soluciones guias

Vicerrectora Acadmica Direccin de Servicios Acadmicos

Subdireccin de Servicios a Escuelas

1

SOLUCIONES GUA N1

Funciones y sus Grficas

N1 a) 11,0fDom b)

c) Intervalos de crecimiento ]0,1[, ]4,8[, ]10,11[

Intervalos de decrecimiento]1,4[, ]8,10[

d) Al transcurrir 4 aos (al finalizar el 4to ao) se observa la menor utilidad

correspondiente a un prdida de un 0,51%.

Transcurridos 11 aos se registra el mayor % de utilidad correspondiente a

1,86%.

N2 a) 3,2fDom

b)

c)

d) A inicios del 1998, 2000 y 2003 se registr 0c de temperatura.



2

N3 a) 28,0fDom b)

c)

Interpretacin:

El club inicia con 50 integrantes y la cantidad de nuevos socios que se

inscriben despus de 28 aos es de 37.380 personas.

d) Intervalos de crecimiento ]0,8[, ]24,28[

Intervalos de decrecimiento ]8,24[

e) x=8 , P(8)=170,716666

A inicios de 1993 se integra la mayor cantidad de personas, 170.717

socios aproximadamente

N4 a)

b) 12,0fDom



3

c)

d) Coordenada Inicial (0,48)

Coordenada Final (12,76)

Se estima que un bebe mida 48 cm al nacer (0 aos) y al ao 76 cm.

d)

Pendiente

,

Interpretaciones:

- Un bebe crecer 2,3 cm por mes aproximadamente

- Un bebe crecer mensualmente 2,3 cm aproximadamente

N5 a)

b)

,0fDom



4

c)

d) Coordenada inicial (0,18)

Los ingresos iniciando el ao 2000 fueron de 18.000 dlares

e) Pendiente 2, al estar en miles se debe multiplicar para la interpretacin

(2 1000 = 2.000)

Interpretaciones:

- Los ingresos de la empresa aumentan 2.000 dlares por ao

- Los ingresos de la empresa por ao aumentaran 2.000 dlares

N6 a)

b) Pendiente 2

3 0,666666 , al estar en miles se debe multiplicar para la

interpretacin (0,666666 1000 667)

Interpretaciones:

- Los costos de la empresa disminuye en 667 Pesos por cinta

aproximadamente.

- los costos de la empresa disminuye por cinta en 667 Pesos

aproximadamente.



5

c) (0) = 100 , al estar en miles se debe multiplicar para la interpretacin

100 1000 = 10.000)

Interpretaciones:

- Si la empresa no fabrica cintas su costo ser de $100.000

- Los costos fijos de la empresa corresponden a $100.000

d) (100) 33,33333 , al estar en miles se debe multiplicar para la

interpretacin (33,33333 1000 = 33.333)

Para minimizar el costo se deben producir 100 cintas a un costo de

$33.333

N7 a)

b) Pendiente -3, , al estar en millones se debe multiplicar para la

interpretacin (3 1.000.000 = 3.000.000)

Interpretaciones:

- Se estima que las utilidades de la empresa disminuye en 3

Millones de pesos por ao aproximadamente

- Se estima que las utilidades de la empresa disminuirn por ao

en $3.000.000

c) (0) = 18 , al estar en millones se debe multiplicar para la interpretacin

(18 1.000.000 = 18.000.000)

A inicios del ao 2012 (trascurrido cero aos) la empresa registra la

mayor utilidad correspondiente a $18.000.000

d) Despus de iniciado el ao 2018 (trascurridos 6 aos) se estima que la

empresa comience a tener prdidas.



6

N8 a) 72,0fDom b)

c) (, ):

Al finalizar el mes 50 se observa una prdida de 400 euros

d) Interseccin Eje Y (0, 2100) :

La directiva comienza con 2100 euros de utilidad

Interseccin Eje X (30, 0) y (70,0) :

No se perciben utilidades al finalizar el mes 30 y 70.

e) Intervalo de decrecimiento ], [:

Las utilidades fueron disminuyendo durante los primero 50 meses de la

nueva admiracin

N9 a) 24,0fDom b)

c) Vrtice (, . )

A las 12 horas (medioda) se observa la mayor temperatura del da

sbado con 16,7C aproximadamente



7

Interseccin Eje Y (0, -7,3)

El da sbado comienza con -7, 3C de temperatura

Interseccin Eje X (2, 0) y (22,0)

A la 2 y 22 horas la temperatura fue de 0C

d) Intervalo de crecimiento ]0,12[ :

Durante las primeras 12 horas del da sbado la temperatura est en

aumento.

N10 a)

b)

7,0fDom

c) La temperatura inicial del experimento fue de 8C y al finalizar de 15C

d) A los 2 y 4 minutos la temperatura fue de 0C

e) Vrtice (3, 1):

La menor temperatura -1C se observa al tercer minuto

f) Intervalo de decrecimiento ]0,3[ : Durante los primeros 3 minutos la

temperatura del lquido est disminuyendo



8

11 a)

b) El mayor rendimiento se observa a 1 hora de iniciado el examen

c) intervalo decrecimiento ]1.5 , 2.5[

El rendimiento del alumno disminuye despus de los 90 minutos, hasta

completar los 2,5 horas

d) (0) = 0, coordenada inicial (0,0)

Al comenzar el examen el rendimiento del alumno es de un 0%

(2,5) = 50, coordenada final (2.5 , 50)

Al finalizar el examen el rendimiento del alumnos es de un 50%

N12 a)

b)



9

c)

N13 a) 6,1fDom

b) Intervalos de crecimiento ]3,4[, ]5,6[

Intervalos de decrecimiento ]1,3[, ]4,5[

c) la menor se registr al finalizar el 5to ao ($14.580.000)

d) (1) 23,116666667: Al iniciar el segundo aos (finalizar el primer ao)

la utilidad corresponde a $23.116.667

(6) = 25,2 Al finalizar el sexto ao se observa la mayor utilidad

correspondiente a $25.200.00



10

N14 a) 5.11,1fDom b)

c) Intervalos de crecimiento, ]1,3[, ]6,9[, ]11,11.5[

Intervalos de decrecimiento ]3,6[, ]9,1[

d) Al finalizar septiembre (inicios octubre) se registra la mayor

temperatura correspondiente a 29,45C, y al finalizar junio (inicios de

julio) la menor -15,4C.

N15 a)

b) ,0fDom

c) Coordenada inicial (0,1)

En una ciudad deshabitada (cero habitantes) el nivel promedio de

monxido de carbono en el aire se estima en 1 ppm

d) Pendiente 0,0005

Posibles interpretaciones:

- Se estima que el nivel promedio de monxido de carbono aumenta en

0,0005 PPM por Persona aproximadamente

-Por cada habitante se estima que en nivel promedio de monxido de

carbono en el aire aumente en 0,0005 ppm



11

N16 a)

b) 20,0fDom

c) (0) = 104

La empresa comienza a funcionar con 104 trabajadores

(20) = 144

La empresa finaliza sus actividades despus de 20 aos con 144

trabajadores

d) Vrtice (11,225)

Trascurridos 11 aos, se observa la mayor cantidad de trabajadores en la

empresa correspondiente a 225 personas

e) Intervalo de decrecimiento ]11,20[

Entre los 11 y 20 aos de funcionamiento la cantidad de trabajadores

disminuye en la empresa



1

SOLUCIONES GUA N2

Composicin y Lmites de funciones

N1 a) xexgf 4

b) 1335 1538 xxxgf

c) 52log xxgf

N2 a) A inicios del 2001 se fabricaron 98 motos, cuyo costo unitario es de US

1.806,37

b) 112014320)( )1202(031,0 tetC

c) La funcin C(t) indica el costo unitario en dlares por la fabricacin de

motos que depende de los aos transcurridos desde el 2000

d) 12,0:)(tCdom

e) El costo unitario de fabricacin iniciando el 2007 fue de

aproximadamente de US 1593,15

N3 a) 100 trabajadores embalan aproximadamente 639,25 kilos de fruta, cuyo

ingreso ser de $364.371 aprox.

b) nnnI 530570 3 c) El ingreso total en pesos por la venta de frutas dependiendo de la

cantidad de trabajadores n est dado por la funcin

d) El ingreso del fundo si trabajan 150 personas ser de $518.357 aprox.

