 1Soluciones64 CAPTULO 2. SUPERFICIES`xyz

32`xyz

216Problema 1 Problema 2Captulo 3Funciones vectoriales de una variablerealEstas funciones tienen dominio en R y codominio en Rn. Si f es una funcin vectorial, entoncesf : Df R RnEn lo que sigue, siempre que hablemos de vector se entender que es un vector columna, ms an aban-donaremos la notacin x para indicar un vector y simplemente escribiremos x.Recordemos que con los vectores unitarios ei, con la unidad en la i esima componente y ceros en lasdems se puede escribir:_____v1v2...vn_____= v1 e1+ +v2 e2+ +vn enTambin usaremos el superndice To tpara indicar transpuesta. Por ejemplo:(v1, v2, . . . , vn)t= (v1, v2, . . . , vn)T=_____v1v2...vn_____Ejemplo 3.1 Las siguientes funciones son funciones vectoriales de una variable real:1. f (t) = 2t e1 +(1 +t) e2 +(2 3t) e3; f : R R32. g (t) = sinte1 + cos te2; g : R R2Una funcin vectorial f : Df R Rn, involucra n funciones reales fi : Df R R, asf (t) =___f1 (t)...fn (t)___ = f1 (t) e1+ +fn (t) enA veces escribiremos:f =___f1...fn___6566 CAPTULO 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL3.1 Representacin grcaPor denicin el rango de f : Df RRn, es:f = f (t) : t Df .debemos observar que el rango f es un subconjunto de Rn, ms an, en muchos casos la grca es unacurva en Rn. A continuacin mostramos una funcin de R en R3:x = t cos(t), y = t2sin(t), z = cos(t)xyzt( ) t fR3REjercicios resueltosEjercicio 3.1 Sea f : R R3denida por f (t) = 2t e1 +(1 +t) e2 +(2 3t) e3, gracar fSolucin. Observemos que con A = (0, 1, 2)Ty v = (2, 1, 3)Tse puede escribirf (t) = A+tvluego:f= f (t) : t R= A+tv : t Rclaramente el conjunto f es una recta en R3.Ejercicio 3.2 Sea f : [0, 4] R3denida por f (t) = sint e1 +cos t e2 +t e3, gracar f.Solucin. Hallemos algunos puntos de la curva:t f (t)0 (0, 1, 0)T12 _1, 0, 2_T (0, 1, )T32 _1, 0, 32_T2 (0, 1, 2)TPara gracar la curva observemos que si (x, y, z)T f, entonces:x = sint (1)y = cos t (2)z = t (3)3.1. REPRESENTACIN GRFICA 67(1) de la primera y segunda ecuaciones se elimina el parmetro t y se obtiene x2+y2= 1. (2) De la segunday tercera ecuaciones se obtiene y = cos z, as la grca debe ser la interseccin de las supercies:x2+y2= 1y = cos z,por tanto la grca est sobre el cilindro de ecuacin x2+ y2= 1. La grca, una hlice, se muestra acontinuacin.xyz0.510.5105101520Ejercicio 3.3 Gracar g (t) =_t, t2, 2t_T.Solucin. Si (x, y, z) es un punto de la grca de g se debe tener:x = t (1)y = t2(2)z = 2t (3)de la primera y segunda ecuacin se tiene y = x2, de la primera y tercera ecuacin z = 2x, por tanto la grcaes la curva que resulta de la interseccin de las superces cilndricasy = x2z = 2x`

Cilindro y = x2------Plano z = 2x

Curva>>>>>>>xyzEjercicio 3.4 Gracar: =_x2+z2= 1x +y +z = 0Solucin. La grca es la interseccin del cilindro x2+z2= 1 y el plano x +y +z = 0.68 CAPTULO 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REALEjercicio 3.5 La epicicloide es una curva plana engendrada por el movimiento de un punto P de la cir-cunferencia de un crculo C de radio r que rueda sin resbalar sobre una circunferencia C0 de radio r0, comose ve en la gura.Hallar las coordenadas de cualquier punto de la curva en funcin del ngulo si C0 estcentrado en el origen y P est situado inicialmente en (r0, 0) .`

_.......... ``

`Qe1e2e1,,OAPBC0C-Solucin. Del grcoOP = OA+APdel grco:OA = (r0 +r) cos e1+(r0 +r) sin e2Observemos que el arco BQ es igual al arco BP luegor0 = rBAPde donde BAP = r0r .Sea el ngulo que se forma con AP y e1. Del grco es claro que BAP + = , de donde =BAP + =r0r + luego = r +r0r por tantoAP = r cos e1 +r sin e2= r cos_r +r0r _ e1 +r sin_r +r0r _ e2= r cos_r + r0r_ e1r sin_r +r0r_ e2por tantoOP = OA+AP= _(r +r0) cos r cos_r +r0r__e1 +_(r +r0) sin r sin_r +r0r__ e2El vector OP contiene las coordenadas de la hipocicloide.3.2. ALGEBRA DE FUNCIONES 69Ejercicios propuestosGracar las siguientes curvas1. f (t) = ete1 +te2 +ete32. g (t) = cos te1 + cos te2 +te33. =_ x2+y21 +z = 0x2+y2= 44. La hipocicloide es la curva plana engendrada por un punto P de la circunferencia de un crculo Ccuando C rueda sin resbalar en el interior de un crculo jo C0, como se muestra en la gura. Hallar lascoordenadas de cualquier punto de la curva en funcin del ngulo si C0 est centrado en el origen ytiene radio r0, P est situado inicialmente en (r0, 0) y C tiene radio r.Sol. _(r0r) cos +r cos_r0rr__ e1 +_(r0r) sin r sin_r0rr__ e23.2 Algebra de funcionesSean f : Df RRn, g : Dg RRn, : D RR se denen:3.2.1 Suma, restaSuma:(f +g) (t) = f (t) +g (t) ;Dominio Df Dg; Codominio RnResta:(f g) (t) = f (t) g (t) ;Dominio Df Dg; Codominio Rn3.2.2 Producto interior y producto cruzProducto interior:(fg) (t) = f (t)g (t) ;Dominio Df Dg; Codominio RProducto cruz:(f g) (t) = f (t) g (t) ;Dominio Df Dg; Codominio R3, vlido solamente para n = 3.3.2.3 Producto por una funcin realProducto una funcin real por una funcin vectorial:(f) (t) = (t) f (t) ;Dominio Df D; Codominio Rn70 CAPTULO 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL3.2.4 La funcin compuestaSi : D R R, f : Df R Rn, denimos la funcin compuesta de y f, lo que escribimos f ,como:(f ) (t) = f ((t))ilustramos a continuacin el caso de f una funcin de R en R3.

