silabo an 3p 15 ultimo

Escuela de Matemática - Facultad de Ciencias - Universidad Nacional Autónoma de Honduras

III período de 2015 Coordinador: Erick Pineda

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Sílabo de Análisis Numérico

1. Información General Nombre del curso: Análisis Numérico Código: MM412 e IC303 Unidades Valorativas: 3 Carreras: Ingenierías Civil, Eléctrica, Mecánica y Química Licenciaturas en Física y Matemática Naturaleza de la Asignatura: Obligatoria Nivel de Estudios: Pregrado Requisitos Académicos: Programación (MM314 o IC200) Ecuaciones Diferenciales (MM411) Horas semanales: 3 Coordinador: Erick Pineda Email: [email protected], [email protected] Período-Año: II – 2015

2. Descripción Introducir al alumno en el estudio de los métodos numéricos para aproximar soluciones a ecuaciones y sistemas no lineales, funciones y a las soluciones de ecuaciones diferenciales; fortaleciendo la comprensión de estos temas a través de la computadora.

3. Objetivo General Al finalizar el curso el estudiante comprenderá y aplicará los métodos numéricos para resolver problemas en áreas de las ciencias e ingeniería, diseñará e implementará algoritmos y utilizará software matemático diseñado para tal fin.

mailto:[email protected]

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4. Objetivos Específicos

4.1. Aproximará las raíces de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales usando diferentes métodos numéricos, construirá tablas de comparación para ver la velocidad de convergencia a través del cálculo del error de dichos métodos y los implementará en software.

4.2. Dominará los métodos numéricos para la aproximación de funciones a partir de un conjunto de datos, comparará los diferentes tipos de ajustes exactos y aproximados, y ejecutará estos métodos en la computadora.

4.3. Deducirá y aplicará fórmulas de diferencias finitas para aproximar derivadas de orden superior clasificándolas por su error y los implementará en la computadora.

4.4. Comprenderá y aplicará la cuadratura numérica, comparará las reglas del trapecio, Simpson y la gaussiana. Implementará en la computadora los algoritmos de dichas fórmulas.

4.5. Comprenderá los elementos básicos de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias (edo), aplicará métodos numéricos iterativos para aproximar la solución de edo problemas de valor inicial y edo de segundo orden problemas de valor en la frontera. Hará en software dichos métodos para obtener las soluciones numéricas.



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5. Contenido

Unidad Objetivos Específicos

Contenido Observaciones Tiempo

I

Solución de ecuaciones y sistemas no lineales de ecuaciones

4.1

1. Teoremas: Valor Extremo, Medio e

Intermedio

Ver la importancia de T. V. Extremo para obtener la cota superior de funciones sobre un intervalo, en particular de la forma máx𝑎𝑎≤𝑥𝑥≤𝑏𝑏

|𝑓𝑓(𝑥𝑥)|. Los otros teoremas son útiles para demostrar la

existencia de raíces y dar fundamento al teorema de Taylor.

1 h

2. Teorema de Taylor

Obtener polinomios de Taylor para una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), error real, cota de error puntual y en un intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], obtener el grado 𝑛𝑛 bajo cierta exactitud. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) + 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑥𝑥), donde: 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) =∑ 𝑓𝑓(𝑘𝑘)(𝑥𝑥0)

𝑘𝑘!𝑛𝑛𝑘𝑘=0 (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑘𝑘

𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑥𝑥) =𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)(𝑛𝑛 + 1)!

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛+1

𝜉𝜉 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥0.

2 h

3. Método de Bisección

Dada la ec. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 aproximar la raíz 𝑝𝑝 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], el método genera la sucesión 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑏𝑏𝑛𝑛

2, 𝑛𝑛 ≥ 0 determinar el número de iteraciones

bajo cierta exactitud. Ventajas, desventajas y aplicaciones.

2 h

4. Método de Punto Fijo Dada la ec. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 manipular 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para obtener 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ⟹ 𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝑔𝑔(𝑃𝑃𝑛𝑛−1), 𝑛𝑛 ≥ 1, teorema de existencia y unicidad del punto fijo. Ventajas, desventajas y aplicaciones.