N4 a)

2

24

812100

50)(

t

ttN

b) La cantidad de viviendas construidas hoy es de 204.918 aprox

b) En un ao y medio se estima que la cantidad de viviendas sea de 288.235

aproximadamente, con una tasa de inters de un 8,6%



2

N5 a) 100

5,05,035,05,0)(

2

tttR

b) A los 5 segundos la velocidad de reaccin es de

sC142,0 aprox.

N6 a) 1)2,08(4,0)( 2 ttC

b) En 2 aos se estima que el nivel de monxido de carbono sea de 4,52

partes por milln.

c) Se estima que en 5 aos el monxido de carbono sea de 6,2 partes por

milln

N7 a) 2

2

3300

100

1)(

pyI

b) El ingreso semanal en dlares est dado o depende del precio

unitario en dlares de las unidad vendidas

c) Si el precio unitario es de US10 el ingreso ser de US812,25, y si es de

US200 el ingres es US0

N8 a) El costo de produccin al fabricar 2, 20 y 200 artculos ser

respectivamente de 220, 40 y 22 dlares

b) Entre ms artculos se fabriquen el costo de produccin tiende a ser de 20

dlares.

x 1.000 10.000 1.000.000 10.000.000

)(xC 20,4 20,04 20,0004 20,00004

N9 a) Al finalizar el primer ao el % de inters se estima en 0,59%

b) )(tp 0,526280 0,899862 0,9 0,9 0,9 0,9

9,0)(lim

tPt

c) A largo Plazo (o a medida que transcurre el tiempo) se estima que el % de

inters de cuentas por cobrar llegar a un 0,9%



3

N10 a) 20)(lim

xCx

b) Entre ms artculos se fabriquen el costo de produccin tiende a ser de

20 dlares.

N11 a) Si entrena 6 das se demorar 12,7 segundos aproximadamente en llegar

a la meta

b) 10)(lim

xfx

c) Si entrena en forma indefinida, se estima que su tiempo para llegar a la

meta ser de 10 segundos

N12 a) Transcurridos 11 aos se estiman 28 negocios

b) 60)(lim

xMx

A largo plazo se estima que la cantidad de mini-markets llegue a los 60

locales



4

N13 6)(lim

xfx

Si la intensidad luminosa aumenta indefinidamente se espera que el

dimetro de la pupila sea de 6 mm

N14 a) 0)(lim

xPx

b) A largo plazo se estima que el % de estudiantes enfermos disminuya a

un 0%

N15 a) Se estima que a los 10 aos existirn 250 ciervos

b) A medida que transcurre el tiempo se estima que se llegue a 750 ciervos



5

N16 a) )58(60)( mmI

b) Si hay 35 trabajadores el ingreso ser de $17.100

N17 a) Trascurrido 10 meses el precio del artculo ser de $2.609

aproximadamente.

b) 5)(lim

xPt

c) A largo plazo se estima que el precio del artculo ser de $5.000

N18 a) Si la persona se prepara 10 semanas, se espera que escriba en promedio

63 palabras por minuto

b) Si la persona practica en forma indefinida, se espera que en promedio

escriba 157 palabras por minutos

t 100 1000 10000

)(tN 156,995176 157 157



1

SOLUCIONES GUA N3 DE CLCULO I

N1 a) A los 30 minutos est en el kilmetro 23

b) La velocidad promedio entre los 30 y 60 minutos es de 1,8 km/min

c) Se estima que La velocidad Instantnea a los 30 minutos es de 1,2

km/min

Intervalos de

Tiempo

Velocidad Promedio

(m/s)

3128 x 18,1

5,3029 x 19,1

1,309,29 x 20,1

01,3099,29 x 20,1

N3 a) La poblacin a los 10 aos ser de 21.040 habitantes aproximadamente

b) La tasa de crecimiento promedio entre el 6to y dcimo ao es de 2148

habitantes por ao

c) La tasa de crecimiento instantnea a los 10 aos ser de 6780

habitantes por ao aproximadamente.

Intervalos de

Tiempo Tasa de Crecimiento Promedio

5,105,9 t 94019012,65,95,10

)5,9()5,10(

pp

1,109,9 t 78651724,69,91,10

)9,9()1,10(

pp

01,1099,9 t 78022262,699,901,10

)99,9()01,10(

pp

001,10999,9 t 78015969,6999,9001,10

)999,9()001,10(

pp



2

N3

Funcin Tipo de

Funcin Derivada

a) 3)( xxf Potencia

23xdx

df

b) 5)( xf Constante 0dx

df

c) xxf 5)( Exponencial 5ln5)( xxf

d) )(log)( 5 xxg Logartmica )5ln(

1)(

xxg

e) xey Exponencial

xey

f) )log()( xxf Logartmica 10ln1

xy

g)

x

xg

3

5)( Exponencial

3

5ln

3

5x

dx

dg

h) 5)( xxg Potencia

65)( xxg

i) x

xh1

)( Potencia 21

)(x

xh

j) x

xh1

)( Potencia 32

1)(

xxh

k) 4)( xf

Constante 0dx

df

l) 2

1)( xf Constante 0

dx

df

m) 3)( ttf Potencia

3 23

1)(

ttf



3

n) 43

)( txf Potencia 44

3)(

txf

o) xxf 2)( Exponencial 2ln2 x

dx

df

p) )(log)( xxh e Logartmica x

xh1

)(

q) 5 2)( xxf Potencia 5 35

2

xdx

df

r) 21

)( xxf Potencia 2

1

2

1)(

xxf

s) 2

5)( xf Constante 0)( xf

N4

a) Potencia

1112)( xxf

b) Potencia

1211)( xxf

c) Potencia

3

5)(

3 2xxf

d) Lineal

1)( xf

e) Potencia

xxm

2

1)(

f) Exponencial

9ln9)( xxh

g) Logartmica

3ln1

)(x

xg

h) Constante

0)( xg

i) Logartmica

xxg

1)(

N5

Funcin Operacin Derivada

a) 65)( xxf

Multiplicacin por

constante

530xdx

df

b) 2)( xxxf Suma xdx

df21



4

c) xexxf 5)( Resta xexxf 45)(

d) xexxf )(

Multiplicacin de dos

funciones

xx xeexf )(

e) xxy 22 Multiplicacin de dos

funciones 2ln222 2 xx xxy

f) xe

xy

4

Divisin x

xx

e

exexy

2

434

g) x

xxf

1)(

2 Divisin

2

22 )1(2

x

xx

dx

df

N6

a) 10ln7

)(x

xh b) x

xg1

)( c) xxf 56140)(

d) xxxxf )ln(2)( e) xx exexxg 52)( 2 f) p

epQp 5

)(

g) 2

ln1)(

x

xxf

h)

2)ln(

ln

)(x

x

exe

xf

xx

i) 210

8,19)(t

tth

N7

a) 1601066)( 2 xxxg b)

x

xx

e

xxexexf

2

2 332)(

c) 10ln

)log()(x

exexf

xx

d)

4

log25ln

)(x

xxx

xfs

e) 3

2 40122

32)(

ttttd f)

x

x

xxf log2

10ln

32)(

N8

a) 4 4 xexf b) 241235 940153813 xxxxxf c) 10ln52

2

xxf



5

N9

a) 33424 412)23(5)( xxxxxf b) )26(

23

1

2

x

xxy

c) 10ln3

)32()(

2 xx

xxf

d)

xxxf

3)62(112)( 6

e) 32)3(2 2 xxxy f)

xey x 4 522

N10

a)

2

2 xexdx

dy b)

xedx

dy c) xdx

dy 3

d) 10ln12

2

x

x

dx

dy e) xxx

dx

dy145753

22 f) 57ln75 x

dx

dy

N11

a) 7020 xxI b) 3820)( ttd

c) 21

2

xxf d) 2ln21222)( 66 ww wwf

e) 3

10)(

xxf

f) 3ln3ln3)( x

x

xx

xf

g) t

etV8,0

100)( h) t

etp75,0

75,0)(

i)