`//////////// `

f

f

,,,t(t)f((t))3.3 Lmite de una funcin vectorialDenicin 3.1 Sea U un intervalo abierto, f : U R Rn. Sea p U y a Rn, se denelimtpf (t) = asi dado> 0, existe > 0 tal que si[t p[ < , entonces |f (t) a| < .Intuitivamente esto signica que para puntos t sucientemente cercanos a p, las imgenes f (t) estn cercanasde a. Ilustramos esta situacin para el caso n = 2.

_,,af(t)

R R2t ,,p

`fTeorema 3.2 Sea f = (f1, . . . , fn)T, a = (a1, . . . , an)T, entonceslimtpf (t) = a3.4. CONTINUIDAD 71si y solamente silimtpfi (t) = aipara i = 1, . . . , n, es decir:limtpf (t) = limtp(f1 (t) , . . . , fn (t))T= _limtpf1 (t) , . . . , limtpfn (t)_T= (a1, . . . , an)TEs claro que si uno de los lmites limtpfi (t) no existe, el lmite limtpf (t) no existe.Ejemplo 3.2limt0___t2+ 1sinttet___ =____limt0_t2+ 1_limt0sinttlimt0et____=__ 111__Ejemplo 3.3 El lmite:limt0_ t2+ 1cos tt_=__ limt0_t2+ 1_limt0cos tt__no existe, pues el lmitelimt0cos ttno existe.3.4 ContinuidadDenicin 3.3 Una funcin f es continua en un punto p si:limtpf (t) = f (p)Teorema 3.4 Una funcinf =___f1...fn___es continua en un punto p si y solamente si cada una de las funciones fi, i = 1, . . . , n, son continuas en p.Ejemplo 3.4 La funcinf (t) =__ t21cos tet__es continua en todo t R pues las funciones f1 (t) = t2 1, f2 (t) = cos t, f3 (t) = etson todas funcionescontinuas.72 CAPTULO 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL3.5 La derivadaDenicin 3.5 Sea f : Df R Rn, t Df, la derivada de f en el punto t, denotado por f

(t) es:f

(t) = limh0f (t +h) f (t)hsiempre que tal lmite exista.Para el clculo de la derivada se tiene el siguiente teorema.Teorema 3.6 Seaf (t) =___f1 (t)...fn (t)___entonces:f

(t) =___f

1 (t)...f

n (t)___en cualquier punto t en donde la derivada exista. As la derivada de una funcin vectorial se realiza com-ponente a componente.Ejemplo 3.5 Sea f (t) =_ t2t_, la derivada en t = 5 es:f

(5) = limh0f (5 +h) f (5)h= limh01h__ (5 +h)25 +h__ 255__= limh01h_ 10h +h2h_= limh0_ 10 +h1_=_ 101_es claro que en cualquier punto t:f

(t) =_ 2t1_Ejemplo 3.6 Sif (t) =__cos tet2arctant__entonces:f

(t) =___sint2tet211 +t2___3.5.1 Teoremas sobre la derivadaTeorema 3.7 Sean f : Df R Rn, g : Dg R Rn, : D R R. Entonces1. (f +g)

(t) = f

(t) +g

(t)2. (f g)

(t) = f

(t) g

(t)3. (fg)

(t) = f

(t)g (t) +f (t)g

(t)4. (f g)

(t) = f

(t) g (t) +f (t) g

(t)3.5. LA DERIVADA 735. (f)

(t) =

(t) f (t) +(t) f

(t)Teorema 3.8 Si |f (t)| es una constante en Df, entonces f (t) es ortogonal a f

(t) en Df.Demostracin. Sea |f (t)| = c, claramente f (t)f (t) = c2, derivando a ambos lados se tiene:2f (t)f

(t) = 0de donde el resultado sigue.

3.5.2 La regla de la cadenaTeorema 3.9 (Regla de la cadena) Sean : D RR R, f : RRn. Entonces:(f )

(t) = f

((t))

(t)Ejercicio 3.6 Considrese la funcin f (t) =_t2t, cos t_t, (x) = lnx. Calcular (f )

(t) usando la reglade la cadena y sin usarla.Solucin.(usando la regla de la cadena) Para este propsito se requiere calcula