1 h

5. Método de Newton

Deducción del método mediante el teorema de Taylor, 𝑃𝑃𝑛𝑛 =𝑔𝑔(𝑃𝑃𝑛𝑛−1), con 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑓𝑓′(𝑥𝑥)

Ventajas, desventajas y aplicaciones.

2 h

6. Método de Newton para sistemas no lineales

Deducción del método para el caso de un sistema de 2x2 usando el teorema de Taylor para funciones de dos variables, luego

generalizar. Definir las normas ‖𝑋𝑋‖2 = �∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 y ‖𝑋𝑋‖∞ =

max1≤𝑖𝑖≤𝑛𝑛

{|𝑥𝑥𝑖𝑖|} Ventajas, desventajas y aplicaciones.

2 h



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Unidad Objetivos Específicos

Contenido Observaciones Tiempo

II

Aproximación de funciones, derivación e integración numérica

4.2 4.3 4.4

1. Teorema de aproximación de

Weierstrass

Usar para establecer que siempre es posible construir un polinomio que se ajuste a una función cuanto se desee |𝑓𝑓(𝑥𝑥)− 𝑃𝑃(𝑥𝑥)| < 𝜀𝜀, y así introducir el siguiente tema.

2 h 2. Interpolación de

Lagrange

Obtener polinomios interpolantes de lagrange para una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), error real, cota de error puntual y en un intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], obtener el grado 𝑛𝑛 bajo cierta exactitud. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) + 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑥𝑥), donde: 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) = ∑ 𝐿𝐿𝑖𝑖(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)𝑛𝑛

𝑖𝑖=0 con

𝐿𝐿𝑖𝑖(𝑥𝑥) = ∏ �𝑥𝑥−𝑥𝑥𝑗𝑗�

�𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑥𝑥𝑗𝑗�𝑛𝑛𝑗𝑗=0𝑗𝑗≠𝑖𝑖

y 𝑅𝑅𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)(𝑛𝑛+1)!

∏ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖)𝑛𝑛𝑖𝑖=0

3. Interpolación Bilineal Básicamente se aplica la interpolación lineal de Lagrange varias veces para aproximar una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦). Ver recurso de Aprendizaje 10.3 ejercicio 5.3, pág. 375.

1 h

4. Interpolación por partes: Splines Cúbicos

Al igual que interpolación de Lagrange es un ajuste exacto es decir 𝑆𝑆(𝑥𝑥𝑖𝑖) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) ∀𝑖𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛𝑛 . Además de las condiciones

𝑆𝑆(𝑥𝑥) = �

𝑆𝑆0(𝑥𝑥),𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑥𝑥 ∈ [𝑥𝑥0,𝑥𝑥1]𝑆𝑆1(𝑥𝑥), 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑥𝑥 ∈ [𝑥𝑥1,𝑥𝑥2]

⋮𝑆𝑆𝑛𝑛−1(𝑥𝑥), 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑥𝑥 ∈ [𝑥𝑥𝑛𝑛−1, 𝑥𝑥𝑛𝑛]

, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒

𝑆𝑆𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖) + 𝑐𝑐𝑖𝑖(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖)2 + 𝑑𝑑𝑖𝑖(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖)3 𝑆𝑆𝑖𝑖+1

(𝑘𝑘) (𝑥𝑥𝑖𝑖+1) = 𝑆𝑆𝑖𝑖+1(𝑘𝑘)(𝑥𝑥𝑖𝑖) ∀𝑖𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛𝑛 − 2;

𝑘𝑘 = 0, 1, 2. Establecer los sistemas lineales tridiagonales para determinar un spline natural o cúbico (deducir al menos uno de ellos), enunciar teorema de la cota de error para el spline sujeto.