24,04,06,04,06,0

41

24406,1416,9

x

xxxxR

j)

601

3

000.10)(

ttV

k) 500.12 V l) 25,0

5,0

101

5)(

t

t

e

etp

m) 6

6 56ln65)(x

xxg x n) 2ln23226)( 32 xx xxxf

o)

x

xx

xx

xf25

5ln5)log(10ln

5

)(

p) 12)( xxf

q) 2895.0

895,0

19991

3578210)(

te

etN

r) ktektP 500.1)(



SOLUCIONES GUA N 4 DE CLCULO I

Ejercicio N1

a)

() ()

Tiempo Deuda -Tasa de crecimiento de la deuda

-Razn de cambio de la deuda

Aos Millones

dlares

-

-Millones dlares por ao

b) = [0,20]

c) La deuda de estados unidos al inicio de 1990 es de 3.247,7 millones de dlares

d) Derivada : 85,27182,5777,1044,0 23 ttt

dt

df

Valor: 65,330)10( dt

df

Transcurrido 10 aos la tasa de crecimiento de la deuda nacional de EEUU

corresponde a 330,65 millones de dlares por ao (o 330.650.000 dlares

por ao)

Ejercicio N2

a)

() ()

Tiempo Poblacin -Tasa de crecimiento de la poblacin

-Razn de cambio de la poblacin

Aos Miles

habitantes

-

-Miles de habitantes por ao

b) = [0,12]

c) Dentro de 5 aos se estima que la poblacin sea de 322.521 habitantes

Derivada :

te

dt

dp 75,075,0

Valor: 544,640)9( dt

dp

La tasa de crecimiento de la poblacin trascurrido nueve aos ser de 640.544

personas por ao (o 640,544 miles de habitantes por ao)



Ejercicio N3

a) () ()

Tiempo Impuesto

Predial

-Tasa de crecimiento del impuesto

-Razn de cambio del impuesto

Aos Miles de

pesos

-

-Miles de peso por ao

b) Derivada : xx exexxI )50(2 2

Valor: 02176,39536)6( I


- La tasa de crecimiento del impuesto predial a inicios del ao 2011

corresponde a 39.536.022 pesos por ao (o 39.536,022 miles de pesos

por ao)

- La razn de cambio del impuesto predial a inicios del ao 2011

corresponde a 39.536.022 pesos por ao (o 39.536,022 miles de pesos

por ao)

Ejercicio N4

Derivada : t

etV8,0

10)(

Valor: 9815,545)5( V

La tasa de crecimiento de las ventas trascurrido 5 meses corresponde a 545.982

pesos por mes. (o 545,982 miles de pesos por mes)



Ejercicio N5

a) () () ()

Tiempo Posicin Rapidez Instantnea Aceleracin Instantnea

Minutos km -

-Kilmetros por minutos

- 2

-Kilmetros por minutos2

b)

Derivada : tts 04,0)( 04,0)( ts

Valor: 23)30( s 2,1)30( s 04,0)30( s

Interpretacin:

- A los 30 minutos de su partida el ciclista se encuentra en el kilmetro 23

-La rapidez instantnea a los 30 minutos de su partida corresponde a 1,2

km/min

-La aceleracin instantnea a los 30 minutos corresponde a 0,04 km/min2

Ejercicio N6

Derivada : 53523)( xx exextd

535266)( xxex exexxetd

Valor: 31,7)3( d 69,67)4( d

La rapidez instantnea del automvil a las 3 horas es de 7,3 km/h y su aceleracin

instantnea a las 4 horas corresponde a 67,7 km/h2.

Ejercicio N7

a) () () ()


minutos cm -

-centmetros por minuto

- 2

-centmetros por minutos2



b) = [0,3]

c) Inicia su recorrido a los 45 cm del punto de partida

c) Derivada : 1823)(

2 ttxf 26)( txf

Valor: 26)2( f 10)2( f

La rapidez instantnea que lleva el carro a los 2 minutos corresponde a 26

cm/min y la aceleracin instantnea es de 10 cm/min2 .

Ejercicio N8

a)

() ()

Tiempo Volumen -Razn de cambio del volumen

-Taza de decrecimiento del volumen

minutos galones -

-Galones por minutos

b) () = 100.000 2 1

60 (1

60) () =

10.000

3 (1

60)

c) Valor: 66,1666)30( V


-La rapidez instantnea a los 30 minutos, con la que el agua sale del

depsito corresponde a 1.667 galones por minuto.

-A los 30 minutos, el agua sale del depsito a una razn de 1.667 galones por

minuto

Ejercicio N9

Derivada :

222

81,0

215,081,015,0)(

t

tttxc Valor: 0207,0)2( c


-A las dos horas la concentracin de medicamento est disminuyendo en 0,0207

ml/hr.

-La rapidez con la que disminuye la concentracin de medicamento a las dos horas

de su aplicacin es de 0,0207 ml/hr



Ejercicio N10

Derivada :

222

1

21024124)(

t

ttttp

Valor: 6804733,5)5,1( p

Posibles interpretaciones

-La rapidez instantnea a las 1,5 horas con la que disminuye la poblacin, es de

5.680 bacterias por hora.

-la tasa de decrecimiento de la poblacin a las 1,5 horas es de 5.680 bacterias

por hora.

Ejercicio N11

a) Variables Significado Unidad de Medida

Cantidad de fertilizante Kilos

() Ingreso pesos

()

-Ingreso marginal

-Tasa de crecimiento de los ingresos

-Razn de cambio de los ingresos

-

-Pesos por kilo

() costos pesos

()

-Costo marginal

-Tasa de crecimiento de los costos

-Razn de cambio de los costos

-

-Pesos por kilo



b) Derivada : xxI 418000)(

c) Valor: 200.538)30( I

- Al vender 30 kilos de fertilizante, el ingreso ser de 538.200 pesos

Valor: 880.17)30( I


- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del

ingreso ser de 17.880 pesos por kilgramo

- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, el ingreso marginal ser de

17.880 pesos por kilgramo

d) Derivada : xxC 21000)(

e) Valor: 900.30)30( C

- El costo de 30 kilos de fertilizante ser de 30.900 pesos

Valor: 1060)30`( C


- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del costo

ser de 1.060 pesos por kilgramo

- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, el costo marginal ser de

1.060 pesos por kilgramo



Ejercicio N12

a)

Variables Significado Unidad de Medida

Cantidad de productos unidades

() Ingreso dlares

() =

-Ingreso marginal

-Tasa de crecimiento de los ingresos

-Razn de cambio de los ingresos

-

-dlares por unidad

() costos pesos

()

=

-Costo marginal

-Tasa de crecimiento de los costos

-Razn de cambio de los costos

-

-dlares por unidad

b) Derivada : 50)( xIM y 01,0)( xCM Valor: 50)700( IM y 01,0)700( CM

- Si la produccin es de 700 unidades, la tasa de decrecimiento del costo ser

en 0,01 dlares por unidad

O Si la produccin es de 700 unidades, el costo marginal ser de -0,01

dlares por unidad

- Si la produccin es de 700 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser

de 50 dlares por unidad

O Si la produccin es de 700 unidades, el ingreso marginal ser de 50

dlares por unidad

Ejercicio N13

Derivada : 40)( xc xxi 02,0100)( Valor: 40)24( c 82,98)59( i

- Si la produccin es de 24 litros, la tasa de crecimiento del costo ser en 40

dlares por litro.

