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CEAD Medellín/Zona Occidente/Red de
Curso ATGA 301301
B-Learning Tarea 2 unidades 1 y 2
Fernando Ulpiano Pantoja Agreda
Medellín 14/09/2018
Tarea 2
introducción
Presentación Tarea 2
Ejercicios
Saludo
CEAD Medellín/Zona Occidente/Red de
Curso ATGA 301301
CEAD Medellín/Presentación
Director: Ing. José Alberto CedanoTutor : Ing. Fernando Ulpiano Pantoja Agreda
Estrategia: aprendizaje basado en tareas (ABT)Objetivo: fortalecer las competencias básicas Propósito: aplicar diversas metodologías para la comprensión y solución de problemas de su entorno.
Actividades: son de tipo individual, los grupos colaborativos, podrán servir de apoyo para aclarar dudas, cumpliendo con los propósitos de cada unidad del curso.
CEAD Medellín/Presentación
CEAD Medellín/Zona Occidente/Red de
Curso ATGA 301301
CEAD Medellín/Acuerdos
Ecuaciones Lineales con una Incógnita
𝑥 + 6 = −3
𝑥 + 6 − 6 = −3 − 6
𝑥 = −9
Ecuaciones con dos Incógnitas
3𝑥
5+5𝑦
3= 3 (𝟏)
6𝑥
5+5𝑦
3= 1 (𝟐)
Evitar las fracciones
CEAD Medellín/Ecuaciones
15𝑥 +25𝑦
3= 15
Multiplico por 5 la ecuación (1)
Multiplico por 3 la anterior
45𝑥 + 25 𝑦 = 45 (𝟒)
6𝑥 +25𝑦
3= 5
Multiplico por 5 la ecuación (2)
Multiplico por 3 la anterior
18𝑥 + 25𝑦 = 15 (𝟓)
CEAD Medellín/Ecuaciones
𝑦 =45−45𝑥
25(6)Despejo de (4) y
Reemplazo y en (5) 18𝑥 + 25(45 − 45𝑥
25) = 15
18𝑥 + 45 − 45𝑥 = 15
Términos semejantes18𝑥 − 45𝑥 = 15 − 45
-27𝑥 = −35Despejo x 𝑥 =35
27
Reemplazo x en (6)𝑦 =
45 − 453527
25𝑦 =
9(1 −3527
)
5𝑦 =
9(−827
)
5
𝑦 =−722751
𝑦 =72
135
CEAD Medellín/Ecuaciones
CEAD Medellín/Inecuaciones
−5 ≤4 − 3𝑥
2< 1
Resolvemos para x, como si fuera una igualdad
−10 ≤ 4 − 3x <2Multiplico por 2
Sumo -4−14 ≤ −3x < −2
Divido por -3
14
3≤ x <
2
3
0 1 2 3 4𝟐
𝟑5𝟏𝟒
𝟑
CEAD Medellín/Ecuaciones con Valor
Absoluto
𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑎 ; ˅ ; 𝑥 = −𝑎
2𝑥 − 6 ≤ 4
−4 ≤ 2𝑥 − 6 ≤ 4
−4 + 6 ≤ 2𝑥 ≤ 4 + 6
2 ≤ 2𝑥 ≤ 10
1 ≤ 𝑥 ≤ 5
Por definición de valor absoluto
Sumo 6
Divido por 2
0 1 2 3 4 5
CEAD Medellín/Funciones
CEAD Medellín/Funciones
CEAD Medellín/Funciones
CEAD Medellín/Funciones/Dominio
Para determinar el dominio,
observamos los posibles
valores que puede tomar la
variable x, en este caso son
todos los números reales
excepto el 1, ya que en x=1,
el denominador se hace
cero, y por tanto f(x) no está
definida.
𝒇 𝒙 =𝟐
𝒙 − 𝟏
CEAD Medellín/Funciones/Rango
Para determinar el rango,
se analiza cuáles son los
posibles valores de la
variable y, para esto se
despeja de la ecuación,
la variable x
𝒇 𝒙 =𝟐
𝒙 − 𝟏
CEAD Medellín/Trigonometría
𝒔𝒊𝒏𝜷 =𝑪𝑶
𝒉
𝒄𝒐𝒔𝜷 =𝑪𝑨
𝒉
𝒕𝒂𝒏𝜷 =𝒔𝒆𝒏
𝒄𝒐𝒔
𝒄𝒔𝒄𝜷 =𝒉
𝑪𝑶
𝒔𝒆𝒄𝜷 =𝒉
𝑪𝑨
𝑪𝒐𝒕𝜷 =𝒔𝒆𝒏
𝒄𝒐𝒔
CEAD Medellín/Trigonometría/Ley de senos
𝒂
𝒔𝒆𝒏 𝜶=
𝒃
𝒔𝒆𝒏 𝜷=
𝒄
𝒔𝒆𝒏 𝜽
CEAD Medellín/Trigonometría/Ley de cosenos
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜷
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜸
CEAD Medellín/Ejercicios
Ejercicio 1: Ecuaciones
El señor Pantoja va a invertir $1.000.000. El quiere recibir un ingreso anual de $65.000.Puede invertir sus fondos en un Banco que ofrece un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% con una cooperativa de ahorro y crédito.¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $65.000?