2 h

5. Mínimos Cuadrados: Ajuste Polinómico

Se puede deducir en clase el sistema resultante cuando se ajuste un conjunto de m datos {(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖)}𝑖𝑖=1𝑚𝑚 a un polinomio 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 +𝑎𝑎1𝑥𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 bajo este criterio, es decir:

2 h



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𝑚𝑚𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1�𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

+ 𝑎𝑎2�𝑥𝑥𝑖𝑖2𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

+⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

= �𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

𝑎𝑎0�𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

+ 𝑎𝑎1�𝑥𝑥𝑖𝑖2𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

+𝑎𝑎2�𝑥𝑥𝑖𝑖3𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

+ ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛+1𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

= �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1⋮

𝑎𝑎0�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

+ 𝑎𝑎1�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛+1𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

+𝑎𝑎2�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛+2𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

+ ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛�𝑥𝑥𝑖𝑖2𝑛𝑛𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

= �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

6. Mínimos Cuadrados: Ajuste no Polinómico

Cuando se realizan ajustes a curvas no polinómicas se producen sistemas no lineales, en algunos casos es posible linealizar cuando hay a lo más dos parámetros. Hacer énfasis que al trabajar con un solo parámetro el error es una función de una sola variables y al minimizar se efectúa la derivada ordinaria para obtener el punto crítico, si 𝛼𝛼 fuese el parámetro ⇒ 𝐸𝐸′(𝛼𝛼) = 0.

1 h

7. Fórmulas de derivación numérica

En base al teorema de Taylor deducir fórmulas de aproximación para las derivadas de cualquier orden evaluando la función en puntos de la forma 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘ℎ, 𝑘𝑘 ∈ ℤ y clasificarlas de acuerdo a la 𝒪𝒪(ℎ𝑛𝑛) de Landau. Realizar el análisis de los efectos del error de redondeo y truncamiento para obtener un ℎ óptimo.

2 h

8. Integración Numérica Simple y Compuesta

Definir lo que es una fórmula de cuadratura numérica, deducir al menos la regla del trapecio. Análisis de error para las reglas simples y compuestas de trapecio y Simpson. Definir grado de exactitud o precisión en una fórmula de cuadratura.

2 h

9. Cuadratura gaussiana

Deducir la fórmula de cuadratura gaussiana con 𝑛𝑛 = 2 puntos para introducir el caso generalizado, clasificarlas por su grado de exactitud. Análisis de error, establecer ventajas y desventajas sobre las fórmulas de trapecio y Simpson principalmente en cuánto al número de evaluaciones de la función a la hora de aproximar la integral definida. Aproximar integrales impropias que mediante un cambio de variable se transforman a una integral definida.

2 h



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Unidad Objetivos Específicos Contenido Observaciones Tiempo

III

Solución de ecuaciones

diferenciales por métodos

numéricos

4.5

1. P.v.i: existencia y unicidad de la solución

Definir cuando un problema de la forma 𝑦𝑦′ = 𝑓𝑓(𝑒𝑒,𝑦𝑦), 𝑎𝑎 ≤ 𝑒𝑒 ≤ 𝑏𝑏,𝑦𝑦(𝑎𝑎) = 𝛼𝛼 es bien planteado. Ejemplifique. 1 h

2. Método de Taylor de orden n

Deducir el método usando el teorema de Taylor : 𝑦𝑦0 = 𝛼𝛼 ; 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 =𝑦𝑦𝑖𝑖 + ℎ 𝑇𝑇(𝑒𝑒𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖), 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑖𝑖 = 0, 1, … ,𝑁𝑁 − 1; donde 𝑇𝑇(𝑛𝑛)(𝑒𝑒𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑖𝑖) =𝑓𝑓(𝑒𝑒𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖) + ℎ

2𝑓𝑓′(𝑒𝑒𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑖𝑖) + ⋯+ ℎ𝑛𝑛−1

𝑛𝑛!𝑓𝑓(𝑛𝑛−1)(𝑒𝑒𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖)

Hacer notar que al aumentar el orden del método las aproximaciones son mejores.

2 h

3. Método de Runge-Kutta

Se puede hacer la deducción del método del punto medio usando el teorema de Taylor para funciones en dos variables. Hacer ver la ventaja que tienen sobre los métodos de Taylor en el sentido que no necesitan la(s) derivada(s) de 𝑓𝑓(𝑒𝑒,𝑦𝑦) pero siempre conservan el mismo orden de aproximación. Como hay varios métodos, método de Euler Modificado, del punto medio,de Heun, de Cuarto Orden, etc no debe presentar dificultad al estudiante para aplicar las ecuaciones en diferencias, 𝑦𝑦0 = 𝛼𝛼 ; 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 = 𝐹𝐹(𝑒𝑒𝑖𝑖 ,𝑦𝑦𝑖𝑖), de cada uno de ellos.