O Si la produccin es de 24 litros, el costo marginal ser de 40 dlares por litro

- Si la produccin es de 59 litros, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 98,9

dlares por litro

O Si la produccin es de 59 litros, el ingreso marginal ser de 98,9 dlares por

litro



Ejercicio N14

Derivada : 25,0

5,0

101

5)(

t

t

e

etp

Valor: 123,0)5( p


-La rapidez instantnea de esparcimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un

12,3% de la poblacin por hora

-la tasa de crecimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un 12,3% de la

poblacin por hora

Ejercicio N15

Derivada : 22

10

12,0)(

tt

etetC

Valor: 0223,0)3(0)2(06,0)1( CCC

-la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de una hora es de

0,06% por hora, es decir, el % de alcohol est aumentando en la sangre a 0,06%

por hora.

-la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de dos hora es de

0,0% por hora, es decir, el % de alcohol no est aumentando en la sangre.

-la tasa de decrecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de tres horas es de

0,02% por hora, es decir, el % de alcohol est disminuyendo en la sangre a 0,02%

por hora.

Ejercicio N16

Derivada : 22

2

16

80050

t

ttp Valor: 56,03 p ; 39,07 p

- A los 3 das del primer caso reportado la rapidez con que aumenta del % de

estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,56% por da. En otras palabras a los 3

das la tasa de crecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de

0,56% por da

- A los 7 das del primer caso reportado la rapidez con que disminuye % de

estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,39% por da. En otras palabras a los 7

das la tasa de decrecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de

0,39% por da



Ejercicio N17

Derivada : () = 32 4 + 6 Valor: (0,5) = 4,75

La corriente que pasa a los 0,5 minutos por el alambre corresponde a 4,75 amperes

(coulombs/seg.).

Ejercicio N18

Derivada : 512 xtp Valor: 12510 p Transcurridas 10 semanas la tasa de crecimiento de la poblacin corresponde a 125

personas por semana.

Ejercicio N19

Derivada : xextp 04,05020 Valor: 11,39115 p - A los 15 das la poblacin crecer a una razn de 391 conejos por da

- La tasa de crecimiento a los 15 das ser de 391 conejos por da

Ejercicio N20

Derivada : 50)( xc 100)( xi Valor: 100)60( i 50)50( c

- Si la produccin es de 50 unidades, la tasa de crecimiento del costo ser en 50

dlares por unidad

- Si la produccin es de 60 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 100

dlares por unidad

Ejercicio N21

Derivada : 3618)(

55369)( 2

ttd

tttd Valor:

63)5,1(

163)2(

d

d

La rapidez instantnea del carrito a los 2 minutos es de segcm163

La aceleracin instantnea del carrito a los 1,5 minutos es de 263 segcm



1


N1 a)

186,1)11(1)10(

536,1)8(512,0)4(36,1)1(

UU

UUU

b) () =

1

1004

23

1003 +

29

1503 1,18x + 3,2

0)10()8()4()1( UUUU

c) Intervalos de crecimiento ]4,8[, ]10,12[ , la derivada siempre positiva

Intervalos de decrecimiento ]1,4[, ]8,10[ , la derivada siempre

negativa

Valor

Valor

f(x)

Signo + - + - +

d) Transcurridos 11 aos se registra el mayor % de utilidad

correspondiente a 6,86% y en trascurridos 4 aos el menor

registrando un prdida de 0,51%.



2

N2 a) Dominio Emprico [3,4]

b) Valores Crticos: -2, 0 , 3

c)

c) Intervalos (de crecimiento) derivada positiva ]2,0[, ]3,4[,

Intervalos (de decrecimiento) derivada negativa ]3, 2[, ]0,3[,

d) El punto mximo )25.8,3( El punto mnimo )75.9,3(

Interpretacin:

A inicios del ao 2002 se observa el mayor % de inters

correspondiente a un 8,25%.

A inicios del ao 2008 se observa el menor % de inters

correspondiente a una prdida de un 9,75%



3

N3 a) Valores Crticos: -1,5 0 1,5

b)

c)

d) punto mximo )88,646,5.2(

puntos mnimos )13.153,5.1( y )13.153,5.1(

N4 a) A las 8,5 horas de entrenamiento se observa en mximo rendimiento

con una rapidez de 53 km/h.

b) Entre la segunda y secta hora el rendimiento del deportista diminuye.



4

N5 a) No es la mejor ubicacin ya que a los 18 km las emisiones

contaminantes son 768 ppm y si la colocara a 15 km la cantidad de

partculas serian de 525 ppm.

c) Crecimiento]6,8 [ , ]15,21[ La contaminacin aumenta a una distancia

de la fbrica entre los 6 y 8 km y entre los 15 y 21 km.

Decrecimiento ]8,15[ Entre los 8 y 15 kilmetros de distancia la

contaminacin tiende a disminuir

N6 a) Se minimiza el costo cuando el pedido es de 387 artculos y su valor

ser de $1.548.000

b) ]50,387[: Cuando la cantidad est entre los 50 y 387 el costo disminuye,

la funcin es decreciente.

]387, [: Cuando la cantidad de artculos esta sobre los 387 la funcin

crece, aumenta el costo.



5

N7 a)

a) ,3Vdom

a) ]3,0[, ]1,7[: La disminucin de la virulencia se observa en dos periodos,

Despus de iniciado el ao 1997 hasta antes de comenzar el 2000. Y

luego despus del inicio del 2001 hasta antes de comenzar el 2007.

]0, 1[, ]7, [: El crecimiento de la virulencia se observa despus de

iniciado el ao 2000 hasta antes de comenzar el 2001, y despus de

iniciado el 2007.

b) La mnima virulencia se registr a inicios del ao 2007 siendo de un

0,71%

N8 a) Entre los 8 y 24 aos desde su creacin la cantidad de socios

disminuyen en el club deportivo.

b) Se estima que a partir del ao 2009 la cantidad de socios comienzan a

aumentar en forma indefinida.



6

N9 a) Si la inversin flucta entre los 1667 y 5000 euros la rentabilidad

disminuye.

b) Sobre los 5000 euros de inversin, la rentabilidad crecer.

c) La mnima rentabilidad ocurre cuando la inversin es de 5000 euros y

corresponde a un 2%.

d)

N10 a) Para obtener el mayor rendimiento se debe estudiar 4,2 horas diarias

aproximadamente

b) Si el alumno no estudia, su rendimiento ser de un 20%

c)




N1 El campo rectangular debe tener 600 metros de profundidad y 1200

metros de ancho

N2 Para minimizar el costo de la lata, es radio debe ser de 5,42 cm y la

altura ser 10,84 cm.

N3 Para que la superficie de cada corral sea la ms grande, las medidas

deben ser 46,875 pies de ancho y 75 pies de largo, por lo tanto el rea

ms grande corresponde a 3.515,624 pies2.

N4 Para que la caja tenga el mayor volumen debera ser base 20x20 cm y

altura 10 cm, entonces el volumen correspondera a 4000 cm3.

N5 Para que ingrese la mayor cantidad de luz las medidas de la ventada

deben ser aproximadamente ancho 3,8 pies, largo del rectngulo 10,09

pies.

N6 Para que la superficie del cartel sea las ms pequea sus medidas

deben ser de 36x24 cm.

N7 Para que la superficie del cartel impresa sea las ms grande sus

medidas deben ser de 13,43x8,95 pulgadas aproximadamente.

N8 Para que la ventana abarque la mayor superficie las medidas del

rectngulo deben ser 2,8x1,4 metros.

N9 Para que la caja tenga el volumen ms grande el alto ser de 0,5 pies y

el ancho y largo de 2 pies.

N10 Para minimizar el costo del material el ancho y largo de la caja debe

ser de 40 cm y el alto de 20 cm

N11 El tarro de conserva tendr el mayor volumen cuando la atura sea de

34,12 cm y el radio de 2,06 cm aproximadamente.



