semana 03

Facultad de Ingeniera Semestre 2015-II

CURSO: CLCULO II

Tema :

TCNICAS DE INTEGRACIN

3. INTEGRACIN POR PARTES:

El mtodo de integracin por partes es de mucha utilidad en la prctica, el cual nos

permite resolver un gran nmero de integrales no inmediatas, que se obtiene de la

frmula para la derivada del producto de dos funciones. Si y f g

son funciones

diferenciales, entonces:

( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

df x g x g x f x f x g x

dx

df x g x f x g x g x f x

dx

Al integrar cada miembro de esta ecuacin se obtiene:

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) (1)

df x g x dx f x g x dx g x f x dx

dx

f x g x dx f x g x g x f x dx

La frmula (1) recibe el nombre de frmula de integracin por apartes. Para los

propsitos del clculo, una forma ms conveniente de esta frmula se obtiene al

considerar ( ) y ( )u f x v g x .

Entonces '( )du f x dx

y '( )dv g x dx de modo que (1) se transforma en:

udv uv vdu

Observacin:

- El xito en la integracin por partes consiste en determinar adecuadamente la

funcin u . Se sugiere que la funcin u

se tome la que ms se simplifique al

derivar.

- dv

debe ser integrable

Ejemplos:

1. Hallar sin( )x x dx .

Solucin:

Haciendo u x du dx .

Integracin Por Partes Semana 03


sin( )

sin( )

cos( )

dv x dx

dv x dx

v x

sin( ) sin( ) cos( ) cos( )

cos( ) cos( )

cos( ) sin( )

v vdvu u du

x x dx x x dx x x x dx

x x x dx

x x x C

2. Hallar ln( )x dx .

Solucin:

Haciendo ln( ) dx

u x dux

.

dv dx

dv dx

v x

Integrando por partes, tenemos:

ln( )x dx uv vdu

Reemplazando:

1

ln( ) ln( )

ln( )

ln( )

x dx x x x dxx

x x dx

x x x C

3. Hallar 2 ln( )x x dx .

Solucin:

Haciendo ln( )u x

y 2dv x dx ; tenemos:

dxdu

x

2

3

3

dv x dx

xv

Entonces:


3 32

3 2 3 3

1ln( ) ln( )

3 3

ln( ) ln( )3 3 3 9

x xx x dx x dx

x

x x x xx dx x C

4. Hallar 2 23 1 xx x e dx .

Solucin:

Haciendo 2 3 1 2 3u x x du x dx

y 2

2 2

xx edv e dx v .

Luego:

2 2

2 2 2

(1)

3 1 3 1 2 32 2

x xx e ex x e dx x x x dx

Luego, volveremos a aplicar integracin por partes en (1) para encontrar la

integral dada:

2

1 2 32

xeI x dx

Haciendo 2 3 2u x du dx

y 2 2

2 4

x xe edv dx v .

Luego:

2 2 2 2

1 2 3 2 2 34 4 4 4

x x x xe e e eI x dx x C

Ahora reemplazando en (1):

2 2 2

2 2 23 1 3 1 2 32 4 4

x x xx e e ex x e dx x x x C

5. Hallar 23 xx e dx .

Solucin:

Haciendo 2u x

y 2xdv xe dx ; entonces:

2du xdx

2

2

x

x

dv xe dx

v xe dx

Para hallar 2xxe dx

se tiene:

Por sustitucin: 2 2

2

dtt x dt xdx xdx .

Luego:

2 21 1 1

2 2 2 2

x t t t xdtxe dx e e dt e e .


Por tanto:

2

2

xev .

Luego:

2 2

2

2

2

2 2

2

3 2

2

2

2

22 2

2

2 2

12

x xx

xx

x x

x

e ex e dx x xdx

x exe dx

x e eC

ex C

6. Hallar 1x xdx .

Solucin:

Haciendo u x

y 1dv xdx ; tenemos:

du dx

3 3

2 2

1

1 2 1

3 32

dv xdx

x xv

Entonces:

3 32 2

32 3

2

32 5

2

3 52 2

2 1 2 11

3 3

2 1 21

3 3

2 1 41

3 15

2 41 1

3 15

x xx xdx x dx

x xx dx

x xx C

x x x C

7. Hallar2ln( 2)x dx .

Solucin:

Haciendo 2ln( 2)u x

y dv dx ; tenemos:

2

2

2

xdu dx

x

v x

Tenemos:


22 2

2

2

2

2

2

2

2

2ln( 2) ln( 2)

2

4ln( 2) 2

2

4ln 2 2

2

1ln( 2) 2 4 arctan

2 2

ln 2 2 2 2 arctan2

xx dx x x dx

x

x x dxx

x x dx dxx

xx x x

xx x x C

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Usando el mtodo de integracin por partes calcule las siguientes integrales:

1. cosx xdx

2. 2secx xdx

3. 2x senxdx

4. 2( 5 6)cos2x x xdx

5. 2ln(4 )x dx

6. arctan xdx

7. 2 arctanx xdx

8. /3xxe dx

9. 2( 5 3) xx x e dx

10. 2 4xx e dx

11. 23 xx e dx

12. 2x xdx

13. xe

xdx

14. 7(3 1)x x dx

15. 10(2 5)x x dx

16. ln x

dxx

17. 32 lnx x dx

18. (3 1) ( )x sen x dx

19. 2( 3 1)cos( )x x x dx

20. 6 ln( )x x dx

21. 3xx dx

22. 2

cos ( 1)

( )

x cosxdx

senx x

23. 3sec xdx

24. dxex

25. lnnx xdx

26. 3

2

ln xdx

x

27. 2

ln(cos )

cos

xdx

x

28. 1

ln1

xx dx

x

29. 2tanx xdx

30. 3x senxdx


II. PROBLEMAS DE APLICACIN

1. COSTO: Una compaa determina que su funcin de costo marginal est dada

por .34)(' xxxC

Halle el costo total dado que C (13)=$1,126.40.

2. INGRESO: El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artculo

se estima que ser 20.01'( ) 50 3.5 xR x xe dlares por unidad, donde ( )R x es el

ingreso en dlares.

a) Determine ( )R x , suponiendo que (0) 0R .

b) Qu ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?

3. POBLACIN: Se proyecta que dentro de t aos la poblacin de cierta ciudad cambiar a razn de:

'( ) ln 1P t t t

miles de personas al ao.

Si la poblacin actual es de 2 millones de personas, cul ser la poblacin dentro

de 5 aos?

4. USO DE ENERGA ELCTRICA: La razn de energa elctrica consumida

por una familia, en kilovatios hora por da, est dada por, ttetK 10)('

donde t es el tiempo, en horas. Es decir, t est en el intervalo [0, 24].

a) Cuntos kilovatios hora consume la familia en las primeras T horas de un da (t=0 a t=T)?

b) Cuntos kilovatios hora consume la familia en las primeras 4 horas del da?

5. CRECIMIENTO DEMOGRFICO: Se proyecta que dentro de t aos la

poblacin de cierta ciudad cambiar a razn de 1ln)(' tttP miles de

personas al ao. Si la poblacin actual es 2 millones, cul ser la poblacin

dentro de 5 aos?

6. DISTANCIA: Despus de t segundos, un objeto se mueve a una velocidad 2/' )( ttetS metros por segundo. Exprese la posicin del objeto como una

funcin del tiempo.

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