2 h

4. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer

orden p.v.i

Adaptar los métodos de Taylor y de Runge-Kutta para aproximar la solución a dichos sistemas. 2 h

5. Ecuaciones de orden superior, transformación a

sistemas

Transformar las edo de orden superior p.v.i. a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden p.v.i. y luego aproximar la solución.

2 h

Para obtener la ecuación en diferencias −�1 + ℎ2𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖)�𝑤𝑤𝑖𝑖−1 +

�2 + ℎ2𝑞𝑞(𝑥𝑥𝑖𝑖)�𝑤𝑤𝑖𝑖 − �1 − ℎ2𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖)�𝑤𝑤𝑖𝑖+1 = −ℎ2𝑒𝑒(𝑥𝑥𝑖𝑖), y así construir el

sistema tridiagonal.



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6. Metodología Modalidad presencial: Clases magistrales, lecturas previas, trabajo en equipo, investigaciones, exposiciones, tareas y guías de estudio.

7. Evaluación

La ponderación estará distribuida de la siguiente manera: Exámenes 70%, Acumulativo 30%.

Actividad Ponderación Descripción Exámenes 70% Se realizarán 4 exámenes correspondientes a las 3

unidades, se elimina la nota más baja de los 3 primeros Tareas/Prueba 12% Se asignará al menos una tarea por parcial, y si desea una

prueba preferiblemente virtual por cada tarea. Uso de Matlab 18% Se asignarán tareas de los recursos para el autoaprendizaje

de Matlab, estas se calificarán con pruebas preferiblemente virtuales y/o proyectos, exposiciones, examen de laboratorio.

Total 100%

Contenidos a evaluar por examen:

Examen 1: De I-1 a I-5

Examen 2: De I-6 a II-6

Examen 3: De II-7 a II-9

Examen 4: III Unidad



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8. Políticas del Curso 8.1. Cumplir con el reglamento de disciplina que establece la universidad. 8.2. En cada una de las evaluaciones el alumno debe de presentar un documento legal: identidad, pasaporte, licencia de

conducir, carnet de la U.N.A.H., ó Titulo original. 8.3. Después de 15 minutos de iniciado el examen no se permitirá la entrada de ningún estudiante. 8.4. Se prohíbe el uso de celulares durante el desarrollo del examen. 8.5. El profesor tiene 10 días hábiles para la revisión y entrega de los exámenes a los estudiantes 8.6. La nota NSP (no se presentó) es la clave para asignarle 00 al alumno que no asistió a ninguna de las evaluaciones

programadas. 8.7. Los trabajos asignados están sujetos a revisión cuando el profesor estime conveniente. 8.8. La conducta de los estudiantes y su trato con los demás estará dentro del marco de los buenos modales y

costumbres. 8.9. El correo electrónico que se le exija debe ser el email que usted revisa frecuentemente.



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9. Calendarización

Inicio de Clases 07-09-2015 Fin de Clases 19-12-2015

Examen Fecha Día Hora I 29 de Septiembre Martes

Hora de Clase

II 26 de Octubre Lunes III 16 de Noviembre Lunes IV 9 de Diciembre Miércoles

Reposición1 11 de Diciembre Viernes Laboratorio - -

10. Recursos de Aprendizaje 10.1. Richard L. Burden-J. Douglas Faires Análisis Numérico

International Thomson Editores, S. A. 2011 -Novena Edición- 10.2. John H. Mathews-Kurtis D. Fink Métodos Numéricos Con Matlab

Prentice Hall Madrid 2000 -Tercera Edición- 10.3. Antonio Nieves-Federico C. Domínguez Métodos Numéricos Aplicados a la ingeniería

Compañía Editorial Continental 2002 -Segunda Edición- 10.4. Amos Gilat Matlab Una introducción con ejemplos prácticos

Editorial Reverté, S. A. 2006

1 El examen de reposición lo realizará el estudiante que no se haya sometido a uno de los cuatro exámenes o que desee reponer la nota más baja en sus cuatro

evaluaciones, en este último caso se tomará la nota que más le favorezca. El estudiante está obligado a pagar por realizar dicho examen según el plan de arbitrios y donde lo indique la universidad.



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10.5. Guía de Ejercicios

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