1


1. Complete el siguiente cuadro

a) 3)( xxf Potencia c

x

4

4

b) 5)( xf Constante cx5

c) xxf 5)( Exponencial

c

x

5ln

5

d) xexf )( Exponencial ce x

e) 1)( xf Constante cx

f) x

xf1

)( Potencia cxLn

g) 3)( ttf Potencia c

t

4

33 4

h) xexf 5)( Exponencial c

e x

5

5

i)

x

xg

3

5)( Exponencial c

x

3

5ln

3

5

j) 5)( xxg Potencia c

x

4

4

k) 1)( xxh Potencia cxLn

l) x

xh1

)( Potencia cx 2

m) xexf 3)( Exponencial c

e x

3

3

n) 2

1)( xf Constante cx

2

1



2

o) 43

)( txf Potencia cx

7

44 7

p) xxf 2)( Exponencial

c

x

2ln

2

2. A continuacin identifique el tipo de funcin y luego integre.

a) Contante

cxdxxg 54

)(

b) Potencia

cx

dxxf

16)(

16

c) Potencia

cx

dxxf 83

)(3 8

d) Potencia

cx

dxxf 2)(

2

e) Exponencial

ce

dxxfx

4)(

4

f) Exponencial

cdxxh

x

9ln9

)(

3. Complete el siguiente cuadro:

Funcin Operacin Integral

a) 65)( xxh Multiplicacin por constante c

x

7

5 7

b) xx exh 5)( Resta

ce x

x

5ln

5

c) xexxh 64)( Suma c

ex x

65

65

4.

a) cxxxdxxx 3233

322 b) cxxxdx

x

xx

ln72

3173 22

c) cxxxdxxx 825

3

285

23

d) cexdxex xx 323

5.



3

6. las siguiente funciones bajo ciertas condiciones:

5.

a) 25)( 2 xxxf b) 520)( xxf

c) 23)( 23 xxexf x d) 7ln23 2 xxy

e)

62ln

2

x

y e) 80123)( 2 xxxA

6.

a) 10085,27191,2811,0)( 24 ttttf

b) 064,0001,0 2 xxxC

c) 520)(35,0 tetT

d) 18525,156)(8,0

t

etV

e) 80123)( 2 xxxA




N1 a)

() = () ()

Tiempo Tasa de crecimiento de la deuda Deuda

Aos Millones de dlares

b) La tasa de crecimiento de la deuda nacional de EEUU en 1990

corresponde a 330.650.000 dlares por ao

c) 2,93085,27191,2859,311,0)( 234 tttttf

N2 a)

() ()

Tiempo Tasa de crecimiento de la poblacin Poblacin

Aos Miles de habitantes

b) La tasa de crecimiento de la poblacin a los 9 aos ser de 640.544

personas por ao.

c) 28000)( 75,0 tetp

N3 a) () () = () () = ()

Tiempo Aceleracin

Instantnea

Rapidez

Instantnea Posicin

Horas km/h2 km/h km

b) La aceleracin del ciclista trascurridos 30 minutos corresponde a 1,7

km/h2.

c) 25,17,296,604,415,118,0)()( 2345 xxxxxxRdxxA

d) xxxxxxxPxR 25,135,132,201,123,003,0)()( 23456



N4 a) La aceleracin del automvil a los 30 minutos de su partida es de

7,39 km/h2

b) xexxxRdxxA 12123)()(2

c) xexxxxPdxxR 1126)()(23

N5 a) () = + 0,0012 + 9.999,5

b) El costo de produccin de 100 kilos de fertilizante es de $10.109,5

N6 a) xxCdxxCM 01,0300)()(

b) 200.250)()( xxIdxxIM

c) Es costo de produccin de 1000 unidades es de 290 dlares y el

ingreso por la venta de 5000 productos es de US252.200

N7 a) () ()

Tiempo Tasa de crecimiento de la temperatura temperatura

Horas 0 0

b) 1620)( 35,0 tetT

c) El temperatura en de la carne despus de t horas fuera del

congelador est dada por la funcin ()

d) La temperatura de la carne despus de 2 horas es 6,07 C.

N8 a) () ()

Tiempo Tasa de crecimiento del volumen del tumor Volumen del tumor

Das 3 3

b) 451515,0)( 006,0 tettV

c) El volumen del tumor en cm3 despus de t das del tratamiento est dada por la funcin ()

d)) A los 60 das el tumor tiene un volumen aprox. de 32,53cm .

N9 El costo en pesos de producir x litros de pintura por semana est dado por la

funcin xxc 4002000)( y El ingreso en pesos por la venta de x litros de

pintura por semana est dado por la funcin 100.20001,0100)( 2 xxxI



N10 tetV 8,0125)(

La funcin )(tV corresponde al ingreso en miles pesos de las ventas

despus de t meses de haber aumentado el valor de los productos

N11 a) 300.200500200)( 03,01,0 tt eetP

b) La poblacin de bacterias despus de t horas despus de iniciada la observacin est dada por la funcin ()

c) La poblacin 12 horas despus es de 200.615 bacterias.

N12 El costo total de producir las cinco primeras unidades es de 1.587

dlares.

N13 El costo de producir 30 unidades es de 22.360 dlares.

N14 La distancia recorrida es de 26 metros.

N15 Dentro de ocho aos la poblacin ser 10.128 personas.

N16 22240)()( xxxIdqqIM corresponde a la funcin que determina el ingreso al vender x unidades en dlares

N17 a)

La funcin ingreso es : 2363074)( 23 xxxxI

b) El ingreso al vender 14 saca jugos es de 10.260 euros




N1 a) 6,6

b) 24

c) 13/3

N2 a) En enero el valor por litro ser de $810 y en diciembre de $964

b) El precio promedio entre marzo y diciembre es de $901 por litro de

bencina

N3 La rapidez promedio del trfico entre la 1:00 y las 6:00 pm.es de 21,25

kilmetros por hora

N4 En valor promedio de pollo entre enero y marzo es de US18,99 el kilo

N5 La temperatura promedio entre los 5 y los 8 minutos de encendido es de

24,08C

N6 a) Por 100 unidades el consumidor est dispuesto a pagar $23.866.666 aprox

Por 100 unidades el consumidor paga $19.20.000

b) El excedente de los consumidores al comprar 100 unidades es de

$4.666.666

N7 a) El productor est dispuesto a percibir como mnimo 337,5 euros al vender

15 unidades

El productor obtiene 1.012,5 euros al vender 15 unidades

b) El excedente de los productores es de 675 euros al vender 15 unidades

N8 a) El valor unitario al vender 210 televisores es de 1.686 dlares

B) El excedente de los consumidores es 388.080 dlares al comprar 210

artculos

N9 a) El valor unitario al vender 20 cuadernos es de $892

B) El excedente de los productor es $1.400 al vender 20 cuadernos



N10 El punto de equilibrio es 8000) ,10(),( 00 yx .

El excedente de los consumidores es $6.667 y el excedente de los

productores es $18.333

N11 El excedente de los consumidores es 4.000 dlares y el excedente de los

productores es 7.333,33 dlares.

N12 El precio promedio de la carne molida durante los 3 primeros meses del ao

es aproximadamente de $1.450.

N13 La cantidad media de bacterias presentes durante los 5 primeros minutos del

experimento es de 2.272

N14 La temperatura promedio en el aeropuerto entre las 3:00 a.m. y las 8:00 a.m.

es de 3,8 Celsius.

N 15 El excedente de los consumidores es de 54 dlares.

N16 El excedente de los productores al vender 10 productos es de $2.060

N17 El precio promedio de la carne durante los primeros 4 meses fue $3.510

aproximadamente.

N18 El excedente de los consumidores es de aprox. $7.667



1

SOLUCIONES GUA RESUMEN UNIDAD I

Ejercicio N1

a)

b) Dominio contextualizado de M(p) [0,6000]

c)

d) Coordenada inicial (0, 2) final (6000,6,2)

En una ciudad deshabitada (cero habitantes) el nivel promedio de monxido de

carbono en el aire se estima en 2 ppm

Cuando la cantidad de habitantes es de 6000 personas, el nivel promedio de monxido

de carbono en el aire se estima en 6,2 ppm

e) Pendiente

.= 0,0007


-Se estima que en nivel promedio de monxido de carbono en el aire aumenta en

0,0007 ppm por habitante.

