Postulacion a Sesion Oral:

Simulacion Metropolis-Montecarlo del Modelo Isingen Dos Dimensiones

Lic. Paul Blackburn1

Facultad de Fsica, Pontificia Universidad Catolica de Chile

Introduccion

Pese a que este modelo lleva el nombre de Ernst Ising, fue propuesto por primera vez en 1920 por W. Lenz, elsupervisor de tesis de Ising. Este se lo asigno en 1922, con el objetivo de estudiar el fenomeno del ferromag-netismo.

La importancia de este modelo se debe al hecho de que por mucho tiempo fue uno de los pocos modelosmatematicamente solubles que exhiban transiciones de fases. La solucion exacta del modelo en dos dimensionespor Lars Onsager, en 1944, fue visto como un hito de especial importancia en la Mecanica Estadstica. Comoejemplo de esto, mencionamos una carta escrita por Pauli y dirigida a Casimir inmediatamente despues deltermino de la Segunda Guerra Mundial. En ella, Casimir expreso su preocupacion por haber estado tan aisladode la fsica teorica de los pases aliados. En su respuesta, Pauli dijo que nada mucho de interes ha sucedidoexcepto la solucion exacta por Onsager del Modelo de Ising en Dos Dimensiones.

Actualmente el Modelo de Ising encuentra aplicacion en un gran numero de modelos, no solo en el area delmagnetismo y el estudio de los materiales, sino tambien en la microbiologa, ethologa, y sociologa, entre otras.En efecto, entre 1969 y 1997, se han publicado mas de 12,000 papers que utilizan el modelo de Ising.

La sesion oral que propongo realizar tiene como objetivo final comunicar a los estudiantes un espritu deemprendimiento y manos a la obra, mostrando que hay muchas areas de la fsica en las cuales es posibleinvestigar y experimentar sin tener necesariamente que esperar a tener un grado academico o un estudio cabaly riguroso.

Presentacion Oral

La presentacion sera realizada en diapositivas estilo PowerPoint, y estara ordenada en tres secciones claramentedefinidas:

- Introduccion e Importancia historica,

- El Modelo de Ising y la Solucion de Onsager,

- Procedimiento, Resultados y Comparacion con la Solucion Exacta, e Interpretacion.

Trabajo Realizado

El trabajo realizado consistio en simular un medio ferromagnetico mediante el modelo de Ising bidimensional.Aqu, la energa de cada nodo en un lattice cuadrado viene dado exclusivamente por la configuracion de susvecinos mas cercanos, y la energa total del sistema es:

E = h

Ni=1

si J

Ni=1

4j=1

sijsj

La sumatoria sobre j se realiza sobre los 4 vecinos al spin i. Hemos asumido aqu que la constante deacoplamiento entre spines es isotropico, es decir, Jij J .

1pwblackb@fis.puc.cl

1

Utilizamos un algoritmo Metropolis-Montecarlo, iterando sobre un lattice de 400 400 con condiciones deborde periodicas. La simulacion se implemento en C++ y todo el codigo fue escrito especialmente para esteproposito, incluyendo una clase especial de generacion de numeros aleatorios con distribucion gaussiana, dadala ya conocida pesima calidad del generador de numeros aleatorios del stdlib. Los estados iniciales y finalesdel lattice se graficaron facilmente usando la clase PNGwriter, tambien escrito por el autor.

Se registraron datos de magnetizacion, energa y temperatura, lo que permitio hacer un analisis de la tran-sicion de fases, histeresis y calor especfico del lattice. Ademas, se pudo obtener:

- Curvas de magnetizacion vs. temperatura (sin campo externo),

- Energa vs. temperatura (sin campo externo),

- Curvas de magnetizacion vs. campo magnetico aplicado,

- Energa vs. campo magnetico aplicado,

- Curva de histeresis.

Ademas, se calculo experimentalmente la temperatura crtica de transicion de fases T experimentalc = 2.27J/k.Esto es sorprendentemente cercano al valor de Tc = 2.269J/k, obtenido de la solucion exacta de Onsager.

