Valle Martınez Juan OmarTarea II

INTEGRAR

1)

∫1

9x4 + x2dx =

∫1

x2(9x2 + 1)dx

Por Fracciones parciales:→∫

1

x2dx− 9

∫1

9x2 + 1dx = −

(1

x+ 3arctan(3x)

)+ C

2)

∫1

x3 + x2 + xdx =

∫1

x(x2 + x+ 1)dx

Por Fracciones parciales:→∫

1

xdx−

∫x+ 1

x2 + x+ 1dx =

∫1

xdx−

∫x+ 1

(2x+1)2

4 + 34

dx

Sea t = 2x+ 1→ x = t−12 → dx = 1

2dt→ (ln|x|+ C1)−∫ t+1

2t2+32

dt

= (ln|x|+ C1)−1

2

∫2t

t2 + 3dt−

∫1

t2 + 3dt = ln|x| − 1

2ln|t2 + 3| − 1√

3arctan

(t√3

)+ C

Sustituyendo t por x→ ln|x| − 1

2ln|(2x+ 1)2 + 3| − 1√

3arctan

(2x+ 1√

3

)+ C

3)

∫2x+ 1

(x2 + 1)xdx

Por Fracciones parciales:→∫

1

xdx+

∫2− xx2 + 1

dx

= (ln|x|+ C1)−1

2

∫2x

x2 + 1dx+ 2

∫1

x2 + 1dx = ln|x| − 1

2ln|x2 + 1|+ 2arctan(x) + C

DOMINIO DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Para arcsen(θ) los valores de θ son −1 ≤ θ ≤ 1.

Para arccos(θ) los valores de θ son −1 ≤ θ ≤ 1.

Para arctan(θ) los valores de θ son −∞ < θ <∞.

Para arccsc(θ) los valores de θ son θ ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞).

Para arcsec(θ) los valores de θ son θ ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞).

Para arccot(θ) los valores de θ son −∞ < θ <∞.

1

CRITERIOS DE INTEGRABILIDAD

Criterio 1.Sea f una funcion acotada en un intervalo [a, b]. Se dice que f es integrable si la integralinferior y la integral superior de f en [a, b] coinciden. En ese caso, a ese numero se ledenomina integral de f en [a, b], y se escribe:∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx

Criterio 2.Criterio de Integrabilidad de Riemann:Sea f una funcion acotada definida en un intervalo [a, b] (cerrado y acotado). f es integrablesi y solo si para cada ε > 0 existe una particion P ∈ [a, b] tal que:

S(f, P )− I(f, P ) < ε

Criterio 3.Existe una sucesion de particiones Pn de [a, b] tal que:

lımn→∞

S(f, Pn)− I(f, Pn) = 0

En este caso∫ b

af(x)dx = lım

n→∞S(f, Pn) = lım

n→∞I(f, Pn) = 0.

Otros criterios.

Todas las funciones continuas son integrables.

Todas las funciones acotadas con un numero finito de puntos de discontinuidad sonintegrables.

Todas las funciones monotonas son integrables.

EjemplosNo integrableUn caso de funcion no integrable Riemann es la funcion de Dirichlet, definida en el intervalo[0, 1] como:

f(x) =

{1 si x ∈ Q0 si x 6∈ Q

Si tomamos una particion cualquiera P del [0, 1], en cada intervalo ∆i de la particion ten-dremos por lo menos un numero racional y un numero racional. Por lo tanto el supremo de

2

f en cada ∆i es 1, y el ınfimo es 0. Con esto, las sumas inferiores para cualquier particiondan cero, mientras que las superiores dan siempre 1. En consecuencia, f no es integrableporque la integral superior de f(x) es igual a 1 y la inferior da 0.

IntegrableTodas las funciones continuas definidas en intervalos cerrados y acotados son integrables.Por ejemplo: Todas las funciones polinomicas del tipo f(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 +

...+ anxn

Las funciones trigonometricas f(x) = sen(x) y f(x) = cos(x)La funcion exponencial f(x) = ex, y la funcion logaritmo f(x) = ln(x) en un intervalo denumero positivos.Las funciones racionales, cocientes de dos polinomios, siempre que la funcion denomina-dor no se anule en ningun punto del intervalo de integracion f(x) = a0+a1x+...+anxn

b0+b1x+...+bmxm

Y en general composiciones de estos tipos de funciones.

CURVAS DE NIVEL

f(x, y) = x2 + y2.

con z = 0, 1, 4, 9.

f(x, y) = cos(x+ y).

con z = −1, 0,1

2.

3

f(x, y) = exy.

con z = e−2,−1, 0, 1,−2.

Misma funcion haciendo zoom

en un intervalo mas pequeno

0 = x+ y + z.

con z = −1, 0, 1.

0 = 3z2 + x2 + y2.

con z = 0, 6, 12.

4