-Por cada habitante se estima que en nivel promedio de monxido de carbono en el

aire aumente en 0,0007 ppm



2

Ejercicio N2

80)(lim

tUt

La utilidad de la empresa a largo plazo ser de 80 millones de dlares

Ejercicio N3

a)

b) Dominio contextualizado de f(x) [0,1.5]

c)

d) Coordenada inicial (0, 0) final (1.5 , 72)

Al comenzar el examen el rendimiento del alumno es de un 0%

Al finalizar el examen el rendimiento del alumnos es de un 72%

e) A la hora de comenzar el examen, el alumno presenta su mayor rendimiento

correspondiente a un 96%

f) Intervalo de Crecimiento ]0,1[

Intervalo de Decrecimiento ]1, 1.5[

Durante la primera hora de trabajo el rendimiento del alumno aumenta, despus de la

hora de trabajo se observa una disminucin hasta el final de la evaluacin



3

Ejercicio N4

a) () =

1

1000(400

4

3)

2

+ (400 4

3)

b) La funcin () entrega el ingreso semanal en miles de dlares dependiendo del precio

unitario de los artculos (en dlares)

Ejercicio N5

a) Dominio contextualizado de f(a) [0,11]

b)

c) final (10,5.6)

Al final de los 10 aos de funcionamiento de la empresa la utilidad corresponde a 5,6%

aproximadamente

d) Intervalo de crecimiento ]0,1[ , ]4,8[

Intervalo de decrecimiento ]1,4[ ]8,10[

La empresa registra un aumento del % de las utilidades durante el primer ao de

funcionamiento al igual que despus del cuarto ao (inicios del 5to ao) hasta finales

del octavo ao.

Despus del primer ao de funcionamiento (inicios del 2do ao) hasta finales del cuarto

ao se observa una disminucin del % de utilidades al igual que despus del octavo

hasta finales del dcimo ao.

c El valor mnimo se observa al finalizar cuarto ao, con una prdida de un 1,54%.



4

Ejercicio N6

a)

b) Dominio [0,14]

c)

d) ]0,7[

Entre lo cero y siete metros de distancia horizontal desde que fue lanzado el tiro libre, la altura de la pelota aumenta.

e) La altura mxima que alcanza la pelota es de 2,45 metros y ocurre a los 7 metros de distancia horizontal en que fue pateada.

Ejercicio N7

a) Despus de 3 intento la rata se demorar 10,7 minutos aproximadamente en recorrer el laberinto

b) 5)(lim

nTn

c) Si aumenta la cantidad de intentos indefinidamente se espera que la rata recorra el laberinto en 5 minutos



5

Ejercicio N8

a)

b) Dominio f(t) [0, ]

c) Coordenada inicial (0,160)

A inicios del ao 1995 los ingresos de la empresa son de 160.000 euros

d) Pendiente , , al estar en miles se debe multiplicar para la interpretacin

(30 1000 = 30.000)


- Se estima que los ingresos de la empresa aumentarn en 30.000 euros por ao

-Los ingresos de la empresa aumentarn por ao 30.000 euros

Ejercicio N9

a) I(t) = 950 (221.250+5.000

5.000)

b) La funcin I(t) entrega el ingreso total en pesos dependiendo de la cantidad de

trabajadores ( t)

c) I(2.500) = 1.782.200

Si hay 2.500 trabajadores se espera que el ingreso sea de $1.782.200



6

Ejercicio N10

a) : [0,6] b) Intervalos de crecimiento ]0,2[

Intervalo de decrecimiento ]2,6[ El redimiento del deportista aumenta durante las dos primeras horas de trabajo. Por el contrario, el rendimiento disminuye entre la 2da y 6ra hora de entrenamiento.

c) El mayor redimiento es de 94 kilos y se observa en la segunda hora de trabajo, la menor se produce al inicio y sexta hora con 30 kilos

Ejercicio N11

a) (0) 1,904761905 La poblacin actual es de aproximadamente 1.904.762 insectos

b) 40)(lim

tPt

t 10 10.000 1.000.000

)(tp 38,11 40 40

A largo plazo se estima que la poblacin llegue a los 40 millones de insectos

Ejercicio N12

) () = 1300 4 (2

3+ 10 + 5 )

b) La funcin () corresponde a precio por kilogramos de palta en pesos que depende de la temperatura promedio en grados Celsius

c) (10) = 1300 4 (102

3+ 10 10 + 5 )

(10) =3040

3 1013,13

Si la temperatura fue de 10C el kilogramo de palta costar $1.013

Ejercicio N13

a) () = [0,6] b) Coordenadas Inicial (0,0.2) Final (6, 0.452)

Interpretacin: El deposito inicia con un inters anual de un 0,2% El deposito finaliza a los 6 aos con un inters anual de un 0,45%

d) El mximo inters se observa en a los dos aos y es de un 0,73% El menor inters se observa a los 5 aos con un prdida de 0,61%



7

Ejercicio N14

a)

b) [0,30]

c) Pendiente: 0,2

d) La calificacin del alumno aumentar 0,2 dcimas por cada punto en la prueba



1

SOLUCIONES GUA RESUMEN UNIDAD II

Ejercicio N1

Paso N1: Identificar los datos del problema

rea de la superficie 471 cm2 = 471 471 = 6,28 2 + 6,28

Paso N2: Determinar Funcin a Optimizar. Expresarla en funcin de una variable

Funcin a optimizar es el volumen = 3,14 2

(, ) = 3,14 2

Utilizando el dato del paso N1, despejamos una variable para luego reemplazarla en la funcin

a optimizar, para que dependa de una sola variable:

471 = 6,28 2 + 6,28

471 6,28 2 = 6,28

471 6,28 2

6,28 =

Se reemplaza en la funcin a optimizar reduciendola a su mxima expresin:

(, ) = 3,14 2

() = 3,14 2 471 6,28 2

6,28

() = 0,5 (471 6,28 2)

() = 235,5 3,143

Por lo tantao, la funcin a optimizar expresada en dependeincia de una variable es:

() = , ,

Paso N3: Determinar puntos crticos (derivando Funcin a Optimizar)

Derivar la funcin a optimizar y luego igualar a cero

() = 235,5 3,143

() = 235,5 9,422

0 = 235,5 9,422

1 = 5 2 = (5)

Los puntos crticos son 1 = 5 2 = (5)



2

Paso N4: Verificar si los puntos crticos son un mximo o mnimo

Se descarta r2 = (5) ya que el radio no puede ser negativo. Comprobar si el radio r1 = 5 es

un mximo o mnimo

Por lo tanto r1 = 5 es un valor mximo

5f

Signo de () 0 -

Paso N5: Responder la pregunta

Para determinar la altura utilizar

471 6,28 2

6,28 =

=471 6,28 2

6,28 =

471 6,28 52

6,28 5= 10

Para que el cilindro tenga el mayor volumen el radio corresponde a 5 cm y la altura

corresponde a 10 cm

Ejercicio N2

a) Variables () ()

Significado tiempo poblacin Tasa de crecimiento de la poblacin

Unidad de

Medida aos

Millones de

habitantes

-

-millones de habitantes por ao

b) 2014 1800 = 214

(214) = 836,870,0098214 = 6.814,914116

Respuesta:

Para inicios 2014 se estima una poblacin de 6.814.914.116 habitantes (o

6.814,914116 millones de habitantes)

c) () = 8,2013260,0098

b) 2015 1800 = 215

(215) = 8,2013260,0098215 = 67,44383092

Respuesta:

La tasa de crecimiento iniciando el ao 2015 se estima en 67.443.831 habitantes por

ao. (o 67,44383092 millones de habitantes por ao)



3

Ejercicio N3

a) Paso N1: Determinar Dominio Contextualizado

[0,10]

b) Paso N2: Encontrar Punto Crticos

() = 32 36 + 81 32 36 + 81 = 0

1 = 9 2 = 3

Paso N3: Determinar si los Puntos Crticos son mximos o mnimos relativos

Alternativa N1: criterio de la primera derivada

Por lo tanto x=3 es un mximo

relativo y x=9 es un mnimo relativo

Alternativa N1: graficando

Valor

inicial dominio

Punto crtico

Punto Crtico

Valor

final domino

f(0) f(3) f(9) f(10)

50 158 50 60

Por lo tanto x=3 es un mximo y

x=9 es un mnimo

Respuesta pregunta

Intervalo de decrecimiento ]3,9[ Intervalo de decrecimiento ]0,3[ , ]9,10[

3f 9f

()

Signo 0 - 0 +

c) Paso N4: Determinar mximos o mnimos absolutos

Por lo tanto x=3 es un mximo absoluto y x=0 y x=9 es un mnimo absoluto

Respuesta:

Transcurridas 3 horas se observara la mayor cantidad de personas conectadas

correpondente a 158 personas.