El fabricante de cafeteras puede vender todo lo que produce al precio de $150.000
cada cafetera. Gasta $115.000 en materia prima y mano de obra al producir cada
unidad, y tiene costos adicionales (fijos) de $7.000.000 a la semana en la operación de
la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para
obtener una utilidad de al menos $ 2.000.000 a la semana.
Ejercicio 2: Desigualdades
CEAD Medellín/Ejercicios
Ejercicio 3: Valor absoluto
De acuerdo con el mercado, el próximo año el precio, p en pesos, de un celular de alta gama, estará dado por |𝑝−2.600.000|≤450.000. Determine el precio más alto y el más bajo que tendrá un teléfono móvil de alta gama el próximo año.
CEAD Medellín/Ejercicios
Ejercicio 4: Funciones
CEAD Medellín/Ejercicios
Un operador celular cobra $ 200 pesos por minuto y $ 5 pesos por cada 15 segundos
adicionales. Describe esta situación mediante una función; obtén con ella el pago
correspondiente a 3,5 minutos y una expresión para el pago, según el tiempo de uso.
Ejercicio 5:Trigonometría
CEAD Medellín/Ejercicios
Un parapentista está volando a 850 m de altura, visualiza su punto de aterrizaje con un
ángulo de depresión de 15°. ¿A qué distancia del punto de aterrizaje se halla?
CEAD Medellín/Solución
Ejercicio 1: Ecuaciones
Datos del problema
𝑠𝑒𝑎 𝑥 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜
𝑠𝑒𝑎 𝑦 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐶𝑜𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
Entonces
𝑥 + 𝑦 = 1.000.000 (1)
Sabemos que el rendimiento debe ser de $65.000
Donde el banco ofrece el 6% y la cooperativa el 8.5%
Entonces
0.06𝑥 + 0.085𝑦 = 65.000 (2)
Rta/ debo invertir en el Banco $ 800.000 y en la Cooperativa $ 200.000
CEAD Medellín/Solución en Geogebra
CEAD Medellín/Solución
Ejercicio 2: Desigualdades
𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 𝑐𝑎𝑓𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑦 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎
𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒 115.000𝑥 + 7.000.000 (1)
𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 150.000𝑥 (2)
Por tanto si la utilidad corresponde a lo que queda de ingresos- costos; se tiene que por
condición del problema:
)35.000𝑥 − 7.000.000 ≥ 2.000.000 (3
𝑅𝑡𝑎./ 𝑥 ≥ 258 𝑐𝑎𝑓𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑦 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠
CEAD Medellín/Solución en Geogebra
CEAD Medellín/Solución
Ejercicio 3: Valor absoluto
−450.000 ≤ 𝑝 − 2.600.000 ≤ 450.000
Rta. el precio más alto y el más bajo que tendrá un teléfono móvil de alta gama el próximo año.
2.150.000 ≤ 𝑝 ≤ 3.050.000
CEAD Medellín/Solución en Geogebra
CEAD Medellín/Solución
Ejercicio 4: Funciones
𝑠𝑒𝑎 𝑦 = 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Recordar que:
1𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠 ; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠; 3.5 𝑚𝑖𝑛 = 210 𝑠
Del enunciado se sabe que: 𝑦 = 200 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠; 𝑠𝑖, 𝑥 ≤ 60 𝑠
𝑦 = 200 +1
4(5)(𝑥 − 60) 𝑥 > 60 𝑠
Para la pregunta se tiene la función evaluada en 210 s.
𝑦 = 200 +1
45 210 − 60
𝑦 = $ 387,5
CEAD Medellín/Solución en Geogebra
CEAD Medellín/Solución
Ejercicio 5:Trigonometría
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Utilizando la ley del seno:
ℎ
𝑠𝑒𝑛 (𝛼)=
𝑑
𝑠𝑒𝑛(𝜃)=
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (𝛽)(1)
𝑠𝑖 θ = 75° ; ℎ = 850 𝑚 ; 𝛽 = 15°
Hallemos x:
𝑥
𝑠𝑒𝑛(75°)=
850
𝑠𝑒𝑛 (15°)
𝑥 =850 ∗ 𝑠𝑒𝑛(75°)
𝑠𝑒𝑛 (15°)
𝑥 = 3.172,24 𝑚