En las paginas siguientes se muestran algunos resultados seleccionados. Se dividen en dos grupos principales:

- Estados del lattice, dominios magneticos: Figuras 1 y 2.

- Graficos de magnetizacion y energa vs. temperatura: Figuras 3 y 4.

Conclusiones

Concluimos que es factible explorar el modelo de Ising bidimensional numericamente, y que no requiere deconocimientos avanzados para ser entendido o implementado. Este proyecto tiene un gran potencial paramotivar e incentivar al estudiante a explorar por cuenta propia, dado el acuerdo experimental que se obtienecon la solucion exacta de Onsager, en cuanto a las caractersticas generales del comportamiento del lattice y adatos medibles, como la temperatura crtica. Es por esto, entonces, que proponemos exponer el presente trabajocomo una Sesion Oral en el Segundo Simposio Nacional de Estudiantes de Fsica.

Esta presentacion oral esta basada principalmente en un proyecto independiente realizado durante el cursode Electrodinamica (dado por Dr. Alejandro Valdivia), en el Departamento de Fsica de la Facultad de Ciencias,Universidad de Chile. El trabajo completo puede ser descargado desde http://ket.dyndns.org/electro/ect3/t3ec.pdf(1.1 MB).

2

Figure 1: Un cierto estado final de 400 400 con magnetizacion cercana a cero pero con clara presencia dedominios magneticos. Se ha repetido la misma imagen en los 4 cuadrantes de la figura para mostrar su naturalezaperiodica. Las lneas rojas denotan los bordes del lattice.

Figure 2: Estado inicial y final del lattice. h = 0.0, T = 3.0. 400 400. 9 106 iteraciones.M = 0.00,E = 1.3 105

3

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Temperatura (J/k)

Magn

etiza

cin

Magnetizacin Medida Solucin de Onsager Datos suavizados

Figure 3: Magnetizacion vs. Temperatura para un lattice de 500 500 y 9 106 iteraciones. Los datos segrafican en negro, la solucion de Onsager en rojo. La curva azul punteada es una suavizacion de FFT.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Campo Magnetico Aplicado (G)

Magn

etiza

cion

T = 0.0 J/K T = 1.0 J/K T = 2.0 J/K T = 3.0 J/K T = 4.0 J/K T = 5.0 J/K T = 6.0 J/K T = 7.0 J/K

Figure 4: Magnetizacion vs. Campo Magnetico para varias Temperaturas.

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A continuacion se detallan las referencias usadas en la confeccion de este trabajo.

References

[1] Metropolis N., Rosenbluth M., Teller A. and Teller E. Journal of Chemical Physics 21 1087-1092 (1953).

[2] Bhattacharjee S. M. and Khare, A., Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Modelby Onsager, arXiv:cond-mat/9511003 v2 (10 Nov 1995).

[3] Physics Today, Feb. 1977, p 77.

[4] Ising E., Z. Phys. 31 253-258 (1925)

[5] Bragg W. L. and Williams E. J., Proc. Roy. Soc. A145 199 (1934); A151 540 (1935);

[6] Onsager L., Crystal statistics I. A two dimensional model with an order-disorder transition, Phys. Rev.65, 177 (1944)

[7] Yang, C. N., Phys. Rev. 85, 808-816 (1952)

[8] Chang-Hong Chien, Monte Carlo Simulations of the Two Dimensional Ising Model,http:www.science.gmu.edu cchienstmisingising.html

[9] Blackburn, P., Sand 1.0.1, escribir al autor para obtenerlo, individual61@users.sourceforge.net (Feb 2003)

[10] Blackburn P., PNGwriter 0.3.4, pngwriter.sourceforge.net (Feb 2003)

[11] New Scientist 175 issue 2357, page 42 (24 August 2002)

[12] New Scientist 159 issue 2147, page 40 (15 August 1998)

[13] Bernardes A. T., Stauffer D., Kertesz J., Election results and the Sznajd model on Barabasi network,European Physical Journal B 25 199 (1934); A151 Iss 1, pp 123 - 127 (2002);

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