Iniciada la oferta y a la 9na hora se observa la menor cantidad de personas conectadas,

correspondente a 50.

f(0) f(3) f(9) f(10)

50 158 50 60



4

Ejercicio N4

a) () () ()


Horas km -

- Kilmetros por hora

- 2

- Kilmetros por hora2

b) `() = 6 + 452

`(1,5) 92

Interpretacin: La rapidez instantnea a las 1,5 horas es de 92 km/h

c) ``() = 6 + 90

``(0,6) = 48

Interpretacin: La aceleracin instantnea a las 0,6 horas es de 48 km/h2

Ejercicio N5

a) Variables Significado Unidad de Medida

Cantidad de tela Toneladas

() Ingreso Miles euros

()

Ingreso marginal

Tasa de crecimiento del ingreso

Razn de cambio del ingreso

/

() costo Miles euros

()

Costo marginal

Tasa de crecimiento del costo

Razn de cambio del costo

/

b) () = 0,0032 + 2 () = 100 0,18

c) (200) = 64


- Si la empresa importa 200 toneladas de tela, el costo marginal ser de 64.000 euros

por tonelada (o bien 64 miles euros/tonelada)

-Si la empresa importa 200 toneladas de tela, la tasa de crecimiento del costo ser de

64.000 euros por tonelada (o bien 64 miles euros/tonelada)

(200) = 520

-Si la empresa importa 200 toneladas de tela, el ingreso marginas ser 520.000 euros

por tonelada (o bien 520 miles euros/tonelada)

-Si la empresa importa 200 toneladas de tela, la tasa de crecimiento del ingreso ser

520.000 euros por tonelada (o bien 520 miles euros/tonelada)



5

Ejercicio N6

a) () = 2 2+7 + 392 b)

x

xx

e

xxexexf

2

2 332)(

c) 10ln

)log()(x

exexf

xx d)

tetP 15500.22)(

Ejercicio N7

a)

() ()

tiempo personas -Tasa de crecimiento de la cantidad de habitantes

-Razn de cambio de la cantidad de habitantes

aos Millones de

habitantes

-millones de habitantes por ao

-

b) (2) = 11,38461538

Trascurrido 2 aos (iniciando el aos 2002) la cantidad de habitantes es de 11.384.615

personas

b) Derivada () =4(+24)(4+288)1

(+24)2

Valor (2) = 0,2840236686


- Transcurrido dos aos la razn de cambio de la poblacin es de -284.024 habitantes

por ao (o bien -0,2840236686 millones de habitantes por ao)

- Trascurrido dos aos la tasa de decrecimiento corresponde a 284.024 habitantes por

ao (o bien 0,2840236686 millones de habitantes por ao)

- Transcurrido dos aos la poblacin disminuye en 284.024 habitantes por ao (o bien

0,2840236686 millones de habitantes por ao)



6

Ejercicio N8


Volumen de la caja 500.000 cm3 = 500.000 500.000 = 2


Funcin a optimizar es el rea = 4 + 2

(, ) = 4 + 2



500.000 = 2

500.000

2=


(, ) = 4 + 2

() = 4 500.000

2 + 2

() =2.000.000

+ 2

() = 2.000.000 1 + 2

Por lo tanao, la funcin a optimizar expresada en dependeincia de una variable es:

() = . . +


Derivar la funcin a optimizar y luego igualar a cero y resolver ecuacin

() = 2.000.000 1 + 2

() = 2.000.000 2 + 2

`() =2.000.000

2+ 2

0 =2.000.000

2+ 2

= 100

Los puntos solo hay un punto crtico = 100



7


Por lo tanto = 100 es un valor mnimo

100A

Signo de () - 0 +


Para determinar la altura utilizar

500.000

2=

500.000

1002=

50 =

Para minimizar la cantidad de material usada, la caja debe medir 100x100 cm de base

y 50 cm de alto



8

Ejercicio N9

Paso N1: Determinar Dominio Contextualizado

[1,8]

Paso N2: Encontrar Punto Crticos

() = 3 112 + 28 3 112 + 28 = 0

(2 11 + 28) = 0 1 = 0 2 = 4 3 = 7


Se descarta x=0 porque est fuera del dominio contextualizado

Alternativa N1: criterio de

la primera derivada

Por lo tanto x=4 es un mximo relativo y x=7 es un mnimo relativo


Valor inicial

dominio

Punto

crtico

Punto

Crtico

Valor final

domino

f(1) f(4) f(7) f(8)

45,6 88,3 63,6 77,7

Por lo tanto x=4 es un mximo relativo y x=7 es un mnimo relativo

Paso N4: Determinar mximos o mnimos absolutos

Con la aternativa dos del paso 3, se determina los mximos y minimos asolutos

Por lo tanto x=4 es un mximo absoluto y x=7 es un mnimo absoluto

Respuesta: El mayor rendimiento lo obtendr si estudia 4 horas diarias, y el menor

rendimiento, si estudia 1 hora diaria.

4f 7f

Signo() 0 - 0 +



9

Ejercicio N10

a) () = () = 2 +1

50 y () = () = 0,002 + 1

b) (150) = 1,0


-Si la empresa produce 150 productos, el costo marginal ser 1.000 dlares por

unidad (o bien 1,0 miles dlares /unidad)

-Si la empresa produce 150 productos, la tasa de crecimiento del costo ser 1.000

dlares por unidad (o bien 1,0 miles dlares /unidad)

(150) = 1,3


-Si la empresa vende 150 productos, el ingreso marginal ser 1.300 dlares por

unidad (o bien 1,3 miles dlares /unidad)

-Si la empresa vende 150 productos, la tasa de crecimiento del ingreso ser 1.300

dlares por unidad (o bien 1,3 miles dlares /unidad)

Ejercicio N11

Funcin Derivada () =1

50 Valor (30) = 0,6

Interpretacin: La rapidez instantnea del ciclista a los 30 minutos corresponde a 0,6 km/min.

Funcin Derivada () =1

50= 0,02 Valor (30) = 0,02

Interpretacin: La aceleracin instantnea a los 30 minutos es de 0,02 km/min2.

Ejercicio N12


Permetro del rea rectangular 480 metros = 480 480 = 4 + 6


Funcin a optimizar es el rea de 1 corral =

(, ) =



480 = 4 + 6

480 4

6=



10


(, ) =

() = 480 4

6

() = 80 2

32

Por lo tanao, la funcin a optimizar expresada en dependeincia de una variable es:

() =


Derivar la funcin a optimizar y luego igualar a cero y resolver ecuacin

() = 80 2

32

() = 80 4

3

0 = 80 4

3

60 =

Los puntos solo hay un punto crtico = 60


Por lo tanto = 60 es un valor mximo

60A

Signo de () + 0 -


Para determinar el ancho de cada corral utilizar

480 4

6=

480 4 60

6=

40 =

Se debe calcular el rea = = 60 40 = 2400

El rea ms grande posible para cada uno de los tres corrales 2400 m2



11

Ejercicio N13

a) Paso N1: Determinar Dominio Contextualizado

[0,1.5]

Paso N2: Encontrar Punto Crticos

() = 192 192 192 192 = 0 = 1


Alternativa N1: criterio de la primera derivada

Por lo tanto x=1 es un mximo relativo


Valor inicial

dominio

Punto crtico

Valor final

domino

f(0) f(1) f(1.5)

0 96 72

Por lo tanto x=1 es un mximo relativo

Responder: Intervalos de crecimiento ]0,1[ Intervalos de decrecimiento ]1,1.5[

Durante la primera hora que rinde el examen, el rendimiento de alumno aumenta.

Durante los ltimos 30 minutos del examen, el rendimiento del alumno disminuye

1f

Signo() 0 -

b) Paso N4: Determinar mximos o mnimos absolutos

Con la aternativa dos del paso 3, se determina los mximos y minimos asolutos

Por lo tanto x=1 es un mximo absoluto y x=0 es un mnimo absoluto

Respuesta: Se observa el mximo rendimiento del alumno a la hora de comenzado el

examen, correspondiente a un 96%



12

Ejercicio N14

a) () ()

Cantidad de pendrives Ingreso -Tasa de crecimiento del ingreso

-Razn de cambio del ingreso

unidades pesos - Pesos por unidad

-

b) `() = 850 + 0,08

c) `(2000) = 1.010

Interpretaciones:

- Si se venden 2.000 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 1.010 pesos

por unidad

Ejercicio N15

a) () () ()

Tiempo Distancia

vertical Rapidez Instantnea Velocidad Instantnea

segundos metros -

- metros por segundo

- 2

- metros por segundo2

b) D(4) = 576

La distancia por encima del suelo del proyectil despus de 4 segundos ser de 576

metros

c) () = 216 36 (4) = 72

Respuesta: La rapidez instantnea a los 4 segundos de ser disparado el proyectil es de

72 /

d) () = 36 (4) = 36

Respuesta: La aceleracin instantnea a los 4 segundos de ser disparado el proyectil es

de 36 /

Ejercicio N16

Derivada () = 30

Valor (10) = 30

Interpretaciones:

- La tasa de crecimiento de las ventas de la empresa transcurridas 10 aos corresponde a

30.000.000 euros por ao. (o 30 millones de euros por ao)



1

SOLUCIONES GUA RESUMEN UNIDAD III

Ejercicio N1

a)

Variables

= () ()

Significado Tiempo Tasa de crecimiento poblacin Poblacin

Unidad de

Medida Aos Personas/ao

Cantidad de

personas

b) () = 100

53 + 500 +

(0) = 100 053 + 500 0 + = 2.500

2.500 =

() = 10053 + 500 + 2.500

c) La funcin () corresponde a la cantidad de habitantes despus de t aos

d) (5) 6.462 Respuesta: Dentro de 5 aos la poblacin ser de 6.462 habitantes

Ejercicio N2

a)

() () = ()

Tiempo Rapidez Instantnea Posicin

minutos Metros/minuto metros

b) () = () = 3 + 0,12 +1

63 + (0) = 2

(0) = 3 0 + 0,1 32 +1

6 03 + = 2 = 2

() = 3 + 0,12 +1

63 + 2

c) (3) = 16,4 A los 3 minutos el tren se encuentra a 16,4 metros del punto de partida



2

Ejercicio N3

EP = 0 0 (x)dx0

0 donde 0 = (0)

0 = 100 0 = (100) 6.201,66667

0 0 = 620200

() =1

18.0003 + 6.200 +

() = 620.055100

0

0 0 (x)dx = 6.366.666 6.255.555,56 = 111.1100

0

El excedente del productor al vender 100 calculadores corresponde a $110.110

Ejercicio N4

a) (4) = 0,4

Respuesta: La Temperatura a las 4 de la madrugada es de -0,4c

b) VP(f(x)) =1

ba f(x)dx

b

a

= 0 ; b = 7

() =41

3003 1,622 + 6 +

7

0() 9,5 VP =

1

7 9,5 1,36

Respuesta: La Temperatura promedio entre la medianoche y las 7 de la maana, fue

1,36C.



3

Ejercicio N5

Ejercicio N6

() = (20 38) (0) = 100

() = 202

2 38 + () = 102 38t + c ( )

(0) = 0 0 + c c = 100

() = 102 38t + 100

(10) = 10 102 38 10 + 100 = 720

Respuesta: Se encuentra a 720 metros de su casa a los 10 segundos de haber

entrado a la carretera.

a) Variables () () = ()

Significado Artculos Ingreso Marginal Ingreso

Unidad de

Medida Unidades Dlares/unidad dlares

b) () = 50,2 + 0,012 + 1 +

(40) = 61

() = 50,2 + 0,012 + 1 + 5

50,240 + 0,01 402 + 1 40 + = 61

5

c) La funcin () corresponde a los ingresos en dlares por la venta de x artculos



4

Ejercicio N7

a) () = (135 0,75) (0) = 25.180

() = 135 0,75

0,75+ () = 180 0,75 + c

(0) = 180 + c 25.180 = 180 + c c = 25.000

() = 180 0,75 + 25.000

b) Interpretacin: La funcin () entrega en la cantidad de habitantes de cierta

poblacin dentro de aos

c) (3) = 180 (0,753) + 25.000 = 26.707,79

Respuesta: Dentro de tres aos la poblacin ser de 26.708 habitantes

aproximadamente.

Ejercicio N8

a) () = (960 0,8) (0) = 1.500

() = 960 0,8

0,8+ () = 1.200 0,8 + c

(0) = 1.200 + c 1.500 = 1.200 + c c = 300 () = 1.200 0,8 + 300

b) Interpretacin: La funcin () corresponde a las ventas en miles de pesos

despus de meses que se aument los valores del producto

c) (4) = 1.200 (0,84) + 300 = 29.739,036 Respuesta: A los 4 meses de haber modificado los precios las ventas

correspondern a $29.739.036

Ejercicio N9

(50) = 1,2 502 + 130 = 3.130

= 50 3.130 (1,2 2 + 130)50

0

= 50 3.130

1,2 3

3|

0

50

130

|

0

50

= 156.500 56.500 = 100.000

Respuesta: el excedente de los productores es $100.000 al vender 50 bolsos.



5

Ejercicio N10

() =1

8 4 (12 + + 0,032)

8

4

() =1

4 [12 +

2

2+ 0,03

3

3]

4

8

() =1

4 (133,12 56,64) = 19,12

Respuesta: la temperatura promedio es de 19,12 Celsius.

Ejercicio N11

() = 100 0,092 + (20) = 2264 2264 = 100 20 0,09 202 + = 300 () = 100 0,092 + 300 (Funcin Costo)

Ejercicio N12

584.28006,0804,0000.3)80( 2 D

80

0

2 80584.206,04,0000.3 dxxxEC

720.2063

06,02

4,0000.3

80

0

32

xx

xEC

760.21720.206480.228720.2068002,0802,080000.3 32 EC

Respuesta: El excedente de los consumidores es de 21.760 dlares cuando el nivel

de venta es de 80 unidades

Ejercicio N13

() = (120 + 48) (0) = 0

() = 120 + 482

2+ () = 120 + 242 + c

(0) = 0 + 0 + c c = 0 () = 120 + 242 (Funcin distancia o Posicin)

(2) = 120 2 + 24 22 = 336

Respuesta: La distancia recorrida es de 336 metros.



6

Ejercicio N14

6

1

23 481216

1dttttVP

6

1

234

248

312

416

1

ttt

75,6025,203245

112414

4

162464

4

6

5

1 234

234

Respuesta: La rapidez promedio de las ventas es de 61 unidades por mes

Ejercicio N15

() = (0,32 6 + 15.000) = 0,13 32 + 15.000 +

(20) = 0,1 203 3 202 + 15.000 20 + = 500.000 = 200.400

() = 0,13 32 + 15.000 + 200.400 (Funcin Ingreso)

(50) = 0,1 503 3 502 + 15.000 50 + 200.400 = 955.400

Respuesta: El ingreso por vender 50 unidades es $955.400

Ejercicio N16

() = ()

4 + 2.000 = 8.000 2

0 = 1.000

(1.000) = 8.000 2 1.000 = 6.000

= (8.000 2)1.000

0

1.000 6.000

=

8.000

|

0

1.000

2

|

0

1.000

1.000 6.000

= 7.000.000 6.000.000 = 1.000.000

Respuesta: el excedente de los consumidores es de $1.000.000 al comprar 100

pendrives

soluciones guias

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